Линейное нормированное пространство определяется нормой элементов, удовлетворяющей аксиомам, таким как однородность и неравенство треугольника. Последовательности в этом пространстве могут сходиться к элементам, и рассматриваются свойства открытых и закрытых множеств. Нормы считаются эквивалентными, если существует постоянные c1 и c2, связывающие их для всех элементов пространства.

1. Линейное нормированное пространство
Линейная система E называется линейным нормированным
пространством, если каждому элементу xE поставлено в соответствие
вещественное число || x ||  0, называемое нормой элемента x, причем
соблюдены следующие условия (аксиомы линейного нормированного
пространства)
1. || x || = 0, тогда и только тогда, когда x = 0
2. || x ||=x однородность нормы
3. || x + y || = || x ||  || y || – неравенство треугольника
(x, y) = || x – y || = || y – x ||
обладает всеми свойствами метрики, поэтому линейные нормированные
пространства представляют собой частный вид метрических пространств.
Последовательность {xn} элементов линейного нормированного
пространства E называется сходящейся (по норме) к элементу xo, если || xo –
xn ||  0 при n  0.
Открытым (замкнутым) шаром S(xo, r) радиуса r > 0 с центром в точке xo
называется множество всех точек xE таких, что || xo – x || < r (|| xo – x || r).
Под окрестностью точки xo понимается всякое подмножество Vxo  E,
содержащее открытый шар некоторого радиуса с центром в точке xo.
Элемент xo называется предельной точкой для множества T  E, если
всякая окрестность xo содержит элементы из множества T. Для того, чтобы
элемент xo был предельной точкой множества T, необходимо и достаточно,
чтобы существовала последовательность {xn}  T, сходящаяся к xo.
Множество T  E называется замкнутым, если все предельные точки T
принадлежат T.
Множество T  E называется открытым, если каждая его точка
внутренняя, т.е. содержится в T вместе с некоторой окрестностью.
Шар S(xo, r) является выпуклым множеством.
Пусть в линейной системе введены две нормы || ||1 и || ||2. Они называются
эквивалентными, если для xE выполняется неравенство
c2 || x ||2  || x ||1  c1 || x ||2
где c1 , c2 > 0 и не зависят от x.