1. 10-ий клас
Тема: Трикутники
Мета: Систематизувати основні теоретичні положення з теми «
Трикутники». Ліквідувати прогалини в знаннях , уміннях і навичках учнів ;
виховання активності , самостійності учнів , творчого підходу до оволодіння
знаннями .
Очікувані результати:
1. Учні повинні вміти застосовувати властивості трикутників та їх
елементів, формули площ трикутників до розв’язування
планіметричних задач на обчислення, доведення, побудову.
2. Вміння самостійно працювати з учбовою літературою,
посібниками, довідниками, інтернет-ресурсами.
Тип уроку : Урок узагальнення і систематизації знань .
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання проводиться за технологією «пошук
інформації».
Учні вдома самостійно працювали з учбовою літературою, посібниками
по математиці, довідниками, інтернет-ресурсами.
Клас поділено на чотири групи. Кожна група отримує завдання
підготувати презентації на дві із запропонованих теми.
Перед учнями були поставлені запитання :
1. Означення трикутника . Види трикутників.
2. Ознаки рівності і подібності трикутників.
3. Рівнобедрений та рівносторонній трикутники і їх властивості.
4. Сума кутів трикутника. Зовнішній кут трикутника.
5. Прямокутний трикутник, його елементи. Ознаки рівності
прямокутних трикутників.
6. Теорема Піфагора і її наслідки.
7. Теореми синусів і косинусів.
8. Площа трикутника. Правильний трикутник і його площа.

2. А також групам пропонувалися задачі для самостійного розв’язання.
Розв’язання їх розглядалися та обговорювалися з використанням
мультимедійного проектора.
Задача 1. В рівнобедреному трикутнику АВС: АВ=ВС, медіана АD
перпендикулярна бісектрисі СЕ. Знайти величину кути АСВ.
Задача 2. В трикутнику АВС медіана АМ перпендикулярна медіані BN.
Знайти площу трикутника АВС, якщо АМ=m; BN=n.
Задача 3. Знайти площу трикутника АВС, якщо АВ=3см; ВС=7см, довжина
медіани ВМ=4см.
Задача 4. В прямокутному трикутнику АВС із вершини С прямого кута
проведена висота СD. Точка D знаходиться на відстані m і n від катетів АС і
ВС відповідно. Знайти довжини катетів.
ІІ. Актуалізація опорних знань, навичок і умінь учнів по темі:
«Трикутники»
Використовується технологія «коло ідей»
Вчитель перевіряє знання учнями основних формул з даної теми
( частина учнів працює біля дошки по черзі, а частина опитується усно з
використанням мультимедійного проектора)
Основні формули з теми «Трикутники».
1. Площа трикутника
В 1) S =
1
2
aha =
1
2
bhb =
1
2
chc
2) S =
1
2
abSin γ =
1
2
bcSin α =
1
2
acSinβ
А C 3) S =√𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), де p =
𝑎+𝑏+𝑐
2
4) S = pr, де r – радіус вписаного кола
5) S =
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
, де R – радіус описаного кола
6) S = 2 𝑅2
SinαSinβSinγ
7) S =
𝑎2 𝑆𝑖𝑛𝛽𝑆𝑖𝑛𝛾
2𝑆𝑖𝑛𝛼

3. 8) S =
ℎ2 𝑆𝑖𝑛𝛼
2𝑆𝑖𝑛𝛽𝑆𝑖𝑛𝛾
2. Теорема синусів:
𝑎
𝑆𝑖𝑛𝛼
=
𝑏
𝑆𝑖𝑛𝛽
=
𝑐
𝑆𝑖𝑛𝛾
- 2R; R =
𝑎
2𝑠𝑖𝑛𝛼
, де α – кут, протилежний стороні а
3. Теорема косинусів.
а) 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
– 2bcCosα;
б) Cosα =
𝑏2 + 𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
;
с) Якщо α > β > γ і Cosα = 0, то - прямокутний;
-1 < Cosα < 0, то - тупокутний;
Cosα > 1, то не існує.
4. b 1)
𝑎
𝑏
=
𝑚
𝑛
;
a 2) l = ab – mт ;
m n 3) l =
2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠
𝐴
2
𝑏+𝑐
.
5. 1) r =
2𝑆
𝑎+𝑏+𝑐
; 2) R =
𝑎𝑏𝑐
4𝑆
; 3) ha =
2𝑆
𝑎
;
4)
1
ℎ 𝑎
+
1
ℎ 𝑏
+
1
ℎ 𝑐
=
1
𝑟
; 5) 𝑚 𝑎
2
=
𝑏2
2
+
𝑐2
2
-
𝑎2
4
6. Рівносторонній трикутник.
1) ВК = ℎ 𝑎 = 1 𝑎 = 𝑚 𝑎; В
2) h =
𝑎√3
2
=
3
4
R = 3r;
3) R =
𝑎√3
3
; r =
𝑎√3
6
; 𝑎3 = R√3 = 2r√3;
4) S =
𝑎2
√3
4
або S =
ℎ2
√3
3
. А К С
О

4. 7. Прямокутний трикутник.
b a
𝑏𝑐 c 𝑎 𝑐 1) 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
– Т. Піфагора
2) Співвідношення в прям.
a = cSina;
a = btga;
b = cCosa;
с =
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝑎
=
𝑏
𝑐𝑜𝑠𝑎
3) Середньо-пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику:
ℎ 𝑐
2
= 𝑎 𝑐 𝑏𝑐 ;
𝑎2
= c𝑎 𝑐;
𝑏2
= c𝑏𝑐.
4) 𝑚 𝑐 = R =
𝑐
2
; r –
𝑎+𝑏−𝑐
2
, де a і b – катети, с – гіпотенуза.
5) S =
1
2
ab; S =
1
2
cℎ 𝑐
ℎ 𝑐

5. С
6) Якщо т. К – точка дотику кола,
вписаного в прямокутний три
кутник, ділить гіпотенузу на
відрізки m і n, то S = mn
А m K n В
III. Мотивація навчання учнів.
В середній школі ми вивчили і на даному етапі систематизували основні
теоретичні положення теми «Трикутники». Всі вони тісно взаємозв’язані між
собою і складають цілісну систему планіметрії. На цьому занятті ми ще раз
переконались у широких можливостях застосування теоретичного матеріалу
про трикутники до розв’язання практичних задач.
IV. Розв’язання задач.
Використовується технологія «синтез думок». Кожна з груп отримує для
розв’язання одну із задач. Групи демонструють свої розв’язання, інші групи
слухають та доповнюють.
1. В трикутнику одна із сторін 56 см, а друга ділиться точкою дотику
вписаного в нього кола на відрізки 32 см і 28 см. Знайти площу трикутника.
Розв’язання:
В Нехай АВС – даний за умовою;
B т. М,К,Р – точки дотику;
P K АВ = 56 см; ВК = 32 см; СК = 28 см.
A М C Знайдемо S АВС.
За властивістю дотичних СМ = СК = 28 см; ВР = ВК = 32 см.
Тоді АР = АМ = 56 – 32 = 24(см); АС = АМ + МС = 24 + 28 = 52(см).
𝑆𝐴𝐵𝐶 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) = √84 · 24 · 28 · 32 = 1344(см2
).
Відповідь: 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1344 см2
.

6. 2. Дві сторони трикутника дорівнюють 35 і 45 см, а бісектриса кута між
ними 12 см. Знайти площу трикутника.
Розв’язання
Нехай в АВС:АВ = 35 см; ВС = 14 см; АВК = КВС = a; В
ВС – бісектриса АВС.
Знайти S ABC.
𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 + 𝑆𝐴𝐵𝐶;
А К С
1
2
35 14sin2a =
1
2
35 12sina +
1
2
12 14 sina;
1
2
35 14sin2a =
1
2
35 12sina +
1
2
12 14 sina;
35 14 2sina cosa = 12 sina 49;
35 14 2 cosa = 12 49
5 2 cosa = 3
cosa =
3
5
;
Sina = √1 −
9
25
= √
16
25
=
4
5
; Sin2a = 2sina cosa = 2
4
5
3
5
=
24
25
;
𝑆𝐴𝐵𝐶 =
1
2
АВ ВС sin ABC =
1
2
35 14
24
25
= 235
1
5
(см2
)
Відповідь: S = 235,2 см2
.
3. Сторони трикутника дорівнюють 78 см, 75 см, 51 см. Знайти площі частин
трикутника, на які ділить його бісектриса меншого кута.
Розв’язання
Так як в трикутнику проти меншого кута лежить менша сторона, то нехай
ВСА – менший, - тоді АВ = 51 см; ВС = 75 см; АС=78 см.

7. В
М
К
А С
За властивістю бісектриси кута трикутника:
ВК
АК
=
ВС
АС
=
75
78
=
25
26
. ВК + АК = 51 см.
25
26
АК + АК = 51; АК = 26 см; ВК = 26 см.
Проведемо СМ АВ.
СМ =
2𝑆
𝐴𝐵
=
2√102·51 ·24 ·27
51
=
2√51·51 ·3 ·3 ·16 ·9
51
=
2 · 51 · 3 · 4 · 3
51
= 72 (см).
𝑆 𝐵𝐾𝐶 =
1
2
KB CM =
1
2
75 25 = 900 (см2
);
𝑆𝐴𝐾𝐶 =
1
2
AK CM =
1
2
29 72 = 939(см2
).
Відповідь: 900 см2
і 936 см2
.
4. Довести, що сума відстаней від любої точки, взятої всередині правильного
трикутника до сторін цього являється постійною величиною, яка не залежить
від положення цієї точки.
B Розв’язання:
𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝑂𝐵 + 𝑆𝐴𝑂𝐶 + 𝑆 𝐵𝑂𝐶 =
=
1
2
ℎ1a =
1
2
ℎ2a
1
2
=
1
2
ℎ3a;
A C ℎ1+ ℎ2+ℎ3 =
2𝑆
𝑎
.
А це значить, що сума відстаней від
точки до сторін є величина постійна.
О

8. V. Написанная тестової самостійної роботи.
Варіанти тестової перевірки знань учнів по темі «Трикутники»
(пропонуються за допомогою мультимедійного проектора).
Варіант І
1. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайти радіус
вписаного кола. (2 бали)
2. В трикутнику сторони дорівнюють 29 см, 6 см і 25 см. Знайти найбільшу
висоту. (2 бали)
3. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 14 см і 16 см. На які відрізки
ділить бісектриса сторону, що дорівнює 14 см. (2 бали)
4. Катет прямокутного трикутника дорівнює 13 см. Висота, проведена до
гіпотенузи дорівнює 12 см. Знайти гіпотенузу. (3 бали)
5. Сторона трикутника дорівнює 28 см, а дві інші утворюють кут 60° і їх
різниця дорівнює 20 см. Знайти сторони трикутника. (3 бали)
Варіант ІІ
1. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 см і 4 см. Знайти R
(2 бали)
2. Сторони трикутника дорівнюють 25 см, 29 см і 36 см. Знайти меншу
висоту. (2 бали)
3. Висоти трикутника дорівнюють 4 см, 6 см і 8 см. Знайти радіус вписаного
кола.(2 бали)
4. Знайти сторону трикутника, якщо протилежний її кут дорівнює 30°, а
R = 4см. (3 бали)
5. Катети відносяться до гіпотенузи як 5:12, R – r = 9 см. Знайти периметр.
(3 бали)
VI. Домашнє завдання.
Підготуватись до семінару. Клас поділено на 4 групи. Кожна група готує
презентацію на одну із тем:
1) «Властивості бісектриси, висоти і медіани трикутника.»

9. 2) «Рівнобедрений трикутник і його властивості.»
3) «Прямокутний трикутник. Вписане й описане коло.»
4) «Доведення різноманітних властивостей трикутника.»
І розв’язує серію задач підібраних вчителем із основної і додаткової
літератури.
Оформлюють свої розв’язання задач учні на окремих аркушах паперу.
Паралельно до цього учні виконують творче завдання; скласти власну задачу
з даної теми, або перетворити одну із відомих задач.