Δημήτρη Δούδη

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Β’ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)
ΚΕΦ 2ο: Διαφορικός Λογισμός
Φυλλάδιο 21ο
Φυλλάδι555 1ο
§ 2.5α) Θεώρημα Rolle
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-111-
Σημαντικές παρατηρήσεις
1. Για να ισχύει το Θεώρημα Rolle πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι τρεις προϋπο-
θέσεις του.
2. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε ένα κλειστό
διάστημα [α,β], τότε, σε ότι αφορά στο συμπέρασμά του, οι παρακάτω προτάσεις είναι
ισοδύναμες:
 Υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 (α,β) τέτοιο ώστε 0 f(x )  0.
 Η εξίσωση f(x)  0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β) .
 Η συνάρτηση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β) .
[ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle]
 Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’x τουλάχιστον σε ένα σημείο
0 A(x ,0) με 0 x (α,β) .
 Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 x (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής πα-
ράστασης της f στο σημείο 0 0 M(x ,f(x )) να είναι παράλληλη στον άξονα x’x.
[ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle]
Παρατηρήστε ότι για μια σταθερή συνάρτηση ( f(x)  c ) είναι 0 f(x )  0 για κάθε
0 x (α,β) [σχήμα α].
3. Αν ένα σώμα, κινούμενο πάνω σε έναν άξονα, διέρχεται από το σημείο Α την χρονική
στιγμή 1 t και επιστρέφει στο Α την χρονική στιγμή 2 t , τότε υπάρχει χρονική στιγμή 0 t
μεταξύ των 1 t , 2 t που η ταχύτητα είναι μηδέν (δηλαδή το κινητό σταματημένο).
[ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle]
4. Το αντίστροφο του Θεωρήματος Rolle δεν ισχύει κατ’ ανάγκη! Δηλαδή, αν η παρά-
γωγος μιας συνάρτησης f μηδενίζεται σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού
της, δεν σημαίνει υποχρεωτικά ότι πληρούνται και οι προϋποθέσεις του θεωρήματος
Rolle [βλέπε σχήματα παρακάτω].

2. 5. Το θεώρημα βεβαιώνει ότι υπάρχει μία ρίζα της εξίσωσης f(x)  0 στο (α,β) . Δεν ενδι-
αφέρεται για τον τρόπο που θα βρούμε ένα τέτοιο σημείο.
6. Το Θεώρημα Rolle εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.
7. Σε περίπτωση που η είναι παραγωγίσιμη στο [α,β], τότε θα είναι συνεχής στο [α,β] και
επομένως για την εφαρμογή του Θ. Rolle αρκεί να γνωρίζουμε ότι f(α)  f(β) .
Βασικές Προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη)
1. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και έχει δύο ρίζες, τότε η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα.
2. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο τότε, ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f , υπάρ-
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-112-
χει το πολύ μία ρίζα της συνάρτησης f.
3. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και έχει τρεις ρίζες, τότε η f έχει δύο του-
λάχιστον ρίζες και η f τουλάχιστον μία.
4. Γενικότερα, αν μια συνάρτηση f είναι ν-φορές παραγωγίσιμη (ν , ν  1) και έχει
ν 1 ρίζες, τότε η ( ν) f (νιοστή παράγωγος) έχει μία τουλάχιστον ρίζα.
5. Αν f(x)  0 για κάθε x , τότε η f έχει το πολύ μία ρίζα.
6. Αν f(x)  0 για κάθε x , τότε η f έχει το πολύ δύο ρίζες.
7. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και δεν είναι «1-1» στο Δ τότε
η εξίσωση f(x)  0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο Δ.
8. Σαν συνέπεια του παραπάνω έχουμε ότι αν f(x)  0 για κάθε xΔ, τότε η f είναι «1-1» .
Μέθοδοι
1. Ενδείξεις για εφαρμογή του θεωρήματος Rolle είναι ύπαρξη εκφράσεων στην άσκηση
όπως: «να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)  0…
 … έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β) »
 … έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα (α,β) »
 … έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (α,β) »
 … έχει το πολύ κ ρίζες στο διάστημα (α,β) »
 … έχει ακριβώς κ ρίζες στο διάστημα (α,β) »
 … δεν έχει ρίζα στο διάστημα (α,β) »

3. Προσοχή!
Στις περιπτώσεις αυτές, το Θεώρημα Rolle δεν θα το εφαρμόζουμε στην f , αλλά
στην παράγουσα (αρχική) αυτής F, δηλαδή σε μια συνάρτηση F για την οποία ι-
σχύει: F(x)  f(x) για κάθε f xA .
2. Παρατηρούμε ότι οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle αφορούν την συνάρτηση f , το συμπέ-
ρασμά του εφαρμόζεται στην f . Οπότε, αν στα ζητούμενα μιας άσκησης υπάρχει η
εξίσωση f(ξ)  0 ή f(ξ)  0 , αυτό είναι μια ένδειξη ότι πιθανόν να χρειαστεί η εφαρμο-
γή του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση f ή την f .
ΠΙΝΑΚΑΣ Ι
Συνάρτηση f Παράγουσα F Μορφή συνάρτησης f Μορφή παράγουσας F
0 c f(x) f(x)
1 x f(x)  f(x) 1 2


  
f (x)g(x) f(x)g (x)
 
f(x) xf (x)
1
x

f (x)
f (x)

f (x)
συν f(x)
1
ημ x

f (x)
ημ f(x)
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-113-
f (x)
2
α x
α+1 x
α+1
α f (x)  f(x) 1 α 1
f (x)
α+1

1
x
2 x
f (x)
f(x)
2 f(x)
ημx συνx ημf(x)  f(x) συνf(x)
συνx ημx συνf(x)  f(x) ημf(x)
e x e x e f(x)  f(x) e
f(x) 1
f (x)
ln x
x
f(x)
ln f(x)
x α
x α
lnα
f(x) α  f(x)
f(x) α
lnα
f(x)g(x)f(x)g(x) f(x)g(x) f(x) x f(x) x f(x)
2
g (x)
f(x)
g(x)
2
x
f(x)
x
2 [f(x)]  f(x)  f(x) f(x)  f(x) g(x) [f(x) f(x)g(x)]e g(x) f(x)e
f(x)g(x) f(x)g(x)
2
1
x
 2
1
f(x)

2
1
συν x
εφx 2
εφf(x)
2
σφx 2
σφf(x)

4. 3. Σε πολλές περιπτώσεις μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει ξ(α,β) ώστε να ικανο-
ποιείται μία σχέση. Ξεκινάμε πάντα από τη σχέση που μας δίνεται, αντικαθιστούμε το
ξ με το x, και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε, χρησιμοποιώντας τους κανόνες παρα-
γώγισης, την παράγωγο μιας παράστασης ίση με το μηδέν. Στην παράσταση αυτή θέ-
τουμε ως συνάρτηση f και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle.
ΠΙΝΑΚΑΣ ΙI
Σχέση προς απόδειξη Ενέργειες Συνάρτηση για Θ. Rolle
1) fξ  κ f(x)κ  0[f(x)κx]  0 φ(x)  f(x)κx
-κx -κx
      
f (x) κf(x) 0 f (x) κf(x) 0
e e
 
-κx -κx -κx
    
          
     
          
f (x)(x κ) f(x) 0 f (x)(x κ) f(x)(x κ) 0
      
f (x)(x κ) f(x)(x κ) f(x)
        
ν-1 ν-1 x x
xf  (x)  νf(x)  0   xf  (x)   νf(x) 
0
    
x f (x) (x ) f(x) 0
x f (x) (x ) f(x) f(x)
    
0 0
    
f(x)
        
f (x)f (x) 0 2 f (x)f (x) 0

    
           
f (x) f(x) 0 2f (x) f (x) 2f (x) f(x) 0
  
            
( ν) ( ν 
1)
   
f (x) g (x)f (x) 0
f (ν) (x)e  g(x) e  g(x) g (x)f (ν 
1)
(x) 0
   
 
(ν 1) g(x) (ν 1) g(x)
   
f (x) e f (x) e 0
 
  

 
   lnx f(x)
  
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-114-
2) fξ  κf ξ
   
f (x) e f(x) e 0 f(x) e
0
κx φ(x) f(x)e 
3) f(ξ)(κ ξ)  f(ξ)
f (x)(κ x) f(x) 0 f (x)(κ x) f(x)(κ x) 0
f(x)(κ x) 0
φ(x)  f(x)(κ x)
4) f(ξ)(ξ κ)  f(ξ)
2
0 0
(x κ) x κ
f(x)
φ(x)
x κ


5) ν 1 f (ξ) νξ   
ν 1 ν ν f (x) νx 0 f (x) (x ) 0 [f(x) x ] 0              ν φ(x)  f(x) x
6) ξf(ξ)  νf(ξ)
ν ν
ν ν
2ν ν
x x
 
ν
φ(x)
x

7) f(ξ)f(ξ)  0   2
f (x) 0
2
φ(x)  f(x)
8) f(ξ)f(ξ)  0       2 2 2 2
f (x) f(x) 0 f (x) f (x) 0
2 2 φ(x)  f (x) f(x)
9) ( ν) ( ν 1) f (ξ) g (ξ)f (ξ)       
 (ν 1) g(x)

f (x)e 0
(ν 1) g(x) φ(x) f (x)e  
Ειδικότερα, έχουμε:
10)
2
f(ξ) f(ξ)  0 f(x) φ(x) f (x)e  
11)
f(ξ)
f (ξ) 0
ξ
φ(x) f(x)e
x

5. 4. Ορισμένες φορές στα δεδομένα μιας άσκησης δίνεται μια σχέση που ισχύει για τα ά-
κρα του κλειστού διαστήματος [α,β] , π.χ f(α) β  f(β) α. Αν αυτή τη σχέση την τρο-
ποποιήσουμε και ισχύουν βέβαια οι προϋποθέσεις, και πάμε τα α στο ένα μέλος και τα
β στο άλλο, και αντικαταστήσουμε το α ό το β με το x έχουμε την συνάρτηση όπου θα
εφαρμόσουμε το Θ. Rolle. Στην περίπτωση μας θα γράφαμε
β
β
 .
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-115-
f(α) f( )
α
 και η συνάρτη-
ση η που θα εφαρμόζαμε το Θ. Rolle θα ήταν η
f(x)
φ(x)
x
5. Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει, τουλάχιστον μία, ρίζα της εξίσωσης f(x)  0 , δοκι-
μάζουμε τους παρακάτω τρόπους :
 Προφανής ρίζα
 Θεώρημα Bolzano
 Σύνολο τιμών ( ελέγχουμε αν0f(Δ) )
 Απαγωγή σε άτοπο (έστω f(x)  0 για κάθε xΔ)
 Rolle σε παράγουσα της f (παράγουσα της f λέγεται συνάρτηση g τέτοια , ώστε g΄(x) =
f (x))
6. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση f(x)  0 έχει το πολύ μία ρίζα, απαγωγή σε άτοπο με
Rolle.
7. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση f(x)  0 έχει μοναδική ρίζα δοκιμάζουμε τους παρα-
κάτω τρόπους :
 Ύπαρξη και Μονοτονία
 Ύπαρξη και Απαγωγή σε άτοπο με Rolle
8. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση f(x)  0 έχει το πολύ δύο ρίζες, απαγωγή σε άτοπο
με δύο φορές Rolle .
9. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση f(x)  0 έχει δύο ρίζες σε διάστημα (α,β) , χωρίζουμε
το διάστημα σε δύο διαστήματα και εργαζόμαστε αναλόγως σε κάθε ένα απ’ αυτά.
10. Σε ασκήσεις όπου μας ζητείται να αποδεδειχθεί ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε
f(ξ)  0 ή (3) f (ξ)  0 και σε κάθε περίπτωση που μας δίνεται παράγωγο ανώτερης τάξης
τότε πιθανόν να είναι πολλαπλή εφαρμογή του θεωρήματος Rolle σε κατάλληλα δια-
στήματα.
11. Πολλές από τις περιπτώσεις όπου χρησιμοποιείται το Θεώρημα Rolle στην F , επιλύο-
νται με το Θεώρημα Bolzano στην f , ή με εύρεση συνόλου τιμών της f και εφαρμογή
θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών, ή βρίσκοντας προφανή ρίζα της f (αν υπάρχει).

6.    
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   , να δείξετε ότι η εξίσωση 4 2 αx βx  γ  0 έχει τουλάχι-
  (1). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 x (1,e) τέτοιο ώστε
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-116-
Ασκήσεις
[Εφαρμογή του θεωρήματος Rolle – γεωμετρική ερμηνεία] [Α’1, σελ 249]
1. Αν
2 x αx β ,x 0
f(x)
3 (γ α)x , x 0
   
να βρεθούν οι α,β, γ  ώστε να εφαρμόζεται το θεώρη-
μα Rolle στο [1,1] . Στη συνέχεια να βρεθεί η οριζόντια εφαπτομένη της f C .
2. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f(x)  0 , για κάθε x . Να
αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x σε δύο το πολύ σημεία.
3. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο
(α,β) και f(α)  f(β)  0 . Να αποδείξετε ότι:
α) για την συνάρτηση
f(x)
g(x)
x c


, c[α,β] υπάρχει 0 x (α,β) τέτοιο ώστε 0 g(x )  0 .
β) υπάρχει 0 x (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της f C στο   0 0 Μ x , f(x ) να διέρχεται
από το σημείο Α(c, 0) .
4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f΄(x)  0 για
κάθε x(α,β) . Να αποδείξετε ότι f(α)  f(β) .
[Ύπαρξη τουλάχιστον 1 ρίζας εξίσωσης] [Β’1,2,3, σελ 249-250]
5. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο
π
0,
2
έτσι ώστε
π
f 1 f(0)
2
. Να δείξετε
ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0
π
x 0,
2
έτσι ώστε: 0 0 f(x )  συνx .
6. Αν α,β, γ  με
α β
γ 0
5 3
στον μία ρίζα στο διάστημα (0,1) .
7. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β], η οποία διατηρεί πρόσημο στο [α,β].
Δίνονται, επίσης, οι μιγαδικοί αριθμοί 2
1 z  f (β)[f(α)1] 2i και 2
2 z  f (β)i . Αν
3
1 2 Re(z  z )  f (α) , να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)  0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διά-
στημα (α,β) .
8. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [2,2] με f(1)  0 και
2 g(x)  f(x)(x 4) , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 x (2,2) τέτοιο ώστε 0 g(x )  0 .
9. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [α,β](0,) δίνεται ότι lnf(β)lnf(α) βα. Να
αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε f(ξ)  f(ξ) .
10. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (0,) έτσι ώστε να ισχύει
1
f(1) f(e)
e
2
0 0 0 x f(x )1lnx  0 (2).

7. 11. Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α,β] με f(α)  f(β)  0 .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο , ώστε f(ξ)  f(ξ) g(ξ) .
12. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [1, e] και ισχύει f(1)  1,
2 f(2)  4 ln2, f(e)  e 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(1,e) τέτοιο , ώστε   2
   .

Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-117-
1
f ξ 2
ξ
13. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0,π] με f(x)  0 για κάθε x[0,π] .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ[0,π] τέτοιο ώστε
f (ξ)
σφξ 0
f(ξ)
  .
14. Έστω f μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με f(x)  0 για κάθε x και
 
 
f 2012
e
 .
f 2011
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)  f(x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (2011,2012) .
15. Έστω f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(β)  0. Να δείξετε ότι υ-
πάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε  
f ξ
f΄ ξ
α ξ


.
16. Δίνεται η συνάρτηση f : [α,β] , συνεχής στο α,β και παραγωγίσιμη στο α,β για
την οποία ισχύει f(α)  f(β) . Να δείξετε ότι υπάρχει ξα,β τέτοιο, ώστε να ισχύει:
ξ cfξ  f ξ , όπου ο πραγματικός c [α,β].
17. Δίνεται η συνάρτηση f : [α,β]  , συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για
την οποία ισχύει ν ν α f(α)β f(β)  0 . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε να ι-
σχύει: ξf(ξ)  νf(ξ) .
18. Δίνεται η συνάρτηση f : [α,β]  , συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για
την οποία ισχύει ν ν β f(α) α f(β)  0 .
Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: ξf(ξ)  νf(ξ) .
19. Δίνεται η συνάρτηση f : [α,β]  , συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για
την οποία ισχύει ημαf(α)  ημβf(β) .
Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: ημξ f(ξ)  συνξ f(ξ) .
20. Δίνεται η συνάρτηση f : [α,β]  , συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για
την οποία ισχύει συναf(α)  συνβf(β) .
Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: συνξ ff(ξ)  ημξ f(ξ) .
21. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : [α,β]  , συνεχείς στο [α,β] και παραγωγίσιμες στο
(α,β) και για τις οποίες ισχύει h(α) h(β) e f(α) e f(β)    .
Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: f(ξ)  h(ξ)  f(ξ) .
22. α) Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο . Αν ρ είναι η μεγαλύτερη ρίζα της
εξίσωσης f(x)  0, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)  0 έχει το πολύ μία ρίζα
μεγαλύτερη της ρ.
β) Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο . Αν ρ είναι η μικρότερη ρίζα της εξί-
σωσης f(x)  0, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)  0 έχει το πολύ μία ρίζα μι-
κρότερη της ρ.

8. [Ύπαρξη το πολύ 1 ρίζας εξίσωσης]
23. Να δείξετε ότι η εξίσωση x2  2x  2ln(x 1)  0 έχει το πολύ μία ρίζα.
24. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , όπου η εφαπτόμενη της γραφικής της παρά-
στασης f C να μην είναι παράλληλη προς την ευθεία ε: 2x  y 1  0 για κάθε x .
Να δείξετε ότι η f C και η ευθεία y  2x τέμνονται το πολύ σε ένα σημείο.
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-118-
[Ύπαρξη ακριβώς 1 ρίζας εξίσωσης]
25. Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: x f(x)  e , x και 0  f(x)  1, x[0,1] .
Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0 x
0 0 x (0,1) : f(x )  e 1.
[Ύπαρξη τουλάχιστον ν ριζών εξίσωσης]
Χωρίζω το δοσμένο διάστημα σε ν διαστήματα και αποδεικνύω την ύπαρξη τουλάχιστον 1
ρίζας σε κάθε ένα από αυτά.
[Ύπαρξη το πολύ ν ριζών εξίσωσης]
26. Να δείξετε ότι η εξίσωση x 2 e  αx βx  γ έχει μέχρι τρείς ρίζες στο .
[Ύπαρξη ακριβώς ν ριζών εξίσωσης] [Β’7, σελ 249]
27. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 xημx συνx  x έχει μόνο δύο ρίζες στο [π,π] .
28. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 4 3 2 x  x  5x αx β  0 με * α, βR και β  0 έχει δύο μόνο
ρίζες άνισες.
[Εύρεση της F από τη σχέση F(α)=F(β) μετατρέπουμε μια σχέση σε αρχικές συν-
θήκες]
29. Έστω ότι η συνάρτηση f : [α,β] (0  α β) είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f(x)  0
για κάθε x[α,β]. Αν     β α
f(α)  f(β) να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
0 x (α,β) τέτοιο ώστε 0 0 0 0 f(x ) lnf(x )  x f(x ) .

9. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Β’ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)
ΚΕΦ 2ο: Διαφορικός Λογισμός
Φυλλάδιο 22ο
Φυλλάδι555 1ο
§ 2.5β) Θεώρημα Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού)


Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-119-
Σημαντικές παρατηρήσεις
1. Για να ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και
οι δύο προϋποθέσεις του.
2. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε ένα κλειστό διάστημα
[α,β] , τότε, σε ότι αφορά στο συμπέρασμά του, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύ-
ναμες:
f(β) f(α)
 Υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 (α,β) τέτοιο ώστε f (x )
0
β α
 

.
 Η εξίσωση
f(β) f(α)
f (x)
β α
 

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β) .
[ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του Θ.Μ.Τ.]
 Η εξίσωση (βα)f(x)[f(β) f(α)]  0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοιχτό διά-
στημα (α,β) .
 Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 x (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής πα-
ράστασης της f στο σημείο 0 0 M(x , f(x )) να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου
A(α, f(α)) και B(β, f(β)) . [ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του Θ.Μ.Τ.]
3. Κατά τη διάρκεια της ευθύγραμμης κίνησης ενός σώματος πάνω σε έναν άξονα το χρο-
νικό διάστημα 1 2 [t , t ] υπάρχει μία τουλάχιστον χρονική στιγμή 0 1 2 t (t , t ) τέτοια ώστε
η ταχύτητα του κινητού να ισούται με την μέση ταχύτητά του.
[ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του Θ.Μ.Τ.]
4. Το αντίστροφο του Θ.Μ.Τ. δεν ισχύει κατ’ ανάγκη!
5. Το Θ.Μ.Τ. εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.
6. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [α,β] , τότε ισχύει το Θ.Μ.Τ. αφού η
παραγωγισιμότητα της f στο κλειστό διάστημα [α,β] καλύπτει και τη συνέχεια της f
στο διάστημα αυτό.
7. Αν ισχύουν για μια συνάρτηση f οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ και επιπλέον f(α)  f(β) , τό-
τε ισχύει και το θεώρημα του Rolle.
[Άρα το θεώρημα του Rolle είναι ειδική περίπτωση του ΘΜΤ]
8. Αν ισχύουν για μια συνάρτηση f οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ και επιπλέον f(α)  f(β) , τό-
τε υπάρχει ξ(α,β) με f(ξ)  0 . Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της γραφικής παρά-
στασης της f στο σημείο M(ξ, f(ξ)) έχει συντελεστή διεύθυνσης θετικό, και κατά συ-
νέπεια σχηματίζει με τον άξονα x’x οξεία γωνία.

10. 9. Αν ισχύουν για μια συνάρτηση f οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ και επιπλέον f(α)  f(β) , τό-
τε υπάρχει ξ(α,β) με f(ξ)  0 . Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της γραφικής παρά-
στασης της f στο σημείο M(ξ, f(ξ)) έχει συντελεστή διεύθυνσης αρνητικό, και κατά
συνέπεια σχηματίζει με τον άξονα x’x αμβλεία γωνία.

 .

 

 

Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-120-
Μέθοδοι
1. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ., συνήθως, όταν:
α) σε μια σχέση υπάρχει ο λόγος
f(β) 
f(α)
β 
α
ή διαφορά f(β) f(α) .
β) ζητάω πρόσημο της f(ξ) .
γ) μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρ-
τησης όπου η εφαπτομένη , στο σημείο αυτό είναι παράλληλη προς κάποια ευθεία
που διέρχεται από κάποιο σημείο.
δ) μια σχέση περιέχει 1 2 λ 1 2 λ f(x ), f(x ), ..., f(x ) με x ,x , ...,x (α,β) .
ε) μια συνθήκη περιέχει μόνο 1 2 1 2 f(x ), f(x ) με x ,x (α,β) και ισχύουν οι προϋποθέσεις
του ΘΜΤ στο διάστημα [α,β] . Τότε, συνήθως, εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στα διαστήμα-
τα [α,μ] και [μ,β] , όπου το μ είναι το μέσον του διαστήματος [α,β] , δηλ
α β
μ
2
στ) θέλουμε να δείξουμε ανισότητες.
2. Θ.Μ.Τ. – Μονοτονία f’ - Ανισότητες
α) Το ΘΜΤ δεν χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση εξισώσεων. Εξαίρεση απο-
τελούν ορισμένες εξισώσεις, όπως η x x x x 7  6  9  8 .
β) Όταν θέλουμε να δείξουμε διπλή ανισότητα, εξετάζουμε αν μπορούμε να την με-
τασχηματίσουμε σε ισοδύναμή της μορφής
f(β) f(α)
κ λ
β 
α
και έπειτα εφαρμό-
ζουμε το ΘΜΤ στο [α,β] .
γ) Ενώ, αν μας δίνεται προς απόδειξη ανίσωση της μορφής
f(β) f(α)
κ λ
β 
α
αντικα-
θιστούμε το
f(β) 
f(α)
β 
α
με f ξ από το Θ.Μ.Τ
3. Αν συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και συνεχής στο [α,β] και 0 x κάποιο χα-
ρακτηριστικό σημείο του (α,β) εφαρμόζουμε δύο φορές το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα
0 [α, x ] και 0 [x ,β] .
4. Έστω ότι μας ζητείται να δείξουμε ότι για μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [α,β] υ-
πάρχουν 1 2 ν ξ ,ξ , , ξ για τα οποία ισχύει 1 1 2 2 ν ν
f(β) f(α)
λ f (ξ ) λ f (ξ ) λ f (ξ ) κ
β α
      

ή 1 1 2 2 ν ν λ f(ξ ) λ f(ξ )  λ f(ξ )  κf(ξ) . Εκείνο που μας ενδιαφέρει είναι το πρώτο μέ-
λος και οι συντελεστές των f΄. Πρέπει εδώ να χωρίσουμε το αρχικό διάστημα [α,β] σε
ν- υποδιαστήματα. Ενεργούμε ως εξής

11. α) Χωρίζουμε, θεωρητικά, το διάστημα [α,β] σε ίσα υποδιαστήματα κ το πλήθος όπου
λ1  λ2   λν  κ και επομένως το καθένα θα έχει πλάτος

 .

   

   
  
  
 
 
 
 
   
  
 
, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξα,β τέτοιος ώστε f ξ  0 .
 
 
x +α , αν x 1
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-121-
β α
δ
κ
 Το πρώτο, πραγματικό διάστημα, από τα ν, είναι 1 α,α  λ δ
 Το επόμενο διάστημα είναι   1 1 2 α  λ δ,α  λ  λ δ κ.ο.κ
 Το τελευταίο διάστημα είναι   1 2 ν 1 α λ λ ... λ δ,β 
       
Στην πράξη είναι πιο απλό και δεν χρειάζεται να μαθαίνουμε τους τύπους αυτούς
απέξω. Αρκεί να θυμόμαστε μόνο ότι ο χωρισμός γίνεται σε διαστήματα με μήκος
ανάλογο προς τους συντελεστές 1 2 ν λ ,λ , ,λ !
β) Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. σε κάθε ένα από τα παραπάνω διαστήματα.
Βασικές Προτάσεις [χρειάζονται απόδειξη]
1. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα [α,β] και επι-
πλέον:
 f γνησίως αύξουσα στο [α,β] , τότε
f(β) f(α)
f (α) f (β)
β 
α
[Βλέπε Α’3, σελ 249]
 f γνησίως φθίνουσα στο [α,β] , τότε
f(β) f(α)
f (β) f (α)
β 
α
2. Έστω η f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β)
 Αν η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β) να δείξετε ότι
α+β f(α) f(β)
f
2 2
 Αν η f΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β) να δείξετε ότι
α+β f(α)+f(β)
f >
2 2
3. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] . Αν ισχύει
α β f α f β
f
2 2
Ασκήσεις
[Εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. – γεωμετρική ερμηνεία] [Α’2 σελ.249]
1. Δίνεται η συνάρτηση
2
3
f(x)
x -αx+β , αν x 1
 
. Αν ισχύει το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα
[1,2] τότε:
α) να βρεθούν οι τιμές των α, β.
β) να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο Μξ, f(ξ) με ξ[1,2] στο οποίο η εφαπτομέ-
νη είναι παράλληλη στην ευθεία ε : 2x  y  3  0

12. 2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [4,10] με f(4)  6 και f(10)  0. Να
αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός ξ(4,10) , ώστε η εφαπτομένη της f C στο σημείο
A(ξ, f(ξ)) να σχηματίζει γωνία 0 ω 135 με τον άξονα x’x.
3. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η f είναι συνάρτηση “1-1”, να δείξετε
ότι η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης f C δεν έχει άλλο κοινό
σημείο με την f C .

lnx
lim 1
 x 1
  
ln(x 1)
lim 1
x  
ln(x 
1)
lim 0
 x
   .
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-122-
[Λύση εξίσωσης με Θ.Μ.Τ.]
4. Να λυθεί η εξίσωση x x x x 7  6  9  8
[Απόδειξη ανισοτήτων με Θ.Μ.Τ.] [Α’3, Β’4,5 σελ.249-250]
5. Nα αποδειχθεί ότι: ημβ ημα  βα για κάθε α, β .
6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1,5] με f(1)  2 και f(x)  2 για κάθε
x(1,5) , να αποδείξετε ότι: 10  f(5)  6.
7. Αν f x  1για κάθε x και f(1)=0, να αποδείξετε f x  x  1 , για κάθε x .
8. Έστω f παραγωγίσιμη στο της οποίας η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα στο .
Να αποδείξετε ότι: f 2009  f 2012  f 2010  f 2011 .
9. Έστω συνάρτηση f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο με f γνησίως αύξουσα.
Να δείξετε ότι f(2x  3) f(2x  7)  f(2x  1) f(2x  5) για κάθε x .
10. Nα αποδειχθεί ότι: x x x  1  e  xe  1 , για κάθε x .
11. Να αποδείξετε ότι: x e  x  1, για κάθε x .
12. Να αποδείξετε ότι: lnx  x 1 , για κάθε x(0,) .
13. α) Nα αποδειχθεί ότι:
x 1
lnx x 1
x
   , για κάθε x0, .
β) Στη συνέχεια να δείξετε:
x 1


.
14. α) Nα αποδειχθεί ότι:
x
ln(x 1) x
x 
1
, x  1 και x  0.
β) Στη συνέχεια να δείξετε: i)
x 0

 και ii) x 3

15. Να αποδείξετε ότι:
e π
2 lnπ
π e
16. Να αποδείξετε ότι:     x 1 x e 1 x 1 e αν x 1, 2       .
[Διαμερισμός του [α, β] – Πολλαπλή εφαρμογή Θ.Μ.Τ.]
17. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,11] και τα f(1), f(6), f(11) είναι
διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
ξ(1,11) τέτοιο, ώστε f(ξ)  0 .

13. 18. Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει:

  , να δειχτεί ότι υπάρχουν
1 1
 
 
  
f ξ f ξ f ξ
  .
2
f ξ f ξ f ξ

Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-123-
f(2x)  2f(x), x .
α) Δείξτε ότι:
f(2) f(0)
f(1)
2
 .
β) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(0,2) τέτοιο, ώστε: f(ξ)  0 .
19. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με
f(α)  β και f(β)  α . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2 x ,x (α,β) τέτοια ώστε
1 2 f(x ) f(x )  2.
20. Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [0,3] , να αποδεί-
ξετε ότι υπάρχουν 1 2 3 ξ ,ξ ,ξ (0,3) με 1 2 3 f(ξ ) f(ξ ) f(ξ )  f(3) f(0) .
21. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f lnα  f lnβ
. Αν ισχύει lnα  lnγ  lnβ, με α,β,γ  0 και 2 γ β
e
α γ
1 2 ξ , ξ  με 1 2 f(ξ ) f(ξ )  0 .
22. Έστω η συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο με f(-1)  1 , f(1)  1 .
Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν
α) 1 2 1  ξ  ξ  1 ώστε 1 2 f(ξ ) f(ξ )  2 .
β) 1 2 1  κ  κ  1 ώστε
1 2
2
f (κ ) f (κ )
.
23. Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και η γραφική της παρά-
σταση διέρχεται από τα σημεία A(4,11) και B(19,5) . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν
πραγματικοί αριθμοί 1 2 ξ ,ξ τέτοιοι, ώστε     1 2 2f ξ  3f ξ  –2 .
24. Συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(x)  0
για κάθε x[α,β] . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ ,ξ ,ξ (α,β) τέτοια ώστε
1 2 0  
 
 
1 2 0
 
 
 
1 2 0
25. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία
Αα, f(α) , Bβ, f(β) και Γγ, f(γ) της γραφικής παράστασης f C , να δείξετε ότι:
α) Υπάρχουν δύο σημεία της f C στα οποία οι εφαπτόμενες είναι μεταξύ τους παράλ-
ληλες.
β) Υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f(ξ)  0 .
γ) Εξετάστε αν η συνάρτηση
f(x) f(α)
( )
x
x
α
φ 


ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θ. Rolle
για στο διάστημα [β, γ] .
δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(β,γ) με
f(ξ) f(α)
f (ξ)
ξ α
 

.
26. Έστω συνάρτηση f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με f(α)  f(β)  0 .
Αν γ(α,β) και f(γ)  0 , να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)  0 .

14. 27. Αν η συνάρτηση f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο και ισχύει f(x)  0, x , να
δείξετε ότι στην γραφική παράσταση f C δεν υπάρχουν τρία σημεία συνευθειακά.
[Διαμερισμός του [α, β] – Συνδυασμός με θεώρημα Bolzano]
Για την πολλαπλή εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. σε ένα διάστημα [α,β] , τα ενδιάμεσα σημεία μπο-
ρούν να προκύψουν και με εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano
28. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)  α , f(β)  β, α  β ,
να δείξετε ότι:
α) Υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)  α βξ .
β) Υπάρχουν 1 2 ξ ,ξ (α,β) με 1 2 ξ  ξ τέτοια ώστε 1 2 f(ξ )f(ξ )  1.
29. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) , για την οποία

λ κ κ 
λ
f ξ f ξ f ξ
 

 , αν f(0)  f(2) .
limf(x)

Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013
-124-
ισχύει: f(α)  f(β) . Να αποδείξετε ότι:
α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον   0 x  α, β ώστε  
   
0
κf α λf β
f x
κ λ


, κ, λ ομόσημοι.
β) Υπάρχουν   1 2 ξ ,ξ ,ξ α, β ώστε:
      1 2
  
, με 1 2 ξ  ξ .
[Συνδυασμός Θ.Μ.Τ. με θεώρημα Bolzano και θεώρημα Rolle]
30. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0,2]  , που είναι παραγωγίσιμη στο (0, 2).
α. Δείξτε ότι υπάρχει ξ(0,2) τέτοιο ώστε:
2f(0) 3f(2)
f(ξ)
5
β. Αν ξ  1, δείξτε ότι υπάρχουν 1 2 x ,x (0,2) με 1 2 x  x ώστε 1 2 2f(x )  3f(x ) .
γ. Αν για την 2 g(x)  f(x)αx βx εφαρμόζεται το Θ. Rolle στα διαστήματα [0,1] και
[1, 2] , βρείτε τα α, β.
δ. Αν f είναι παραγωγίσιμη στο (0,2) , δείξτε ότι υπάρχει p(0,2) ώστε
5f(p)  f(0) f(2) .
31. Συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] με f(α)  f(β) , f(α)  0
και f(β)  0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)  0 έχει ρίζα στο διάστημα (α,β) .
[Θ.Μ.Τ. και αρχικές συνθήκες - F(α)=F(β)]
32. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) , με f(x)  0 για κάθε x(α,β)
. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε:
(β α )f (ξ )
f(ξ ) f(β)
e
f(α)
 
 .
[Θ.Μ.Τ. και όριο]
33. Να δειχθεί αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη στο με f(x)  α , για κάθε x
, α  0 σταθερά, τότε
x
  .

15. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Β’ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)
ΚΕΦ 2ο: Διαφορικός Λογισμός
Φυλλάδιο 23ο
Φυλλάδι555 1ο
§ 2.6 α) Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού)
y
y=g(x)+c
O x
y=g(x)
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2013-2014
-125-
Σημαντικές παρατηρήσεις
1. Για το θεώρημα και το πόρισμα ισχύει και το αντίστροφο.
2. Γεωμετρική Ερμηνεία του πορίσματος
Από το διπλανό σχήμα προκύπτει, ότι αν οι f g C ,C έχουν σε
οποιοδήποτε x ενός διαστήματος Δ παράλληλες εφαπτόμε-
νες, τότε η γραφική παράσταση της μιας προκύπτει από μια
κατακόρυφη μετατόπιση, δηλαδή παράλληλα προς τον y’y,
της άλλης γραφικής παράστασης κατά c μονάδες, προς τα
πάνω αν c  0 ή προς τα κάτω αν c  0 .
3. To παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμα ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση
διαστημάτων.
Προσοχή: ισχύουν, όμως, σε κάθε διάστημα ξεχωριστά. [βλέπε σχόλιο σελ.252]
4. Αν ισχύει 1 2 f(x)  g(x), xΔ Δ , τότε:
 1 1 f(x)  g(x) c , αν xΔ και
 2 2 f(x)  g(x) c , αν xΔ
5. Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο που όλες διαφέρουν κατά μία
σταθερά c, ενώ, στα σημεία με την ίδια τετμημένη 0 x , οι εφαπτόμενες των γραφικών
παραστάσεων, είναι παράλληλες.
Βασικές Προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη)
1. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f(x)  κf(x) , για κάθε x , και κ , τότε υπάρχει
c σταθερά έτσι ώστε κ x f(x) c e    , για κάθε x .
Ειδική περίπτωση για κ = 1 [εφαρμογή σελ 252]
Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f(x)  f(x) , για κάθε x τότε x f(x)  ce , όπου c σταθερά.
2. Αν, με εξαίρεση ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων, σε όλα τα υπόλοιπα σημεία του
διαστήματος Δ έχουμε f(x)  0 , και η f είναι συνεχής στο Δ, τότε η f είναι σταθερή στο
Δ.
22

16. g(x) c , x Δ
  
 
  
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2013-2014
-126-
Μέθοδοι
1. Σταθερή συνάρτηση – Εύρεση τύπου
Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι σταθερή σ’ ένα διάστημα Δ και στη συ-
νέχεια να βρούμε τον τύπο της ακολουθούμε την εξής διαδικασία.
 Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο Δ και f(x)  0 για κάθε εσωτερικό σημείο
xΔ.
 Συμπεραίνουμε ότι η f είναι σταθερή στο Δ, δηλαδή f(x)  c για κάθε xΔ.
 Υπολογίζουμε τη σταθερά c και στη συνέχεια βρίσκουμε τον τύπο της f.
2. Εύρεση του τύπου της συνάρτησης από συναρτησιακές σχέσεις
 Παραγωγίζουμε ως προς τη μία από τις δύο μεταβλητές.
 Ορισμένες φορές παραγωγίζουμε σταδιακά και ως προς τις δύο μεταβλητές.
 Πρέπει να προσέξουμε αν η συνάρτηση που μας δίνει είναι παραγωγίσιμη.
Αν όχι πρέπει να πάμε υποχρεωτικά με τον ορισμό της παραγώγου
3. Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους – Εύρεση τύπου
Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες δίνεται μια σχέση στην οποία εμφανίζονται ενδε-
χομένως οι συναρτήσεις f, f, f και κάποιες άλλες παραστάσεις που περιέχουν τη με-
ταβλητή x.
Στις ασκήσεις αυτές συνήθως ακολουθούμε την εξής διαδικασία.
 Αξιοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης αθροίσματος, γινομένου, πηλίκου ή σύν-
θετης συνάρτησης καταλήγουμε τελικά σε μια σχέση της μορφής f(x)  g(x)
για κάθε xΔ.
[Σχόλιο: Στην προσπάθεια να εμφανίσουμε ίσες παραγώγους, βοηθητικός είναι και ο
πίνακας των παραγουσών που παρουσιάσαμε σε προηγούμενο φυλλάδιο]
Αν το Δ είναι διάστημα, τότε f(x)  g(x) c, xΔ.
Αν 1 2 Δ  Δ UΔ , δηλαδή το Δ είναι ένωση διαστημάτων, τότε: 1 1
2 2
f(x)
g(x) c , x Δ
.
 Υπολογίζουμε τη σταθερά c ή τις σταθερές 1 2 c , c και στη συνέχεια βρίσκουμε τον
τύπο της f.
4. Όταν δίνεται f(x)  0 , υποψιαζόμαστε ln(f(x)) .
5. Απόδειξη ταυτοτήτων
Περιλαμβάνει ασκήσεις που αφορούν την απόδειξη ταυτοτήτων. Στις ασκήσεις αυτές
συνήθως ακολουθούμε την εξής διαδικασία.
 Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ταυτότητας σ’ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο,
αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό.
 Θεωρούμε συνάρτηση f με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της ταυτότητας.
 Δείχνουμε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή με τιμή 0.

17.    , για κάθε * x .
  
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2013-2014
-127-
Ασκήσεις
[Σταθερή συνάρτηση – Εύρεση τύπου] [Α’1, B’1 σελ.256-7]
1. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g :  με f(x)  g2(x) και
2 g(x)  f (x),x .
α) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση 3 3 h(x)  f (x)g (x) είναι σταθερή στο .
β) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης h, αν f(0)  1 και g(0)  2 .
2. Έστω f :  παραγωγίσιμη με f(x)  2f(x) , για κάθε x για την οποία f(0)  1 και
f(x)  0 , για κάθε x . Nα δειχθεί ότι:
α) Η συνάρτηση G(x)  lnf(x)2x είναι σταθερή στο .
β) 2x f(x)  e , για κάθε x .
3. Αν για τη συνάρτηση f , ισχύει f(x)  0 για κάθε x(0,1)(1,2) και η συνάρτηση είναι
συνεχής στο [0,2], να δείξετε ότι η f είναι σταθερή στο [0,2].
4. Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  με
f(x)
f (x) 2
x
5. Έστω μια συνάρτηση f η οποία για κάθε x,y ικανοποιεί τη σχέση 2 f(x)f(y)  (x  y) .
Να αποδείξετε ότι :
α) 2 f(x)f(y)  (x  y) για κάθε x,y .
β) Η συνάρτηση f είναι σταθερή στο .
6. Έστω f :  δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία f(x)f(x)  0, για κάθε x .
α) Αν f(0)  f(0)  0, να δειχθεί ότι:
i) H συνάρτηση 2 2 h  (f)  f είναι σταθερή στο .
ii) f(x)  0 , για κάθε x .
β) Αν g(x)g(x)  0 με g(0)  0 ,g(0)  1 να δειχθεί ότι g(x)  ημx
[Εύρεση του τύπου της συνάρτησης από συναρτησιακές σχέσεις]
7. Nα βρεθεί η συνάρτηση f :  για την οποία είναι f(3x-1)  2x 1 και f(2)  5.
8. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο , f(0)  2 και ισχύει 5 f(x  x)  6x , για κάθε x ,
α) να δειχθεί ότι 5 6 2 f(x  x)  5x  3x 2 .
β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f C στο σημείο Α2, f(2) .
9. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  για την οποία ισχύει:
1
f (x y) f(x)f(y)
2
για κάθε x,y . Αν η ευθεία ε: y  2x  2 είναι εφαπτομένη της f C στο σημείο
Μ0, f(0) , να βρεθεί:
α) το f(0) ,
β) ο τύπος της f.

18. 10. Δίνεται η συνάρτηση f:(0,) και παραγωγίσιμη στο 1 με f(1)  1.
Αν ισχύει f(xy)  y f(x) x f(y) , για κάθε x,y  0 , να αποδείξετε ότι:
   για κάθε x  0 .
  , στο σημείο A(1, γ) ,
2x
  
f (x)
 
 
 
 
   
 
g(x)
h(x) x
  είναι σταθερή στο και να βρεθεί η g.
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2013-2014
-128-
α)
f(x)
f (x) 1
x
β) f(x)  xlnx , με x  0 .
11. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f(x  y)  f(x)f(y)
για κάθε x,y . Να βρεθεί ο τύπος της αν f(0)  1.
12. Έστω f :  παραγωγίσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα f(x y)f(x  2y)  2f(x) 3y
για κάθε x,y . Αν η f C εφάπτεται με τη g C , όπου
1
g(x) 5
x
τότε:
α) να αποδειχθεί ότι f(x)  1 για κάθε x ,
β) Να βρεθεί ο τύπος της f.
[Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους – Εύρεση τύπου]
13. Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν:
α) x f (x) 3συνx 4ημ2x e     και f(0)  5
β) 2 2
(x 
1)
και f(0)  1
γ) 2 f(x)  2xσυνx  x ημx και f(0)  1
δ) xf(x)f(x)  2 ,x  0 και f(1)  0
ε) f συνεχής στο
π
0,
2
και f(x) σφxf(x)  ημx με
π π
f 1007
6 12
στ) f(x)  2f(x) , για κάθε x , f(0)  1.
14. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (0,) με f(x)  0 . Να βρείτε τον τύπο της, αν,
επιπλέον, γνωρίζετε ότι ισχύουν:
α) η κλίση της εφαπτομένης σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης είναι ανάλογη
με το πηλίκο
x
f(x)
,
β) η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(1,1) και
γ) η εφαπτομένη στο Α έχει κλίση ίση με 1.
15. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f(0)  f(0)  1 και τέτοια ώστε:
2 f(x)f(x)  6x 3x για κάθε x . Να βρείτε τη συνάρτηση f(x) .
16. Έστω f :  δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία x f(x) 2f(x) f(x)  e , για κάθε
x . Αν g(x)  f(x)f(x) και g(0)  1:
α) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση x
e
β) Να προσδιορισθεί η συνάρτηση f όταν f(0)  1

19. 17. Nα βρεθεί η συνάρτηση f :  για την οποία ισχύουν: f(x)  2xf(x) 2x και f(0)  1.
18. Έστω συνεχής συνάρτηση f :  με 2 (x  2)f(x)  2x  5x  2 , για κάθε x και
  για κάθε x
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2013-2014
-129-
f(0)  1. Να βρείτε την f.
19. Να βρείτε συνάρτηση f ορισμένη στο {2} τέτοια, ώστε 2 (x  2)f(x)  2x  5x  2 , για
κάθε x {2} , f(0)  1 και f(3)  7 .
[Βασική Πρόταση (αν f΄(x)  f(x) , τότε x f(x)  ce ) – Εύρεση τύπου]
20. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις * f,g :  με f(x)g(x)f(x)g(x)  f(x)g(x) ,
για κάθε x και f(0)  g(0)  0 . Nα δειχθεί:
α) x f(x)  e g(x) , για κάθε x
β) g(x)  0 , για κάθε x .
[Συνδυαστικά θέματα]
21. Μια συνάρτηση f :  δύο φορές παραγωγίσιμη έχει την ιδιότητα:
f(x)  f(x), x και f(0)  1, f(0) 1. Να αποδείξετε ότι:
α) x f(x)f(x)  2e , x .
β) x f(x)  e , x .
22. Έστω f :  δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(0)  2f(0)  1 και
2
f(x)f(x)  f(x)  f(x)f(x), x . Να αποδειχθεί ότι:
1 α) f(x)f (x) e
x
2
β) 2 x f (x)  e , x .
γ)
x
f(x)  e 2 , x .
23. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  για την οποία ισχύει: f(x)f(x)  1 (1)
για κάθε x . Αν f(0)  1, να αποδείξετε ότι:
α) f(x)f(x)  1 για κάθε x .
β) f(x)f(x)  1 για κάθε x .
γ) x f(x)  e για κάθε x .

20. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Β’ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)
ΚΕΦ 2ο: Διαφορικός Λογισμός
Φυλλάδιο 24ο
Φυλλάδι555 1ο
§ 2.5 - 2.6 α) Ερωτήσεις Επανάληψης
Ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος
1. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και υπάρχει x0 (α,β) ώστε
f(x h) f(x)
lim
 h
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2013-2014
-130-
0 f(x )  0 , τότε f(α)  f(β) .
2. Αν η f συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)  f(β) , τότε δεν υπάρχει
0 x (α,β) ώστε 0 f(x )  0 .
3. Αν f(x)  f(x), τότε x f(x)  e .
4. Το Θεώρημα Rolle μας προμηθεύει μία μέθοδο εύρεσης των ριζών της εξίσωσης f(x)  0 .
5. Αν δεν ισχύει μία τουλάχιστον από τις τρεις προϋποθέσεις του Θ. Rolle σ’ ένα διάστη-
μα, τότε δεν εφαρμόζεται αυτό.
6. Αν μία συνάρτηση f δεν ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο [α,β] , τό-
τε δεν υπάρχει ρίζα της f(x)  0 στο (α,β) .
7. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και f(α) f(β)  0 , τότε υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο,
ώστε f´(ξ)  0 .
8. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και ισχύουν f(α)  f(β) και f(x)  0 για κάθε
x(α,β) , τότε η f δεν είναι συνεχής στο [α,β] .
9. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη.
Τότε υπάρχει διάστημα [α,β] στο οποίο η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. Rolle.
10. Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το συμπέρασμα του Θ. Rolle στο [α,β] ,
χωρίς να ισχύουν όλες οι υποθέσεις του.
11. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και άρτια, τότε υπάρχει σημείο της Cf
που η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στον άξονα x´x.
12. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η Cf τέμνει τον x´x σε τρία σημεία,
τότε η εξίσωση f(x)  0 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις.
13. Αν f(x)  0 για κάθε x , τότε η εξίσωση f(x)  0 έχει το πολύ δύο ρίζες.
14. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα [α,β] , τότε ισχύουν οι υ-
ποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής για την f.
15. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και
h 0
 
 για κάθε x(α,β) , τότε υ-
πάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε: f(β) – f(α)  f(ξ)(β–α) .
16. Για μία συνάρτηση f δίνεται ότι f(x)  0 , για κάθε * x . Τότε η f είναι σταθερή στο * .
17. Αν για μία συνάρτηση f εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle στο διάστημα [α,β] , τότε
εφαρμόζεται και το θεώρημα Μέσης Τιμής σε αυτό.

21. 18. Η έκφραση ότι μια εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες σ’ ένα διάστημα σημαίνει ότι
δεν μπορεί να έχει τρεις ή περισσότερες ρίζες στο διάστημα αυτό.
19. Αν f :A και f´(x)  0 για κάθε xΑ, τότε f(x)  c στο Α.
20. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε * x είναι f ′(x) = 0,
τότε συμπεραίνουμε ότι η f είναι σταθερή στο .
  , τότε f(x)  lnx  c .
c , x α
 

  
  
f x β , x α
c , x α
x ξ

x x 
x
  Γ: 1
1
     Ε: 1 2 1 2 ln(x  x )  ξ (x  x )
Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2013-2014
-131-
21. Αν για μία συνάρτηση f είναι
1
f (x)
x
22. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς
στο Δ και f(x)  g(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε ισχύει f(x)  g(x) για κά-
θε xΔ.
23. Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα ο-
ποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
24. Αν για την f ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [α,β] , τότε η γραφική της
παράσταση έχει σ' ένα τουλάχιστον σημείο της έχει οριζόντια εφαπτομένη.
Ερωτήσεις Πολλαπλών Επιλογών
1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) , τότε για να
υπάρχει οριζόντια εφαπτομένη της Cf σε σημείο της με τετμημένη ξ(α,β) αρκεί
ακόμα να ισχύει μια από τις σχέσεις:
 Α: f(α)f(β)  0  Β: f(α)  f(β)  Γ: f(α)  f(β)
 Δ:
f(β) – f(α)
f (ξ)
β α
 

 Ε: κανένα από τα παραπάνω
2. Αν για την συνάρτηση f :  ισχύει ότι f´(x)  0 για κάθε x – {α} , τότε:
 Α: η f είναι σταθερή  Β: η f είναι γνησίως αύξουσα
 Γ: η f είναι γνησίως μονότονη στα ,α και α,
 Δ:  
1
2
 Ε: f x  c , για x  α
3. Αν η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης f :  σε κάθε σημείο x ισούται με την
τιμή της στο x, τότε:
 Α: f(x)  0  Β: f(x)  c  Γ: f(x)  clnx
 Δ: x f(x)  ce  Ε: f(x)  x
4. Δίνεται η συνάρτηση f(x)  c με πεδίο ορισμού το [α,β] . Το πλήθος των σημείων
ξ(α,β) που προκύπτουν από το Θεώρημα Rolle είναι:
 Α: 1  Β: 2  Γ: το πολύ 2  Δ: κανένα  Ε: άπειρα
5. Το θεώρημα Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση f(x)  lnx , για κάθε 1 2 x , x  0 εξασφαλίζει
ένα ξ μεταξύ των 1 2 x , x ώστε να ισχύει:
 Α: 1
2 1 2
ln
x x 
x
 Β: 1 1 2
2
ln
x ξ
1 2
2
x
ln ξ (x x )
x
  
 Δ: 1 2 1 2
ln(x x ) (x x )
ξ