trabajo de matemática básica

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Polar Para La Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Estado Lara
Unidad Nro. 1
Expresiones algebraicas, factorización y Radiación.
Estudiante: Luisanny Ocanto.
Cédula de Identidad: 30.591217
Curso: Matemática Básica
Sección: CO0101
Docente: Prof. María Carruido
Febrero, 2021.

2. Suma de expresiones algebraicas:
Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones
algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).
Ejercicios
1. Hallar la suma de 6a y 9a
6a+9a= 15a.
2. Hallar la suma de 6a; 7a
6a+ 7a= 13a
Regla para sumar
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a
continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos
semejantes si los hay.
Suma de monomios: Lo escribimos a continuación de otros con sus
propios signos, el orden de los sumandos no altera la suma. Cuando algún
sumando es negativo suele incluirse dentro de un paréntesis para indicar la
suma.
Ejercicios
a) A 3x2y sumarle-5x2y
3x2y+( -5x2y) = 3x2y-5x2y= -2x2y
b) Sumar 3x; -5y; -6x; -2y ;x ; 4y
3x+(-5y) + (-6x) +(-2y)+ x+4y = 3x-5y-6x-2y+x+4y
(3x-6x+x)+(-5y-2y+4y) = - 2x + (-3y) = -2x -3y
Suma de polinomios: Para realizar la suma de dos o más polinomios,
se debe sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales,
es decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los
términos a sumar.
Ejercicios
Sumar:
1. a4-b4; - a3b+a2b2 – ab3; -3a4+5a3b-4a2b2;-4ab3
a4-b4 –a3b+a2b2-ab3-3a4+5a3b-4a2b2-4ab3
= -2a4-b4+4a3b-3a2b2-5ab3.
2. 3x2+xy-y2; -5x2-3y2;2xy+y2;4x2-3xy-2y2+5
3x2+xy-y2-5x2-3y2+2xy+y2+4x2-3xy-2y2+5
=2x2-5y2+5.

3. Resta de expresiones algebraicas
Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos
(minuendo) y uno de ellos (sustrayendo), hallar el otro sumando (resta o
diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la
diferencia tiene que ser el minuendo.
Ejercicios
1. A 13mn restarle 16mn
13mn-16mn= -3mn
3. Restar 6x de 9x
-6x+9x= 3x
Regla general para restar
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el
sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes,
si los hay.
Resta de monomios: En la resta de monomios, de lo que se trata es de
realizar una reducción entre monomios semejantes, es decir, con la misma
composición de variables, no pudiendo realizarse en caso contrario, siendo el
resultado de esta operación, otro monomio.
Ejercicios
1. Restar 20m de 5m
-20m+5m= -15m
2. De xy restar 9xy= -6xy
Resta de polinomios: La resta de polinomios consiste en sumar al
minuendo el opuesto del sustraendo. También podemos restar
polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los
monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
Ejercicios
1. De 7x+3y restar 5x-4y
7x+3y – (5x+4y) = 7x+3y -5x -4y = 2x -y
2. De 4a restar 3a+6b=
4ª – (3ª + 6b) = 4a – 3a – 6b = a-6b

4. Valor numérico de expresiones algebraicas
Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se
obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después
las operaciones indicadas.
Hallar el valor de las siguientes expresiones si:
a=3, b=4, c=6
1. a+b= 3+4= 7
2. ac= a.c = 3.6= 18
Valor numérico de expresiones simples:
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
a= 2, b= 3 m=
𝟏
𝟐
n=
𝟏
𝟑
1) 4ab= 4.2.3= 24
2) b2mn= 32.
1
2
.
1
3
= 9.
1
6
=
9
6
Valor numérico de expresiones compuestas:
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
a= 3, b= 4, c=
𝟏
𝟑
d=
𝟏
𝟐
m= 6 n=
𝟏
𝟒
1.
𝒂𝒃
𝒏
+
𝒂𝒄
𝒅
-
𝒃𝒅
𝒎
=
𝟑.𝟒
𝟏/𝟒
+
𝟑.𝟏/𝟑
𝟏/𝟐
.
𝟒.𝟏/𝟐
𝟔
=
12/1
1/4
+
1/1
1/2
-
2
6
= 48+2-
1
3
=
50
1
-
1
3
=
150−1
3
=
149
3
= 49
2
3

5. Multiplicación y división de expresiones algebraicas
Multiplicación de expresiones algebraicas
Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas
multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto,
que sea respecto del multiplicando, es valor absoluto y signo, lo que el
multiplicador es respecto de la unidad positiva.
El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.
El orden de los factores no altera el producto, esta propiedad, demostrada en
aritmética, se cumple también en algebra. Los factores de un producto
pueden agruparse de cualquier modo.
Casos de la multiplicación
Distinguiremos 3 casos: Multiplicación de monomios, multiplicación de un
polinomio por un monomio. Multiplicación de polinomios.
Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes y a
continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden
alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los
exponentes que tenga en los factores.
Ejercicios
1. 6x2.4x5 = 24x7
2. 5x4y3(-6x5) = 30x9y3
Multiplicación de un polinomio por un monomio: Multiplicación de un
Polinomio por un monomio y Producto de un Polinomio por otro Polinomio.
Para continuar con la multiplicación de polinomios, se coloca
el polinomio como multiplicando y el monomio como multiplicador y
seguidamente multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.
Ejercicios
1. 6x3(3x4+4y4)
= 18x7+24x3y4
2.
−𝟔
𝟓
x3(
𝟐
𝟑
x4-
𝟑
𝟔
y4)
= −
12
15
x7+
18
30
x3y4

6. Multiplicación de polinomios: El producto de polinomios se obtiene
multiplicando cada término del primero por el segundo y reduciendo luego los
términos semejantes. De este modo obtenemos el polinomio resultante. Así,
comprobamos, así como nos da la misma solución por ambos métodos.
Ejercicios
1. (4x+3y) (6x-5y)
= 24x2 – 20xy + 18xy – 15y2
= 24x2 – 2xy – 15y2
2 · 3 (2x³ − 3x² + 4x − 2) =
6x³ − 9x² + 12x – 6
División de expresiones algebraicas
Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores
(Dividendo y uno de los factores (Divisor), hallar el otro factor (Cociente). De
esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce
el dividendo.
División de monomios: Se dividen los coeficientes y las literales se
restan junto con sus exponentes.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el
cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las
potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes.
Ejercicios
Dividir 30a3 ÷ 3a–3, representado será:
30a33a–3 =
30a33a–3 (a3)(a3) =
30a(3 + 3)3a(–3 + 3) =
30a63a0 = 10a6
Dividir 6a2b2 entre –2ab, se tendrá:
6a2b2–2ab =
6a2b2–2ab
(a–1b–1)(a–1b–1) =
6a(2 – 1)b(2 – 1)–2a(1–1)b(1–1) = –3ab

7. División de polinomio entre monomio: Se realiza dividiendo cada uno
de los factores del polinomio entre el factor del monomio.
Ejercicios
1. 2x4 – 4x3 + 8x2 – 12x =
2x
2x4 - 4x3 + 8x2 - 12x =
2x 2x 2x 2x
X3 - 2x2 + 4x - 6
2. 2x6 - 4x4 + x2 =
2x2
2x6 - 4x4 + x2 =
2x2 2x2 2x2
X4 - 2x2 + ½
División de polinomios: Para dividir un polinomio entre otro polinomio
es necesario seguir los siguientes pasos.
1. Se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y alfabético.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del
divisor.
3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto
obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.
4. Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor
exponente que el dividendo.
Ejercicios
D(x) = 2x2 + x -2 d(x) = X
= 2x2 + x -2 / 2
= 2x + 1

8. Producto notable de expresiones algebraicas
Productos notables es el nombre que reciben
multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede
escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen
ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de
muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por
ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un
producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Binomio al cuadrado: Para elevar un binomio al cuadrado (es decir,
multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el
doble del producto de ellos.
Ejercicios
A) (5a + 2)2 = 25a2 + 20a + 4
B) (2a + 3)2 = 4a2 + 12a + 9
C) (3ab + 4c)2 = 9a2b2 + 24abc + 16c2
D) (5a2b + 3b)2 = 25a4b2 + 30a2b2 + 9b2
Producto de dos binomios con un término común: Cuando se
multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término
común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y
al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejercicios:
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
(a + 5) (a + 8) =
a2 + ( 5 + 8) a + (5)(8)
(a + 5) (x + 8) = a2 + 13a + 40.

9. Cuadrado de la diferencia de dos términos: El multiplicar (a –
b)(a – b) equivale a elevar al cuadrado (a – b) y al realizar la
operación se tiene:
(a – b)2 = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2
Como se puede observar es el mismo procedimiento que la
suma de dos cantidades, únicamente se debe tener cuidado en el
signo.
Ejercicios:
1. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
2. (2x – 2y)2 = 4x2 – 8xy + 4y2
3. (5v – 4w)2 = 25v2 – 40vw + 16 w2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades: Sea
el producto (a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2.
En este caso el término medio se anula y el resultado es el
primer término elevado al cuadrado menos el segundo término
elevado al cuadrado.
Ejercicios:
1 (a – x)(x + a) =
(a – x)(a+x) = a2 – x2
2 (1 – 3ax) (3ax + 1)
= (1 – 3ax) (1 + 3ax)
= 1 – 9a2x2
Producto de dos binomios conjugados: Dos binomios conjugados se
diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar
los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el
signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
Ejercicios:
(a + c)*(a – c) = a2 – c2
a2 – ac + ac – c2
a2 – c2
(4x + 8y2)*(4x – 8y2)
= 16x2 – 64y4
= 16x2 – 32xy2 + 32xy2 – 64y4
= 16x2 – 64y4

10. Polinomio al cuadrado: Para elevar un polinomio de cualquier cantidad
de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se
añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Ejercicios:
(3a + b - c)2 = (3a)2 + b2 + (-c)2 + 2(3a) (b) + 2 (3a)(-c) + 2(b)(-c)
= 9a2 + b2 + c2 + 6ab – 6ac – 2bc
(2a2 – 3a + 1)2 = (2a2)2 + (-3a)2 + (1)2 + 2(2a) (-3a) + 2 (2a2)(1)
= 4a2 + 9a2 + 1 -12a3 + 4ab – 6ª
= 4ª4 – 12a3 + 13a2
Binomio al cubo: Para calcular el cubo de un binomio se suman,
sucesivamente:
 El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero
por el segundo.
 El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
 El cubo del segundo término.
Ejercicios:
(a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b)
= (a + b)2 (a + b)
= (a2 + 2ab + b2) (a + b)
= (a2 + 2ab + b2)a + (a2 + 2ab + b2) b
= a3 + 2ª2b + ab2 + a2b + b3
(2x + 3y)3 = (2x)3 + 3 (2)2(3y) + 3 (2x) (3y)2 + (3y)3
= 23(x3) + 3 (22x2) (3y) + 3 (2x) (32y2) + 33y3
= (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
Factorización por Productos Notables.

11. Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo
producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a
dicho polinomio como el producto de dos o más factores.
• Factorización por factor común: se escribe el factor común (F.C.)
como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los
coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el
F.C.
CASO I: Factor común monomio:
Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Escribimos el factor común a como
coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos
de dividir a2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos: a2 + 2a = a (a + 2)
Ejercicios:
1. Descomponer 10b - 30ab.
10b ÷ 10b = 1 y - 30ab2 ÷ 10b = - 3ab, y tendremos:
10b - 3ab2 = 10b (1 - 3ab)
2. Descomponer 10a2 - 5a + 15a3
10a 2 - 5a + 15a 3 = 5a (2a - 1 + 3a 2)
CASO II: Factor común polinomio:
Descomponer x (a + b) + m (a + b)
Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b), por lo
que ponemos (a + b) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual
escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre
el factor común (a + b), o sea:
X (a + b) = x y m (a + b) = m y obtendremos:
(a + b) (a + b)
X (a + b) + m (a + b) = (a + b) (x + m)
Ejercicios:
1. Descomponer: 2x (a – 1) – y (a – 1).
2x (a – 1) = 2x y -y (a – 1) = -y
(a – 1) (a – 1)
2x (a – 1) –y (a – 1) = (a – 1) (2x – y)
CASO III: Factor común por agrupación de términos:

12. Descomponer en factores ax + bx + ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el
factor común y. Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos
en otro, precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+):
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x (a + b) + y (a + b)
= (a + b) (x + y)
Ejercicios:
1. Factorar 3m2 – 6mn + 4m – 8n.
3m2 – 6mn + 4m – 8n = (3m2 – 6mn) + ((4m – 8n)
= 3m (m – 2n) + 4(m – 2n)
= (m – 2n) (3m + 4)
2. Factorar: 2x2 – 3xy – 4x + 6y.
2x2 – 3xy – 4x + 6y = (2x2 – 3xy) - (4x – 6y)
= x (2x – 3y) -2 (2x – 3y)
= (2x – 3y) (x -2)

13. Bibliografía:
J. Baldor (s/f). Algebra. Disponible en:
http://guao.org/sites/default/files/biblioteca/Algebra%20de%20Baldor.pdf
http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro1/154_divisin_de_ex
presiones_algebraicas.html
https://yosoytuprofe.20minutos.es/2018/12/14/productos-notables-formulas/