1. Alumna: Estefany Samuel
Prof: Nelson Torcate
Sección: 100
Turismo
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica territorial “Andrés Eloy Blanco”
2. SUMA, RESTA Y VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Suma:
La suma o adición es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o más sumados.
Monomios:
Estas expresiones algebraicas son del tipo (a×n) en donde a representa un número real que se
denomina coeficiente, y x es una indeterminada, es decir un elemento no conocido al que llanos
parte literal. Ejemplo:
Polinomios:
Es una expresión algebraica que consta de más de un termino. Se expresan de la forma : a+b+c,
a+×-y estos se clasifican en binomios, es decir un polinomio que tiene dos términos. Ejemplo:
Trinomios:
Son polinomios que tienen tres términos. Ejemplo: a+b+c
2𝑥4
+ 3𝑥4
= 5𝑥4
3𝑥2
+ 4𝑥2
= 7𝑥2
9𝑥2
𝑦2
+ 13𝑥2
𝑦2
= 22𝑥2
𝑦2
𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 = (5𝑥3
+ 7𝑥2
− 2𝑥) + (3𝑥3
− 3𝑥2
+ 𝑥)
𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 = 5𝑥3
+ 3𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥2
− 2𝑥 + 𝑥
𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 = 83
+ 4𝑥2
− 𝑥
𝑎2 + 11𝑎 + 30 = 𝑎 + 6 (𝑎 + 5)
𝑦𝑥2
+ 3𝑦 + 2 = (y − 1)(y − 2) 𝑥2 − 𝑥 − 56 = 𝑥 + 7 (𝑥 − 8)
3. Es la operación inversa de la suma esta es la operación de comparación, en la que se
establece la diferencia entre dos polinomios, o bien lo que le falta a un polinomio para llegar
a ser igual al otro. Ejemplo:
Valor numérico de expresiones algebraicas:
Es él resultado final que se obtiene al sustituir los valores de todas las incógnitas que
aparecen en la expresión. Por ejemplo : si él valor de x es 5 entonces, él valor de 2x es 10,
esto es: 2x= 2•5= 10
Ejemplo: calcular el valor numérico para: x+5
Cuando x=2
sustituimos en la expresión: x+5=2+15=17
Él valor numérico de la expresión es: 17
3𝑥 − 4𝑥 = −𝑥 −3𝑥 − −4𝑥 = −7𝑥 2𝑥 − (2𝑥2) = 2𝑥 − 2𝑥2
𝑎 = 2 𝑏 = 3
3𝑎 + 2𝑏
𝑎 = 7 + 𝑐 = −9
−5𝑎 + 4𝑐
𝑎 = −6 𝑏 = 2 𝑐 =
1
2
𝑑 =
3
4
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
4. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación de monomios y polinomios consiste en realizar una operación entre
los términos llamados multiplicando y multiplicador para encontrar un tercer término
llamado producto. Ejemplo:
multiplicación de monomios:
A continuación se presenta un caso para comprender de mejor manera la
multiplicación de monomios. Ejemplo:
(𝑎3
) 𝑎2
𝑎5
= 𝑎3+2+5
= 𝑎10 (3𝑥3𝑦2)(2𝑥2𝑦4) = 6𝑥5𝑦6 3𝑥 −4 = −12𝑥
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 3𝑎2
𝑝𝑜𝑟 6𝑎4
𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛
𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 +3 +6 = +18
𝑦 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑎2
𝑎4
= 𝑎2+4
= 𝑎6
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑎: 3𝑎2
6𝑎4
= 18𝑎
−3𝑥 5𝑎 = −15𝑎𝑥
−7𝑛 −𝑏𝑥 = +7𝑏𝑛𝑥
(5𝑥5
)(𝑥2
) = 5𝑥7
5. Multiplicación de monomios por
polinomios:
Consiste en multiplicar él termino del
monomio por cada uno de los términos que
contiene él polinomio. Ejemplo:
Multiplicación de polinomios por
polinomios:
Se multiplica los términos del multiplicando por
cada uno de los términos del multiplicador,
teniendo en consideración "La ley de los
signos", y el acomodo de los términos
semejantes. Ejemplo:
2𝑎 3𝑎 − 5𝑏 = 6𝑎2
− 10𝑎𝑏
3𝑥 4𝑥 + 7𝑦 = 12𝑥2 + 21𝑥𝑦
5𝑏 2𝑎 + 3𝑏 = 10𝑎𝑏 + 15𝑏2
𝑎 − 7 3𝑎 − 5 = 6𝑎2 − 10𝑎 − 21𝑎 + 35
= 6𝑎2
− 31𝑎 + 35
(5𝑚2
+2𝑛) 3𝑚 + 7𝑛3
− 2 =
= 15𝑚3
+ 35𝑚2
𝑛3
− 10𝑚2
+ 6𝑛𝑚 + 14𝑛4
− 4𝑛
6. Consta de las mismas partes que la división aritmética, así que si hay dos
expresiones algebraicas, p(x) dividiendo, y q(y) siendo él divisor, de modo que él
grado de p(x) sea mayor o igual 0 siempre hallaremos a 2 expresiones algebraicas
dividiéndose. Ejemplo:
División de monomios:
Se dividen los coeficientes y las literales se restan junto con sus exponentes. Ejemplo:
8𝑥4
÷ 2𝑥2
= 4𝑥4−2
= 4𝑥2
8𝑥6
÷ 7𝑥3
=
8
7
𝑥6−3
=
8
7
𝑥3
−5𝑚3
𝑛4
𝑝5
4𝑚2𝑛2𝑝3
=
−5𝑚3−2
𝑛4−2
𝑝5−3
4
=
−5𝑚𝑛2𝑝2
4
−9𝑎𝑏6
−3𝑎−3𝑏6
= −2𝑎2𝑏
30𝑎3
3𝑎−3 =
30𝑎3
3𝑎−3
(𝑎3
)
(𝑎−3)
=
30𝑎(3+3)
3𝑎(−3+3)
=
30𝑎6
3𝑎0 = 10𝑎6
6𝑎2
𝑏2
−2𝑎𝑏
=
6𝑎2
𝑏2
−2𝑎𝑏
=
(𝑎−1
𝑏−1
)
(𝑎−1𝑏−1)
=
6𝑎(2−1)
𝑏(2−1)
−2𝑎(1−1)𝑏(1−1)
= −2𝑎2𝑏
7. PRODUCTO NOTABLES DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones
algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las
características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas
reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la
necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso. Ejemplo:
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑥 + 1)3
= 𝑥3
+ 3. 𝑥2
. 1 + 3. 𝑥. 12
+ 12
+ 3. 𝑥2
+ 3𝑥 + 1
(2𝑥 + 1)3= (2𝑥)3 + 3. (2𝑥)2. 1 + 3. 2𝑥. 12 + 13 = 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥 + 1
8. *Binomio de suma al cuadrado:
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir,
multiplicarlo por si mismo), se suman los
cuadrados de cada término con el doble del
producto de ellos. Se expresa de la siguiente
manera: (a + b)2 = (a + b) · (a + b).
Ejemplo 1
(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5)² = x² + 10x+ 25.
Ejemplo 2
(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2
*Binomio de una resta al cuadrado:
se aplica la misma regla del binomio de una
suma, solo que en este caso el segundo término es
negativo. Su fórmula es la siguiente:
(a – b)2 = [(a) + (- b)]2
(a – b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Ejemplo 1
(2x – 6)2 = (2x)2 – 2 (2x * 6) + 62
(2x – 6)2 = 4x2 – 2 (12x) + 36
(2x – 6)2 = 4x2 – 24x + 36
Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia,
donde los términos son sumados o restados:
9. PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir,
el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada monomio al
cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente: (a + b) * (a – b)
Ejemplo
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 – 9b2
Productos de dos binomios con un termino común
Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen
un término en común.
La regla indica lo siguiente:
*El cuadrado del término común.
*Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.
*Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.
Ejemplo:
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
Ejemplo2
(7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + (2)* 7x – 8
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + 14x – 8.
10. TAMBIÉN PUEDE SER EL CASO DE QUE AMBOS TÉRMINOS
DIFERENTES SEAN NEGATIVOS. SU FÓRMULA SERÁ: (X – A) * (X– B).
EJEMPLO:
(3B – 6) * (3B – 5) = (3B * 3B) + (-6 – 5)* (3B) + (-6 * -5)
(3B – 6) * (3B – 5) = 9B2 + (-11) * (3B) + (30)
(3B – 6) * (3B – 5) = 9B2 – 33B + 30.
Polinomio al cuadrado:
En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al
cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro;
su fórmula es: (a + b + c)2 y el resultado de la operación es un trinomio al
cuadrado.
Ejemplo
(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 (6xy +12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy +24xz +16yz
11. Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su cuadrado, de la
siguiente manera:
a). Para el binomio al cubo de una suma:
-Él cubo del primer término, más él triple del cuadrado del primer término por él segundo.
-Más él triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
-Más el cubo del segundo término.
Ejemplo:
(a + 3)3 = a3 + 3(a)2*(3) + 3(a)*(3)2 + (3)3
(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3(a)*(9) + 27
(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27
b). Para el binomio al cubo de una resta:
-Él cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
-Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
-Menos el cubo del segundo término.
Ejemplo:
(b – 5)3 = b3 + 3(b)2*(-5) + 3(b)*(-5)2 + (-5)3
(b – 5)3 = b3 + 3(b)2*(-5) + 3(b)*(25) -125
(b – 5)3 = b3 – 15b2 +75b – 125
12. CUBO DE UN TRINOMIO
Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable muy extenso
porque se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado
al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto
de los tres términos. Visto de una mejor forma:
(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2
(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +2bc)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2
(𝑥 + 𝑦 + 1)3 = 𝑥3 + 𝑦3 + 13 + 3 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 1 (𝑦 + 1)
(𝑥 + 𝑦 + 1)3
= 𝑥3
+ 𝑦3
+ 1 + 3(𝑥2
+ 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦)
13. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES
Es descomponer una expresión algebraica en factores cuyo producto es igual a la expresión
propuesta. La factorización se considera la operación inversa a la multiplicación, pues el
propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la
factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas
cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que
cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas
multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de
factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un
producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Binomios al cuadrado:
1(x + 5)2 =
= x2 + 2 · x · 5 + 52 =
= x 2 + 10 x + 25
2(2x + 5)2 =
= (2x)2 + 2 · 2x ·5 + 52=
= 4x2 + 20 x + 25
3(2x − 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 − 20 x + 25
Binomios al cubo:
1 (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 ·
(2x)2 · 3 + 3 · 2x · 32 - 33=
= 8x3 - 36 x2 + 54 x - 27
2(x + 2)3 = x3 + 3 ·
x2 · 2 + 3 · x· 22 + 23=
= x3 + 6x2 + 12x + 8
Sumas por diferencias:
1(3x − 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x2 − 4
2(x + 5) · (x − 5) =
= x2 − 25
3(3x² − 2) · (3x² + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x4 − 4
Ejemplos de ejercicios resueltos de productos notables
