presentación sobre las expresiones algebraicas. universidad UPTAEB

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria, Ciencia y
Tecnología
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara “Andrés Eloy
Blanco”
Quíbor - Estado Lara
Integrante:
Roximar Pérez
C.I 27.987.385
Prof: Elismar Suárez
Roger Timaure
Sección: AD0401J
Expresiones Algebraicas

2. Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales, los cuales se encuentran
relacionados entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones,
divisiones, potencias y extracción de raíces.
Asimismo los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas, en cambio, las letras
se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. En este sentido las
expresiones algebraicas están conformadas por términos, donde un termino es una expresión algebraica que consta
de un solo símbolo o de varios símbolos, los cuales se encuentran separados únicamente por la multiplicación o la
división.
Clasificación
Monomios 1 Termino 15x²
Binomios 2 Términos 10x⁵- x⁴
Trinomios 3 Términos x⁵- x⁴-15x²
Polinomios Mas de 2
Términos
x²+3x-5
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica formada por el
producto de un número y una o más variables. El número se
denomina coeficiente y el conjunto de las variables, literal. Por su
parte el grado del monomio es la suma de los exponentes de su
parte literal. Y el grado respecto de una variable, seria el
exponente de esa variable.
Dos monomios
son semejantes si
sus literales son
iguales y dos
monomios son
opuestos si son
semejantes y sus
coeficientes son
opuestos.

3. Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos,
todo polinomio está formado por la adición y sustracción de sumandos, donde cada uno de
ellos recibe el nombre de términos. Igualmente dos términos de un polinomio se dicen
semejantes si tiene la misma variable y el mismo exponente. Por ejemplo
5
2
x³ y
4
3
x³.
El mayor grado
de todos los
términos o
monomios, es
el grado del
polinomio.
Valor Numérico de una Expresión Algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores
numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.
Ejercicios Resueltos
• Halla los valores numéricos en cada caso:
a) 2-7∙x² con x = (-2)
2-7∙(-2)²₌ 2-7∙(-32)
₌ 2+224
₌ 226
b) 3+5∙x³ con x =
2
3
3+5∙
2
3
³ ₌ 3+5∙
8
27
₌ 3+
40
27
₌
121
27

4. Suma de Expresiones Algebraicas
Si en una suma algebraica se encuentran términos semejantes, lo único que se
suman son los coeficientes, dando como resultado una expresión algebraica con el
mismo termino semejante y el nuevo coeficiente que resulta de la suma de los
términos semejantes iniciales.
Para sumar expresiones
algebraicas, hay que
tener en cuenta que si los
términos no son
semejantes, simplemente
el resultado se deja
expresada tal cual es sin
cambiar los signos de los
términos.
Ejercicios Resueltos
Suma de Monomios
• Efectúa la suma de los siguientes monomios:
(8x)+(4x)+(-3y)+(-5y)+(2z)+(z)₌ 8x+4x-3y-5y+2z+z
₌(8+4)x+(-3-5)y+(2+1)z
₌ 12x-8y+3z
Se eliminan los paréntesis, el signo
operacional de suma no afecta a los signos
de los monomios encerrados.
Se eliminan los paréntesis.
Se reúnen los términos semejantes.
P(x)+ Q(x)₌ (-21x⁴-7x³+2x²-x+3) + (6x⁴-10x³+x²-20x-10)
₌ -21x⁴-7x³+2x²-x+3+6x⁴-10x³+x²-20x-10
₌ (-21x⁴+6x⁴)+(-7x³-10x³)+(2x²+x²)+(-x-20x)+(3-10)
₌ -15x⁴-17x³+3x²-21x-7
Suma de Polinomios
• Calcula P(x) + Q(x) si P(x) = -21x⁴-7x³+2x²-x+3 y Q(x)= 6x⁴-10x³+x²-20x-10
Se calcula la suma de
los términos
semejantes, es decir,
los que tienen la
variable con el mismo
exponente. Para ello
pueden agruparse los
términos semejantes de
forma decreciente .

5. Resta de Expresiones Algebraicas
De la misma forma que en la suma, en la resta algebraica se debe tomar en consideración que al restar dos
términos semejantes se obtiene como resultado un único termino, y para dos términos no semejantes el resultado
se deja tal cual es. Es importante destacar que para efectuar la sustracción, se calcula la suma del minuendo con
el opuesto del sustraendo, es decir, -(b-c+d) = -b+c-d.
Ejercicios Resueltos
Resta de Monomios
• Efectúa la resta de los siguientes monomios:
(4a)-(-2a)-(-3b)-(-5b)-(2c)-(c) ₌ 4a+2a+3b+5b-2c-c
₌ 6a+8b-3c
 Se eliminan los paréntesis, cambiando
los signos operacionales de cada
termino.
 Se reducen los términos semejantes.
Resta de Polinomios
• Calcula la diferencia de P(x) - Q(x) siendo P(x) = 5x⁶+x⁴+21 y Q(x) = -x⁶+11x⁴+3x+20
P(x)-Q(x) ₌
(5x⁶+x⁴+21) – (-x⁶+11x⁴+3x+20)₌
(5x⁶+x⁴+21) + (x⁶-11x⁴-3x-20)₌
6x⁶-10x⁴-3x+1₌
 Se agrega al minuendo el opuesto del
sustraendo.
Multiplicación de Expresiones Algebraicas
Multiplicación de Polinomios
Para multiplicar dos polinomios se ordenan en forma decreciente o creciente, se multiplica cada término de un
polinomio por el otro polinomio y se suman los términos semejantes.

6. Multiplicación de Monomios
• Multiplicación de Monomios: El producto entre dos monomios da como resultado un nuevo monomio cuyo coeficiente es
la multiplicación de los coeficientes de los factores, y cuyo grado es la suma de los exponentes de los factores.
• Multiplicación de Monomios con Dos o Más Variables: El producto se obtiene multiplicando los coeficientes y luego
multiplicando las potencias que tienen igual base aplicando las propiedades de la potenciación.
• Multiplicación de un Monomio por un Polinomio: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ejercicios Resueltos
• Calcular (3x⁵-4x³+x) ∙ (x⁴-5x⁷+10)
(3x⁵-4x³+x)∙ (-5x⁷+x⁴+10)
₌ 3x⁵∙ (-5x⁷+x⁴+10)+ (-4x³)∙(-5x⁷+x⁴+10)+ x∙(-5x⁷+x⁴+10)
₌ -15x12
+3x⁹+30x⁵+20x10
-4x⁷-40x³-5x⁸+x⁵+10x
₌ -15x12+20x10+3x⁹-5x⁸-4x⁷+31x⁵-40x³+10x
1. Se ordenan los polinomios de forma
creciente o decreciente.
2. Se multiplica cada termino del primer
polinomio por cada termino del
segundo.
3. Se suman los términos semejantes.
• Efectúa el producto de los siguientes monomios:
a) Multiplicar 3x⁸∙ (-2x³)
[3∙(-2)]∙(x⁸∙x³)
₌ -6 ∙ 𝑥11
₌ -6𝑥11
1. Se agrupan los
coeficientes 3 y -2
y las potencias x⁸ y
x³.
2. Se multiplican los
coeficientes y las
potencias de X
aplicando las
propiedades de la
potenciación
b) Calcular (3xy²) ∙ (5x²y)
3xy² ∙ 5x²y ₌ (3∙5) ∙x∙x²∙y²∙y
₌ 15𝑥2+1
∙ 𝑦2+1
₌ 15x³ ∙ y³
₌ 15x³y³
 Se multiplican los
coeficientes y las potencias
con igual base aplicando las
propiedades de la
potenciación.
c) Efectúa el producto
(-5x³)∙ (2x⁴-x³-3x)
(-5x³)∙(2x⁴)+(-5x³)∙(-x³)+(-5x³)∙ (-3x)
₌ -10x⁷+5x⁶+15x⁴
 Se multiplica el monomio
por cada termino del
polinomio.

7. División de Expresiones Algebraicas
División de Monomios
División de Monomios:
Se dividen primero los coeficientes entre si y luego las
potencias.
División de un Polinomio entre un Monomio:
Se divide cada termino del polinomio entre el
monomio y el resultado de la división es un nuevo
polinomio, obtenido de la suma de todos los
coeficientes de la división de monomios.
Ejercicios Resueltos
• Resoolver 8x³÷ 2x²
8 ÷ 2 ₌ 4
x³ ÷ x² ₌ x
8x³ ÷ 2x²₌ 4x
1. Se dividen los
coeficientes entre sí para
obtener el coeficiente del
cociente.
2. Se aplica la regla de
potenciación cociente de
potencias de igual base,
es decir, se coloca la
misma base y se restan
los exponentes.
3. Se forma el cociente,
que es el producto de los
resultados obtenidos.
• Resolver la división (12x⁴-30x⁵+5x²) ÷ 2x
-30x⁵+12x⁴+5x² 2x
-30x⁵+12x⁴+5x² 2x
-15x⁴
-30x⁵+12x⁴+5x² 2x
-15x⁴
+30x⁵
0 + 12x⁴+ 5x²
0 +5x²
-5x²
0
-30x⁵+12x⁴+5x²
2x
-15x²+6x³+
5
2
𝑥
0 + 12x⁴+ 5x²
-12x⁴
+30x⁵
 Se ordena el polinomio en
forma decreciente y se
escribe la división en forma
de galera.
 Se divide el primer termino
del polinomio entre el
monomio. El resultado se
escribe en el cociente.
 El cociente se multiplica por
el monomio y el opuesto del
resultado se agrega al
polinomio.
 Se repite el proceso
dividiendo el primer termino
del nuevo polinomio entre el
monomio.

8. Exacta R(x) = 0
2x⁴-9x³-3x²-x-1 2x+1
2x⁴-9x³-3x²-x-1 2x+1
x³
2x⁴-9x³-3x²-x-1
2x+1
x³
-2x⁴- x³
-10x³-3x²-x-1
2x⁴-9x³-3x²-x-1 2x+1
x³-5x²+x-1
-2x⁴- x³
-10x³-3x²-x-1
10x³+5x²
2x²-x-1
-2x²-x
-2x-1
-2x+1
0
• Efectúa (-9x³-3x²+2x⁴-x-1) ÷ (1+2x)
División de Polinomios
División Exacta e Inexacta de Polinomios
• Calcular (3x²-10x³+4x⁵-x+6) ÷
(x³+1-2x²)
4x⁵+0x⁴-10x³+3x²-x+6 x³-2x²+1
4x⁵+0x⁴-10x³+3x²-x+6 x³-2x²+1
-4x⁵+8x⁴ -4x²
4x²+8x+6
8x⁴+10x³-x²-x+6
-8x⁴+16x³ -8x
6x³-x²-9x+6
-6x³-12x² -6
-11x²-9x+0
Inexacta R(x) ≠ 0
• Efectuar
1
4
𝑥⁵ +
13
24
𝑥³ − 𝑥2
+
1
3
𝑥 −
1
4
x⁵ +
13
24
x³ - x²+
1
3
x -
5
2
1
2
x²-
1
4
−
1
4
x³ +
1
8
x³ 1
2
x³ +
4
3
x - 2
2
3
x³-x² +
1
3
x -
5
2
-
2
3
x² +
1
3
x
-x²+
2
3
x -
5
2
x² -
1
2
2
3
x - 3
Cociente
Residuo
División de Polinomios con
Coeficientes Racionales
Procedimiento:
• Se divide el primer término del
dividendo entre el primer término del
divisor y el resultado se escribe en el
cociente.
• Se multiplica este monomio por el
divisor, y el opuesto del resultado se le
adiciona al dividendo.
• Se repite el proceso hasta que el residuo
sea cero o su grado sea menor que el del
divisor.
Procedimiento en ambos casos :
1. Se ordenan los polinomios en forma
decreciente, y se completa el dividendo.
2. Se divide el primer término del polinomio
dividiendo entre el primer término del
polinomio divisor.
3. Se multiplica el resultado obtenido por el
divisor y el opuesto del producto se adiciona al
dividendo.
4. Se continúa sucesivamente hasta que el grado
del residuo sea menor que el del divisor.

9. Productos Notables de Expresiones Algebraicas
Cuadrado de una Suma
El cuadrado de una suma de dos términos es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble producto del
primer termino por el segundo, mas el cuadrado del segundo termino, es decir, (x+a)² ₌ x² + 2ax + a²
Cuadrado de una Diferencia
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de
ambos términos más el cuadrado del segundo término, es decir, (x-a)² ₌ x² - 2ax + a²
Ejercicios Resueltos
• Desarrolla cada producto notable:
a) (x+5)² ₌ x²+2∙5∙x+5²₌ x²+10x+25
b)
1
2
z² + z³ ²₌
1
2
z² ² + 2∙
1
2
z² ∙ z³ + (z³)²₌
1
4
z⁴ + z⁵ + z⁶
En los casos a y b, se aplica la formula
(x+a)² ₌ x² + 2ax + a² y se resuelven las
operaciones respectivamente.
c) (x-4)² ₌ x² - 2 ∙x∙4 + 4²₌ x² - 8x + 16x
d)
1
5
y – 10y³ ²₌
1
5
y ²- 2∙
1
5
y ∙ 10y³ + (10y³)²
₌
1
25
y² - 4y⁴ + 100y⁶
En los casos c y d, se aplica la formula (x-
a)² ₌ x² - 2ax + a² y se resuelven las
operaciones respectivamente.
Producto de una Suma por una Diferencia
El producto notable de una suma por su diferencia es de la forma: (x+a) ∙ (x-a). En este producto el primer
factor es la suma de dos términos y el segundo es la diferencia de ambos; y para calcular este producto notable se
resuelve la multiplicación de los polinomios aplicando la siguiente formula, (x+a) ∙ (x-a) ₌ x² - a², es decir, el
producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado
del segundo.

10. Ejercicio Resuelto
• Efectuar
3
2
𝑥² +
5
8
𝑦⁷ ∙
3
2
𝑥² −
5
8
𝑦⁷
3
2
𝑥² +
5
8
𝑦⁷ ∙
3
2
𝑥² −
5
8
𝑦⁷ ₌
3
2
𝑥² ² −
5
8
𝑦⁷ ²₌
3
2
²∙ (x²)²−
5
8
²∙ (y⁷)²₌
9
4
𝑥4
−
25
64
𝑦14
1. Se aplica el producto de la suma
por la diferencia.
2. Se aplican las propiedades de la
potenciación.
Producto de dos Binomios con un Término Común
La multiplicación de dos binomios con un término en común es de la forma (x+a) ∙ (x+b) donde a y b son
constantes. Para calcular este producto se aplica la siguiente formula (x+a) ∙ (x+b) ₌ x²+ (a+b)x +ab, es decir,
el producto notable de dos binomios que tiene un termino en común es igual al cuadrado del término común,
mas la suma de los términos no comunes multiplicados por el término común, mas el producto de los términos
no comunes.
Ejercicios Resueltos
• Efectuar 𝑎 +
3
4
∙ 𝑎 −
4
5
𝑎 +
3
4
∙ 𝑎 −
4
5
₌ a²+
3
4
−
4
5
a +
3
4
∙ −
4
5
₌ a² + −
1
20
a −
12
20
₌ a²−
1
20
a−
12
20
₌ a²−
1
20
a−
3
5
1. Se aplica el producto notable de dos
binomios con un término común.
2. Se simplifican las fracciones.
• Desarrollar (y+5) ∙ (y-7)
(y+5)∙(y-7)₌
y³+ (5-7)y +5∙ (-7)₌
y²-2y-35
 Se aplica el producto
notable de dos binomios
con un término común.
 Se efectúa la operación
en cada termino.
• Calcular (y+x) ∙ (y-x) ∙ (-x²+1)
(y+x) ∙ (y-x) ∙ (-x²+1) ₌
(y²-x²) ∙ (-x²+1) ₌
(-x²+y²) ∙ (-x²+1) ₌
(-x²)²+ (y²+1) ∙ (-x²)+y²∙1 ₌
x⁴-y²x²-x²+y²
 Se aplica el producto notable
de una suma por su diferencia.
 Se aplica el producto notable
de dos binomios con un
término común.

11. Cubo de una Suma
El cubo de una suma es un producto notable de la forma (x+a)³, donde el término x representa el primer término
o monomio y a representa al segundo término. La formula de este producto notable es (x+a)³₌ x³+3x²a+3xa²+a³,
es decir, el cubo de una suma de dos monomios es igual al cubo del primer término, mas el triple producto del
cuadrado del primero por el segundo, mas el triple término por el cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo
término.
Cubo de una Diferencia
El cubo de una diferencia de dos términos es un producto notable de la forma (x-a)³, cuya formula es (x-a)³₌
x³-3x²a-3xa²-a³, es decir, el cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el
triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, mas el triple producto del primer término por el
cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término.
Ejercicios Resueltos
• Efectuar (x+2)³
(x+2)³₌ x³+3∙x²∙2+3∙x∙2²+2³
₌ x³+6x²+12x+8
• Efectuar (x-1)³
(x-1)³₌ x³-3∙x²∙1+3∙1²-1³
₌ x³-3x²+3x-1
Se aplican los productos notables
correspondientes y se resuelven las
operaciones.
Factorización de Expresiones Algebraicas
Factorizar una expresión algebraica consiste en expresarle como un producto notable, también se conoce
como el proceso que consiste en transformar un polinomio como producto de dos o más factores. Asimismo en
algunos casos la factorización es la multiplicación de dos binomios que puede ser un producto notable.

12. Ejercicio Resuelto
• Factorizar P(x) = 45𝑥10
- 30x⁶-10x⁴
El m.c.d (45,30,10) = 5, entonces el mayor
factor común es 5x⁴
45𝑥10
- 30x⁶-10x⁴₌ 5x⁴∙9x⁶-5x⁴∙6x²-5x⁴∙2
P(x)₌ 5x⁴∙ (9x⁶-6x²-2)
1. Se halla el mayor factor común. Para determinarlo se calcula el
máximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por la
menor potencia de x.
2. Se descompone cada término del polinomio en dos factores
donde uno de ellos sea el factor común.
3. Se escribe el polinomio P(x) como producto del factor común
por el polinomio formado por los factores no comunes.
Polinomio como Factor Común
Existen polinomios cuyos términos tiene en común otro polinomio, como en P(x) = a(x+y) + b(x+y). En este
caso, el factor común es el binomio (x+y); por lo que se divide cada termino entre este binomio, así
a(x+y) + b(x+y)₌ (x+y) 𝑎
(𝑥+𝑦)
(𝑥+𝑦)
+ 𝑏
(𝑥+𝑦)
(𝑥+𝑦)
= (x+y)(a+b)
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma a²+2ab+b² o a²-2ab+b². Estas expresiones son los desarrollos de
los productos notables “cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia” respectivamente, por lo tanto, la
factorización de estos trinomios viene dada por las siguientes identidades: a²+2ab+b²₌ (a+b)² o : a²-2ab+b²₌
(a-b)² donde a y b son las bases de los términos cuadráticos a² y b².
Monomio como Factor Común
Cuando todos los términos de un polinomio tiene un factor común, se puede factorizar el polinomio en el
producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común. El otro factor se obtiene extrayendo el factor
común de cada termino del polinomio.

13. Factorización de un Trinomio de la Forma x²+ (a+b)x+ ab
Si un trinomio tiene la forma x²+ (a+b)x+ ab, entonces se puede escribir como una multiplicación en la
que sus factores son (x+a) y (x+b), es decir, x²+ (a+b)x+ ab ₌ (x+a)(x+b). Cuando el término ab tiene
signo positivo, significa que a y b tienen igual signo. Por su parte si el término ab es negativo significa que
uno de los dos números (a o b) es negativo. En este sentido para encontrar los valores de a y b y factorizar el
trinomio, se verifica que el primer término del trinomio (ordenado en forma decreciente) sea un cuadrado
perfecto, luego se buscan dos números que multiplicados de como resultado el tercer término y cuya suma
sea el coeficiente del término central.
Ejercicio Resuelto
• Factorizar el trinomio x⁶+4x³-12
x⁶ es un cuadrado perfecto, pues x⁶₌(x³)².
La base es x³
Los únicos números enteros son -2 y 6, pues:
-2∙6 ₌ -12 y -2+6 ₌ 4
Entonces a ₌ -2 y b ₌ 6
x⁶+4x³-12 ₌ (x-2)(x+6)
1. Se verifica si el primer término
es un cuadrado perfecto y se
determina la base.
2. Se buscan los números a y b que
multiplicados den el término
constante (-12) y que sumados
den el término central (4).
3. Se escribe el trinomio
factorizado de la forma
(x+a)(x+b).
Ejercicio Resuelto
• Factorizar 25x⁴+9+30x²
25x⁴+30x²+9
25x⁴₌ (5x²)² y 9₌ 3²
Luego a ₌ 5x² y b ₌ 3
2ab ₌ 2∙ (5x²) ∙ 3 ₌ 30x²
25x⁴+30x²+9 ₌ (5x²+3)²
 Se ordena el trinomio.
 Se verifica si el primer y el tercer término son cuadrados
perfectos, es decir, si se pueden escribir de la forma a² y b².
 Se verifica que el segundo término del trinomio ordenado sea
igual al doble producto de a por b.
 Se escribe la factorización como el cuadrado de la suma de a
y b, (a+b)².

14. Ejercicio Resuelto
• Factorizar 4-m²
4 ₌ 2² y m²₌ m²
4-m²₌ 2²-m²
4-m²₌ 2²-m²₌ (2+m)(2-m)
1. Se escribe cada termino
como una potencia
cuadrática y se sustituye
en el polinomio.
2. Se expresa el polinomio
como el producto de la
suma de las bases de las
potencias por su
diferencia.
Factorización de la Diferencia de dos Cuadrados
Una diferencia de cuadrados es una sustracción de potencias con exponente 2, es decir, un binomio de la
forma a²-b². Como este es el desarrollo del producto notable “producto de una suma por su diferencia” su
factorización es dicho producto notable. Asimismo una diferencia de cuadrados es igual al producto de la
suma de las bases por la diferencia de las mismas, esto es: a²-b²₌ (a-b)(a+b), donde a y b son las bases de
las potencias a² y b² respectivamente.

15. Referencias Bibliográficas
Navarro, C. (Ed.).(2012). Guía Didáctica Matemática de 2do año. Caracas, Venezuela: Editorial Santillana.
Cohaguila, S. (S.F). Resta Algebraica. Recuperado de: https://ciencias-
basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/resta-algebraica/
Cohaguila, S. (S.F). Suma Algebraica. Recuperado de: https://ciencias-
basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/suma-algebraica/
De Jesús, J; Montaño, R. (S,F). Expresiones Algebraicas. Recuperado de:
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://m7.ucab.edu.ve/files/303397/download%3F
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793337670
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