Tích phân-4-Phương pháp nguyên hàm_Tích phân từng phần-pages-45-58

1. 4 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM/TÍCH PHÂN TỪNG
PHẦN
4.1 LÝ THUYẾT
4.1.1 Phương pháp nguyên hàm/tích phân từng phần.
Cách 1
Tính nguyên hàm I = f(x) dx:
Bước 1 Biến đổi nguyên hàm về dạng I = f(x) dx = f1(x)f2(x) dx
Bước 2 Đặt
u = f1(x)
dv = f2(x) dx
⇒
du
v
| Chọn c = 0
Bước 3 Khi đó I = u dv = uv − v du
Tính tích phân I =
b
a
f(x) dx:
Bước 1 Biến đổi tích phân về dạng I =
b
a
f(x) dx =
b
a
f1(x)f2(x) dx
Bước 2 Đặt
u = f1(x)
dv = f2(x) dx
⇒
du
v
| Chọn c = 0
Bước 3 Khi đó I =
b
a
u dv = uv
b
a
−
b
a
v du
Chú ý: Việc đặt u = f(x), dv = g(x) dx (hoặc ngược lại) sao cho tìm nguyên hàm v(x) và tìm
vi phân du = u (x) dx không quá phức tạp. Hơn nữa nguyên hàm v du (tích phân
b
a
v du)
phải đơn giản hơn nguyên hàm u dv (tích phân
b
a
u dv) . Do đó khi thực hiện cần lựa chọn
cách đặt phù hợp.
Cách 2 Phân tích:
• Đối với nguyên hàm: f1(x)f2(x) dx = f1(x)f (x) dx và sử dụng công thức (??).
• Đối với tích phân:
b
a
f1(x)f2(x) dx =
b
a
f1(x)f (x) dx và sử dụng công thức (??).
45
lovestem
.edu.vn

2. MỘT SỐ CHÚ Ý:
• Ý nghĩa: Phương pháp tích phân từng phần nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân
đơn giản hoặc để khử bớt hàm số dưới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số
dưới dấu tích phân).
• Nhận dạng: Để sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp là hàm dưới dấu
tích phân là tích của 2 loại hàm số khác nhau (đôi khi là tích của 1 loại hàm số).
• Đôi khi tích phân từng phần mà chưa có 1 dạng cụ thể, ta phải dùng công thức đại số,
lượng giác hoặc kết hợp với phương pháp biến đổi thì mới xuất hiện các dạng cụ thể.
• Đôi khi phải sử dụng nhiều lần tích phân từng phần liên tiếp.
4.1.2 Các dạng thường gặp
Dạng 1 p(x).





sin f(x)
cos f(x)
ef(x)
dx ⇒ Đặt u = p(x) và





sin f(x)
cos f(x)
ef(x)
dx = dv.
Trong đó p(x) thường là đa thức, có thể là hàm phân thức, hàm vô tỷ của x.
Dạng 2 p(x).


ln f(x)
loga x
dx ⇒ Đặt



u =
ln f(x)
loga x
dv = p(x) dx
Dạng 3 ef(x)
.


sin g(x)
cos g(x)
dx ⇒ Đặt u = ef(x)
hoặc u =


sin g(x)
cos g(x)
Chú ý:
• Dạng 3 phải sử dụng phương pháp nguyên hàm/tích phân từng phần 2 lần và cả hai lần
cần thống nhất theo cùng một cách đặt, nếu không sẽ xảy ra hiện tượng sau khi thực
hiện nguyên hàm/tích phân từng phần lần thứ 2 bài toán sẽ trở về bước ban đầu.
• Khi sử dụng phương pháp nguyên hàm/tích phân từng phần thì số lần thực hiện phụ
thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức. Cụ thể:
– Nếu trong biểu thức tích phân có logn
a f(x); lnn
f(x) thì phải nguyên hàm/tích phân
từng phần n lần.
– Nếu trong biểu thức dưới dấu nguyên hàm/tích phân có đa thức bậc n (không có
hàm logarit) thì phải nguyên hàm/tích phân từng phần n lần.
4.1.3 Một số sai lầm thường gặp
• Hiểu sai bản chất công thức nguyên hàm/tích phân từng phần.
Ví dụ Tính tích phân I =
2
0
xex
dx.
46
lovestem
.edu.vn

3. Lời giải sai: Đặt
u = x
v = ex
⇔
u = 1
v = ex
⇒ I = xex
2
0
−
2
0
ex
dx = e2
− 1
Lời giải đúng: Đặt
u = x
dv = ex
dx
⇔
du = dx
v = ex
⇒ I = xex
2
0
−
2
0
ex
dx = e2
− 1
• Học sinh lúng túng trong việc đặt u và dv.
• Khi tính cần sử dụng nhiều lần nguyên hàm/tích phân từng phần, học sinh dễ nản, không
kiên trì thực hiện đến bước cuối cùng.
4.1.4 Một số ví dụ
Câu 1. Tính nguyên hàm I = x sin x dx:
A. −x cos x + sin x + C. B. x cos x + sin x + C.
C. sin x + C. D. −x cos x + sin x.
Lời giải. Chọn đáp án A
Cách 1
Đặt
x = u
sin x dx = dv
⇔
dx = du
− cos x = v
⇒ I = x sin x dx = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C.
Cách 2
I = x sin x dx = x d(− cos x) = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C. A
Câu 2. Tính tích phân I =
1
0
x2
.ex
dx:
A. 5e + 1. B. −3e − 2. C. 1 + 2e. D. e − 2.
Lời giải. Chọn đáp án D
Cách 1
Đặt
x2
= u
ex
dx = dv
⇔
2x dx = du
ex
= v
⇒ I =
1
0
x2
.ex
dx = x2
.ex
1
0
−
1
0
2x.ex
dx = e − 2J
Xét J =
1
0
x.ex
dx.
Đặt
x = u
ex
dx = dv
⇔
dx = du
ex
= v
47
lovestem
.edu.vn

4. ⇒ J =
1
0
x.ex
dx = x.ex
1
0
−
1
0
ex
dx = e − ex
1
0
= 1
⇒ I = e − 2
Cách 2
I =
1
0
x2
.ex
dx =
1
0
x2
dex
= x2
.ex
1
0
−
1
0
ex
dx2
= e − 2
1
0
xex
dx
= e − 2
1
0
x dex
= e − 2x.ex
1
0
+ 2
1
0
ex
dx = −e + 2ex
1
0
= e − 2
Chú ý: Trong ví dụ này, hàm số f(x) = x2
là hàm số bậc hai nên ta cần sử dụng phương pháp
tích phân từng phần 2 lần.
D
Câu 3. Tính tích phân I =
2
1
x ln x dx:
A. 2 ln 2. B. 2 ln 2 −
3
4
. C. 2 ln 2 −
1
4
. D.
3
4
.
Lời giải. Chọn đáp án B
Cách 1
Đặt
ln x = u
x dx = dv
⇔



dx
x
= du
x2
2
= v
⇒ I = ln x.
x2
2
2
1
−
2
1
x2
2
dx
x
= 2 ln 2 −
2
1
x
2
dx = 2 ln 2 −
x2
4
2
1
= 2 ln 2 −
3
4
Cách 2
I =
2
1
x ln x dx =
2
1
ln x d
x2
2
= ln x.
x2
2
2
1
−
2
1
x2
2
d(ln x) = 2 ln 2 −
2
1
x2
2
.
1
x
dx = 2 ln 2 −
2
1
x
2
dx
= 2 ln 2 −
x2
4
2
1
= 2 ln 2 −
3
4
B
Câu 4. Tính nguyên hàm I = ex
sin x dx:
A. ex
(sin x − cos x) + C. B.
ex
(sin x − cos x)
2
.
C.
ex
(sin x − cos x)
2
+ C. D. Không tồn tại nguyên hàm.
Lời giải. Chọn đáp án C
48
lovestem
.edu.vn

5. I = ex
sin x dx = sin x dex
= sin x.ex
− ex
d(sin x) = sin x.ex
− ex
cos x dx
= sin x.ex
− cos x dex
= sin x.ex
− cos x.ex
+ ex
d(cos x)
= sin x.ex
− cos x.ex
− sin xex
dx
= sin x.ex
− cos x.ex
− I
⇒ I =
ex
(sin x − cos x)
2
+ C
Chú ý: Trong nguyên hàm I, ta thấy việc tính nguyên hàm gồm 2 vòng lặp. Trong mỗi vòng
ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sin x hoặc cos x) và việc tính toán không thể tính
trực tiếp được.
C
4.2 BÀI TẬP
4.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Tính tích phân I =
1
0
xex
dx:
A. 1. B. e − 1. C. 0. D. -1.
Câu 2. Cho I =
π
0
x sin x dx. Chọn đáp án đúng.
A. I = −π. B. I = xcosx
π
0
− sin x
π
0
.
C. I = π +
π
0
cosx dx. D. I =
π
3
.
Câu 3. Đâu là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = (2x − 3) cos2
x?
A. x2
sin x. B.
1
2
[(2x − 3) sin 2x − x2
+ 3x + cos 2x].
C.
1
2
[(2x − 3) sin 2x + 3x + cos 2x]. D. Không tồn tại nguyên hàm.
Câu 4. Đâu là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = xe2x
?
A.
1
2
(xe2x
− e2x
). B.
1
4
(xe2x
− e2x
).
C.
1
4
e2x
(2x − 1). D. Không tồn tại nguyên hàm.
Câu 5. Cho hàm số f(x) = (x + 1)ex
. Trong các hàm số sau, chọn ra những hàm số là nguyên
hàm của f(x):
F1(x) = xex
(1)
F2(x) = (x + 1)ex
(2)
F3(x) = (x − 1)ex
(3)
F4(x) = xex
+ 1 (4)
F5(x) = (x − 1)ex
− 1 (5).
A. (1). B. (3),(5). C. (2). D. (1),(4).
49
lovestem
.edu.vn

6. Câu 6. Đâu là một nguyên hàm của hàm số y = x sin 2x?
A. −
1
2
(2x cos 2x − sin 2x + 2x). B. −
1
2
(2x cos 2x − sin 2x + 2).
C.
1
2
(2x cos 2x − sin 2x). D. không tồn tại nguyên hàm.
Câu 7. Đâu là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x ln x?
A.
1
4
x2
ln x +
x2
2
. B.
1
2
x2
ln x +
x2
2
.
C.
1
4
(2x2
ln x + x2
+ x). D. không tồn tại nguyên hàm.
Câu 8. Cho tích phân I =
1
0
x sin(2x − 1) dx. Chọn đáp án đúng.
A. I = −
1
2
x cos(2x − 1)
1
0
− sin 1 . B. I = −x cos(2x − 1)
1
0
+ sin 1.
C. I = 0, 15. D. A,B,C đều sai.
Câu 9. Tìm tích phân bất định I = (1 − x) cos x dx
A. I = (1 − x) sin x + C. B. I = (1 − x) sin x + cos x + C.
C. I = (1 − x) sin x − cos x + C. D. không tồn tại.
Câu 10. Tìm tích phân bất định I = (x − 1)ex
dx.
A. I = (x − 1)ex
+ C. B. I = (x − 2)ex
+ C. C. I = (x − 2)ex
+ 1. D. không tồn tại.
Câu 11. Tính tích phân I =
1
0
xe−x
dx.
A. I = 1. B. I = 1 −
2
e
. C. I =
2
e
. D. I = 2e − 1.
Câu 12. Tính I =
π
0
x sin x dx.
A. I = π. B. I = −π. C. I = −2. D. Đáp án khác.
Câu 13. Tính nguyên hàm I = x cos x dx.
A. x sin x + cos x + C. B. x sin x − cos x + C. C. x sin x + cos x. D. x sin x − cos x.
Câu 14. Tính ln x dx.
A. x ln x + x + C. B. x − x ln x + C. C. x ln x + C. D. x ln x − x + C.
Câu 15. Tính
2
1
x ln x dx.
A. ln 2 −
3
4
. B. 2 ln 2 −
3
4
. C. 2 ln 2 −
3
2
. D. Đáp án khác.
Câu 16. Tìm công thức không đúng trong các công thức sau:
A. u (x)v (x) dx = u (x) v (x) − v (x)u (x) dx.
B. u (x)v (x) dx = u (x) v (x) dx − v (x)u (x) dx.
C. u dv = uv − v du.
50
lovestem
.edu.vn

7. D.
b
a
u dv = (uv)
b
a
−
b
a
v du.
Câu 17. Tính giá trị của tích phân I =
2
1
(2x − 1) ln x dx.
A. 2 ln 2 −
1
2
. B.
1
2
. C. 2 ln 2 +
1
2
. D. 2 ln 2.
Câu 18. Tính nguyên hàm 2xcos2
x dx:
A. x −
x sin 2x
2
−
cos 2x
4
+ C. B. x −
x sin 2x
2
+
cos 2x
4
+ C.
C. x +
x sin 2x
2
−
cos 2x
4
+ C. D. x +
x sin 2x
2
+
cos 2x
4
+ C.
Câu 19. Cho I =
π
0
x2
cos x dx và u = x2
, dv = cos x dx. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. I = x2
sin x
π
0
− 2
π
0
x sin x dx. B. I = x2
sin x
π
0
+ 2
π
0
x sin x dx.
C. I = x2
sin x
π
0
+
π
0
x sin x dx. D. I = x2
sin x
π
0
−
π
0
x sin x dx.
Câu 20. Cho xex
dx = (ax + b) ex
+ c, a, b, c là hằng số . Khi đó a + b bằng:
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 21. Hàm số f(x) = ln x có các nguyên hàm là:
A. F(x) = x(ln (x − 1) + C). B. F(x) =
1
x
+ C.
C. F(x) =
ln x2
2
+ C. D. F(x) = x ln (x + 1) + C.
Câu 22. Nguyên hàm I = x ln (x + 1) dx. bằng:
A.
x2
− 1
2
ln(x + 1) −
x2
4
+
x
2
+ C. B.
x2
− 1
2
ln(x + 1) +
x2
− 2x
4
+ C.
C.
x2
− 1
2
ln(x + 1) −
x2
2
− x + C. D.
x2
2
ln(x + 1) −
x2
4
+
x
2
+ C.
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số y =
ln(x + 2)
x2
. bằng:
A.
ln |x|
2
−
(x + 2) ln(x + 2)
x
+ C. B.
ln |x|
2x
−
(x + 2) ln(x + 2)
x
+ C.
C.
ln |x|
x
−
(x + 2) ln(x + 2)
2x
+ C. D.
ln |x|
2
−
ln(x + 2)
x
+ C.
Câu 24. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x −
1
x
ln x. Biết F(1) = 0.
Vậy F(x) bằng:
A.
x2
+ 2x2
ln x
4
−
ln2
x
2
−
1
4
. B.
−x2
+ 2x2
ln x
4
−
ln2
x
2
+
1
4
.
C.
−x2
+ 2x2
ln x
4
+
ln2
x
2
+
1
4
. D.
−x2
− 2x2
ln x
4
−
ln2
x
2
+
1
4
.
51
lovestem
.edu.vn

8. Câu 25. Hàm số f(x) = xex
có các nguyên hàm là:
A. xex
+ ex
+ C. B. x2
ex
+ C. C. x2 1
x + 1
ex+1
+ C. D. ex
(x − 1) + C.
Câu 26. Hàm số f(x) = (x + 1) sin x có các nguyên hàm là:
A. (x + 1) cos x + sin x + C. B. −(x + 1) cos x + sin x + C.
C. (x + 1) cos x − sin x + C. D. −(x + 1) cos x − sin x + C.
Câu 27. Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = xe−x
thỏa mãn F(0) = 1 là:
A. xex
+ ex
+ C. B. x2
ex
+ C. C. x2 1
x + 1
ex+1
+ C. D. ex
(x − 1) + C.
Câu 28. Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
A. I = x.e3x
dx =
xe3x
3
−
1
8
e3x
+ C. B. I = x.ex
dx =
x2
2
ex
+ C.
C. I = x.ex
dx = xex
− ex
+ C. D. I =
x
ex
dx =
−x
ex
−
1
ex
+ C.
4.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 29. Tìm tích phân bất định I = (x2
+ 2x + 1)ex
dx.
A. I = 2(x + 1)ex
+ C. B. I = (x2
+ 1)ex
+ C.
C. I = (x2
+ 1)ex
. D. Không tồn tại.
Câu 30. Cho tích phân I =
1
0
(x2
− 2x − 1)e−x
dx và những mệnh đề sau:
I = −1 (1)
I = 1 − 2(x + 1)ex
0
−1
(2)
I =
0
−1
(x + 1)2
ex
dx − 2 (3)
Mệnh đề nào đúng?
A. (1) và (2). B. (1) và (3) . C. cả 3 cùng đúng. D. (3).
Câu 31. Cho I =
e
1
1 + x ln x
x
ex
dx. Chọn đáp án đúng:
A. I gần với 16 hơn gần với 15. B. I = ex
ln x
e
1
−
e
1
ex
ln x dx.
C. I không xác định. D. I = elimn→+∞(1+ 1
n
)
1
n
với n là số tự nhiên.
Câu 32. Tính I = 1 + x −
1
x
ex+ 1
x dx
A. I = xex+ 1
x . B. I = xex+ 1
x + C. C. I =
1
x
ex+ 1
x + C. D. I =
1
x
ex+ 1
x .
Câu 33. I =
π
2
0
x cos x sin2
x dx. Cho I =
π
a
−
2
b
(a, b ∈ Z). Chọn khẳng định đúng.
A. a + b = 18. B. a − b = 3. C. ab = 63. D.
a
b
=
2
3
.
Câu 34. I =
1
0
xex
(1 + x)2
dx. Cho I =
1
2
e
a
− 1. Khi đó a − 1 bằng:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
52
lovestem
.edu.vn

9. Câu 35. Cho hàm số f(x) = sin(
√
x) và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết F(0) = 0,
giá trị nào dưới đây gần nhất với F(1)? Lấy đơn vị góc là radian.
A. 1,922. B. -1.922. C. -1,923. D. 1,923.
Câu 36. Cho hàm số f(x) = x +
π
4
(sin x − cos x) và F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Biết F
−π
4
= 0, tính F(1).
A.
√
2(sin 1 − cos 1) − 1. B. -1.
C. không xác định. D. −
√
2(sin 1 − cos 1) − 1.
Câu 37. Tìm tích phân bất định I = ln x +
√
x2 + 1 dx.
A. I = xln x +
√
x2 + 1 −
√
1 + x2 + C. B. I =
1
√
1 + x2
+ C.
C. không xác định. D. I =
1
x +
√
1 + x2
+ C.
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x sin
x
2
.
A. −2x sin
x
2
+ 4 cos
x
2
+ C. B. −2x cos
x
2
+ 4 sin
x
2
+ C.
C. 2x cos
x
2
− 4 sin
x
2
+ C. D. −2x cos
x
2
+ 4 sin
x
2
.
Câu 39. Tìm nguyên hàm của f (x) = x3
ex
.
A. ex
(x3
− 3x2
+ 6x − 6). B. ex
(x3
− 3x2
+ 6x − 6) + C .
C. ex
(x3
+ 3x2
− 6x + 6) + C. D. ex
(x3
+ 3x2
− 6x + 6).
Câu 40. Tìm nguyên hàm
x − 2 ln x
x2
dx.
A. ln |x| −
2 ln x + 2
x
+ C. B. ln |x| +
2 ln x − 2
x
+ C.
C. ln |x| +
2 ln x + 2
x
+ C. D. ln |x| −
2 ln x − 2
x
+ C.
Câu 41. Tìm nguyên hàm
x + 2
e2x
dx.
A.
2x − 5
4e2x
+ C. B.
−2x − 5
4e2x
+ C . C.
−2x − 3
4e2x
+ C. D.
2x − 3
4e2x
+ C.
Câu 42. Biết a, b là hai số nguyên thỏa mãn
1
0
(2x + 1)ex
dx = a + be (a, b ∈ Z), tính ab.
A. 1. B. -1 . C. -15. D. 5.
Câu 43. Tìm nguyên hàm 2xcos2
x dx.
A. x −
x sin 2x
2
−
cos 2x
4
+ C. B. x −
x sin 2x
2
+
cos 2x
4
+ C.
C. x +
x sin 2x
2
−
cos 2x
4
+ C. D. x +
x sin 2x
2
+
cos 2x
4
+ C.
Câu 44. Tính tích phân
2
1
2x ln x dx
(x2 + 1)2 .
A. −
1
2
ln
8
5
+
ln 2
5
. B.
1
2
ln
8
5
−
ln 2
5
. C.
1
2
ln
2
5
−
ln 8
5
. D.
1
2
ln
2
5
+
ln 8
5
.
Câu 45. Tìm nguyên hàm I = e−2x
cos 3x dx.
A.
1
13
e−2x
(3 sin 3x + 2 cos 3x) + C. B.
1
13
e−2x
(3 sin 3x − 2 cos 3x) + C .
53
lovestem
.edu.vn

10. C.
1
13
e−2x
(3 cos 3x − 2 sin 3x) + C. D.
1
13
e−2x
(3 cos 3x + 2 sin 3x) + C.
Câu 46. Tính tích phân
π
4
0
x (1 + sin 2x) dx.
A.
π2
4
+
1
32
. B.
π2
4
−
1
32
. C.
π2
32
−
1
4
. D.
π2
32
+
1
4
.
Câu 47. Tính I =
1
0
x2
e2x
dx
A. I =
e2
− 1
4
. B. I =
e2
+ 1
4
. C. I =
e2
4
. D. I =
1
4
.
Câu 48. Biết rằng I=
e
1
ln x
(x + 1)2
dx =
e
e + 1
− ln
e + a
b
. Với a, b ∈ N∗
. Giá trị của biểu thức
a2
+ b2
là:
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Câu 49. Cho tích phân I =
1
0
ln (3x + 1)
(x + 1)2
dx =
ln a
b
. Với a, b ∈ N∗
và a là số nguyên tố. Giá
trị của biểu thức a + b là:
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 50. Biết rằng I=
π
2
π
4
x cos 2x dx =
aπ + b
c
. (a, b, c ∈ Z) Khi đó, log2 |abc| bằng:
A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.
Câu 51. Cho tích phân I =
4
3
(1 − x)ex
dx = ae3
− be4
với (a, b ∈ Z). Khi đó 2ab
bằng
A. 4. B. 8. C. 16. D. 32.
Câu 52. Biết rằng I=
π
π
3
(x + 2) sin x dx =
aπ + b
√
3 + c
d
.(a, b ∈ Z) Khi đó:
A. a + d < b + c. B. a + b > c + d. C. b + c = a + d. D. a + d = 2(b + c).
Câu 53. Biết rằng I=
e
1
x2
ln x dx = ae3
+ b với a, b là các số hữu tỉ, phân số tối giản nhất.
Khi đó:
A. a = b. B. a > b. C. a < b. D. a = −b.
Câu 54. Biết
π
4
0
x
cos2 x
dx =
aπ + b ln 4
c
.(a, b, c ∈ Z) Khi đó:
A. b < a < c. B. a > b > c. C. a < b < c. D. c > b > a.
Câu 55. Giá trị của tích phân
π
0
ex
cos x dx bằng:
54
lovestem
.edu.vn

11. A. eπ
+ 1. B. −eπ
− 1. C.
1
2
(eπ
− 1). D. −
1
2
(eπ
− 1).
Câu 56. Giá trị của tích phân
e
1
x2
ln x dx bằng:
A.
2e3
− 1
9
. B.
e3
− 2
9
. C.
e3
+ 2
9
. D.
2e3
+ 1
9
.
4.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP
Câu 57. Tính tích phân I =
21000
1
ln x
(x + 1)2
dx.
A. I = −
ln 21000
1 + 21000
+ 1000 ln
2
1 + 21000
. B. I =
−1000 ln 2
1 + 21000
+ ln
21000
1 + 21000
.
C. I =
ln 21000
1 + 21000
− 100 ln
2
1 + 21000
. D. I =
1000 ln 2
1 + 21000
−
ln 21000
1 + 21000
.
Câu 58. Tìm tích phân bất định: I =
5 + 4x
x2
ln x dx.
A. I = 2 ln2
x −
5
x
(ln x + 1) + C. B. I = 2 ln2
x −
5
x
(ln x − 1) + C.
C. I = 2 ln2
x −
5
x
ln x −
5
x
. D. I = 2 ln2
x −
5
x
(ln x + 1) + C.
Câu 59. Cho tích phân I =
2
0
ex
(2x + ex
) dx = ae4
+ be2
+ c. Tính S = a + b + c.
A. 2. B. -4. C. -2. D. 4.
Câu 60. Tìm tích phân bất định I = x sin x cos x dx.
A. I =
1
2
1
4
sin 2x +
x
2
cos 2x + C. B. I = −
1
2
1
4
sin 2x −
x
2
cos 2x + C.
C. I =
1
2
1
4
sin 2x −
x
2
cos 2x + C. D. I = −
1
2
1
4
sin 2x +
x
2
cos 2x + C.
Câu 61. Cho hàm số f(x) thỏa mãn:f (x) = (x + 1)ex
, f(x) dx = (ax + b)ex
+ C. Tính
a + b.
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 62. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1], f(1) = 6,
1
0
xf (x) dx = 5,
1
0
f(x) dx =?
A. 1. B. -1. C. 11. D. 3.
Câu 63. Cho F(x) = (ax + b)ex
là một nguyên hàm của f(x) = (2x + 3)ex
, tính a + b.
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 64. Tìm tích phân bất định I = x cos(ln x) dx.
A. I =
1
5
[x2
cos(ln x) + x2
sin(ln x)] + C. B. I =
1
5
[x2
cos(ln x) + 2x2
sin(ln x)] + C.
C. I =
1
5
[2x2
cos(ln x) + x2
sin(ln x)] + C. D. không tồn tại.
Câu 65. Cho hàm số f(x) =
ln 1 +
√
x − 1
x − 1 +
√
x − 1
. F(x) là một nguyên hàm của của f(x), biết
F(1) = 0, tính F(2).
55
lovestem
.edu.vn

12. A. 0. B. ln 2. C. 1. D. ln 4.
Lời giải. Chọn đáp án D
Ta có:
ln 1 +
√
x − 1
x − 1 +
√
x − 1
dx
=
ln 1 +
√
x − 1
√
x − 1
√
x − 1 + 1
dx
= 2 ln 1 +
√
x − 1 d ln 1 +
√
x − 1
= ln2
1 +
√
x − 1 + C
Lại có F(1) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ F(2) = ln 4.
Câu 66. Cho hàm số f(x) =
tan x ln(cos x)
cos x
. F(x) là một nguyên hàm của f(x), biết F(0) = 1,
tính F
π
3
. Lấy kết quả xấp xỉ là số thập phân 2 chữ số sau dấu phẩy.
A. 0,61. B. 0,62. C. -0,89. D. 0,89.
Câu 67. Cho tích phân I =
π
0
sin2
x
ex
dx. Biết I = ae−π
+ b với a, b là số hữu tỉ. b − a gần với
số nào nhất sau đây?
A. 1. B. 0,75. C. 0,5. D. 0,9.
Câu 68. Tính nguyên hàm I = x sin xcos2
x dx
A.
−xcos3
x
3
+
sin 3x
36
+
sinx
4
+ C. B.
xcos3
x
3
+
sin 3x
36
+
sinx
4
+ C.
C.
xcos3
x
3
−
sin 3x
36
+
sinx
4
+ C. D.
−xcos3
x
3
−
sin 3x
36
+
sinx
4
+ C.
Lời giải. Chọn đáp án A
Đặt
u = x
dv = sin xcos2
x dx
⇔



du = dx
v =
−cos3
x
3
.
Khi đó:
I =
−x cos3
x
3
+
1
3
cos3
x dx
=
−x cos3
x
3
+
1
3
cos 3x + 3 cos x
4
dx
=
−x cos3
x
3
+
sin 3x
36
+
sin x
4
+ C
Câu 69. Tính nguyên hàm I = ln x +
√
1 + x2 dx
A. I = x ln x +
√
1 + x2 +
√
1 + x2 + C. B. I = x ln x +
√
1 + x2 −
√
1 + x2 + C .
C. I = x ln (x2
+ x + 1) +
√
1 + x2 + C. D. I = x ln (x2
+ x + 1) −
√
1 + x2 + C.
Lời giải. Chọn đáp án B
Đặt
u = ln x +
√
1 + x2
dv = dx
⇔



du =
1
√
1 + x2
dx
v = x.
56
lovestem
.edu.vn

13. Khi đó:
I = x ln x +
√
1 + x2 −
x
√
1 + x2
dx
= x ln x +
√
1 + x2 −
1
2
d (1 + x2
)
√
1 + x2
= x ln x +
√
1 + x2 −
√
1 + x2 + C
Câu 70. Tính tích phân I =
π
4
0
ln (sin x + cos x)
cos2x
dx
A. I = −
π
4
+
3
2
ln 2. B. I = −
π
4
−
3
2
ln 2. C. I =
π
4
−
3
2
ln 2. D. I =
π
4
.
Lời giải. Chọn đáp án A
Đặt



u = ln (sin x + cos x)
dv =
1
cos2x
dx
⇔



du =
cos x − sinx
sinx + cos x
dx
v = tan x + 1 =
sinx + cos x
cos x
.
Khi đó:
I = (tan x + 1) ln (sinx + cos x)
π
4
0
−
π
4
0
cos x − sinx
cos x
dx
= 2 ln
√
2 − (x + ln |cos x|)
π
4
0
= −
π
4
+
3
2
ln 2
Câu 71. Tính nguyên hàm I =
x2
ex
(x + 2)2 dx
A. I =
x2
ex
x + 2
− xex
+ ex
+ C. B. I =
x2
ex
x + 2
+ xex
+ ex
+ C.
C. I =
x2
ex
x + 2
− xex
− ex
+ C. D. I = −
x2
ex
x + 2
+ xex
− ex
+ C.
Câu 72. Tính nguyên hàm I = xtan2
x dx
A. I =
x2
2
+ x tan x + ln |cos x| + C. B. I =
x2
2
+ x tan x − ln |cos x| + C.
C. I =
x2
2
− x tan x − ln |cos x| + C. D. I = −
x2
2
+ x tan x − ln |cos x| + C.
Câu 73. Tính nguyên hàm I =
ln (2x + 1)
(1 − 3x)2 dx
A. I =
ln (2x + 1)
15 (3x − 1)
−
1
3
ln
3x − 1
2x + 1
+ C. B. I =
ln (2x + 1)
3 (3x − 1)
− 1
15
ln
3x − 1
2x + 1
+ C.
C. I =
− ln (2x + 1)
3 (3x − 1)
+
1
15
ln
3x − 1
2x + 1
+ C. D. I =
ln (2x + 1)
15 (3x − 1)
+
1
3
ln
3x − 1
2x + 1
+ C.
57
lovestem
.edu.vn

14. Câu 74. Đặt I =
π
2
0
x sin x dx và J =
π
2
0
x2
cos x dx. Dùng phương pháp tích phân từng phần
để tính J ta được:
A. J =
π2
4
− 2I. B. J = −
π2
4
− 2I. C. J =
π2
4
+ 2I. D. J = −
π2
4
+ 2I.
Câu 75. Tính K =
1
0
x ln (1 + x2
) dx bằng:
A. 2 ln 2 − 1. B. ln 2 − 2. C. ln 2 +
1
2
. D. ln 2 −
1
2
.
Câu 76. Tính tích phân:I =
e
1
(x2
+ x + 1) ln x
x(x + 1)2
dx?
A. − ln
e + 1
2
+
1
2
−
e
e + 1
. B. ln
e + 1
2
+
1
2
−
e
e + 1
.
C. ln
e + 1
2
+
1
2
+
e
e + 1
. D. ln
e + 1
2
−
1
2
−
e
e + 1
.
Lời giải. Chọn đáp án B
Biến đổi I =
e
1
ln x
x
dx −
e
1
ln x
(x + 1)2
dt = I1 − I2.
Tính I1 =
e
1
ln x
x
dx =
e
1
ln x d(ln x) =
ln2
x
2
e
1
=
1
2
.
Tính I2:
I2 =
e
1
ln x
(x + 1)2
dx = −
e
1
ln x d
1
x + 1
= −
ln x
x + 1
e
1
+
e
1
1
x(x + 1)
dx
= −
1
e + 1
+
e
1
1
x
dx −
e
1
1
x + 1
dx = −
1
e + 1
+ 1 − ln(e + 1) + ln 2.
⇒ I = ln
e + 1
2
+
1
2
−
e
e + 1
.
58
lovestem
.edu.vn