SlideShare a Scribd company logo
KHAI TRIỂN TAYLOR
Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
20 0
0 0 0
( )
0
0
( )
1! 2!
!
n
n
n
f x
R
f x
f x f x x x x x
f x
x x
n
′ ′′
= + − + −
+ + − +L
( )
( )
( 1)
1
0 ,
( 1)!
n
n
n
f c
x x
n
R
+
+
= −
+
f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0:
(khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)
c nằm giữa x và x0
Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
20 0
0 0
0
0
( )
0
0
( )
1! 2!
(
!
)n
n
n
f x f x
f x f x x x x x
f x
o x xx x
n
′ ′′
= + − + −
+ −+ − +L
f có đạo hàm cấp n tại x0:
Phần dư Peano.
x0 = 0: khai triển Maclaurin.
Ý nghĩa của khai triển Taylor
f(x): biểu thức phức tạp
⇒ cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng
f(x) để thuận tiện trong tính toán.
Hàm đơn giản nhất là đa thức.
f(x) = sinx
( ) ( )f x x o x= +
f(x) = sinx
3
3
( ) ( )
3!
x
f x x o x= − +( ) ( )f x x o x= +
f(x) = sinx
3
3
( ) ( )
3!
x
f x x o x= − +( ) ( )f x x o x= +
4 2 1
7
1
( ) ( 1) ( )
(2 1)!
n
n
n
x
f x o x
n
−
=
= − +
−
∑
f(x) = sinx
Ví dụ 1.
(khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1)
đến (x – 1)3
)
•Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3.
•Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.
Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận
x = 1 cho
1
( )f x
x
=
(1) 1f⇒ =
1
( )f x
x
=
2
1
( )f x
x
′ = − (1) 1f ′⇒ = −
3
2
( )f x
x
′′ = (1) 2f ′′⇒ =
4
6
( )f x
x
′′′ = − (1) 6f ′′′⇒ = −
( )
2
3 3
(1) (1)
( ) (1) ( 1) ( 1)
1! 2!
(1)
( 1) ( 1)
3!
f f
f x f x x
f
x o x
′ ′′
= + − + −
′′′
+ − + −
(4)
5
24
( )f x
x
=
( )
2
3 3
(1) (1)
( ) (1) ( 1) ( 1)
1! 2!
(1)
( 1) ( 1)
3!
f f
f x f x x
f
x o x
′ ′′
= + − + −
′′′
+ − + −
( )2 3 31 2 6
( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1! 2! 3!
f x x x x o x= − − + − − − + −
( )32 3
1 ( 1) ( 1) ( ( 1)1)x ox x x= − − + − − −+−
Phần dư Peano
(4)
5
24
( )f x
x
=
Nếu dùng phần dư Lagrange:
32
3( 1)( ) 1 ( 1) ( 1)f x x x Rx= − − + − +−−
4(
3
)
4( )
( 1)
!4
cf
R x⇒ = −
4
4
5 5
1 24 ( 1)
( 1)
4!
x
x
c c
−
= − =
Ví dụ 2
2
( ) 2tan (1 tan )f x x x′′ = +
2 2 2
( ) 2(1 tan ) 6tan (1 tan )f x x x x′′′ = + + +
( )
2
3 3
(0) (0)
( ) (0) ( 0) ( 0)
1! 2!
(0)
( 0) ( 0)
3!
f f
f x f x x
f
x o x
′ ′′
= + − + −
′′′
+ − + −
3
3
tan ( )
3
x
x x o x= + +
Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x
2
( ) 1 tanf x x′ = +
Ví dụ 3
2 3(2) (2) (2)
( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)
1! 2! 3!
f f f
f x f x x x
′ ′′ ′′′
= + − + − + −
Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = −1,
f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)
(x) = 0
⇒ Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không
có phần dư.
2 3(2) (2) (2)
( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)
1! 2! 3!
f f f
f x f x x x
′ ′′ ′′′
= + − + − + −
Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = −1,
f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
2 31 4 12
0 ( 2) ( 2) ( 2)
1! 2! 3!
x x x= − − + − + −
2 3
( 2) 2( 2) 2( 2)x x x= − − + − + −
2
( ) 1 4( 2) 6( 2)f x x x′⇒ = − + − + −
(1) 1, (1) 1f f ′⇒ = =
Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản
( )
( )k x
f x e=
( )
( )
1
(0)
(0) ( 0) ( 0)
!
n k
x k n
k
f
e f x o x
k=
= + − + −∑
1
1
1 ( )
!
n
x k n
k
e x o x
k=
= + +∑
( )
(0) 1k
f⇒ =
(x0 = 0)
(. )1 x
f x e=
1
( ) ( 1) ( 1)!
( )
(1 )
k
k
k
k
f x
x
−
− −
=
+
( )
( )
1
(0)
ln(1 ) (0)
!
n k
k n
k
f
x f x o x
k=
+ = + +∑
1
1
ln(1 ) ( 1) ( )
n k
k n
k
x
x o x
k
−
=
+ = − +∑
( )2. l 1 )n(f x x= +
( ) 1
(0) ( 1) ( 1)!k k
f k−
⇒ = − −
( )
( ) ( 1) ( 1)(1 )k k
f x k x α
α α α −
= − − + +L
( )
( )
1
(0)
(1 ) (0)
!
n k
k n
k
f
x f x o x
k
α
=
+ = + +∑
2( 1)
(1 ) 1
1! 2!
( 1) ( 1)
( )
!
n n
x x x
n
x o x
n
α α α α
α α α
−
+ = + + +
− − +
+ +
L
L
( )3. (1 )f x x α
= +
( )
(0) ( 1) ( 1)k
f kα α α= − − +L
Áp dụng cho α = − 1.
2 31
1 ( 1) ( )
1
n n n
x x x x o x
x
= − + − + + − +
+
L
2( 1)
(1 ) 1
1! 2!
( 1) ( 1)
( )
!
n n
x x x
n
x o x
n
α α α α
α α α
−
+ = + + +
− − +
+ +
L
L
( )
( ) sin
2
k
f x x k
π = + ÷
 
( )
2 1 ( )
2 1
0
(0)
sin (0)
!
n k
k n
k
f
x f x o x
k
−
−
=
= + +∑
( ) si3. nf x x=
( )
(0) sin
2
k
f k
π
⇒ =
(1)
(0) 1,f =
( )
2 1
1 2 1
1
sin ( 1)
(2 1)!
n k
k n
k
x
x o x
k
−
− −
=
= − +
−
∑
( )(2 )
0 0p
f =
(3)
(0) 1,f = − ( ) 1(2 1)
(0) 1
pp
f
−−
= −
( )
2 ( )
2
0
(0)
sin (0)
!
n k
k n
k
f
x f x o x
k=
= + +∑
( )
2 1
1 2
1
sin ( 1)
(2 1)!
n k
nk
k
o x
x
x
k
−
−
=
= − +
−
∑
Lưu ý cho hàm sin x
f(2n)
(0) = 0 ⇒ hệ số của x2n
là 0.
Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản
2
1 ( )
1! 2! !
x
n
nx x x
e o x
n
= + + + + +L
2 3
1
( 1) ( )
2 3
ln(1 )
n
n nx x x
x o xx
n
−
= − + − + − ++ L
2( 1)
1
1! 2!
( 1) ( 1)
(
(1 )
)
!
n n
x x
n
x o x
x
n
α α α α
α α α
−
= + + +
− − +
+ +
+ L
L
2 3
1 ( 1)
1
1
( )n n n
x x x o x
x
x= − + − + + − +
+
L
( )
3 5 2 1
1 2 1
( 1)
3! 5! (2 1)!
sin
n
n n
x
x x x
x o x
n
−
− −
= − + − + − +
−
L
( )( )2n
hay o x+
( )
2 4 2
2
1 ( 1)
2! 4! (
c
2 )!
os
n
n nx x x
o xx
n
= − + − + − +L
( )( )2 1n
o xhay +
+
Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic
( )
3 5 2 1
2 1
s
3! 5! (2 1)
i
!
nh
n
nx x x
x o x
n
x
−
−
= + + − + +
−
L
( )
3 5 2 1
1 2 1
( 1)arcta
5 2 1
n
3
n
n nx x x
x o x
n
x
−
− −
= − + − + − +
−
L
( )
2 4 2
2
1
2! 4!
cos
( )!
h
2
n
nx x x
o x
n
x = + + − + +L
Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu
Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.
Ví dụ áp dụng
( )2 3 3
1 u u u o u= − + − +
( )2 3 3
( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x x x x o x= − − + − − − + −
1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận
x = 1 cho: 1
( )f x
x
=
x0 = 1 ≠ 0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1
1
( )
1
f x
u
=
+
Trả về biến cũ:
2. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận
x = 1 cho:
( ) ln( 2)f x x= +
u = x – 1
( ) ln(3 )f x u= + ln(1 2 )u= + +
( )
2 3
3(2 ) (2 )
2 (2 )
2 3
u u
u o u
+ +
= + − + + +
Sai! (u + 2) ≠ 0 khi u = 0 (hay x = 1).
2 3
1
ln(1 ) ( 1) ( )
2 3
n
n nx x x
x x o x
n
−
+ = − + − + − +L
( ) ln(3 )f x u= +
ln3 1 l
3
n3 ln 1
3
uu   = + = + + ÷  ÷
   
ln3=
3
u
+
2
3
2
u 
 ÷
 −
3
3
3
u 
 ÷
 +
3
3
u
o
  +  ÷ ÷
  
2 3 31 1 1
ln3 ( )
3 18 81
u u u o u= + − + +
Nhớ trả về x
1
0
x
u
=
=
3. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:
2
2
( )
3 4
x
f x
x x
+
=
− −
2 1 6
( )
( 1)( 4) 5( 1) 5( 4)
x
f x
x x x x
+ −
= = +
+ − + −
1 1 6 1
5 1 201
4
xx
−
= −
+ −
Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai
triển đến bậc được yêu cầu.
1 1 6 1
( )
5 1 201
4
f x
xx
−
= −
+ −
2 31
1 ( 1) ( )
1
n n n
x x x x o x
x
= − + − + + − +
+
L
( )2 3 31
1 ( )
5
x x x o x
−
= − + − +
2 3 31 1 7 25
( ) ( )
2 8 32 128
f x x x x o x
−
= + − + +
2 3 3
6
1
20 4 4 4 4
x x x x
o
         − − − + − − − + −  ÷ ÷  ÷  ÷  ÷
          
4. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3
cho:
( ) .ln(1 )x
f x e x= +
1.Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các
lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ
tự bậc từ thấp đến cao.
2.Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g:
Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k
⇒g khai triển đến bậc (n – k)(và ngược lại).
2 3 4
2 3 4
x x x
x
 
− + − + ÷
 
L
2 3
2! 6
1
!
x x
x
 
+ + + + ÷
 
L
x
e ln(1 )x+
Bậc thấp nhất trong khai triển của ex
là x0
.
⇒ ln(1 + x) khai triển đến x3
Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1
⇒ ex
khai triển đến x2
( ) ln(1 )x
f x e x= +
2 3
( )f x =
2 3
3
( )
2 3
x x
x o x
 
− + + ÷
 
2
2
1 ( )
2!
x
x o x
 
+ + + ÷
 
2 3
3
( )
2 3
x x
x o x= + + +
(0) (1)
khai triển cấp 3
5. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4
cho:
( ) sin .ln(1 )f x x x= +
( ) sin .ln(1 )f x x x= +
(1) (1)
1.Khai triển cấp 4:
3 3
( )f x =
2 3
3
( )
2 3
x x
x o x
 
− + + ÷
 
3
3
( )
3!
x
x o x
 
− + ÷
 
3 4
2 3
( )
2 6
x x
x o x= − + +
( ) sin .ln(1 )f x x x= +
(1) (1)
2.Khai triển cấp 3:
2 2
( )f x =
2
2
( )
2
x
x o x
 
− + ÷
 
( )2
( )x o x+
3
2 3
( )
2
x
x o x= − +
7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3
cho: 2
( ) x x
f x e −
=
Đặt u(x) = x – x2
thì u(0) = 0
⇒ khai triển Maclaurin của f theo u.
Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy
thừa từ x3
trở xuống.
( )
2
2
( ) 1x x
f x e x x−
= = + −
( )
22
2!
x x−
+
( )
32
3!
x x−
+ ( )( )32
o x x+ −
2
1 x x= + − 21
2
x+ 3
x− 31
6
x+ ( )3
o x+
( )2 3 31 5
1
2 6
x x x o x= + − − +
Để tìm bậc khai triển của f theo u phải xác
định bậc VCB của u theo x.
2 1
x x x− :
8. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 4 cho:
( ) ln(cos )f x x=
ln(cos ) ln(1 cos 1)x x= + −
21
cos 1
2
u x x= − −:
Cần khai triển đến x4
⇒khai triển f đến u2
( )
( )( )
2
2cos 1
ln(1 cos 1) cos 1 cos 1
2
x
x x o x
−
+ − = − − + −
( )
( )( )
2
2cos 1
ln(1 cos 1) cos 1 cos 1
2
x
x x o x
−
+ − = − − + −
( )
2 4
4
1 1
2! 4!
x x
o x= − + + −
( ) ( )
22 4
4 41
1 1
2 2! 4!
x x
o x o x
 
− − + + − + ÷
 
( )
2 4
4
2 12
x x
o x= − − + x4
trong số hạng bình
phương không sử dụng
( )
22
21
2
1 1
2!
x
o x
 
− + −− ÷
 
cos x chỉ cần khai
triển đến x2
9. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3
cho:
2
2
( )
3 4
x
f x
x x
+
=
− +
(Mẫu số vô nghiệm)
( ) 2
1 1
( ) 2
4 3
1
4
f x x
x x
= +
− +
+
( )
( )
2 32 2 2
3
1
2
4
3 3 3
1
4 4 4
x
x x x x x x
o x
= +
    − + − + − + ÷× − + − + ÷  ÷ ÷  ÷ ÷    
( )
( )
2 32 2 2
3
1
2
4
3 3 3
1
4 4 4
x
x x x x x x
o x
= +
    − + − + − + ÷× − + − + ÷  ÷ ÷  ÷ ÷    
( ) ( )2 3 31 3 5 3
2 1
4 4 16 64
x
x x x o x
 
= + + + + + ÷
 
( )2 3 31 5 11 13
2 8 32 128
x x x o x= + + + +
Cách 2: chia đa thức (xếp bậc từ thấp đến cao)
2
4 3x x− +2 x+
1
2
25 1
2 2
x x−
5
8
x+
2 311 5
8 8
x x−
211
32
x+
313
32
x+
313
128
x+
2
2
( )
3 4
x
f x
x x
+
=
− +
sin 1
tan sin
cos 1 cos 1
x
x x
x x
= = ×
+ −
10. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 5 cho:
( ) tanf x x=
(0)(1)
5 4
( )2 2
sin 1 (cos 1) (cos 1) (cos 1)x x x o x = × − − + − + −
 
22 4 2
4 2 4
sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )
2 24 2
x x x
x o x o x o x
    
 = − − + + − + − + − + ÷  ÷
     
22 4 2
4 2 4
sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )
2 24 2
x x x
x o x o x o x
    
 = − − + + − + − + − + ÷  ÷
     
3 5
5
( )
6 120
x x
x o x
 
= − + + ÷
 
2 4 41 5
1 ( )
2 24
x x o x + + + ÷
 
3 5 51 2
( )
3 15
x x x o x= + + +
Cách 2:
3 5
5
2 4
5
( )
sin 6 120tan
cos
1 ( )
2 24
x x
x o x
x
x
x x x
o x
− + +
= =
− + +
2 4
1
2 24
x x
− +
3 5
6 120
x x
x − +
x
3 51 1
3 30
x x− 31
3
x+ 52
15
x+
52
15
x+
3 5 51 2
tan ( )
3 15
x x x x o x= + + +
Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = arctan x
( ) arctanf x x= 2
1
( ) ( )
1
f x g x
x
′ = =
+
Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n
.
2 4 6 2 2
( ) 1 ( 1) ( )n n n
g x x x x x o x= − + − + + − +L
(0) 0f =
(0) (0) 1f g′ = =
(0) (0) 0f g′′ ′= =
(0) (0) 1 2!f g′′′ ′′= = − ×
(2 ) (2 1)
(0) (0) 0k k
f g −
= =
(2 1) (2 )
(0) (0) ( 1) (2 )!k k k
f g k+
= = −
( )
2 3
(2 ) (2 )
2 2 1 2 1
(0) (0) (0)
( ) (0)
1! 2! 3!
(0) (0)
(2 )! (2 )!
n n
n n n
f f f
f x f x x x
f f
x x o x
n n
+
+ +
′ ′′ ′′′
= + + + +
+ + + +
+
L
( )
3 5 2 1
1 2 1
arctan ( 1)
3 5 2 1
n
n nx x x
x x o x
n
−
− −
= − + − + − +
−
L
Cách viết khai triển cho arctan là cách viết
khai triển cho hàm ngược nói chung.
Các lưu ý khi viết khai triển Taylor tai x0
1. Luôn luôn chuyển về khai triển Maclaurin
2. Áp dụng các công thức cơ bản trên biểu thức u(x) với
điều kiện u(x0) = 0.
3. Khai triển cho tổng hiệu: từng hàm phải khai triển đến
bậc được yêu cầu.
4. Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ ra bậc thấp
nhất trong kt mỗi hàm để biết được bậc kt của hàm
còn lại.
5. Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x).
Áp dụng trong tính đạo hàm.
B1: Viết khai triển taylor theo (x – x0) đến cấp n.
B2: Xác định hệ số của (x – x0)n
trong khai triển.
B3: Giả sử hệ số trong B2 là a.
f(n)
(x0) = a.n!
Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của f tại x0.
Ví dụ
3 3
3! 2!
x x
− +
1 1 1
3! 2! 3
− + =
1. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex
.sinx
Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là
2 3
2 3
( ) 1 ( ) ( )
2! 3!
x x
f x x o x x o x
  
= + + + − + ÷ ÷
  
Các số hạng chứa x3
là:
⇒ Hệ số của x3
là:
1
(0) 3! 2
3
f ′′′⇒ = × =
2. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, 2
( ) ln(1 )f x x x= + +
Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là
2 2 2 3
2 3( ) ( )
( ) ( )
2 3
x x x x
f x x x o x
+ +
= + − + +
Các số hạng chứa x3
là: 31
2
2
x− × 31
3
x+ ×
⇒ Hệ số của x3
là:
2
3
−
2
(0) 3! 4
3
f ′′′⇒ = − × = −
3. Tìm đh cấp 12, 13 tại x =
0,
3
1
( )
2
f x
x
=
+
Khai triển Maclaurin đến cấp 13 của f là
3
1 1
( )
2
1
2
f x
x
= ×
+
2 33 3 3
1
1
2 2 2 2
x x x
      
= × − + − ÷  ÷  ÷
      
( )
12
131
1 0
2 16
x
o x
 
= × − + + + 
 
L
( )
4 53 3
2 2
x x
o
   
+ − + ÷  ÷
    
(12) (13)1
(0) 12! , (0) 0 13!
32
f f⇒ = × = ×
1
32
Hệ số của x13
là: 0
⇒ Hệ số của x12
là:
( )
12
131
( ) 1 0
2 16
x
f x o x
 
= × − + + + 
 
L
Áp dụng khai triển Taylor trong tính giới hạn
1.Thông thường chỉ áp dụng kt Tayor để tính gh
nếu các pp khác (gh cơ bản, VCB, L’Hospital)
tính quá dài hoặc không tính được.
2.Đa số các bài dùng Taylor rơi vào trường hợp
thay VCB hoặc VCL qua tổng, hiệu gặp triệt
tiêu. Do đó các biểu thức được khai triển đến
khi hết triệt tiêu ở phần đa thức thì dừng,
phần VCB bậc cao bỏ đi khi tính lim.
Ví dụ
3
3
( )
3!
x
x x o x
 
= − − + ÷
 
3
3
( )
3!
x
o x= +
3
3!
x
:
1
, 3
6
a p⇒ = =
1.Tìm các hằng số a,p để VCB α(x) ∼ axp
khi x → 0.
/ ( ) sina x x xα = −
/ ( ) 2 x x
b x x e eα −
= − +
2 2sinhx x= −
3 3
3
2 2 ( ) 2
3! 6
x x
x x o x
 
= − + + − ÷
 
:
/ ( ) sin cosc x x x xα = −
3 2
3 2
( ) 1 ( )
6 2
x x
x o x x o x
 
= − + − − + ÷
 
3
3
( )
3
x
o x= +
3
3
x
:
2.Tính giới hạn:
2
50
/ lim
1 5 1x
x
a
x x→ + − −
( )
2
0 2 2
lim
1 1 1 1
1 .5 1 5 ( ) 1
5 2!5 5
x
x
x x o x x
→
=
 
+ + − + − − ÷
 
2
20 2
lim
( )
2
x
x
x
o x
→
=
−
+
2
20
1
lim
2
2
x
x
x→
= = −
−
tan
3 40
/ lim
3
x x
x
e e
b
x x→
−
+
tan
tan
30
1
lim
x x
x
x
e
e
x
−
→
−
=
30
tan
lim1
x
x x
x→
−
=
3
3
30
( )
3lim
x
x
x x o x
x→
− − +
=
1
3
= −

More Related Content

What's hot

201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
Sơn DC
 
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hìnhBài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Thanh Hoa
 
30 bài toán phương pháp tính
30 bài toán phương pháp tính30 bài toán phương pháp tính
30 bài toán phương pháp tính
Pham Huy
 
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
Anh Thư
 
Bai tap-dai-so-tuyen-tinh-co-giai
Bai tap-dai-so-tuyen-tinh-co-giaiBai tap-dai-so-tuyen-tinh-co-giai
Bai tap-dai-so-tuyen-tinh-co-giai
giaoduc0123
 
Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914
Nam Cengroup
 
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
Bui Loi
 
12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức
Trinh Yen
 
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
Chuong 2   dai so tuyen tinh 2Chuong 2   dai so tuyen tinh 2
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
Trương Huỳnh
 
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-keBo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Nam Cengroup
 
bảng tra phân phối chuẩn
bảng tra phân phối chuẩnbảng tra phân phối chuẩn
bảng tra phân phối chuẩn
Ruc Trương
 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
Hoàng Thái Việt
 
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
caovanquy
 
Tính toán khoa học - Chương 8: Quy hoạch tuyến tính
Tính toán khoa học - Chương 8: Quy hoạch tuyến tínhTính toán khoa học - Chương 8: Quy hoạch tuyến tính
Tính toán khoa học - Chương 8: Quy hoạch tuyến tính
Chien Dang
 
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpHướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Van-Duyet Le
 
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1  ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI  TÍCH MẠNGCHƯƠNG 1  ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI  TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
Đinh Công Thiện Taydo University
 
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNHai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Điện Môi Phân Cực
 
Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1
TheSPDM
 

What's hot (20)

201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
 
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hìnhBài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
 
bai tap co loi giai xac suat thong ke
bai tap co loi giai xac suat thong kebai tap co loi giai xac suat thong ke
bai tap co loi giai xac suat thong ke
 
30 bài toán phương pháp tính
30 bài toán phương pháp tính30 bài toán phương pháp tính
30 bài toán phương pháp tính
 
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
 
Bai tap-dai-so-tuyen-tinh-co-giai
Bai tap-dai-so-tuyen-tinh-co-giaiBai tap-dai-so-tuyen-tinh-co-giai
Bai tap-dai-so-tuyen-tinh-co-giai
 
Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914
 
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
 
12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức
 
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
Chuong 2   dai so tuyen tinh 2Chuong 2   dai so tuyen tinh 2
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
 
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-keBo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
 
bảng tra phân phối chuẩn
bảng tra phân phối chuẩnbảng tra phân phối chuẩn
bảng tra phân phối chuẩn
 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
 
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
 
Tính toán khoa học - Chương 8: Quy hoạch tuyến tính
Tính toán khoa học - Chương 8: Quy hoạch tuyến tínhTính toán khoa học - Chương 8: Quy hoạch tuyến tính
Tính toán khoa học - Chương 8: Quy hoạch tuyến tính
 
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpHướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
 
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1  ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI  TÍCH MẠNGCHƯƠNG 1  ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI  TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
 
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNHai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
 
Chuong5
Chuong5Chuong5
Chuong5
 
Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1
 

Similar to Bai7 khai trien_taylor

Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
thithanh2727
 
Bt gioi han_ham_so_6893
Bt gioi han_ham_so_6893Bt gioi han_ham_so_6893
Bt gioi han_ham_so_6893
irisgk10
 
04 nguyen ham cua ham huu ti p3
04 nguyen ham cua ham huu ti p304 nguyen ham cua ham huu ti p3
04 nguyen ham cua ham huu ti p3
Huynh ICT
 
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và iiChuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
phamchidac
 
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-iiChuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Nguyen Van Tai
 
Phuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty
Phuong trinh vo ty
tututhoi1234
 
Tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi
Tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏiTổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi
Tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi
Nhập Vân Long
 
04 phuong trinh mu p4
04 phuong trinh mu p404 phuong trinh mu p4
04 phuong trinh mu p4
Huynh ICT
 
[Vnmath.com] bai giang-trong_tam_ve_ham_so_thay_dang_viet_hung
[Vnmath.com] bai giang-trong_tam_ve_ham_so_thay_dang_viet_hung[Vnmath.com] bai giang-trong_tam_ve_ham_so_thay_dang_viet_hung
[Vnmath.com] bai giang-trong_tam_ve_ham_so_thay_dang_viet_hung
Đức Mạnh Ngô
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
roggerbob
 
01 khao sat va ve do thi ham so p1
01 khao sat va ve do thi ham so p101 khao sat va ve do thi ham so p1
01 khao sat va ve do thi ham so p1
diemthic3
 
11 phuong phap giai pth
11 phuong phap giai pth11 phuong phap giai pth
11 phuong phap giai pth
Phuc Nguyen
 
Cac phuong phap giai pt ham thuong dung
Cac phuong phap giai pt ham thuong dungCac phuong phap giai pt ham thuong dung
Cac phuong phap giai pt ham thuong dung
ljmonking
 
20 chuyen de boi duong toan 8
20 chuyen de boi duong toan 820 chuyen de boi duong toan 8
20 chuyen de boi duong toan 8
cunbeo
 
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham soToan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
quantcn
 
Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty
Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai  pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai  pt va bpt vo ty
Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty
Huynh ICT
 
chuyen de tich phan on thi dai hoc
chuyen de tich phan on thi dai hocchuyen de tich phan on thi dai hoc
chuyen de tich phan on thi dai hoc
Hoàng Thái Việt
 

Similar to Bai7 khai trien_taylor (20)

Giới hạn
Giới hạnGiới hạn
Giới hạn
 
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
 
Bt gioi han_ham_so_6893
Bt gioi han_ham_so_6893Bt gioi han_ham_so_6893
Bt gioi han_ham_so_6893
 
04 nguyen ham cua ham huu ti p3
04 nguyen ham cua ham huu ti p304 nguyen ham cua ham huu ti p3
04 nguyen ham cua ham huu ti p3
 
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và iiChuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
 
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-iiChuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
 
Phuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty
Phuong trinh vo ty
 
Tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi
Tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏiTổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi
Tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi
 
04 phuong trinh mu p4
04 phuong trinh mu p404 phuong trinh mu p4
04 phuong trinh mu p4
 
[Vnmath.com] bai giang-trong_tam_ve_ham_so_thay_dang_viet_hung
[Vnmath.com] bai giang-trong_tam_ve_ham_so_thay_dang_viet_hung[Vnmath.com] bai giang-trong_tam_ve_ham_so_thay_dang_viet_hung
[Vnmath.com] bai giang-trong_tam_ve_ham_so_thay_dang_viet_hung
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
 
01 khao sat va ve do thi ham so p1
01 khao sat va ve do thi ham so p101 khao sat va ve do thi ham so p1
01 khao sat va ve do thi ham so p1
 
Bai 3
Bai 3Bai 3
Bai 3
 
11 phuong phap giai pth
11 phuong phap giai pth11 phuong phap giai pth
11 phuong phap giai pth
 
Cac phuong phap giai pt ham thuong dung
Cac phuong phap giai pt ham thuong dungCac phuong phap giai pt ham thuong dung
Cac phuong phap giai pt ham thuong dung
 
20 chuyen de boi duong toan 8
20 chuyen de boi duong toan 820 chuyen de boi duong toan 8
20 chuyen de boi duong toan 8
 
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham soToan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
 
Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty
Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai  pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai  pt va bpt vo ty
Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty
 
chuyen de tich phan on thi dai hoc
chuyen de tich phan on thi dai hocchuyen de tich phan on thi dai hoc
chuyen de tich phan on thi dai hoc
 
Bpt mu-logarit-2
Bpt mu-logarit-2Bpt mu-logarit-2
Bpt mu-logarit-2
 

More from ljmonking

Impact of pulsed light treatment on quality characteristics and oxidative sta...
Impact of pulsed light treatment on quality characteristics and oxidative sta...Impact of pulsed light treatment on quality characteristics and oxidative sta...
Impact of pulsed light treatment on quality characteristics and oxidative sta...
ljmonking
 
Stability of avocado paste carotenoids as affected by high hydrostatic pressu...
Stability of avocado paste carotenoids as affected by high hydrostatic pressu...Stability of avocado paste carotenoids as affected by high hydrostatic pressu...
Stability of avocado paste carotenoids as affected by high hydrostatic pressu...
ljmonking
 
INVESTIGATION ON ISOLATED AND PURIFIED LIPOXYGENASE FROM AVOCADO IN THE PRESE...
INVESTIGATION ON ISOLATED AND PURIFIED LIPOXYGENASE FROM AVOCADO IN THE PRESE...INVESTIGATION ON ISOLATED AND PURIFIED LIPOXYGENASE FROM AVOCADO IN THE PRESE...
INVESTIGATION ON ISOLATED AND PURIFIED LIPOXYGENASE FROM AVOCADO IN THE PRESE...
ljmonking
 
GUACAMOLE AND AVOCADO PRODUCTS
GUACAMOLE AND AVOCADO PRODUCTS GUACAMOLE AND AVOCADO PRODUCTS
GUACAMOLE AND AVOCADO PRODUCTS
ljmonking
 
De thi va bai giai olympic toan (1993 2005)
De thi va bai giai olympic toan (1993 2005)De thi va bai giai olympic toan (1993 2005)
De thi va bai giai olympic toan (1993 2005)
ljmonking
 
Avocado paste carotenoids
Avocado paste carotenoids Avocado paste carotenoids
Avocado paste carotenoids
ljmonking
 
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
ljmonking
 
Nghiên cứu một số đặc điểm sinh lí, hóa sinh và năng suất một số giống dưa ch...
Nghiên cứu một số đặc điểm sinh lí, hóa sinh và năng suất một số giống dưa ch...Nghiên cứu một số đặc điểm sinh lí, hóa sinh và năng suất một số giống dưa ch...
Nghiên cứu một số đặc điểm sinh lí, hóa sinh và năng suất một số giống dưa ch...
ljmonking
 
Nghiên cứu thành phần hóa học cây chanh leo tím
Nghiên cứu thành phần hóa học cây chanh leo tímNghiên cứu thành phần hóa học cây chanh leo tím
Nghiên cứu thành phần hóa học cây chanh leo tím
ljmonking
 
Studies on certain quality attributes of meat pickle prepared from spent chicken
Studies on certain quality attributes of meat pickle prepared from spent chickenStudies on certain quality attributes of meat pickle prepared from spent chicken
Studies on certain quality attributes of meat pickle prepared from spent chicken
ljmonking
 
Passion fruit
Passion fruitPassion fruit
Passion fruit
ljmonking
 
Cold plasma final_fp_for_pure
Cold plasma final_fp_for_pureCold plasma final_fp_for_pure
Cold plasma final_fp_for_pure
ljmonking
 
Cong nghe do hop thuc pham va gia suc gia cam nguyen trong can
Cong nghe do hop thuc pham va gia suc gia cam  nguyen trong canCong nghe do hop thuc pham va gia suc gia cam  nguyen trong can
Cong nghe do hop thuc pham va gia suc gia cam nguyen trong can
ljmonking
 
Cn che bien_sua_7074
Cn che bien_sua_7074Cn che bien_sua_7074
Cn che bien_sua_7074
ljmonking
 
Phuv vis-140428015232-phpapp01
Phuv vis-140428015232-phpapp01Phuv vis-140428015232-phpapp01
Phuv vis-140428015232-phpapp01
ljmonking
 
Kỹ thuật sấy nông sản thực phẩm
Kỹ thuật sấy nông sản thực phẩmKỹ thuật sấy nông sản thực phẩm
Kỹ thuật sấy nông sản thực phẩm
ljmonking
 
An toan thuc pham phan tich vsv
An toan thuc pham phan tich vsvAn toan thuc pham phan tich vsv
An toan thuc pham phan tich vsv
ljmonking
 
Sự hấp phụ khí và hơi trên chất hấp phụ rắn
Sự hấp phụ khí và hơi trên chất hấp phụ rắnSự hấp phụ khí và hơi trên chất hấp phụ rắn
Sự hấp phụ khí và hơi trên chất hấp phụ rắn
ljmonking
 
kĩ thuật phân tích cảm quan thực phẩm (hà duy tư)
kĩ thuật phân tích cảm quan thực phẩm (hà duy tư)kĩ thuật phân tích cảm quan thực phẩm (hà duy tư)
kĩ thuật phân tích cảm quan thực phẩm (hà duy tư)
ljmonking
 
A not-a
A not-aA not-a
A not-a
ljmonking
 

More from ljmonking (20)

Impact of pulsed light treatment on quality characteristics and oxidative sta...
Impact of pulsed light treatment on quality characteristics and oxidative sta...Impact of pulsed light treatment on quality characteristics and oxidative sta...
Impact of pulsed light treatment on quality characteristics and oxidative sta...
 
Stability of avocado paste carotenoids as affected by high hydrostatic pressu...
Stability of avocado paste carotenoids as affected by high hydrostatic pressu...Stability of avocado paste carotenoids as affected by high hydrostatic pressu...
Stability of avocado paste carotenoids as affected by high hydrostatic pressu...
 
INVESTIGATION ON ISOLATED AND PURIFIED LIPOXYGENASE FROM AVOCADO IN THE PRESE...
INVESTIGATION ON ISOLATED AND PURIFIED LIPOXYGENASE FROM AVOCADO IN THE PRESE...INVESTIGATION ON ISOLATED AND PURIFIED LIPOXYGENASE FROM AVOCADO IN THE PRESE...
INVESTIGATION ON ISOLATED AND PURIFIED LIPOXYGENASE FROM AVOCADO IN THE PRESE...
 
GUACAMOLE AND AVOCADO PRODUCTS
GUACAMOLE AND AVOCADO PRODUCTS GUACAMOLE AND AVOCADO PRODUCTS
GUACAMOLE AND AVOCADO PRODUCTS
 
De thi va bai giai olympic toan (1993 2005)
De thi va bai giai olympic toan (1993 2005)De thi va bai giai olympic toan (1993 2005)
De thi va bai giai olympic toan (1993 2005)
 
Avocado paste carotenoids
Avocado paste carotenoids Avocado paste carotenoids
Avocado paste carotenoids
 
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
 
Nghiên cứu một số đặc điểm sinh lí, hóa sinh và năng suất một số giống dưa ch...
Nghiên cứu một số đặc điểm sinh lí, hóa sinh và năng suất một số giống dưa ch...Nghiên cứu một số đặc điểm sinh lí, hóa sinh và năng suất một số giống dưa ch...
Nghiên cứu một số đặc điểm sinh lí, hóa sinh và năng suất một số giống dưa ch...
 
Nghiên cứu thành phần hóa học cây chanh leo tím
Nghiên cứu thành phần hóa học cây chanh leo tímNghiên cứu thành phần hóa học cây chanh leo tím
Nghiên cứu thành phần hóa học cây chanh leo tím
 
Studies on certain quality attributes of meat pickle prepared from spent chicken
Studies on certain quality attributes of meat pickle prepared from spent chickenStudies on certain quality attributes of meat pickle prepared from spent chicken
Studies on certain quality attributes of meat pickle prepared from spent chicken
 
Passion fruit
Passion fruitPassion fruit
Passion fruit
 
Cold plasma final_fp_for_pure
Cold plasma final_fp_for_pureCold plasma final_fp_for_pure
Cold plasma final_fp_for_pure
 
Cong nghe do hop thuc pham va gia suc gia cam nguyen trong can
Cong nghe do hop thuc pham va gia suc gia cam  nguyen trong canCong nghe do hop thuc pham va gia suc gia cam  nguyen trong can
Cong nghe do hop thuc pham va gia suc gia cam nguyen trong can
 
Cn che bien_sua_7074
Cn che bien_sua_7074Cn che bien_sua_7074
Cn che bien_sua_7074
 
Phuv vis-140428015232-phpapp01
Phuv vis-140428015232-phpapp01Phuv vis-140428015232-phpapp01
Phuv vis-140428015232-phpapp01
 
Kỹ thuật sấy nông sản thực phẩm
Kỹ thuật sấy nông sản thực phẩmKỹ thuật sấy nông sản thực phẩm
Kỹ thuật sấy nông sản thực phẩm
 
An toan thuc pham phan tich vsv
An toan thuc pham phan tich vsvAn toan thuc pham phan tich vsv
An toan thuc pham phan tich vsv
 
Sự hấp phụ khí và hơi trên chất hấp phụ rắn
Sự hấp phụ khí và hơi trên chất hấp phụ rắnSự hấp phụ khí và hơi trên chất hấp phụ rắn
Sự hấp phụ khí và hơi trên chất hấp phụ rắn
 
kĩ thuật phân tích cảm quan thực phẩm (hà duy tư)
kĩ thuật phân tích cảm quan thực phẩm (hà duy tư)kĩ thuật phân tích cảm quan thực phẩm (hà duy tư)
kĩ thuật phân tích cảm quan thực phẩm (hà duy tư)
 
A not-a
A not-aA not-a
A not-a
 

Recently uploaded

Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
lamluanvan.net Viết thuê luận văn
 
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdfThông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
QucHHunhnh
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdfĐiểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
thanhluan21
 
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptxbài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
PhongNguyn363945
 
Thông báo nhập học lớp 1- 10 24-25.docx
Thông báo nhập học lớp 1-  10 24-25.docxThông báo nhập học lớp 1-  10 24-25.docx
Thông báo nhập học lớp 1- 10 24-25.docx
QucHHunhnh
 
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
Hebemart Official
 
Bai giang DAI LY TAU BIEN GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
Bai giang DAI LY TAU BIEN  GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...Bai giang DAI LY TAU BIEN  GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
Bai giang DAI LY TAU BIEN GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
QuangTrn963971
 
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
huynhthingocthao2309
 
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptxPhòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
liunisau24
 
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdfThông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
QucHHunhnh
 
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxxHÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
loncaocao
 
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTUBÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
PhongNguyn363945
 
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
Luận Văn Uy Tín
 
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yênDIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
thanhluan21
 
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdfChương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
TuytNguyn954624
 

Recently uploaded (18)

Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
 
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdfThông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
 
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdfĐiểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
 
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptxbài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
 
Thông báo nhập học lớp 1- 10 24-25.docx
Thông báo nhập học lớp 1-  10 24-25.docxThông báo nhập học lớp 1-  10 24-25.docx
Thông báo nhập học lớp 1- 10 24-25.docx
 
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
 
Bai giang DAI LY TAU BIEN GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
Bai giang DAI LY TAU BIEN  GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...Bai giang DAI LY TAU BIEN  GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
Bai giang DAI LY TAU BIEN GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
 
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
 
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
 
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptxPhòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
 
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdfThông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
 
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxxHÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
 
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTUBÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
 
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
 
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yênDIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
 
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdfChương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
 

Bai7 khai trien_taylor

  • 2. Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1! 2! ! n n n f x R f x f x f x x x x x f x x x n ′ ′′ = + − + − + + − +L ( ) ( ) ( 1) 1 0 , ( 1)! n n n f c x x n R + + = − + f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0: (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0) c nằm giữa x và x0
  • 3. Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1! 2! ( ! )n n n f x f x f x f x x x x x f x o x xx x n ′ ′′ = + − + − + −+ − +L f có đạo hàm cấp n tại x0: Phần dư Peano. x0 = 0: khai triển Maclaurin.
  • 4. Ý nghĩa của khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp ⇒ cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán. Hàm đơn giản nhất là đa thức.
  • 6. ( ) ( )f x x o x= + f(x) = sinx
  • 7. 3 3 ( ) ( ) 3! x f x x o x= − +( ) ( )f x x o x= + f(x) = sinx
  • 8. 3 3 ( ) ( ) 3! x f x x o x= − +( ) ( )f x x o x= + 4 2 1 7 1 ( ) ( 1) ( ) (2 1)! n n n x f x o x n − = = − + − ∑ f(x) = sinx
  • 9. Ví dụ 1. (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3 ) •Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3. •Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho 1 ( )f x x =
  • 10. (1) 1f⇒ = 1 ( )f x x = 2 1 ( )f x x ′ = − (1) 1f ′⇒ = − 3 2 ( )f x x ′′ = (1) 2f ′′⇒ = 4 6 ( )f x x ′′′ = − (1) 6f ′′′⇒ = − ( ) 2 3 3 (1) (1) ( ) (1) ( 1) ( 1) 1! 2! (1) ( 1) ( 1) 3! f f f x f x x f x o x ′ ′′ = + − + − ′′′ + − + − (4) 5 24 ( )f x x =
  • 11. ( ) 2 3 3 (1) (1) ( ) (1) ( 1) ( 1) 1! 2! (1) ( 1) ( 1) 3! f f f x f x x f x o x ′ ′′ = + − + − ′′′ + − + − ( )2 3 31 2 6 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1! 2! 3! f x x x x o x= − − + − − − + − ( )32 3 1 ( 1) ( 1) ( ( 1)1)x ox x x= − − + − − −+− Phần dư Peano
  • 12. (4) 5 24 ( )f x x = Nếu dùng phần dư Lagrange: 32 3( 1)( ) 1 ( 1) ( 1)f x x x Rx= − − + − +−− 4( 3 ) 4( ) ( 1) !4 cf R x⇒ = − 4 4 5 5 1 24 ( 1) ( 1) 4! x x c c − = − =
  • 13. Ví dụ 2 2 ( ) 2tan (1 tan )f x x x′′ = + 2 2 2 ( ) 2(1 tan ) 6tan (1 tan )f x x x x′′′ = + + + ( ) 2 3 3 (0) (0) ( ) (0) ( 0) ( 0) 1! 2! (0) ( 0) ( 0) 3! f f f x f x x f x o x ′ ′′ = + − + − ′′′ + − + − 3 3 tan ( ) 3 x x x o x= + + Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x 2 ( ) 1 tanf x x′ = +
  • 14. Ví dụ 3 2 3(2) (2) (2) ( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2) 1! 2! 3! f f f f x f x x x ′ ′′ ′′′ = + − + − + − Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = −1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4) (x) = 0 ⇒ Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có phần dư.
  • 15. 2 3(2) (2) (2) ( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2) 1! 2! 3! f f f f x f x x x ′ ′′ ′′′ = + − + − + − Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = −1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) 2 31 4 12 0 ( 2) ( 2) ( 2) 1! 2! 3! x x x= − − + − + − 2 3 ( 2) 2( 2) 2( 2)x x x= − − + − + − 2 ( ) 1 4( 2) 6( 2)f x x x′⇒ = − + − + − (1) 1, (1) 1f f ′⇒ = =
  • 16. Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản ( ) ( )k x f x e= ( ) ( ) 1 (0) (0) ( 0) ( 0) ! n k x k n k f e f x o x k= = + − + −∑ 1 1 1 ( ) ! n x k n k e x o x k= = + +∑ ( ) (0) 1k f⇒ = (x0 = 0) (. )1 x f x e=
  • 17. 1 ( ) ( 1) ( 1)! ( ) (1 ) k k k k f x x − − − = + ( ) ( ) 1 (0) ln(1 ) (0) ! n k k n k f x f x o x k= + = + +∑ 1 1 ln(1 ) ( 1) ( ) n k k n k x x o x k − = + = − +∑ ( )2. l 1 )n(f x x= + ( ) 1 (0) ( 1) ( 1)!k k f k− ⇒ = − −
  • 18. ( ) ( ) ( 1) ( 1)(1 )k k f x k x α α α α − = − − + +L ( ) ( ) 1 (0) (1 ) (0) ! n k k n k f x f x o x k α = + = + +∑ 2( 1) (1 ) 1 1! 2! ( 1) ( 1) ( ) ! n n x x x n x o x n α α α α α α α − + = + + + − − + + + L L ( )3. (1 )f x x α = + ( ) (0) ( 1) ( 1)k f kα α α= − − +L
  • 19. Áp dụng cho α = − 1. 2 31 1 ( 1) ( ) 1 n n n x x x x o x x = − + − + + − + + L 2( 1) (1 ) 1 1! 2! ( 1) ( 1) ( ) ! n n x x x n x o x n α α α α α α α − + = + + + − − + + + L L
  • 20. ( ) ( ) sin 2 k f x x k π = + ÷   ( ) 2 1 ( ) 2 1 0 (0) sin (0) ! n k k n k f x f x o x k − − = = + +∑ ( ) si3. nf x x= ( ) (0) sin 2 k f k π ⇒ = (1) (0) 1,f = ( ) 2 1 1 2 1 1 sin ( 1) (2 1)! n k k n k x x o x k − − − = = − + − ∑ ( )(2 ) 0 0p f = (3) (0) 1,f = − ( ) 1(2 1) (0) 1 pp f −− = −
  • 21. ( ) 2 ( ) 2 0 (0) sin (0) ! n k k n k f x f x o x k= = + +∑ ( ) 2 1 1 2 1 sin ( 1) (2 1)! n k nk k o x x x k − − = = − + − ∑ Lưu ý cho hàm sin x f(2n) (0) = 0 ⇒ hệ số của x2n là 0.
  • 22. Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản 2 1 ( ) 1! 2! ! x n nx x x e o x n = + + + + +L 2 3 1 ( 1) ( ) 2 3 ln(1 ) n n nx x x x o xx n − = − + − + − ++ L 2( 1) 1 1! 2! ( 1) ( 1) ( (1 ) ) ! n n x x n x o x x n α α α α α α α − = + + + − − + + + + L L
  • 23. 2 3 1 ( 1) 1 1 ( )n n n x x x o x x x= − + − + + − + + L ( ) 3 5 2 1 1 2 1 ( 1) 3! 5! (2 1)! sin n n n x x x x x o x n − − − = − + − + − + − L ( )( )2n hay o x+ ( ) 2 4 2 2 1 ( 1) 2! 4! ( c 2 )! os n n nx x x o xx n = − + − + − +L ( )( )2 1n o xhay + +
  • 24. Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic ( ) 3 5 2 1 2 1 s 3! 5! (2 1) i ! nh n nx x x x o x n x − − = + + − + + − L ( ) 3 5 2 1 1 2 1 ( 1)arcta 5 2 1 n 3 n n nx x x x o x n x − − − = − + − + − + − L ( ) 2 4 2 2 1 2! 4! cos ( )! h 2 n nx x x o x n x = + + − + +L Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.
  • 25. Ví dụ áp dụng ( )2 3 3 1 u u u o u= − + − + ( )2 3 3 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x x x x o x= − − + − − − + − 1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: 1 ( )f x x = x0 = 1 ≠ 0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1 1 ( ) 1 f x u = + Trả về biến cũ:
  • 26. 2. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: ( ) ln( 2)f x x= + u = x – 1 ( ) ln(3 )f x u= + ln(1 2 )u= + + ( ) 2 3 3(2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 3 u u u o u + + = + − + + + Sai! (u + 2) ≠ 0 khi u = 0 (hay x = 1). 2 3 1 ln(1 ) ( 1) ( ) 2 3 n n nx x x x x o x n − + = − + − + − +L
  • 27. ( ) ln(3 )f x u= + ln3 1 l 3 n3 ln 1 3 uu   = + = + + ÷  ÷     ln3= 3 u + 2 3 2 u   ÷  − 3 3 3 u   ÷  + 3 3 u o   +  ÷ ÷    2 3 31 1 1 ln3 ( ) 3 18 81 u u u o u= + − + + Nhớ trả về x 1 0 x u = =
  • 28. 3. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: 2 2 ( ) 3 4 x f x x x + = − − 2 1 6 ( ) ( 1)( 4) 5( 1) 5( 4) x f x x x x x + − = = + + − + − 1 1 6 1 5 1 201 4 xx − = − + − Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu.
  • 29. 1 1 6 1 ( ) 5 1 201 4 f x xx − = − + − 2 31 1 ( 1) ( ) 1 n n n x x x x o x x = − + − + + − + + L ( )2 3 31 1 ( ) 5 x x x o x − = − + − + 2 3 31 1 7 25 ( ) ( ) 2 8 32 128 f x x x x o x − = + − + + 2 3 3 6 1 20 4 4 4 4 x x x x o          − − − + − − − + −  ÷ ÷  ÷  ÷  ÷           
  • 30. 4. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: ( ) .ln(1 )x f x e x= + 1.Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ tự bậc từ thấp đến cao. 2.Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g: Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k ⇒g khai triển đến bậc (n – k)(và ngược lại).
  • 31. 2 3 4 2 3 4 x x x x   − + − + ÷   L 2 3 2! 6 1 ! x x x   + + + + ÷   L x e ln(1 )x+ Bậc thấp nhất trong khai triển của ex là x0 . ⇒ ln(1 + x) khai triển đến x3 Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1 ⇒ ex khai triển đến x2
  • 32. ( ) ln(1 )x f x e x= + 2 3 ( )f x = 2 3 3 ( ) 2 3 x x x o x   − + + ÷   2 2 1 ( ) 2! x x o x   + + + ÷   2 3 3 ( ) 2 3 x x x o x= + + + (0) (1) khai triển cấp 3
  • 33. 5. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4 cho: ( ) sin .ln(1 )f x x x= + ( ) sin .ln(1 )f x x x= + (1) (1) 1.Khai triển cấp 4: 3 3 ( )f x = 2 3 3 ( ) 2 3 x x x o x   − + + ÷   3 3 ( ) 3! x x o x   − + ÷   3 4 2 3 ( ) 2 6 x x x o x= − + +
  • 34. ( ) sin .ln(1 )f x x x= + (1) (1) 2.Khai triển cấp 3: 2 2 ( )f x = 2 2 ( ) 2 x x o x   − + ÷   ( )2 ( )x o x+ 3 2 3 ( ) 2 x x o x= − +
  • 35. 7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: 2 ( ) x x f x e − = Đặt u(x) = x – x2 thì u(0) = 0 ⇒ khai triển Maclaurin của f theo u. Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy thừa từ x3 trở xuống.
  • 36. ( ) 2 2 ( ) 1x x f x e x x− = = + − ( ) 22 2! x x− + ( ) 32 3! x x− + ( )( )32 o x x+ − 2 1 x x= + − 21 2 x+ 3 x− 31 6 x+ ( )3 o x+ ( )2 3 31 5 1 2 6 x x x o x= + − − + Để tìm bậc khai triển của f theo u phải xác định bậc VCB của u theo x. 2 1 x x x− :
  • 37. 8. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 4 cho: ( ) ln(cos )f x x= ln(cos ) ln(1 cos 1)x x= + − 21 cos 1 2 u x x= − −: Cần khai triển đến x4 ⇒khai triển f đến u2 ( ) ( )( ) 2 2cos 1 ln(1 cos 1) cos 1 cos 1 2 x x x o x − + − = − − + −
  • 38. ( ) ( )( ) 2 2cos 1 ln(1 cos 1) cos 1 cos 1 2 x x x o x − + − = − − + − ( ) 2 4 4 1 1 2! 4! x x o x= − + + − ( ) ( ) 22 4 4 41 1 1 2 2! 4! x x o x o x   − − + + − + ÷   ( ) 2 4 4 2 12 x x o x= − − + x4 trong số hạng bình phương không sử dụng ( ) 22 21 2 1 1 2! x o x   − + −− ÷   cos x chỉ cần khai triển đến x2
  • 39. 9. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: 2 2 ( ) 3 4 x f x x x + = − + (Mẫu số vô nghiệm) ( ) 2 1 1 ( ) 2 4 3 1 4 f x x x x = + − + + ( ) ( ) 2 32 2 2 3 1 2 4 3 3 3 1 4 4 4 x x x x x x x o x = +     − + − + − + ÷× − + − + ÷  ÷ ÷  ÷ ÷    
  • 40. ( ) ( ) 2 32 2 2 3 1 2 4 3 3 3 1 4 4 4 x x x x x x x o x = +     − + − + − + ÷× − + − + ÷  ÷ ÷  ÷ ÷     ( ) ( )2 3 31 3 5 3 2 1 4 4 16 64 x x x x o x   = + + + + + ÷   ( )2 3 31 5 11 13 2 8 32 128 x x x o x= + + + +
  • 41. Cách 2: chia đa thức (xếp bậc từ thấp đến cao) 2 4 3x x− +2 x+ 1 2 25 1 2 2 x x− 5 8 x+ 2 311 5 8 8 x x− 211 32 x+ 313 32 x+ 313 128 x+ 2 2 ( ) 3 4 x f x x x + = − +
  • 42. sin 1 tan sin cos 1 cos 1 x x x x x = = × + − 10. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 5 cho: ( ) tanf x x= (0)(1) 5 4 ( )2 2 sin 1 (cos 1) (cos 1) (cos 1)x x x o x = × − − + − + −   22 4 2 4 2 4 sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 2 24 2 x x x x o x o x o x       = − − + + − + − + − + ÷  ÷      
  • 43. 22 4 2 4 2 4 sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 2 24 2 x x x x o x o x o x       = − − + + − + − + − + ÷  ÷       3 5 5 ( ) 6 120 x x x o x   = − + + ÷   2 4 41 5 1 ( ) 2 24 x x o x + + + ÷   3 5 51 2 ( ) 3 15 x x x o x= + + +
  • 44. Cách 2: 3 5 5 2 4 5 ( ) sin 6 120tan cos 1 ( ) 2 24 x x x o x x x x x x o x − + + = = − + + 2 4 1 2 24 x x − + 3 5 6 120 x x x − + x 3 51 1 3 30 x x− 31 3 x+ 52 15 x+ 52 15 x+ 3 5 51 2 tan ( ) 3 15 x x x x o x= + + +
  • 45. Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = arctan x ( ) arctanf x x= 2 1 ( ) ( ) 1 f x g x x ′ = = + Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n . 2 4 6 2 2 ( ) 1 ( 1) ( )n n n g x x x x x o x= − + − + + − +L (0) 0f = (0) (0) 1f g′ = = (0) (0) 0f g′′ ′= = (0) (0) 1 2!f g′′′ ′′= = − × (2 ) (2 1) (0) (0) 0k k f g − = = (2 1) (2 ) (0) (0) ( 1) (2 )!k k k f g k+ = = −
  • 46. ( ) 2 3 (2 ) (2 ) 2 2 1 2 1 (0) (0) (0) ( ) (0) 1! 2! 3! (0) (0) (2 )! (2 )! n n n n n f f f f x f x x x f f x x o x n n + + + ′ ′′ ′′′ = + + + + + + + + + L ( ) 3 5 2 1 1 2 1 arctan ( 1) 3 5 2 1 n n nx x x x x o x n − − − = − + − + − + − L Cách viết khai triển cho arctan là cách viết khai triển cho hàm ngược nói chung.
  • 47. Các lưu ý khi viết khai triển Taylor tai x0 1. Luôn luôn chuyển về khai triển Maclaurin 2. Áp dụng các công thức cơ bản trên biểu thức u(x) với điều kiện u(x0) = 0. 3. Khai triển cho tổng hiệu: từng hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu. 4. Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ ra bậc thấp nhất trong kt mỗi hàm để biết được bậc kt của hàm còn lại. 5. Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x).
  • 48. Áp dụng trong tính đạo hàm. B1: Viết khai triển taylor theo (x – x0) đến cấp n. B2: Xác định hệ số của (x – x0)n trong khai triển. B3: Giả sử hệ số trong B2 là a. f(n) (x0) = a.n! Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của f tại x0.
  • 49. Ví dụ 3 3 3! 2! x x − + 1 1 1 3! 2! 3 − + = 1. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex .sinx Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là 2 3 2 3 ( ) 1 ( ) ( ) 2! 3! x x f x x o x x o x    = + + + − + ÷ ÷    Các số hạng chứa x3 là: ⇒ Hệ số của x3 là: 1 (0) 3! 2 3 f ′′′⇒ = × =
  • 50. 2. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, 2 ( ) ln(1 )f x x x= + + Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là 2 2 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 x x x x f x x x o x + + = + − + + Các số hạng chứa x3 là: 31 2 2 x− × 31 3 x+ × ⇒ Hệ số của x3 là: 2 3 − 2 (0) 3! 4 3 f ′′′⇒ = − × = −
  • 51. 3. Tìm đh cấp 12, 13 tại x = 0, 3 1 ( ) 2 f x x = + Khai triển Maclaurin đến cấp 13 của f là 3 1 1 ( ) 2 1 2 f x x = × + 2 33 3 3 1 1 2 2 2 2 x x x        = × − + − ÷  ÷  ÷        ( ) 12 131 1 0 2 16 x o x   = × − + + +    L ( ) 4 53 3 2 2 x x o     + − + ÷  ÷     
  • 52. (12) (13)1 (0) 12! , (0) 0 13! 32 f f⇒ = × = × 1 32 Hệ số của x13 là: 0 ⇒ Hệ số của x12 là: ( ) 12 131 ( ) 1 0 2 16 x f x o x   = × − + + +    L
  • 53. Áp dụng khai triển Taylor trong tính giới hạn 1.Thông thường chỉ áp dụng kt Tayor để tính gh nếu các pp khác (gh cơ bản, VCB, L’Hospital) tính quá dài hoặc không tính được. 2.Đa số các bài dùng Taylor rơi vào trường hợp thay VCB hoặc VCL qua tổng, hiệu gặp triệt tiêu. Do đó các biểu thức được khai triển đến khi hết triệt tiêu ở phần đa thức thì dừng, phần VCB bậc cao bỏ đi khi tính lim.
  • 54. Ví dụ 3 3 ( ) 3! x x x o x   = − − + ÷   3 3 ( ) 3! x o x= + 3 3! x : 1 , 3 6 a p⇒ = = 1.Tìm các hằng số a,p để VCB α(x) ∼ axp khi x → 0. / ( ) sina x x xα = −
  • 55. / ( ) 2 x x b x x e eα − = − + 2 2sinhx x= − 3 3 3 2 2 ( ) 2 3! 6 x x x x o x   = − + + − ÷   :
  • 56. / ( ) sin cosc x x x xα = − 3 2 3 2 ( ) 1 ( ) 6 2 x x x o x x o x   = − + − − + ÷   3 3 ( ) 3 x o x= + 3 3 x :
  • 57. 2.Tính giới hạn: 2 50 / lim 1 5 1x x a x x→ + − − ( ) 2 0 2 2 lim 1 1 1 1 1 .5 1 5 ( ) 1 5 2!5 5 x x x x o x x → =   + + − + − − ÷   2 20 2 lim ( ) 2 x x x o x → = − + 2 20 1 lim 2 2 x x x→ = = − −
  • 58. tan 3 40 / lim 3 x x x e e b x x→ − + tan tan 30 1 lim x x x x e e x − → − = 30 tan lim1 x x x x→ − = 3 3 30 ( ) 3lim x x x x o x x→ − − + = 1 3 = −