Tài liệu toán rất hay, các bạn đón theo dõi

1. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
1
LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Công thức lượng giác
Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm ( )0 0;M x y sao cho
số đo cung AM α= .
tan APα = có nghĩa k.v.c.k
2
k
π
α π≠ + cot BQα = có nghĩa k.v.c.k kα π≠
3. Hàm số lượng giác của những góc (cung) có liên quan đặc biệt
2. Giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
α 0 6
π
4
π
3
π
2
π
sinα 0 1
2
2
2
3
2
1
cosα 1 3
2
2
2
1
2
0
tanα 0 3
3
1 3
cotα 3 1 3
3
0
1. Hệ thức cơ bản giữa các HSLG
sin
tan
cos
α
α
α
=
cos
cot
sin
α
α
α
=
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ = 2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =
2 2
sin cos 1α α+ =
( )( )2
sin 1 cos 1 cosα α α= + −
( )( )2
cos 1 sin 1 sinα α α= + −
( )
2
1 sin 2 sin cosα α α± = ±
4 4 2 2
sin cos 1 2sin cosα α α α+ = −
6 6 2 2
sin cos 1 3sin cosα α α α+ = −
a. Hai góc đối nhau
( )cos cosα α− =
( )sin sinα α− = −
( )tan tanα α− = −
( )cot cotα α− = −
b. Hai góc bù nhau
( )cos cosπ α α− = −
( )sin sinπ α α− =
( )tan tanπ α α− = −
( )cot cotπ α α− = −
d. Hai góc hơn kém π
( )cos cosπ α α+ = −
( )sin sinπ α α+ = −
( )tan tanπ α α+ =
( )cot cotπ α α+ =
c. Hai góc phụ nhau
cos sin
2
π
α α
 
− = 
 
sin cos
2
π
α α
 
− = 
 
tan cot
2
π
α α
 
− = 
 
cot tan
2
π
α α
 
− = 
 
e. Hai góc hơn kém
2
π
cos sin
2
π
α α
 
+ = − 
 
sin cos
2
π
α α
 
+ = 
 
tan cot
2
π
α α
 
+ = − 
 
cot tan
2
π
α α
 
+ = − 
 
Khi đó, 0cos xα = 0sin yα = 0
0
tan
y
x
α = 0
0
cot
x
y
α =
( )sin 2 sinkα π α+ = ( )cos 2 coskα π α+ = ( )
sin ,
sin
sin ,
k
k
k
α
α π
α

+ = 
−
ch½n
lÎ
( )tan tankα π α+ = ( )cot cotkα π α+ = ( )
cos ,
cos
cos ,
k
k
k
α
α π
α

+ = 
−
ch½n
lÎ
www.VNMATH.com

2. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
2
11. Phép biến đổi hàm số ( )2 2
asin cos 0y x b x a b= + + ≠
Cũng có thể biến đổi
Đặc biệt, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
1
sin sin cos cos
2
1
sin cos sin sin
2
1
cos sin sin sin
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −  
= − + − −  
= + + −  
= + − −  
4. Công thức cộng
( )cos cos cos sin sinα β α β α β± = ∓
( )sin sin cos cos sinα β α β α β± = ±
( )
tan tan
tan
1 tan tan
α β
α β
α β
±
± =
∓
5. Công thức nhân đôi
sin 2 2sin cosα α α=
2 2
cos2 cos sinα α α= −
2 2
2cos 1 1 2sinα α= − = −
2
2tan
tan 2
1 tan
α
α
α
=
−
6. Công thức nhân ba
3
sin3 3sin 4sinα α α= −
3
cos3 4cos 3cosα α α= −
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
α α
α
α
−
=
−
7. Công thức hạ bậc
2 1 cos2
cos
2
α
α
+
= 2 1 cos2
sin
2
α
α
−
=
2 1 cos2
tan
1 cos2
α
α
α
−
=
+
3 3sin sin3
sin
4
α α
α
−
= 3 cos3 3cos
cos
4
α α
α
+
=
9. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2 2
α β α β
α β
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
α β α β
α β
+ −
− = −
sin sin 2sin cos
2 2
α β α β
α β
+ −
+ =
sin sin 2cos sin
2 2
α β α β
α β
+ −
− =
( )sin
tan tan
cos cos
α β
α β
α β
±
± =
8. Biểu diễn qua tang góc chia đôi
Đặt tan
2
t
α
= . Khi đó,
2
2
sin
1
t
t
α =
+
2
2
1
cos
1
t
t
α
−
=
+
2
2
tan
1
t
t
α =
−
2
1
cot
2
t
t
α
−
=
2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y a b x x
a b a b
 
= + + 
+ + 
( )2 2
cos sin sin cosa b x xϕ ϕ= + +
( )2 2
sina b x ϕ= + + với tan .
b
a
ϕ =
( )2 2
sin sin cos cosy a b x xα α= + +
( )2 2
cosa b x α= + − với tan .
a
b
ϕ =
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π   
+ = + = −   
   
sin cos 2 sin 2 cos .
4 4
x x x x
π π   
− = − = +   
   
sin 3cos 2sin 2cos
3 6
x x x x
π π   
± = ± = ±   
   
∓
3sin cos 2sin 2cos
6 3
x x x x
π π   
± = ± = ±   
   
∓
www.VNMATH.com

3. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
3
b. Phương trình cos x m=
- Nếu 1m > thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu 1m ≤ thì chọn góc α sao cho cos mα = .
Khi đó, ( )
2
cos cos
2
x k
x k
x k
α π
α
α π
= +
= ⇔ ∈ = − +
ℤ
Đặc biệt, cos 0
2
x x k
π
π= ⇔ = +
cos 1 2x x k π= ⇔ = ( )k ∈ℤ
cos 1 2x x kπ π= − ⇔ = +
( )cos cos cos cosx xα π α= − ⇔ = −
*Tổng quát
2
cos cos
2
k
k
α β π
α β
α β π
= +
= ⇔  = − +
II. Phương trình lượng giác
1. Phương trình lượng giác cơ bản
2.
3.
4.
5.
6.
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp giải.
3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Phương trình có dạng sin cosa x b x c+ =
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥ .
Phương pháp giải.
a. Phương trình sin x m=
- Nếu 1m > thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu 1m ≤ thì chọn góc α sao cho sin mα = .
Khi đó, ( )
2
sin sin
2
x k
x k
x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔ ∈ = − +
ℤ
Đặc biệt, sin 0x x kπ= ⇔ =
sin 1 2
2
x x k
π
π= ⇔ = + ( )k ∈ℤ
sin 1 2
2
x x k
π
π
−
= − ⇔ = +
*Tổng quát
2
sin sin
2
k
k
α β π
α β
α π β π
= +
= ⇔  = − +
c. Phương trình tan x m=
Chọn góc α sao cho tan mα = .
Khi đó, ( )tan tanx x k kα α π= ⇔ = + ∈ℤ
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
*Tổng quát tan tan kα β α β π= ⇔ = +
d. Phương trình cot x m=
Chọn góc α sao cho cot mα = .
Khi đó, ( )cot cotx x k kα α π= ⇔ = + ∈ℤ
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
*Tổng quát cot cot kα β α β π= ⇔ = +
Phương pháp 1. Dùng tan
b
a
ϕ = để đưa
phương trình về dạng cơ bản như sau:
( )
sin cos sin tan cos
sin cos
b c c
x x x x
a a a
c
x
a
ϕ
ϕ ϕ
+ = ⇔ + =
⇔ + =
Phương pháp 2*. Chia 2 vế cho 2 2
a b+
để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau:
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
sin cos
cos
a b c
x x
a b a b a b
c
x
a b
ϕ
+ =
+ + +
⇔ − =
+
với 2 2
sin
a
a b
ϕ =
+
và 2 2
cos
b
a b
ϕ =
+
.
Phương pháp 3.
(Thường dùng khi phương trình chứa tham số)
Dùng ẩn số phụ tan
2
x
t = thì phương trình trở thành:
( ) ( )
2
2 2
2
2 1
. .
1 1
2 0
t t
a b c
t t
b c t at c b
−
+ =
+ +
⇔ + − + − =
(Đây là phương trình bậc hai theo t ).
- Dạng 2
sin sin 0a x b x c+ + = , đặt sin , 1 1.t x t= − ≤ ≤
- Dạng 2
cos cos 0a x b x c+ + = , đặt cos , 1 1.t x t= − ≤ ≤
- Dạng 2
tan tan 0a x b x c+ + = , đặt tant x= .
www.VNMATH.com

4. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
4
Cách sử dụng MTBT đưa phương trình dạng asin cosx b x c+ = về phương trình lượng giác
cơ bản ( )sinX x Y c+ = hoặc ( )cosX x Y c− = . ☺☺☺☺
* Đưa về dạng ( )sinX x Y c+ =
- Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4
- Nhập vào màn hình: Pol(a,b bằng cách bấm SHIFT +, nhập a, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện
dấu “,”, nhập b.
- Bấm ALPHA ) = để xem giá trị của X.
- Bấm ALPHA S D⇔ = để xem giá trị của Y.
- Khi đó, ( )asin cos sinx b x c X x Y c+ = ⇔ + = .
* Đưa về dạng ( )cosX x Y c− = thì làm tương tự, nhập Pol(b,a ta được X, Y.
Khi đó, ( )asin cos cosx b x c X x Y c+ = ⇔ − = .
Chú ý:
• Chuyển về sin thì bấm hệ số của sin trước và góc cùng dấu.
• Chuyển về cos thì bấm hệ số của cos trước và góc trái dấu.
Ví dụ 1: Giải phương trình 3sin 2 cos2 3x x− =
Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 3, 1Pol − ta được 2X = và
6
Y
π
= − .
Giải: 3sin 2 cos2 3 2sin 2 3
6
x x x
π 
− = ⇔ − = 
 
3
sin 2 sin
6 2 3
x
π π 
⇔ − = = 
 
2 2
6 3
2 2
6 3
x k
x k
π π
π
π π
π π

− = +
⇔ 
 − = − +

2 2
2
5
2 2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +
⇔ 
 = +

4
5
12
x k
x k
π
π
π
π

= +
⇔ 
 = +

.
Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: ( 1, 3Pol − ta được 2X = và
2
3
Y
π
= .
Giải:
2
3sin 2 cos2 3 2cos 2 3
3
x x x
π 
− = ⇔ − = 
 
2 3
cos 2 cos
3 2 6
x
π π 
⇔ − = = 
 
2
2 2
3 6
2
2 2
3 6
x k
x k
π π
π
π π
π

− = +
⇔ 
 − = − +

5
2 2
6
2 2
2
x k
x k
π
π
π
π

= +
⇔ 
 = +

5
12
4
x k
x k
π
π
π
π

= +
⇔ 
 = +

.
Ví dụ 2: Giải phương trình 2sin 2cos 2x x− + =
Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 2,2Pol − ta được 2 2X = và
3
4
Y
π
= .
Giải:
3
2sin 2cos 2 2 2 sin 2
4
x x x
π 
− + = ⇔ + = 
 
3 1
sin sin ...
4 2 6
x
π π 
⇔ + = = ⇔ 
 
Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: (2, 2Pol − ta được 2 2X = và
4
Y
π
= − .
Giải: 2sin 2cos 2 2 2 cos 2
4
x x x
π 
− + = ⇔ + = 
 
1
cos cos ...
4 2 3
x
π π 
⇔ + = = ⇔ 
 
Ví dụ 3: Giải phương trình sin3 3cos3 1x x+ =
Giải:
1
sin3 3cos3 1 2sin 3 1 sin 3 sin ...
3 3 2 6
x x x x
π π π   
+ = ⇔ + = ⇔ + = = ⇔   
   
www.VNMATH.com

5. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
5
hoặc
1
sin3 3cos3 1 2cos 3 1 cos 3 cos ...
6 6 2 3
x x x x
π π π   
+ = ⇔ − = ⇔ − = = ⇔   
   
4. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x
Phương trình có dạng ( )sin cos sin cos 0a x x b x x c± + + =
Phương pháp giải.
5. Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x
- Đẳng cấp bậc 2 có dạng 2 2
sin cos sin cosa x b x c x x d+ + =
Phương pháp giải.
- Đẳng cấp bậc 3 có dạng 3 3 2 2
sin cos sin cos sin cos esin cos 0a x b x c x x d x x x f x+ + + + + =
Phương pháp giải.
Dùng ẩn số phụ ( )sin cos 2 sin 2 .
4
t x x x t
π 
= ± = ± ≤ 
 
2
2 1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
⇒ = ± ⇒ = ± .
Phương trình trở thành ( )
2
21
. 0 2 2 0.
2
t
at b c bt at c b
−
± + = ⇔ ± + + =∓
(Đây là phương trình bậc hai theo t với 2t ≤ ).
Phương pháp 1.
i. Nếu cos 0x = không thỏa phương trình thì chia 2 vế cho 2
cos x ta được phương trình bậc hai đối
với tant x= là ( ) ( ) ( )2 2 2
tan tan 1 tan tan tan 0.a x b c x d x a d x c x b d+ + = + ⇔ − + + − =
ii. Nếu cos 0x = thỏa phương trình thì đặt cos x làm thừa số chung rồi giải, bằng cách thay
2 2
sin 1 cosx x= − .
Phương pháp 2. Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos2
sin
2
x
x
−
= ; 2 1 cos2
cos
2
x
x
+
=
và
sin 2
sin cos
2
x
x x = để đưa phương trình đã cho về dạng đã biết.
i. Nếu cos 0x = không thỏa phương trình thì chia 2 vế cho 3
cos x ta được phương trình bậc ba đối
với tant x= là ( ) ( )3 2 2 2
tan tan tan tan 1 tan 1 tan 0a x b c x d x e x x f x+ + + + + + + =
( ) ( ) ( ) ( )3 2
tan tan tan 0.a e x d f x c e x b f⇔ + + + + + + + =
ii. Nếu cos 0x = thỏa phương trình thì đặt cos x làm thừa số chung rồi giải, bằng cách thay
2 2
sin 1 cosx x= − .
6. i. Phương trình dạng sin ,cos ,tan ,tan ,cot 0
2
x
f x x x x
 
= 
 
Phương pháp giải. Đặt tan
2
x
t = , rồi áp dụng công thức
tang góc chia đôi biểu diễn sin ,cos ,tan ,cotx x x x theo t .
ii. Phương trình dạng
( )sin 2 ,cos2 ,tan ,tan 2 ,cot 2 0f x x x x x =
Phương pháp giải. Đặt tant x= , rồi
áp dụng công thức tang góc chia đôi
biểu diễn sin 2 ,cos2 ,tan 2 ,cot 2x x x x
theo t .
www.VNMATH.com

6. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
6
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHÍNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phân tích thành nhân tử
Phương pháp phân tích thành nhân tử thường chiếm đa số trong các đề thi đại học. Để tìm một nhân
tử của phương trình, ta thường sử dụng máy tính bỏ túi rồi nhóm thừa số chung theo nhân tử đó ☺.
Phương pháp (Toán học Tuổi trẻ)
- Bước 1: Sử dụng MTBT nhẩm nghiệm.
• Chuyển phương trình về dạng ( ) 0f x = .
• Nhập vào MTBT hàm số ( )f x .
• Tiến hành thử lần lượt các góc lượng giác đặc biệt
2 3 5
0; ; ; ; ; ; ; ; ;2
6 4 3 2 3 4 6
π π π π π π π
π π với chức năng
CALC của MTBT.
- Bước 2: Giả sử ta tìm được nghiệm
3
x
π
= . Khi đó, thử tiếp với các góc lượng giác có liên quan đặc
biệt với nó.
• Thử với góc đối:
3
x
π
= − nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm x sao cho
1
cos
2
x = hay
phương trình có một nhân tử là 2cos 1x − .
• Thử với góc bù:
2
3
x
π
= nếu thỏa mãn phương trình thì phương trình có nghiệm x sao cho
3
sin
2
x = hay phương trình có một nhân tử là 2sin 3x − .
• Thử với góc hơn kém π :
4
3
x
π
= hoặc
2
3
x
π−
= nếu thỏa mãn phương trình thì phương trình có
nghiệm x sao cho tan 3x = hay phương trình có một nhân tử là sin 3cosx x− .
Trong trường hợp này, nếu phương trình có hệ số tự do a thì ta thay bởi ( )2 2
sin cosa x x+ rồi tiến hành
nhóm nhân tử chung.
- Bước 3: Nhóm thừa số chung theo nhân tử đã biết.
- Bước 4: Giải phương trình tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = (KD – 2010)
Nhập vào MTBT sin 2 cos2 3sin cos 1x x x x− + − − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta tìm được
một nghiệm
6
x
π
= .
• Thử với giá trị đối:
6
x
π−
= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị bù:
5
6
x
π
= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho
1
sin
2
x =
hay phương trình có một nhân tử là 2sin 1x − ☺.
Giải:
Ta có sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x− + − − =
( )2
2sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0x x x x x⇔ − − + − − =
( ) ( )2
cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x⇔ − + + − =
( ) ( )( )cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x⇔ − + − + =
( )( )2sin 1 sin cos 2 0x x x⇔ − + + =
www.VNMATH.com

7. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
7
( )
1
sin
2
sin cos 2
x
x x VN

=⇔

+ = −
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +
⇔ 
 = +

( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 2
6
x k
π
π= + ;
5
2
6
x k
π
π= + .
Chú ý: Trong bài trên cos2x có 3 công thức, ở đây phương trình có nhân tử là 2sin 1x − nên ta áp dụng
công thức đưa về sin , tức là 2
cos2 1 2sinx x= − ☺.
Ví dụ 2: Giải phương trình ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − + (KB – 2012)
Nhập vào MTBT ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ − + − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta
tìm được một nghiệm
2
3
x
π
= .
• Thử với giá trị đối:
2
3
x
π−
= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho
1
cos
2
x = − hay phương trình có một nhân tử là 2cos 1x + ☺.
Giải:
Ta có ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − +
2
2cos 2 3sin cos cos 3sin 1 0x x x x x⇔ + − + − =
( ) ( )2
2cos cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − − + + =
( )( ) ( )cos 1 2cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − + + + =
( )( )2cos 1 3sin cos 1 0x x x⇔ + + − =
2cos 1 0
3sin cos 1
x
x x
+ =
⇔ 
+ =
1
cos
2
1
sin
6 2
x
x
π
−
=
⇔
  + =   
2
2
3
2
x k
x k
π
π
π

= ± +⇔

=
( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là
2
2
3
x k
π
π= ± + ; 2x k π= .
Ví dụ 3: Giải phương trình ( )2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cosx x x x x+ + = + (DBII – KA – 2007)
Nhập vào MTBT ( )2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cosx x x x x+ + − + . Sử dụng chức năng CALC của
MTBT ta tìm được một nghiệm
2
3
x
π
= .
• Thử với giá trị đối:
2
3
x
π−
= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị bù:
3
x
π
= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị hơn π :
5
3
x
π
= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho
tan 3x = − hay phương trình có một nhân tử là sin 3cosx x+ ☺.
Khi đó để nhóm được nhân tử sin 3cosx x+ , ta thay hệ số tự do 2 2
1 sin cosx x= + .
www.VNMATH.com

8. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
8
Giải:
Ta có ( )2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cosx x x x x+ + = +
( )2 2 2
2cos 2 3sin cos sin cos 3 sin 3cos 0x x x x x x x⇔ + + + − + =
( )2 2
sin 2 3sin cos 3cos 3 sin 3cos 0x x x x x x⇔ + + − + =
( ) ( )
2
sin 3cos 3 sin 3cos 0x x x x⇔ + − + =
( )( )sin 3cos sin 3cos 3 0x x x x⇔ + + − =
( )
sin 3cos 0
sin 3cos 3
x x
x x VN
 + =
⇔ 
+ =
tan 3
3
x x k
π
π
−
⇔ = − ⇔ = + ( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là
3
x k
π
π
−
= + .
Ví dụ 4: Giải phương trình ( )2
4cos sin 1 2 3cos cos2 2sin 1 0x x x x x+ + − − =
Nhập vào MTBT ( )2
4cos sin 1 2 3cos cos2 2sin 1x x x x x+ + − − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT
ta tìm được một nghiệm
2
3
x
π
= .
• Thử với giá trị đối:
2
3
x
π−
= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị bù:
3
x
π
= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị hơn π :
5
3
x
π
= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho
tan 3x = − hay phương trình có một nhân tử là sin 3cosx x+ ☺.
Khi đó để nhóm được nhân tử sin 3cosx x+ , ta thay hệ số tự do 2 2
1 sin cosx x= + .
Giải:
( ) ( )2 2 2 2 2
4sin cos 4cos 2 3cos 2cos 1 2sin sin cos 0x x x x x x x x⇔ + + − − − + =
( ) ( ) ( )2 3 2 2
4sin cos 4 3cos 2sin 2 3cos sin 3cos 0x x x x x x x⇔ + − + − − =
( ) ( ) ( )( )2
4cos sin 3cos 2 sin 3cos sin 3cos sin 3cos 0x x x x x x x x x⇔ + − + − + − =
( )( )2
sin 3cos 4cos 2 sin 3cos 0x x x x x⇔ + − − + =
( )( )sin 3cos 2cos2 sin 3cos 0x x x x x⇔ + − + =
sin 3cos 0
2cos2 sin 3cos
x x
x x x
 + =
⇔ 
= −
tan 3
5
cos2 cos
6
x
x x
π
 = −

⇔   = −   
3
5
2 2
6
5
2 2
6
x k
x x k
x x k
π
π
π
π
π
π

= − +

⇔ = − +


 = − + +

3
5
2
6
5 2
18 3
x k
x k
x k
π
π
π
π
π π

= − +

⇔ = − +


 = +

( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là
3
x k
π
π= − + ;
5
2
6
x k
π
π= − + ;
5 2
18 3
x k
π π
= + .
www.VNMATH.com

9. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
9
II. Biến đổi phương trình về dạng sin cosa x b x c+ =
Dấu hiệu: Trong phương trình lượng giác có xuất hiện 3sin kx hoặc 3coskx thì phương
trình đó có thể đưa được về dạng sin cosa x b x c+ = ☺.
Ví dụ 1: Giải phương trình
( )
( )( )
( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
I
x x
−
=
+ −
(KA – 2009)
Giải:
Điều kiện:
2
2
sin 1
21
6sin
2 7
2
6
x k
x
x k
x
x k
π
π
π
π
π
π

≠ +
≠ 
− 
⇔ ≠ + −
≠  
≠ +

.
Với điều kiện trên, ta có ( ) ( )2
cos sin 2 3 1 sin 2sinI x x x x⇔ − = + −
( )cos sin 2 3 cos2 sinx x x x⇔ − = +
sin 2 3cos2 3sin cosx x x x⇔ + = − +
5
2sin 2 2sin
3 6
x x
π π   
⇔ + = +   
   
5
sin 2 sin
3 6
x x
π π   
⇔ + = +   
   
5
2 2
3 6
5
2 2
3 6
x x k
x x k
π π
π
π π
π π

+ = + +
⇔
  + = − + +   
2
2
2
18 3
x k
k
x
π
π
π π

= +
⇔ 
− = +

( )k ∈ℤ .
Đối chiếu với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình
2
18 3
k
x
π π−
= + .
Ví dụ 2: Giải phương trình ( )3
sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = + (KB – 2009)
Giải:
Ta có ( )3
sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = +
( )2
1 2sin sin cos sin 2 3cos3 2cos4x x x x x x⇔ − + + =
sin cos2 cos sin 2 3cos3 2cos4x x x x x x⇔ + + =
sin3 3cos3 2cos4x x x⇔ + =
cos 3 cos4
6
x x
π 
⇔ − = 
 
4 3 2
6
4 3 2
6
x x k
x x k
π
π
π
π

= − +
⇔ 
 = − + +

( )
2
6
2
42 7
x k
k
x k
π
π
π π
−
= +
⇔ ∈
 = +

ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 2
6
x k
π
π
−
= + ;
2
42 7
x k
π π
= + .
Ví dụ 3: Giải phương trình ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − + (KB – 2012)
Giải:
Ta có ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − +
( )2
2cos 1 2 3sin cos cos 3sinx x x x x⇔ − + = −
www.VNMATH.com

10. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
10
cos2 3sin 2 cos 3sinx x x x⇔ + = −
cos 2 cos
3 3
x x
π π   
⇔ − = +   
   
( )
2
2 2 2
3 3 3
2
2 2
3 3 3
x x k x k
k
k
x x k x
π π π
π π
π π π
π
 
− = + + = + 
⇔ ⇔ ∈ 
 − = − − + =
  
ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là
2
2
3
x k
π
π= + ;
2
3
k
x
π
= .
III. Biến đổi về phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Giải phương trình sin3 cos2 sin 0x x x+ − = (KD – 2013)
Giải:
Ta có sin3 cos2 sin 0x x x+ − =
3 2
3sin 4sin 1 2sin sin 0x x x x⇔ − + − − =
3 2
4sin 2sin 2sin 1 0x x x⇔ + − − =
( )( )2
2sin 1 2sin 1 0x x⇔ + − =
2
2sin 1 0
2sin 1 0
x
x
+ =
⇔ 
− =
1
sin
2
cos2 0
x
x
−
=⇔

=
2
6
7
2
6
4 2
x k
x k
k
x
π
π
π
π
π π
−
= +

⇔ = +


 = +

( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 2
6
x k
π
π
−
= + ;
7
2
6
x k
π
π= + ;
4 2
k
x
π π
= + .
Ví dụ 2: Giải phương trình cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = (KD – 2006)
Giải:
Ta có cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − =
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x⇔ − + − − − =
3 2
4cos 2cos 4cos 2 0x x x⇔ + − − =
cos 1
cos 1
1
cos
2
x
x
x

 =

⇔ = −
 −
=

2
2
3
x k
x k
π
π
π
=
⇔
 = ± +

( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là x kπ= ;
2
2
3
x k
π
π= ± + .
Ví dụ 3: Giải phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − = (KD – 2002)
Giải:
Ta có cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − =
( )3 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0x x x x⇔ − − − + − =
3 2
4cos 8cos 0x x⇔ − =
( )2
4cos cos 2 0x x⇔ − =
( )
cos 0
cos 2 2
x
x k
x VN
π
π
=
⇔ ⇔ = +
=
( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là
2
x k
π
π= + .
www.VNMATH.com

11. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
11
C. LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI
Giải các phương trình sau
1. sin 4cos 2 sin 2x x x+ = + (KA – A1 – 2014)
2. 1 tan 2 2 sin
4
x x
π 
+ = + 
 
(KA – A1 – 2013)
3. 3sin 2 cos2 2cos 1x x x+ = − (KA – A1 – 2012)
4. 2
1 sin 2 cos2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+
(KA – 2011)
5.
( )1 sin cos2 sin
14
cos
1 tan 2
x x x
x
x
π 
+ + + 
  =
+
(KA – 2010)
6.
( )
( )( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
(KA – 2009)
7.
1 1 7
4sin
3sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = − 
   − 
 
(KA – 2008)
8. ( ) ( )2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + (KA – 2007)
9.
( )6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
(KA – 2006)
10. 2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x− = (KA – 2005)
11. 2cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
(KA – 2003)
12. Tìm nghiệm thuộc khoảng ( )0;2π của phương trình
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+ 
+ = + 
+ 
(KA – 2002)
13. ( )2 sin 2cos 2 sin 2x x x− = − (KB – 2014)
14. 2
sin5 2cos 1x x+ = (KB – 2013)
15. ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − + (KB – 2012)
16. sin 2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x+ = + + (KB – 2011)
17. ( )sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x+ + − = (KB – 2010)
18. ( )3
sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = + (KB – 2009)
19. 3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = − (KB – 2008)
20. 2
2sin 2 sin7 1 sinx x x+ − = (KB – 2007)
21. cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + = 
 
(KB – 2006)
22. 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x+ + + + = (KB – 2005)
23. ( ) 2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = − (KB – 2004)
24.
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + = (KB – 2003)
25. 2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − (KB – 2002)
26. sin3 cos2 sin 0x x x+ − = (KD – 2013)
27. sin3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x+ − + = (KD – 2012)
www.VNMATH.com

12. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
12
28.
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+
(KD – 2011)
29. sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = (KD – 2010)
30. 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x− − = (KD – 2009)
31. ( )2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = + (KD – 2008)
32.
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
 
+ + = 
 
(KD – 2007)
33. cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = (KD – 2006)
34. 4 4 3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π   
+ + − − − =   
   
(KD – 2005)
35. ( )( )2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − (KD – 2004)
36. 2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π 
− − = 
 
(KD – 2003)
37. Tìm x thuộc [ ]0;14 nghiệm đúng phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − =
(KD – 2002)
38. ( )
5 3
4cos cos 2 8sin 1 cos 5
2 2
x x
x x+ − = (CD - KA – 2010)
39. ( )
2
1 2sin cos 1 sin cosx x x x+ = + + (CĐ – KA,B,D – 2009)
40. sin3 3cos3 2sin 2x x x− = (CĐ – KA,B,D – 2008)
41. 3sin 2cos cos2 1 0x x x+ − − = (DBI – KA,A1 – 2012)
42.
( )2 sin cos1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
(DB – KA - 2011)
43. ( )cos2 2cos sin cos cos2 sin 2x x x x x x+ + = − (DBI – KB – 2010)
44. ( )2 1
cos 2 cos 2 sin cos2 1
4 4 4
x x x x
π π   
+ − + + =   
   
với ;
4 4
x
π π− 
∈   
(DBII – KB – 2010)
45. 2 2
2sin 2 sin6 2cosx x x+ = (DBI – KD – 2010)
46. ( ) ( )
2
2 3 cos 2 sin 4 cos 1 cos os2
cos
x x x x c x
x
− + − = + (DBII – KD – 2010)
47.
2
2sin cos 3sin 2 cos sin 4
0
2sin 3
x x x x x
x
+ −
=
+
(DBI – KA – 2009)
48. ( ) ( )2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x+ − + − = (DB II – KA – 2009)
49.
2
3cos3 4sin cos
3
cos
x x x
x
−
= (DB – KD – 2009)
50. ( )4 4
4 sin cos cos4 sin 2 0x x x x+ + + = (DBI – KD – 2008)
51. 2
3sin cos2 sin 2 4sin cos
2
x
x x x x+ + = (DBII – KB – 2008)
52.
1
2sin sin 2
3 6 2
x x
π π   
+ − − =   
   
(DBI – KB – 2008)
53.
3
sin 2 sin
4 4 2
x x
π π   
− = − +   
   
(DBII – KA – 2008)
54. 2
tan cot 4cos 2x x x= + (DBI – KA – 2008)
www.VNMATH.com

13. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
13
55. ( )( )1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + (DBII – KD – 2007)
56. 2 2 sin cos 1
12
x x
π 
− = 
 
(DBI – KD – 2007)
57.
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
+ = − (DBII – KB – 2007)
58.
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x xπ π   
− − − =   
   
(DBI – KB – 2008)
59. ( )2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cosx x x x x+ + = + (DBII – KA – 2007)
60.
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − = (DBI – KA – 2007)
61. 3 2
4sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x+ + + = (DBII – KD – 2006)
62. 3 3 2
sin cos 2sin 1x x x+ + = (DBI – KD – 2006)
63. ( )( )cos2 1 2cos sin cos 0x x x x+ + − = (DBII – KB – 2006)
64. ( ) ( )2 2 2
2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0x x x− + − = (DBI – KB – 2006)
65. 2sin 2 4sin 1 0
6
x x
π 
− + + = 
 
(DBII – KA – 2006)
66. 3 3 2 3 2
cos3 .cos sin3 .sin
8
x x x x
+
− = (DBI – KA – 2006)
67. 2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos
x
x x
x
π − 
+ − = 
 
(DBII – KD – 2005)
68. ( )2 2 3
sin .cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x+ − + = (DBI – KD – 2005)
69. Tìm nghiệm trên ( )0;π của phương trình 2 2 3
4sin 3cos2 1 2cos
2 4
x
x x
π 
− = + − 
 
(DBII – KB – 2005)
70. sin 2 cos2 3sin cos 2 0x x x x+ + − − = (DBI – KB – 2005)
71.
3 sin
tan 2
2 1 cos
x
x
x
π 
− + = 
+ 
(DBII – KA – 2005)
72. 3
2 2 cos 3cos sin 0
4
x x x
π 
− − − = 
 
(DBI – KA – 2005)
73. ( )sin sin 2 3 cos cos2x x x x+ = + (DBII – KD – 2004)
74. 2sin cos2 sin 2 cos sin 4 cosx x x x x x+ = (DBI – KD – 2004)
75. sin 4 sin7 cos3 cos6x x x x= (DBII – KB – 2004)
76.
1 1
2 2 cos
4 sin cos
x
x x
π 
+ + = 
 
(DBI – KB – 2004)
77. 1 sin 1 cos 1x x− + − = (DBII – KA – 2004)
78. ( )3 3
4 sin cos cos 3sinx x x x+ = + (DBI – KA – 2004)
79.
2cos4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= + (DBII – KD – 2003)
80.
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
(DBI – KD – 2003)
www.VNMATH.com

14. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
14
81.
( ) 2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π 
− − − 
  =
−
(DBII – KB – 2003)
82. 6 2
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x− + + = (DBI – KB – 2003)
83. ( )3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x− + + = (DBII – KA – 2003)
84. ( )cos2 cos 2tan 1 2x x x+ − = (DBI – KA – 2003)
85. Xác định m để phương trình ( )4 4
2 sin cos cos4 2sin 2 0x x x x m+ + + − = có ít nhất một nghiệm
thuộc 0;
2
π 
  
. (DBII – KD – 2002)
86. 2
1
sin
8cos
x
x
= (DBI – KD – 2002)
87.
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
= − (DBII – KB – 2002)
88.
( )2
4
4
2 sin 2 sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ = (DBI – KB – 2002)
89. 2
tan cos cos sin 1 tan tan
2
x
x x x x x
 
+ − = + 
 
. (DBII – KA – 2002)
90. Cho phương trình
2sin cos 1
.
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
− +
(a là tham số) (DBI – KA – 2002)
a. Giải phương trình khi
1
.
3
a = b. Tìm a để phương trình có nghiệm.
91. ( )2 2
2cos2 sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x x+ + = + (ĐHSP – ĐHL TPHCM)
92. ( )4 4
4 sin cos 3sin 4 2x x x+ + = (ĐHSP TPHCM)
93. 8 8 1
sin cos cos4 0
8
x x x+ + = (TT ĐTBD CBYT TPHCM)
94. ( )2 2
cos3 2 cos 3 2 1 sin 2x x x+ − = + (HVNH TPHCM)
95. sin sin 2 sin3 0x x x+ + = (HVNH – ĐHKT TPHCM)
96. 1 cos cos2 cos3 0x x x+ + + = (ĐHNL TPHCM)
97. 4 4
4sin 2 4cos 2 cos4 3x x x+ + = (ĐHTS)
98. 3 3
sin cos cos2x x x− = (ĐHDL NN – TH TPHCM)
99. 2sin 2 3tan 1x x= + (CĐSP TPHCM)
100.
( )3 sin tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
− =
−
(ĐH CT)
101.
5
sin cos sin 2
2 2
x x x
π π   
− + = −   
   
(ĐH AG)
102. 2sin 2 cos2 7sin 2cos 4x x x x− = + − (ĐHQG HN)
Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.
CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.
Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638
☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺
www.VNMATH.com

15. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
15
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014
103. ( )sin3 2cos2 3 4sin cos 1 sinx x x x x+ = + + + (Đại học Vinh)
104.
( )
22
2
2cos sin cos 3
sin 3 sin
1 tan 4 42 2
x x x
x x
x
π π− +     
= + − +    +     
(THPT Hồng Quang)
105.
cos2 2 sin 2
4
1
1 sin
x x
x
π 
− + + 
  =
−
(THPT Quốc Oai)
106. ( )1 cos cot cos2 sin sin 2x x x x x− + + = (THPT Lương Ngọc Quyến)
107. 2
2sin sin 2 3sin cos 2 0x x x x+ − + − = (THPT Hồng Quang)
108.
sin 1
cot 2
1 cos 1 cos
x
x
x x
+ + =
+ −
(Đại học Vinh)
109. ( )
1
1 sin sin 2 1 cot 1 tan
4 2 4
x x x x
π π    
+ − + = + + −    
    
(THPT Hà Huy Tập)
110.
( )
( )
1
1 sin cos sin 2
12 1 cot
2
1 tan
4
x x x
x
x
π
+ − +
= +
 
+ − 
 
(THPT Hà Huy Tập)
111.
( )( )1 sin 2sin 2 6cos 2sin 3
2
2cos 1
x x x x
x
− + + +
=
+
(THPT Chuyên Lê Quý Đôn)
112.
( )sin 2 sin 4 cos 2
0
2sin 3
x x x
x
− + −
=
+
(THPT Quỳnh Lưu 1)
113. 3
2sin cos2 cos 0x x x− + = (THPT Lương Thế Vinh)
114. ( )1 sin 1 sin sin 2 cos2x x x x+ + + = (THPT Lương Thế Vinh)
115. 3 3 2
sin cos 3sin 4sin cos 2 0x x x x x− + + − + = (THPT Chuyên Lý Tự Trọng)
116. cos tan 1 tan sinx x x x+ = + (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
117. 2cos6 2cos4 3cos2 sin 2 3x x x x+ − = + (THPT Hùng Vương)
118.
sin 2 cos2 4 2 sin 3cos
4
1
cos 1
x x x x
x
π 
− + + − 
  =
−
(THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
119.
1 cos2
2 cos . 1 cot
4 sin
x
x x
x
π + 
− = + 
 
(THPT Chuyên Lương Văn Chánh)
120. ( )( )1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
121. ( ) ( )2
tan 1 sin cos2 2 3 cos sin sinx x x x x x+ + + = + (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
122. ( ) ( )2 1
cos 2 sin 12 4 cos 2013 2 0
2
x x xπ π− + − − = (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)
123.
2 3 4
2
2
3sin 7sin 2sin 1
sin3 cot
sin
x x x
x x
x
− + +
+ = (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)
124. sin 2 cos2 2 sin 0x x x− − = (THPT Chu Văn An)
125. ( ) 25
5sin 3 1 cos cot 2
2
x x x
π 
− − − = 
 
(THPT Chu Văn An)
126. ( )sin3 2cos2 3 4sin cos 1 sinx x x x x+ = + + + (Đại học Vinh)
127. 2
2cos 2 2cos2 4sin6 cos4 1 4 3sin3 cosx x x x x x− + + = + (THPT Triệu Sơn 4)
128. ( ) 2
tan 1 sin cos2 0x x x+ + = (THPT Chuyên Quốc Học – Huế)
www.VNMATH.com

16. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
16
129.
2 cos2
cot
sin 2 cos
x
x
x x
= − (THPT Chuyên Quốc Học – Huế)
130.
1
2sin sin 2
2 6
x x
π 
= + − 
 
(THPT Phan Châu Trinh)
131. sin 2 cos2 4 2 sin 4cos 1 0
4
x x x x
π 
− + + − + = 
 
(THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
132. 3 2 6
4 3sin sin 3cos cosx x x x+ + = + (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)
133. 2 2 2
cos 3 3cos 2 cos cos2 2x x x x+ + + = (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)
134. 2
2cos 3cos 2cos3 4sin sin 2x x x x x+ − = (THPT Lạng Giang số 1)
135. ( ) 2
3cos 2 3 cos 1 cotx x x− = − (THPT Lạng Giang số 1)
136. ( )2 2
3cot 2 2 sin 2 3 2 cosx x x+ = + (THPT Chuyên Hạ Long)
137. cot cos2 sin sin 2 cos cotx x x x x x+ + = + (THPT Thuận Thành số 3)
138.
( ) 2
2 3sin 2 1 cos2 4cos2 sin 3
0
2sin 2 1
x x x x
x
+ − −
=
−
(Hà Nội Amsterdam)
139.
2
33sin 2sin 3
3 2sin 0
cot
x x
x
x
+ −
+ − = (THPT Nguyễn Khuyến)
140. ( )3 sin 2 sin cos2 cos 2x x x x+ = − = (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
141. ( )
1 2sin 2sin 2 2cos
cos2 3 1 cos
2sin 1
x x x
x x
x
− − +
= − +
−
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
142. 5cos sin 3 2 sin 2
4
x x x
π 
+ − = + 
 
(THPT Đoàn Thượng)
143. 2cos5 cos3 sin cos8x x x x+ = (THPT Ngô Gia Tự)
144. ( )( )cos2 5 2 2 cos sin cosx x x x+ = − − (THPT Ngô Gia Tự)
145. ( )6 6
8 sin cos 3 3cos2 11 3 3sin 4 9sin 2x x x x x+ − = − − (THPT Hậu Lộc 2)
146. ( )2
2tan 1 cos 2 cos2x x x− = − (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
147. 2
2sin cos sin cos2 cos2 2 cos
2 4
x
x x x x x
π 
+ = + − 
 
(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
148.
2
4sin
1 cot 2
1 cos4
x
x
x
+ =
−
(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
149.
2
sin cos 2sin cos sin cos
6 cos2
sin
4
x x x x x x
x
x
π
+ + +
=
 
+ 
 
(THPT Đức Thọ)
150.
( )2 2 7
4cos 2cos 3cos 2 3 3
2 4
0
1 sin
x
x x
x
π
π
 
+ − − − − 
  =
−
(THPT Chuyên Tỉnh Lào Cai)
151. ( ) 2 2 3
tan 1 sin 3cos sin 2 0
2
x x x x− + − = (THPT Hà Huy Tập)
152. ( )3 2
2sin 3 3sin 2sin 3 tanx x x x− = + − (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
153. ( ) ( ) ( )( )3 3
3 1 3 cos2 3 1 3 sin 2 8 sin cos 3sin cos 3 3 3x x x x x x− + + = + + − −
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
154. 2 sin 2 2sin 1
4
x x
π 
− = − 
 
(THPT ĐặngThúc Hứa)
www.VNMATH.com

17. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
17
155. 2 2 4 sin
cos cos
3 3 2
x
x x
π π +   
+ + − =   
   
(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
156. sin 4 2 cos3 4sin cosx x x x+ = + + (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
157.
1 cos 7
sin 2 sin 2
tan 4
x
x x
x
π−  
+ = + 
 
(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
158. cos2 cos cos sin 2 sinx x x x x+ = (THPT Quế Võ 1)
159. 2sin cos3 sin 2 1 sin 4x x x x+ + = + (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
160. 2 2
sin sin5 2cos 2cos 2
4 4
x x x x
π π   
+ = − − +   
   
(THPT Chuyên Quốc Học – Huế)
161. 2sin 2 cos2
cot 1
cos sin
x x
x
x x
+ = − (THPT Can Lộc)
162.
sin 1
cot 2
1 cos 1 cos
x
x
x x
+ + =
+ −
(Đại học Vinh)
163.
3 2 2
2sin 2 3sin cos 2sin cos 2
3
0
2cos 3
x x x x x
x
π 
+ − + + 
  =
−
(THPT CN Việt Trì)
164.
3 3
2
1 sin sin3 cos cos3
5cos2 1
sin
x x x x
x
x
− −
= + (THPT Chuyên Lý Tự Trọng)
165. ( ) ( )2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0x x x x+ − + − = (THPT Chuyên Lý Tự Trọng)
166. ( )1 cos cos2 cos3 2
3 3sin
cos cos2 3
x x x
x
x x
+ + +
= −
+
(THPT Chuyên Lê Quý Đôn)
167.
3
sin 2 sin 2sin 1
2
0
2cos 3
x x x
x
π 
+ − − + 
  =
−
(THPT Chuyên Trần Phú)
168.
2
4cos 2
tan 2 tan 2
4 4 tan cot
x
x x
x x
π π   
− + =   
−   
(THPT Chuyên Trần Phú)
169. 2 1
8cos 2cos 6 2 3sin 0
cos
x x x
x
− − − + = (THPT Nam Sách)
170. 2 cos 2cos sin 2 1 sin 2
4
x x x x
π 
− + = − 
 
(Nguoithay.vn)
171. ( )sin cos2 2cos cos2 cos 1x x x x x− = − (Đại học Vinh)
172. ( ) ( )cos cos3 2 3sin 4 3 sin 2 3 sin3x x x x x+ − + = − (VNMATH.COM)
173. cos cos 2 sin3
6 3
x x x
π π   
+ + + =   
   
(THPT Chuyên Lê Hồng Phong)
174.
3
2cos 4sin sin 1 4 2 sin
2 2 4
x x
x x
π 
+ − = + 
 
(THPT Hai Bà Trưng – Huế)
175.
3
sin3 sin sin 4 cos cos
2 4 4
0
2sin 1
x x x x x
x
π π   
+ + − +   
    =
−
(THPT Nguyễn Huệ - Huế)
176.
3 1 2 2 3
1 cos2 sin 2 cot 3x x x
+ = +
+
(VNMATH.COM)
Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.
CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.
www.VNMATH.com

18. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
18
ĐÁP ÁN LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI
1. 2
3
x k
π
π= ± +
2. ; 2 .
4 3
x k x k
π π
π π
−
= + = ± +
3.
2
; 2 ; 2 .
2 3
x k x k x k
π π
π π π= + = = +
4. ; 2 .
2 4
x k x k
π π
π π= + = +
5.
7
2 ; 2 .
6 6
x k x k
π π
π π
−
= + = +
6.
2
.
18 3
x k
π π−
= +
7.
5
; ; .
4 8 8
x k x k x k
π π π
π π π
− −
= + = + = +
8. ; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π
−
= + = + =
9.
5
2
4
x k
π
π= + .
10. .
2
x k
π
=
11.
4
x k
π
π= + .
12.
5
; .
3 3
x x
π π
= =
13.
3
2
4
x k
π
π= ± +
14.
2 2
;
6 3 14 7
x k x k
π π π π− −
= + = + .
15.
2 2
2 ;
3 3
x k x k
π π
π= + = .
16.
2
2 ;
2 3 3
x k x k
π π π
π= + = + .
17. .
4 2
x k
π π
= +
18.
2
2 ;
6 42 7
x k x k
π π π
π
−
= + = + .
19. ; .
4 2 3
x k x k
π π π
π
−
= + = +
20.
2 5 2
; ; .
8 4 18 3 18 3
x k x k x k
π π π π π π
= + = + = +
21.
5
;
12 12
x k x k
π π
π π= + = + .
22.
2
; 2
4 3
x k x k
π π
π π
−
= + = ± + .
23.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π= + = + .
24. .
3
x k
π
π= ± +
25. ; .
9 2
x k x k
π π
= =
26.
7
; 2 ; 2 .
4 2 6 6
x k x k x k
π π π π
π π
−
= + = + = +
27.
7
; 2 ; 2 .
4 2 12 12
x k x k x k
π π π π
π π
−
= + = + = +
28. 2
3
x k
π
π= + .
29.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π= + = + .
30. ;
18 3 6 2
x k x k
π π π π−
= + = + .
31.
2
2 ;
3 4
x k x k
π π
π π= ± + = + .
32. 2 ; 2
2 6
x k x k
π π
π π
−
= + = + .
33.
2
; 2 .
3
x k x k
π
π π= = ± +
34.
4
x k
π
π= + .
35. 2 ;
3 4
x k x k
π π
π π
−
= ± + = + .
36. 2 ;
4
x k x k
π
π π π
−
= + = + .
37.
3 5 7
; ; ; .
2 2 2 2
x x x x
π π π π
= = = =
38.
5
;
12 12
x k x k
π π
π π= + = + .
39.
5
2 ; ; .
2 12 12
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + = + = +
40.
4 2
2 ;
3 15 5
x k x k
π π π
π= + = + .
41.
2
2 ; 2 .
3
x k x k
π
π π= = ± +
42. 2
4
x k
π
π
−
= + .
43. ; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π π
−
= + = + = +
44. .
8
x
π
= ±
www.VNMATH.com

19. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
19
45. ; ; .
6 3 8 2 4
x k x k x k
π π π π π
π= + = + = +
46.
2
3
x k
π
π= + .
47.
2
; 2 ; .
2 6 18 3
x k x k x k
π π π π
π
−
= = + = +
48.
2
2 ; 2 ; .
3 3 6
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + = + = +
49. ; .
6
x k x k
π
π π
−
= = +
50.
4
x k
π
π
−
= + .
51.
7
2 ; 2 ; 2 .
6 6 2
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + = + = +
52. 2 ; .
2 3
x k x k
π π
π π= + = − +
53. ; 2 .
4 3
x k x k
π π
π π= + = ± +
54. ; .
4 2 8 2
x k x k
π π π π−
= + = +
55. ; .
4
x k x k
π
π π
−
= + =
56. ; .
4 3
x k x k
π π
π π= + = +
57. 2
3
x k
π
π= ± + .
58.
2
; 2 ; 2 .
3 3 2
x k x k x k
π π π
π π π= + = + = +
59.
2
3
x k
π
π= + .
60.
4 2
x k
π π
= + .
61.
2
2 ; 2 .
2 3
x k x k
π π
π π
−
= + = ± +
62. ; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π
− −
= + = = +
63. ; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π π= + = + = +
64.
6 2
x k
π π
= ± + .
65.
7
; 2
6
x k x k
π
π π= = + .
66.
16 2
x k
π π
= ± + .
67.
4
x k
π
π
−
= + .
68.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π= + = + .
69.
5 17 5
; ;
18 18 6
x x x
π π π
= = = .
70.
5
2 ; 2 ; 2 ; 2 .
6 6 2
x k x k x k x k
π π π
π π π π π= + = + = + = +
71.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π= + = + .
72. ;
2 4
x k x k
π π
π π= + = + .
73.
2 2
; 2 .
9 3
x k x k
π π
π π= + = +
74. ; .
3
x k x k
π
π π= = ± +
75. ;
20 10 2
x k x k
π π π
π= + = + .
76.
4
x k
π
π= ± + .
77. ; 3 .
3
x k k l
π
= ≠
78. ;
4 3
x k x k
π π
π π= + = ± + .
79.
3
x k
π
π= ± + .
80. 2 ; 2 .
2
x k x k
π
π π π
−
= + = +
81.
4
2
3
x k
π
π= + .
82. ; .
4 2
x k x k
π π
π= + =
83.
3
x k
π
π= ± + .
84. 2 ; 2
3
x k x k
π
π π= ± + = .
85.
10
2
3
m
−
≤ ≤ − .
86.
3 5 7
2 ; 2 ; 2 ; 2
8 8 8 8
x k x k x k x k
π π π π
π π π π= + = + = + = +
87.
6
x k
π
π= ± + .
88.
2 5 2
; .
18 3 18 3
x k x k
π π π π
= + = +
89. 2x k π= .
90. a.
4
x k
π
π
−
= + b.
1
2
2
a
−
≤ ≤ .
www.VNMATH.com

20. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
20
91. ; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π
− −
= + = = +
92. ;
4 2 12 2
x k x k
π π π π−
= + = + .
93.
4 2
x k
π π
= + .
94. 2 .x k π=
95.
2
; 2
2 3
x k x k
π π
π= = ± + .
96. ; 2 ; 2 .
2 3
x k x k x k
π π
π π π π= + = + = ± +
97. ;
4 2 12 2
x k x k
π π π π
= + = ± + .
98. ; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π π= + = − + = +
99.
4
x k
π
π
−
= + .
100.
2
2 .
3
x k
π
π= ± +
101.
2 7 2
; ; .
4 2 18 3 6 3
x k x k x k
π π π π π π−
= + = + = +
102.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π= + = + .
103. 2
2
x k
π
π
−
= + ; 2x kπ π= +
104.
8 2
k
x
π π
= + ; 2
6
x k
π
π= + ;
5
2
6
x k
π
π= + .
105. 2
2
x k
π
π= − + ; 2
3
x k
π
π= − + ; 2
3
x k
π
π= +
106.
4 2
k
x
π π
= + ; 2
2
x k
π
π= + .
107. 2
6
x k
π
π
−
= + ;
7
2
6
x k
π
π= + .
108.
4
x k
π
π
−
= + ; 2
2
x k
π
π= + .
109. 2
12
x k
π
π= + ;
17
2
12
x k
π
π= +
110. 2
12
x k
π
π= + ;
17
2
12
x k
π
π= +
111. 2
2
x k
π
π
−
= + ; 2
6
x k
π
π= + ;
5
2
6
x k
π
π= +
112. 2
3
x k
π
π= +
113. 2x k π= ;
4
x k
π
π= − +
114. 2x k π= ;
4
x k
π
π= − +
115. 2x k π= ; 2
2
x k
π
π= − +
116.
4
x k
π
π= + ; 2x k π=
117.
2
x k
π
π= + ;
24 2
k
x
π π
= + ;
36 3
k
x
π π
= +
118. 2x kπ π= +
119.
4 2
k
x
π π
= +
120.
4
x k
π
π= − + ; x kπ=
121.
4
x k
π
π= + ;
3
x k
π
π= ± +
122.
4 2
k
x
π π
= + ;
2
x k
π
π= − +
123. 2
6
x k
π
π= + ;
5
2
6
x k
π
π= + ; 2
2
x k
π
π= +
124.
11
2
12
x k
π
π= − + ; 2
4
x k
π
π= − + ; 2
4
x k
π
π= +
5
2
12
x k
π
π= + .
125. 2
3
x k
π
π= ± +
126. 2
2
x k
π
π= − + ; 2x kπ π= +
127.
12
x k
π
π= − + ;
24 2
x k
π π
= + ;
3
x k
π
=
128.
4
x k
π
π= − +
129. 2
6
x k
π
π= + ;
5
2
6
x k
π
π= +
130. 2
6
x k
π
π= + ; x kπ=
131. x kπ=
132. x kπ= ; 2
2
x k
π
π= − +
133.
2
x k
π
π= + ;
6
x k
π
π= ± +
134.
2
2
3
x k
π
π= ± + ; 2x kπ π= +
135. 2
3
x k
π
π= ± + ;
2
arccos 2
3
x k π
 
= ± − + 
 
136. 2
4
x k
π
π= ± + ; 2
3
x k
π
π= ± +
137.
4
x k
π
π= + ; 2
2
x k
π
π= − +
138.
3
x k
π
π= +
www.VNMATH.com

21. Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin
21
139.
2
2
3
x k
π
π= ± +
140.
6
x k
π
π= + ; 2
3
x k
π
π= + ; 2x kπ π= +
141. 2x kπ π= + ; 2
6
x k
π
π= − +
142. 2
3
x k
π
π= ± +
143. 2
2
x k
π
π= + ; 2
6
x k
π
π= − + ;
7
2
6
x k
π
π= +
144. 2
2
x k
π
π= + ; 2x kπ π= +
145.
12
x k
π
π= + ;
5
12
x k
π
π= + ;
4
x k
π
π= + ;
7
12
x k
π
π= +
146. 2
3
x k
π
π= ± +
147. 2
2
x k
π
π= + ;
2
3 3
x k
π π
= +
148.
4 2
x k
π π
= +
149.
12
x k
π
π= +
150.
5 2
18 3
x k
π π
= +
151.
4
x k
π
π= + ;
3
x k
π
π= ± +
152.
2
2
3
x k
π
π= ± +
153.
4
x k
π
π= − + ;
6
x k
π
π= +
154. x kπ= ; 2
2
x k
π
π= +
155. 2
2
x k
π
π= − +
156. 2
6
x k
π
π= + ;
5
2
6
x k
π
π= + ; 2x k π=
157.
4 2
x k
π π
= +
158.
2
x k
π
π= − + ;
4 2
x k
π π
= +
159. 2
6
x k
π
π= + ;
5
2
6
x k
π
π= + ;
2
3
x k
π
=
160.
3
x k
π
=
161. 2
6
x k
π
π= + ;
5
2
6
x k
π
π= +
162.
4
x k
π
π= − + ; 2
2
x k
π
π= +
163.
5
2
6
x k
π
π= + ;
7 2
18 3
x k
π π
= +
164.
6
x k
π
π= ± +
165.
6
x k
π
π= − + ; 2
3
x k
π
π= + ;
2
2
3
x k
π
π= +
166. 2x k π=
167. 2x k π= ;
5
2
6
x k
π
π= +
168.
8 2
x k
π π
= +
169. 2
3
x k
π
π= − + ;
2
15 5
x k
π π
= +
170.
3
4
x k
π
π= − + ;
11
2
12
x k
π
π= − + ;
2
4
x k
π
π= − + ;
5
2
12
x k
π
π= +
171. 2x k π= ;
4
x k
π
π= + ; 2
2
x k
π
π= +
172. 2x k π= ;
4
2
3
x k
π
π= − +
173.
11
12
x k
π
π= − + ;
5
12
x k
π
π= − +
2
2
x k
π
π= + ;
5
2
6
x k
π
π= − +
174.
5
2
6
x k
π
π= − + ; 2
6
x k
π
π= − +
175.
13
18
x k
π
π= − + ;
7
18
x k
π
π= − + ;
18
x k
π
π= − + ; 2
6
x k
π
π= − +
176.
2
3
x k
π
π= − + ;
6
x k
π
π= − + ;
6
x k
π
π= +
----------HẾT----------
Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.
CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.
Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638
www.VNMATH.com

22. Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác
22
Chú ý: Có thể giải phương trình lượng giác bằng trang web http://www.wolframalpha.com/ ☺☺☺☺
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng
những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội – Albert Einstein. ☺☺☺☺
Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.
CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.
Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638
☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺
www.VNMATH.com