Teori permainan membahas situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan dengan asumsi setiap pemain bertindak secara rasional dan independen. Model permainan diklasifikasikan berdasarkan jumlah pemain dan strategi serta besarnya keuntungan. Solusi optimal diperoleh dengan menggunakan prinsip minimaks dan maximin."

1. RISET OPERASIONAL 1
RISET OPERASI
TIM DOSEN RISET OPERASI
UNIVERSITAS GUNADARMA
SEPTEMBER 2013
1

2. BAB 10.
TEORI PERMAINAN
2

3. Teori Permainan
Oleh:
Rina Sugiarti
Komsi Koranti

4. Teori Permainan (GAME THEORY)
 Suatu pendekatan matematis untuk merumuskan
situasi persaingan dan konflik antara berbagai
kepentingan
 Asumsi : Setiap pemain (individu atau kelompok)
mempunyai kemampuan untuk mengambil
keputusan secara bebas (independent) dan rasional.

5. Teori permainan (Cont’)
• Model dalam teori permainan diklasifikasikan
berdasarkan jumlah pemain, besarnya keuntungan
dan kerugian, dan jumlah strategi.
• Berdasarkan jumlah pemain :
Model permainan dua pemain, tiga pemain, …, N
pemain

6. Model Permainan
 Berdasarkan besarnya keuntungan/kerugian :
1. Model permainan jumlah nol (zero-sum game)
2. Model permainan jumlah konstan (constant-sum
game)
3. Model permainan bukan jumlah nol (Non zero-sum
game)

7. Elemen permainan
• Pemain: intelligent opponents (pesaing atau musuh)
• Strategi: pilihan apa yang harus dilakukan untuk mengalahkan
lawan
• Hasil keluaran= Payoffs: fungsi dari strategi yang berbeda
untuk setiap pemain
• Payoff Matrix: Tabel (hasil perolehan dari pemain baris)
• Aturan: bagaimana mengalokasikan hasil kepada pemain

8. The Game: Contoh
• Dua Pemain: Pemain A (baris) dan Pemain B (kolom)
• Melempar koin seimbang
• Hasil yang mungkin: Head (H) dan Tail (T)
• Aturan:
• Jika hasil pertandingan match(pemain A memilih H dan hasilnya
juga H atau pemain A pilih T dan hasil juga T), maka Pemain A
mendapatkan $ 1 dari pemain B;
• Jika sebaliknya, Pemain A kehilangan $ 1 untuk Pemain B

9. The Game: Matrix Payoff
Pemain A
(Pemain
baris)
Pemain B
H T
H 1 – 1
T – 1 1
Strategi setiap pemain: H atau T
Sebuah Solusi Optimal dikatakan tercapai apabila
pemain tidak menemukan hal yang bermanfaat untuk
mengubah strateginya

10. Solusi optimal
• optimal dapat dicapai jika pemain memilih untuk
menerapkan:
• Strategi Murni (misal: pilih H atau T)
• Campuran strategi murni = Strategi Campuran

11. Two-Person Zero-Sum Game
• Sebuah game atau permainan dengan dua pemain
• Sebuah keuntungan dari satu pemain sama dengan kerugian
yang lain
• Pemain yang difokuskan = pemain baris (Pemain A)
• Seorang pemain memaksimalkan keuntungan minimum nya
(mengapa?)
• Pemain B meminimalkan kerugian maksimum nya (mengapa?)
• Solusi optimal diperoleh dengan kriteria Minimax-Maximin
• Solusi optimal mencerminkan bahwa permainan stabil atau
dalam keadaan keseimbangan

12. Two-Person Zero-Sum Game with Saddle Point
Pemain B Row
Min1 2 3 4
Pemain A
1 8 2 9 5 2
2 6 5 7 18 5
3 7 3 –4 10 –4
Colum Max 8 5 9 18
Minimax
Value
Maximin
Value

13. Two-Person Zero-Sum Game with Saddle Point
• Seorang pemain (baris): Nilai Maximin = nilai terendah dari
permainan
• Pemain B (kolom): Nilai Minimax = Nilai tertinggi dari
permainan
• Nilai Maximin = Minimax nilai  Saddle point = Nilai dari
permainan

14. Two-Person Zero-Sum Game dengan Saddle
Point
• Saddle point menyebabkan Solusi Optimal
• Saddle point menunjukkan permainan yang stabil
• Pemain menerapkan Strategi Murni

15. umumnya
• Untuk menjaga "optimalitas" dari permainan:
•nilai maksimin  nilai permainan  nilai minimax
OR
•nilai terendah  nilai permainan  nilai tertinggi

16. Strategi campuran
• Digunakan untuk memecahkan permainan
yang tidak memiliki Saddle Point
• Solusi optimal diperoleh dengan
menggunakan:
• Solusi grafis untuk matrik payoff (2 X N) dan (M X
2)
• Simplex untuk matrik payoff (M X N)

17. Unstable Game tanpa Saddle Point
Pemain B Row
1 2 3 4 Min
Pemain
A
1 5 –10 9 0 –10
2 6 7 8 2 2
3 8 5 4 15 4
4 7 4 –1 3 –1
Column
Max
8 7 9 15
Minimax
Value
Maximin
Value
Minimax value = 7 > Maximin value = 4  sub-optimal

18. 2  N game
• 2  N game:
– Pemain A memiliki 2 strategi
– Pemain B memiliki N ( 2) strategi
B
y1 y2 … yn
A
x1 a11 a12 … a1n
x2 = 1 – x1 a21 a22 … a2n

19. 2  N game
Strategi murni B Ekspektasi Payoff A
1 (a11 – a21)x1 + a21
2 (a12 – a22)x1 + a22
… …
n (a1n – a2n)x1 + a2n

20. 2  N game: contoh
B
y1 y2 y3 y4
A
x1 2 2 3 –1
x2 4 3 2 6

21. 2  N game
Strategi murni B Ekspektasi Payoff A
1 – 2x1 + 4
2 – x1 + 3
3 x1 + 2
4 –7 x1 + 6
Solusi optimum: solusi Grafik

22. Solusi Grafik x1 = 0 dan x1 = 1 = x2
x1 = 0 x1 = 1
1
5
2
3
4
6
-1
4
2
x*1 =1/2
3
1
Maximin

23. Solusi optimal untuk pemain A
• Intersep antara baris (2), (3) dan (4)
(x1* = ½, x2*= ½)
(2) – x1 + 3 = – ½ + 3 = 5/2
v* (3) x1 + 2 = ½ + 2 = 5/2
(4) –7 x1 + 6 = – 7/2 + 6 = 5/2
• pemain B dapat mengkombinasikan ke 3 strategi
• pemain A menang = 5/2

24. Solusi optimal untuk pemain B
• Kombinasi (2), (3) dan (4):
• (2,3)  y1 dan y4 = 0, y3 = y2 –1 (y2* = y3*)
• (2,4)  y1 dan y3 = 0, y4 = y2 –1 (y2* = y4*)
• (3,4)  y1 dan y2 = 0, y4 = y3 –1 (y3* = y4*)

25. Solusi optimal untuk pemain B
Strategi murni B Ekspektasi Payoff A
2 – y2 + 3
3 y2 + 2
(2,3)  y1 dan y4 = 0, y3 = y2 –1 (y2* = y3*)
– y2 + 3 = y2 + 2
– 2 y2 = – 1
y2* = 1/2 dan y3* = 1/2
B kalah = 5/2

26. Solusi optimal untuk pemain B
Strategi murni B Ekspektasi Payoff A
2 – y2 + 3
4 – 7y2 + 6
(2,4)  y1 dan d y3 = 0, y4 = y2 –1 (y2* = y4*)
– y2 + 3 = –7y2 + 6
6 y2 = 3
y2* = 1/2 dan y4* = 1/2
B kalah = 5/2

27. Solusi optimal untuk Pemain B
Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B
3 y3 + 2
4 – 7y3 + 6
(3,4)  y1 dan y2 = 0, y4 = y3 –1 (y3* = y4*)
y3 + 2 = –7y3 + 6
8 y3 = 4
y3* = 1/2 dan y4* = 1/2
Nilai Kerugian B = 5/2

28. M  2 game
• M 2 game:
– Pemain A mempunyai M ( 2) strategi
– Pemain B mempunyai 2 strategi
B
y1 y2= 1 – y1
A
x1 a11 a12
x2 a21 a22
… … …
xm am1 am2

29. M  2 game
Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B
1 (a11 – a12)y1 + a12
2 (a21 – a22)y1 + a22
… …
m (am1 – am2)y1 + am2

30. M 2 game: contoh
B
y1 y2
A
x1 2 4
x2 3 2
x3 – 2 6

31. M  2 game
Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B
1 – 2 y1 + 4
2 y1 + 2
3 – 8 y1 + 6
Solusi optimum dengan metode Grafis

32. Solusi grafik y1 = 0 dan y1 = 1 = y2
y1 = 1
1
5
2
3
4
6
-1
2
1
3
-2
y1* = y3* = 1/3
Minimax

33. Solusi Optimum untuk Pemain B
• Intersep di antara baris (1) dan (3)
(y1* = 1/3, y3*= 1/3)
(1) – 2y1 + 4 = – 2/3 + 4 = 10/3 (3) –
8y1 + 6 = – 8/3 + 6 = 10/3
• Pemain B dapat mengkombinasikan 2 macam strategi
• Pemain B rugi = 10/3
v*

34. Solusi Optimum untuk pemain A
• kombinasi (1) dan (3):
• (1,3)  x2 dan x4 = 0, x3 = x1 –1 (x1* = x3*)

35. Solusi Optimum untuk pemain A
Strategi murni A Expektasi Payoff A
1 – 2x1 + 4
3 – 8x1 +6
–2x1 + 4 = – 8x1 +6
6 x1 = 2
x1* = 1/3 dan x3* = 1/3
A menang = 10/3
(1,3)  x2 dan x4 = 0, x3 = x1 –1 (x1* = x3*)

36. M  N Games: Simplex
• Fokus pada baris (Pemain A)
• dualitas masalah
• Tujuan Fungsi: memaksimalkan
w = Y1 + Y2 + . . . Yn

37. M  N Games: Simplex
 Terhadap (Constraints / kendala):
a11 Y1 + a12 Y2 + . . . + a1nYn  1
a21 Y1 + a22 Y2 + . . . + a2nYn  1
… … …
am1 Y1 + am2 Y2 + . . . + amnYn  1
Y1, Y2, . . . , Yn  0
 w = 1/v  v* = 1/w
 Yj = Y
i /v, j = 1,2,. . . , n

38. M  N Games: Simplex
• Pastikan tabel tidak berisi nilai nol dan negatif
• Gunakan K (nilai konstan) memastikan bahwa tabel tidak
berisi nilai nol dan negatif
• K> negatif dari nilai maksimin
• K> negatif dari nilai paling negatif

39. M  N Games: Simplex
• Jika K adalah digunakan dlm tabel ,
v* = 1/w – K
• z = w
• X1* = X1/z, X2* = X2/z, . . . , Xm* = Xm/z

40. M  N Games: contoh
A
B Row
1 2 3 Min
1 3 –1 –3 –3
2 –3 3 –1 –3
3 –4 –3 3 –4
Column Max 3 3 3
K = 5

41. A
B Row
1 2 3 Min
1 8 4 2 2
2 2 8 4 2
3 1 2 8 1
Column Max 8 8 8
Maximize: w = Y1 + Y2 + Y3
Fungsi Tujuan

42. A
B Row
1 2 3 Min
1 8 4 2 2
2 2 8 4 2
3 1 2 8 1
Column Max 8 8 8
8Y1 + 4Y2 + 2Y3  1Sesuai dengan :
2Y1 + 8Y2 + 4Y3  1
1Y1 + 2Y2 + 8Y3  1
Y1, Y2,Y3  0

43. 8Y1 + 4Y2 + 2Y3  1  8Y1 + 4Y2 + 2Y3 + S1 = 1
Sesuai dengan :
2Y1 + 8Y2 + 4Y3  1  2Y1 + 8Y2 + 4Y3 + S2 = 1
1Y1 + 2Y2 + 8Y3  1 1Y1 + 2Y2 + 8Y3 + S3 = 1
Y1, Y2,Y3  0
Maximize: w = Y1 + Y2 + Y3 + S1+S2+S3
Fungsi Tujuan :

44. Basic Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3 Solution
w -1 -1 -1 0 0 0 0
S1 8 4 2 1 0 0 1
S2 2 8 4 0 1 0 1
S3 1 2 8 0 0 1 1

45. Basic Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3 Solution
w 0 0 0 5/49 11/196 1/14 45/196
Y1 1 0 0 1/7 -1/14 0 1/14
Y2 0 1 0 -3/98 31/196 -1/14 11/96
Y3 0 0 1 -1/98 -3/98 1/7 5/49
Tabel Optimal (Akhir)

46. Solusi optimal untuk B
• w = 45/196
• v* = 1/w – K = 196/45 – 225/45 = –29/45
• y1* = Y1/w = (1/14)/(45/196) = 14/45
• y2* = Y2/w = (11/196)/(45/196) = 11/45
• y3* = Y3/w = (5/49)/(45/196) = 20/45

47. Solusi untuk A
 z = w = 45/196
 X1 = 5/49
 X2 = 11/196
 X3 = 1/14
 x1* = X1/z = (5/49)/(45/196) = 20/45
 x2* = X2/z = (11/196)/(45/196) = 11/45
 x3* = X3/z = (1/14)/(45/196) = 14/45

48. Hamdy A Taha, Operation Research an Introduction, edisi 8,
Macmillan, New york
REFERENSI

49. SELESAI