จำนวนจริง อสมการ ค่าสัมบูรณ์

1. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 1
ระบบจํานวน ( )
จํานวน แบงออกเปน 2 กลุม
กลุมที่ 1 จํานวนไมจริง ( Unreal numbers) เชน
√−1 , √−2 , √−3 , √−4 , … √−1.1 , √−1.2 , √−1.3 , …
กลุมที่ 2 จํานวนจริง( Real numbers) ซึ่งยังแบงเปน 2 กลุมคือ
1) จํานวนอตรรกยะ ( Irrational Numbers ) ไดแก
จํานวนที่ทําเปนเศษสวนไมได หรือ จํานวนที่หาคาแนนอนไมได
จะมีคาแคเพียงคาประมาณ เชน π , ε , √2, √3, √5, √6, … .
2) จํานวนอตรรกยะ ( Rational Numbers ) ไดแก
จํานวนที่ทําเปนเศษสวนได หรือ จํานวนที่มีคาแนนอน ไดแก
จํานวนเศษสวน ทศนิยมประเภท รูจบ เชน 3.45
ทศนิยมประเภทไมรูจบแบบซ้ํา
เชน 4.66666 … . , 6.474747 … ,
จํานวนเต็ม( )
นิยามที่เกี่ยวของ
นิยาม เซตของเศษสวน(Fraction)
เซตของเศษสวน = x | x =
a
b
, a ∈ I, b ∈ I, b ≠ 0
นิยาม เซตของจํานวนเต็ม
I = { … , −3, −2, −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }
นิยาม เซตของจํานวนเต็มบวก
I = { 1 , 2 , 3 , … }
นิยาม เซตของจํานวนเต็มลบ
I = {−1 , −2 , −3 , … }
นิยาม เซตของจํานวนเต็มศูนย
I = {0 }
นิยาม การหารลงตัว หมายถึง การหารที่มีผลลัพธเปนจํานวนเต็ม
นิยาม เซตของจํานวน คู หมายถึง จํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว
เซตจํานวนคู = {… , −6, −4, −2 , 0 , 2 , 4 , 6 , … }
นิยาม จํานวน คี่ หมายถึง จํานวนเต็มที่หารดวย 2 ไมลงตัว
เซตจํานวนคี่ = {… , −5, −3, −1 , 1 , 3 , 5 , 7 , … }
นิยามของจํานวนเฉพาะ ( Prime Numbers)
P = { / ∈ I, > 1, ไมมีจํานวนเต็มใดหาร ไดลงตัวยกเวน
± กับ ± 1 }
P = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , . . . }
ไบนารีโอเปอเรชัน (Binary operation )
เปน เครื่องหมายแทนการกระทํา ของ จํานวน 2 จํานวน ที่
อยูระหวางเครื่องหมายนั้น ดวย กฎเกณฑของเครื่องหมายนั้น
เครื่องหมาย + − × ÷ เปน ไบนารีโอเปอเรชันทั่วไป
แตเครื่องหมายอื่นๆ จะตองกําหนดกฎเกณฑการกระทํามาใหอยางชัดเจน
สมบัติของจํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริงมี 3 ประการคือ
1) สมบัติดานพีชคณิต ( )
นั่นคือสามารถนําจํานวนจริงไป บวก ลบ คูณและหารกันได
2) สมบัติดานการมีอันดับ ( )
นั่นคือนําจํานวนมาเปรียบเทียบกันไดวา มากกวา นอยกวาหรือเทากัน
กลาวคือ ถา , เปนจํานวนจริงสองจํานวนแลวจะพบวา จะมีสมบัติ
เพียง อยางใดอยางหนึ่งตอไปนี้ = หรือ > หรือ <
เราเรียกสมบัตินี้วา ไตรวิภาค ( ℎ )
3)สมบัติดานความบริบูรณ ( )
หรือมีชื่อเรียกอีกอยางวา สัจจพจนการมีขอบเขตบน

2. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 2
ตัวอยางที่ 1 ถา a, b ∈ R และ a ∗ b = a + b − 8
จงหา วา (3 ∗ 4) ∗ 5 มีคาเทาไร
, และ ∗ = + − 8 จงหาคาของ (3 ∗ 4) ∗ 5
วิธีทํา จาก ∗ = + − 8
∴ (3 ∗ 4) + 5 = (3 + 4 − 8) ∗ 5
= (−1) ∗ 5 = (−1) + 5 − 8 = −4 .
ตัวอยางที่ 2 ถา , ∈ และ ∗ = 2 + 3 − 5
จงหาคาของ (3 ∗ 4) ∗ 5
วิธีทํา จาก ∗ = 2 + 3 − 5
∴ (3 ∗ 4) ∗ 5 = [2(3) + 3(4) − 5] ∗ 5
= 13 ∗ 5 = 2(13) + 3(5) − 5 = 36 .
ตัวอยางที่ 3 ถา , และ ∗ =
2 −
3
− 1
จงหาคาของ (2 ∗ 3) ∗ 4
วิธีทํา (2 ∗ 3) ∗ 4 =
2(2) − 3
3
− 1 ∗ 4
=
1
3
− 1 ∗ 4
=
2 −
2
3
− 4
3
− 1 =
−16
3
− 1 = −
19
3
.
ตัวอยางที่ 4 ถา , , , ∈
และกําหนดกฎเกณฑในการกระทําของเครื่องหมาย ∗ ใหดังนี้
จงหาคาของ ( ∗ ) ∗ ( ∗ )
วิธีทํา จากตารางจะไดวา
( ∗ ) ∗ ( ∗ ) = ( ) ∗ ( ) = .
แบบทดสอบความเขาใจ ชุดที่ 1
1) ถา a, b ∈ R และ a ∗ b = a − b + 7
จงหา วา (5 ∗ 3) ∗ 2 มีคาเทาไร
วิธีทํา
2) ถา , และ ∗ = 3 − 2 + 5
จงหาคาของ (5 ∗ 2) ∗ 3
วิธีทํา
3) ถา , และ ∗ = − 3
จงหาคาของ (2 ∗ 4) ∗ 5
วิธีทํา
.
4. ถา , , , ∈
และกําหนดกฎเกณฑในการกระทําของเครื่องหมาย ∗ ใหดังนี้
จงหาคาของ [ ∗ ( ∗ )] ∗
∗
∗

3. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 3
สมบัติดานพีชคณิต ( )
1) สมบัติปด
, ∈ แลว จะมีสมบัติปดสําหรับเครื่องหมาย ∗ ก็ตอเมื่อ
∗ ∈ , ∗ ∈ , ∗ ∈
A จะมีสมบัติปด สําหรับการกระทําดวยเครื่องหมาย ∗ ก็ตอเมื่อ
ทุก a , b ที่เปนสมาชิกของ A มี a ∗ b = c โดยที่ c ∈ A เสมอ
A จะมีคุณสมบัติปด สําหรับการบวก(+)ก็ตอเมื่อ ทุกสมาชิกของ A
กระทํากันดวยการบวกแลวผลลัพธที่ไดยังคงเปนสมาชิกของเซต A เสมอ
A จะมีคุณสมบัติปด สําหรับการคูณ( ×) ก็ตอเมื่อ
ทุกสมาชิกของ A ที่กระทํากันดวยเครื่องหมาย ×
แลวผลลัพธที่ไดยังคงเปนสมาชิกของเซต A เสมอ
A จะมีคุณสมบัติปด สําหรับการหาร(%) ก็ตอเมื่อ
ทุกสมาชิกของ A ที่กระทํากันดวยเครื่องหมาย %
แลวผลลัพธที่ไดยังคงเปนสมาชิกของเซต A เสมอ
2) สมบัติการสลับที่
ทุก a , b ∈ A จะมีสมบัติการสลับที่ก็ตอเมื่อ a ∗ b = ∗
3) สมบัติการจัดหมู
ทุก a , b, c ∈ A จะมีสมบัติการจัดหมูก็ตอเมื่อ
( a ∗ b) ∗ c = ∗ ( ∗ )
4)สมบัติการกระจาย
ทุก a , b, c ∈ A จะมีสมบัติการกระจายก็ตอเมื่อ
× ( ± ) = ( × ) ± ( × )
5) สมบัติการมีเอกลักษณ
ทุก a , b, e ∈ A จะมีสมบัติการมีเอกลักษณสําหรับเครื่องหมาย ∗
ก็ตอเมื่อ ∗ = ∗ = , b ∗ e = e ∗ b = e, และ
∗ = เรียก วาเอกลักษณสําหรับเครื่องหมาย ∗ ใน
6) สมบัติการมีอินเวอรส
ทุก a , b, d, e ∈ A และ เปนเอกลักษณสําหรับเครื่องหมาย ∗
ถา ∗ = ∗ = , แลวเรียก วาเปนอินเวอรสของ
และ แลวเรียก วาเปนอินเวอรสของ
แบบทดสอบความเขาใจ ชุดที่ 2
กําหนดให = เซตของจํานวนจริง
= เซตของจํานวนตรรกยะ
′ = เซตของจํานวนอตรรกยะ
จงพิจารณาวาขอความตอไปนี้เปนจริงหรือเท็จ
… … .1) ถา ∈ แลว ≥ 0
… … .2) ถา ∈ แลว √ ∈
… … .3) ถา ∈ และ ∈ แลว ( + ) ∈
… … .4) ถา ∈ และ ∈ แลว ( + ) ∈
… … .5) ถา ∈ ′ และ ∈ ′ แลว ( + ) ∈ ′
… … .6) ถา ∈ ′ และ ∈ ′ แลว ( ∙ ) ∈ ′
… … .7) ถา ∈ และ ∈ ′ แลว ( + ) ∈ ′
… … .8) ถา ∈ และ ∈ แลว ∈
… … .9) ถา = √−4 แลว ∈ ′
… … .10) ( √2 + √3) ∈ ′
… … .11) ( 5 + √5) ∈ ′
… … .12) ( √5 − √5) ∈ ′
… … .13) ( √2 )(√5) ∈ ′
… … .14) ( √2 )(√2) ∈
… … .15) 0. 9̇ = 1
… … .16) 0.7543̇1̇ =
75431 − 754
99000
=
74677
99000
… … .17) ถา ∈ และ = แลว =
… … .18) ถา ∈ และ = แลว =
… … .19) ถา = แลว =
… … .20) ถา = แลว =

4. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 4
ทฤษฏีบทที่ 1 การตัดออกสําหรับการบวก
, , ∈ และ + = + แลว =
ทฤษฏีบทที่ 2 การตัดออกสําหรับการคูณ
, , ∈ และ × = × แลว = โดยที่ ≠ 0
ทฤษฏีบทที่ 3 ถา เปนจํานวนจริงใดๆแลว × 0 = 0 เสมอ
ทฤษฏีบทที่ 4 ถา เปนจํานวนจริงใดๆแลว (−1) ∙ = − เสมอ
ทฤษฏีบทที่ 5 ถา , เปนจํานวนจริงใดๆและ ∙ = 0
แลว = 0 หรือ = 0 เสมอ
ทฤษฏีบทที่ 6 ถา , เปนจํานวนจริงใดๆแลวจะไดวา
∙ (− ) = − ∙ , (− ) ∙ = − ∙ ,
(− ) ∙ (− ) = ∙ เสมอ
สมบัติดานการมีอันดับ ( )
หรือสมบัติไตรวิภาค ( ℎ )
คือการมีสมบัติอยางใดอยางหนึ่งใน 3 อยางตอไปนี้
เทากัน มากกวา หรือ นอยกวา
ถา , เปนจํานวนจริงใดๆแลวจะไดวา
= หรือ > หรือ < อยางใดอยางหนึ่งเทานั้น
1 ) สมบัติการเทากันของจํานวนจริง ถา , , เปนจํานวนจริงใดๆ
แลวจะไดวา , , จะมีสมบัติตอไปนี้
1.1 สมบัติการสะทอน =
1.2 สมบัติการสมมาตร ถา = แลว =
1.3 สมบัติการถายทอด
ถา = และ = แลว =
1.4 สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน
ถา = แลว + = +
1.5 สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน
ถา = แลว ∙ = ∙
… … .21) ถา , ∈ , > แลว >
… … .22) ถา , ∈ , > แลว
1
<
1
… … .23) ถา 0 < < แลว
1
<
1
… … .24) ถา > และ ∈ แลว + > +
… … .25) ถา > และ ∈ แลว − > −
… … .26) ถา > และ ∈ แลว >
… … .27) ถา > และ ∈ แลว >
… … .28) ถา > และ ∈ แลว >
… … .29) ถา > และ > แลว >
… … .30) ถา > และ > แลว >
… … .31) ถา √ < 5 แลว < 25
… … .32) ถา < 4 แลว < 2
… … .33) ถา = แลว ≥ 0
… … .34) 0 เปนจํานวนเต็มที่ไมใชเลขคู
… … .35) 8.4 หารดวย 2 ไดผลลัพธเทากับ 4.2
ดังนั้น 8.4 เปนเลขคู
… … .36) R มีคุณสมบัติปดสําหรับการบวก
… … .37) R มีคุณสมบัติปดสําหรับการหาร
… … .38) มีคุณสมบัติปดสําหรับการหาร
… … .39) มีคุณสมบัติปดสําหรับการลบ

5. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 5
1.5 สมบัติการตัดออกดวยจํานวนที่เทากัน
ถา + = + แลว =
และ ∙ = ∙ แลว = โดยที่ ≠ 0
2 ) สมบัติการไมเทากันของจํานวนจริง
ถา , , , เปนจํานวนจริงใดๆแลวจะไดวา
, , , จะมีสมบัติตอไปนี้
2.1 สมบัติการถายทอด
ถา > และ > แลว >
และ ถา < และ < แลว <
2.2 สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน
ถา > แลว + > +
และ ถา < แลว + < +
2.3 สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน
ถา > แลว ∙ > ∙ โดยที่ > 0
และ ถา > แลว ∙ < ∙ โดยที่ < 0
2.4 สมบัติการตัดออกดวยจํานวนที่เทากัน
1) ถา + > + แลว >
2) ถา + < + แลว <
3) ∙ > ∙ และ > 0 แลว >
4) ∙ > ∙ และ < 0 แลว <
5) ∙ < ∙ และ > 0 แลว <
6) ∙ < ∙ และ < 0 แลว >
2.5 สมบัติการไมเทากับจํานวนลบ
1) ∈ แลว ≥ 0 เสมอ
2) √ ∈ แลว a ≥ 0 เสมอ
3) ∈ แลว | | ≥ 0 เสมอ
… … .40) เซตเลขคู มีคุณสมบัติปดสําหรับการลบ
… … .41) เซตเลขคู มีคุณสมบัติปดสําหรับการคูณ
… … .42) เซตเลขคู มีคุณสมบัติปดสําหรับการบวก
… … .43) เซตเลขคี่ มีคุณสมบัติปดสําหรับการบวก
… … .44) เซตเลขคี่ มีคุณสมบัติปดสําหรับการคูณ
… … .45) จํานวนเฉพาะ มีคุณสมบัติปดสําหรับการบวก
… … .46) ตรรกยะ มีคุณสมบัติปดสําหรับการหาร
… … .47) อตรรกยะ มีคุณสมบัติปดสําหรับการหาร
… … .48) อตรรกยะ มีคุณสมบัติปดสําหรับการบวก
… … .49) อตรรกยะ มีคุณสมบัติปดสําหรับการคูณ
… … .50) {0,1} มีคุณสมบัติปดสําหรับการบวก
… … .51) {0,1} มีคุณสมบัติปดสําหรับการคูณ
… … .52) {1} มีคุณสมบัติปดสําหรับการบวก
… … .53) {1} มีคุณสมบัติปดสําหรับการคูณ
… … .54) {0} มีคุณสมบัติปดสําหรับการบวก
… … .55) {−1} มีคุณสมบัติปดสําหรับการลบ

6. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 6
พหุนามดีกรี
( ) = + + + ⋯ + +
โดยที่ , −1, −2, … , 0 ∈ และ ∈ +
ถา ≠ 0 แลวจะเรียก ( )วาพหุนามดีกรี
ทฤษฏีเศษเหลือ ( ℎ )
( )
( − )
จะมีเศษเหลือ = ( )
ทฤษฏีตัวประกอบ ( ℎ )
ถา ( ) = 0 แสดงวา ( )หารดวย( − )ลงตัว
ดังนั้นสรุปไดวา ( − )เปนตัวประกอบตัวหนึ่งของ ( )
1 ถา ( ) = + − + 2 − + 1
หารดวย ( + 1) จะเหลือเศษเทาไร
วิธีทํา จาก ( )หารดวย( + 1)จะเหลือเศษ = (−1)
∴ (−1) = (−1) + (−1) − (−1) + 2(−1) − (−1) + 1
∴ (−1) = −1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 5 Ans.
2 ถา ( ) = − − 2 + 5 + 2
หารดวย ( + 2) เหลือเศษ 8 แลว มีคาเทาไร
วิธีทํา จาก ( )หารดวย( + 2)จะเหลือเศษ = (−2) = 8
∴ P(2) = (−2) − (−2) − 2(−2) + 5(−2) + 2k
∴ 8 = 16 + 8 − 8 − 10 + 2 ∴ k = 1 Ans.
แบบทดสอบความเขาใจ ชุดที่ 3
1.1 ถา ( ) = + − 2 + 3 − − 5
หารดวย ( + 2) จะเหลือเศษเทาไร
1.2 ถา ( ) = 3 − 5 + + 1
หารดวย ( − 3) จะเหลือเศษเทาไร
2.1 ถา ( ) = 2 − 3 + − +
หารดวย ( − 3) เหลือเศษ 5 แลว มีคาเทาไร
2.2 ถา ( ) = 3 − 2 + + − 5
หารดวย ( + 1) เหลือเศษ − 10 แลว มีคาเทาไร
*

7. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 7
3 จงแยกตัวประกอบของ ( )
ถา ( ) = − 5 + 5 + 5 − 6
วิธีทํา ∴ P(1) = 1 − 5 + 5 + 5 − 6 = 0
∴ แสดงวา ( − 1) เปนตัวประกอบตัวหนึ่งของ ( )
∴ P(2) = 16 − 40 + 20 + 10 − 6 = 0
∴ แสดงวา ( − 2) เปนตัวประกอบตัวหนึ่งของ ( )
หาสวนที่เหลือโดยการตั้งหารยาวดังนี้
∴ P(x) = ( − 1)( − 2)( − 2 − 3)
∴ P(x) = ( − 1)( − 2)( + 1)( − 3) .
4 จงหาคา จากสมการ − 7 − 6 = 0
วิธีทํา ให P(x) = 3
− 7 − 6
∴ P(−1) = −1 + 7 − 6 = 0
∴ แสดงวา ( + 1) เปนตัวประกอบตัวหนึ่งของ ( )
หาสวนที่เหลือโดยการ หารสังเคราะห ดังนี้
∴ P(x) = ( + 1)( − − 6)
∴ P(x) = ( + 1)( + 2)( − 3)
จากโจทย 3
− 7 − 6 = 0
∴ ( + 1)( + 2)( − 3) = 0
∴ = −1, −2,3 .
3. จงแยกตัวประกอบของ ( )
ถา ( ) = − 2 − 7 + 8 + 12
4. จงหาคา จากสมการ − 4 + + 6 = 0

8. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 8
10. การแยกตัวประกอบและแกสมการ
10.1 พหุนาม ในที่นี้ , แทนจํานวน เราเรียกวา ตัวแปร
1,2,3, … เราเรียกวาคาคงที่ หรือคาคงตัว
ลักษณะของ 3 , 2 − 5, 2
− x + 5 ฯลฯ เราเรียกวา นิพจน
ลักษณะของ 5 ,
3
2
x , 2
, 5
, … เราเรียกวา เอกนาม
ลักษณะของ 5 + 3 , 1 − 2
, 2x + 5
เราเรียกวา พหุนาม
10.2 ดีกรีของพหุนาม หมายถึงดีกรีที่มีคาสูงสุดของพหุนามนั้น
เชน 100 เปนเอกนาม ดีกรี 0 ,
5 + 3 เปนพหุนามดีกรี 1
5 + 3 + เปนพหุนามดีกรี 6
5 + 3 + เปนพหุนามดีกรี 7
10.3. การกระจายวงเล็บและการแยกตัวประกอบ
Ex1 จงกระจายวงเล็บ ( − 3 − 5)(2 )
วิธีทํา ( − 3 2
− 5)(2 2
)
= (2 ) − 3 (2 ) − 5(2 )
= 2 − 6 − 10 .
Ex2 จงกระจายวงเล็บ ( − 5 − 3)(2 + 3 )
วิธีทํา ( 2
− 5 − 3)(2 + 3 )
= (2 + 3 ) − 5 (2 + 3 ) − 3(2 + 3 )
= 2 + 3 − 10 − 15 − 6 − 9 .
3 จงกระจายวงเล็บ(2 − 3)(3 − 1)( + 2)
วิธีทํา (2 − 3)(3 − 1)( + 2)
= (2 − 3)[3 ( + 2) − 1( + 2)]
= (2 − 3)[3 + 6 − − 2]
= (2 − 3)( 3 + 5 − 2)
= 2 (3 + 5 − 2) − 3( 3 + 5 − 2)
= 6 + 10 − 4 − 9 − 15 + 6
= 6 + − 19 + 6 .
แบบทดสอบความเขาใจ ชุดที่ 4
1. จงกระจายวงเล็บ (2 − 3 + 1)(3 )
2. จงกระจายวงเล็บ (2 − 3 − 1)(3 − )
3. จงกระจายวงเล็บ (3 − 1)(2 − 3)( − 2)
สูตรการกระจายวงเล็บที่ควรจดจําคือ
( + ) = + 2 +
( − ) = − 2 +
( + ) = + 3 + 3 +
( − ) = − 3 + 3 −
( + ) = + 4 + 6 + 4 +
( − ) = − 4 + 6 − 4 +
สูตรการแยกตัวประกอบที่ควรจดจําคือ
− = ( − )( + )
− = ( − )( + + )
− = ( − )( + + + )
− = ( − )( + + + + )
+ = ( + )( − + )
+ = ( + )( − + − + )

9. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 9
10.4. ใชสูตรการกระจายวงเล็บที่ยกกําลัง 2 และกําลัง 3
4 จงกระจายวงเล็บ ( 3 + 2)
วิธีทํา ใชสูตร ( + )2
= 2
+ 2 + 2
( 3 + 2) = (3 ) + 2(3 )(2) + 2
= 9 + 12 + 4 .
5 จงกระจายวงเล็บ ( 2 − 3)
วิธีทํา ใชสูตร ( − )2
= 2
− 2 + 2
( 2 − 3) = (2 ) − 2(2 )(3) + 3
= 4 − 12 + 9 .
6 จงกระจายวงเล็บ ( 2 − + 3)
วิธีทํา ใชสูตร ( + )2
= 2
+ 2 + 2
และสูตร ( − )2
= 2
− 2 + 2
(2 − + 3)
= [(2 − ) + 3]
= (2 − ) + 2(2 − )(3) + 3
= (2 − ) + 12 − 6 + 9
= [(2 ) − 2(2 ) + ] + 12 − 6 + 9
= [4 − 4 + ] + 12 − 6 + 9
= 4 − 4 + + 12 − 6 + 9 .
7 จงกระจายวงเล็บ ( 3 − 2)
วิธีทํา ใชสูตร ( − )3
= 3
− 3 2
+ 3 2
− 3
∴ (3 − 2)
= (3 ) − 3(3 ) (2) + 3(3 )(2) − 2
= 27 − 6(9 ) + 12(3 ) − 8
= 27 − 54 + 36 − 8 .
4 . จงกระจายวงเล็บ ( 2 + 3 )
5 จงกระจายวงเล็บ ( 3 − 2 )
6. จงกระจายวงเล็บ ( 3 − 2 + 1)
7. จงกระจายวงเล็บ ( 2 − 3)

10. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 10
10.5. การดึงตัวรวมและแยกตัวประกอบ
8 จงดึงตัวรวมของนิพจนตอไปนี้
1) 15 − 10 − 5
2) 6 − 15 + 9
3) (2 − ) − 5(2 − ) + (2 − )
4) 2 ( − ) − ( − ) + 3( − )
5) 3 ( − ) − 2 ( − ) − 3( − )
วิธีทํา
1) 15 − 10 − 5 = 5 (3 − 2 − 1) .
2) 6 − 15 + 9
= 3 (2 − 5 + 3 ) .
3) (2 − ) − 5(2 − ) + (2 − )
= (2 − )( − 5 + ) .
4) 2 ( − ) − ( − ) + 3( − )
= 2 ( − ) + ( − ) − 3( − )
= (2 + − 3)( − ) .
5) 3 ( − ) − 2 ( − ) − 3( − )
= 3 ( − ) − 2 ( − ) − 3( − )
= (3 − 2 − 3)( − ) .
9 จงแยกตัวประกอบแบบจับคูดึงตัวรวมของนิพจนตอไปนี้
1) 15 − 9 − 10 + 6
2) 6 + 15 − 4 − 10
3) 2 + 2 − − − 2
วิธีทํา 1) 15 − 9 − 10 + 6
= (15 − 9 ) − (10 − 6)
= 3 (5 − 3) − 2(5 − 3)
= (3 − 2)(5 − 3) .
2) 6 + 15 − 4 − 10
= (6 + 15 ) − (4 + 10)
= 3 (2 + 5) − 2(2 + 5)
= (3 − 2)(2 + 5) .
3) 2 + 2 − − − 2
= (2 + 2 ) − ( + ) − ( + )
= 2( + ) − ( + ) − ( + )
= ( + )(2 − − ) .
8. จงดึงตัวรวมของนิพจนตอไปนี้
8.1 ) 6 − 4 = … … … … … … …… … . . … … … ….
8.2 ) 3 − 12 = … … … … … … … …… . . … . … ….
8.3 ) 10 − 15 = … … … … … …… … . . …….
8.4 ) 10 − 2 − 4 = … … … … … … … … ….
8.5 ) 6 ( − ) − 15( − )
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
8.6 ) 18( − ) − 15( − )
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
8.7) 6( − ) − 8( − )
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
8.8) ( − ) − 3( − )
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
9. จงแยกตัวประกอบแบบจับคูดึงตัวรวมของนิพจนตอไปนี้
9.1) + + +
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
9.2) 2 + 2 − −
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
9.3) + + +
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
9.4) 2 − + 4 − 2
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
9. ) + − + − −
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….
= … … … … … … … … … … … … … …. … … … ….

11. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 11
14 จงแยกเปน2วงเล็บกรณีหนาเทอมกําลังสองมีสปส. เปน1
1) + 8 + 15
2) − 8 + 15
3) − 2 − 15
4) + 2 − 15
วิธีทํา
1) + 8 + 15 = ( + 3)( + 5)
2) − 8 + 15 = ( − 3)( − 5)
3) − 2 − 15 = ( + 3)( − 5)
4) + 2 − 15 = ( − 3)( + 5)
14.1) + 7 + 10
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.2) − 7 + 10
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.3) − 3 − 10
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.4) + 3 − 10
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.5) − 4 − 21
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.6) + 5 − 6
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.7) − 11 + 18
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.8) + 9 + 18
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.9) − 9 + 20
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.10) + 7 + 6
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.11) + 6 − 7
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.12) − 9 + 8
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.13) + 6 − 27
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.14) + 11 + 10
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
14.15) − 10 + 24
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….

12. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 12
15 จงแยกเปน2วงเล็บกรณีหนาเทอมกําลังสองมีสปส. ไมเปน1
1) 6 + 19 + 15
2) 6 − 19 + 15
3) 6 − − 15
4) 6 + − 15
วิธีทํา
1) 6 + 19 + 15 = (2 + 3)(3 + 5)
2) 6 − 19 + 15 = (2 − 3)(3 − 5)
3) 6 − − 15 = (2 + 3)(3 − 5)
4) 6 + − 15 = (2 − 3)(3 + 5)
15. จงแยกเปน2วงเล็บ
15.1) 6 + 11 + 3
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.2) 10 − 11 − 6
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.3) 8 − 2 − 1
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.4) 6 − − 1
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.5) 3 − 8 + 5
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.6) 6 − 11 + 3
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.7) 15 + 13 + 2
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.8) 5 − 17 + 6
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.9) 3 + 5 − 2
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.10) 5 − 19 − 4
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.11) 6 − − 12
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.12) 15 − 8 + 1
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.13) 6 − 17 + 12
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.14) 30 + − 1
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….
15.15) 14 + 3 − 2
= … … … … … … … … … … … … … . … … … ….

13. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 13
6. การแกสมการกําลัง 1
16 จงหาคา จากสมการ4(3 − 5) − 3( − 1) = 1
วิธีทํา 4(3 − 5) − 3( − 1) = 1
12 − 20 − 3 + 3 = 1
9 − 17 = 1 , 9 = 18
∴ = 2 .
17 จงหาคา จากสมการ
2
3
(3 − 1) −
3( + 1)
5
=
2
15
วิธีทํา
2
3
(3 − 1) −
3( + 1)
5
=
2
15
หาครน. ของสวนทุกตัวมาคูณตลอดเพื่อใหสวนหมดไป
ครน. ของ 3,5,15 คือ15 เอา15 คูณทุกพจนดังนี้
15
2
3
(3 − 1) − 15
3( + 1)
5
= 15
2
15
10(3 − 1) − 9( + 1) = 2
30 − 10 − 9 − 9 = 2
21 − 19 = 2 ∴ 21 = 21 ∴ = 1 .
7. การแกสมการ 2ชั้น หรือ 2 ตัวแปร
18 จงหาคา ( , ) จากสมการ
6 − 5 = 7 … … (1) , 4 + 3 = 11 … …(2)
วิธีทํา ตองคิดกอนวาจะกําจัดตัวแปรใดหรือหมดไป
ในที่นี้กําจัด ตองหาครน. ของสปส. ของ คือ 6,4 มีครน. = 12
นั่นคือเราตองทําสปส. ของ ทั้งสองสมการใหเทากับ 12 นั่นคือ
(1) × 2, นั่นคือสมการที่2 คูณดวย 2 ตลอดจะได
(1) × 2, 12 − 10 = 14… … … . (3)
(2) × 3, 12 + 9 = 33 … … …. (4)
แลวเอาสมการ ซาย − ซาย = ขวา − ขวา มักเอาคามากตั้งนะ
(4) − (3) , (12 + 9 ) − (12 − 10 ) = 33 − 14
∴ 12 + 9 − 12 + 10 = 19
∴ 19 = 19 ∴ = 1 แลวเอาคา = 1 ไปแทนคาใน (1)
∴ 6 − 5(1) = 7 ∴ 6 = 12 ∴ = 2
∴ ( , ) = (2,1) .
16. จงหาคา จากสมการ 3(2 − 3) − 5( − 4) = 13
17. จงหาคา จากสมการ
10
3
( − 2) −
3( − 1)
2
=
1
3
18. จงหาคา ( , ) จากสมการ
8 − 3 = 2 … … (1) , 6 + 5 = 16 … …(2)

14. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 14
8. การแกสมการกําลังสอง
ถา 2
+ + = 0 แลวจะไดวา =
− ± √ 2
− 4
2
ขอควรจํา 1) ∈ ก็ตอเมื่อ 2
− 4 ≥ 0
2) = หรือรากสมการมีคาเดียวเมื่อ − 4 = 0
19 จงหาคา จากสมการ 2 + 3 − 3 = 0
วิธีทํา จาก =
− ± √ 2
− 4
2
จาก 2 2
+ 3 − 3 = 0 จะไดวา = 2, = 3, = −3
∴ =
−3 ± 3 − 4(2)(−3)
2(2)
=
−3 ± √9 + 24
4
∴ =
−3 ± √33
4
=
−3 + √33
4
,
−3 − √33
4
.
9. การทําเปนกําลังสัมบูรณ
20 จงแกสมการ 2 − 6 + 1 = 0
โดยใชวิธีแบบกําลังสองสัมบูรณ
วิธีทํา จาก 2 2
− 6 + 1 = 0
2 − 6 = −1
เพื่อทําใหสปส. ของ 2
เปน 1 ∗∗∗∗∗
∴ − 3 = −
1
2
∴ −
2
2
(3 ) = −
1
2
∗∗ ใส
2
2
ที่สปส.
∗ เอา2 ไปหาร ส. ป. ส. ของ แลวยกกําลังสอง + เขาทั้งสองขาง ∗∗
− 2
3
2
+
3
2
= −
1
2
+
3
2
∗∗∗ ใชสูตร − 2 + = ( − ) ∗∗∗
∴ −
3
2
= −
1
2
+
9
4
∴ −
3
2
=
7
4
∴ −
3
2
= ±
7
4
∗ ถอดรากกําลังสองตองไดคา ± เสมอ ∗
∴ =
3
2
±
√7
2
=
3 + √7
2
,
3 − √7
2
.
19. จงหาคา จากสมการ 2 − 3 − 1 = 0
20. จงแกสมการ 3 − 8 − 2 = 0
โดยใชวิธีแบบกําลังสองสัมบูรณ

15. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 15
21 จงจัด 4 − 9 − 24 − 36 − 36 = 0
ใหอยูในรูปแบบ
( − ℎ)2
2
−
( − )2
2 = 1
และจงหาคาของ (ℎ, ) + ( , )
วิธีทํา จาก 4 2
− 9 2
− 24 − 36 − 36 = 0
จัดกลุมตัวแปรใหม
( 4 − 24 ) − (9 + 36 ) − 36 = 0
∗ ระวังหนาวงเล็บเปน − ตองเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บเปนตรงขาม ∗
∗ ดึง ส. ป. ส. ของ , ออก ∗
4( − 6 ) − 9( + 4 ) − 36 = 0
4( − 6 + 3 − 3 ) − 9( + 4 + 2 − 2 ) − 36 = 0
4( − 6 + 3 ) − 4(3 ) − 9( + 4 + 2 ) + 9(2 ) − 36 = 0
4( − 6 + 3 ) − 36 − 9( + 4 + 2 ) + 36 − 36 = 0
4( − 6 + 3 ) − 9( + 4 + 2 ) = 36
4
36
( − 6 + 3 ) −
9
36
( + 4 + 2 ) =
36
36
1
9
( − 6 + 3 ) −
1
4
( + 4 + 2 ) = 1
( − 6 + 3 )
9
−
( + 4 + 2 )
4
= 1
( − 3)
3
−
( + 2)
2
= 1
( − 3)
3
−
( + 2)
2
= 1
เทียบกับ
( − ℎ)
−
( − )
= 1
(ℎ, ) = (3, −2) และ ( , ) = (3,2)
(ℎ, ) + ( , ) = (3, −2) + (3,2) = (6,0) .
21. จงจัด 4 − 9 + 16 + 18 − 29 = 0
ใหอยูในรูปแบบ
( − ℎ)2
2
−
( − )2
2 = 1
และจงหาคาของ (ℎ, ) + ( , )

16. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 16
22 จงจัด + − 4 + 6 − 12 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − ℎ)2
+ ( − )2
= 2
และจงหาคาของ ℎ + +
วิธีทํา จาก 2
+ 2
− 4 + 6 − 12 = 0
จัดกลุมตัวแปรใหม ( 2
− 4 ) + ( 2
+ 6 ) = 12
− 4 +
4
2
+ + 6 +
6
2
= 12 +
4
2
+
6
2
( − 4 + 2 ) + ( + 6 + 3 ) = 12 + 2 + 3
( − 2) + ( + 3) = 25
( − ℎ) + ( − ) = เทียบกับ ( − 2) + ( + 3) = 5
∴ ℎ = 2 , = −3 , = 5
∴ ℎ + + = 2 + (−3) + 5 = 4 .
23 จงจัด − 8 + 4 + 24 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − ℎ)2
= 4( )( − )
และจงหาคาของ ℎ + +
วิธีทํา จาก 2
− 8 + 4 + 24 = 0
จัดกลุมตัวแปรใหม 2
− 8 = −4 − 24
− 8 +
8
2
= −4 − 24 +
8
2
( − 8 + 4 ) = −4 − 24 + 16
( − 4) = −4 − 8
( − 4) = −4( + 2)
( − 4) = 4(−1)( + 2)
( − 4) = 4(−1)( + 2) เทียบกับ ( − ℎ)
= 4( )( − )
∴ ℎ = 4 , = −2 , = −1
∴ ℎ + + = 4 + (−2) + (−1) = 1 .
22. จงจัด + − 4 + 6 − 12 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − ℎ)2
+ ( − )2
= 2
และจงหาคาของ ℎ + +
23. จงจัด + 8 + 10 + 1 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − )2
= 4( )( − ℎ)
และจงหาคาของ ℎ + +

17. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 17
24. จงจัด − 6 + 8 + 1 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − )2
= 4( )( − ℎ)
และจงหาคาของ ℎ + + (แสดงวิธีทํา )
25. จงจัด + 2 − 12 + 25 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − )2
= 4( )( − ℎ)
และจงหาคาของ ℎ + + (แสดงวิธีทํา )
26. จงจัด + 12 − 4 + 16 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − ℎ)2
= 4( )( − )
และจงหาคาของ ℎ + + (แสดงวิธีทํา )
27. จงจัด + 8 + 6 − 7 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − ℎ)2
= 4( )( − )
และจงหาคาของ ℎ + + (แสดงวิธีทํา )

18. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 18
28. จงจัด + − 4 + 6 + 4 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − ℎ)2
+ ( − )2
= 2
และจงหาคาของ ℎ + + (แสดงวิธีทํา )
29. จงจัด + − 4 + 6 + 9 = 0
ใหอยูในรูปแบบ ( − ℎ)2
+ ( − )2
= 2
และจงหาคาของ ℎ + + (แสดงวิธีทํา )
30. จงจัด 9 − 4 − 16 − 18 − 43 = 0
ใหอยูในรูปแบบ
( − ℎ)2
2
−
( − )2
2 = 1
และจงหาคาของ ( + ) − ( ℎ + ) (แสดงวิธีทํา )
31. จงจัด 16 − 9 − 18 − 64 − 89 = 0
ใหอยูในรูปแบบ
( − )2
2
−
( − ℎ)2
2 = 1
และจงหาคาของ ( + ) − ( ℎ + ) (แสดงวิธีทํา )

19. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 19
32. จงจัด 4 + 9 − 8 + 36 + 4 = 0
ใหอยูในรูปแบบ
( − )2
2
+
( − ℎ)2
2 = 1
และจงหาคาของ ( + ) − ( ℎ + ) (แสดงวิธีทํา )
33. จงจัด 9 + 4 + 36 − 24 + 36 = 0
ใหอยูในรูปแบบ
( − )2
2
+
( − ℎ)2
2 = 1
และจงหาคาของ ( + ) − ( ℎ + ) (แสดงวิธีทํา )

20. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 20
10. ชวง
โดยกําหนดให a, b ∈ R และ < มีรูปแบบการเขียนดังนี้
1. [ , ] = { ∕ ≤ ≤ }
[ , ] อานวาชวงปด , หรือ ชวง ปด ปด
สามารถเขียน กราฟบนเสนจํานวนไดดังนี้
2. [ , ) = { ⁄ ≤ < }
[ , ) อานวาชวงครึ่งปด , หรือ ชวง ปด เปด
สามารถเขียน กราฟบนเสนจํานวนไดดังนี้
3. ( , ] = { ⁄ < ≤ }
( , ] อานวาชวงครึ่งเปด , หรือ ชวง เปด ปด
สามารถเขียน กราฟบนเสนจํานวนไดดังนี้
4. ( , ) = { ⁄ < < }
( , )อานวาชวงเปด , หรือ ชวง เปด เปด
สามารถเขียน กราฟบนเสนจํานวนไดดังนี้
5. [ , ∝) = { ⁄ ≥ }
สามารถเขียน กราฟบนเสนจํานวนไดดังนี้
6. ( , ∝) = { ⁄ > }
สามารถเขียน กราฟบนเสนจํานวนไดดังนี้
7. (∝, ] = { ⁄ ≤ }
สามารถเขียน กราฟบนเสนจํานวนไดดังนี้
8. (∝, ] = { ⁄ < }
สามารถเขียน กราฟบนเสนจํานวนไดดังนี้
9. (∝, ∝) = { ⁄ ∈ }
สามารถเขียน กราฟบนเสนจํานวนไดดังนี้
แบบทดสอบความเขาใจ ชุดที่ 5
1. จงเขียนชวงตอไปนี้ในรูปแบบของเซต
1) [−2, 10] = … …… … … … … … … … … … … … …
2) [−5,3) = … … … … …… … … … … … … … … … ….
3) (1,7] = … … … … … … … … … … … … … … …… …
4) (−3,11) = … … … …… … … … … … … … … … … ..
5) (4,∝) = …… … … … … … … … … … … … … …… ..
6) (−∝ ,8) = … … … … … … … … … … … … … …… ..
7) [−6, −1) = …… … … … … … … … … … … … … …
8) [5,21] = … … … … … … …… … … … … … … … …
9) (−2,8] = … … … … …… … … … … … … … … … ..
10) (−6, −2) = … … … … … … … … … … … … … ….
2. จงเขียนเซตตอไปนี้ในรูปแบบของชวง
1) { −5⁄ ≤ ≤ 4} = … … … … … … … …… … … …
2) { −6⁄ < ≤ 5} = … … … … … … … …… … … …
3) { −3⁄ ≤ < 1} = … … … … … … … …… … … …
4) { −2⁄ < < 6} = … … … … … … … …… … … …
5) { ⁄ ≤ 4} = … … …… … … … … … … … … … …
6) { ⁄ ≥ −7} = … … … … … … …… … … … … … …
7) { ⁄ < 10} = … … … … … … … … …… … … … …
8) { ⁄ > −1} = … … … … … … …… … … … … … …
9) { ⁄ ≠ 4} = … … …… … … … … … … … … … …
10) { ⁄ ≠ ±6} = … …… … … … … … … … … … …

21. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 21
Ex3. จากสิ่งที่กําหนดให
= [−10,5], = [−2,7] จงหา
1) − 2) − 3) ∪ 4) ∩
วิธีทํา 1) − = [−10,5] − [−2,7] = [−10, −2) .
2) − = [−2,7] − [−10,5] = (5,7] .
3) ∪ = [−10,5] ∪ [−2,7] = [−10,7] .
4) ∩ = [−10,5] ∩ [−2,7] = [−2,5] .
Ex4. จากสิ่งที่กําหนดให
= [−9,2], = (−5,8) จงหา
1) − 2) − 3) ∪ 4) ∩
วิธีทํา 1) − = [−9,2] − (−5,8) = [−10, −2) .
2) − = (−5,8) − [−9,2] = (2,8) .
3) ∪ = [−9,2] ∪ (−5,8) = [−9,8) .
4) ∩ = [−9,2] ∩ (−5,8) = (−5,2] .
Ex5. จากสิ่งที่กําหนดให
= [−9,2], = (−5,8), = [−3, 9) จงหา
1) (A ∪ ) ∩ 2) ( − ) − 3) − ( − )
4) A − (B ∪ )
วิธีทํา
1) (A ∪ ) ∩ = [−9,2] ∪ (−5,8) ∩ [−3, 9)
= [−9,8) ∩ [−3, 9) = [−3,8) .
2) (A − ) − = [−9,2] − (−5,8) − [−3, 9)
= [−9, −5] − [−3, 9) = [−9, −3) .
3) − ( − ) = [−9,2] − (−5,8) − [−3, 9)
= [−9,2] − (−5, −3) = [−9, −5] .
4) − ( − ) = [−9,2] − (−5,8) ∪ [−3, 9) ′
= [−9,2] − (−5,9) = [−9,2] ∩ (−5,9)
= (−5,2] .
3. ให = [−6,6], = [−3,9] จงหา
1) A − B = … … … … … … …… … … … … … …
2) B − A = ………… …………… ………… …
3) ∩ = …… …………… ………… ………
4) ∪ = …… …………… ………… ………
4. ให = [−10,6], = (−5,9] จงหา
1) A − B = … … … … … … …… … … … … … …
2) B − A = ………… …………… ………… …
3) ∩ = …… …………… ………… ………
4) ∪ = …… …………… ………… ………
5. ให = (−7,6], = (−3,9] จงหา
1) A − B = … … … … … … …… … … … … … …
2) B − A = ………… …………… ………… …
3) ∩ = …… …………… ………… ………
4) ∪ = …… …………… ………… ………
5.1 ให = (−8,6), = (−5,9) จงหา
1) A − B = … … … … … … …… … … … … … …
2) B − A = ………… …………… ………… …
3) ∩ = …… …………… ………… ………
4) ∪ = …… …………… ………… ………
5.2 ให = (−8,6), = (−6,7], = (−3,9] จงหา
1) ( ∪ ) ∪ = … … … … … … … …… … … …
2) ( ∪ ) ∩ = … ………… ………… ……………
3) ( ∪ ) − = ………… ………… ………… ……
4) ( − ) − = ……… ………… ………… ………
5) A − (B − ) = ………… ………… ………… ……

22. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 22
Ex6. จากสิ่งที่กําหนดให
a ∈ [−10,5], b ∈ (−2,10)
จงหาวา คาตอไปนี้เปนสมาชิกในชวงใด
1) a + b 2) a − b 3) b − a 4) ab
วิธีทํา
1) a + b ∈ (−12,15)
2) − ∈ (−20,7)
3) b − a ∈ (−7,20)
4) ab ∈ (−100,50)
Ex7. จากสิ่งที่กําหนดให
a ∈ [−8,4), b ∈ [−5,9)
จงหาวา คาตอไปนี้เปนสมาชิกในชวงใด
1) 2a + 3b 2) 3a − b 3) ab 4) a 5) | | + | |
วิธีทํา
1) 2a + 3b ∈ [−31,35)
2) 3 − ∈ (−33,17)
3) ab ∈ (−72,40)
4) ∈ [0,64]
5) | | + | | ∈ [0,17)
6. จากสิ่งที่กําหนดให
a ∈ [−5,6], b ∈ (−3,7)
จงหาวา คาตอไปนี้เปนสมาชิกในชวงใด
1) a + b 2) a − b 3) b − a 4) ab
7. จากสิ่งที่กําหนดให
a ∈ [−3,8), b ∈ [−4,1)
จงหาวา คาตอไปนี้เปนสมาชิกในชวงใด
1) 2a + 3b 2) 3a − b 3) ab 4) a 5) | | + | |

23. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 23
. การแกอสมการในรูปแบบตางๆ
11.1 อสมการกําลัง 1
1 จงหาชวงของ ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
2 − 11 ≥ 5 + 4
วิธีทํา 2 − 5 ≥ 4 + 11
−3 ≥ 15 ∴ ≤ −5 .
Ex2 จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
2 − 3(5 − 1) ≥ − 4
วิธีทํา 2 − 15 + 3 ≥ − 4
−13 + 3 ≥ − 4
−13 − ≥ −4 − 3
−14 ≥ −7
∴ ≤ 0.5 .
3 จงหาชวงของ ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
3 − 5
5
−
3 + 1
2
+
1
3
≥ + 4
วิธีทํา
6(3 − 5) − 15(3 + 1) + 10
30
≥ + 4
6(3 − 5) − 15(3 + 1) + 10 ≥ 30( + 4)
(18 − 30) − (45 + 15) + 10 ≥ (30 + 120)
18 − 30 − 45 − 15 + 10 ≥ 30 + 120
−27 − 35 ≥ 30 + 120
−27 − 30 ≥ 120 + 35
−57 ≥ 155 ∴ ≤ −
155
57
.
4 จงหาชวงของ ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
−2 ≤
3 − 1
2
≤ 4
วิธีทํา − 2 ≤
3 − 1
2
≤ 4
−4 ≤ 3 − 1 ≤ 8
−4 + 1 ≤ 3 ≤ 8 + 1
−3 ≤ 3 ≤ 9
∴ −1 ≤ ≤ 3 .
แบบทดสอบความเขาใจ ชุดที่ 6
1) จงหาชวงของ ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
5 + 11 ≥ 7 + 5
2) จงหาชวงของ ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
3 − 2(4 − 1) ≥ 10 − 28
3) จงหาชวงของ ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
5 − 3
3
−
3 − 1
2
+
1
5
≥ 2 − 3
4) จงหาชวงของ ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
−5 ≤
2 − 3
3
≤ 2

24. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 24
5 จงหาชวงของ ที่ทําใหอสมการนี้ √3 − 5 ≤ 4 เปนจริง
วิธีทํา √3 − 5 ≤ 4
0 ≤ √3 − 5 ≤ 4 เพราะ ถา √ ∈ แลว √ ≥ 0 เสมอ
0 ≤ √3 − 5 ≤ 4
0 ≤ 3 − 5 ≤ 16
0 + 5 ≤ 3 − 5 + 5 ≤ 16 + 5
5 ≤ 3 ≤ 21
5
3
≤ ≤ 7 .
11.2 อสมการกําลัง 2
6 จงหาชวงของ ที่ทําใหอมการ (2 − 1) ≤ 9 เปนจริง
วิธีทํา จาก (2 − 1)2
≤ 9
จะไดวา − √9 ≤ (2 − 1) ≤ √9
−3 ≤ 2 − 1 ≤ 3
−2 ≤ 2 ≤ 4
−1 ≤ ≤ 2 .
7 จงหาชวงของ ที่ทําใหอมการ (2 − 3) ≥ 12 เปนจริง
วิธีทํา จาก (2 − 3)2
≥ 12
จะไดวา (2 − 3) ≥ √12 หรือ (2 − 3) ≤ −√12
∴ (2 − 3) ≥ 2√3 หรือ (2 − 3) ≤ −2√3
∴ 2 ≥ 3 + 2√3 หรือ 2 ≤ 3 − 2√3
∴ ≥
3 + 2√3
2
∨ ≤
3 − 2√3
2
Ans.
5) จงหาชวงของ ที่ทําใหอสมการนี้ √2 − 3 ≤ 25 เปนจริง
6) จงหาชวงของ ที่ทําใหอมการ (2 + 3) ≤ 64 เปนจริง
7 จงหาชวงของ ที่ทําใหอมการ (3 − 5) ≥ 32 เปนจริง

25. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 25
Ex8 จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
2 − 3x − 1 ≤ 0
วิธีทํา ถา 2
+ b + c = 0 ∴ =
−b ± √ 2
− 4
2
∴ =
−(−3) ± (−3)2
− 4(2)(−1)
2(2)
∴ =
3 ± √9 + 8
4
=
3 ± √17
4
จาก + bx + c ≤ 0
สามารถหาคา ที่เปนจริง ไดอยูในชวง
−b − √ − 4
2
≤ ≤
−b + √ − 4
2
ดังนี้ 2 − 3x − 1 ≤ 0 แลวจะหาคา ไดในชวง
∴
3 − √17
4
≤ ≤
3 + √17
4
.
9 จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
3 − 2 − 1 ≥ 0
วิธีทํา ถา 2
+ b + c = 0 ∴ =
−b ± √ 2
− 4
2
∴ =
−(−2) ± (−2) − 4(3)(−1)
2(3)
∴ =
2 ± √4 + 12
6
=
2 + 4
6
,
2 − 4
6
= 1, −
1
3
ถา 2
+ b + c ≥ 0
สามารถหาคา ที่เปนจริง ไดอยูในชวง
≤
−b − √ − 4
2
หรือ ≥
−b + √ − 4
2
∴ ≤ −
1
3
หรือ ≥ 1 Ans.
8) จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
4 − 2x − 3 ≤ 0
9) จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
2 − 5x − 4 ≥ 0

26. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 26
11.3 การแกอสมการโดยวิธีแบงชวง บวก ลบ
เปนกรณีที่โจทยอยูในรูปแบบการคูณและหารของวงเล็บ
ที่เครื่องหมายหนา เปน + เสมอ
10 จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
( − 1)( + 3)( − 3)
( + 5)
≥ 0
วิธีทํา เนื่องจากเศษสวนตองมีสวนที่ไมเปน 0 ∴ ≠ −5
ถา
( − 1)( + 3)( − 3)
( + 5)
= 0 ∴ = −3,1,3
∴ จุดแบ่งช่วง + − คือ
ชวง
จากโจทย์ต้องการช่วงที ≥ 0 ดังนั้นจึงเลือกชวงบวกเปนคําตอบ
( ≤ −3) ∨ (1 ≤ ≤ 3) ∨ (x > 5) Ans.
11 จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
( + 3)(4 − )
( − 2)( + 5)
≥ 0
วิธีทํา เนื่องจากเศษสวนตองมีสวนที่ไมเปน 0 ∴ ≠ −5,2
โจทยขอนี้ยังใชระบบการเช็คชวงไมไดเพราะมีวงเล็บที่หนา เปน ลบ
จึงตองทําหนา ทุกวงเล็บเปนบวกเสียกอนดังนี้
( + 3)(−1)(−4 + )
( − 2)( + 5)
≥ 0
( + 3) ( − 4 )
( − 2)( + 5)
≤ 0
เอา(−1)คูณตลอดเครื่อง ≥ เปลี่ยนเปน ≤
หาจุดแบงชวง โดยใหแตละวงเล็บ = 0 จะได x = −5, −3,2,4
ใหชวงขวามือสุดเปนชวงบวกเสมอแลวสลับชวงลบบวกตอๆกันไป
จากโจทยตองการชวงที่ เปนคําตอบคือชวง ≤ 0
∴ (−5 < x ≤ −3) ∨ (2 < x ≤ 4) Ans.
10. จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
( − 1)( + 3)( − 3)
( + 5)( − 5)
≥ 0
11. จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
(1 − )( + 3)(4 − )
(2 − )( + 5)
≥ 0

27. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 27
12 จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
( + 3) (4 − ) ( + 3)
( − 2)( + 5)| + 3|(1 − )
≥ 0
วิธีทํา เนื่องจากเศษสวนตองมีสวนที่ไมเปน 0 ∴ ≠ 2, −5, −3,1
จัดรูปแบบอสมการใหมดังนี้
( + 3) (4 − )(4 − ) ( + 6)
( − 2)( + 5)| + 3|(4 − )(1 − )
≥ 0
ถ้า
( + 3)112
(4 − )(4 − )22
( + 6)4
( − 2)( + 5)| + 3|(4 − )(1 − )110
= 0
จะได = −3,4, −6 และ ≠ 2, −5, −3,1
วงเล็บที่ยกกําลังคูมีคา ≥ 0
∴
( + 3) (4 − )(4 − ) ( + 6)
( − 2)( + 5)| + 3|(4 − )(1 − )
≥ 0
∴ ตัดพจนที่เปนบวกเสมอทิ้งจะได
(4 − )
( + 5) (1 − )
≥ 0
โจทยขอนี้ยังใชระบบการเช็คชวงไมไดเพราะมีวงเล็บที่หนา เปน ลบ
จึงตองทําหนา ทุกวงเล็บเปนบวกเสียกอนดังนี้
(−1)( − 4)
( + 5) (−1)( − 1)
≥ 0
( − 4)
( + 5) ( − 1)
≥ 0
หาจุดแบงชวง โดยใหแตละวงเล็บ = 0 จะได x = 4, −5,1
ใหชวงขวามือสุดเปนชวงบวกเสมอแลวสลับชวงลบบวกตอๆกันไป
จากโจทยตองการชวงที่ เปนคําตอบคือชวง ≤ 0
∴ (−5 < x < 1) ∨ ( x ≥ 4) ∨ x = −6 Ans.
12. จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการนี้เปนจริง
( − 3) (1 − ) ( + 2)
( − 6)( − 5)| − 4|(1 + )
≥ 0

28. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 28
12. คาสัมบูรณ( )
นิยาม ถา ∈ แลว | | =
, ≥ 0
− , < 0
สมบัติของคาสมบูรณ
1) | | ≥ 0 เสมอ
2) ⌈− ⌉ = | |
3) | − | = | − |
4)| | = | || |
5) =
| |
| |
, ≠ 0
6) | | = | | =
7) | + | ≤ | | + | |
8) | − | ≥ | | − | |
9) | | > | | แลว >
10) ถา = แลว | | = | | หรือ = ±
11) | | ≥ แลว ≥ หรือ ≤ โดยที่ > 0
12) | | ≤ แลว − ≤ ≤ โดยที่ > 0
การแกสมการและอสมการคาสัมบูรณ
1. จงหาคา จากสมการ |2 − 3| = 5
วิธีทํา จาก |2 − 3| = 5 ∴ 2 − 3 = ±5
ถา 2 − 3 = 5 ∴ = 4 .
ถา 2 − 3 = − 5 ∴ = −1 .
2. จงหาคา จากสมการ |2 − 3| = |3 − 2|
วิธีทํา จาก |2 − 3| = |3 − 2|
∴ 2 − 3 = ± (3 − 2)
ถา 2 − 3 = (3 − 2) ∴ = −1 .
ถา 2 − 3 = − (3 − 2) ∴ = 1 .
แบบทดสอบความเขาใจ ชุดที่ 7
1.1. จงหาคา จากสมการ |2 − 3| = 5
1.2. จงหาคา จากสมการ |5 − 3| = 7
2.1. จงหาคา จากสมการ |4 − 5| = |5 − 7|
2.2. จงหาคา จากสมการ |3 − 7| = |5 − 13|

29. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 29
3 จงหาคา จากอสมการ |3 − 1| ≤ 5
วิธีทํา จาก |3 − 1| ≤ 5
∴ −5 ≤ 2 − 3 ≤ 5
∴ −2 ≤ 2 ≤ 8 ∴ −1 ≤ ≤ 4 .
4. จงหาคา จากอสมการ |2 − 3| ≥ 7
วิธีทํา จาก |2 − 3| ≥ 7
∴ 2 − 3 ≥ 7 หรือ ∴ 2 − 3 ≤ −7
∴ ≥ 5 หรือ ≤ −2 .
การแกสมการหรืออสมการคาสัมบูรณโดยใชวิธีแบงชวงการคิด
3.1 จงหาคา จากอสมการ |5 + 2| ≤ 12
3.2 จงหาคา จากอสมการ |3 − 4 | ≤ 11
4.1 จงหาคา จากอสมการ |4 − 2| ≥ 6
4.3 จงหาคา จากอสมการ |2 − 5| ≥ 20

30. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 30
จงหาคา จากสมการ |2 − 4 | + | + 2| = 5
วิธีทํา ใชระบบการแบงชวง โดยหาจุดแบงดังนี้
ใหคาภายในเครื่องหมายคาสัมบูรณเทากับ 0 จะได = 2, −2
ดังนั้นชวงที่เราจะใชพิจารณาแบงเปน 3 ชวงดังรูป
∴ 2 − 3 ≥ 7 หรือ ∴ 2 − 3 ≤ −7
ในการคํานวณคาที่จะเปนคําตอบตองอยูในชวงที่กําลังใชอยูเทานั้น
พิจารณาเปลี่ยน |2 − 4 | + | + 2| = 5 ใหเปนวงเล็บ
ใหคา ในชวงคาใด
คาหนึ่งในชวงที่กําลังใชคํานวณ ไปแทนคาดูวาคาภายในเครื่องหมาย
คาสัมบูรณไดคา + หรือ −
ถาไดคา + ใหเปลี่ยนเครื่องหมายคาสัมบูรณเปนวงเล็บ +
ถาไดคา − ใหเปลี่ยนเครื่องหมายคาสัมบูรณเปนวงเล็บ −
ชวงที่ 1 < −2 ตรวจสอบคาสัมบูรณโดยแทนดวย = −4
ในสมการ |2 − 4 | + | + 2| = 5
จะได − (2 − 4) − ( + 2) = 5
∴ −2 + 4 − − 2 = 5 ∴ = −1
= −1 ไมอยูในชวงที่ 1 จึงไมไมใชคําตอบ
ชวงที่ 2 − 2 < < 2
ตรวจสอบคาสัมบูรณโดยแทนดวย = 0
ในสมการ |2 − 4 | + | + 2| = 5
จะได − (2 − 4) + ( + 2) = 5
∴ −2 + 4 + + 2 = 5 ∴ = 1
= 1 อยูในชวงที่ 2 จึงเปนคําตอบที่ใชได
ชวงที่ 3 > 2
ตรวจสอบคาสัมบูรณโดยแทนดวย = 5
ในสมการ |2 − 4 | + | + 2| = 5
จะได (2 − 4) + ( + 2) = 5
∴ 2 − 4 + + 2 = 5 ∴ =
7
3
=
7
3
อยูในชวงที่ 3 จึงเปนคําตอบที่ใชได
∴ สมการ |2 − 4 | + | + 2| = 5
มีคําตอบคือ = 1,
7
3
.

31. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 31
5 จงหาคา จากสมการ |3 − 1 | + |2 + 3| = 5
วิธีทํา ใชระบบการแบงชวง โดยหาจุดแบงดังนี้ x =
1
3
, −
3
2
ชวงที่ 1 < −
3
2
ตรวจสอบดวย = −4 จะได
−(3 − 1) − (2 + 3) = 5
−3 + 1 − 2 − 3 = 5
−5 − 2 = 5 ∴ = −
7
5
ไมอยูในชวงที่ 1
ชวงที่ 2 −
3
2
< <
1
3
ตรวจสอบดวย = 0 จะได
−(3 − 1) + (2 + 3) = 5
−3 + 1 + 2 + 3 = 5
− + 4 = 5 ∴ = −1 อยูในชวงที่ 2 จึงเปนคําตอบ
ชวงที่ 3 >
1
3
ตรวจสอบดวย = 2 จะได
(3 − 1) + (2 + 3) = 5
3 − 1 + 2 + 3 = 5
5 + 2 = 5 ∴ =
3
5
อยูในชวงที่ − จึง เปนคําตอบ
สมการ |3 − 1 | + |2 + 3| = 5
มีคําตอบ คือ = −1,
3
5
,
5. จงหาคา จากสมการ |5 − 3 | + |2 + 1| = 9

32. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 32
6 จงหาคา จากสมการ |2 − 1 | − | + 1| ≤ 1
วิธีทํา ใชระบบการแบงชวง โดยหาจุดแบงดังนี้ x =
1
2
, −1
ชวงที่ 1 < −1 ตรวจสอบดวย = −3 ในอสมการ
|2 − 1 | − | + 1| ≤ 1 จะได
−(2 − 1) + ( + 1) ≤ 1
−2 + 1 + + 1 ≤ 1
− ≤ −1 ∴ ≥ 1 ไมอยูในชวงที่ 1 จึงไมใชคําตอบ
ชวงที่ 2 − 1 < <
1
2
ตรวจสอบดวย = 0 จะได
−(2 − 1) − ( + 1) ≤ 1
−2 + 1 − − 1 ≤ 1
−3 ≤ 1 ∴ ≥ −
1
3
อยูในชวงที่ 2 จึงเปนคําตอบ
ชวงที่ 3 >
1
2
ตรวจสอบดวย = 5 จะได
(2 − 1) − ( + 1) ≤ 1
2 − 1 − − 1 ≤ 1
≤ 3 อยูในชวงที่ 3 จึงเปนคําตอบ
อสมการ |2 − 1 | − | + 1| ≤ 1
มีคําตอบ คือ −
1
3
≤ ≤ 3 ,
6. จงหาคา จากสมการ |2 − 1 | − | + 1| ≤ 1

33. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 33
แบบทดสอบเสริมความเขาใจ
1. + 3| | − 4 = 0
2. | − 3 + 2| = − 3 + 2
3. | + 2 − 3| = 3 − 2x −
4. 4( + 2) − 3| + 2| − 1 = 0
5. | + 3 + 3| = | 2 + 3|
6. | − 4| + | + 4| = 10
7. | − 4| − | − 4| = 8
8. | − 3| + | + 2| − | − 4| = 3
9. | − 1| = | + 3|
10. | 2 − 1| = − 2 − 3
11. | − 3| | + 2| = − 2
12. | − 1| > 4x + 1
13. | − 3| > | − 3|
14. | + 3 | ≤ 8 − − 3
15. | | | − 3| < | − 2|
16.
|2 − 1|
| + 3| − 5
< 1
17.
|3 − 2|
| + 1| − 1
> 5
18. | − − 5| < 4 − 1
19. − | | − 12 < 0
20.
− 4 + 4
− 6 + 9
+
| − 2|
| − 3|
− 12 < 0

34. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 34
สมบัติความบริบูรณ( )
นิยาม ให ⊂
1) จะเปนคาขอบเขตบนของ
ถา ทุก ที่เปนสมาชิกของ มีคานอยกวาหรือเทากับ
2) จะเปนคาขอบเขตลางของ
ถา ทุก ที่เปนสมาชิกของ มีคามากกวาหรือเทากับ
นิยาม ให ⊂ แลว จะเปนคาขอบเขตบนนอยสุดของ เมื่อ
1) เปนขอบบนของ
2) ถา ทุก ที่เปนสมาชิกของขอบเขตบน จะได ≤
เรียก วา หรือ ของ
เขียนแทนดวย = sup
นิยาม ให ⊂ แลว จะเปนคาขอบเขตลางมากสุดของ เมื่อ
1) เปนขอบลางของ
2) ถา ทุก ที่เปนสมาชิกของขอบเขตลาง จะได ≥
เรียก วา หรือ ของ
เขียนแทนดวย = imf
ให = [−7,9) จงหา ขอบบนของ ขอบลางของ
และ
คําตอบ ขอบบนของ = [9, ∝) ขอบลางของ = (−∝, −7]
= 9 และ = −7 .
แบบทดสอบความเขาใจ
จงหา ขอบบนของ ขอบลางของ และ
เมื่อกําหนด ใหดังนี้
1) = [−4,6]
ขอบบนของ = … … … … … … … … … … … … ….
ขอบลางของ = … … … … … … … … … … … … ….
= … … … … … … …… … … … … … … … …
= …… … … … … … … … … … … … … … …
2) = (12,60)
ขอบบนของ = … … … … … … … … … … … … ….
ขอบลางของ = … … … … … … … … … … … … ….
= … … … … … … …… … … … … … … … …
= …… … … … … … … … … … … … … … …
3) = {−1,6,9,3, −9, −3,2,1}
ขอบบนของ = … … … … … … … … … … … … ….
ขอบลางของ = … … … … … … … … … … … … ….
= … … … … … … …… … … … … … … … …
= …… … … … … … … … … … … … … … …
3) = { / |2 − 5| ≤ 7}
ขอบบนของ = … … … … … … … … … … … … ….
ขอบลางของ = … … … … … … … … … … … … ….
= … … … … … … …… … … … … … … … …
= …… … … … … … … … … … … … … … …

35. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 35
แบบทดสอบพื้นฐานระบบจํานวนจริง ชุดที่ 1
1. ขอใดไมถูกตอง
1. 1.1414 เปนจํานวนตรรกยะ
2. ถา  แลว 2
 0
3.
0
เปนจํานวนอตรรกยะ
4. ถา , เปนจํานวนคู แลว + เปนจํานวนคู
2. ขอใดผิด
1. ตรรกยะบวกตรรกยะไดตรรกยะเสมอ
2. ตรรกยะบวกอตรรกยะไดอตรรกยะเสมอ
3. ตรรกยะคูณตรรกยะไดตรรกยะเสมอ
4. ตรรกยะคูณอตรรกยะไดอตรรกยะเสมอ
3. ขอใดเปนจํานวนอตรรกยะ
1. 3√5 + 3√5 − √125
2. √3(√8 − 2√5)
3. 2√2 + 4√2 − 6√2
4. √2 √3 × √3 − √6
4. ขอใดถูกตอง
1. เซตของจํานวนจริง ปดสําหรับการคูณเสมอ
2. เซตของจํานวนจริง ปดสําหรับการหารเสมอ
3. เซตของจํานวนเต็มลบ ปดสําหรับการคูณเสมอ
4. เซตของจํานวนคี่ ปดสําหรับการลบเสมอ
5. ขอใดถูกตอง
1. เซตของจํานวนอตรรกยะ ปดสําหรับการลบเสมอ
2. {1,2} มีสมบัติปดสําหรับการคูณเสมอ
3. {−1,0,1} มีสมบัติปดสําหรับการคูณเสมอ
4. {−1,0,1} มีสมบัติปดสําหรับการบวกเสมอ
6. ขอใดผิด…
1. อินเวอรสการบวกของ
√5 − 1
2√3
คือ
1 − √5
2√3
2. อินเวอรสการบวกของ
√5 − 1
2√3
คือ
√3 √5 + 1
2
3. อินเวอรสการคูณของ − 2 +
17
5
คือ −
5
7
4. อินเวอรสการคูณของ √6 − √5 คือ √6 + √5
7. ให , , เปนจํานวนจริงใดๆ แลว ขอใดถูก…
1.
− 2
1 −
=
2. ถา < แลว 2
< 2
3. ถา < < 0 และ < < 0 แลว >
4. ถา 0 < < 1 แลว 0 < < 2
8. ให , เปนจํานวนจริงใดๆ แลว ขอใดผิด…
1. ถา ∗ = + + 5 และ ∗ 3 = 4 ∗ 10
แลว = 7
2. ถา ∗ = 3 + 2 + 1 และ ∗ 5 = 2 ∗ 3
แลว =
3. ถา ∗ = 2 + 2
+ 1 และ ∗ 3 = 3 ∗ 1
แลว = 1
4. ถา ∗ = − 2 + 3 และ ( ∗ 1) ∗ 2 = 5 ∗ 4
แลว = 0
9. ให ∗ = + − 8 สําหรับทุก , ที่เปนจํานวนเต็ม
แลวขอความใดตอไปนี้ถูกตอง..
1. (2 ∗ 3) ∗ 4 = 2 ∗ (3 ∗ 4)
2. เอกลักษณ ของ ∗ นี้คืด 8
3. อินเวอรสของ สําหรับ ∗ คือ −
4. เครื่องหมา ∗ ไมมีสมบัติการสลับที่

36. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 36
10. ให , เปนจํานวนจริงใดๆ แลว ขอใดผิด… .
1. ถา ∗ = + + 5
แลว เอกลักษณของเครื่องหมาย ∗ นี้ คือ − 5
2. ถา ∗ = + − 11
แลว เอกลักษณของเครื่องหมาย ∗ นี้ คือ 11
3. ถา ∗ = 2
แลว เอกลักษณของเครื่องหมาย ∗ นี้ คือ
1
2
4. ถา ∗ = + +
แลว เอกลักษณของเครื่องหมาย ∗ นี้ คือ k
แบบทดสอบพื้นฐาน ชุดที่ 2 ทฤษฎีเศษเหลือ
1. − 7 − 6 หารดวยพจนใดตอไปนี้แลวเหลือเศษนอยสุด..
1. ( − 2)
2. ( + 4)
3. ( + 2)
4. ( + 3)
2. ขอใดเปนตัวประกอบของ + 2 − 5x − 6 ..
1. ( − 1)
2. ( − 2)
3. ( − 3)
4. ( − 4)
3. + 6 + 3x − 10
หารดวยพจนใดตอไปนี้แลวเหลือเศษมากสุด …
1. ( − 1)
2. ( + 1)
3. ( − 2)
4. ( + 2)
4. ขอใด นําไปหาร − 6 + 11x − 6
แลวเหลือเศษเทากับการหารดวย ( − 3) …
1. ( + 1)
2. ( + 3)
3. ( − 1)
4. ( − 6)
5. ถา ( ) = 2 − 3 − x + a และ ( )หารดวย( − 1)
แลวเหลือเศษ 3 แลว ( )หารดวย ( − 2)เหลือเศษเทาไร…
1. 5
2. 6
3. 7
4. 8
6. ถา ℎ( ) = + − 5 + 6 หารดวย( + 2)ไดลงตัว
แลว ℎ( )รหารดวย ( + )เหลือเศษเทาไร….
1. − 1
2. − 2
3. − 3
4. − 4
7. ถา ℎ( ) = − 3 + a + b หารดวย( − 1)เหลือเศษ 3
และหารดวย ( − 2)จะเหลือเศษ 3 เชนกัน
แลว ℎ( )รหารดวย ( + + )จะเหลือเศษเทาไร …
1. − 100
2. − 157
3. − 207
4. − 235
8. ถา ℎ( ) = 5 − 11 − 14 − 10
หารดวย( + 1)เหลือเศษ และถาหารดวย( − 1)เหลือเศษ
แลว มีคาเทาไร..
1. − 360
2. 360
3. − 400
4. 400

37. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 37
9. ให ∈ จงหาผลบวกของ ทั้งหมดที่สอดคลองกับเงื่อนไข
ที่ 3
+ 2 2
− 5 − 2 หารดวย − แลวเหลือเศษ 4..
1. − 6
2. − 2
3. 2
4. 6
10. ให , , เปนคําตอบของสมการ 27 3
− 18 2
− 3 + 2
และ < < แลว − + มีคาเทาไร..
1. −
1
3
2. 0
3.
1
3
4.
2
3
11. กําหนดให 2 − 3 − 17 + 30 = 0 แลว คําตอบของ
สมการที่มีคามากที่สุด มากกวาคําตอบของสมการที่มีคานอย
ที่สุด เทากับขอใดตอไปนี้ …
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
12.กําหนดให , , เปนรากของสมการ
6 + − 4 + 1 = 0 โดยมี < 0, > 0, > 0 และ
< แลว คาของ
4 −
ตรงกับขอใดตอไปนี้ ….
1. 0
2. 1
3. 3
4. 9
แบบทดสอบพื้นฐาน ชุดที่ 3 ชวงและอสมการ
1. ให = ( −2 , 7 ], = ( 3 , 10 ) แลวขอใด ผิด…
1. ∪ = (−2,10)
2. ∩ = (3,7]
3. − = (−2,3)
4. − = (7,10)
2. ให = [−5,6), = (−3 , 10 ) , = [−2,15]
แลวขอใด ผิด….
1. ( ∪ ) ∩ = [−2,10)
2. ( ∩ ) ∪ = (−3,15]
3. ( ∪ ) − = (−5, −2)
4. ( ∪ ) − = [−5, −3)
3. ถา 7(2 − 3) − 5(3 − 1) ≥ 2( + 3) − 19
แลว เปนสมาชิกในชวงใดตอไปนี้.
1. (−∞, −1]
2. (−∞, 3]
3. [−1,∞)
4. (−3,∞)
4. ถา
5 − 1
2
−
10 + 2
3
≤ 2
แลว เปนสมาชิกในชวงใดตอไปนี้…
1. (−∞,
12
5
]
2. (−∞,
19
5
]
3. [−
19
5
, ∞)
4. (−
12
5
, ∞)

38. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 38
5. ถา − 3 <
2 − 1
3
+
3 − 1
2
< 10
แลว เปนสมาชิกในชวงใดตอไปนี้ .
1. (−1, 5)
2. (−2,4]
3. [−5,3)
4. (−8,2)
6. ถา 3x − 2 < 6 + 10 ≤ + 35
แลว เปนสมาชิกในชวงใดตอไปนี้ .
1. (−4, 5)
2. (−5,4)
3. (−6,3)
4. (−7,2)
7. ถา 2x − 5 < 17 ≤ 3 + 12
แลว เปนสมาชิกในเซตใดตอไปนี้..
1. (−1, 9)
2. [1,11)
3. (1,11]
4. [0,11]
8. ขอใดตอไปนี้เปนเท็จ….
1. ถา ( + 1)(x − 5) ≤ 0 แลวจะได − 1 ≤ ≤ 5
2. ถา ( − 3)(x + 2) < 0 แลวจะได − 2 < < 3
3.ถา (3 − x)(1 + x) ≤ 0 แลวจะได ≤ −1 หรือ ≥ 3
4.ถา (5 − x)(2 + x) > 0 แลวจะได < −2 หรือ > 5
9. ถา
( − 4)( + 1)
( + 3)
≤ 0
แลว เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ .
1. < −3 หรือ − 1 ≤ ≤ 4
2. − 3 < ≤ −1 หรือ ≥ 4
3. − 3 < ≤ 1 หรือ ≥ 4
4. < −1 หรือ 1 ≤ ≤ 4
10. ถา
(5 − )(3 − )
(1 − )
≥ 0
แลว เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ .
1. < −1 หรือ 3 ≤ ≤ 5
2. − 1 < ≤ 3 หรือ ≥ 5
3. − 3 < ≤ −1 หรือ ≥ 5
4. < −3 หรือ − 1 ≤ ≤ 5
11. ถา
( − 3 )
( + 6)(8 − )
≥ 0
แลว เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ .
1. − 6 < ≤ 0 หรือ 3 ≤ < 8
2. < −6 หรือ 0 ≤ ≤ 3 หรือ > 8
3. − 6 < ≤ −3 หรือ > 8
4. < −6 หรือ − 3 ≤ < 8
12. ถา
( − 1 ) ( − 5 )
(4 − )
≥ 0
แลว เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ … .
1. − 1 < ≤ 4 หรือ > 5
2. < −5 หรือ 0 ≤ < 4
3. − 4 < ≤ −1 หรือ ≥ 5
4. 1 ≤ < 4 หรือ = 5
13. ถา
(√ + 5 ) (| | − 4 )
(| | + 2)(| | − 6 )
≤ 0
แลว เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ . .
1. − 6 ≤ ≤ 4
2. − 4 ≤ ≤ 4 หรือ ≠ ±6
3. − 4 ≤ < 6
4. − 6 < < 6

39. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 39
14. ถา
− 3
< 4
แลว เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ . .
1. − 3 ≤ ≤ 4
2. 3 < ≤ 4
3. − 4 ≤ < 3
4. − 3 < < 3
15. กําหนดให เปนเซตคําตอบของอสมการ
− 1
+ 2
> 2
และ เปนคาขอบบนนอยสุดของ
แลว + 1 มีคาเทากับขอใด. .
1. 2
2. 5
3. 10
4. 26
16. ถา
− 1
+ 2
≥
− 3
+ 1
แลว เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ . .
1. < −5 หรือ − 2 ≤ < 1
2. − 5 ≤ < −2 หรือ > 1
3. − 2 < < 1 หรือ ≥ 5
4. − 5 < < 1 หรือ > 2
17. ถา
− 1
+ 2
≥
− 3
+ 1
แลว เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ …
1. < −1 หรือ − 2 ≤ < 1
2. − 2 ≤ < 1 หรือ > 2
3. − 1 < ≤ 1 หรือ > 2
4. − 2 < < 2
18. ขอใดเปนเซตคําตอบของ
+ 6
<
1
…
1. ( − 6, 3 )
2. ( − 6, − 2 ) ∪ (1, 3 )
3. ( − 6, − 2 ) ∪ ( 0, 3 )
4. ( − , − 6 ) ∪ ( 3, ∞ )
19. ถา เปนเซตคําตอบของอสมการ 3 + 5 + 2 < 0
และ เปนเซตคําตอบของอสมการ
2 + 1
− 3
≥ 0
แลว ( ∪ ) คือขอใด …
1. 
2. [ −1 , 5 ]
3. (−
1
2
,3]
4. ( −∞,−1 ] ∪ [−
2
3
, −
1
2
) ∪ [3,∞)
20. เซตคําตอบของอสมการ 4x ≥ −8x − 3 ตรงกับขอใด.
1. ( − ∞, −
3
2
] ∪ [ −
1
2
, ∞ )
2. − ∞, −
1
2
∪ −
3
2
, ∞
3. [ −
1
2
,
3
2
]
4. [ −
3
2
, −
1
2
]

40. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 40
21. เซตคําตอบของอสมการ
3
+ 2
− 6
2
− 5 + 6
≥ 0
ตรงกับขอใดตอไปนี้.
1. [ − 3 , 0 ] ∪ ( 3 ,  )
2. [ − 3 , 0 ] ∪ [ 3 ,  )
3. ( − 3 , 0 ) ∪ 2 , 3 ) ∪ ( 3 ,  )
4. [ − 3 , 0 ] ∪ ( 2 , 3 ) ∪ ( 3 ,  )
22. เซตคําตอบของอสมการ
− 1
≥ 3 + คือขอใด..
1) ( 0 , ∞ )
2) ( − ∞ , 0 )
3) ( −∞ , 0 ) ∪ ( 1 , ∞ )
4) ( −∞ , 0 ) ∪ ( 3 , ∞ )
23. ขอใดตอไปนี้เปนเท็จ…
1. ถา (2 − 5) < 9 แลวจะได 1 < < 4
2. ถา (7 − 2 ) ≤ 81 แลวจะได − 1 < < 8
3. ถา (2 − 3) > 25 แลวจะได < −4 หรือ > 4
4. ถา (1 − 2 ) ≥ 49 แลวจะได ≤ −3 หรือ ≥ 4
24. ถา 2 − 8 + 3 ≤ 0
แลว เปนสมาชิกในเซตใดตอไปนี้.
1.
4 − √10
2
,
4 + √10
2
2.
4 − √11
2
,
4 + √11
2
3.
8 − √10
2
,
8 + √10
2
4.
8 − √11
2
,
8 + √11
2
25. ถา (x + 1)(x + 2) ≤ 5
แลว เปนสมาชิกในเซตใดตอไปนี้.
1.
3 − √21
2
,
3 + √21
2
2.
3 − √23
2
,
3 + √23
2
3.
3 − √13
2
,
3 + √13
2
4.
3 − √11
2
,
3 + √11
2
26. ถา √2 + 3 < 7 แลว เปนจริงตามขอใด …
1. < 23
2. 0 ≤ < 23
3. −
3
2
≤ < 23
4. – 2 < < 23
27. ถา √ < x − 1 แลว เปนจริงตามขอใด …
1. <
3 − √5
2
2.
3 − √5
2
< <
3 − √5
2
3. 0 ≤ <
3 − √5
2
4. >
3 − √5
2

41. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 41
แบบทดสอบพื้นฐาน ชุดที่ 4 คาสัมบูรณ
1. ขอความใดเปนเท็จ .
1. ถา | |  1 แลว = ± 1
2. | | = เสมอ เมื่อ ∈
3. ถา | + 2| = 5 แลว = 3 , − 7
4. – 2
≤ 0 เสมอ เมื่อ ∈
2. ถา − 5 < < 3 และ − 7 < < 2 แลวขอใดผิด..
1. | | < 5
2. | − 3| < 10
3. − 12 < + < 5
4. − 21 < < 35
3. จงหา | | + 1 จากสมการ 3| | − 27 = 0 …
1. 8
2. 9
3. 10
4. 12
4. ขอใดเปนคําตอบของอสมการ | + 1| ≤ | − 2|.
1. (−∝,
1
2
]
2. (−∝,
1
2
)
3. (−
1
2
, ∝)
4. [−
1
2
, ∝)
5. จงหาคา จาก
| | − |−10|
|−3 + 8|
= 1 … .
1. 5 ,−5
2. 5 , −9
3. 13 , − 13
4. 15 , − 15
6. ให เปนเซตคําตอบของอสมการ
| − 4| − | − 3| = 1
จะเทากับเซตใด …
1. (3,4)
2. [3,4]
3. ( −∞ ,3 ]
4. [ 3 ,∞ )
7. จํานวนจริง ที่มากที่สุดที่สอดคลองกับอสมการ
2 2
− 4
3
≥ 2 2
เปนสมาชิกของเซตใด. .
1. [ −1 , 0.5 )
2. [ 0.5 ,1 )
3. [ 1 ,1.5 )
4. [ 1.5 ,2)
8. ถา 4 ≤ ≤ 6 มีความหมายตรงกับขอใด.
1. |− − 5| ≤ 1
2. | − 5 | ≥ 1
3. |5 − | ≥ 1
4. |5 − | ≤ 1

42. เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร ชุด ระบบจํานวนจริง โดย อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 42
9. ถา | − 4| < 12 แลว | | เปนสมาชิกของชวงใด.
1. [ 0, 4 ]
2. [ 0, 4 )
3. [ 0, 16 )
4. ( 0, 16 )
10. กําหนดให และ เปนสมาชิกของเซตคําตอบของ
สมการ |2 − 1| = + 5 ขอความในขอใดถูกตอง ….
1) และ เปนจํานวนเต็ม
2) ถา เปนจํานวนลบ แลว เปนจํานวนลบ
3) ถา เปนจํานวนบวก แลว เปนจํานวนบวก
4) ถา < 0 แลว > 0
11. เซตคําตอบของสมการ |2 − − 3| = 3 + − 2
ตรงกับขอใดตอไปนี้.
1. − 1 ,
3
2
2.
3
2
, 1
3. ( − 1 ,
3
2
)
4.
3
2
, 2
12. ขอใดตอไปนี้ อยูในเซตคําตอบของ |2 − | = 2 …
1. √5
2. − 3
3. − 2
4. 10
13. เซตคําตอบของอสมการ
| − 3|
| + 1|
≥ 3 ตรงกับขอใด..
1. [ − 3 , 0 ]
2. [ − 3 , − 1 ) ∪ ( − 1 , 0 ]
3. ( − ∞ , − 3 ] ∪ ( − 1 , 0 ]
4. ( − ∞ , − 3 ] ∪ ( − 1 , 0 )
14. เซตคําตอบของอสมการ
| − 1| − 2 ∙ | − 1| + 2 < 32
ตรงกับขอใดตอไปนี้ .
1. { | − 5 < < 7}
2. { | − 7 < < 5}
3. { | 1 < < 7}
4. { | 0 ≤ < 7}