The document discusses analyzing the behavior of 2D and 3D portal frame structures using the direct stiffness method. It provides examples of assembling the global stiffness matrix [Ks] of portal frames by summing the element stiffness matrices [K1] and [K2]. It also shows calculating the member forces and displacements by multiplying the inverse of [Ks] with the load vector {Ps}. Key steps include determining the degrees of freedom, defining load and displacement vectors, inverting [Ks], and drawing free body diagrams to identify internal forces.

1. P
B C
EI
EI L
1 1 2
A A
L/2 L/2
B C
1
2
DOF = 2
0
3.4 Elemen Portal 2 Dimensi
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen portal 2 dimensi
dengan cara Metode Kekakuan langsung
Contoh 5 Analisa struktur pada portal dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan mengabaikan deformasi aksial.
Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja, deformasi aksial
diabaikan :
Elemen 1
0 1
0
K1 =
2 EI
L
4 EI
L
4 EI
2 EI
2 x 2 1
L
L

2. Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
[ K1 ] =
0
4 EI
L
2 EI
L
2 EI
L
4 EI
0
K2 =
[ K2 ] =
L
4 EI
L
4 EI
L
2 EI
L
4 EI
L
= +
=
0 0
0 0
2 x 2
Elemen 2
1 2
1
2 EI
L
4 EI
2 x 2 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ]
2 x 2
2 EI
L
4 EI
L
L
4 EI
L
2 EI
L
2 EI
L
4 EI
L
8 EI
L
2 EI
L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

3. P
Untuk contoh di atas, maka :
0
0
Ps =
− 1 P L
P L
8
1
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
2 EI
4 EI
4 - 2
- 2 8
L
EI
8 EI
2 EI
1
8. 4 - 2 . 2
⎥⎦ ⎤
⎡
⎢⎣
=
4 - 2
- 2 8
L
28 EI
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
4 - 2
- 2 8
L
28 EI
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
P L
8
1
8
L
L
L
L
− 1
P L
8
− 1
P L
8
1
P L
8

4. q L - 1
3
q L 4
6
U1
1
U1
2
0
U2
1
U2
2
3 P L
2
3 P L
2
5 P L
2
P
Us =
L
28 EI
Us =
3 P L
2
5 P L
2
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
0
0
2 q L2
6
− 1
2 q L2
6
1 +
EI
112
−
EI
112
Rotasi di joint B
Rotasi di joint C
EI
112
−
EI
112
−
EI
112
P L − 1
8
P L
8
1

5. 1
P L
8
− 1
P L
8
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
0 0
0
0
PR1 =
0
PR2 =
2 EI
4 EI
P1 = +
P1 =
3 P L
2
EI
112
−
Hasil perhitungan
hanya momen saja
P L
P L
2 EI
− 3
56
− 6
56
4 EI
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
3 P L
2
2 EI
4 EI
P2 = +
5 P L
2
EI
112
1
P L
8
− 1
P L
8
L
L
L
L
EI
112
−
L
L
4 EI
L
2 EI
L

6. P 0
6 q L2
9
P
56
9
P
56
-
11
3
17 P
-
+
6
Dihitung lagi
Dihitung lagi
P2 = =
0 0
Hasil perhitungan
hanya momen saja
+
Free Body Diagram :
9
17
17
6
3
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang M :
P L
56
P
28
28
P L
6
56
P L
3
56
P L
11
56
q L2
56
28
P
9
56
P
56
P
28
P
28
P L
56
P L
56

7. -
+
-
-
-
Bidang D :
Bidang N :
17
P
28
9
P
56
11
P
28
P
17
P
28
9
P
56

8. Contoh 6 Analisa struktur pada portal dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan mengabaikan deformasi aksial.
Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar
P
B C
EI
EI L
3
4 1 2
A A
L/2 L/2
B C
1
2
DOF = 3
1
2
B C
1
2 2 3
1
A
2
DOF = 3
0
0
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 3 x 3
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja, deformasi aksial
diabaikan.

9. Elemen 1
[ K1 ] =
0 0 1 2
12 EI 6 EI
- 12 EI
6 EI
0
3 L
2 L
3 L2
L
2 EI
2 2 0
L
- 6 EI
L
4 EI
L
6 EI
L
− 12 EI - 6 EI
12 EI
- 6 EI
1
3 L
2 L
3 L2
L
4 EI
2 2 2
L
- 6 EI
L
2 EI
L
6 EI
L
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 1 2 }T
2 x 2
Elemen 2
- 6 EI
4 EI
2 3
2
K2 =
2 EI
4 EI
4 EI
2 EI
12 EI
- 6 EI 2
2 x 2 3
Matriks Tujuan { T2 } = { 2 3 }T
[ K2 ] =
2 x 2
2 EI
L
4 EI
L
4 EI
L
2 EI
L
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
L
L
L
L
K1 =
3 L2
L
L
L

10. 2 EI
4 EI
12 EI
3 L2
= + =
P
- 6 EI 2
0
1 2 2 3
[ Ks ]
3 x 3
4 EI
2 EI
2 EI
- 6 EI
3 2
8 EI
12 EI
6 EI
2 −
4 EI
4 EI
0 2 EI
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
0
0
Ps =
L
L
L
L
L
L
L
0
L
L
− 1 P L
P L
8
1
8
− 1
P L
8
1
P L
8
- 6 EI
L
L
L
L
L

11. Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
28 L3 2 2
24 L
- 24 L
48 L
24 L2
60L
- 24 L
12 L2
−
28 L3 2 2
- 12 L
24 L
- 24 L
48 L
24 L2
60L
- 24 L
12 L2
−
10 2
− Rotasi di joint B
U1
1
U1
2
U1
3
U1
4
0
0
[ Ks ]-1 =
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
Us =
- 12 L
3 3
P L
P L
7 P L
2
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 =
EI
EI
EI
− 1
P L
8
1
P L
8
EI
128
−
EI
128
Rotasi di joint C
3 3
P L
EI
128
−
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
0
EI
128
Dilatasi di joint B
6 2
P L
EI
128
−

12. U2
1
Elemen 2 : U2 = =
U2
2
6 2
P L
7 2
P L
P
Reaksi akibat beban luar :
0
0
0
0
0
0
PR1 =
PR2 =
EI
128
−
EI
128
P L − 1
8
P L
8
1
1
P L
8
− 1
P L
8

13. Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
- 12 EI
- 6 EI
2 2
12 EI
- 6 EI
2 2
6 P L
2
− 12 EI -
2 EI
4 EI
6 EI
6 EI
12 EI
2 EI
4 EI
6 EI
- 6 EI
6 EI
2 EI
6 EI
3
− 3
P2 = +
4 EI
2 EI
6 2 q L
P2 = =
7 2
P L
3
0 0
0
0
1
P L
8
− 1
3 3
P L
6 2
P L
Hasil perhitungan
hanya momen saja
+
0
0
0
0
0
0
P1 =
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
EI
128
P L
8
EI
128
−
L
L
L
L
P L
128
64
P1 =
3 L
2 L
3 L2
L
L
L
L
L
3 L
2 L
3 L2
L
4 EI
L
L
L
L
EI
128
−
EI
128
−
P L
64
P L
64

14. P 0
-
-
29
35 Dihitung lagi
P
+
Free Body Diagram :
35
35
3
3
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang M :
P L
3
64
P
64
64
P L
3
64
P L
29
128
P
64
P
64
P L
64
P L
64
P L
3
64

15. -
+
-
Bidang D :
Bidang N :
35
P
64
P
29
64
P
35
P
64

16. Contoh 7 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan perletakan pegas (spring).
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
P
A 1 B
(pegas)
L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
A B
k 3 EI 3 =
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
1
Matriks kekakuan Kstruktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ ]
0 1
Membuat matrik kekakuan elemen :
Elemen 1
0 0 1 2
12 EI 6 EI
- 12 EI
6 EI
0
3 L
2 L
3 L2
L
2 EI
2 2 0
L
- 6 EI
L
4 EI
L
6 EI
L
− 12 EI - 1
- 6 EI
12 EI
6 EI
3 L
2 L
3 L2
L
4 EI
2 2 2
L
- 6 EI
L
2 EI
L
6 EI
L
1
2 4
3
1
A 1
B
0 2
K1 =
L

17. Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 1 2 }T
12 EI
3 L2
[ K1 ] = [ KS ] =
2 x 2
- 4 EI
6 EI
2 −
12 EI
3 L2
- 4 EI
6 EI
2 −
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
− P - k Us'
0
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
L
L
- 6 EI
L
12 EI
3 L2
4 EI
L
6 EI
2 −
L
- 6 EI
L
L
L
- 6 EI
L
4 L3 6 L
2
12 L
EI
6 L2
EI
EI
EI
1
12

18. Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us1
Us2
Us1
Us2
1 − P - k Us'
3
⎞
⎛
+
1 k L Us - P L
3
2
⎞
⎛
+
1 k L Us - P L
3
0
0
=
0
4 L3 2
6 L2
= - ( P + k Us’ )
L3
Us1 = - ( P + k Us’ ) =
6 L
12 L
L3
L2
3 3
P L 1
- k L
Us - P L
⎛
+
3 EI 1 3 EI
P L3
−
Us1 = defleksi vertikal di B
L2
Us2 = - ( P + k Us’ ) =
2 3
P L 2
Us - P L
P L2
−
Us2 = rotasi di B
- k L
⎛
+
2 EI 1 3 EI
Jadi deformasi pada masing-masing ujung :
U1 =
EI
EI
EI
EI
12
3EI
2EI
3EI
Us
3 EI
3 EI
−
L
3 EI
L
3 EI
3 EI
3
1
3
1
3
⎞
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
= = ⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
6EI
2EI
Us
3 EI
2 EI
−
L
3 EI
L
2 EI
3 EI
3
2
2
2
3
⎞
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
= = ⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
4EI
P L3
−
6EI
P L2
−
4EI

19. 0
0
0
0
P
0
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
6 EI
- 12 EI
6 EI
12 EI
2 EI
- 6 EI
4 EI
6 EI
2 2
P1 = +
− 12 EI -
2 2
1
1
1
0
P
P1 =
6 EI
Free Body Diagram :
12 EI
6 EI
- 6 EI
2 EI
1 0
A 1 B
P L3
−
P L2
−
(pegas)
3 2 3 L2
L
L
L
L
L
L
L
- 6 EI
3 2 3 L2
L
L
L
4 EI
L
L
L
L
P
2
6EI
4EI
P L
2
P
2
k 3 EI 3 =
L
1
P
2
1
P
2
P L
2

20. 16
q L
28
+
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
- -
3 3
q L
28
-
q L
28
Bidang M :
2
+ +
12
q L
28
q L2
28
1
q L2
28