Lelt 240 semestre i-2021

ii
ÍNDICE
PREVIOS.................................................................................................................................................................... 1
CAMPOS ELÉCTRICOS (I – 2021) ....................................................................................................................... 1
CAMPOS MAGNÉTICOS (I – 2021)...................................................................................................................... 2
MODELOS MATEMÁTICOS (I – 2021)................................................................................................................ 3
MODELOS MECÁNICOS (I – 2021) ..................................................................................................................... 7
MODELOS ELÉCTRICOS (I – 2021)................................................................................................................... 10
MEDIDA DE LA RESISTENCIA Y LA LEY DE OHM (I – 2021) ......................................................................... 12
EXAMEN DE TEORÍA Y SIMULACIÓN EN MULTISIM (I – 2021).................................................................... 15
RECUPERATORIOS................................................................................................................................................. 23
RECUPERATORIO (I-2021)............................................................................................................................... 23

LABORATORIO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS [LELT – 240] | [MAY BER] 77712474
1
PREVIOS
CAMPOS ELÉCTRICOS (I – 2021)
1. (100%) Considere 2 alambres semicirculares de radios 2R y R, ubicados en los cuadrantes primero -
segundo y tercero - cuarto respectivamente. Ambos tienen una densidad lineal de carga positiva lambda.
Determinar el vector campo eléctrico en el origen de coordenadas. Finalmente expresar las unidades del
campo eléctrico en función de las unidades fundamentales del Sistema Internacional.
Del gráfico (para una semicircunferencia de radio r cualquiera): ( ) ( )
sin ... 1
P
dE dE j

→ →
 
= −
 
 
Pero sabemos:
( )
2
;
d
dq dq
dE k s r ds rd
ds
r
  
= =  = ⎯⎯⎯
→ = reemplazando en ( )
1 :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
sin sin sin sin
P
dq k ds k rd k d
dE k j j j j
r
r r r
    
   
→ → → → →
       
= − = − = − = −
       
       
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
0
sin cos cos cos 0
P
k k k
E j d j j
r r r


  
   
→ → → →
     
= − = − − = − − +
     
     

2
P
k
E j
r

→ →
 
= −
 
 
Para el semicírculo “2R”: 1
2
2
P
k k
E j j
R R
 
→ → →
   
= − = −
   
   
Para el semicírculo “R”: 2
2 2
P
k k
E j j
R R
 
→ → →
   
= − − =
   
   
1 2
P P P P
k
E E E E j
R

→ → → → →
 
= + →  =  
 
X
Y
X
Y
𝜃
𝜃

2
2 3
N V kg m N kg m
C m s A s C s A
 
= = →  =
  
CAMPOS MAGNÉTICOS (I – 2021)
1. (40%) Deducir la ecuación que permite calcular la F.E.M. inducida de una maquina eléctrica. Usted debe
ver por conveniente que datos necesita.
( )
cos
B dA BA
 
= =

Ley de Faraday:
( )
( )
cos
d d
fem BA t
dt dt


= − = −
( )
( ) ( )
sin sin
fem BA t fem BA t
   
= − − → =
Para N espiras:
( )
sin
fem NBA t
 
  =
2. (40%) Considere un circuito RL serie alimentado por una fuente de tensión E. Determinar la corriente
eléctrica como una función del tiempo. ¿Qué conclusión puede deducir de este resultado?
Por la Ley de Voltajes de Kirchhoff:
 
||
di
E Ri L L
dt
= +
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
E R
RI s L sI s i LI s s
s L
   
= + − = +
   
 
 
 
( ) ( )  
1
1 1 1 1 1 1
||
L L
L R R
I s I s L
R R
R
E s E R s R
s s
s s L L
L
−
= = − → = −
  + +
+
 
 
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1
R R
t t
L L
E
i t e i t e
E R R R
− −
 
= −   = −
 
 
N
B
S
Rotor
Estator
𝑅
𝑖ሺ𝑡ሻ
R1
1kΩ
L1
1mH
𝐿
𝐸

3
CONCLUSION: En C.C. una inductancia se comporta como un
cortocircuito.
3. (20%) Deducir la ecuación dimensional de la inductancia L.
De: 2
1
2
U LI
=
          
2
2 2
2
1 ;
m
J H A J N m N m kg H A
s
 
   
= =  →  =  = 
 
   
 
     
2 2
2 2 2
2 2 2 2
kg m M L
H L L M L T I
s A T I
− −
 
 
= → =   =   
 
 
 
MODELOS MATEMÁTICOS (I – 2021)
1. (100%) Determinar el modelo matemático y la función de transferencia de una grúa viajera.
Variables que se utilizan durante el desarrollo del modelo de la grúa viajera:
x : Posición del carro (grúa).
l : Longitud del cable (malacate).
 : Ángulo del cable con respecto al eje vertical.
x
X
Y
x1
U1
m
CARRO
MALACATE
(POLIPASTO)
𝜃

4
1
U : Fuerza aplicada al carro.
Por otra parte, los parámetros del sistema son:
M : Masa de la plataforma (carro).
m : Masa de la carga.
Como el sistema tiene dos grados de libertad. Las coordenadas son x y  .
Por energías:
La energía cinética de la plataforma (carro) es: 2 2
1
1 1
2 2
C
Ec Mv Mx
= =
A su vez para encontrar la energía cinética del péndulo, se hace uso de la longitud del cable l y el ángulo del
cable  para encontrar la posición del péndulo, esto es:
sin ; cos
x y
p l p l
 
= =
Hallando las velocidades:
( ) ( )
sin cos ; cos sin
x y
d d
v l l v l l
dt dt
   
= = = = −
La velocidad total en el eje x, es: cos
xtotal
v x l 
= +
Por lo tanto, el vector de velocidad del péndulo es:
cos
sin
p
x l
v
l


 
+
=  
−
 
Desarrollando la anterior ecuación:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
cos sin 2 cos
p
v x l l x lx l
   
= + + − = + +
La energía cinética del péndulo es: ( )
2 2 2
1
2 cos
2
p
Ec m x lx l
 
= + +
La energía cinética del sistema está dada por:
( )
2 2 2 2
1 1
2 cos
2 2
C p
Ec Ec Ec Mx m x lx l
 
= + = + + +
La energía potencial del sistema es C p
Ep Ep Ep
= + , la energía potencial de la grúa es cero y la energía
potencial del péndulo es: ( )
cos
p
Ep mg l l 
= −
Encontramos el lagrangiano: L Ec Ep
= −
 

5
( ) ( )
2 2 2 2
1 1
2 cos cos
2 2
L Ec Ep Mx m x lx l mg l l
  
= − = + + + − −
 
( ) 2 2 2
1 1
cos cos
2 2
L M m x ml lmx mgl mgl
  
= + + + + −
Aplicando las ecuaciones de LaGrange:
1 ; 0
d L L d L L
U
dt x x dt 

   
   
− = − =
   
  

   
Hallando las derivadas: 0 ; sin sin
L L
mlx mgl
x
  

 
= = − −
 
( ) ( ) ( )
2
cos cos sin
L d L
M m x ml M m x ml
x dt x
  
 
 
= + + → = + + −
 
 
 
( )
2 2
cos cos sin
L d L
mlx ml ml x x ml
dt
    
 
 
 
= + → = − +
 
 
 
Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento de la grúa viajera son:
( ) ( )
2
1 cos sin
U M m x ml  
= + + −
( ) ( )
2
0 cos sin sin sin
ml x x ml mlx mgl
     
= − + − − −
Despejando la aceleración de la grúa y la aceleración del cable que sostiene a la carga:
( ) ( ) ( )
2
1 cos sin cos sin sin sin
;
U ml x x x g
x
M m l
      

− − − − + − −
= =
+
Modelo matemático:
( )
2
1 cos sin
cos sin
U ml
x
M m
x g
l
 
 

− −
 =
+

− −
 =
Asumiendo que las variaciones de  y  son muy pequeñas se obtiene que sin 
= , cos 1
 = y 2
0
 =
en las anteriores ecuaciones:
( )
( )
1 1
0
;
U ml U ml x g
x x
M m M m l
   

− − − − −
= → = =
+ +

6
Reemplazando x en  :
( )
( )
1
1
U ml
g
M m U ml g M m
l M m l


 

 
−
− −
 
+ − + − +
 
= =
+
Aplicando  
L (LaPlace):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
0 0
Ml s s s U s g M m s
   
 
− − = − − +
 
Considerando valores iniciales nulos: ( ) ( )
0 0 0
 
= =
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
1 2
1
1
s
Mls g M m s U s H s
U s Mls g M m


 
+ + = − → = = −
  + +
Función de transferencia:
( )
( )
2
1
lM
H s
g
s M m
lM
  = −
+ +
Otra forma:
Sumatoria de fuerzas en ‘x’ y ‘y’ del carrito:
( )
1 sin 1
x x Cable
F Ma Mx U F Mx

= = → + =

( )
0 cos 0 2
y Cable
F N F Mg

= → − − =

Sumatoria de fuerzas en ‘x’ y ‘y’ de la carga:
( )
1 1 1
sin 3
x x Cable
F Ma Mx F Mx

= = → − =

( )
1 1 1
cos 4
y y Cable
F ma my F mg my

= = → − =

Y
X
N
Mg
U1
FCable
𝜃
D.C.L del carro:
𝜃
FCable
mg
Y
X
D.C.L de la grúa:

7
De la figura de la grúa viajera tenemos:
1 1
sin ; cos
x x l y l
 
= + =
En ( )
3 y ( )
4 :
( )
( ) ( ) ( )
2 2
sin sin cos sin cos 5
Cable
F m x l mx lm lm
      
 
− = + − + = − +
 
 
( )
( ) ( )
2
cos cos sin 6
Cable
F mg m
   
− = +
( )
5 en ( ) ( )
1 6
 :
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
sin cos sin cos
U mx lm lm Mx x M m U lm lm
     
− + − = → + = + −
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
sin cos
cos cos sin sin cos sin cos
sin
mx lm lm
mg lm l g x
  
        

− +
− − = + → + = − −
Modelo matemático:
( )
2
1 cos sin
cos sin
U ml
x
M m
x g
l
 
 

− −
 =
+

− −
 =
MODELOS MECÁNICOS (I – 2021)
1. (100%) Considerando un péndulo invertido, determinar:
a. Su modelo matemático.
b. La función de transferencia.
c. De forma analítica demostrar que este sistema es inestable.
u
Y
𝜃
L
x
X
m
M

8
D.C.L de la barra:
Centro de gravedad del péndulo:
( ) ( )
sin 1 ; cos 2
cg cg
x x L y L
 
= + =
Aplicando la Segunda Ley de Newton al movimiento rotacional con referencial al
centro de gravedad del péndulo:
( )
sin cos 3
cg
NETO
T I I VL HL I
    
= =  − =
Sumatoria de fuerzas respecto al eje “x” y “y”:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
4 ; 5
x y
x P cg y P cg
d d
F ma H m x F ma V mg m y
dt dt
=  = =  − =
 
Reemplazando ( )
1 en ( )
4 y ( )
2 en ( )
5 :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
sin 6 ; cos 7
d d
H m x L V mg m L
dt dt
 
= + − =
El objetivo es mantener el péndulo sobre la vertical; considerando a  muy pequeño, es posible linealizar
las ecuaciones ( )
3 , ( )
6 y ( )
7 al sustituir sin 
= y cos 1
 = :
( ) ( ) ( ) ( )
8 ; 0 9 ; 10
VL HL I V mg V mg H m x L
  
− = − =  = = +
Reemplazando ( )
9 y ( )
10 en ( )
8 :
( ) ( ) ( )
2
11
mgL mL x L I I mL mLx mgL
    
− + =  + + =
D.C.L. del carrito:
Sumatoria de fuerzas respecto al eje “x”:
( )
12
x C
F Ma u H Mx
=  − =

Reemplazando ( )
10 en ( )
12 :
( ) ( ) ( )
13
u m x L Mx M m x mL u
 
− + =  + + =
a. Modelo matemático:
( )
( )
2
I mL mLx mgL
M m x mL u
 

+ + =

+ + =
m
L
mg
H
V
𝐿
cos
𝜃
𝐿 sin 𝜃
𝜃
u
M
H

9
De ( )
13 :
( ) ( )
14
u mL
M m x mL u x
M m


−
+ + =  =
+
Reemplazando ( )
14 en ( )
11 y debido a que la masa se encuentra posicionado en el extremo superior del
péndulo, se puede suponer que el momento de inercia es igual a cero ( )
0
I = :
( )
0
2 2
||
u mL
I mL mLx mgL mL mL mgL M m
M m

   
   
−
+ + =  + = +
   
  +
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
||
mL M m mL u mL mgL M m mL
  
−
+ + − = +
( ) ( ) ( )  
||
L M m u mL g M m ML g M m u L
    
+ + − = +  − + = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
2
0 0
ML s s s g M m s U s
   
 
 
− − − + = −
 
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
1
s
MLs g M m s U s
U s MLs g M m


 
− + = −  = −
  − +
b. Función de transferencia:
( )
2
1 1
H s
M m
ML
s g
ML
 = −
+
−
De la función de transferencia
( )
2
1 1
H s
M m
ML
s g
ML
= −
+
−
igualamos el denominador a cero para obtener los polos:
( )
2
0 .
M m M m
ML s g s g k s k cte
ML ML
+ +
 
− =  =  =   = 
 
 

10
Graficando en el Plano-s:
Como existe un valor en la región inestable, se demuestra
matemáticamente que el péndulo invertido es un SISTEMA
INESTABLE.
Analíticamente podemos decir que el péndulo invertido es
un SISTEMA INESTABLE, ya que el péndulo puede caer en
cualquier momento a menos que se aplique una fuerza de
control ( )
u adecuada.
MODELOS ELÉCTRICOS (I – 2021)
De forma completa deducir la Función de Transferencia:
1.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
1
y t Ri t i t y t
R
= → =
L.V.K.:
Malla 1:
( ) ( ) ( )
1
1 2
1
2
di
x t L i i dt
dt C
= + −

Malla 2:
( ) ( ) ( )
1 2
1
0 3
y t i i dt
C
= + −

( ) ( )
2 3
+ :
( ) ( ) ( )
1
4
di
x t L y t
dt
= +
Derivando ( )
3 :
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1
1 1 1
0 ' '
y t i i y t y t i
C CR C
= + − = + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 1
' '' ' 5
di
i t Cy t y t Cy t y t
R dt R
= + → = +
Región inestable
Región inestable
Región estable
Región estable
+k
-k
𝑗𝜔
𝜎
L2 1mH
C1 1µF
R2
1kΩ
V2
12V
𝐿
𝑅
𝐶 𝑦ሺ𝑡ሻ
𝑥ሺ𝑡ሻ
+
−
𝑖1ሺ𝑡ሻ 𝑖2ሺ𝑡ሻ

11
( )
5 en ( )
4 :
( ) ( ) ( ) ( )
'' '
L
x t LCy t y t y t
R
= + +
Modelo matemático:
( ) ( ) ( ) ( )
'' '
RLCy t Ly t Ry t Rx t
+ + =
Aplicando  
L :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 ' 0 0
RLC s Y s sy y L sY s y RY s RX s
 
− − + − + =
 
 
 
0 ' 0 0
y y
= =
( ) ( ) ( )
2
RLCs Ls R Y s RX s
+ + =
( )
( )
( )
( )
2
2
1
1 1
Y s R LC
H s H s
X s RLCs Ls R
s s
RC LC
= =   =
+ +
+ +
2.
( )
0
0 2 2 2
2
1
1
de
e i dt i C
C dt
= → =

L.V.K.:
Malla 2:
( )
1 2 2 1 2 2 0 2
C R C C
V V V V R i e
= + → = +
Malla 1:
( )
1 1 1
1 1 3
i R C i C
e V V e R i V
= + → = +
( )
1  ( )
2 en ( )
3 :
( )
0
1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 4
i i
de
e R i R i e e R i R C e
dt
= + + → = + +
De la 2da malla:
( ) ( ) ( )
2 2 1
2
1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
0 0 || ' 0
R C C
di
V V V i i dt R i i dt i i R i
C C C dt C
= + − → − + + = → − + + =
 
R3 1kΩ R4 1kΩ
C2 1µF C3 1µF
C4 1µF C5 1µF
𝑒𝑖ሺ𝑡ሻ 𝑒0ሺ𝑡ሻ
𝑅1 𝑅2
𝐶1 𝐶2
𝑖1ሺ𝑡ሻ 𝑖2ሺ𝑡ሻ

12
Reemplazando ( )
1 en la anterior ecuación:
( ) ( )
2
0 0 0 0 0
1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2
1 1 2
1 1 1
0 5
de de de de d e
d
i C R C C i C C C R C
C C dt dt dt C dt dt dt
 
− + + = → = + +
 
 
( )
5 en ( )
4 :
( )
2
0 0
1 2 1 2 1 1 2 2 2 0
2
o
i
d e de de
e C C R R R C C R C e
dt dt
dt
= + + + +
Modelo matemático:
( )
2
0
1 2 1 2 1 1 2 2 2 0
2
o
i
d e de
C C R R R C C R C e e
dt
dt
+ + + + =
 
 
Aplicando  
L :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 0 0 1 1 2 2 2 0 0 0
0 ' 0 0
o i
C C R R s E s se e R C C R C sE s e E s E s
 
− − + + + − + =
   
   
 
0 0
0 ' 0 0
e e
= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 0 1 1 2 2 2 0 0 i
C C R R s E s R C C R C sE s E s E s
+ + + + =
 
 
( )
( )
( ) ( )
0
2
1 2 1 2 1 1 2 2 2
1
1
i
E s
H s
E s C C R R s R C C R C s
= =
+ + + +
 
 
( )
( )
1 2 1 2
1 1 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1
1
C C R R
H s
R C C R C
s s
C C R R C C R R
  =
+ +
 
 
+ +
MEDIDA DE LA RESISTENCIA Y LA LEY DE OHM (I – 2021)
1. (20%) De forma completa deducir la Ley de Ohm y la Ecuación Dimensional del Ohmio.
( )
1
J E

=
Pero sabemos que
1
;
i V
J E
A L



= =  = en ( )
1 :
1
i V L
V i V Ri
A L A


  
= →  =   =
 
 

13
Ecuación Dimensional de Ohmio:
 
  2
2
2 2 2 3 2
2
P W J Nm m kg
P i R R
A sA sA s A
i
= → = →  = = = =
 
 
  2 1 3 2
L M T I
− −
   =
2. (50%) Un fluido de densidad  fluye por un conjunto de dos tuberías horizontales de diámetros D y d
( )
D d
 , las velocidades en ambas tuberías son constantes e iguales a 1
v y 2
v respectivamente.
Determinar:
Una ecuación que permita calcular la Resistencia Hidrodinámica del sistema de tuberías.
Utilizando como referencia su resultado anterior, determinar las unidades de la Resistencia Hidrodinámica
en función de las unidades fundamentales del Sistema Internacional.
a)
Resistencia hidrodinámica:
( )
1
H
P R Q
 =
Ecuación de Bernoulli:
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2
P gh v P gh v
   
+ + = + +
Tubería horizontal: 1 2
h h
=
( )
( ) ( )
2 2 2 1 1 1
2 2 2 2 1 1
1 2 2 1
2 1 2 1
2 2 2
v v A v v A v Q v Q
P P v v
A A A A
  
   
− = − = − = −
   
 
 
Caudal: 1 2
Q Q Q
= =
( )
2 1 2 1 2 1
1 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
4 4
v v v v v v
P P Q Q P Q
d D d D
d D
  
   
 
     
− = − = − →  = −
     
   
 
 
 
Comparando ( )
1 y ( )
2 :
2 1
2 2
2
H
v v
R
d D


 
  = −
 
 
𝐷 𝑑
𝑣1 𝑣2

14
b)
   
3
2 5 4
1
1
H H
Kg m
mKg Kg
m s
R R
m m s m s
 
 
= =   =
 
 
 
 
3. De forma completa y sin utilizar resultados conocidos deducir las unidades de la Resistencia Térmica en
el Sistema Internacional. Luego realizar una analogía Eléctrica – Mecánica – Hidráulica.
T H x
H kA k
x A T
 
= → =
 
  2 3
W m J N kg m
k
s m K s K
m K s K
 
= = = =
  
 
T
H x x
T T H R H
kA kA
 
 
 = →  = =
 
 
 
 
  
 
3
2
2
3
T T
x m s K
R R
kg m
k A kg m
m
s K
 
= =   =
 


Analogía eléctrica – mecánica – hidráulica:
E
V
i
R

=
T
T
H
R

=
H
P
Q
R

=
R1
1kΩ
∆𝑉 𝑅𝐸 𝑖ሾ𝐴ሿ
R1
1kΩ
∆𝑇 𝑅𝑇 𝐻ሾ𝑊ሿ
R1
1kΩ
∆𝑃 𝑅𝐻 𝑄ሾ𝑚3
𝑠
Τ ሿ

15
EXAMEN DE TEORÍA Y SIMULACIÓN EN MULTISIM (I – 2021)
1. Aplicando el método matricial de las tensiones en los nodos, calcular la corriente que circula por la
resistencia de 3.
Teórica:
      11 12 1 1
2 2 2 1 2 1
21 22 2 2
G G V i
G V I
G G V i
  
     
= → =
     
     
1
2
1 1 1 1 10 20
5 2 3 3 5 3
1 1 1 1 20
3 3 4 2 3
V
V
   
+ + − +
   
 
=
   
 
 
   
− + + −
   
   
 
 
 
 
1
2
860
7.107
121
3.967
480
121
V
V
V
V
V
V
 
   
 
=    
  −
     
−
 
 
1 2 20 3 1 2 3
0 20 3 0
V
V V V V V V i
 
− − − = → − − − =
   
1 2
3 3
860 480
20
20 360
121 121
2.975
3 3 121
V V
i i A A
 
 
− − −
 
− −  
= =   = − −
Experimental:
R1
5Ω
R2
3Ω
R3
2Ω
R4
4Ω
V1
10V
V2
20V
R5
2Ω
XMM1
XMM2
XMM3
R1
5Ω
R2
3Ω
R3
2Ω
R4
4Ω
V1
10V
V2
20V
R5
2Ω
𝑉1 𝑉2
𝑉3
𝑖3𝛺

16
2. En el circuito mostrado calcular la potencia máxima que el circuito activo puede suministrar a la resistencia
variable 4
R .
Teórica:
Hallando ab
R ( ab Th N
R R R
= = ):
R1
25Ω
V1
36V
R2
20Ω
R3
15Ω
V2
48V
R4
1kΩ
Key=A
50 %
R1
25Ω
V1
36V
R2
20Ω
R3
15Ω
V2
48V
𝑎
𝑏
𝑖

17
1
3
1 2
1 1
ab
R R
R R
−
 
= + +
 
 
 
1
1 1
15 26.111
25 20
ab ab
R R
−
 
= + +  = 
 
 
Hallando la corriente:
( )  
1
1 2 1
1 2
36
0.8
25 20
V
R R i V i i A
R R
+ = − → = − = −  =
+ +
Hallando ab
V :
1ra forma: ( )  
20 36 48 20 0.8 36 48 28
ab V V ab
V V V V V V

= − + = − +  =
2da forma: ( )  
25 48 25 0.8 48 28
ab V ab
V V V V V

= − + = − +  =
Para potencia máxima:  
4 26.111
ab
R R
= = 
( )
 
max max
4
28
7.506
4 4 26.111
ab
V
P P W
R
= =   =
Experimental:
R1
25Ω
V1
36V
R2
20Ω
R4
26.111Ω
R3
15Ω
V2
48V
XWM1
V
I
25Ω
R2
20Ω
R3
15Ω

18
3. Las constantes R y L de una bobina se pueden obtener conectándola en serie con una resistencia
conocida  
0 10
R =  y midiendo la tensión en la bobina x
V , en la resistencia 0
V y la tensión total T
V . Si se
conoce que:  
22.4
x
V V
= ,  
0 20
V V
= ,  
36
T
V V
= . Calcular las constantes R y L de la bobina.
Teórica:
Hallando la corriente del circuito:
 
0
0
20
2
10
V
i i A
R
= = → =
Hallando las impedancias:
 
22.4
11.2
2
x
x x x x
V
V Z i Z Z
i
= → = = → = 
 
36
18
2
T
T T T x
V
V Z i Z Z
i
= → = = → = 
Pero también sabemos que las impedancias en su forma vectorial son:
( )
0 0 0
; 0 ;
x T
Z R jX Z R j Z R R jX
= + = + = + +
Forma escalar:
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
; ;
x x T T
Z Z R X Z Z R Z Z R R X
= = + = = = = + +
Restando 2 2
T x
Z Z
− :
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
2
T x
Z Z R R X R X R RR R X R X
− = + + − − = + + + − −
R0
10Ω
L
32.014mH
V1
36Vrms
50Hz
0°
R
4.928Ω
𝑖
𝑉0
𝑉
𝑥

19
( )
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0
0 0
0
18 11.2 10
2 4.928
2 2 10
T x
T x
Z Z R
Z Z RR R R R
R
− − − −
− = + → = =   = 
De 2 2 2
x
Z R X
= + :
 
2 2 2 2
11.2 4.928 10.058
x
X Z R X
= − = − → = 
( )
 
10.058
2 32.014
2 2 50
X
X fL L L mF
f

 
= → = =   =
Experimental:
R0
10Ω
L
32.01425571mH
V1
36Vrms
50Hz
0°
R
4.928Ω
XMM1
XMM2

20
4. Dos ramas de impedancias  
15  y ( ) 
8 2
j
−  se conectan en paralelo. Calcular la potencia activa que
consumen las dos resistencias, si la potencia activa total consumida en el circuito es  
2000 W .
1 1 2 2
V i Z i Z
= =
( )
2
2
1 2
2 1
8 2 2 17
15 15
i Z
i Z
+ −
= = =
( )
2 2
1 1 1 1
15 1
P R i i
= =
( )
2 2
2 2 2 2
8 2
P R i i
= =
( )
( )
1
2
:
2
2
1 1
2 2
15 15 2 17 17
8 8 15 30
P i
P i
 
 
= = =
 
   
   
R1
15Ω
C1 1.592mF
V1
104.163Vrms
50Hz
0°
R2
8Ω
𝑖1
𝑖2
−𝑗2

21
( )
( )
   
   
1
2 1
1 2 2
34000
30 723.404
3 47
17
60000
2000 4 1276.596
47
P W W
P P
P P P W W
=
=
 
+ = =
Experimental:
Cálculos adicionales:
   
2 1
1 1 1 1
1
34000
17
47 20
15 141
P
P R i i A A
R
= → = = =
( )  
1 1
17 17
20 15 300 104.1684397
141 141
V i Z V V
= = → = =
Z1
Z=A-jB
R1
15Ω
V1
104.1684397Vrms
50Hz
0°
XWM1
V
I
XWM2
V
I
XWM3
V
I

22

23
RECUPERATORIOS
RECUPERATORIO (I-2021)
Determinar la función de transferencia y el diagrama de bloques de:
1. (Amplificador Operacional)
0
1 2 3 1
1 3
; ;
i A A A
e e e e de
i i i C
R R dt
− −
= = =
0
4 5 2
2
;
A de
e
i i C
R dt
= = −
Nodo B:
( )
0 0
4 5 2 2 2
2
1
A
A
de de
e
i i C e R C
R dt dt
= → = − → = −
Nodo A:
( )
0 0
1 2 3 4 1 1
1 3 2 1 1 2 3 3
1 1 1
2
i A A i
A A A
A
e e e e e e
de e de
i i i i C e C
R R dt R R R R R R dt
 
− −
= + + → = + + → = + + − +
 
 
( )
1 en ( )
2 :
2
1 2 1 3 2 3 0 0
2 2 0 2 1 2 2
1 1 2 3 3
1
i
e R R R R R R de d e
R C e R C C
R R R R dt R dt
 
+ +
= − − −
 
 
Modelo matemático:
2
0 1 2 1 3 2 3 0
2 1 2 2 0
2
1 3 3 1
1 1
i
d e R R R R R R de
R C C C e e
R R dt R R
dt
 
+ +
+ + = −
 
 
U1
OPAMP_3T_VIRTUAL
C6 1µF
C7 1µF
R5
1kΩ
C8
1µF
R6
1kΩ
R7
1kΩ
C9
1µF
𝑅1 𝑅2
𝑅3
𝐶1
𝐶2
Amplificador Operacional
R8 1kΩ C10 1µF C11 1µF
C12 1µF
𝑅
𝐶 𝑒0ሺ𝑡ሻ
𝑒𝑖ሺ𝑡ሻ
Circuito RC Serie
U1
OPAMP_3T_VIRTUAL
C6 1µF
C7 1µF
R5
1kΩ
C8
1µF
R6
1kΩ
R7
1kΩ
C9
1µF
𝑅1
𝑅2
𝑅3
𝐶1
𝐶2
𝑖1ሺ𝑡ሻ
𝑖2ሺ𝑡ሻ
𝑖3ሺ𝑡ሻ
𝑖4ሺ𝑡ሻ
𝑖5ሺ𝑡ሻ

24
Aplicando  
L (LaPlace):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 3 2 3
2 1 2 0 0 0 2 0 0 0
1 3 3 1
1 1
0 ' 0 0 i
R R R R R R
R C C s E s se e C sE s e E s E s
R R R R
 
+ +
 
− − + − + = −
 
  
 
 
0 0
0 ' 0 0
e e
= =
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 3 2 3
2 1 2 0 2 0 0
1 3 3 1
1 1
i
R R R R R R
R C C s E s C sE s E s E s
R R R R
 
+ +
+ + = −
 
 
( )
( )
( )
0 1
2 1 2 1 3 2 3
2 1 2 2
1 3 3
1
1
i
E s R
H s
E s R R R R R R
R C C s C s
R R R
−
= =
 
+ +
+ +
 
 
Función de transferencia:
( ) 1 2 1 2
2 1 2 1 3 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2
1
1
R R C C
H s
R R R R R R
s s
R R R C R R C C
  = −
 
+ +
+ +
 
 
De:
2
0 1 2 1 3 2 3 0
2 1 2 2 0
2
1 3 3 1
1 1
i
d e R R R R R R de
R C C C e e
R R dt R R
dt
 
+ +
+ + = −
 
 
2 2
0 1 2 1 3 2 3 0 0 0
0 0
2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2
1 1
i i
d e R R R R R R de d e de
e e A Be Ce
R R R C dt R R C C R R C C dt
dt dt
 
+ +
+ + = − → + + = −
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 0 2
2 0 2 0 0 0
'
' '' ' i
x t e t x t e t x t
x t e t x t e t Ae t Be t Ce t
= = =

= = = − − −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 1 1
2 0 0 2 2
0 0 1 0
' i
i
x t x t x t x t x t
e t
x t Ae t Be t Ce t x t x t
A B C
= +    
   
 = −
   
   
= − − − − −
   
   
Ec. de salida:  
( )
( )
1
2
0 1
x t
y
x t
 
=  
 

25
Diagrama de Bloques:
Otra forma:
De:
  ( ) ( )
  ( )
0
2 2 2 2 0
0 1 2 1 3 2 3
1 1 1 1 1 1
1 2 3 3 2 3
||
1 1 1
||
A A
A
i A i
de
e R C L E s R C sE s
dt
e R R R R R R
de
e e R R R C L E s R C s
R R R R dt R R
= − → = −
   + +
= + + − + → = +
 
  
( ) ( )
1
0
3
A
R
E s E s
R

−
 

( ) ( )
0
2 2
1
A
E s E s
R C s
= −
( ) ( ) ( )
2 3 1 2
0
1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3
A i
R R R R
E s E s E s
R R R C s R R R R R R R R R C s R R R R R R
   
= +
   
+ + + + + +
   
𝑒𝑖 𝑒0
A
B
C
_
_
+
+
𝑥′2 𝑥2 𝑥1
𝑒𝑖 𝑒0
𝑅1𝑅2 + 𝑅1𝑅3 + 𝑅2𝑅3
𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1
1
𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2
1
𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2
−
−
+
+
𝑥′2 𝑥2 𝑥1

26
2. Circuito RC serie
( )
( )
( )
0
0
1
1
de t
e t idt i C
C dt
= → =

L.V.K.:
( ) ( )
1
2
i
e t Ri idt
C
= + 
( )
1 en ( )
2 :
( )
( )
( )
0
0
i
de t
e t RC e t
dt
= +
Aplicando  
L (LaPlace):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
' 0 1
i o i
E s RC sE s e E s E s RCs E s
= − + → + =
 
 
Considerando condiciones iniciales nulas: ( )
0 0
o
e =
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
0 1
1
1
i
i
E s
E s RCs E s H s
E s RCs
+ = → = =
+
Función de Transferencia:
( )
1
1
RC
H s
s
RC
  =
+
−
1
𝑅2𝐶2𝑠
𝑅2𝑅3
𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝑠 + 𝑅1𝑅2 + 𝑅1𝑅3 + 𝑅2𝑅3
𝑅1𝑅2
𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝑠 + 𝑅1𝑅2 + 𝑅1𝑅3 + 𝑅2𝑅3
𝐸𝑖ሺ𝑠ሻ 𝐸𝐴ሺ𝑠ሻ 𝐸0ሺ𝑠ሻ
+
+
R8 1kΩ C10 1µF C11 1µF
C12 1µF
𝑅
𝐶 𝑒0ሺ𝑡ሻ
𝑒𝑖ሺ𝑡ሻ 𝑖ሺ𝑡ሻ

27
De:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
1 1
i i
de t de t
e t RC e t e t e t
dt dt RC RC
= + → + =
( )
( )
( ) ( )
0
1 0 1 ; i
de t
x e t x u t e t
dt
= → = =
    ( )
1 1
1 1
x x u t
RC RC
   
= − +
   
   
Otra forma:
De:
( ) ( )   ( ) ( )
( ) ( )   ( ) ( )
( ) ( )   ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
1 1
||
||
1
||
R R
i R i R
e t i t dt L E s I s
C Cs
v t Ri t L V s RI s
e t V e t L E s V s E s R I s
Cs
= → =
= → =
 
= + → = + = +
 
 

Función de Transferencia:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1 1
1
1
i
I s
E s Cs RC
H s H s
E s
s
R I s
RC
Cs
= =   =
  +
+
 
 
De:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1 1
; ;
R i R
V s E s E s I s V s E s I s
R Cs
= − = =
𝑥′1 𝑥1
1
𝑅𝐶
1
𝑅𝐶
+
−

28
𝐸𝑖ሺ𝑠ሻ 𝐸0ሺ𝑠ሻ
𝑉𝑅ሺ𝑠ሻ 𝐼ሺ𝑠ሻ
1
𝑅
1
𝐶𝑠
+
−

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