1. Επαναληπτικό διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου (∆ιάρκεια 1,5 ώρα)
Θέµα Α
Α1. Τι ονοµάζουµε εκθετική συνάρτηση µε βάση α;
Α2. Αν 0α > και 1α ≠ , τότε για οποιοδήποτε 0θ > και κ∈ ℝ να αποδείξετε ότι: log logκ
α αθ = κ ⋅ θ .
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Αληθείς ή Ψευδείς.
1.H εξίσωση 2016 x 2017ηµ = είναι αδύνατη στο ℝ .
2. Το πολυώνυµο P(x) 2017= είναι µηδενικού βαθµού.
3.Η συνάρτηση
x
2
f (x)
e
=
είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισµού της.
4.Για κάθε , 0α β ≥ ισχύει ln( ) ln lnα ⋅β = α + β .
5.Για κάθε 0α > , 1α ≠ ισχύει log 1α α = . (ΜΟΝΑ∆ΕΣ: 5+10+10=25 )
Θέµα Β
∆ίνεται η παράσταση
2
x
A
1 x
ηµ
=
− συν
, x 2≠ κπ , κ∈ ℤ
B1.Να δείξετε ότι A 1 x= + συν
Β2.Να λύσετε την εξίσωση
2
x
log 10
1 x
ηµ
=
− συν
στο ( )0,2π (ΜΟΝΑ∆ΕΣ:5+15=20)
Θέµα Γ
∆ίνεται το πολυώνυµο 4 3 2
P(x) ( )x x 2x ( 1)x 6= α − β + + − α + − , ,α β∈ ℝ
Γ1. Αν το P(x) έχει ρίζα το 2 και είναι 3ου
βαθµού, να βρείτε τις τιµές των ,α β .
Γ2. Για 4α = β = :
i) Να κάνετε την διαίρεση 2
P(x) : (x 4x 3)+ + και να γράψετε την ταυτότητα της .
ii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) 0= .
iii) Να βρείτε το πρόσηµο του P(x) .
Γ3. Να βρείτε το πρόσηµο της παράστασης
A P( x) P( 2017) P(2017)= συν ⋅ − ⋅
(ΜΟΝΑ∆ΕΣ:5+5+5+5+5=25)
2. Θέµα ∆
∆ίνεται η συνάρτηση:
x
f (x) log(9 3) x log3 log 4= + − −
∆1. Να βρείτε το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f.
∆2. Να δείξετε ότι
x
x
9 3
f (x) log
4 3
+
=
⋅
.
∆3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
∆4. Να λύσετε την εξίσωση
1
f ( ) log( x)
2
= ηµ στο διάστηµα( )0,π .
∆5. Να βρείτε τα διαστήµατα του ℝ στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x
(ΜΟΝΑ∆ΕΣ:5+5+5+8+7=30)
