15. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/13
1
34 2
108 x 2 4 x 0 .
:
34 4 3 32
4 3 3 3 3
3 33 2 3 2
3 33 2 3 2
3 2
108 x 2 4 x 0 108 x 2 2 x 2 x 0
108 x 2 x 2 2 x 0 x 2 108 x 2 x 2 0
x 2 108x 216 x 6x 12x 8 0 x 2 x 6x 96x 224 0
x 2 x 6x 96x 224 0 x 2 0 x 6x 96x 224 0
x 2( ) x 6x 96x 224 0.
3 2
x 6x 96x 224 0 , 224.
Horner 4 :
23 2 2
x 6x 96x 224 x 4 x 10x 56 x 4 x 14 .
: 2 ( ), 4 ( ) -14.
2
= .
.
= .
, , ,
.
,
ˆ ˆ ˆ .
ˆ , ˆ ˆ .
, = = .
, , :
0 0
0 0
ˆˆ ˆ180 180
ˆ
ˆ ˆ180 180
2
,
ˆ ˆ ˆ ,
, , ,
. 5
3
:
3
xy 108
x y y 3
.
16. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/14
(1 )
xy 0 , , :
4 2
2 23 2
2
2 2
y 3y 108 0
3 y y 108xy 108 xy y 108
3 y
x y y 3 xxy y 3 xy 3 y
y
2
2 22
y 0
2
22
3 213 441
y y 9y
y 3 y 322
.3 y
3 y x 4 x 4x3 y
xx y
yy
2
xy 0 , , :
3 2
2
xy 108 xy y 108
.
x y y 3 xy y 3
: 2
xy , y 0 , :
2
108 108 3 108 3 108 0
3 3 3 3
, 9, 123 213 441 9 12
.22
3
33 , 12,9
2
y 0, , 12,9 , x, y
:
2
xy 12 xy 12
x,y 4, 3 x,y 4, 3 .
y 9 y 3 y 3
4
2, 3, 4, …, 1024
.
.
2 2
.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
2, 4 2 , 8 2 , 16 2 , 32 2 , 64 2 , 128 2 , 256 2 , 512 2 , 1024 2
, ,
. 10.
10 , i
iX , 2 , i 1,2,3,...,10
. , :
i i i 1 10
i 10X 2 ,2 1,...,2 1 , i 1,2,...,9 X 2 1024.
min 10.
17. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/15
22 2019
31 2019
1
ABC, A 60º , D (BC) D
A . B Cr ,r r ,
ABD, ADC ABC, . :
B C
1 1 1 1 1
2
r r r b c
,
b c AC AB .
2bc A bc 3
AD cos
b c 2 b c
. h AM
ABC. :
ac ab
BD ,CD .
b c b c
ABD
BD DA AB
p
2
ABD. (ABD)
D
a b c
p
2
, :
B
ABD ABD
h ac
ABD h BD h BD ahb cr
p 2 p BD AD AB ac bc 3 2p 3 b
c
b c b c
.
, : C
ah
r
2p 3 c
. :
B C
1 1 2p b 3 2p c 3 4p(b c) 3 2 (b c) 3 1 1 1
2
r r ah ah 2[ABC] r r b cbcsin
3
.
2
1 2 sm m ... m , s 2, ,
.
r 1 r s, : r srm m r 1 s 1 .
k
i
i 1
k, , 0 k r, k 1 s, T k, : m m .
1
r 1 2r s
2
T k, . , T k, T u,v
k u ,
u
u i
i k 1
m m m .
m ,
v k u. , T k, , .
1
r 1 2r s
2
T k,
1
r 1 2r s
2
, :
r r
s i s r
i 1 i 1
1
r 1 2r s T r,s m m m m r i .
2
i rm m r i, .
18. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/16
r srs s r rm m , .
3
x,y,z
4 4 2
4x y z 4xyz 2.
:
4 4 2 2 4 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2
4x y z 4xyz 4x y 4x y 4x y z 4xyz
2x y 2xy z 2x y 2xy z 2x y 2xy z .
2 2 2 2
A 2x y 2xy z, B 2x y 2xy z 2 2
A B 4x 2y
x,y 2 2n 2 2 2n
A 4x 4 5 , B 2y 2 2 , 2n 2
AB 2 10
2.
, n 1 n 1 n
x 5 , y 2
2 2n 2
A 4x 4 5 , 2 2 2
2x y 2xy z 4x ,
2 2 2n 2 n 1 n
z 2x y 2xy 2 5 10 4 ,
z . , ,
x,y,z 4 4 2 2n 2
4x y z 4xyz 2 10 .
4
P 1. x,y,z
P ,
2 2 2 3 3 3
x y z x y z 6xyz.
P . x,y,z
P , x y z 1, 0 x,y,z 1
: x y z 1, 0 x,y,z 1, 2 2 2 3 3 3
x y z x y z 6xyz.
– x y z 1, :
33xy yz zx xy yz zx x y z 3 xy yz zx 3 xyz 9xyz
xy yz zx 3xyz 6xyz.
,
xy yz zx 3xyz xy 1 z yz 1 x zx 1 y xy x y yz y z zx z x 6xyz,
,
2
1 x y z , :
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y z xy x y yz y z zx z x 6xyz 1
x y z 2xy 2yz 2zx xy x y yz y z zx z x 6xyz 1
x y z 2xy x y z 2yz x y z 2zx x y z xy x y yz y z zx z x 6xyz 1
x y z 2xy x y 2yz y z 2zx x z xy x y yz y z zx z x 1
x y z 3x
3
y x y 3yz y z 3zx z x 1 x y z
:
3 3 3 3
x y z x y z 3xy x y 3yz y z 3zx z x 6xyz ,
: 2 2 2 3 3 3
x y z x y z 6xyz .
:
1
x y z ,
3
.
19. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/17
113
57. n . 1 2 nx ,x ,...,x
0,1 , :
2 2 2 2
1 2 n n1 2x x ... x 1 4 x x ... x .
.
1 2 nx ,x ,...,x 0,1 , : 2
i ix x , i 1,2,....,n , :
2 2 2
1 2 n 1 2 nS: x x x x x x .
, :
2 2 2
1 2 n 1 2 nx x ... x 1 4 x x ... x S 1 4S S 1 0,
.
A58. Gauss (Gaussian integer)
.
n, 1 2 nz ,z ,...,z Gauss
.
.
z x yi, Gauss, x,y
2 2 2
z x y .
4 0,
4 1.
2 2 2
z x y Gauss, 4
0, 1 2.
n 3,
2 2 2
1 2, ,..., nz z z 4 3,
, n 3. 2 2i,3 1 3i
8, 9 10, , n 3.
43. p,q
q 1 p 1
p q .
.
n q 1 p 1 2
p q n .
p,q .
p,q , (p,q) (2,2) , q 1 p 1 2
p q n n 4.
p,q , p 1,q 1 , q 1 p 1
p ,q
4 1.
4 2. 2
n 4
0 1, q 1 p 1 2
p q n .
p 2k 1, k q 2 , q 1 p 1 2
p q n
2k 2 2 2k k k
p 2 n p n 2 p n 2 n 2 . p k k
n 2 n 2
:
k k k 1
n 2 p, n 2 1 p 2 1.
31. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/29
:
2 2
2 2 2
x 3xy 2y
(2) 0
y y y
2x x
( ) 3( ) 2 0
y y
. -
x
x
y
:
x x
( 1 2).
y y
x
1
y
, x y , ,
x y .
x
2
y
.
iii) (ii) x 2y ,
x y 2y y 3y
3.
x y 2y y y
( i)
« ».
11
) , 2
x x 0 , ,
1 2x ,x .
, 2
1 2x x .
)
2
x 2019x 2020 0
1 2, , ,
2 2
1 22019 2020 2019 .
) 1 2x ,x
Vieta, 1 2x x (1).
1
1x -
-
, 2
1 1x x 0 (2).
,
(2)
2
1 2 1 2x x x x
(1)
2
1 2(x x ) .
,
2 2 2
1 2 1 2x x x x .
) , ,
2
( 2019) 4 2020 0.
( ) 2019, 2020 ,
,
2 2
1 22019 2020 2019 .
12
) :
2 2
,
2 2
, .
) 1
1
2
1
.
4
) x,y,z ,z 0 ,
x y z
xy 2
.
z 5
)
,
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
4
.
4
) ( ) -
,
2
2
.
2
0
2
-
0
2
-
. 1 :
1
2 1
2
.
1 1 1
.
2 2 4
) , x y z z 0
,
x y x y
1 1
z z z z
.
x y
,
z z
1.
)
1
4
,
1
4
.
1 2
4 5
2
.
5
:
x y 2 xy 2
.
z z 5 z 5
:
c,c .
: -
.
34. 114 (2019) .2/32
:
– – .
g x , g x , g x ,
g x , .
:
g x , g x ,
g x , g x
g x x,
:
1:
.
2:
,
(
).
!
1 1,
. 1,1 .
, :
g x , g x ,
g x , g x
0 :
x x , x x ,
x x , x x .
3:
.
4: x
.
1. :
2 2x 1 0
6
. 2x
6
:
1
2 2x 1 0 2x
6 6 2
2
2x
6 2
2x
6 4
’ :
2x 2 2x 2
6 4 4 6
2x 2 2x 2
6 4 4 6
2x 2
12
5
2x 2
12
x
24
,
5
x
24
2. :
x 4x 1 0
x ,
2
x 4x 1 0 x 0 4x 1 0
: x 0 x 0 x ,
4x 1 0 4x 1
3
4x
2
3 3
4x 2 4x 2
2 2
3
x , x ,
2 8 2 8
.
3. :
2 2
x x 1
6 3
. :
x x
6 2 6
2
x x
3 3
x x
3 3
, :
2
2
x x 1
3 3
2
2 x 1
3
2 1
x
3 2
1 2
x
3 22
x
3 4
3
x
3 4
35. _______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/33
:
x 2
3 4
3
x 2
3 4
x 2
4 3
,
3
x 2
4 3
4. : x 4x 1
:
x 2
x 0 2
4x 0
x , x
2 2 4
x x 1.
,
1
x
x
:
1
x 4x 1 4x 1
x
4x x :
4x x 3x x ,
3
:
2
x x 0,
2
x x 0, 0, ,
2
x x 0,
2
x x 0, 0, ,
, : 2
x x 0,
2
x x 0, 0
x x 0, 0 0
, :
1: x x ,
1 1 x
x , ,
.
2: .
1 2, .
3:
: 1 2x , x
1 2x , x ( x, x )
.
:
2
x x 0, 0
2
x x 0, 0, :
2 2
x x 1
2
x x 0, 0, ,
2
x x 0, 0, , .
x x 0, 0 0, :
x x 1
.
5. :
2
2 x 5 x 3 0
x , 1,1 , :
2 1
2 5 3 0 3 ( )
2
.
, :
1
x x
2 3
x 2 ,
3
6. : x 3 x 2 3
. x x
2
, .
1
x x 1 x
x
,
:
21
3 x 2 3 1 3 x 2 3 x
x
2
3 x 2 3 x 1 0
x , ,
:
2
2
3 2 3 1 0 3 1 0
1 3
33
. :
3
x x
3 6
x ,
6
:
f x g x f x g x
1:
:
x x, x x,
2 2
x x, x x
2 2
36. _______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/34
2: .
7. :
2x x
4 4
x x x
4 2 4 4
: 2x x
4 4
:
2x 2 x
4 4
2x 2 x
4 4
3x 2
2
x 2
2
x
3 6
,
x 2
:
f x f x , , 0
1:
f x f x ,
f x f x .
2: .
8. : x 3 x 0
. : x 3 x
x 2 x 2 ,
x 0 x 0,
x ( x 2
x 2 , ) :
1
x 3 x x
3
3
x x
3 3
x
3
:
x x ,
3 3
1:
,
.
2:
, . : x .
x
1.
3:
.
.
4:
.
9.
2 x x 3 0
3
,
2 2
.
x , :
x
2 x x 3 0 2 x 3 0
x
2
2 x 3 x 0 2
2 1 x 3 x 0
2
2 x 3 x 2 0. x ,
1,1 , :
2
2 3 2 0 2 ( .)
1
2
. :
1
x x
2 6
x 2
6
,
5
x 2
6
.
3
,
2 2
.
3 3
x 2
2 2 2 6 2
1 2
....
6 3
. ,
’ x 2
6
3
,
2 2
.
5
x 2
6
.
3 5 3
x 2
2 2 2 6 2
1 1
....
6 3
,
37. _______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/35
0 . ,
0.
5
x
6
.
10. :
2 2
x 1 3 x x 3 x
. 1 : :
2 2
x x x 3 x x 3 x 0
x x x 3 x x x 0
x x x 3 x 0
x x 0 x 3 x 0 x 1
x 3 x
4
x
3
, .
2 : x 0
2
x 0 x 0 , . x 0
2
x
: 2
x 1 3 x 3 0 x 1 0
x 3 0 x 1 x 3
x
4
x
3
, .
11. :
1
1 x 2 x
x
. x 0 x
2
:
x x 2 x x 1
2 2
x x 2 x x x x
2
x x x x
x x 0 x x 1
x 1 x
4
,
2
x x 1 x
4 4 2
x 2
4 4
x 2
4 4
x 2 x 2 x 2 ,
2
.
x 2 x
4
, .
12. :
2x x
1 x x
2 2
2 x
2
4 2
2x x
1 x x
2 2
2 x
2
4 2
2x x
1 x x
2 2
x
1 2
4 2
2x x
1 x x 1 x
2 2
x x
x x 1 0
2 2
2
0
x x x
x 1 2 2 1 0
2 2 2
x
x 0 1
2
x , Z .
13.
2 2 9
x 2 3 x 7 3 0
4
x R 0,4 .
, S
,
:
i)
20
S
3
ii) S 15 iii) S 16 iv) S 17
. :
0
2 2 9
2 3 4 7 3 0
4
2 2 3 3
24 18 0
4 2
.
0,4
3
2 6
0,4
2
6
11 13 23
, , ,
6 6 6 6
3 5
2 6
0,4
5
2
6
5 7 17 19
, , ,
6 6 6 6
5 7 11 13 17 19
S
6 6 6 6 6 6 6
23
16
6
. iii).
14.
2018 2018 2020 2020
x x 2 x x .
0,2
: ) 3 ) 4 ) 5 ) 6
38. _______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/36
. 2018 2018 2020 2020
x x 2 x x
2018 2 2018 2
x 1 2 x x 2 x 1 0
2018 2018
x 2x x 2x 0
2018 2018
2x x x 0
2018 2018
2x 0 x x
2x 0 x ,
2 4
0
2018 2018 2018
x x x 1
x 1 x ,
4
.
4
0,2 ).
15.
x 1
x 2
1 x 1 x
.
.
x 1
x ,
x 0
:
x 1 x
2
1 x 1 x x
2
x 1 x 1 x x
2
x x
2
1 x x 2 x
x x 1 x x 0
x x 0 1 x x 0
x 0
x x 0 x 1
x ,
4
1 x x 0
x x 1 x x 1
4
2
x x
4 4 4 2
x 2 ,
2
( )
x 2 , ,
. :
x ,
4
x 2
2
, .
16. :
3
x 2 x
4
. x x
4 4
: 3
2
4
3
2
4 4
3 3
1
3 2 2
2 2 3
0
2 2
0
1 0
0 1
0 2 2
0 2 2 , .
0 ,
2
.
3
x ,
4 4
.
17. : ( x) 0
. ( x) 0 ( x) 0
x 2 (1) x 2 (2), Z
1 x 1 (1)
1 2 1 ,
1 1
, Z
2 2
1 1
1 1 , Z
2 2
0 .
x 0 x ,
2
(2) : 1 2 1 , Z
1 1
, Z
2 2
1 1
1 0 , Z
2 2
, .
x
2
Z .
18. :
| x x | | x x | 2
. | x x | | x x | 2
2
| x x | | x x | 4
39. _______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/37
2
| x x | 2| x x || x x |
2
| x x | 4
2 2| x x | | x x | 4
| x x || x x | 1
2 2
| x x | 1 2
| 2 x 1| 1 2
x 1
2
x 0 x 1 x 1 x 0
x
2
x
19.
:
2
f x 4 x 4 x 8 x R ,
.
.
: 2
f x 4 x 4 x 8
22
4 x 4 x 1 9 2 x 1 9 .
x R 1 x 1
2 2 x 2 1 2 x 1 3
2 2
0 2 x 1 9 9 2 x 1 9 0
9 f x 0 .
o of x 0 x 2 ,
2
of x 9
o o
7
x 2 x 2 ,
6 6
minf 9 maxf 0.
:
20.
f x A x B , , R
0,
2
.
12
S A B
:
i) S 1 ii) S 2 iii) S 3 iv) S 5
.
2
f 3
3
, f 0 0 , f 1
3
.
:
2
3
3
0 0
1
3
2
3 (1)
3
0 (2)
1 (3)
3
0 , .
0
1
3 (4)
3
.
(1)
2
3
3
2
3
3
4
3 1
3
.
1 :
1
2
2 3
3
2
3 3
0,
2
3
3 3
3 6
.
6
2.
12
S A B 3.
iii).
45. _______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/43
:
:
.
(x,y)
(x1,y1), (x2,y2),
/ /
1 1x x , y y , 2 1 2 1x x , y y
, (
2 1
2 1
y y
x x
)
.
1
1 1
1
y y
y y (x x )
x x
, 1x x 0 1x x
/ /
det( , )=0.
( ) x+ y+ =0
:
.
, , .
;
,
.
:
i) :
.
ii) :
, .
,
.
5 :
i) (x1,y1)
(x2,y2)
2 1
1 2
2 1
y y
,x x
x x
x1=x2
1x x .
ii) ( )
( ) =
.
iii) ( )
( ) · = 1
iv)
x x 900
=
v) ( )
( )
u / / v / / u 1,
v (1, ) (u,v)
(x0, y0) ,
;
- , :
: x=x0
1. ( )
(2,3)
i) 1350
x x
ii) (2,1)
iii) (–3,–4)
iv) ( ): 6x–2y–17=0
v) ( ): x–2y+2020=0
vi) 450
( ) y=2x–5
vii) 2
i. = = 1350
= – 450
=–1, :
y–3 = –1(x–2) y= –x+5
ii. x1= x2 =2,
x=2
iii.
4 3 7 7
3 2 5 5
,
7
y 3 (x 2) 7x 5y 1 0
5
iv. =
6
3
2
, y=3x–3
v. · = 1
1 1
2 2
= 2
vi. u / / v / /
u (1, ) v (1, ) (1,2)
(u,v)
2
(1, )(1,2) 2
21 5
,
0 0y y (x x )
46. ____________________________________
B
___________________________________
114 (2019) .2/44
2
2(1 2 ) 1 5 2
2 2
4(1 4 4 ) 10(1 )
2 2
6 16 6 0 3 8 3 0
3
1
3
,
1 : y 3 3(x 2) , 2 :
1
y 3 (x 2)
3
vii. , d(O, )=2
x=2
, d(O, )=2 .
, : y 3 (x 2)
x y 2 3 0 . d(O, )=2
2
2 3
2
1
2 2
4 12 9 4(1 )
5
12
:
5
y 3 (x 2)
12
5x 12y 26 0 .
2.
1 5
y x
2 2
(1)
y 3x (2)
4x 3y 5 0 . :
i) .
ii)
i) 1 2
– .
y 3x
1 5
y x
2 2
y 3x
1 5
3x x
2 2
y 3x
6x x 5
y 3
x 1
(1,3).
4x 3y 5 0 .
:
y 3x
4x 3y 5 0
y 3x
4x 3(3x) 5
y 3
x 1
B( 1, 3)
:
1 5
y x
2 2
4x 3y 5 0
1 5
y x
2 2
1 5
4x 3( x ) 5 0
2 2
y 5
x 5
(5,5).
:
,
1 5 3 5
,
2 2
(2,1)
,
x 1
2
2
x 3
y 3
1 y 1
2
(3,–1)
ii) ( )=2( )=
1
2 | det( , ) |
2
( 1 1, 3 3) ( 2, 6)
(5 1,5 3) (4,2)
( )=
2 61
2 | |
4 22
=|–4+24| =20
3. :
: ( 2
–9)x+( 2
–3 )y+ 2
–9 +18=0 ,
.
;
. ,
450
x x
.
.
.
x x
) = 2
–9 0
= 2
–3 0 =0 2
–9=0 =3 = 3
=0 2
–3 =0 =0 =3 =3
= =0 .
–{3}
) = 450
=1
2
2
9 3
3
3 3
1 3
2
) 1 :
.
= 3 0x 18y 54 0 y 3
=0 9x 0y 18 0 x 2
(2,–3)
.
: ( 2
–9)·2+( 2
–3 )·(–3)+ 2
–
9 +18=0 2 2
–18–3 2
+9 + 2
–9 +18=0 0=0
2 :
.
2
x–9x+ 2
y–3 y+ 2
–9 +18=0
47. _______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/45
(x+y+1) 2
+(–3y–9) +(–9x+18)=0
x y 1 0
x 2
3y 9 0
y 3
9x 18 0
,
(2,–3)
4. ( )
(3,1) (–5,0).
d(A, )=d( , ). y y (
(0,0))
.
y= x x–y=0
d(A, )=d( , )
2 2
| ( 5) 0| | 3 1|
1 1
| 5 | |3 1|
5 =3 –1 5 =–3 +1
1
2
1
8
1:
1
y x
2
, 2:
1
y x
8
5. :
2 2 2
x y 4 x 2 y 3 0 ,
)
1, 2
)
.
) 2
x=2
6.
:
2 2 2 2
(x 4 x 4 ) (y 2 y ) 0
2 2
(x 2 ) (y ) 0
[(x 2 ) (y )] [(x 2 ) (y )] 0
[(x y 3 ) (x y ) 0
1: x y 3 0 2: x y 0 1=1,
2=–1 1· 2=–1 1 2
)
x y 3 0 x 2
x y 0 y
(–2 , ), x 2
x
2
y= . .
1
y x
2
) , 1, 2 x=2
:
x 2 x 2
x y 3 0 y 2 3
(2,2+3 ),
:
x 2 x 2
x y 0 y 2
, (2,–2– )
( )=6 |(2+3 )–(–2– )|=6 |4+4 |=6
4+4 =6 4+4 =–6
1
2
5
2
6. i)
( , ) ( , ), .
ii)
;
iii) 0,
2
)
1
2
.
i) 1.
0
1 1
4
,
: y 1(x ) y x
4
,
2
x
2
ii)
: 0
1 1
3
4
,
iii) :
( + , 0), (0, + )
1
| | | |
2
1
(1 2 )
2
=
1
2
>
1
2
( 0,
2
) >0 >0
(1,3)
1: x–3y=2, 2: 4x+3y=3
.
. .
. :
) )
) .
.
.
48. 114 (2019) .2/46
:
. ,
.
, ,
, ,
.
1
2
2
x
f x
x
g x
x
, ,
) ,
0x 3 .
9
6
)
.
)
h x f x g x
.
) x,y
(B) ,
3cm / sec
1x h,
1 1A x ,h x
0t
B 0,4 .
) f g
*
f gD D .
f *
2
2 3
2 3
x 2
f x 1 x 2 x
x x
9
f 3 1
9 9
2
f 3
27
.
g *
: 2
g x
x x
: g 3
3
g 3
9
.
f g
0x 3 :
9
f 3 g 3 9 39 3
2 2 3f 3 g 3
27 9
3 9 3 9 3 9
2 3 9 3 6 18 3 6
9
6
.
, 9 6
f g
0x 3 .
) 9 6 :
2
2 2
x 9 9
f x 1
x x 3
18
f x
x
6
g x
x 2
6
g x
x
.
: y f 3 f 3 x 3 .
: 2
9
f 3 1 2
3
18 2
f 3
27 3
,
:
2 2
: y 2 x 3 y x 4
3 3
) 2
9 6
h x f x g x 1
xx
*
hD . h
49. _______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/47
*
: 2 3 2
9 6 18 6
h x 1
x x x x
2
6 3
1
x x 2
6 3 x
x x
. :
2
6 3 x
h x 0 0 3 x 0 x 3
xx
2
x 0
2
6 3 x x 3
0 0h x 0
x x x
x 0 x 0 x 0
x x 3 0
x ,0 3,
x 0
h x 0
x 0,3
x 0
:
h
,0 , 3,
0,3 .
h 1x 3
, 2
9 6
h 3 1 0
33
:
2x x
9 6
lim h x lim 1 1
xx
.
)
( )
2
: y x 4
3
.
M x,y
2
M x, x 4 , x
3
.
2
M x, x 4
3
A 3,0 ,
:
2 2
M A M AAM x x y y
2
2 2
x 3 x 4
3
.
x x t cm
x t 3cm / sec .
, AM d d t cm, :
2
2 2
d t x t 3 x t 4
3
,
t :
2
2
2 2
2 x t 3 x t 2 x t 4 x t
3 3
d t
2
2 x t 3 x t 4
3
2
2
2 2
x t 3 x t x t 4 x t
3 3
: 1
2
x t 3 x t 4
3
0t M
B 0,4 : 0x t 0
0x t 3. , 0t t 1
:
0 0 0 0
0 2
2
0 0
2 2
x t 3 x t x t 4 x t
3 3
d t
2
x t 3 x t 4
3
2
2
2 2
0 3 3 0 4 3
9 8 17 cm3 3
5 sec9 162
0 3 0 4
3
2
2
f x x 12 , x
,f , 0, .
A)
f
.
B)
x x y y A B ,
E OAB
:
2
2
12
4
, 0,
) , E
2 .
x 0 3
h (x)
0
h
50. _______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/48
)
0,
2
2
32 12 0, .
) f
2
f x x 12 2x .
M ,f , 0 :
: y f f x
2
y 12 2 x
2 2
y 2 x 2 12 2
y 2 x 12
)
:
y 0
2
12
x
2
,
x x
2
12
A ,0
2
.
x 0 2
y 12 ,
y y 2
B 0, 12 .
,
:
2
21 1 12
12
2 2 2
222 2 2
0
2
12 12 121 1
12
2 2 4 4
)
0, :
22 4 212 24 144
4 4
3 2
2
1 36 3 36
6 6
4 4
2 4 2
2 2
12 8 48
3 2 3
4 4
2 2
2
12 4
3
4
2
2
3 12 2
2
4
:
2
2
3 12 2
0 2 0 24
0
0
2
2
3 12 2
0 2 0
4
0
0
2 0
2
0
2
2
3 12 2
0 2 0
4
0
0
2 0
0 2
0
0 2
( ) 0
32
0,2 ,
2,
0 2 , 2 32.
) ( )
2, 2 32 ,
2 32 0 ,
2. ,
22
22
12
32 12 8 8
4
8 32 4 .
22
32 12
0, max 4.
3
2
f x ln 4 x .
)
f .
) fC
51. _______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/49
x x
y y.
) f ,
.
) 0,
2
ln4 ln 4 x
x 2,2
) f .
fC x x
,
fC
y y
x x
fC .
) f
x
2
4 x 0 .
:
2 2 2
4 x 0 x 4 x 4 x 2 2 x 2
f
fD 2,2 .
x 2,2 :
x 2,2
2 2
f x ln 4 x ln 4 x f x
f .
) fC
x x
ff x 0,x D .
:
2 2
f
ln 4 x 0 4 x 1f x 0 x 3
x 2,2x D x 2,2x 2,2
fC x x
K 3,0 3,0 . f
2,2 :
2
2
2 2
4 x 2x
f x ln 4 x
4 x 4 x
.
: 2
2 3
f 3 2 3
3 4
2
2 3
f 3 2 3
3 4
.
fC K
x x :
1 : y f 3 f 3 x 3
y 2 3 x 3 y 2 3x 6
2 : y f 3 f 3 x 3
y 2 3 x 3 y 2 3x 6
1 2 :
y 2 3x 6 y 2 3x 6
y 2 3x 6 y 2 3x 6
y 2 3x 6 y 6
x 00 4 3x
1 2
, 1 2
y y .
) f 2,2
2
2x
f x
x 4
. :
2
2x
2x 00f x 0
4 x
x 2,2x 2,2 x 2,2
x 0
x 2,2
2
4 x 0
2
x 2,2
2x
2x 00f x 0
4 x
x 2,2x 2,2 x 2,2
2 x 0
f x 0
0 x 2
x 2,2
f
:
x 2 0 2
(x)f 0
f
ln4
52. _______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/50
f :
2,0
0,2 ,
0x 0 ( )
2
f 0 ln 4 0 ln 4 2ln 2 .
f 2,2 :
2 2
22 2
2x x 4 2x x 42x
f x
x 4 x 4
2 22
2 2 22 2 2
2 x 4 2x 2x 2 x 42x 8
0
x 4 x 4 x 4
x 2,2 , f
2,2 .
) f 0x 0
f 0 ln 4 : f x f 0 f x ln4
x 2,2 .
2
ln 4 ln 4 x
x 2,2 , :
ln4 maxf x ln4 ln 4 ln 4 1.
2
ln 4 ln 4 x x 2,2 ,
min 1.
) ( )
:
2
2
x 2
t 4 x 0
2
x 2 x 2 t 0
lim 4 x 0
lim f x lim ln 4 x lim ln t
2
2
x 2
t 4 x 0
2
x 2 x 2 t 0
lim 4 x 0
lim f x lim ln 4 x limlnt
fC x x
K 3,0 3,0 ,
f
.
x 2 0 2
(x)f
(x)f 0
f
6 ln4 8
A x,f x
fC x 0, 3 . A
y y B x,f x
fC , f
( ).
x,0 x,0 A
x x . (
)
x x 2x ,
f x x 0, 3
x 0 f x 0 2x
f x .
53. _______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/51
,
x
0, 3 ,
2x f x
0, 3 .
h x 2x f x ,
x 0, 3 .
H h 0, 3 ,
. :
h 0 2 0 ln 4 ln 4 0
2
h 3 2 3 ln 4 3 2 3 0
h 0 h 3 0 .
h
Bolzano
0, 3 ,
0, 3 h 0 ,
h x 0
0, 3 .
.
x 0, 3 h x 2x f x
2 2
2x 2x
h x 2x f x 2 2 0
4 x 4 x
,
x 0, 3 , h ,
0, 3
’ .
h x 0
0, 3 ,
fC
x x ,
( ).
4
x
f x e
2
g x x , x .
h x f x g x , x .
)
f g
.
) h
,
0,1 , h 0.
) h .
) x x
f x e e ,x ,
1 fC
1 1x ,f x :
1 1 1y f x f x x x 1 1x x
1y e e x x
1 1x x
1y e x x 1 e
1 1x x
1 1: y e x x 1 e .
2
g x x 2x , x ,
2 gC
2 2B x ,g x : 2 2 2y g x g x x x
2
2 2 2y x 2x x x 2
2 2y 2x x x
2
2 2 2: y 2x x x .
fC gC
1 2x ,x
1 2
.
:
1
1
x
2
x 2
1 2
e 2x
x 1 e x
1
1
x
2
x 2
1 2
1
x e
2
x 1 e x
1
1
11 1
x x
2 2
2
xx x
11
1 1x e x e
2 2
11
x 1 ex 1 e e
42
54. _______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/52
x1
e x 1 0
4
.
x1
x e x 1 , x
4
.
,
1,0 . :
11 e
1 e 1 1 0
4 4
01 1 3
0 e 0 1 1 0
4 4 4
1 0 0
Bolzano
1,0 . x 0,
x1
e x 1 0
4
,
0x 1,0 .
,
fC gC
. x
x x1 1
x e x 1 e 1 0
4 4
,
0x
x 0
«1-1», :
1 0
x x
2 2
1 0 1 0
1 1
x e x e
2 2
x x x x
0x
1 2 0
1
x ,x x , e
2
, fC gC
.
) :
x 2 x 2
h x f x g x e x e x , x
h
: x 2 x
h x e x e 2x
x x
h x e 2x e 2 0 x ,
h .
h 0,1 ,
.
0
h 0 e 2 0 1 0
1 1 2e 1
h 1 e 2 2 0
e e
h 0 h 1 0 ,
Bolzano, 0,1
h 0 .
, h
, h x 0 x ,
.
) :
h
x h x h 0 h x 0
h
x h x h 0 h x 0
,
h , h
,
, ,
h x 0
0,1 .
:
f
3 113, 56-57,
f g 2,2 ,
f g ,
2,2 .
f g 2,2 ,
f
:
16 x, x 16,0
f x
h x , x B 0,
,
h .
55. 114 (2019) .2/53
. , ,
, .
1.
x 0,
2
, : x x x .
( . 52, 2018).
1.
x ,0
2
, : x x x .
: x ,0
2
,
x 0 0 x
2 2
( 1)
( x) x ( x) x x x
x x x x x x .
2.
x 0,
2
, :
3
x
x x 0
4
.
: x 0,
2
, :
x
x x x x20 x 0
x2 2 4 2 2 2
2
2x x x x x x x
2 2 2 2 2 2 2
2 2x x x x
2 x x x 1
2 2 2 2
2
2x x x x x
0
2 4 2 2 2 4
2 2
2 2x x x x
1 1
2 4 2 4
3
2 x x
x 1 x
2 4
.
3
x
x x
4
. 0 x 2
2
,
x 2 0 x 2 0 ,
3 3x 0
2 3 x x
x 4 0 x 4x 0 x 0 x 0
4 4
.
3
x
x x 0
4
, x 0,
2
.
2,
1.
2.
x ,0
2
, :
3
x
x x x x
4
.
: x ,0
2
,
x 0 0 x
2 2
( 2
1)
3
x
x ( x) x ( x)
4
3
x
x x x x
4
3
x
x x x x
4
.
3.
x ,
2 2
, :
3
x
x x
4
.
: x 0,
2
, :
3
x
x x x
4
3 3
x x
x x 0
4 4
3 3
x x
x x
4 4
3
x
x x
4
.
x ,0
2
, :
3
x
x x x
4
3
x
0 x x
4
56. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/54
33
xx
0 x x
4 4
3 3
x x
x x
4 4
3 3
x x
x x
4 4
3
x
x x
4
.
0x .
4.
x , : x x .
( . 52, 2018).
.
3.
x , :
2 4x x
x 1 8 8
4 4
.
: 2 x
x 1 2
2
2
2 2x x x x
1 2 2 1 2 4
4 4 4 4
2 2x x
1 8 1
4 4
2 4x x
1 8 8
4 4
.
4.
x ,
2 2
, :
2 2 4
x x x
1 x 1
2 2 20
.
: x 0,
2
, :
x
0 x 0
2 2 4
,
2
2x x x x
0
2 2 2 4
2 2 2
2 2x x x x x
2 1 2 1 x 1
2 2 2 2 2
.
2 4
x x
x 1
2 20
,
x
0 x 0
2 4 8
3
x
x x 4
0
4 4 4
( 2)
3
4
x x x
0
4 4 4
23
2
4
x x x
0
4 4 4
23
2
4
x x x
8 8
4 4 4
23
2
4
x x x
1 8 1 8
4 4 4
(1)
:
x
0
4 8
x x
4 4
4
4 x x
4 4
4
4
4
x x
8 8
4 4
(2)
(1) (2) :
2 4x x
1 8 8
4 4
23 4
4 4
x x x
1 8 8
4 4 4
2 4 6 4
2 4
5 8 4
x x x x x x
1 8 8 1 8 2 8
4 4 16 4 4 4
2 4 6 4
2 4
5 8 4
x x x x x x
1 8 8 1 16 8 8
4 4 2 4 4 4
2 4 6 4
2 4
3 7 3
x x x x x x
1 8 8 1 2 2
4 4 2 4 4 4
2 4 6
2 4
3 7
x x x x x
1 8 8 1 3 2
4 4 2 4 4
.(3)
2 4 6 2 4 2 4
3 7 3
x x x x x x x
1 3 2 1 3 1 3
2 4 4 2 4 2 64
2 4 2 4
x x x x
1 3 1
2 60 2 20
(4)
(3), (4), 3
:
2 4
x x
x 1
2 20
, x 0,
2
.
x ,0
2
, :
x 0 0 x
2 2
2 2 4
x x x
1 x 1
2 2 20
2 2 4
x x x
1 x 1
2 2 20
.
x 0 .
x ,
2 2
, :
2 2 4
x x x
1 x 1
2 2 20
.
57. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/55
1.
x 0,1 , : 3
x x x .
: 0 x 1
2
2
x
x 1
2
0 x 1 2
0 x x 1
2 2
x 1 x
1 1 0
2 2 2
, 2
1 1
xx
1
2
0 x x , x 0,1 .
, :
2 2 2
x x 2x
x
x 2 x 2 x
1
2 2
, x 0,1 .
x 0,1 :
3
2
2x
x x
2 x
.
3
2
2x
x x
2 x
2
2
2
1 x
2 x
2 2
2 1 x 2 x 2 2 4
2 2 x 2x x
2 4
x x 0 2 2
x 1 x 0 , .
1.
x 0, :
21
ln(1 x) ln2 x
4
.
: 21
ln(1 x) ln 2 x
4
21
ln(1 x) ln 2 x 0
4
21 x 1
ln x 0
2 4
2 2x 1
ln x 0
2 4
2 2x 1
ln x 0
2 4
.
f : 0, ,
2x 1
f x 2ln x
2 4
.
f 0,
1 x
1 x x2 2f x 2 x
x 2 2 2
2
,
:
0 x
x
0
2 2
x x
2 2
x x
0
2 2
f x 0
f 0, , f
0, ,
f x f 0 2x 1
ln x 0
2 4
.
2.
x 0,
2
:
2
2
1 x
(2x) .
1 x
: x 0,
2
,
: 2 2
x x 0 x x 0
2
2 2 2 2
1 1 x 1
1 1
x x x x
2 2
2
2 2 2
1 x 1 x
x
x x x 1
2 2
2 2
1 (2x) x 2x
1 (2x)
2 x 1 x 1
2 2
2 2
2x 1 x
1 (2x) (2x)
x 1 x 1
.
3.
x 0,
2
:
2
2
1
x
x 1
.
: x 0,
2
, :
2 2
x x 0 x x 0 2 2
1 x 1 x
2
2
1
x 1
x
2
2
1
x
x 1
.
4.
x 0, :
2 x x(1 x) .
: x 0, , :
x
x x x x20 0 0
x2 2 2 2 2
2
2x x x x x x
0 2 x
2 2 2 2 2 2
1 x
x x 2 x x(1 x)
2
.
58. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/56
. , .
:
« »
.
« -
»
, -
, , -
, ,
.
f :D , y f x
0f f x f x , 0 0x x x , x D,
0
x 0
f
f ' x lim
x
( f x
0x ). 0f ' x
, ,
f : D R y f x 0x
x 0 0f ' x x, x x D .
0 0 0df x f ' x x, x x D
x D , df x f ' x x 1 ,
x x D.
f : , f x x dx x .
df x f ' x dx
dy f ' x dx dx 0 -
,
df x
f ' x
dx
dy
f ' x
dx
dy
dx
Leibniz (1646
-1719). 0f ' x 0x D
0 0
0
x x x x
df x df xdy
dx dx dx
(
0df x
dx
-
-
x 0f x ).
:
2 3
v
2 3
d y d y d y
f '' x , f ''' x ,...,f x
dx dx dx
.
-
3
f ', f '', f ''' f ... f
Lagrange (1736 – 1813).
Leibniz.
, gg : D , u g x , -
gD D f ff : D , g D D
f x g D ,
f g y f u , u g x
y f g x :
dy dy du
,
dx du dx
dy dy
g' x ,
dx du
du
u g x g' x
dx
.
x
t ,
x x t , x ,
2
y x ,
dy dx
2x .
dx dt
dy dy du
,
dx du dx
.
. -
f g h , y f u v ,
v h x , u g h x g v -
dy dy du dv
dx du dv dx
.
1 2f f ... f .
dy
dx
,
.
« »
-
.
dx 1
dydy
dx
(
dx dy
1
dy dx
« -
59. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/57
» ) -
1
d f y 1
d f xdy
dx
. -
Leibniz,
-
Lagrange ( -
, ,
,
, .). -
-
,
, -
.
. -
-
y f x
0
2
2
x x
d y
dx
dy
y'
dx
0x . Leibniz Lagrange
« » ,
-
,
-
. -
-
Leibniz
« »
.
-
, -
f x dx -
-
f x .
1.
f : ,
2
x 1
y e
. Leibniz:
f R
2 v
z x 1, u z, v u, y e
.
dy dy dv du dz
,
dx dv du dz dx
v
2
dy dv du dz x
e , u, z, .
dv du dz dx x 1
x -
2
x 1
2 2
2
x x 1 x 1 e
dy
.
dx x 1
Lagrange:
2
x 1
f x e
f R -
2
x 1
f ' x e '
2
x 1
2
x 1 ' e
2
x 1
2 2
x 1 x 1 ' e
2 2
x 1 x 1
2
x 1
2
x 1 ' e
2 2
x 1 x 1
2
x 1
2
x
e
x 1
2
x 1
2 2
2
x x 1 x 1 e
x 1
2. f : ,
y f x , y
y' ny -
0,e .
. Leibniz: y
y' ny
ydy
ny .
dx
u
u ny y e udy dy du dy du
e
dx du dx dx dx
,
1 du
1
u dx
du
nu ' x c '
dx
, x c
nu x c ne ,
x c
u e , x
ny ke ,
x
ke
y e -
0,e -
x
e
y e .
Lagrange: x R
f x
f ' x ln f x f ' x f x ln f x
f ' x
ln f x ln f x ' ln f x
f x
x
ln f x c e . fC -
62. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/60
2 2 2
o o o oM C x y 1 y 1 x
M
2
o o o o: x x y y 1 x x y 1 x 1
K,P oK x ,0
o
1
P ,0
x
.
) o1 x 0 ,
o o
o o
1 1
s KP x x
x x
( ;)
PK -
: o o o
2
o o
ds x ds x dx 1
1 0,2
dt dx dt x
.
ot ox 0,25 -
:
o
o
x 0,25
ds x cm
1 16 0,2 3,4
dt sec
.
) MKP :
2
o o
o
1 1 1
E MKP PK MK x 1 x
2 2 x
.
:
o o o
o
dE x dE x dx
dt dx dt
2 o o
o o2 2
o o o
x dx1 1 1
1 1 x x
2 x x dt1 x
2 o
o 2
o
dx1 1
1 x 2
2 x dt
.
ot ox 0,25 -
:
o
2
o
x 0,25
dE x 1 15 9 15 cm
9 0,2
dt 2 4 20 sec
.
7.
2 2
C:x y 4 .
y'y x'x x,0
A 2,0
O 0,0
1 cm
2 sec
.
M M' ,
:
) AM .
) OAM .
)
MAM'M . ot -
OA .
. ) M x,y
2 2
x y 4
2 2
AM s x x 2 y 0 2 x 2 .
:
ds x ds x dx 1 1 1
2
dt dx dt 22 x 2 2 x 2
ot
OA ox 1,
x 1
ds x 1 1 cm
dt 2 sec2 1 2
) OAM :
1
OAM E x OA M
2
2 21
2 4 x 4 x
2
.
:
dE x dE x dx 2
dt dx dt
x
2 2 2
dx x
dt4 x 2 4 x
ot ox 1,
o
2 2
x 1
dE x 1 cm 3 cm
dt sec 6 sec2 3
.
) :
T x MAM'M O,MAM' MOM'
1 1
2 2 2 MM' O
2 2
x 0
2 21
4 2 x 4 x 4 x 4 x
2
64. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/62
i) .
ii) μ μ -
μ μ μ -
. 21
m
2
, 21
D x
2
2
D m .
. O
-
. t x' t A t
2
' t x'' t A t .
Leibniz :
2
2
dx d x
x' t , x'' t
dt dt
)
ii) 2 2 2 21 1
E m mA t
2 2
2 2
E ' t mA t t
2
D A t t D x t x' t
21
E ' t D x t ' D x t x' t
2
Leibniz :
dE
E E t E ' t
dt
).
-
, -
. -
.
11. x
,
p x -
. x
,
R x x p x . R -
R'
. -
x
P x R x C x , C
. P
P' -
.
) x
,
.
) -
, -
2
C x 3800 5x 0,001 x
p x 50 0,01 x ;
. )
P x R x C x P' x R ' x C' x .
x
P' x 0 R ' x C' x 0 R ' x C' x .
) 2
R x x p x x 50 0,01x 50x 0,01x
R ' x 50 0,02x .
2
C x 3800 5x 0,001 x
C' x 5 0,002 x . P' x 0
50 0,02x 5 0,002x x 2500 .
x 2500 P' x 0 , P
x 2500
P' x 0 , P .
.
,
, x 2500 .
12. -
.
, ,
2
400t
P t
t 25
, t -
,
.
2019, -
.
. :
2 2 2
2 2
2 2
400 t 25 800t 400 25 t
P' t
t 25 t 25
2
P' t 0 25 t 0 t 5 .
t 5 P' t 0, P
t 5 P' t 0 , P
. -
.
5 -
,
2019.
:
1. ’ ,
2. ’ -
’
3. . : ,
4. . :
5. . ROSS: Elementary Analysis, Springer
6. H JEROME KEISLER: Elementary Calculus
7.
65. 114 (2019) .2/63
:
1) p q, : « p, q »,
: « p q ».
2) p q, : « q, p»,
: «q p ».
3) p q, :
«p q» (« p, q» « q, p»), « p q ».
:
4) «p q» : « p q ».
5) «p q» : «q p ».
6) «p q» : « p q ».
7) «p , , q» : « p q ».
8) « p , , q» : « p q ».
,
o , ,
.
( « »,
« » p( p) p ):
p (q r) (p q) (p r) , p (q r) (p q) (p r) ( )
p q p q , p q p q , p q p q ( ).
( « »
« »:
« » « » « » « ».
p(x) q(x) o .
( ):
1) x, p(x) q(x) x,p(x) x,q(x)
2) x, p(x) q(x) x,p(x) x,q(x)
3) x,p(x) x,q(x) x, p(x) q(x)
4) x, p(x) q(x) x,p(x) x,q(x)
: :
x, p(x) q(x) x,p(x) x,q(x)
x,p(x) x,q(x) x, p(x) q(x)
, f g , :
x , f(x) g(x) 0 x , f(x) 0 g(x) 0 (1)
( . :
(1) x ,f(x) 0 x ,g(x) 0 .
. : « » « ».
( ) . ,
!!!, « » « »,
, ,
!!!. , , .
.
! (
) !!!
![ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
Τεύχος 114 - Οκτώβριος - Νοέμβριος - Δεκέμβριος 2019 - Ευρώ: 3,50
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34
106 79 ÁÈÇÍÁ
Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532
Fax: 210 3641025
Ανάργυρος Φελλούρης
Παναγιώτης Δρούτσας
Åêäüôçò:
ÄéåõèõíôÞò:
ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò
Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò
ÊáñêÜíçò Âáóßëçò
Êáôóïýëçò Ãéþñãïò
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Êïíüìçò ¢ñôé
Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò
Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá
Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò
ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò
ÌÞëéïò Ãåþñãéïò
Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò
Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò
Ìþêïò ñÞóôïò
Óßóêïõ Ìáñßá
ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò
ÓôñáôÞò ÃéÜííçò
Táðåéíüò Íéêüëáïò
T
ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò
ÔõñëÞò ÉùÜííçò
× éóôüðïõëïò ÈáíÜóçò
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Øý÷áò ÂáããÝëçò
Απατσίδης Δημήτρης
Βλάχος Σπύρος
Γαμβρέλλης Αργύρης
Γιώτης Γιάννης
Δρούτσας Παναγιώτης
Ζέρβας Νίκος
Ζώτος Ευάγγελος
Κουτσούρης Λέων
Μανιατοπούλου Αμαλία
Μπρούζος Στέλιος
Χ
Μωραΐτη Κατερίνα
ουρναβίτης Στέργιος
Τσικαλουδάκης Γιώργος
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
Τσουλουχάς Χάρης
ρ
Êáñäáìßôóçò Óðýñïò
ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóôαλένια
ΔΔ π ππ π
Επίκαιρα Θέματα
Γενικά Θέματα
Μέναιχμος ο Δάσκαλος του Μεγάλου Αλεξάνδρου 2
Οι ΕΠΤΑ Γέφυρες και τα Γραφήματα,
Μαθηματικές Ολυμπιάδες, 9
30
Άλγεβρα: Ασκήσεις Άλγεβρας, 26
Γεωμετρία: Ασκήσεις με βοηθητική ευθεία, 30
Άλγεβρα: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις, 32
Γεωμετρία: Εμβαδά Ευθυγράμμων Σχημάτων, 38
Αναλυτική Γεωμετρία: Ευθεία Γραμμή, 43
Θέματα Διαφορικού Λογισμού για Επανάληψη, 46
Το Βήμα του Ευκλείδη, 53
Αξιοσημείωτες τριγωνομετρικές ανισότητες 53
Διαφορικό και ο ρυθμός μεταβολής, 56
Χρήσιμες Επισημάνσεις Ασκήσεις, 63
Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικα, 66
Ο Ευκλείδης προτείνει..., 68
Τα Μαθηματικ΄ά μας Διασκεδάζουν, 74
................................
....................................................
.......................................................................
.............................................
.....................................................
..........................................
...................................
................................................................................
..........................................
.......................................................
.........................................................
.................................................................
...........................................................................
........................................................
4
Homo Mathematicus, ..................................................................................
.................................................................
.....................................................
Α΄
Β΄
Γ΄
Τάξη
Τάξη
Τάξη
MUNDO MAYA, 77.............................................................................................
Αγαπητοίφίλοι,
μαθητέςκαισυνάδελφοι,
πολλέςευχέςγιαμια δημιουργικήχρονιά
χαρούμενη,
αισιόδοξη,
και αποτελεσματική
σεκάθεπροσπάθεια,φιλοδοξία, όνειρο...
H ó íôá òεπιτροπή ύ ξη
του περιοδικού
Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων
είναι οι συνάδελφοι:
Α΄ Λυκείου
Β΄ Λυκείου
Γ΄ Λυκείου
[ Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Χ. Τσίτος],
[ Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης],
Δ. Αργυράκης, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]
Γ. Κατσούλης, Λ. Κουτσούρης,
Απ. Κακκαβάς, Μ. Σίσκου,
Ν. Αντωνόπουλος,[
Γράμμα της Σύνταξης
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054
ISSN: 1105 - 8005
Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50•
• Ïé óõíåñãáóßåò,
ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00
áíôßôéìï (1). (2).
(3).
(4).
Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.
[ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí
Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé.
.
Tï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044
Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å.
Ìå áíôéêáôáâïëÞ, óå åôáéñåßá ôá÷õìåôáöïñþí óôï ÷þñï óáò, êáôÜ ôçí ðáñáëáâÞ.
Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο
εισηγητής
Åêôýðùóç: (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Ä. ÐáðáäüðïõëïòROTOPRINT Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ:
Ζώτος Ευάγγελος
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
Τσίτος Χρήστος
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Το να έχει χαρά
και ελπίδα για το καλύτερο ...
2020
Η έγκαιρη πληρωμή της
βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού
συνδρομής
Εξώφυλλο:
Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται
και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr
Υπεύθυνοι για το Δ.Σ
Επιτροπή Έκδοσης
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Ευκλείδης:
Θαλής:
Αρχιμήδης:
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
9 2019Νοεμβρίου
22 2020Φεβρουαρίου
18 Ιανουαρίου 2020
Εικαστική σύνθεση βασισμένη
στην επικαιρότητα των Μαθηματικών
ΕΛΤΑHellenic PostHellenic Post
2020= 40 +4.10 +202 2
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)