Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 116

77 views

Published on

..

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 116

  1. 1. 116 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΓΕΓΟΝΟΤΑ B΄B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣΑΠΡΙΛΙΟΣ - ΙΟΣ - ΙΟΥΝΙΟΣ 20MA 20 ευρώ 3,5 Μαθηματικό περιοδικό για το ΛΥΚΕΙΟ ΕΜΕ:ΧΡΥΣΟ ΜΕΤΑΛΛΙΟ 2018 ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ Ελληνικ Μαθηματικ Εταιρε αή ή ίΕλληνικ Μαθηματικ Εταιρε αή ή ί ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ ΤΕΛΟΣ ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ ΤΕΛΟΣ Ταχ.Γραφείο ΚΕΜΠ.ΑΘ. Ταχ.Γραφείο ΚΕΜΠ.ΑΘ. ΑριθμόςΆδειας 4156 ΑριθμόςΆδειας 4156 ΕΛΤΑHellenicPostHellenicPost ΕΚΔΟΤΩΝ ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ. 5 5 5 00 5 5 5 00 0 5 25 75 95 100 0 5 25 75 95 100
  2. 2. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ Τεύχος 116 - Απρίλιος - Μάϊος - Ιούνιος 2020 - Ευρώ: 3,50 e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34 106 79 ÁÈÇÍÁ Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 Fax: 210 3641025 Ανάργυρος Φελλούρης Παναγιώτης Δρούτσας Åêäüôçò: ÄéåõèõíôÞò: ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò Áíôùíüðïõëïò Íßêïò ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò ÊáñêÜíçò Âáóßëçò Êáôóïýëçò Ãéþñãïò Êáñäáìßôóçò Óðýñïò Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Êïíüìçò ¢ñôé ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò ËïõñéäÜò ÃéÜííçò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò ÌÞëéïò Ãåþñãéïò Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò Ìþêïò ñÞóôïò Óßóêïõ Ìáñßá ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò ÓôñáôÞò ÃéÜííçò Táðåéíüò Íéêüëáïò T ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò ÔõñëÞò ÉùÜííçò × éóôüðïõëïò ÈáíÜóçò ×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò Øý÷áò ÂáããÝëçò Απατσίδης Δημήτρης Βλάχος Σπύρος Γαμβρέλλης Αργύρης Γιώτης Γιάννης Δρούτσας Παναγιώτης Ζέρβας Νίκος Ζώτος Ευάγγελος Κουτσούρης Λέων αλένια Λουμπαρδιά Αγγελική Μανιατοπούλου Αμαλία Μπρούζος Στέλιος Χ Μωραΐτου Κατερίνα Πανταζή Αφροδίτη ουρναβίτης Στέργιος Τσικαλουδάκης Γιώργος Τσίτος Χρήστος Τσιφάκης Χρήστος Τσουλουχάς Χάρης ρ ΔΔ Επίκαιρα Θέματα Γενικά Θέματα Λωρίδα του 1 Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες, 7 17 Άλγεβρα: Μαθηματικές συζητήσεις και θέματα 23 Γεωμετρία: Θέματα επανάληψης, 29 Άλγεβρα: Λογάριθμοι, 35 Γεωμετρία: Θέματα επανάληψης, 38 Αναλυτική Γεωμετρία: Θέματα επανάληψης, 42 Διαγωνίσματα αυτοαξιολόγησης, 46 Επαναληπτικά Θέματα, 50 Το Βήμα του Ευκλείδη, 66 Ο Ευκλείδης προτείνει..., 71 Τα Μαθηματικ΄ά μας Διασκεδάζουν, 76 Mobius Homo Mathematicus, .................................................................................... ...................... ................................... ............................................................. ................................................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................................. ................................................................................ ........................................................................... ........................................................ .................................................................................. .......................................... Α΄ Β΄ Γ΄ Τάξη Τάξη Τάξη Αγαπητοίφίλοι, μαθητέςκαισυνάδελφοι, ευχόμαστεότιτοκαλύτερο, σεπροσπάθειες,προσδοκίες,όνειρα… μένουμεμεεπιμονήστηψυχολογικήστήριξη, καιστηνκαλήδιαχείρισητηςμαθησιακήςδιαδικασίας δίπλα στους μαθητές και ειδικά σ' αυτούς που δίνουν πανελλήνιες εξετάσεις … είμαστεσυγκρατημένααισιόδοξοι καιπεριμένουμεηνέασχολικήχρονιάναείναι πιοξέγνοιαστηκαιπιοδημιουργική. χαρά εργασίες δυσκολίες κατανόηση Η μας είναι πολύ μεγάλη για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις πολλές συναδέλφων και μαθητών ,από όλη την Ελλάδα και τους ευχαριστούμε και από αυτό το σημείο. Προσπαθήσαμε να αξιοποιήσαμε τις περισσότερες. θαδημοσιευτούνκ Τα πολλά απρόοπτα, η επικαιρότητα και ο επανασχεδιασμός του τεύχους,μαζίμετις τηςέκδοσης,έκαναντηνπροσπάθειααυτήνα φαίνεταιαδύνατη… Σαςευχαριστούμεγιατην καιναείστεπάντακαλά. Σεεπόμενατεύχη αιοιυπόλοιπες. “Λέει τον καημό του, στον ίσκιο του, πιο πολύ παρά στους περαστικούς …” από όλους ... Υ.Γ. 1) 2) ΕΓΝΟΙΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΓΝΟΙΑ Βάσκο Πόπα [1922 - 1991] Σέρβος ποιητής [1984] H ó íôá òεπιτροπή ύ ξη του περιοδικού Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων είναι οι συνάδελφοι: Α΄ Λυκείου Β΄ Λυκείου Γ΄ Λυκείου [ Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Χ. Τσίτος], [ Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης], Δ. Αργυράκης, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς] Γ. Κατσούλης, Λ. Κουτσούρης, Απ. Κακκαβάς, Μ. Σίσκου, Ν. Αντωνόπουλος,[ Γράμμα της Σύνταξης Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 - 8005 Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50• • Ïé óõíåñãáóßåò, ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00 Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å. [ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé. . Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο εισηγητής Åêôýðùóç: (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Ä. ÐáðáäüðïõëïòROTOPRINT Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ζώτος Ευάγγελος Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Áíôùíüðïõëïò Íßêïò ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò ËïõñéäÜò ÃéÜííçò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò Τσίτος Χρήστος Τσιφάκης Χρήστος ×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò Η έγκαιρη πληρωμή της βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού συνδρομής Εξώφυλλο: Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr Υπεύθυνοι για το Δ.Σ Επιτροπή Έκδοσης ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών Ευκλείδης: Θαλής: Αρχιμήδης: Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 9 2019Νοεμβρίου 22 2020Φεβρουαρίου 18 Ιανουαρίου 2020 Εικαστική σύνθεση βασισμένη στην πρόσφατη επικαιρότητα των Μαθηματικών ΕΛΤΑHellenic PostHellenic Post Το για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται: Με κατάθεση του αντιτίμου της συνδρομής στους παρακάτω λογαριασμούς ΕΘΝΙΚΗ Τράπεζα λογαριασμός όψεως 080/48002300 ΙΒΑΝ GR 87 0110 0800 0000 0804 8002 300 ALPHA , 10 100 200 20 19 98 ΙΒΑΝ GR 86 0140 1010 1010 0200 2019 988 EUROBANK , 0026.0201.94.0201575138 ΙΒΑΝ GR 90 0260 2010 0009 4020 1575 138 Mε απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ Γραφείο 54, Τ.Θ. 30044 Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε αντίτιμο 1. 2. 3. 4. 5. καλό καλοκαίρι 5 5 5 00 5 5 5 00 0 5 25 75 95 100 0 5 25 75 95 100
  3. 3. 116 (2020) .4/1 H Möbius H (Möbius strip), . - . , 1858, . , 1858, , - . , - . August Ferdinand Möbius (1790–1868) , ( 180 ) . «8», , , - , - , . - , : - ( ) ( , ). , , - , - . T . - , , , , - ( . ). , , , , , , . - , (3600 ). 1858; - 200-250 . ., Sentinum . , , , ( ). , Tellus ( ) , . - . [1] , - , ,
  4. 4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/2 , . - [1], 1 1, - (0,0,0): u x u, 1 cos cosu 2 2 u y u, 1 cos sin u 2 2 u z u, sin , 0 u 2 , 1 1 2 2 , , , . , “ ” , , ( ). - , , . - . , Gary Anderson, 1979 - - . Gary Anderson 1999 Resource Recy- cling : " Mobius, . . . ( ) ( , ). , , - ". ( - , ), - . D , , - Mobius - . , . ( ), , , , - . [1] :
  5. 5. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/3 - , - , - . - - , - 1923. / . - - . - ( . - ) Möbius Conveyor Belt ( ) , . , - , . Mobius - . , - .[3] ' . ( - ) ( , 1963). - , . - . - , . [1]: . - , - . - Armin Joseph Deutsch, Mobius (1950), - M . , Möbius (Éric Rochant – 2013) Möbius (Gustavo Mosquera – 1996). Mosquera - , , , , . 30 - , -
  6. 6. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/4 . Möbius. Deutsch, . . John Robison (1935–2007), “Immortality ( ), : " , - - , . . . ; 100 - . (ETERNITY). - , . - , (DNA) ." ( www.bradshawfoundation.com immortality) JOHN ROBINSON : Immortality (1982) 2 . Centre for the Popularisation of Mathemat- ics University of Wales, Bangor Möbius Möbius, . , . , . . ’ , , - . , , - . [2] " " (1747) " - ": , , . – , - . "Möbius Striptease" 1965 . Mobius - - - , . . , - , - - . Mobius, - - . [4]
  7. 7. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/5 Mobius , , . . , , - . Mobius House ( ) Antony Gibbon , . , . Mobius Rem D. Koolhaas, , , Barcelona ies Van Der Rohe. [4] Mobius - . - [3]. , 33.000 m2, - Möbius - : . ... , Janjaap Ruijssenaars - " " - , . Ruijssenaars, 1.100 (12.000 - ) D-Shape, .
  8. 8. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/6 " , . ( 3D ) - . - - (5,3 . ) " Ruijssenaars. [6] , , , - . , , 2007 - Nature Materials, , - , . University College London, , - . - - : - , . - . , . , « » . , , , . [7] : [1] Larison, Lorraine L. (1973). «The Möbius band in Roman mosaics». American Scientist 61 (5): 544–547. [2] : H , . 2011. [3] Mobius | – 2019 https://el.verdauung-info.com › 3237504-where-is-the-mobius-strip-used [4] Mobius ...https://www.decobook.gr/.../h dynamikh-ths-lwridas-mobius-sthn-architektonikh-kai-t... [5] https://divisare.com/projects/105362-Kazakhstan-s-new-National-Library [6] https://pursuitist.com/architect-janjaap-ruijssenaars-to-use-3d-printer-to-build-a-house [7] https://www.kathimerini.gr/292416/article/epikairothta/kosmos/h-tainia-mempioys-apokalyye- telikws-to-mysthrio-ths
  9. 9. 116 (2020) .4/7 E.M.E. 9 15-21 2020 Egmond aan Zee (virtual), 9 15 21 . 4,5 . : , [1 ] , [ . . ] , [ ] , [2 ] , , .
  10. 10. -------------------------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/8
  11. 11. -------------------------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/9
  12. 12. -------------------------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/10
  13. 13. -------------------------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/11
  14. 14. -------------------------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/12
  15. 15. -------------------------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/13
  16. 16. -------------------------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/14 115 45. , : 2 2 3 . 2018 2 2 3 , 2 2 3= (1) 2 3)( = 2 3( ) . : 2 3 . : 1. ,3 1 . , 2 2 2 3 2 2 3, 1 2 ( 3) 3 3 3 ( 1) , , 2 (1) : 5 2 3 4 4 1, : 1, , 1, 1 . 2. ,3 3. 3 , (1) : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 3 3 , 3 3 3 , 3 3 3 1 3. 1, 2 , , 3 , (1) : 5 2 3 3 12 4 1, , 1,3 . 3, 2 3 , 3 , 3 , (1) : 5 2 3 27 18 3 2, . 23. 300 . : . . : . 1 , . 2017 1 2 300, ,..., 300 . i .i 201 .
  17. 17. -------------------------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/15 202 1 2 201, ,..., . , 1,2,...,202,i i 99,i 201.i : : 202,203,...,300 100.101,...,201i i , . 200 . 200 . , 200 i 200,...,i , 1,2,...,100.i : 200 201 , 1,2,...,100.i ii i i 60. 2 f x x bx c, ,b,c , : 2 21 3 x 2x 2016 f x x 6x 2020 2 2 . 2014 : 2 221 3 2 2014 2 2014 2 2 x f x ax bx c x (1) (1) : 2014 2 2014 2 2014f f 4 2 2014a b c (2) , (1) 1 3x x : 1 1 2014 2015 2015 2 2 a b c a b c (3) 1 1 2014 9 3 2015 2015 2 2 a b c a b c . (4) (2) – (4) : 1, 4, 2018,a b c 22 4 2018 2 2014.f x x x x 2 2 2014f x x (1) .x 49. , . 1 2 . 1 2 . . 2 . , . 2014 , , . , , , , 3 , 0ˆ ˆ 90 . 1 2, 1 3, , ( 2 3, , , , .
  18. 18. -------------------------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/16 , , , , 2 . , , . , : ˆˆ ˆ , , 4. 2 , 0 ˆ90 , , , , , , . : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , 5. 4 5 , 4 2 , 2 5 , , . 50. . 1 1 1 2 . 2 2 1 1 . 1 2 1 2 . 61. * ,nx n 1 1 2 0, , 1,n n n x x a x x n n 46. 1 2 ...a a a 1 2 ...b b b . ,a b : 10 10 11 11, .a b a a b b
  19. 19. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 116 (2020) .4/17 HEMATICUS Homo Mathematicus , : 1) , 2) , 3) , 4) , 5) . : , , , I. … « ». «... , , . , , . : . ' ( , , ' , ). Whitehead « », « ». . , ; - , . Hogben, , . « , , ... ». « » - - « » ( , , ). ' , Whitehead ...». 01: Lancelot Thomas Hogben (1895- 1975), «Mathematics for the Million» ( : « ») 02: Alfred North Whitehead (1891- 1947), , . [ : Godfrey Harold Hardy (1877-1947), « », (1993)] II. … , . ( ( )) ’ . , ( ( )), . :
  20. 20. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 116 (2020) .4/18 « , , ». : « , » , , , . , , , . ( ( )) , ( , ). , . . . , ( ( )) III. ; ’ : … G.H.H. Putney , . S.I.R.. G.H.H. , , , , « 1729. ». S.I.R. , « , G.H.H! , G.H.H! . »... ; [ ] IV. « - » 1o . ( ) . 6 . . , 1,03 . , . . 6 . . . , , 2015, (ITA – AITES) « » (International Tunneling Landmark). 1992 UNESCO. 10
  21. 21. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 116 (2020) .4/19 , , . 12.500 , 5.000 , , ! . « », . 2o . , . , , « Regiomontanus 1460, . 1482 Erhard Ratdolt , . . : 15 (01), 16 (13), 17 (21), 18 (21), 19 (21), 20 (05) 3o . Hagia Sophia Journal o f Geometry , , . : « Kadir Altintas Hagia Sophia Journal o f Geometry . " " ». , . , . , , . . [(Wassim Jabi and Iakovos Potamianos, Geometry, Light, and Cosmology in the Church of Hagia Sophia ), (http://papers.cumincad.org// att/ijac 20075207 .content.pdf)] : https://dergipark.org.tr/tr/p ub/hsjg)
  22. 22. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 116 (2020) .4/20 4o . Fields Medal , , , Fields Medal ( Nobel ). . . « Fields Medal, ( International Medal for Outstanding Discoveries in Mathematics ) , 40 , (IMU), . 1924, 1936 2018. John Charles Fields (1863-1932), . : United States (13), France (12), Russia (8), United Kingdom (5), Japan (3), Germany (2), Iran (2), Italy (2), Belgium (2), Australia (2), China (01), Norway (01), Sweden(01), Finland (01), Canada (01), Israel (01), Austria (01), Switzerland (01), Ukraine (01), New Zealand (01), Brazil (01), Vietnam (01), South Africa (01)» [ :http://en.wikipwdia.org/wiki/List of countries by number of Fields_Medalists] 5 , ...1932 ! « » ( , 4/02/2020), : « . 1932 . . . « » . .: « . . . . . , . . ». , ( ), . . , . . , , : « . . . ( ) . . (;) . , , , . , , , , . . . . ; !………………………………………………… . . , 1932»
  23. 23. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 116 (2020) .4/21 6 / , . : «... , . , ( ). , , ;» , , . 8, « , , , , . . , «Principia», 1687. : « ;» , , . , : . , , ( ), , , . NASA « », , . 1993, , 2000 , , , 8, , . - , « ». 8 « » , 2015 , . « », , , . : , . . , ' »
  24. 24. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 116 (2020) .4/22 V. – 1. (22-01-2020), : « : ; – « » . « », Scherlock Holmes Watson, . Arthur Conan Doyle , Moriarity «… · ’ …» 2. (24.02.2020), , : , . . , : «... . , …, 1+1=2. , . ’ » 3. 14 : =3,14. , 14 , 14/3 ( . ). , , 3/14 ( ). , ’ , / (,), 3,14 , . . 4. A mathematica.gr , « mick7» ( . 28, 2020 8:44 pm) , Amol Sasane (Professor of Mathematics - London School of conomics). . , . « Amol Sasane London School of Economics (LSE). - . ...» (http://personal.lse.ac.uk/sasane/) 3 3 3 3 1729 12 1 10 9 5. , , , . , «Trigonometry». BBC , . , : 70 Berlinale. , , . ’ Trigonometry , BBC HBO . , Attenberg Chevalier, ( 8 )» ( :https://mail.yahoo.com/d/folders/4/messages/36107?.intl=gr&.lang=el-GR&.partner=none&src=fp) 6. «... , , , , Colin Marshall Open Culture. . , , , , » ( : Open Culture) VI. " ; ’ Godfrey Harold Hardy (1877-1947) Srinivasa Iyengar Ramanujan (1887-1920), . : 1729 = 123 + 13 = 103 + 93 .
  25. 25. 116 (2020) .4/23 : . - - . : ! : . : , . : … 2 3 2x 5x 3 x x . ; : . ; : . : 2 2x 5x 3 - 25 24 1 1 5 1 3 x 4 2 2 5 1 x 1 4 : , … . « »; : « ». : . : - . , , - . - 2 3 2x 5x 3 0 x 1 x 2 : ; : : 3 (x 1) x 2 : ; : … . 3 2(x 1) x 2 : - ; : . (2x 2)(2x 3) : , … ; : , - . : - , - . : , (x 1)(2x 3) : , - ; : ; : . : , 3 2 x x x(x 1) x(x 1)(x 1) : . : , - ; : . : (x 1)(2x 3) 2x 3 A x(x 1)(x 1) x(x 1) : ; : … x , 1. : . 3 x x
  26. 26. _______________________________ _____________________________ 116 (2020) .4/24 1 A 2 , ; : x 1 2 22x 3 1 4x 6 x x x 5x 6 0 x(x 1) 2 x 1 x 6 : . - ; : . : 1 2 ; : … , - . : ; : - . : , - , - , , - . - x : : 3 x x 0 x(x 1)(x 1) 0 x 0 x 1 x 1 , x { 1, 0, 1}, 2x 3 A , x { 1, 0, 1} x(x 1) , 1 x . : , . : ; : . : - ; : - , - . x . : ; : - 2 4 3 2 2 x x 1 x x 2x 8x 6 x 1 , (1) : ; : . - . : ; : . 4 3 2 A {x / x x 2x 8x 6 0} : , . : ! ; : : 3 2 4 3 2 (1) (x x)(x 1) x x 2x 8x 6 4 3 2 4 3 2 x x x x x x 2x 8x 6 2 2 3x 9x 6 0 x 3x 2 0 x 1 x 2 , - . 1 , - . - 2 (1). : . : , - : 4 3 2 x x 2x 8x 6 0 ; : , . : ,
  27. 27. _______________________________ _____________________________ 116 (2020) .4/25 , ; ; : , - , - 2,18 . . , 2 2 3 3 x 3 x 2 A x - ; . : 3 3 3 3 x 0 x x : 3 3 2 2 x 0 (x )(x x ) 0 2 2 x x x 0 : ! ! : ; : ; : ; : - , - - . : ; : . 2 2 x x 2 2 2 4 3 . : ; : . : . : , … . . : ; : ! : , . ; : 0 - 3 x x 0 : : 0 - x , 0 , , x 0. - , - . ; : . : . : - 2 2 2 9 8 3 x 2 : ; « » ; - ; : . « - » - 2 | | . ; : . , 0 , , 0 : ; : . | | : ’ ( ) , - - . . : . - 1x 2 2x , - 2 2 x 3 x 2 (x )(x 2 ) : , ; : 2 2 2 2 (x )(x 2 ) x 2 , x { } (x )(x x ) x x : ; : , - .
  28. 28. _______________________________ _____________________________ 116 (2020) .4/26 . : ; ; : . . : ; : ! : . 2 2 2 2 x 3 x 2 x x 2 x 2 x(x ) 2 (x ) (x )(x 2 ) . : . : . : . , 2 5 10 2 7 6 ; : ; : ! - . : ; : ; : … - . . 2 2 7 6 - 2 3 2 , : 2 3 2 7 6 2( 2) ( 2)(2 3) 2 - 2 3 2 : ; : . . - {2} . - 3 2 , , . : . . : - , 5 10 5( 2) . - , : 2 5 10 5( 2) 5 2 7 6 ( 2)(2 3) 2 3 {2}. ; : ; : ! ; : . . : . , , : , - , ; : , 2 3 1 2 . ... ... - ! : . . : 1; : . 2 3 1 1 1 5 . : - . ; : . - 5 1 5 : . : , 2 3 5 4 2 3 5 1 , { 1, 1, 4}. : . : . , .
  29. 29. 116 (2020) .4/27 : … . . 1 A1) 2 , 0,x x 1 2, ,x x : 1 2x x 1 2 .x x 13 2) , , , . a) , : 0 0 0 . b) , , . c) 0, : .x x x d) 0, , . e) 2 , 0x x 1 2, ,x x : 2 1 2 .x x x x x x f) , , , , . 12 1) , 1 3.x 8 B2) , 2 5 0.x x 8 B3) 2 1 1 3 . 5 f x x x x 9 . , , : 3 6 2 2 2. 1) : 2. 8 2) : 3 3 . 2 4 2 x x 8 3) : 11 6 5 2 0.x x x 9 2 5 6 . 2 x x f x x 1) A .f 6 2) : 3, .f x x x A 6 3) .f 6 4) : 2 2 4, .f x x x A 7 2 1) : , , . ; 13 2) , , , . a) 2 , . b) 0, , . c) , ,f x x . d) , x .x e) 2 , 0,x x
  30. 30. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/28 0, 2 2 .x x x f) 2 , 0,x x 0 x . 12 - : 1) 2 3 4 0x x 2 3 4 0.x x 8 2) 2 3 4 0x x 2 3 4 0.x x 8 3) 2 2 3 4 1. 3 4 x x x x 9 2 2 2 1 4 4.x x x x 1) .x 8 2) 0, .x 8 3) 1 2,x : 3 . 9 2 4 4 4 3 , .x x 1) 16 1 3 . 6 2) . 6 3) 1 2,x x 1 2 1 24 4 4 29 0,x x x x : 4. 6 4) 2,999 , 2 4 4 4 3 0.x x 7 1 2) a) b) c) d) e) f) . 1) 2 4x x B2) 0 5x B3) 4,5 1) 1 11 3 62 2 2 2 ... 2) 1 5x x 3) 5 6 2 2 0x x 5 6 6 2 2 2 .x x x 1) 2,2 2) 3,f x x x 3) 3, 0 3, 0 x x f x x x 4) , 2 2, 1 1,2 2,x 2 2) a) b) c) d) e) f) 1) 1 4 , 4 1.x x x B2) 1 1 , 1 1.x x x B3) 0,1 1,x 1). 2 2 1 2x x 2) 3 2 x 3) 1 2x x 1 2.x 1) 2,2 2) 0 1 3 3) 1 2 1 2 4 3 4, . 4 x x x x 4) 1 2,999 3, , .x .
  31. 31. 116 (2020) .4/29 : 1. . ( ). : ) 2 ) ) . : ) . , (1) (2). ( ), (3) (4). (1) (3) 2 . ) (2) (4) : ) 2 . 2 2 2. ˆ ˆ2 90 . ) . ) . ) ˆ 30 . : ) , (1). ) , 1 ˆˆ ˆ2 (2). ( , , ) 1 ˆ ˆ (3) ( – ). 1 ˆ 1 1 1 ˆ ˆ ˆ (4). (2), (3), (4) 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 . . ) ˆ 30 ˆ 60 (5). ( , ) . 3. ( , ) . ˆ 30 . : ) 2 ) ) 3 : ) ˆ 90 ( ) 2 ( ˆ 30 ) 2 2 2 (1) ) ˆ 90 ( ) (2) (3) ( , ˆ 60 ). 2 . . ) (1) (3) . 2 . 3 .
  32. 32. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/30 4. ( , ) . , : ) ) ˆ ) ˆ ˆ90 : ) . (1) ) 1 2 ˆˆ (2). 1 1 ˆˆ (3) ( – (1) ). 1 2 ˆ ˆ ˆ . ) ˆ ˆ2 (4) ( ) 3 ˆˆ (5). 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ180 2 2 180 ˆ ˆ90 5. . ) 2 . ) 2 . ) . . : ) ( , ) 2 . ) , 2 2 2 ) ( ). (1). ( ), (2). (1), (2) . 6. . ) 1 1 1 ˆˆ ˆ . ) ˆ : i) ˆ 45 ii) : ) 1 1 ˆˆ ( ) 1 1 ˆ ˆ ( ). 1 1 1 ˆˆ ˆ (1) ) i) ˆ . ˆ 45 ii) , 1 1 1 ˆ ˆ ˆ (1), (2). 2 1 1 ˆ ˆ ˆ45 45 (3) ˆ 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ45 45 45 (4). (3), (4) 2 ˆ ˆ . , .
  33. 33. 116 (2020) .4/31 1 0 90 0 30 . - . : . , , . . , =2 . . , - 2 . . 0 0 0 0 45 90 45 180 , , , - . . 0 0 30 60 2 . - . : 0 0 0 60 90 150 . 0 0 0 2 150 180 15 . 0 0 0 45 15 30 , - 2 2 . . , 2 2 2 2 . 2 , . , , , , , : = . / / 2 (1). . (1) / / 2 . 2 - 2 . . , . 3 2 . . . , , - : i. . ii. = . iii. = . i. . -
  34. 34. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/32 (1). , (1) 2 . . ii. . 2 2 (2) = , , 2 . (2), = . iii. , , / / / / - , , . = . , , = . 4 ( ,R) . - . , : . - . / / . 0 90 . , , 0 90 / / . - 5 - . 0 30 . . . : i. ii. iii. , . iv. , . i. , 0 90 . - . 0 30 . -
  35. 35. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/33 2 (1). . 2 (2). (1),(2) 4 4 . ii. AEB - . BE AP To K PA , PAB. PK P PK AB. iii. P - . P A,P , . iv. P 0 30 . P PK TK 2 0 60 . 6 , . - = - = . // . . 0 2 180 0 180 2 (1). : 0 180 2 (2). , (1),(2) 0 0 180 2 180 2 . 0 90 . 0 90 . 0 0 90 90 . - (3). (4) . (3),(4) / /
  36. 36. 116 (2020) .4/34 1 ) ) | + | | |+| | , . ; ) i) = = - ii) > <0 < - iii) < > , - iv) <y<0 > - v) =0 =0 =0 - 2 ) : ( ( =1 ) : ( + + ( - )=31 ) ( -1) = -1, . ) i) 2 ii) -2x-15=0 iii) -x-2>0, ) : +2 -8=0 (1) i) : (1) , ii) , . 3 ) (°C) (°F) F= C+32. 41°F 50°F. °C. [ .: 5 c 10] ) 15 . 53 . 15 ; [ .: =25, =585] 4 ) = , y= z= : xyz=1 ) ( +5) -(2 +3) + -1=0, -5 ) : i) 0 ii) iii) 1, 2 ) =-1 = , = , = ) 2 1, 2 1= 2= . 1o 1. . 2. . ( ,R) ( , ) =R+ . . . . . . . . . [15-10 .] 2o < . : ) = ) 2 = - [13-12 .] 3o ( = ) ( , ). : ) ˆ ˆ90 [13 .] ) ˆ ˆ2 [12 .] 4o . ) =2 . ) =2 . ) = . [7-8-10 .]
  37. 37. 116 (2020) .4/35 : - : alog x x= x x log . : log x log x log , ’ : i) 10 : 10log x : log x ii) e : elog x : ln x 1. i) 3 3 32log 12 log 80 log 45 ii) 3log2 2log30 log72 iii) 2 3 4 99log2 log 3 log 4 log 5 log 100 i) 3 3 32log 12 log 80 log 45 4 3 3 3 144 45 log log 81 log 3 4 80 ii) 3 2 log2 log30 log72 3 2 22 30 log log100 log10 2 72 iii) log3 log4 log5 log100 log2 log2 log3 log4 log99 log100 2 . iv) 2. : x x ln(1 e ) ln(1 e ) x x x x x 1 e ln(1 e ) ln(1 e ) ln 1 e x x x x x x 1 e 1 e ln ln lne x 1 e 11 e e 3. : i) x x log(1 5 ) (x 1)log2 ii) lnx x x = lne iii) 4 4 2 2log (log x) log (log x) 1 i) x , : x x x 1 log[10 (1 5 )] log2 x x x 1 10 (1 5 ) 2 x x x x 2 5 (1 5 ) 2 2 x x 5 (1 5 ) 2 . x 5 0 , 2 1 2 2 0 1 2 , 1 x 5 1 x 0 ii) x 0 : ln x x = x . , , lnx lnx =lnx lnx lnx=lnx lnx(lnx 1) 0 ln x 0 ln x 1 x 1 x e , . iii) 4log x 0 x 1 , : 2 4 2 2 2 log (log x) log (log x) 1 log 4 2 4 2 2 log (log x) log (log x) 1 2 2 4 2 2log (log x) 2log (log x) 2 2 2 2 4 2 2 2log (log x) log (log x) log 2 2 2 2 4 2 (log x) log (log x) log 4 2 2 4 (log x) log x 4 2 2 2log x (log x) 2 4 2 2 22log x (log x) . 2log x 2 2 0 2 , 2log x 0 x 1 , 2log x 2 x 4, . 4. f : f(x) ln(1 x) ln(1 x) i) ii) f iii) f iv) f v) f(x) ln(4x 1) i) f 1 x 0 1 x 0 x 1 x 1 1 x 1 A 1,1 ii) 1 2x ,x 1 21 x x 1 1 21 x x 1 1 22 1 x 1 x 0
  38. 38. _______________________________ B ______________________________ 116 (2020) .4/36 1 2ln(1 x ) ln(1 x ) (1) 1 21 x x 1 1 20 1 x 1 x 2 1 2ln(1 x ) ln(1 x ) 1 2ln(1 x ) ln(1 x ) (2) (1), (2) : 1 1 2 2ln(1 x ) ln(1 x ) ln(1 x ) ln(1 x ) 1 2f(x ) f(x ), f iii) x x f ( x) ln(1 x) ln(1 x) = [ln(1 x) ln(1 x)] f (x) , f . iv) f (x) 0 ln(1 x) ln(1 x) 0 ln(1 x) ln(1 x) 1 x 1 x x 0 f (0) 0 f , x 0 f (x) f (0) f (x) 0 x 0 f (x) f (0) f (x) 0 v) x , 4x 1 0 1 x ( ,1) 4 . : ln(1 x) ln(1 x) ln(4x 1) ln(1 x) ln(1 x) ln(4x 1) 1 x (1 x)(4x 1) 2 1 x 4x 1 4x x 2 4x 4x 2 0 2 2x 2x 1 0 , 2 0 , 4 8 12 , 1,2 2 12 2 2 3 1 3 x 4 4 2 , 1 1 3 x 2 2 1 3 x 2 1 2x ,x 1 3 1 3 1 x (( , ) ( , )) ( ,1) 2 2 4 1 3 x ,1 2 ( 1 3 1 2 4 2 2 3 1 2 3 3 12 9 ) 5. f : 2 2 f(x) ln x lnx ln(x 1) ln2 i) x 1 f(x) ln 2 x x ii) f iii) f(x) ln(3x) i) 2 2 x 0 x 0 x 1 0 x 0 x 1, 1,0 0, f (x) ln x 2ln x ln(x 1) ln 2 ln x ln(x 1) ln 2 ln(x 1) ln 2 ln x x 1 ln 2 x , x ii) x 1 f (x) 0 1 2 x x 1 2 x , x 0 x 1 2x x 1 , x ( 1,0) x 1 2x 3x 1 1 x 3 , . iii) x 1 f (x) ln(3x) ln ln3x 2 x x 1 3x x 1 6x x 2 x , x 0 2 2 x 1 6x 6x x 1 0, 25 0 , 1 2 1 5 x ,x 12 , 1 1 x 2 2 1 x 3 , x ( 1,0) 2 x 1 6x 2 6x x 1 0 , 23 0 , . 6. 4 3 2 2 P(x)=x 3x ln 4x ln x 1 , 0 x 1 P(1)=0 2 1 3 ln 4ln =0 2 1 3 ln 4ln =0 , ln 4 0 2 3 4 1 0 1 2 1 3 , ln 1 e 31 ln e 3 7. : 23 log x ln(x 1) 2 e log1,25 log8 x 0 , 2 3 log x 2 (x 1) log(1,25 8) 2 28 x 1 log10 8 x x x x 36 2 1,2 2 6 x 2x 8 0 x 2 x 4( .) x 2( ) 8. f : x f(x) ln(2 e ) i) - 1 4
  39. 39. _______________________________ B ______________________________ 116 (2020) .4/37 ii) f iii) : f(2x) ln7 f(x) iv) f(ln2) f(1) i) x x x ln 22 e 0 e 2 . ( ,ln 2) ii) 1 2x ,x 1 2x x 1 2x x ln 2 e e 2 1 2x x e e 2 1 2x x 2 e 2 e 0 1 2x x ln(2 e ) ln(2 e ) 1 2f (x ) f (x ) f iii) f(2x) ln7 f(x) 2x x ln(2 e ) ln7 ln(2 e ) x e 2x x 2x x 2 e 7(2 e ) e 7e 12 0 2 7 12 0 3 4. x e 3 x ln3 x e 4 x 2ln 2 iv) 2 e ln2 lne ln2 1 f . f ln2 f 1 9. x e 1 f(x) 2e , . 23 ln8 log 100 ln(log0,001) ln4 i) 2x 3 f(x) 2 ii) N : 1 1 f(2x ) f(x) f( ) 0 2 2 i) 2 3 3 2 23 ln 2 log10 ln(log10 ) ln(2 ) 22 3ln 2 ln( 3) 2ln 2 3 2ln2 ln9 2ln2 2ln 2 2ln3 2ln 2 2ln3, ln9 e e 9 x x 8 4 f(x) 18 9 2x 3 2 ii) 1 1 f (2x ) f (x) f ( ) 0 2 2 . 1 2(2x ) 2x 1 23 3 3 0 2 2 2 4x 1 2x 1 3 3 3 0 2 2 2 4x 2x 1 3 2 3 2 0 2 3 2 3 , 2x 3 0 2 , 2 2 2 0 3 3 25 0 2 1 2 3 2 0 2 2 , . 2x 3 3 2 2xln ln 2 2 2 ln 2 x 2(ln3 ln 2) 10. : i) 2x x ln(ln(e 2e 2)) 0 ii) lnx 2 lnx 3 1 lnx lnx 1 i) 2x x e 2e 2 1, x 0, 2x x ln ln(e 2e 2) 0 2x x 2x x ln(e 2e 2) 1 e 2e 2 e 2x x e 2e 2 e = 0 x e 0 , : 4 e 1 0 2 2 2 e 0 1 e 1 0 1 e 1 , x e 1 e 1 x ln(1 e 1 ). ii) : x 0 ln x 1 1 x e , ln x 0 x 1, 1 1 x (0, ) ( ,1) (1, ) e e , ln x 2 ln x 3 1 ln x ln x 1 (lnx 2)(lnx 1) lnx(lnx 3) lnx(lnx 1) 2 2 2ln x 2ln x 2 ln x ln x 2 ln x ln x 2 0 ln x 1 ln x 2 2 1 x e x e 11. 2 4 8 1 1 1 , , log 3 log 3 log 3 . , , 2 4 2 8 2 1 1 log 3 log 3 log 3 , ( ) 2 2 4 2 log 3 log 3 log 3 log 4 2 2 2 8 2 log 3 log 3 log 3 log 8 3 2 2 2 2 2 4 1 3 4 4 log 3 log 3 log 3 log 3 log 3 .
  40. 40. 115 (2020) .3/38 : . , - - , « » . – - . - - . 1 5 , 4 ˆ 60 . 2 8 . 2 , . 3 , , - x y z 4 - 1,5,2 3 , . . . 5 15 3 - . 6 . - .
  41. 41. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 115 (2020) .3/39 7 3, 4 5 . . 8 . - . 9 - . . 10 10 - - . 1 : 2 2 2 2 2 2 5 4 2 5 4 60 1 25 16 40 21 21 2 2 , 6, 2 2 8 6 10 2 2 8 2 68 - : 2 2 2 2 2 2 2 68 8 10 2 10 4,8 3 2 2 x y 9 12 15 - z 108 9 12 z 5 z 5 108 183 x y z 15 5 5 4 AB 5 , 3,5 , 2 2 5 1 24 2 6 6 2 1,5 2,5, 3,5 2 2 2 2 35 25 (3,5) (2,5) 10 10
  42. 42. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 115 (2020) .3/40 2 2 (35 25)(35 25)35 25 6 10 10 1,5 6 2 6 3 4,5 3 6 3 3 6 5 x 2 BZ 9 x 15 x A ABZ ( , 3 ) 2 9 x 15 x 2 2 9 x (15 x) 54 x 5x 15 1 54 ( ) 3 16,2 2 5 6 . 2 , 2 . 6 6180 120 ˆ 60 : 6 6180 120 ˆ 60 2 1 3 ( ) 60 2 4 2 6 6 1 3 3 3 ( ) 6 3 2 2 2 2 2 ( ) 3 3 3 ( ) 2 4 4 2 3 2 7 x,y AK : : 8 x 8 x 8 : 6 y 6 y 6
  43. 43. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 115 (2020) .3/41 - : 8 6 10 4 2 24 48 0 2 12 4 6, 12 4 6 - 2 - - - 2 12 4 6 ( ) 12 4 6 (3 4 5) 4 6 . . 8 : 27 12 3 3 3 2 3 3 6 3 3 3 , 27 3 3 2 2 : 2 2 2 3 3 5(3 3) 3 3 2 (3 3) 2 4 2 3 3 , 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 (3 3 5) 135 . . 9 2 2( ) 1 ( ) 4 , 1 2 2 2 , 3 2 1 2 2 4 2 4 2 2 2 3 6 6 2 12 12 (1 3 4) 4 . 10 x - 10 x 2 : 2 2 2 210 x 10 x x x 4x 60 0 2 H x 6 ( ) x 10 ( ) : 2 ( ) 6 36 . .
  44. 44. 116 (2020) .4/42 : – . 1 . 1 2 2 :C x y 1 2 2 2 :C x 3 y 2 4 ) . ) 1 2K K . ) C1 C2 ( , ), , . ) ( , ), ( C1, C2) - . : ) 1 2 2 :C x y 1, 1K (0,0) 1R 1 . 2C 2K (3,2) 2R 2 . 2 2 1 2 2 1KK 3 2 13 1 R R , . ) 1 2K K , - 1 2K Ky x 1 2K K 2 3 1 2 2 K K : y x 3 . ) 1 2C ,C , , . M M' 1 2C ,C , 1 2AB M M 1 1 2 2 2 : 2 K K : y x 3 C x y 1 3 13 2 13 , 13 13 , 3 13 2 13 , 13 13 . 1 2 min M M AB . ( , ) 3 13 2 13 , 13 13 6 13 4 13 3 ,2 13 13 ) 2 2 2 1 2 C : x 3 y 2 4 2 K K :y x 3 6 13 4 13 6 13 4 13 3 ,2 , 3 ,2 13 13 13 13 . 1 2 max M M ( , ) 3 13 2 13 , 13 13 6 13 4 13 3 ,2 13 13 . 2 . , 2t,t 3 , t , B 1, 2 3 , 1 . i. t R - : x 2y 6 0 . ii. 1 . iii. t AB 2B ; iv. t 2 - 1 : y x 9 2 : y x 1. v. , 1 2 . : i. x 2t y t 3 . : x 2t x 2t x 2y 6 0 y t 3 2y 2t 6 : x 2y 6 0 . ii. B , - . B 1 2 2 6 0 2 3 3 2 1 6 0 2 1
  45. 45. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 116 (2020) .4/43 1. iii. 2t, t 2, 1 . 2 2t, t 4, 2 t 2 . iv. t 2 A 4,5 . , , - , 1 2 45 135 . 1 45 1 2 135 1. : 1 : y 5 1 x 4 y x 9 2 : y 5 1 x 4 y x 1. v. 2 1 1 2 : 2 2 4 2 2 2 4 1 , . 3 . : 2 3 x 1 y 3 2 0 . i. R . ii. K , . iii. - C . iv. C . v. 1 x'x 1 : x 1 . : i. 3 2 3 0 2 1 0 1. x y , - R . ii. 0 1 :3x y 2 0, 1 2 :x 2y 1 0 . K 1,1 . - K - 2 3 1 1 1 3 2 ... 0 . . iii. 1 : d O, 1 2 2 2 3 0 1 0 3 2 1 2 3 1 2 2 3 2 5 10 10 4 2 6 0 2 3 2 3 0 1 2 1 :x 1 2 : y 1. iv. K OK 2 1 , K . v. 1C o ox ,y 1 . - x'x 1 :x 1 - : o o ox 1 x 2 x 2 o o oy y 1 y 1 : 2 2 1C : x 2 y 1 1, 2 2 2C : x 2 y 1 1 2 2 3C : x 2 y 1 1, 2 2 4C : x 2 y 1 1 4 . 2 2 x y (3k 2)x (2 4k)y 27 k 0 , (1) k . ) k . ) - . ) , (1), k. : ) (1) : 2 2 A B 4 0
  46. 46. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 116 (2020) .4/44 2 2 3 2 2 4 4 27 0 2 2 9 12 4 4 16 16 108 4 0 2 25 100 0 2 25 4 0 2 4 2 2. ) 2 2 A B K , 2 2 3 2 K , 2 1 2 2 2 2 A B 4 5 4 2 2 . ) K x,y : 3 2 2x 3 2x 2 y 2 1 y 2 1 4x 6 4 1 3y 6 3 2 (1) (2) : 4x 3y 7 (3). 2 3 6 3 2 4 3 2 2 2 3 2 2 x 2 2 2 3 6 3 2 8 3 2 4 2 3 2 4 x 4 2 x 2 (3) y 5 x 4 (3) y 3 . - : 4x 3y 7 , M 2, 5 x 2 - : 4x 3y 7 , N 4,3 x 4 - M N . 5 . : 2 2 2 x + 2 x 2( 1) + ( 1) = 0 (1) ) R - (1) . ) - , ( ): 3x + 4 - 8 = 0 . : ) 2 2 2 2 2 A B 4 4 4( 1) 4( 1) 2 4 0 . 0 - 0, 1 . 0 , 1 . 2 2 2 A B 4 4 R 2 2 . ) (1) ( ) 2 2 3 4( 1) 8 d(K,( )) R 3 4 7 12 7 12 5 5 6 1. 6 2 2 6(C ): x 12x 10 25 0 , = 1 2 2 1(C ):x 2x 0 6 . B 1,1 , 2x y 5 0 x y 1 0. : i. . ii. . iii. - . iv. . v. . : i. 2 , 1 2 . 1 :y 1 x 1 x 2y 3 0 2 . ii. A A . 2x y 5 0 x,y 2,1 x y 1 0 , A 2,1 . . 2x y 5 0 7 11 x,y , x 2y 3 0 5 5 , 7 11 , 5 5 . iii. - . A O x x 17 x 2 10 , A O y y 16 y 2 10 , 17 16 O , 10 10 . O BE : B E O E x x 22 x x 2 5 B E O E y y 11 y y 2 5 , 22 11 E , 5 5 . iv. . 3,0 3 6 , 5 5 , 3 0 1 9 . .3 6 2 5 5 5 18 . . 5
  47. 47. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 116 (2020) .4/45 v. . : Ax x 4 x x 2 5 Ay y 17 y y 2 5 , 4 17 , 5 5 . 7 . 2 2 2 25 x y 3 4 x 4 3 y 0 4 1 , , . A. 1 . B. : i. ii. iii. u 3 4 v 4 3 . : . 2 2 2 2 2 25 4 3 4 4 3 4 4 2 2 2 2 3 4 4 3 25 25 0 , . 3 4 4 3 , 2 2 2 25 5 2 2 . . i. : 3 4 3 4 5 ... 2 2 2 2 2 16 24 16 0 2 2 2 3 2 0 1 4 3 4 3 5 ... 2 2 2 2 2 9 24 9 0 2 2 3 8 3 0 2 1 2 : 2 2 3 2 2 2 2 3 2 0 3 8 3 0 2 2 2 2 6 9 6 0 6 16 6 0 25 0 0 - . ii. 1 2 : 2 2 8 2 2 3 2 3 2 0 3 8 3 0 2 2 2 2 16 24 16 0 9 24 9 0 2 2 2 2 25 25 0 iii. : u v 3 4 4 3 ... 2 2 12 0 , , u v . 8 . , 2 y 2px , . x'x AB , . - : (A ) (B ) : 2 C: y 2px . , A AA(x ,y ) B BB(x ,y ) 2 B By 2px 2 A Ay 2px A Bx x . A Bx x - 1 A A: y y p (x x ) 2 B B: y y p (x x ) o o(x ,y ) : o B o By y p (x x ) o A o Ay y p (x x ) , o o: y y p (x x) - B A AB B A B A o y y 2p p x x y y y B A o y y y 2 oy y AB , .
  48. 48. 115 (2020) .4/46 : … 1. ; . , f R f 0 0 . . f R f x 0 x R . : 2. « x 1 ,x 1 f (x) x 1 ,x 1 ». . 3. f ; 4. « 1 f(x) x ». . 5. « A 1,5 B 3,3 , f ». . 6. 1 2x x 6 3 1 2x x ; . 7. : x ,x 0, 3 2 3 x 2 ; . 8. x e ln x . ; : « x 1,2 x ln x x e ». ; : , , B 2 (1,0), (0,1) . 1. : 2 2. : 1 2 2 2 3. : 1 1 2 2 2 4. 1 f( ) 2 2 , g( ) 1 2 , . : 1. x AM , M . 2. : 2 2 x ,0 x 1 (x) x 8x 4 ,1 x 4 3 « ». : x,0 x 1 f (x) 4 12 3x,1 x 4 3. , , f x ,E x . 4. I. f 0,1 . f 1,4 5. - , E x y x . ,
  49. 49. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 115 (2020) .4/47 , , f x . ; 1 , 2 : 1 2 2 2 2 2 1 1 3 5 106 3 5 152 2 2 2 1 2 1 , : 2 f( ) ln( 1) , : 2 4 3 2 1 P(x) ( )x ln(e )x 1 2 2 2 lna ( )x (e 1)x ln1 1 1. f 2. f 0 . 3. f ( ) 0, 0 . 4. 0 5. 6. 3 2 P(x) x x x 1 7. : . P( ) 1, [0, ) 1 2 . 2 P( ) 1 2 x x 1 2 2 2x 1, x (0, ) 2 , . 1. . f , x R f x f x , x 0 f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0 . . f x R f (x) f ( x) f (x) f ( x) 2f (x) 0 f (x) 0 2. . , 1 1, , x A x A . x 1 x 1, f x x 1 f ( x) ( x) 1 x 1 f (x) x 1 x 1, f x x 1 f x x 1 x 1 f (x) x A : f x f(x) , . 3. . . fA ( ,0) (0, ) , f 1A ( ,0) 2A (0, ) . 1 2 1x ,x A 1 2x x 1 2 1 1 x x , 1f A . 1 2 2x ,x A 1 2x x 2f A . 1 2x 0 x 1 2 1 1 0 x x 1 2f (x ) f (x ) f ! f ( ) , 1A , 2A . . . f . 4. . . x , 6 3 5. . . 1 x 1 1 3 6. x ln x 1,2 1 x 2 e 1,2 1 x 2 ln1 ln x ln 2 1 x 2 e e e < < x 2 0 lnx ln2 lne 1 2 e e e 2 e ln 2 lne x lnx 1 x 2 e x lnx x e x [1,2], 1. ( ) 2 2 2 ( ) 1 2 2. 2 2 2 1 2 , 1 2 2 2 3. 1 : 1 1 1 2 2 2 2 2 : 1 2 1 2 2 2 : 1 1 2 1 2 2 1 2 (1 2 ) 2
  50. 50. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 115 (2020) .4/48 3 : 2 , , , 2 . 1 1 1 1 1 90 2 2 2 2 2 1 2 2 2 . : 1 2 1 2 2 4. 1 2 2 f 2 , 2 2 . : f 0, 2 f , 2 g( ) 1 2 , . g 0, 4 , 3 , 4 3 , 4 4 . 1. 0 x 1 , : x 2x, 1 2 21 x x 2x x ,0 x 1 2 1 ( ) 1 2 1 2 1 x 4: ( ) ( ) 2 x 1, : 3 2 3 3 x 1 4 x 2 2 3 3 x 1, 2 . : 4 x 2 2 x 1 3 2 4 x 7 x 1 x 1 x 1 3 3 2 3 8x x 7 . 2 x 8x 7 3 : 2 x 8x 7 x 1 3 2 x 8x 4 ,1 x 4 3 . 2 2 x ,0 x 1 E x x 8x 4 ,1 x 4 3 2. : 1 2x ,x 0,1 2 2 1 2 1 2x x x x 1 2 )x (x 1 2x ,x 1,4 1 2x x 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x 8x 8x 8x 4 8x 4 2 2 1 1 2 2x 8x 4 x 8x 4 2 2 1 1 2 2 1 2 x 8x 4 x 8x 4 (x ) (x ) 3 3 1x 0,1 2x 1,4 1 2x x : 2 1 1 1x 0,1 :0 x 1 0 x 1 10 (x ) 1 2 2 2 2 2 1 8 4 x 1,4 : x x x 3 3 3 , 1 0 3 ( 4, 4) 2 4 2 x 8x 4 x 3 ,4 4, . 1,4 E x 2 21 x 4 1 x 4 21 x 4 1 20 (x ) 1 x 4 . 1 2 )x (x . 1 2x ,x 0,4 1 2x x 1 2 )x (x , « ».
  51. 51. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 115 (2020) .4/49 3. 0 x 1: 2 4 3 x x x x x x 1 0 x 0 0,1 x 1 (0,1] , A 1,1 . 2 x 8x 41 4 12 3 3 4 xx : 2 x 8x 4 12 3 12 3x 2 x 4 3 12 3x 4 x 4 27 x 4 0 x 4 4,4 x 1 1,4 . 4. . f 0,1 . f 1,4 . 5. , , , x . : 1 E x ,f x y x . 2 f x E x y x . 1. 2 2 0 1 1 2 2 1 1 0. R 2. 1 2, 0, 1 2 1 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2... f f ( ), f 0, 3. 2 f( ) 0 ln( 1) ln1 2 1 1 1 0 2 2 0 1 2 1 0 1 f 0, 0 . 4. 2 2 2 2 1 1 3 5 106 25 : 1 1 3 5 152 3 5 5. 2 2 2 2 25 3 5 25 106 5 3 3 5 15 152 2 2 3 5 : 25 25 106 2 5 3 15 152 , : 0 6. 2 2 2( 0) 2 7. : 2 2 2 2 1 1 0 1 1 ln e ln e 0 lne 1 2 2 2 2 1 lna e 1 1 1 ln1 1 0 1 1 : 4 3 2 P(x) 0x 1x 1x 1x 1 8. . 1 11 0 1 0, 2 3 2 1 1 0 1 3 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 1 . 0 . 0: P( ) 1 1 1 0 , : 2 2 2 x x 1 2 2x 1 2 2 2 x x 1 2x 1 x 0, 2 2 2 2 4 x x 1 2x 1 0 x 1 0 x 1 2 2 2 2 4 x x 4 x (2 x x) 1 0 x 1 0 x 1 2 4 x 1 x 30 x 1
  52. 52. 116 (2020) .4/50 T : 1 2 f : , 2 0 ,0 0, 2 2 x : 0 2 2 0 0 0 x x 0 x f x x f x lim x 1 x x : 1. 2 x f x x 1 , ,0 0 2 2 x , . 2. 2 x x , x ,0 0, f x 2 2x 0 , x 0 . 3. f 4. f . 5. x 1 2 f x lim , 0,1 1 1 f x f x 2 2 . 1. 2 A x x f x , x , 2 2 , 2 2 , . 0 ,0 0, 2 2 x : 0 2 0 2 2 0 0 0 x x 0 A x x f x 0 0 x x 0 x f x x f x lim x 1 x x A x A x lim x 1 x x A ,0 0, 2 2 A x x 1 2 x f x x 1, x ,0 0, 2 2 . 2. x ,0 0, 2 2 : 2 x f x x x 2 , 2 A x x 2 f x , x B x x x , , 2 2 x ,0 , 0, 2 2 , 1 2c ,c , : 2 1 2 2 x f x x x c ,x ,0 2 x f x x x c ,x 0, 2 x 0 : 2 1 1 2 2 2 0 f 0 0 0 c c 0 0 f 0 0 0 c c 0 2 2 x f x x x,x ,0 2 x f x x x,x 0, 2 2 x f x x x,x , 2 2 2 x x f x , x ,0 0, x 2 2 f 0x 0 : x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 0 0 2 2D.L.H 0 0 D.L.H x xx x f 0 f x x x x 1 xx 1 0 2x 22x lim lim lim lim lim lim 2 x x , x ,0 0, f x x 2 2 0, x 0
  53. 53. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/51 3. x ,0 0, 2 2 : 2 4 2 2 2 4 4 3 x 1 x x x 2x f x x x x x 2x x 2x x x x x x 2 x 2x x x x x 2 x x 0x 0 : x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 2 3 0 0 0 0 2 3 2D.L.H D.L.H x x 0f x f 0 x xx x 0 x x x x x 1x 1 3xx 3x x 1 x 1 1 1 . 6x 6 x 6 6 lim lim lim lim lim lim lim lim 3 x x x 2 x , x ,0 0, 2 2x f x 1 , x 0 6 4. x ,0 0, 2 2 : 3 3 g xx x x 2 x f x x x g : , , 2 2 g x x x x 2 x g 0 0 x , 2 2 , g x x x x 1 2 x x x x 1. g 0 0 g x x x x x x x g 0 0, g 0 2 g 0 2 . x ,0 2 , x 0 x 0 x 0 , x x 0 g (x) 0 x 0, 2 , x 0 x 0 x 0 , x x 0 g x 0 g g x 2 0 2 g x g . . 1 . . 2 . . 1 2 1 2 g 0 0 g x ,0 0, 2 2 g , 2 2 , g : ,0 2 0, , 2 g 0x 0 , g 0 0. x , 2 2 : g x g 0 0 x 0 .
  54. 54. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/52 x ,0 0, 2 2 g x 0 g 0x 0 , g , 2 2 . x ,0 2 : g , 2 2 x 0 2 3 x 0 3 g x g x g 0 0 0 f x 0 x x 0, 2 : g , 2 2 x 0 2 3 x 0 3 g x g x g 0 0 0 f x 0 x x ,0 0, 2 2 f x 0 f 0x 0, f , 2 2 . f , 2 2 x , 2 2 f f x f 2 2 , f 2x 2 2 2 2 2 2 1 4 22 2 2 2f 2 4 42 1x 2 2 2 2 2 2 1 2 42 2 2 2f 2 4 42 5. x 1 x f : x 1 lim x limf x lim f f 0 0,1 f , 2 2 0 f f 0 f 0 2 . , : f : 2 x 1 1 1 1 1 lim f x f x f 1 f 1 0 2 2 2 2 , 0. 0 21 1 f x f x 2 2 0x 1, x 1. : x 1 0 2 2 1 1 x 1 x x x x 2 2 2 f , 2 2 2 1 1 x , x , 2 2 2 2 1 1 f x f x 2 2 2 21 1 f x f x 0 2 2 , 2 x 1 1 1 lim f x f x 0 2 2 , 1 0 x 1 2 1 lim 1 1 f x f x 2 2 , x 1 2 f x lim 1 1 f x f x 2 2 f f 0x 1 2 1 lim f x 1 1 f x f x 2 2 2 f : , f 0 0 . f . 1. x 2 3x 1 .
  55. 55. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/53 2. f , , fC . 3. f * f x x , f ,f , 0 2 ,f 2 . 4. 3 f x x ,x . 5. ,f 3 y x ,x 1 , 1,1 . , t t t , t B fC ,f x, 0t 3 sec. 6. ( ) fC 1,f 1 f ,0 , x. 1. : 1 3x 1 0 x . 3 1 x , 3 : x x 3x 1 0 2 2 3x 1, , 1 , 3 , x 2 3x 1 . 1 x 3 : x g x 02 3x 1 1 1 x x 3 3 , x 1 g x 2 3x 1 , x , 3 . g 1 2 3 1 0 3 g 3 2 3 3 1 0 . 1 x , 3 x g x 2 ln 2 3 2x g x 2 ln 2 0 . g x 0 1 2 3 1 , , , , 3 1 2 3 g 1 2, 2 3, . g 1 2, 2 3, x g x 2 ln 2 3. 1 2g g 2 3g g g Rolle 1 2, 2 3, , 1 1 2, 2 2 3, 1g 0 2g 0 . g 1 2, g 1 2, 2x g x 2 ln 2 1 2g g 0 g Rolle 1 2, , 1 2, g 0 , 2x g x 2 ln 2 0 1 x 3 . g x 0, x 2 3x 1, , , 1x 1 2x 3. 2. * x f x 0 f , f ( ) . f ,0 0, . : x 0 f x 2 1 f 4 . . 3
  56. 56. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/54 f f ,0 0, , f 0x 0, fC M 0,f 0 ( f 0 0 ). M 0,0 fC . 3. f fC M ,f 2 ,f 2 : f 2 f f f 2 1 12 2 3 3 0 2 3 2 1 3 3 1 2 : 1 . , 2 2 1 : 1 3 1 2 g 0 3 ( 1) 1, f x x , x f x 1 , fC : y 1 , . 3 3 f x x , x . 4. t 0, t t , : t t c e , t 0, . 0 1 c 1 1 c 1, t t e ,t 0. x 1, 2 f x 3x , 3 A , : : y f f x 3 2 2 3 y 3 x y 3 x 2 , ,0 , : 2 3 2 0 3 2 3 . t , t : t t e t2 2 t t t e 3 3 . t 0, , , t, t t2 2 t e e . ./ sec 3 3 , , 0t 3 sec, 32 3 e . ./ sec 3 . 5. x 2 f x 3x , fC f 1,f 1 , : y f 1 f 1 x 1 . : f 1 1 2 f 1 3 1 3, y 1 3 x 1 y 3x 2. : y 3x 2 . : 3 f x x , x ,0 h x 3x 2,x ( h : y 3x 2 fC ) x 0,x ( : y 0,( x x) ) : f x h x , x ,0 . : 3 3 f x h x x 3x 2 x 3x 2 0 x ,0 x ,0x ,0 3 3 x 3x 2 0 x 4x x 2 0 x ,0 x ,0 2 x x 4 x 2 0 x ,0 x x 2 x 2 x 2 0 x ,0 x 2 x x 2 1 0 x ,0
  57. 57. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/55 2 x 2 x 2x 1 0 x ,0 x 2, x 1 x 2 x ,0 f ,h , 2, 8 . : h x x ,x . : 2 h x x 3x 2 0 x 3 . h, 2 ,0 3 . : f x x , x ,0 . : 3 f x x x 0 x 0. f, 0,0 . , f,h, 6. f hC ,C ,C : 1 2 , 1 1 h fC , C x 2 x 0 2 2 hC , C 2 x 0 x . 3 : 0 1 2 f x h x dx 0 3 2 x 3x 2 dx 0 4 2 2 1 3 x x 2x 4 2 4 24 21 3 1 3 0 0 0 2 2 2 2 4 2 4 2 0 4 6 4 6 . . 2/3 2 0 x h x dx 2/32/3 2 00 3 0 3x 2 dx x 2x 2 2 2 2 3 2 2 3 4 2 2 2 0 0 . . 2 3 3 2 3 3 3 , 1 2 2 20 6 . 3 3 3 : 1 x e , x 0 f x 0 , x 0 1 , 0 x 1 lnx 1. f ,1 . 2. f. 3. f , , . f . 4. f f 1 f . 5. fC , x x 1 : x 1, 2 1 : x e 2 e . .
  58. 58. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/56 1. x ,0 1 x f x e , f ,0 , . x 0,1 1 f x ln x , f 0,1 , . : 1 x 0 x 0 1 lim f x lim 0 ln x x 0 1 y1 x yx y1x 0 x 0 lim x lim f x lim e lim e 0 f 0 0 , x 0x 0 x 0 lim f x lim f x 0 limf x 0 , x 0 limf x f 0 , f 0x 0. f ,1 . 2. : x ,0 , 1 1 1 x x x 2 1 1 f x e e e x x x 0,1 , 2 2 1 1 1 f x ln x ln x ln x x ln x x 0 x 0 x 0 1 f x f 0 1ln xlim lim lim x 0 x x ln x 2 D.L.H.x 0 x 0 x 0 x 0 1 11 1xx xlim lim lim lim 1ln x xln x x f 0x 0 . 1 x 2 2 1 e , x 0 xf x 1 , 0 x 1 x ln x . : x ,0 , 1 1 1 2x x x 2 2 1 1 f x e x e e x x 1 1 1 1 3 x x x x 2 3 2 2 1 1 2 1 1 2x e e e e xx x x x 1 1 1 x x x 3 4 3 4 2 1 1 1 2x 1 e e 2 e xx x x x x 0,1 , 2 22 2 1 1 f x xln x xln x xln x 2 2 22 1 x ln x x ln x x ln x 2 22 1 1 ln x x 2ln x xx ln x 2 22 1 ln x 2ln x x ln x 1 x 4 2 22 2x 1 e , x 0 x f x ln x 2lnx ,0 x 1 xln x . 3. 1 x 2 2 1 e , x 0 xf x 1 , 0 x 1 x ln x . : x ,0 , 1 x 2 1 f x e 0 x x 0,1 , 2 1 f x 0 xln x f 0, f ,1 . 1 x 4 2 22 2x 1 e , x 0 x f x ln x 2lnx ,0 x 1 xln x . x ,0 : 1 x 4 2x 1 f x e x :
  59. 59. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/57 1 x 4 2x 1 1e 0f x 0 xx 2x 0 x 0 1 x 4 2x 1 1e 0f x 0 x 0x 2x 0 x 0 1 x 4 2x 1 1e 0f x 0 xx 2x 0 x 0 x 0,1 : 22 ln x ln x 2 f x xln x . 22 x ln x 0 x 0,1 lnx: 0, x 1 lnx 0 1 ln x 2 2 ln x 2 0 ln x 2 e e x e x e : 0, lnx 2 2 lnx 2 0 lnx 2 e e x e 1 2 ln x 2 0 0 x e x 0 2 e 1 ln x ln x 2 f x 0 2 x 0,e f x 0 2 x e ,1 . f x f . x 1/ 2 0 2 e 1 f x f x 4 3 3 4 f : f 1 , 2 2 e ,1 f 21 ,0 , 0,e 2 f 1 1 x 2 2 2x e 1 1 22 1 f e e 2 2 2 1 1 f e 2ln e fC : 21 A ,e 2 2 1 B e , 2 . : f ,1 . 1 0 x 1 x 1 1 lim f x lim ln x , x 1 fC . 1 x x x lim f x lim e 1, y 1 fC . f 1, 2 , 3 x 1 / 2 0 2 e 1 f x f x f x 8 2 e 7 7 1 / 2 8 fC . 4. f 1 1 , fD ,1 , f 1 x y O 1
  60. 60. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/58 1 f f ,1 f . x 1 lim f x x lim f x 1, , ,1 , f xx 1 f ,1 lim f x , lim f x ,1 . 1 f f x y , x , fx D ,1 1 f y D f ,1 ,1 . x ,0 1 x f x e f : ,0 f ,0 xx 0 f ,0 lim f x , lim f x 0,1 2 : 1 x f x y e yx ,0 x 0, y 0,1 y f ,0 0,1 11 xln y ln yx x 0, y 0,1 y 0,1 x 0,1 1 f x , ln x f : 0,1 f 0,1 x 1 x 0 f 0,1 limf x , lim f x ,0 2 : f x y 1 y x 0,1 ln x x 0,1 ,y ,0y f 0,1 ,0 1 y 1 ln x x ey y ,0x 0,1 ,y ,0 f 0 0, 1 f 0 0. : 1 1 y 1 , y 0,1 ln y f y 0 , y 0 e , y 0 . f : 1 1 1 x 1 ,x 0,1 lnx f : ,1 , f x 0 ,x 0 e ,x 0 1 f f . 5. fC , x x 1 : x 1, 2 1 : x e 1 1 0e e 1 1 0 1 0 ef x 0 x 1,0 1 f x 0 x 0, 1 0 e 1 0 e 1 0 E f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx. . x 1,0 : f ,1 1 1 x 0 f 1 f x f 0 e f x 0 2 1 f x , e 1 f x e x 1, : 0 0 0 1 1 1 1 1 1 f x dx dx x e e e 0 1 1 f x dx : 1 e 1 x 0, e : f ,1 1 1 1 0 x f 0 f x f e e 1 1 0 f x 1 f x 1 1 ln eln e 2 f x 1 1 x e , :
  61. 61. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/59 11 1 ee e 00 0 1 1 e e 0 0 1 f x dx 1 dx x e 1 1 f x dx f x dx : 2 e e 1 2 1 0 e 1 0 1 1 2 2 f x dx f x dx E . . e e e e 4 f : 0, : f 0 0 2 x f x x x lim 1 x 1 . 1. 2 f x x , x 0, . 2. ,f , 0 , :y x 1 . 3. fC y x 1 , x 0 x 1, 1. 0y y 2. y kx . 1. 2 f x x x g x ,x 0, , x 1 2 f 0 0 0 0 g 0 0 0 1 1 x lim g x 1. . x x 1, x . 2 A x f x x x 1 1 1 0x x ... x , 0, ,x x ( A x , A x 0 , g x 0 x x lim g x lim 0 0 1, ). 2 x x f x x x lim g x lim x 1 1 11 0 x x x x x ... x lim lim lim x x 1 x : 1 1 0 , 1 x x x , 0x lim g x lim lim x , 0x , x lim g x 1. 1 0 ( N ), 0 0 0 x x x x lim g x lim lim 0 x x . , x lim g x 1. 1. 1, : 1 1 1 x x x lim g x 1 lim 1 1 x , 2 0 0 2 0 A x x f x x x x f x x . , 2 0 0f 0 0 0 0 0 . 2 f x x ,x 0, . 2. : 1 2 , : d , :x y 1 0 2 22 1f 1 21 1 2 2 B Bx x y y 1 1 2
  62. 62. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/60 2 21 1 1 1 2 2 2 1 0 3 0 21 1 2 0 1 1 2 1 2 2 . : 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 E 0, : 1 0, 2 , 1 , 2 , 0 1 x 2 , 2 1 1 1 1 3 1 . . 2 2 2 2 8 0 1 1 ,f 2 2 0 1 1 , . 2 4 3. To : f y x 1 x 0 , x 1 : 2 1 1 2 0 0 x x 1 0 13 0 2 0 f x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx 13 2 0 x x 1 1 5 x 1 . . 3 2 3 2 6 1. , 1 1 1 O 1 1 2 2 2 . 1 5 O 2 2 12 , x x . ( ) 0y y x x 01 y 0 . 0y y y y , 00,y . M 0y y , y x 1, : 0 00 0 0 0 0 y y y yy y M y 1,y y x 1 x y 1y x 1
  63. 63. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/61 1E , , : 1 0 0 1 1 E y 1 y 1 2 2 2 2 0 0 1 1 y 1 y 1 2 2 . 0y 1,0 1 E E 2 . : 2 2 1 0 0 E 1 1 5 5 E y 1 y 1 2 2 2 6 6 0 0 5 5 y 1 y 1 6 6 0 0 5 5 y 1 y 1 6 6 0 5 y 1 1,0 6 , 0 5 y 1 1,0 6 . fC y x 1, x 0 x 1, 5 y 1 6 . 2. O 2 , y kx x x . k 0 . y kx y x 1 : k 1 1 y 1 y x 1 1 k y kx kx x 1 1 x 1 k 1 y 1 x , 1 1 1 k 1 k 1 d ,y y 1 , 2 . : E 1 5 d , y y 2 2 12 1 1 5 6 6 1 1 1 1 2 1 12 5 5 5 1 y x 5 fC y x 1, x 0 x 1, . 5 f : 0, , 0,
  64. 64. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/62 , , , . 1. , fC . 2 4 cm . 2. , 2 2 16 P , 0. 3. i. , 2 2 16 P x x , x 0 x , . ii. x OB OAB , OA,OB . ; 4. P. 5. : 4 4 P P ,x 0,1 x 1 e . 1. fC 0, O , O , A , , , x 0, : 0 f x : 1 . OB , y x, . OB , 0 , : y x . fC OB 0x 0, f x x f x x 0 g x 0 . g x f x x, x 0, . g 0, , . , g 0 f 0 0, 1 g f f 0, 1 , g 0 g 0 g Bolzano 0, , 0x 0, 0g x 0. fC OB 0x 0, . 2. O 2 4 cm : 4 4 4 O 2 2 B O B OOB x x y y 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 4 16 . 2 2 16 P , 0 O 0 . 3. i. 0 , 2 2 16 P 3 2 2 1 2 32 16 2 4 3 2 2 1 16 16 : P 0 0 4 16 0 2 x y O A( , 0) (0, ) ( , )
  65. 65. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/63 0 2 2 P 0 0 2 P 0,2 , 2, , 0 2, 2 2 16 P 2 2 8 2 2 2 . ii. (E3i.) O 2 : min OB 2 2 . 2 4 4 2 2 , 2 . , 2 2 , O . 4. P 0, P , PC 1 : x 0 . 2 2 x 0 x 0 16 lim P x lim x x 1 : x 0 PC . y x , , . 2 2 2 x x x x 02 4 x x 16 16 x x 1 P x x xlim lim lim x x x 4 4x 16 x 1 16x lim lim 1 1 0 1 x x . 1. 2 2x x 16 lim P x x lim x x x 2 2 2 2 2 2 2 x x 2 2 2 4 16 16x x x xx xlim lim 16 16 x x x 1 x x x 2 x x x x 0 2 2 x x 4 4 16 16 x xlim lim 16 16 x 1 x x 1 1 x x 3x 4 16 1 1 lim 0 0 2x 16 1 1 x 0 . 2 : y x PC . 5. 0,1 4 4 P P x 1 e . 1 1 0 x 1 1 x 1 2 1 x 1 2 1 1 4 1 2 4 2 x 1 x 1 , 4 2, x 1 . 2 2 2 2 2 2 4 4 16 16 16 16 e e 16e e e e4 ee , e 2, : 4 P P e e 4 4 4 P P P P e x 1 e x 1 x 0,1 x 0,1 4 ,e 2, x 1 P 2, 44 x 1e ex 1 x 0,1 x 0,1 1 4 x 1 4 e e x , 1 e x 0,1 4 e x , 1 e
  66. 66. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/64 : 1 f,g,G: 1,2 h: 1,2 : f , 1,2 . g . G g. f(x) - f(1) h(x) = x-1 . : i) f(x) - f(1) f (x) > x-1 , x 1,2 . ii) h 1,2 . iii) f(x) (f(2) - f(1))(x-1) + f(1) , x 1,2 iv) 2 1 f(1)+f(2) f(x)dx< 2 v) 2 2 1 1 (2x-3)g(x)dx=G(1)+G(2)-2 G(x)dx . vi) 2 1 (2x-3)g(x)dx>0 . i) 1 x 2 . f - 1,x , f(x)-f(1) f( )= x-1 f , f´ - 1,2 : ii) h 2 f (x)(x-1) - (f(x) - f(1)) h (x) = , x 1,2 (x-1) (i) : f x x 1 f x f 1 0, x 1,2 h (x) > 0, x 1,2 h 1,2 , 1,2 . iii) x=1 x=2 . h 1,2 , : 1< x < 2 h(x) < h(2) f(x) < (f(2)-f(1))(x-1)+f(1). iv) (iii) 1,2 , : 2 2 1 1 f(x)dx < [(f(2) - f(1))(x-1) + f(1)]dx 2 2 1 1 = (f(2) - f(1)) (x-1)dx+ f(1)dx 22 1 x = (f(2) - f(1)) - x + f(1) 2 (f(2) - f(1)) f(1) + f(2) = + f(1) = 2 2 . v) G'(x)=g(x) x 1,2 , : 2 2 1 1 (2x-3)g(x)dx = (2x-3)G (x)dx 22 1 1 = (2x-3)G(x) -2 G(x)dx 2 1 =G(1)+G(2)-2 G(x)dx . vi) G'=g g , G . (iv) : 2 1 G(1) + G(2) G(x)dx < 2 2 1 G(1)+G(2)-2 G(x)dx >0 (v) 2 1 (2x-3)g(x)dx > 0 . 2 f: . i) 0x 0f (x ) = 0 . ii) f 0x . iii) , 0< x < , - fC ( ,f( )) ( ,f( )), : x - lim f(x)=+ x lim f(x)=+ iv) f(x+ 2020) = f(x) . i) f , 1 2f(x ) = f(x ) . 1 2x x . f , - Rolle 1 2x ,x . 0 1 2x x ,x 0f (x ) = 0 . ii) H f f - . , 0 0x < x f (x) < f (x ) = 0 0 0x > x f (x) > f (x ) = 0 f 0x , - 0x . iii) A B fC
  67. 67. _______________________________ ______________________________ 116 (2020) .4/65 : f : (1) (2). , , , . (1) (2) . iv) . g . - (ii) f 0,x 0x , . : Bolzano, . g , , , : . g g(x) = 0 , , f(x+ 2020) f(x) . : (iv) f(x+ 2020) f(x), f . . . - , . † , 4 2020. , 1970 1972. † , 17 2020. . . . . . † , 27 2020. . . , , . . . . 4 , , . , , .
  68. 68. 116 (2020) .4/66 Ky Fan , , , 2019. , . ( .112) - Jensen. : - f I , : 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf x x x f x f x f x 1 1 2 nx ,x , ,x I 1 2 n, , , 1 2 n 1. (1) 1 2 nx x x f - . , Jensen Ky Fan (1914-2010) , - Santa Barbara ( . . ). , , 1961 Beck- enbach E.F, Bellman R. “Inequalities” Berlin, Springer 1961 : 1 2 na ,a , ,a n 2 1 0, 2 . 1 2 n n a a a A n 1 n n 1 2 nG a a a . : 1 2 n n 1 a 1 a 1 a A n 1 n n 1 2 nG 1 a 1 a 1 a 1 2 n1 a ,1 a , ,1 a . Ky Fan 1 2 na ,a , ,a : n n n n G A G A 1 2 na a a f 1 x f x ln x . . 1 0, 2 , 22 1 2x f x 0 x 1 x 1 x 0, 2 . Jensen - * 1 2 n 1 , n n 1 2 n 1 x ,x , ,x 0, 2 . ’ 1 2 n1 2 n f x f x f xx x x f n n 1 2 n 1 x ,x , ,x 0, 2 , : 1 1 2 n n 1 2 n 1 1 2 nn 1 2 n x x x x x x n 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x n n n n n G A G A - 1 2 nx x x f . Ky Fan 1. 1 a , b 0, 2 , 2 2 1 a 1 ba b a b 2 a b 2 2 a ba b 1 a 1 b 2 a b
  69. 69. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/67 Ky Fan a 2. 2 2 2 x 1x x x 1 3x 2x 3 [0, ) 0 - . 2 x x 1 . 2 x 1 0 x 1 2 , - Ky Fan : 2 2 2 22 2 2 2 x x 2 x 1 2 x 1G x G x x 11 x x x 1 1 2 x 1 2 x 1 2 2 2 x 1x x x 1 3x 2x 3 , - : 2 x 1 x 1 x 1 2 : x 1. 3. x , 3 2 - 2 2 2 x 2 x 2 xx 1 x x 2 2 : , 2 2 x 1 2x 2 2 22 x x x x 1 1 x 1 x1 x 1 x , 3 2 - 1 0, 2 , (1) - Ky Fan . «=» , - , 3 2 . 4. A ,B , - , 2 2 23 2 2 2 A 3 1 A2 2 2 2 2 2 : A 0 , 0 , 0 2 4 2 4 2 4 , 2 2 2A , , 2 2 2 1 0, 2 - ’ - . : 2 2 23 2 2 23 2 2 23 A A 2 2 2 2 2 2 A 2 2 2 Ky Fan 2 2 23 2 2 2 3 A 2 2 2 A 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
  70. 70. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/68 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A 3 2 2 2 A 2 2 2 3 1 A 2 2 2 2 2 23 2 2 2 A 3 1 A2 2 2 2 2 2 5. : (i) 1 1 0 a , 0 b 2 2 , 1 a 1 b a b 1 b 1 a b a (ii) 1 1 1 0 a , 0 b , 0 c 2 2 2 , 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 1 a b c a b c (i) ( 1) : 2 2 a bab 1 a 1 b 2 a b : 2 2 1 a 1 b a b 1 a 1 b ab 2 2 2 2 1 a 1 b a b 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b ab ab 1 a 1 b a b 1 b 1 a b a (ii) : 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 c 1 a 1 c 1 b 1 a 1 c (i) : 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 3 1 b 1 a 1 c 1 b 1 a 1 c a b b c c a 3 b a c b a c 1 1 1 a b c a b c . 6. n n 1 2 n n 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 n 1 2 : n 2 n n 1 2 n n 2 n 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ky Fan : 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 12 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 n n n n n n n n 1 1 1 2 12 1 2 12 1 1 n 1 21 1 2n 12 1 2 7. : 2 2 2 2 2 2 x x 2 x 2 x 2 2 xx x1 x 1 22 . : 2 2 2 2 2 22 2 x x x x 2 2 xx 2 1 x 12 x 2 22 2 2 2 2 1 1 x x 2 2 2 1 1 x 1 x 1 2 2 2 2 2 2 2 x x 2 1 1 x 1 x 1 2 2 2 2 21 1 x x , 2 2 2 1 0, 2 , - Ky Fan - : 2 21 1 x x , x k , k 2 2 2 . , - : 2 4 x 4k , x 4k , k 3 3 .
  71. 71. 116 (2020) .4/69 Ceva , . , . ( 3 ) . , . - , .* 1 2 , , , , ( 1). 1 1 1 , , x y z , , 1 2 3 1 2 3 , , , , , ( ). 1. xyz 1 x 1 y 1 (z 1) : 1 2 3 1 2 3( ) 1 1 y z x 1 ( ) y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 * Ceva 1 xyz x 1 y 1 z 1 Ceva , , ( 2), : 1. : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. ( ) . , , ( 2) . 2. , , , 2 x 1 y 1 (z 1) . : [ 1], Ceva xyz=1. 3. , , , . 4 , , . : x,y,z>0 xyz=1, x 1 y 1 z 1 8 ( x=y=z=1). , [ 2] 2 8 4 x y z 1 , , , . 4. , , , 2 1 2 32 . : 1 21 1 , , x 1 y 1 3 1 . z 1 Ceva*
  72. 72. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/70 , 1 2 3 3 1 x 1 y 1 (z 1) . , [ 2], 2 . x 1 y 1 (z 1) . . , , , 2 . 3 : [ 4] 1 2 32 1 1 ( ) 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) . , , . 5. , , , 1 2 3 6 1 2 3 6 1 1 1 . . , 3 3 1 1 13 ( – - ). , . 3, 3 2 3 1 2 34 16( ) 16( ) 2 [ 4], 3 1 2 32 , – , 1 2 3 1 2 3 2 . 3 6 [ 3], 3 2 3 1 2 34 4 8 [ 4], 3 1 2 32 , – , 1 2 3 1 2 3 3 6 2 . 1 1 1 1 1 1 – – 1 2 3 , . 1) x,y,z 0 xyz 1, x 1 y 1 z 1 8. : x 1 2 x . 2) , , , 3 3 1 1 13 . : 3 3 3 3 3 x , y , z , - 3 3 3 x y z 3xyz. . . 3) van Aubel , , , . 4) , . : van Aubel . 5) , , , 2 . ( ) 6) , 1 . 8 : . . , , [ : 1996]
  73. 73. 116 (2020) .4/71 « - ». . R. HALMOS . – 332 . ( 112) 1 2 2 . , . – ( - ) , , , - R. - , : , , , , , , (1) , ’ (1) - – , – . - , – - - : - . - . , , . O ΕυκλείδηςO Ευκλείδης προτείνει ...προτείνει ...
  74. 74. … 116 (2020) .4/72 . , , . - , Euler ( Euler) Cauchy Euler 333. ( 112) ( ˆ 90 ) - . 1 2, - - , - 1 2 1 2 1 2 – ( ) , , (1) , , : (1) . , , , :
  75. 75. … 116 (2020) .4/73 , . - – – 334. ( 112) , , 2 2 2 3. - 4 3 ( ) 9 ( – ( – ) : , (1) (1) , – - . . ( - ) . , - - , - - , d, e . 335. ( 112) 3 2 x 2x x 1 0 , , . 2 2 2 ( - ) ( – ) , (2) , (3) - . :
  76. 76. … 116 (2020) .4/74 (2) , : (1). (1) , , , , (3) . , , (Vieta) . « » . , , 3 8x 2012x 2013 0 3 3 3 A ( ) ( ) ( ) (Vieta), , , . – , – , , - – . , - – - – 336 ( 113) oˆA 60 oˆB 45 . 1 B 3 4 4 4 15 9 36 ( - ) ( - ) : , : : , (1) , , (2)
  77. 77. … 116 (2020) .4/75 (1) (2) : . Stewart : , , , : . - . , 351. - 352. , , . : - 353. , , . - , - - 354. . : i. f ii. iii. « - » : , . . . - ( ) . - . 355. - . , , , - , , , : - 356. . , , - , , . – - , . - , 336-340 346-350. , , . , « - » , . ( 313, 317, 318, 321, 325, 326 ). - - . .
  78. 78. 116 (2020) .4/76 . 2019 Abel. , , . . 1884 Herman Schwartz , . , . 2019 Abel (Karen Keskulla Ulenbeck) 1942 2003. . : . , , . . « , …», . , . Furstenberg G Margulis, Abel 2020 . , , 1960 1970 . . Furstenberg 1935, 2003 . G Margulis 1946,
  79. 79. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/77 Yale , 32 , Fields, . 7,5 ( 700.000 ). , , , 2020, 2021. 19 Abel 10 Galois. , , . Abel M 21 5 ( ). . 1825 . « » , « » , . , Abel, . 1828 Abel , , , 27 , 1829. , . 2002 , , , . Galois, 15 , . . . , « Galois», . Galois . 1825 14 , . . . Galois . M. Vernier. . M. Vernier: « . , ,
  80. 80. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/78 : , .» 1828 Galois , . Galois . . . 1829 Louis Paul Richartd, Galois “Annales de mathématiques”. , Cauchy, , , !!! , . . , , . « , …» Galois Auguste Chevalier, . Galois !!! Galois, “Bulletin de Férussac”. . Evarist Galois . 1830 , , . , Galois , , . . Lacroix Poisson. ! 1831, , . . . . 1832, , , . . « » . Evarist Galois, 20 , , , , 25 .
  81. 81. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/79 : . 9 3 1982 98 . (1828 1910), : « . , . , .» : 2500 . . , . (610 547 . .) , , . . 9 . : : « .» : « .» : , . , . . . : , : : ; ; , . . x2 = x * x x + x + x +…+ x (x x) , x2 = x + x + x +…+ x (x x). x : (x2 )’ = (x + x + x +…+ x)’ (x2 )’ =2x : (x + x + x +…+ x)’ = x’ + x’ + x’ +…+ x’ (x ) : 2x = 1 + 1 + 1 +…+ 1 (x ) 2x = x. x 0 2 = 1. ; : , , , 2015 , 8 . , . 10 . ; ; 2+7 118=129 , ;
  82. 82. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 116 (2020) .4/80 : : 574=10. ; : ; 3 ; 2 ; : 100 . . 4 ; 2 : 1225, 2 , . . . : « , , 5 , 5 .» ; : 8572 757.957= ; 74532 6453 8453 =; . ; : 21. 4/5 9/11 . ; , 115 : 8 . . : . 77777 7777=70000 . 55777 5577=50200 : 0, 5 0 5, 2,4,6,8 0,2,4,6,8, 3 9 . : , . : 1 , 2 , 3 ( , ), 4 , 5 , 6 , ( , , ), 7 , 8 , 9 , 10 , ; , : , , , , ( , ), , , , , , , , . : 7 : 33, 55 33/55 3/5. 88. : 3 3
  83. 83. 116 (2020) .4/81 10€ 10€ 15€ 12€ … 500 . [ . 2020 , ] : , , … . , . – [ . 2020] [3 ] . . [ 2020] !!! . . [ . 2020] (1990 2019) . [ . 2019] ( ) [ . 2019, ] … : , 114 30 (1990 – 2020). , : … . – . . 10 . .
  84. 84. Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα fax: 210 3641025 www.hms.gr e-mail: info@hms.gr τηλ.: 210 3616532, 210 3617784 Κεντρική Διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα fax: 210 3641025 www.hms.gr e-mail: info@hms.gr τηλ.: 210 3616532, 210 3617784 Κεντρική Διάθεση: της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείαςτης Ελληνικής Μαθηματικής ΕταιρείαςΕκδόσεις Τιμή τεύχους: 3€ Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή τεύχους: 3,5€Τιμή τεύχους: 3€ Τιμή 18€βιβλίου: Τιμή 15€βιβλίου: Τιμή 20€βιβλίου: Τιμή βιβλίου: 30€ Τιμή βιβλίου: 20€ Τιμή βιβλίου: 25€ ΠεριοδικάΔιαγωνισμοίΟλυμπιάδεςΒιβλία 5 5 5 00 5 5 5 00 0 5 25 75 95 100 0 5 25 75 95 100

×