Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Với 10k bạn có ngay 5 lượt download tài liệu bất kỳ do Garment Space upload Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN-TIN.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG
TOÁN ỨNG DỤNG
TP.HCM, THÁNG 5 NĂM 2012.
GVHD: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG.
SVTD: HUỲNH LÊ THANH TÙNG.
MSSV: K33101256
KHÓA HỌC: 2007-2012.

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN-TIN.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG
TOÁN ỨNG DỤNG
CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH
GVHD: TS.NGUYỄN VĂN ĐÔNG
SVTH: HUỲNH LÊ THANH TÙNG
MSSV: K33101256
KHÓA HỌC: 2007-2012
TP.HCM, THÁNG 5 NĂM 2012.

3. PHẦN MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán trong thực tiễn cuối cùng được dựa trên sự phản hồi của một hệ thống
đối với tín hiệu nhập là hàm hình sin. Điều thuận tiện nằm ở chỗ là khi hệ tuyến tính được
điều khiển bởi một hàm i t
Ae ω
sự phản hồi của nó có cùng dạng. Điều này cho phép chúng ta
biểu diễn một hàm biến thực F(t) đã cho như một chồng chất các hàm hình sin. Giải tích
Fourrier, thể hiện qua chuỗi Fourrier và phép biến đổi Fourrier, nghiên cứu sự phân tích một
hàm thành các hàm hình sin này.
Khi hàm F là hàm tuần hoàn, có chu kì L, và thoả điều kiện liên tục nhất định, ta có sự
phân tích thích hợp hàm F qua chuỗi Fourier
ìn /
( ) ,t L
n
n
F t c e π
∞
=−∞
= ∑
với hệ số được xác định bởi
/2
-ìn2 /
/2
1
( ) .
L
t L
n
L
c F t e dt
L
π
−
= ∫
Phép biến đổi Fourier nhanh là một thuật toán có hiệu quả dùng để xấp xỉ các hệ số này.
Nếu F là không tuần hoàn nhưng |F| là khả tích (và các điều kiện liên tục được thỏa)
thì sự phân tích có dạng
( ) ( ) ,i t
F t G e dω
ω ω
∞
−∞
= ∫
trong đó G là phép biến đổi Fourier của F, xác định bởi
1
( ) ( ) .
2
i t
G F t e dtω
ω
π
∞
−
−∞
= ∫
Phép lấy đạo hàm “trực tiếp” (nghĩa là, đạo hàm theo từng số hạng hoặc dưới dấu tích
phân) của cả hai biểu diễn trên có thể được xem xét trong nhiều tình huống, và vì phép lấy
đạo hàm này chung quy chỉ là phép nhân với iω, nên việc giải một số phương trình vi phân
thường được đơn giản hóa bàng việc sử dụng giải tích Fourier.
Các phép biến đổi khác, đặc biệt là phép biến đổi Laplace, phép z- biến đổi- được
phát triển với cùng một đối tượng: sự phân tích các hàm tùy ý thành chồng chất các dạng cơ
bản nhằm có sự thuận tiện cho một công việc phân tích đặc biệt.
Khi xử lý điều kiện ban đầu và các tình huống nhất thời thật tiện lợi nếu ta dùng phép
biến đổi Laplace của F
{ }
0
( ) ( ) .st
L F s F t e dt
∞
−
= ∫
Phép biến đổi Laplace có thể đồng nhất với phép biến đổi Fourier của một hàm số mà
“bật lên” tại t = 0 [ nghĩa là, F(t)=0 khi t<0], với iω được thay thế bởi s. Tác dụng của điều
kiện ban đầu được thể hiện trong công thức các đạo hàm ( )
( )n
F t :
{ } { }( ) 1 2 ( 1)
( ) ( ) (0) (0) ... (0)n n n n n
L F s s L F s s F s F F− − −
′= − − − −
nên phép biến đổi Laplace là công cụ thích hợp cho việc giải bài toán giá trị ban đầu. Một
tiện ích khác của phép biến đổi Laplace là khả năng của nó trong việc xử lý những hàm
không khả tích nhất định. Có công thức nghịch đảo để phục hồi F(t) từ L{F}(s), nhưng dùng
các bảng biến đổi Laplace thường tiện lợi hơn.
Phép z-biến đổi là công cụ đóng vai trò của phép biến đổi Fourier/Laplace trong các
trường hợp mà tập dữ liệu là rời rạc. Nó có liên hệ với lý thuyết về chuỗi Laurent, mà nhiều
tính chất của nó được suy ra từ lý thuyết này.

4. Một phép biến đổi, tên là phép biến đổi Hilbert, liên hệ mật thiết với các phép biến
đổi khác cả về lý thuyết lẫn ứng dụng mặc dù nó không nhằm vào đối tượng đặc biệt nào của
sự phân tích hàm
Khi các điểm bất thường của các tích phân Cauchy xuyên qua chu tuyến của chúng,
dáng điệu của các tích phân này bị gián đoạn với những bước nhảy được dự đoán bởi các
công thức Sokhotskyi-Plemelj. Trong trường hợp chu tuyến là đường thẳng thực ta có công
thức biến đổi Hilbert, liên kết phần thực và phần ảo của hàm dưới dấu tích phân.
Trong toán học việc áp dụng các phép biến đổi vào các họ những hàm số khác nhau
mang lại những thuận lợi về mặt tính toán. Lĩnh vực áp dụng của các phép biến đổi ta nghiên
cứu ở đây có thể vượt ra ngoài lớp các hàm chỉnh hình nhưng chúng ta tự hạn chế trong lớp
hàm này vì nó sẽ giúp ta đưa ra các tính chất chủ yếu rõ ràng hơn. Một số kết quả khác được
phát biểu bỏ qua chứng minh vì chúng vượt quá giới hạn này
Nội dung chính của luận văn trình bày một số đặc điểm của các phép biến đổi nêu trên
bao gồm 5 chương
Chương 0: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 1: Phép biến đổi Fourier
Chương 2 Phép biến đổi Laplace
Chương 3 Phép z- biến đổi
Chương 4 Tích phân Cauchy và phép biến đổi Hilbert
Kỳ bảo vệ khóa luận tốt nghiệp này là bước đi cuối trên con đường đại học, để đạt được
thành quả như ngày hôm nay, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa toán tin
trường đại học sư phạm TP.HCM đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức trong suốt
khóa học. Qua hơn 4 năm theo học, thầy cô đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức
thiết thực làm hành trang cho em vững tin hơn khi bước vào nghề.
Em xin bày tỏ chân thành đến thầy Nguyễn Văn Đông đã nhiệt tình hướng dẫn, tạo
điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp của mình.
Qua thời gian dịch thuật tài liệu toán bằng tiếng anh đã giúp em tăng cường thêm vốn từ vựng
chuyên ngành toán vốn còn thiếu sót của mình, từ đó giúp em tích lũy thêm những kiến thức
mới có tính thời đại của toán học, để có được điều đó là nhờ sự tận tình hướng dẫn của thầy
Nguyễn Văn Đông đã hướng dẫn em tận tình, bố cục lại một bài luận văn cho em để làm sao
chi tiết súc tích hơn ngắn gọn hơn.
Trong quá trình làm khóa luận tốt nghiệp này mặc dù em đã cố gắng rất nhiều nhưng
do bước đầu làm quen với phương pháp làm khóa luận nên chắc hẳn không tránh khỏi thiếu
sót, em rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của quý thầy cô ở Khoa để em nhận thức
được một cách sâu sắc hơn về bài luận văn và giúp em hàn gắn những những kiến thức còn
thiếu sót, trang bị thêm cho em những kiến thức mới để giúp em hiểu về những ứng dụng của
nó trong cuộc sống.
Thành phố Hồ Chí Minh mùa tốt nghiệp tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện
HUỲNH LÊ THANH TÙNG

5. 4
π
2
Im 2
1
z
i
π 
= 
+  2
Im 0
1
z
i
π 
= 
+ 
0
1 , 0, 2i a bω =+ = =
2
π
−
Im 1z =
Im 1z = −
0
2 , 1. 1a bω π= =− =
Hình vẽ 0.1
CHƯƠNG 0 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
0.1 Hàm chỉnh hình tuần hoàn
Định nghĩa 0.1 Giả sử ,a b∈ hoặc a = −∞, b = ∞ . Tập hợp
2
( , ) : : Im
z
T a b z a bω
π
ω
 
= ∈ < < 
 

được gọi là một dải xác định bởi , ,a bω . Ac-gu-men của ω xác định hướng của dải (xem
hình 0.1)
Chẳng hạn ta có ( , )T bω −∞ , b∈ là một nửa mặt phẳng mở, ( , )Tω −∞ ∞ = 
Mệnh đề 0.2 Ánh xạ 1 ,
: ( , ) (0)b a
e e
h T a b A − −→ , 2 iz
z w e π
= là một ánh xạ song chỉnh
hình, ở đây ,
(0)b a
e e
A − − ký hiệu hình vành khăn tâm O bán kính trong là a
e−
, bán kính ngoài là
b
e−
Trường hợp đặc biệt { }1( ( , )) :0 a
h T a w w e−
∞ = ∈ < < , { }( ) 0h = 
Định nghĩa 0.3 Hàm f được gọi là tuần hoàn với chu kỳ ω , hoặc được gọi là ω -
tuần hoàn trong G nếu
( ) ( )f z f zω+ = với mọi z G∈
Tổng quát hơn ( ) ( )f z n f zω+ = với mọi z G∈ , mọi n∈
Định lý 0.4 Với mọi hàm chỉnh hình 1- 1 tuần hoàn f trên 1( , )G T a b= có đúng một
hàm chỉnh hình F trên hình vành khăn ,
: (0)b a
e e
A A − −= sao cho 2
( ) ( )iz
f z F e π
= với mọi
z G∈
0.2 Định lý khai triển Laurent
Cho { },r R∈ ∪ ∞ với 0 r R≤ < . Tập con mở
{ }, 0( ) : :r R oA z z r z z R= ∈ < − <
được gọi là hình vành khăn tâm 0z , bán kính trong r và bán kính ngoài R. Khi R < ∞ thì
{ }0, 0 0 0( ) ( , ) RA z B z R z= là một đĩa thủng và 0, (0)A ∞ là { } 0 .

6. Định lý 0.5 (Định lý khai triển Laurent) Nếu f là hàm chỉnh hình trong hình vành
khăn , 0( )r RA A z= thì f được khai triển trong A thành chuỗi duy nhất có dạng
0 1
( ) ( ) ( )k k
k o k o
k k
f z a z z b z z
+∞ +∞
−
= =
= − + −∑ ∑ ( or z z R< − < ) (0.1)
Chuỗi này hội tụ chuẩn tắc trong A về f. Hơn nữa,
( )
1
1 ( )
2
k k
S o
f
a d
i zρ
η
η
π η
+
=
−
∫ ,
( )
1
1 ( )
2
k k
S o
f
b d
i zρ
η
η
π η
− +
=
−
∫ (0.2)
với mọi r Rρ< < , . k ∈
Chuỗi hàm dạng (0.1) đôi khi còn được viết dưới dạng ( )k
k o
k
c z z
+∞
=−∞
−∑ , với
( )
1
1 ( )
, 0, 1, 2,...
2
k k
S o
f
c d k
i zρ
η
η
π η
+
= = ± ±
−
∫ và được gọi là chuỗi Laurent theo lũy thừa của z-
0z hay chuỗi Laurent tại 0z .
Lưu ý rằng khi f chỉnh hình trên đĩa 0z z R− < thì các hệ số kb cho bởi (0.2) bằng 0
nên khi đó ta có (0.1) là khai triển Taylor của f.
Định lý 0.6 Nếu các hệ số nc của chuỗi ( )k
k o
k
c z z
+∞
=−∞
−∑ (0.3) thỏa mãn
1
0 lim
lim
n
n
n n
n
n
c r R
c
−
→∞
→∞
≤ = < = ≤ ∞
thì chuỗi (0.3) hội tụ chuẩn tắc trong hình vành khăn , 0( )r RA A z= về hàm f là hàm chỉnh
hình trong hình vành khăn A . Các hệ số của chuỗi (0.3) này được xác định bởi công thức
( )
1
1 ( )
2
n n
S o
f
c d
i zρ
η
η
π η
+
=
−
∫ , n = 0, 1± ,…
với r Rρ< < . Chuỗi (0.3) không hội tụ tại bất kỳ điểm nào thuộc A .
0.3 Hàm điều hòa - Bài toán Dirichlet trên đĩa
Định nghĩa 0.7 Cho U là tập con mở của . Hàm :f U →  được gọi là hàm điều
hòa nếu 2
( )f C U∈ và
2 2
2 2
0
f f
f
x y
∂ ∂
∆= + =
∂ ∂
trên U .
Định lý 0.8 Nếu hàm ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + là hàm chỉnh hình trong tập mở khác
rỗng D của  thì ,u v là những hàm điều hòa
Khi đó u, v được gọi là liên hợp điều hòa của nhau
Định lý 0.9 Cho G là một miền đơn liên. Nếu u điều hòa trên G thì tồn tại f chỉnh
hình trên G sao cho u = Ref. Hơn nữa, các hàm f như vậy chỉ sai khác nhau một hằng số.
Định nghĩa 0.10 Cho miền G ⊂  và : Gϕ ∂ →  là hàm liên tục. Bài toán Dirichlet
đặt ra là tìm một hàm điều hoà f trên G sao cho lim ( ) ( )
z
f z G
ω
ϕ ω ω
→
= ∀ ∈∂ .

7. Định lý 0.11 ( Định lý duy nhất) Với các giả thiết đã cho trong định nghĩa trên và
miền G bị chặn thì có không quá một hàm f thoả mãn bài toán Dirichlet.
Định nghĩa 0.12 a) Hàm : (0,1) (0,1)P B B×∂ →  xác định bởi:
( )
2
2
1
( , ) Re 1, 1
zz
P z z
z z
ζ
ζ ζ
ζ ζ
− +
= = <= 
− − 
được gọi là nhân Poisson.
b) Nếu ( , )B ω ρ∆ = và :ϕ ∂∆ →  là hàm liên tục thì ta gọi hàm :P ϕ∆ ∆ →  xác
định bởi:
2
0
1
( ) , ( ) ( )
2
i iz
P z P e e d z
π
θ θω
ϕ ϕ ω ρ θ
π ρ∆
 −
= + ∈∆ 
 
∫ là tích phân Poisson.
Định lý 0.13 (Định lý sự tồn tại nghiệm) Với các giả thiết nêu trong định nghĩa trên
cho trường hợp 0, 1, (0,1)E Bω ρ= = = ta có:
a. EP ϕ là hàm điều hoà trên E .
b. Nếu 0 Eω ∈∂ thì
0
0lim ( ) ( )E
z
P z
ω
ϕ ϕ ω
→
= .
Hơn nữa Ef P ϕ= là nghiệm bài toán Dirichlet trên E .
Định lý 0.14 (Công thức tích phân Poisson đối với nửa mặt phẳng) Nếu
f iφ ψ= + là hàm chỉnh hình trên miền chứa trục thực và nửa mặt phẳng trên và f(z) bị chặn
trên miền đó thì các giá trị của hàm điều hòa φ trong nửa mặt phẳng trên được cho theo các
giá trị của nó trên trục thực bởi
( )
( )2 2
( ,0)
( , ) 0
y d
x y y
x y
φ ξ ξ
φ
π ξ
+∞
−∞
= >
− +
∫
0.4 Sử dụng thặng dư tính tích phân
Xét những đường cong Jordan đóng 0 1, ,..., pC C C với các tính chất sau đây
0 jC C ; j =1,...,pInt Int⊃ , jC CkInt Int∩ =∅ nếu j k≠
thì 0 j
1
C C
p
j
Int Int
=
 được gọi là một compact Jordan xác định bởi 0 1, ,..., pC C C (xem hình
0.2) . Nếu ta chỉ có một đường cong 0C thì 0CInt cũng được gọi là compact Jordan xác
định bởi 0C .
Hình vẽ 0.2
0C
1C
2C
K

8. Hình 0.3
r
c
2 1θ θ−
Tr
Hình 0.4
ρ
Sr
- ρ c+rc-r c
Với K là một compact Jordan như trên ta đặt 0 1 ... pK C C C+ + − −
∂ = + + + ,
Định lý 0.15 (Định lý thặng dư trên một compact Jordan) Cho f chỉnh hình trên
một lân cận mở Ω của compact Jordan K trừ một số điểm 1,..., ma a K∈ . Khi đó ta có :
1
( ) 2 e [ , ]
m
j
K
f z dz i r s f aπ
+
∂
= ∑∫
Định nghĩa 0.16 Với mọi hàm f liên tục trên ( ),−∞ +∞ giới hạn lim ( )
c
c
c
f x dx
→∞
−
∫ được
gọi là giá trị chính (Cauchy) của tích phân f trên ( ),−∞ +∞ ký hiệu là
. . ( ) : lim ( )
c
c
c
p v f x dx f x dx
+∞
→∞
−∞ −
=∫ ∫
Nhận xét rằng nếu tồn tại ( )f x dx
+∞
−∞
∫ thì ( ) . . ( )f x dx p v f x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
=∫ ∫
Bổ đề 0.17 Nếu f có một cực điểm đơn tại z = c và rT là cung tròn (hình vẽ 0.3) được
xác định bởi 1 2: ( )i
rT z c reθ
θ θ θ= + ≤ ≤ ,
thì ( )2 1
0
lim ( ) [ , ]
r
r
T
f z dz i res f cθ θ+
→
= −∫
Suy ra với nửa đường tròn định hướng âm rS (hình vẽ 0.4) ta có
Bổ đề 0.18 (Bổ đề Jordan) Cho f là hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng trên {Imz
> 0} trừ một số hữu hạn điểm bất thường 1,..., na a . Gọi { }Re , [0, ]it
R z tγ π= = ∈ . Giả sử
lim 0R
R
µ
→∞
= ,với max ( )
R
R
z
f z
γ
µ
∈
= . Khi đó với mọi số thực dương α ta có
lim ( ) 0
R
i z
R
e f z dzα
γ
→∞
=∫
Ví dụ 0.19 Tính . .
ix
e
I p v dx
x
+∞
−∞
= ∫
Hàm
ix
e
x
liên tục trên toàn trục thực ngoại trừ x = 0. Do đó
0
lim ( ) [ , ]
r
r
S
f z dz i res f cπ+
→
= −∫

9. Hình 0.5
ρ
Sr
ρ− r-r
Cρ
+
0
lim
r ix ix
rr
e e
I dx dx
x x
ρ
ρ
ρ+
−
→∞
−→
 
= + 
 
 
∫ ∫
Xét hàm ( ) :
iz
e
f z
z
= có một cực điểm đơn tại gốc nhưng chỉnh hình ở các điểm khác.
Xét đường cong đóng bao gồm
[ , ],[ , ]r rρ ρ− − , [ ] [ ]: , 0, , : , 0,i i
rC z e S z c reθ θ
ρ ρ θ π θ π+ −
= ∈ =− ∈ (hình vẽ 0.5)
Vì không có điểm bất thường nằm trong đường cong đóng này ta có
0
r
r iz
rS C
e
dz
z
ρ
ρ
ρ − +
−
−
 
 + + + =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
nghĩa là
r
r ix ix iz iz
r S C
e e e e
dx dx dz dz
x x z z
ρ
ρ
ρ − +
−
−
+ =− −∫ ∫ ∫ ∫
Vì
1
lim max 0
z C zρρ→∞ ∈
= nên theo bổ đề 0.18 (Bổ đề Jordan) lim 0
iz
C
e
dz
z
ρ
ρ +
→∞
=∫
Theo bổ đề 0.17 có
0
lim ,0
r
iz iz
r
S
e e
dz i res i
z z
π π+
−
→
 
=− =− 
 
∫
Vậy . .
ix
e
I p v dx i
x
π
+∞
−∞
= =∫ 
0.5 Phép biến đổi Mobius
Định nghĩa 0.20 Ánh xạ xác định bởi ( ) , ad-bc 0
az b
z
cz d
ω
+
= ≠
+
với ( )
a
c
ω ∞ = ,
( )
d
c
ω − =∞ được gọi là hàm phân tuyến tính (còn được gọi là ánh xạ Mobius) từ ∞ đến
∞
Định lý 0.21 Ánh xạ Mobius
a) là một song ánh giữa ∞ và ∞
b) bảo toàn đường tròn trong ∞
c) bảo toàn tính đối xứng của các điểm qua đường tròn trong ∞

10. Ví dụ 0.22 Tìm ánh xạ Mobius biến hình tròn đơn vị 1z < thành hình tròn đơn vị
1ω < sao cho 0z z= biến thành tâm của hình tròn 1ω <
Giải: Giả sử ( )zω ω= là phép biến đổi cần tìm, ( ) 0ozω = với 1oz < . Bởi vì oz và
1
oz
đối xứng nhau qua đường tròn 1z = nên theo định lý 0.21 có
1
( )
oz
ω = ∞ . Hàm cần tìm
có dạng ( )
1 1 1
o o o
o
o o
o
z z z z z z
z A Az B
zz zzz
z
ω
− − −
= = =
− −−
.
Lấy z sao cho 1z = thì ( ) 1zω = . Viết i
z eϕ
= có
1
1
ii
oo
i i i
o o
e ze z
B B B
z e e z e
ϕϕ
ϕ ϕ ϕ−
−−
= = =
− −
nghĩa là i
B eα
= , suy ra ( )
1
i o
o
z z
z e
zz
α
ω
−
=
−
trong đó α ∈ được chọn tùy ý.

11. CHƯƠNG 1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
Nhiều bài toán về kĩ thuật cuối cùng được dựa trên sự phản hồi (response) của một hệ
thống đối với một phần nhập (input) là hàm hình sin. Một cách tự nhiên, tất cả những tham số
trong tình huống như vậy là thực, và những mô hình có thể được phân tích bằng cách dùng kĩ
thuật đối với biến thực. Tuy nhiên, việc sử dụng những biến phức có thể làm cho việc tính
toán đơn giản hơn nhiều và giúp ta có sự hiểu biết sâu sắc hơn về vai trò của những tham số
khác nhau. Phần nhập có dạng i t
Ae ω
có các công dụng sau
1. Tính cô đọng của ký hiệu: Một biểu thức thực như cos( ) sin( )t tα ω φ β ω ψ+ + + có
thể được biểu diễn đơn giản là Re( )i t
Ae ω
2. Việc lấy đạo hàm phần nhập này chung quy chỉ là phép nhân với iω
3. Phần phản hồi đều đặn của hệ thống đối với phần nhập này sẽ có cùng dạng, i t
Be ω
với B là một hằng số phức
Vì các lý do trên sẽ rất có ích nếu hàm phần nhập tổng quát ( )F t có thể được biểu
diễn là một tổng các hàm hình sin. Khi đó ta có thể xác định phần xuất bằng cách tìm phần
phản hồi đối với mỗi thành phần hình sin (vốn làm cho bài toán dễ dàng hơn), sau đó cộng
các phản hồi này lại với nhau ( nhắc lại rằng sự chồng chất nghiệm là được phép đối với hệ
tuyến tính)
Giải tích Fourrier, thể hiện thông qua chuỗi Fourrier và phép biến đổi Fourrier, nhằm
cho sự phân tích một hàm thành các hàm hình sin này.
Mục 1.1 dành trình bày về chuỗi Fourier, mục 1.2 trình bày về phép biến đổi Fourrier
1.1. Chuỗi Fourier (Phép biến đổi Fourier hữu hạn)
Mục tiêu chính của mục này là thiết lập sự biểu diễn một hàm biến thực nhận giá trị
phức F(t) như là tổng các hàm hình sin dạng i t
e ω
, khi F(t) là hàm tuần hoàn có chu kỳ L,
nghĩa là ( ) ( )F t F t L= + với mọi t.
Trong phần 1.1.1 ta chỉ ra rằng nếu F(t) được biểu diễn ở dạng chuỗi các hàm hình sin
mà sự hội tụ của chuỗi là đều thì chuỗi này phải là chuỗi Fourier.
Trong phần 1.1.2 ta xác định một điều kiện đặc biệt mà chuỗi Fourier của F sẽ hội tụ
đến F , nêu một kĩ thuật tìm chuỗi Fourier bằng khai triển Laurent, nêu một chứng minh công
thức Poisson đối với hàm số điều hòa trên đĩa đơn vị qua cách tiếp cận bằng kĩ thuật chuỗi
Fourier
Phần 1.1.3 trích dẫn một vài kết quả về sự hội tụ tổng quát hơn của chuỗi Fourier nằm
ngoài lý thuyết hàm chỉnh hình (định lý 1.4, 1.6, 1.7). Vận dụng lý thuyết này chúng ta nêu
một số ví dụ cách tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn và sử dụng chuỗi Fourier giải bài toán
phương trình vi phân tuyến tính.
1.1.1 Giả sử 2L π= . Chúng ta cần tìm các số phức nc sao cho:
int
( ) n
n
F t c e
∞
=−∞
= ∑ (1.1)
Giả sử chuỗi trong (1.1) hội tụ đều đến F(t) khi tπ π− ≤ ≤ và do đó đúng với mọi t. Cho số
nguyên m cố định chúng ta có thể nhân hai vế (1.1) với imt
e−
để được
( )
( ) imt i n m t
n
n
F t e c e
∞
− −
=−∞
= ∑ , (1.2)

12. lại hội tụ đều, từ đó ( ) imt
F t e−
là hàm liên tục và có thể được lấy tích phân theo từng số hạng.
Lấy tích phân (1.2) trên [ ],π π− ta có
( )
( ) ,imt i n m t
n
n
F t e dt c e dt
π π
π π
∞
− −
=−∞− −
= ∑∫ ∫ (1.3)
Tuy nhiên, do
( )
( )
0, khi
( )
2 , khi
i n m t
i n m t
e
n m
i n me dt
t n m
π
π
π
π π
π
π
−
−
−
−
−

= ≠ −= 

= =
∫
ta có
1
( ) ,
2
imt
mc F t e dt
π
ππ
−
−
= ∫ (1.4)
khi chuỗi (1.1) hội tụ đều.
Ta đưa ra khái niệm chuỗi Fourrier của hàm F
Định nghĩa 1.1 Nếu F có chu kì 2π và khả tích trên[ ],π π− , chuỗi hình thức
int
n
n
c e
∞
=−∞
∑ với hệ số cho bởi (1.4) được gọi là chuỗi Fourier của F; các số nc được gọi là hệ
số Fourier của F.
Tổng quát hơn, nếu F(t) có chu kì L, chuỗi Fourier là chuỗi in2 /t L
n
n
c e π
∞
=−∞
∑ với hệ số
Fourier
/2
in2 /
/2
1
( ).
L
t L
n
L
c F t e dt
L
π−
−
= ∫
Chúng ta vừa chỉ ra rằng nếu F(t) được biểu diễn ở dạng chuỗi (1.1) mà sự hội tụ của
chuỗi là đều thì chuỗi này phải là chuỗi Fourier.
1.1.2 Bây giờ chúng ta hãy xác định xem dưới những điều kiện nào của F chuỗi
Fourier sẽ hội tụ đến F. Ta xét một trường hợp đặc biệt sau
Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên hình vành khăn A chứa đường tròn đơn vị. Khi đó
f có thể biểu diễn bởi chuỗi Laurent:
( ) n
nf z a z
∞
−∞
= ∑ (z ∈ A) (1.5)
Chúng ta quan tâm đặc biệt đến giá trị của f trên đường tròn đơn vị mà trên đó chuỗi
hội tụ đều. Biểu diễn tham số của đường tròn này cho bởi ,it
z e tπ π= − ≤ ≤ , kí hiệu
( ) : ( )it
F t f e= và viết lại chuỗi (1.5) như là chuỗi Laurent
int
( ) n
n
F t a e
∞
=−∞
= ∑ (1.6)
Nhận xét rằng hàm F(t) có chu kì 2π , và (1.6) là sự phân tích của F thành chuỗi hình
sin hội tụ đều. Vì thế (1.6) là chuỗi Fourier của F(t). Hệ số trong (1.5) được cho bời:
1
1
1 ( )
.
2
n n
z
f
a d
i
ξ
ξ
π ξ +
=
= ∫
Bằng cách tham số hóa ta có
( 1) int1 1
( ) ( )
2 2
it it n it
na f e e ie dt F t e dt
i
π π
π ππ π
− + −
− −
= =∫ ∫
phù hợp với (1.4).

13. Chúng ta vừa chỉ ra rằng chuỗi Fourier của một hàm số F hội tụ đều đến F trong
những trường hợp mà giá trị của F(t) trùng với giá trị của một hàm chỉnh hình f(z) với it
z e= .
Ta nêu và chứng minh sau đây một định lý khái quát hơn
Định lý 1.2 Cho f là hàm chỉnh hình và ω - tuần hoàn trên dải ( , )G T a bω= . Khi đó f
có thể được khai triển thành chuỗi Fourier duy nhất
2
( )
i
nz
n
n
f z c e
π
ω
∞
=−∞
= ∑ (1.7)
hội tụ chuẩn tắc về f trong G. (Sự hội tụ là đều trong mọi dải con ( ', ')T a bω của ( , )T a bω với
' 'a a b b< < < ). Ngoài ra, với mọi điểm d G∈ ta có
2
[ ; ]
1
( ) ,
i
n
n
d d
c f e d n
π
ς
ω
ω
ς ς
ω
−
+
= ∈∫  (1.8)
Chứng minh Ta chỉ cần xét trường hợp 1ω = . Theo định lý 0.4 có duy nhất một hàm
chỉnh hình F trên { }: : a b
A w e w e− −
= ∈ < < sao cho 2
( ) ( )iz
f z F e π
= . Hàm F có khai triển
Laurent trong A là
( ) n
n
n
F w c w
∞
=−∞
= ∑
với 11
( ) ,
2
n
n
S
c F d n
i
ς ς ς
π
− −
= ∈∫ 
trong đó S là đường tròn tâm O nằm trong A. Điều này khẳng định sự tồn tại của khai triển
(1.7). Các khẳng định tính duy nhất và tính hội tụ chuẩn tắc nêu ở đây suy ra từ tính duy nhất
và tính hội tụ chuẩn tắc của chuỗi Laurent (định lý 0.5).
Giả sử đọan [ ; 1]d d + được tham số hóa bởi
1
( ) , [0;2 ]
2
t d t tς π
π
=+ ∈ và đường tròn S được
tham số hóa bởi ( ) , [0;2 ]it
t qe tς π= ∈ với 2
: id
q e Aπ
= ∈ . Ta có
( )
2
2
0 [ , 1]
1
( ( )) ( )
2
nit in
n
d d
c f t qe dt f e d
π
π ς
ς ς ς
π
− −
+
= =∫ ∫
Do đó (1.8) đúng 
Ví dụ sau đây nêu kĩ thuật tìm chuỗi Fourier bằng cách khai triển Laurent
Ví dụ 1: Tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
2cos
( ) t
F t e=
Giải: Đầu tiên chúng ta phải tìm một hàm chỉnh hình f(z) mà trùng với giá trị của hàm
F(t) khi z thuộc đường tròn đơn vị. Do cos
2
it it
e e
t
−
+
= nên
1
( )
( ) : ( )
z
z
F t e f z
+
= = khi it
z e=
Vì thế chuỗi Fourier của F có thể nhận được từ chuỗi Laurent cho f. Ta có
1 1
( )
0 0
.
! !
m l
z
zz z
m l
z z
e e e
m l
−∞ ∞+
= =
  
= =   
  
∑ ∑
và ta có thể nhân các số hạng của các chuỗi này. Số hạng liên quan tới n
z trong kết quả nhận
được từ tổng của các tích của các số hạng
!
m
z
m
với
!
l
z
l
−
mà m l n− = . Do đó

14. ( )
1
1 1
.
! !
z
nz
n
e z
m m n
  ∞+ 
 
=−∞
 
=  
 − 
∑ ∑
Như vậy chuỗi Fourier của F là:
int
( ) n
n
F t c e
∞
=−∞
= ∑
với
( )
1
.
! !
n
m n
c
m m n
∞
=
=
−
∑
Mệnh đề 1.3 Giả sử ( ) ( )it
F t f e= với f là hàm chỉnh hình. Khi đó ta có thể lấy đạo
hàm theo từng số hạng của chuỗi Fourier của F.
Chứng minh: Ta biết rằng chuỗi Laurent (1.5) có thể được đạo hàm theo từng số
hạng:
1( )
. . n
n
n
df z
n a z
dz
∞
−
=−∞
= ∑ (1.9)
Với it
z e= , đạo hàm hàm hợp cho . . itdf df dz df
ie
dt dz dt dz
= =
Thay vào (1.9) và đồng nhất ( )it
f e với ( )F t ta có
( 1)( )
( ) ,it i n t it
n
n
d dF t
f e na e ie
dt dt
∞
−
=−∞
= = ∑
tức là int( )
n
n
dF t
ina e
dt
∞
=−∞
= ∑
phù hợp với việc đạo hàm theo từng số hạng của (1.6)
Như một minh họa khác nói lên sự phong phú của cách tiếp cận này sau đây chúng ta
trình bày công thức Poisson đối với hàm số điều hòa trên đĩa đơn vị. Vì tính đúng đắn của
công thức được khẳng định (xem 0.10-0.13) chúng ta trình bày một cách hình thức mà không
lo lắng về lý luận chặt chẽ của mỗi chi tiết.
Cho một hàm số thực ( )U θ liên tục có chu kì 2π chúng ta tìm một hàm u(z) điều hòa
trong miền 1z < và tiến đến giá trị ( )U θ khi i
z eθ
→ ; Nói một cách khác, chúng ta muốn
giải bài toán Dirichlet trên đĩa đơn vị. Đầu tiên chúng ta giả sử rằng ( )U θ có một khai triển
Fourier
1
( ) ( ) . ,
2
in in in
n
n n
U c e U e d e
π
θ φ θ
π
θ φ φ
π
∞ ∞
−
=−∞ =−∞ −
 
= =  
 
∑ ∑ ∫
(ở đây ta đã sử dụng công thức (1.4)). Nếu kết hợp các số hạng đối với n và –n, ta có
( )( ) ( )
1
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
in in
n
U U d U e e d
π π
θ φ θ φ
π π
θ φ φ φ φ
π π
∞
− − −
=− −
= + +∑∫ ∫
1
1 1
( ) 2 ( )cos ( ) ,
2 2n
U d U n d
π π
π π
φ φ φ θ φ φ
π π
∞
=− −
= + −∑∫ ∫
Bây giờ ta sử dụng công cụ được các nhà toán học gọi là tổng Abel-Poisson để tính tổng
chuỗi. Đầu tiên chúng ta giới thiệu biến tạm r để được hàm ( , )g r θ :
1
1 2
( , ) : ( ) ( ) cos ( )
2 2
n
n
g r U d U r n d
π π
π π
θ φ φ φ θ φ φ
π π
∞
=− −
= + −∑∫ ∫ (1.10)

15. Nhận xét rằng chuỗi
1
1 2 cos ( )n
n
r n θ φ
∞
=
+ −∑ (1.11)
hội tụ đều theo φ khi 0 1r≤ < . Vì thế nó có thể được nhân với ( )U φ và lấy tích phân theo
từng số hạng. Ta có thể viết phương trình (1.10) như sau
1
1
( , ) ( ) 1 2 cos ( ) ,
2
n
n
g r U r n d
π
π
θ φ θ φ φ
π
∞
=−
 
= + − 
 
∑∫ (1.12)
Nhận xét rằng chuỗi (1.11) thật ra là phần thực của chuỗi
1 1
1 2 1 2 ,n in in n in
n n
r e e z eθ φ φ
∞ ∞
− −
= =
+ =+∑ ∑ (1.13)
là một chuỗi lũy thừa theo it
z re= . Vì chuỗi này hội tụ trong 1z < và nó xác định một hàm
chỉnh hình trong đĩa đơn vị, dẫn đến phần thực của nó (chuỗi (1.9)) là một hàm điều hòa. Vì
( )U φ là hàm thực nên ta có ( , )g r θ là phần thực của hàm chỉnh hình và vì thế g là một hàm
điều hòa theo i
z reθ
= khi r < 1. Thay một cách hình thức r = 1 trong (1.12) ta có chuỗi
Fourier của ( )U θ , do vậy chúng ta nhận được rằng chuỗi (1.12) như là nghiệm của bài toán
Dirichlet, nghĩa là, ( ) ( ) ( , )i
u z u re g rθ
θ= = là một hàm điều hòa trong miền 1z < và tiệm
cận đến ( )U θ khi 1z → . Cuối cùng, bằng cách chứng minh đẳng thức
2 2
2
1
1 2 cos ( ) Ren
n
zz
r n
z z
ζζ
θ φ
ζ ζ
∞
=
− +
+ −= = 
− − 
∑
2 2
2
2 2
1
1 2 cos( )
i i
i i
e re r
r re re
θ φ
θ φ θ φ
− −
= =
− − +−
(1.14)
và dùng (1.12) ta đi đến công thức Poisson:
2
2
1 ( )
( )
2 1 2 cos( )
i r U
u re d
r r
π
θ
π
φ
φ
π θ φ−
−
=
− − +∫
biểu diễn một hàm số điều hòa trong đĩa đơn vị theo “ các giá trị biên” của nó.
1.1.3 Như vậy với các giả thiết về tính chỉnh hình đẳng thức sau đúng
int
( ) n
n
F t c e
∞
=−∞
= ∑ (1.15)
khi
int1
( )
2
nc F t e dt
π
ππ
−
−
= ∫ n∀ (1.16)
Tuy nhiên không điều nào trong (1.15) hoặc (1.16) chỉ ra rằng rằng sự cần thiết của
tính chỉnh hình của F. Thật vậy, các hệ số của (1.16) có thể được tính với mọi hàm khả tích F.
Vậy chúng ta cần tìm hiểu tại sao tính đúng đắn của (1.15) xoay quanh tính chỉnh hình? Có
định lý hội tụ tổng quát hơn nằm ngoài lý thuyết hàm chỉnh hình. Chúng ta chỉ trích dẫn một
vài kết quả này mà bỏ qua chứng minh.
Định lý sau đây chỉ đòi hỏi tính khả tích của
2
F , nhưng nó trả giá bằng sự hội tụ yếu
hơn nhiều
Định lý 1.4: Nếu tích phân
2
( )F t dt
π
π−
∫ tồn tại, thì chuỗi Fourier xác định bởi (1.15)
và (1.16) tồn tại và hội tụ đến F theo nghĩa
2
int
lim ( ) 0
N
n
N
n N
F t c e dt
π
π
→∞
=−−
− =∑∫
Sử dụng định lý trên ta có kết quả sau

16. Mệnh đề 1.5 Nếu
2
F khả tích trong [ ],π π− thì ta có đồng nhất thức Parseval cho
hệ số Fourier:
2 2
( ) lim2 ,
N
n
N
n N
F t dt c
π
π
π
→∞
=−−
= ∑∫ (1.17)
Chứng minh: Ta có
2
int int int
( ) ( ) ( )
N N N
n n n
n N n N n N
F t c e dt F t c e F t c e dt
π π
π π
−
=− =− =−− −
   
− = − −   
   
∑ ∑ ∑∫ ∫
Vì liên hợp của int
( ).
N
n
n N
F t c e−
=−
∑ là int
( ). .
N
n
n N
F t c e
=−
∑ vế phải trở thành:
2 int int int
( ) 2Re ( )
N N N
n n n
n N n N n N
F t dt c F t e dt c e c e dt
π π π
π π π
− −
=− =− =−− − −
  
− +   
  
∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (1.18)
Từ biểu thức hệ số Fourier (1.16), có thể viết số hạng thứ hai là
2
2(2 )
N
n
n N
cπ
=−
− ∑ . Số hạng thứ
ba có thể được khai triển, nhưng chúng ta phải đổi một trong những chỉ số để tránh nhầm lẫn;
khi đó số hạng này trở thành
( )
2 .
N N N
i n m t
n m n n
n N m N n N
c c e dt c c
π
π
π−
=− =− =−−
=∑ ∑ ∑∫
Như vậy chúng ta đã chỉ ra rằng
2
2 2int
( ) ( ) 2
N N
n n
n N n N
F t c e dt F t dt c
π π
π π
π
=− =−− −
− = −∑ ∑∫ ∫
Theo định lý 1.4 , vế trái tiến gần 0 khi N → ∞ . Do đó
2 2
( ) lim 2 0
N
n
N
n N
F t dt c
π
π
π
→∞
=−−
− =∑∫ 
Định lý hội tụ Fourrier tiếp theo sau đây có giá trị trong các áp dụng của lĩnh vực kĩ
thuật, định lý xét hàm F là hàm tuần hoàn trơn từng khúc, vì trong thực tế chẳng hạn việc
đóng ngắt mạch điện có thể sinh ra các hàm không liên tục, như là hàm bậc thang tuần hoàn
minh họa trong hình 1.1
Sau đây ta chỉ hạn chế xét các hàm tuần hoàn F với hữu hạn sự gián đoạn trong một
chu kì. Đặc biệt chúng ta giả sử rằng F có chu kì 2π và chia khoảng [ ],π π− thành hữu hạn
khoảng nhỏ bởi:
0 1 2 1... n nπ τ τ τ τ τ π−− = < < < < < =
0
-1
1
Hình 1.1. Hàm bậc thang tuần hoàn
2π− π− 2ππ

17. Định lý 1.6 Giả sử F tuần hoàn và trơn từng khúc trong khoảng [ ],π π− . Khi đó
chuỗi Fourier của F hội tụ đến F(t) tại tất các điểm t mà F liên tục và hội tụ đến
1
( ) ( )
2
j jF Fτ τ + + −  tại tất cả các điểm gián đoạn jτ
Ví dụ 2: Tính chuỗi Fourier của hàm bậc thang trong hình 1.1, và khảo sát tính hội tụ
của nó
Giải: Hệ số Fourier được cho bởi
( ) ( ) ( ){ }
0
int int int
0
0, khi 0
1 1 1
( ) 1 1 1 1
2 2 2 , khi n 0
n
n
n
c F t e dt e dt e dt i
n
π π
π ππ π π
π
− − −
− −
=

= = − + = − −
 ≠

∫ ∫ ∫
Vì thế chuỗi Fourier là
( ) int1 1
( 0)
n
n
i
e n
nπ
∞
=−∞
 − −
≠ 
  
∑ (1.19)
Theo định lý 1.6, nó hội tụ đến +1 khi 0 t π< < , đến -1 khi 0,tπ− < < và đến 0 khi t = 0 và
t π= 
Khi ta sử dụng giải tích Fourier được sử dụng để giải hệ tuyến tính các phương trình vi phân,
câu hỏi tự nhiên xuất hiện là liệu chuỗi Fourier có thể được đạo hàm theo từng số hạng hay
không. Kết quả sau chứa đựng số lớn các trường hợp mà các kỹ sư quan tâm.
Định lý 1.7 Giả sử F có khai triển Fourier int
( ) n
n
F t c e
∞
=−∞
= ∑ (1.20) và chuỗi đạo hàm
theo từng số hạng int
n
n
inc e
∞
=−∞
∑ (1.21) hội tụ đều trên [ ],π π− . Khi đó
int int
n n
n n
d
inc e c e
dt
∞ ∞
=−∞ =−∞
=∑ ∑
Ví dụ 3: Tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
5
( ) sin
2
t
F t =
và khảo sát tính hội tụ của chuỗi này
Giải: Nhận xét rằng F có chu kì 2π . Hệ số Fourier được cho bởi
5
int1
sin .
2 2
n
t
c e dt
π
ππ
−
−
= ∫
Tích phân này có thể được tính khi sử dụng đồng nhất thức sau
5 5 5 1
sin sin sin3 sin5
8 16 16
θ θ θ θ= − +
Với một số tính toán ta tìm được chuỗi Fourier của F(t)
int
2 4 6
240
225 1036 560 64n
e
n n n
π∞
=−∞
 
 
 
− + −
∑ (1.22)
Và theo định lý 1.6, nó hội đến F(t). Đạo hàm theo từng số hạng ta có

18. int
2 4 6
240
225 1036 560 64n
in
e
n n n
π∞
=−∞
 
 
 
− + −
∑ (1.23)
Bằng cách so sánh với chuỗi (hội tụ) 5
1
2.240
64n nπ
∞
=
∑ ta thấy chuỗi này hội tụ đều. Vì vậy (1.23)
biểu diễn F’(t). Hơn nữa lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi (1.23) và so sánh kết quả với
4
1
2.240
64n nπ
∞
=
∑ ta có
2
int
2 4 6
(240 / )
''( )
225 1036 560 64n
n
F t e
n n n
π∞
=−∞
−
=
− + −
∑
Lấy đạo hàm từng số hạng thêm hai lần nữa dẫn đến chuỗi Fourier cho F(3)
(t) và F(4)
(t). Thật
ra có thể kiểm tra được hàm F(t) là khả vi liên tục cấp 4 (Đạo hàm cấp 5 nhảy từ
15
4
− đến
15
4
+ khi t tăng qua 0, 2 , 4 ,...π π± ± )
Ví dụ tiếp theo minh hoạ việc sử dụng chuỗi Fourier giải bài toán phương trình vi
phân tuyến tính .
Ví dụ 4 Tìm một hàm số f thoả mãn phương trình vi phân
2
2
( ) ( )
2 2 ( ) ( ),
d f t df t
f t F t
dt dt
+ + = (1.24)
ở đây F là hàm tuần hoàn “răng cưa” được mô tả bởi
2
1 , khi 0,
( ) :
2
1 , khi 0
t
t
F t
t
t
π
π
π
π

− − − ≤ ≤
= 
− + ≤ ≤

Giải: Trước tiên ta chỉ ra cách tìm một nghiệm của một phương trình đơn giản hơn
2
2
( ) ( )
2 2 ( ) ,i td t dg t
g t e
dt dt
ω
+ + = (1.25)
ở đây “hàm bắt buộc” ở vế phải được thay thế bằng một hàm hình sin đơn giản. Phương trình
(1.25) có một nghiệm dạng ( ) i t
g t Ae ω
= . Để tìm A, chúng ta thay biểu thức này vào phương
trình (1.25) và có
2
2 2 ,i t i t i t i t
Ae i Ae Ae eω ω ω ω
ω ω− + + =
Chia cho i t
e ω
có
1
-1
π−
2π− 2π
π
Hình 1.2. Hàm răng cưa

19. 2
( 2 2) 1,i Aω ω− + + =
Giải phương trình này tìm A, ta tìm được
2
( )
2 2
i t
e
g t
i
ω
ω ω
=
− + +
(1.26)
là nghiệm phương trình (1.25)
Tiếp theo ta khai triển hàm F(t) đã cho thành chuỗi Fourier. Dùng công thức (1.16) ta
có
0
int int int
0
1 1 2 1 2
( ) 1 1
2 2 2
n
t t
c F t e dt e dt e dt
π π
π ππ π π π π
− − −
− −
   
= = − − + − +   
   
∫ ∫ ∫
2 2
0, khi 0
2
{( 1) 1} khi 0n
n
n
nπ
=

= 
− − ≠
Vì thế
{ } int
2 2
0,
2 ( 1) 1
( ) ,
n
n n
F t e
nπ
∞
≠ =−∞
− −
= ∑ (1.27)
theo định lý 1.6. Bây giờ chúng ta lý luận như sau: chúng ta có (1.27) biểu diễn F(t) như là
một tổ hợp tuyến tính, mặc dù vô hạn, của các hàm hình sin, và có (1.26) biểu thị một nghiệm
đối với một hàm hình sin đơn giản. Do tính tuyến tính, chúng ta kết luận rằng nghiệm của
phương trình đã cho là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm hình sin, nghĩa là
{ } int
2 2 2
0,
2 ( 1) 1
( )
2 2
n
n n
e
f t
n n inπ
∞
≠ =−∞
− −
=
− + +
∑ (1.28)
là nghiệm của (1.24). Thật vậy (1.28) thỏa mãn (1.24) theo từng số hạng. Bằng cách so sánh
chuỗi (1.28) với chuỗi hội tụ 2 4
8
nπ
 
 
 
∑ ta kết luận rằng chuỗi (1.28) hội tụ và nó có thể
được đạo hàm theo từng số hạng hai lần. Vì phương trình (1.24) không có đạo hàm cao hơn
hai nên phương trình được giải 
Công thức (1.14) về hệ số trong chuỗi Fourier đôi khi được xem như là phép biến đổi
Fourier hữu hạn (phép biến đổi Fourier vô hạn được xem xét trong mục 1.2). Sự tính toán
hiệu quả của phép biến đổi này là rất quan trọng trong ứng dụng kĩ thuật. Nhưng trong thực
hành người ta thường tính tích phân bằng giá trị số vì những lý do sau:
1. F(t) có thể được biết thông qua dữ liệu được đo - không có công thức
2. Ngay cả khi một công thức được cho đối với F(t), có thể không có biểu thức dạng đóng
cho tích phân không xác định.
Bây giờ khi n cố định, tổng Rieman xấp xỉ tích phân int( )
2
F t
e dt
π
π π
−
−
∫ có dạng
1 21 0 12 1
, 1 2( ) ( ) ... ( ) ,
2 2 2
Ninin in N N
n N N
t t t tt t
S F e F e F e ττ τ
τ τ τ
π π π
−− − −− −−
= + + +
ở đây 0 1 2 ... Nt t t tπ π− = < < < < = và 1j j jt tτ− ≤ ≤ . Ta hãy chọn phân hoạch để có N
khoảng bằng nhau, cho
2
j
j
t
N
π
π=− + ;và chúng ta hãy chọn điểm jτ là đầu mút bên trái của
khoảng tương ứng , 1j jtτ −= . Khi đó tổng có thể viết gọn lại
2
( ) 21 1
,
0 0
2
( ) ,
j
in i njN NN
N
n N j
j j
j e
S F A e
N N
π
π π
π
π
− − +
− − −
= =
= − + =∑ ∑ (1.29)

20. ở đây
2
: ( )
in
j
j e
A F
N N
π
π
π= − + . Khi N tăng, tổng Sn,N hội tụ đến hệ số cn; vì vậy sai số sẽ
được kiểm soát khi chọn N lớn. Dĩ nhiên, các giá trị lớn hơn của N cũng dẫn đến nhiều nỗ lực
tính toán hơn. Để đánh giá chỉ một hệ số cn bằng (1.29) đòi hỏi thực hiện N phép nhân, và khi
ta tính phép biến đổi Fourier với N hệ số như thế ta tính tổng cộng N2
phép nhân. Trong ứng
dụng ta thường muốn lấy N đến nhiều ngàn, và thuật toán của dạng này là quá phức tạp về
mặt tính toán. Tuy nhiên bằng cách nhóm số hạng một cách khéo léo trong (1.29), công việc
có thể đơn giản đáng kể.
Giả sử, chẳng hạn với N=16, để tính toán, S1,16 có dạng
i215 15
16 8
1,16
0 0
.
j i j
j j
j j
S A e A e
π π
− −
= =
= =∑ ∑
Các giá trị số của 8
: 0,1,2,...,15
ij
e j
π
− 
= 
 
là hoàn toàn thừa (nhìn trong bảng 1.3).
Để tính toán 1,16S thật ra chỉ cần thực hiện 3 phép nhân phức
1,16 0 8 4 12
1 7 9 15 3 5 11 13
2 6 10 14 2 6 10 14
3 5 11 13 1 7 9 15
( )
.924[ ( )]
.707[ ( )]
.383[ ( )]
S A A i A A
A A A A i A A A A
A A A A i A A A A
A A A A i A A A A
= − − −
+ − − + − + − −
+ − − + − + − −
+ − − + − + − −
j
8
ij
e
π
−
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.000
.924
.707
.383
-.383
-.707
-.924
-1.000
-.924
-.707
-.383
.383
.707
.924
-.383i
-.707i
-.924i
-1.000i
-.924i
-.707i
-.383i
+.383i
+.707i
+.924i
+1.000i
+.924i
+.707i
+.383i
Bảng 1.3 Các giá trị số của { }/8
: 0,1,2,...,15ij
e jπ−
=
Nếu chúng ta thực hiện sự tiết kiệm giống nhau cho 16 giá trị của Sn,16, số phép nhân
có thể giảm từ 162
=256 đến 16x3=48
Biến đổi Fourier nhanh (FFT) là thuật toán mà thực hiện có hệ thống sự sắp xếp lại
các số hạng trong tính toán (1.29). Sự xuất hiện FFT vào những năm cuối thập niên 60 thế kỷ
20 là mốc lịch sử lớn trong giải tích hiện đại và quá trình xử lý tín hiệu. Đối với giá trị của N

21. có dạng 2m
, tổng số phép nhân đòi hỏi cho N giá trị của Sn,N là giảm xuống còn
2log
2 2
Nm N
N
 
=  
 
1.2. Phép biến đổi Fourier
Chúng ta tiếp tục tìm hiểu sự phân tích một hàm tùy ý thành các hàm dạng hình sin.
Ta đã thấy cách một hàm tuần hoàn có thể được biểu diễn thành chuỗi Fourier, bây giờ ta tìm
một sự biểu diễn tương tự cho hàm không tuần hoàn.
Phần 1.2.1 nêu một biểu diễn hình sin của F(t) trên khoảng có độ dài L qua phép biến
đổi Fourier, nêu công thức biến đổi ngược(nghịch đảo) Fourier
Phần 1.2.2 nêu một số định lý khẳng định các điều kiện mà phép biến đổi Fourier tồn
tại (định lý 1.8) , nêu một số ví dụ về cách tìm phép biến đổi Fourier của các hàm trơn từng
khúc trên một khoảng bị chặn
Phần 1.2.3 trình bày ví dụ minh họa việc sử dụng các phép biến đổi Fourier trong
việc giải các hệ phương trình vi phân tuyến tính
1.2.1 Giả sử ( ),F t t−∞ < < ∞ là một hàm không tuần hoàn, khả vi liên tục. Nếu ta
chọn một khoảng dạng ,
2 2
L L 
− 
 
ta có thể biểu diễn F(t) bởi một chuỗi Fourier khi t nằm
trong khoảng này:
in2
( ) , ,
2 2
t
L
n
n
L L
F t c e t
π∞
=−∞
= − < <∑ (1.30)
với hệ số cho bởi
/2 in2
/2
1
( ) ( 0, 1, 2,...)
L t
L
n
L
c F t e dt n
L
π
−
−
= = ± ±∫ (1.31)
Thật ra chuỗi trong (1.31) xác định một hàm tuần hoàn ( ), ,LF t t−∞ < < ∞ trùng với F(t) trên
khoảng ,
2 2
L L 
− 
 
; Xem hình 1.4 (Chú ý rằng ( )LF t có thể không liên tục mặc dù F(t) là
trơn).
F(t)
( )LF t
-L
2
L
−
L
2
L
L
2
L
2
L
−-L
• • •
t
t
Hình 1.4. Mô hình tuần hoàn của F(t).

22. Như vậy ta có một biểu diễn hình sin của F(t) trên khoảng có độ dài L. Nếu bây giờ
cho L → ∞ , có vẽ hợp lý khi đoán rằng lúc đó ta có biểu diễn hình sin của F(t) với mọi t.
Chúng ta hãy tìm hiểu điều này.
Đặt
( )in2
1 2
( ) .
t
L
L n
n
n n
F t g e
L
π
π∞
=−∞
+ −  = ∑ (1.32)
với
/2 in2
/2
1
( )
2 2
L t
n L
n
L
c L
g F t e dt
π
π π
−
−
= = ∫ (1.33)
Viết
2
n
n
L
π
ω = , ta có
( )1( ) ( ) ,ni t
L L n n n
n
F t G e ω
ω ω ω
∞
+
=−∞
= −∑ (1.34)
ở đây hàm ( )LG ω được xác định bởi
/2
/2
1
( ) : ( ) ,
2
L
i t
L
L
G F t e dtω
ω
π
−
−
= ∫ ω ∈ (1.35)
Khi L tiến ra vô cùng, ( )LG ω tiến tự nhiên đến hàm ( )G ω mà được biết như là biến đổi
Fourier của F:
1
( ) : ( ) .
2
i t
G F t e dtω
ω
π
∞
−
−∞
= ∫ (1.36)
Hơn nữa, vì 1:n n nω ω ω+∆ = − tiến đến 0 khi L → ∞ và vì dãy nω nhận giá trị từ −∞ đến +∞ ,
nên đẳng thức (1.34) được xem như tổng Riemann đối với tích phân
( ) i t
G e dω
ω ω
∞
−∞
∫
Vì thế ta có đẳng thức
( ) ( ) i t
F t G e dω
ω ω
∞
−∞
= ∫ (1.37)
đối với hàm không tuần hoàn F, khi G được xác định bởi (1.36). Biểu thức (1.37) được gọi là
công thức biến đổi ngược(nghịch đảo)Fourier.
Các đẳng thức (1.36) và (1.37) là các công thức đóng vai trò cốt yếu của lý thuyết
biến đổi Fourier. (1.37) được xem như một tổng mở rộng các hàm hình sin tổng quát, được
tổng trên một lực lượng continum các chu kì ω . Khi đó (1.36) được xem là các hệ số,
( )G dω ω , trong tổng.
Ví dụ 5: Tìm biến đổi Fourier và công thức nghịch đảo Fourier của hàm số
2
1
( )
4
F t
t
=
+
Giải: Nhận xét rằng
( )( )2
1 1
( )
4 2 2
F t
t t i t i
= =
+ − +
là hàm chỉnh hình trong  ngoại trừ tại các cực điểm 2t i= ± . Chúng ta sẽ dùng định lý
thặng dư để tính phép biến đổi Fourier, thể hiện tích phân suy rộng qua giá trị chính
(Cauchy):
2
1
( ) . . ,
2 4
i t
e
G p v dt
t
ω
ω
π
∞ −
−∞
=
+∫
Nếu 0ω ≥ , đóng kín nửa vòng tròn ở nửa mặt phẳng dưới ta có

23. ( )
2
2 2
1
( ) 2 Re ; 2 lim ( 0).
2 4 2 4
i t i t
t i
e e e
G i s i i
t t i
ω ω ω
ω π ω
π
− − −
→−
 
= − − =− = ≥ 
+ − 
Tương tự khi 0ω < , đóng kín nửa vòng tròn ở nửa mặt phẳng trên ta có
( )
2
2
1
( ) 2 Re ;2 ( 0)
2 4 4
i t
e e
G i s i
t
ω ω
ω π ω
π
−
 
= = < 
+ 
Ngắn gọn, ta viết
2
( ) .
4
e
G
ω
ω
−
=
Để kiểm tra công thức nghịch đảo Fourier ta tính
2
( ) . .
4
i t i te
G e d e d
ω
ω ω
ω ω ω
∞ ∞ −
−∞ −∞
=∫ ∫
Do tính đối xứng, phần ảo bị triệt tiêu, và tích phân này bằng
( )2 22
2
0 0
1 1
Re 2.Re Re .
4 4 2 2 4
it
i t i te e e
e d e d
it t
ω ωω
ω ω
ω
ω ω
∞
∞ ∞− − +−
−∞ =
= = =
− + +∫ ∫
Vì vậy
2
2
1
. .
4 4
i te
e d
t
ω
ω
ω
∞ −
−∞
=
+ ∫ (1.38) 
1.2.2 Cũng như trong trường hợp chuỗi Fourier có nhiều định lý khẳng định các điều
kiện mà với các điều kiện này các biểu diễn tích phân Fourier (1.36) và (1.37) đúng. Một định
lý rất có ích trong ứng dụng là định lý áp dụng với các hàm trơn từng khúc. Lưu ý rằng giá trị
chính của tích phân được yêu cầu trong định lý sau để bảo đảm phép biến đổi nghịch đảo hội
tụ tại các điểm gián đoạn.
Định lý 1.8 Giả sử F(t) trơn từng khúc trên một khoảng bị chặn và ( )F t dt
∞
−∞
∫ tồn tại.
Khi đó phép biến đổi Fourier, G(ω), của F tồn tại và

( ) khi lien t u c
. . ( ) ( ) ( )
khi khong lien t u c
2
i t
F t F
p v G e d F t F t
F
ω
ω ω
∞
−∞


=  + + −


∫




Ví dụ 6 Tìm biến đổi Fourier của hàm
1 khi
( )
0 khi hay
t
F t
t t
π π
π π
− ≤ ≤
= 
< − >
(hình 1.5), và xác nhận công thức nghịch đảo Fourier.
Giải: Ta có
1
t
π− π
Hình 1.5 Hàm F(t)

24. ( )
1 sin
( ) 1 .
2
i t
G e dt
π
ω
π
ωπ
ω
π ωπ
−
−
= =∫
Theo định lý 1.8 ta có
1, khi
sin
. . 0, khi
1
khi
2
i t
t
p v e d t
t
ω
π
ωπ
ω π
ωπ
π
∞
−∞

 <

= >

 = ±

∫ (1.39)
Để xác nhận điều này, ta viết lại vế trái của (1.39) là
( ) ( )
1
. .
2
i t i t
e e
p v d
i
ω π ω π
ω
π ω
∞ + − +
−∞
−
∫ (1.40)
Xét ví dụ 0.19 chương 0 ta có
. .
ix
e
p v dx i
x
π
∞
−∞
=∫
Với phép đổi biến x Cω= , tích phân trên được tổng quát thành
khi 0
. .
khi 0
iC
i Ce
p v d
i C
ω
π
ω
πω
∞
−∞
>
= 
− <
∫
Dĩ nhiên,
1
. . 0p v dx
x
∞
−∞
=∫
Vì vậy chúng ta nhận được:
Nếu t π< − , thì (1.40) trở thành ( )
1
0;
2
i i
i
π π
π
− − − =  
Nếu t π= − , thì (1.40) trở thành ( )
1 1
0 ;
2 2
i
i
π
π
− − =  
Nếu tπ π− < < , thì (1.40) trở thành ( )
1
1;
2
i i
i
π π
π
− − =  
Nếu t π= , thì (1.40) trở thành [ ]
1 1
0 ;
2 2
i
i
π
π
− =
Nếu tπ < , thì (1.40) trở thành [ ]
1
0;
2
i i
i
π π
π
− =
Ví dụ 7: Tìm biến đổi Fourier của hàm số
sin khi 6 ,
( )
0 khi 6 hay 6
t t
F t
t t
π
π π
 ≤
= 
< − >
(hình 1.6) và xác nhận công thức nghịch đảo

25. Giải: Ta có
( )
( )
6
2
6
1 sin 6
( ) sin
2 1
i t i
G t e dt
π
ω
π
πω
ω
π π ω
−
−
= =
−∫
Do F(t) liên tục khắp nơi, theo công thức nghịch đảo
( )2
sin 6
( )
1
i ti
e d F tωπω
ω
π ω
∞
−∞
=
−∫ (1.41)
Xác nhận điều này ta viết lại vế trái :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
6 6 6 6
2
1
. .
2 2 1 11
i t i t i t i t
i e e e e
d p v d
i
ω π ω π ω π ω π
ω ω
π π ω ωω
∞ ∞+ − + + − +
−∞ −∞
− − −
=
− +−∫ ∫
(bởi vì các điểm bất thường bỏ được là 1ω = ± )
Bây giờ tích phân
( )
( )( )
6
1
. .
2 1 1
i t
e
p v d
ω π
ω
π ω ω
∞ +
−∞
−
− +∫
có thể được tính bằng cách dùng kĩ thuật đường cong lõm. Khi 6t π≥ − ta sử dụng chu tuyến
như trong hình 1.7(a) và có
( )( )
( ) ( ) ( ){ }
(6 )
1 1
. . Re 1 Re 1
2 1 1 2
i t
e
p v d i s s
ω π
ω π
π ω ω π
∞ +
−∞
− −
= − +
− +∫
( ) ( )
( )6 6
sin 6 sin
.
2 2 2 2 2
i t i t
ti e e t
π π
π− + +
  +−
= + = = 
− 
Tương tự khi 6t π≤ − chúng ta dùng chu tuyến như trong hình 1.7(b) và có
( )
( )( )
( ) ( ) ( ){ }
6
1 1 sin
. . Re 1 Re 1 .
2 1 1 2 2
i t
e t
p v d i s s
ω π
ω π
π ω ω π
∞ +
−∞
− −
= − − + =−
− +∫
4π− 2π− 2π 4π
-1
1
6π− 6π
Hình 1.6 Gợn sóng kéo dài hữu hạn

26. Lý luận tương tự ta có
( )
( )( )
6
sin
khi 6
1 2
. .
sin2 1 1
khi 6
2
i t
t
t
e
p v d
t
t
ω π π
ω
π ω ω
π
∞ − +
−∞

≥− 
= 
−− +  ≤

∫
Dán các miếng này với nhau ta có (1.41).
1.2.3 Các phép biến đổi Fourier được dùng giống như chuỗi Fourier trong việc giải
các hệ tuyến tính; Ta xét ví dụ sau như một minh họa
Ví dụ 8 Tìm một hàm f thỏa mãn phương trình vi phân
2
2
sin khi 6( ) ( )
2 2 ( )
0 khi -6 hay 6
t td f t df t
f t
dt dt t t
π
π π
 ≤
+ + =
< >
(1.42)
Giải: Trong ví dụ 4, phần 1.1, ta biết rằng một nghiệm của 2 2 i t
f f f e ω
′′ ′+ + = là
2
2 2
i t
e
i
ω
ω ω− + +
Vế phải của phương trình (1.42) là hàm F(t) trong ví dụ 7, và phương trình (1.41) có
thể được hiểu là biểu diễn F theo các hàm hình sin dạng eiωt
. Vì thế ta dự đoán
2 2
sin 6
( )
(1 ) 2 2
i t
i e
f t d
i
ω
πω
ω
π ω ω ω
∞
−∞
 
=  
− − + + 
∫ (1.43)
là nghiệm phương trình đã cho. Sử dụng lý thuyết thặng dư có thể kiểm tra được rằng
6 6
6 6
0 khi 6 ,
2 1
( ) ( 1)cos ( 1)sin khi 6 6 ,
5 5
2 1
( ) ( cos sin ) khi 6 ,
5 5
t t
t
t
f t e t e t t
e e e t t t
π π
π π
π
π π
π
− − − −
− −

 ≤ −


= − + + − ≤ ≤


− − + ≥
mà khi tính toán trực tiếp ta thấy nó thỏa phương trình vi phân (1.42)
Bây giờ thông qua một bài tập tính tích phân đường ta trình bày một kết quả mà có
thể được xem như một định lý khai triển Fourier, dựa vào các liên hệ (1.36) và (1.37) giữa
hàm số và phép biến đổi của nó.
-1 +1
-1 +1
(a) (b)Hình 1.7. Chu tuyến cho ví dụ 7

27. Ví dụ 9 Giả sử hàm F(t) chỉnh hình và bị chặn bởi một hằng số M trong miền mở
|Imt|<δ, và định nghĩa GL(ω) như trong (1.35). Hãy lập luận rằng, khi L → ∞ ,
. . ( ) ( )i t
Lp v G e d F tω
ω ω
∞
−∞
→∫ (1.44)
với mỗi t ∈
Giải: Trước tiên, nếu F(t) có một phép biến đổi Fourier, thì nó được cho bởi giới hạn
của GL(ω) khi L→∞. Do đó (1.44) giống như công thức Fourier ngược. Thật vậy, chúng ta sẽ
lập luận rằng những phần tử của (1.44) là bằng nhau khi 2L t> .
Nhằm mục tiêu này ta xác định Ir qua
/2
/2
1
. . ( ) lim ( ) :lim
2
r L
i t i i t
L r
r r
r L
p v G e d F e d e d Iω ωτ ω
ω ω τ τ ω
π
∞
−
→∞ →∞
−∞ − −
 
= = 
 
∫ ∫ ∫ (1.45)
Đổi thứ tự lấy tích phân ta có
( )
/2
( ) ( )
/2
1 ( )
.
2 ( )
L
ir t ir t
L
F
e e d
i t
τ ττ
τ
π τ
− − −
−
= −
−∫
Ta viết lại biểu thức này là
( ) ( )
/2 /2
( ) ( )
/2 /2
1 ( ) 1 ( )
1 1
2 2
L L
ir t ir t
r
L L
F F
I e d e d
i t i t
τ ττ τ
τ τ
π τ π τ
− − −
− −
= − + −
− −∫ ∫ (1.46)
Nhận xét rằng mỗi biểu thức dưới dấu tích phân là hàm khả tích theo τ trong dải
|Imτ|<δ, vì tính kỳ dị tại tτ = là bỏ được. Do đó các tích phân không phụ thuộc vào đường
lấy tích phân. Chúng ta chọn tính giá trị tích phân đầu tiên trong (1.46) dọc theo đường
−
Γ trong hình vẽ 1.8 và tích phân thứ hai theo đường +
Γ :
( ) ( )( ) ( )1 ( ) 1 ( )
1 1 .
2 2
ir t ir t
r
F F
I e d e d
i t i t
τ ττ τ
τ τ
π τ π τ− +
− − −
Γ Γ
= − + −
− −∫ ∫ 
Nếu ta viết lại biểu thức này là
( ) ( )1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
,
2 2 2 2
ir t ir t
r
F F F F
I d d e d e d
i t i t i t i t
τ ττ τ τ τ
τ τ τ τ
π τ π τ π τ π τ− + − +
− − −
Γ Γ Γ Γ
= − + −
− − − −∫ ∫ ∫ ∫    (1.47)
4 5 6γ γ γ+
Γ = + +
5γ
2γ1γ
4γ
6γ
3γiε−
1 2 3γ γ γ−
Γ = + + iδ−
L/2-L/2 t
iε
iδ
Hình 1.8. chu tuyến cho ví dụ 9
/2 /2
( )
/2 /2
1 1
( ) ( )
2 2
r L L r
i i t i t
r
r L L r
I F e d e d F e d dωτ ω ω τ
τ τ ω τ ω τ
π π
− −
− − − −
   
= =   
   
∫ ∫ ∫ ∫

28. ta thấy rằng 2 tích phân đầu tiên kết hợp thành tích phân của
( )
( )
2
F
i t
τ
π τ −
dọc theo chu tuyến
đóng đơn định hướng dương ( ),− +
Γ −Γ , và theo công thức tích phân Cauchy, đó chính là
F(t). Vì vậy ta sẽ có (1.46) nếu ta chỉ ra rằng 2 tích phân cuối dần đến 0 khi r → ∞ . Trước
hết ta có ( )exp 0ir t τ− →   khi τ thuộc nửa mặt phẳng dưới và ( )exp 0ir t τ− − →   khi τ
thuộc nửa mặt phẳng trên. Xét phần tích phân dọc theo 1 : , 0
2
L
iy yγ τ ε=− − ≤ ≤ (xem hình
1.8). Ta có
1
( ) /2
0
1 ( ) 1
2 2
2
ir t irt irL ryF M
e d e e e dy
Li t t
ε
τ
γ
τ
τ
π τ π
− −
≤
− −
∫ ∫
0
1 1 1
,
2 2
r
ryM M e
e dy
L t L t r
ε ε
π π
−
− −
= =
− −∫
ở đây M là cận trên của |F|. Biểu thức này tiến đến 0 khi r→∞. Khi lấy tích phân dọc theo
2 : ,
2 2
L L
x i xγ τ ε
−
= − ≤ ≤ ( xem lại hình 1.8 ) ta có
2
/2
( ) ( )
/2
1 ( ) 1 1
,
2 2 2
L r
ir t ir t x i
L
F M Me
e d e dx L
i t
ε
τ ε
γ
τ
τ
π τ π ε π ε
−
− − +
−
≤ =
−∫ ∫
lại triệt tiêu khi r→∞. Tích phân trên 3 4 6, ,γ γ γ tương tự như trên 1γ , và tích phân trên 5γ là
hoàn toàn giống như trên 2γ .

29. CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Trong chương 1 chúng ta đã mong giải hệ tuyến tính bằng phương tiện của giải tích
tần số. Chiến lược ta đã sử dụng có thể được phát biểu như sau: Nếu hệ tuyến tính được cho
bởi hàm phần nhập là hàm hình sin, i t
e ω
, thì ta mong rằng hệ có nghiệm là một hàm hình sin
có cùng tần số.
Nhưng nghiệm này có thể không là nghiệm duy nhất; ví dụ, xem bài toán tìm một
hàm f(t) mà thoả mãn phương trình vi phân
2
i2
2
( ) ( )
2 ( ) td f t df t
f t e
dt dt
+ + = (2.1)
Nó có một nghiệm dạng i2t
Ae với
1
4 3
A
i
=
−
. Nhưng nếu g(t) là một nghiệm của phương
trình thuần nhất tương ứng
2
2
( ) ( )
2 ( ) 0,
d g t dg t
g t
dt dt
+ + =
thì hàm g có thể được cộng với một nghiệm f của phương trình (2.1) để đưa ra nghiệm khác
của phương trình (2.1). Ví dụ hàm số
i21
7
4 3
t t
e e
i
−
+
−
(2.2)
cũng một nghiệm của phương trình (2.1), vì 7 t
e−
là một nghiệm thuần nhất. Ta có thể kiểm
tra nghiệm (2.2) bằng trực tiếp tính toán.
Với hầu hết hệ vật lý, các nghiệm thuần nhất là nghiệm nhất thời (transient); nghĩa là,
chúng triệt tiêu khi thời gian tăng lên [giống như t
e−
trong (2.2)]. Điều này được chứng minh
bởi sự thật rằng hầu hết các hệ vật lý, nếu không bị tác động, cuối cùng đều đi đến hiện tượng
tiêu tan như là sự tắt dần , sự mất bức xạ ,…
Nhằm giải quyết các hiện tượng nhất thời ta xem xét hai tình huống. Tình huống thứ
nhất là hàm nhập vào được mở tại 0t = và nó không điều khiển hệ thống tại mọi thời điểm,
tình huống thứ hai là hệ bắt đầu trong “cấu hình ” nào đó tại 0t = mà có thể không trùng với
nghiệm ở trạng thái đều đặn. Phép biến đổi Laplace như chúng ta sẽ thấy sẽ giải quyết cả hai
tình huống này .
2.1 Phép biến đổi Laplace
Chúng ta hãy bắt đầu bằng việc giải quyết hàm nhập vào. Ta có F(t) được xác định
với mọi t ≥ 0. Sẽ thuận lợi nếu ta mở rộng miền xác định trên toàn bộ đường thẳng thực, nên
ta đặt F(t) = 0 khi t < 0 , một hàm như thế được gọi chung là “ hàm gốc”
Định nghĩa 2.1 Hàm F(t) thỏa mãn các tính chất sau được gọi là hàm gốc khi
1. F(t)=0 khi t <0
2. F(t) liên tục từng khúc khi t ≥ 0 và trên mọi đoạn hữu hạn F(t) có không quá
hữu hạn điểm gián đoạn loại 1.
3. Tồn tại hai số dương M và α sao cho ( ) t
F t Meα
≤ (2.3) với mọi t ≥ 0
Gọi β = inf{α : α thỏa (2.3)} là chỉ số tăng của hàm gốc F(t)
Với F là hàm gốc xét biến đổi Fourier của F:
1
( ) ( ) .
2
i t
G F t e dtω
ω
π
∞
−
−∞
= ∫
Trong trường hợp này ta có

30. 0
1
( ) ( ) .
2
i t
G F t e dtω
ω
π
∞
−
= ∫ (2.4)
Bây giờ nếu F là xác định đủ tốt gần vô tận (chúng ta sẽ không chi tiết ở đây), ta có
thể chỉ ra rằng (2.4) xác định một hàm theo ω chỉnh hình trong nửa mặt phẳng dưới Imω < 0.
Thật vậy, đạo hàm được cho bằng
0
( )
( ) ;
2
i tdG i
tF t e dt
d
ωω
ω π
∞
−−
= ∫
trên nửa mặt phẳng dưới là thích hợp bởi vì
(Im )i t t
e eω ω−
=
bị chặn trên nửa mặt phẳng dưới. Nếu ta đặt ω là số thuần ảo, isω = − , với s không âm, ta có
( ) : 2 ( ),g s G isπ= − (2.5)
là hàm mà được gọi là biến đổi Laplace của F(t):
0
( ) ( ) st
g s F t e dt
∞
−
= ∫ (2.6)
Hàm g(s) gọi là ảnh của F(t) qua phép biến đổi Laplace
Ta có thể chỉ ra rằng tích phân trong (2.6) hội tụ với mọi số phức s thoả mãn Re(s) >
α.
Định lí 2.2 Giả sử F(t) là hàm gốc có chỉ số tăng β . Khi đó tích phân (2.6) hội tụ với
mọi số phức s thoả mãn Re(s) > β . Hơn nữa, với mọi s thoả Re(s) δ β≥ > thì g(s) hội tụ
đều.
Chứng minh α β∀ > , chọn 0ε > sao cho α β ε> + . Khi đó ta có:
( )
( )
0 0 0 0
( ) ( ) ( )
t
st st t t e
g s F t e dt F t e dt e Me dt M
α β ε
α β ε
α β ε
∞∞ ∞ ∞ − + +
− − − +
= ≤ ≤ = =
− + +∫ ∫ ∫
M
α β ε
=
− −
với mọi s: Re(s) > β
Suy ra ( )g s hội tụ tuyệt đối với mọi s: Re(s) > β
Re(s) δ β≥ > thì g(s) hội tụ đều 
Nửa mặt phẳng Re(s) β> được gọi là nửa mặt phẳng hội tụ của tích phân Laplace.
Ta nói rằng (2.5) xác định biến đổi Laplace L{F}(s) đối với mọi giá trị (phức) của s mà tích
phân hội tụ. Điều chủ yếu là phép biến đổi Laplace là có thể bao gồm nhiều hàm số hơn phép
biến đổi Fourier, vì tần số ω được cho phép là số phức.
Định lí 2.3 Nếu F(t) là hàm gốc với chỉ số tăng β thì ( )g s là hàm chỉnh hình trên
nửa mặt phẳng hội tụ Re(s) > β .
Chứng minh Xét 0s là 1 điểm bất kì nào đó mà Re( 0s ) > β . Khi đó chọn δ thỏa
Re( 0s ) >δ β> và lân cận U của 0s sao cho Re(s) > β với mọi s U∈ . Giả sử γ là một
chu tuyến bất kì của U. Khi đó ta có:
0 0
( ) ( ) ( ) 0st st
g s ds F t e dt ds F t e ds dt
γ γ γ
∞ ∞
− −
  
= = =    
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

31. Tích phân giao hoán được là do tính hội tụ tuyệt đối và đều của ( )g s trên U. Tích phân trong
của biểu thức cuối cùng bằng không do hàm st
e−
liên tục theo s trên toàn mặt phẳng .Theo
định lí Morera ta có ( )g s là hàm chỉnh hình trên nửa mặt phẳng Re(s) > β 
Ta chỉ ra quan hệ giữa g(s) và F(t) bằng cách sử dụng kí hiệu
{ }( ) ( )g s L F s=
Chẳng hạn, xem ( ) t
F t e−
= ; phép biến đổi Laplace của nó là
{ }( )
( 1)
0 0
1
( ) .
1 1
s t
t t st e
g s L e s e e dt
s s
∞∞ − +
− − −
= = =− =
+ +∫
Để ý rằng tích phân trong (2.6) có thể hội tụ ngay cả khi F không tiến đến 0 khi t→∞, với s là
đủ lớn. Thật vậy, với 7
( ) t
F t e= , ta có
(7 )
7
0
1
,
7
b s b
t st e
e e dt
s
−
− −
=
−∫
và nếu 7s > , biểu thức này tiến đến ( )
1
7s
−
− khi b→∞.
Như một mở rộng của tính toán trên, phép biến đổi Laplace của hàm số at
e là
1
s a−
khi Re(s) > Re(a). Bằng sự lựa chọn khác nhau của hằng số a ta có thể chỉ ra tám dòng đầu
tiên trong bảng của biến đổi Laplace dưới đây. Dòng (ix) có được bằng lấy tích phân từng
phần, và nó dẫn tới các dòng (x), (xi), và (xii).
Phép lấy đạo hàm của (xiii) được thực hiện như sau
( )
0 0
{ ( ) }( ) ( ) ( ) { }( ).at at st s a t
L F t e s F t e e dt F t e dt L F s a
∞ ∞
− − − − +
= = = +∫ ∫
Dòng (xiv) nói rằng phép biến đổi Laplace là tuyến tính.
Bảng các phép biến đổi Laplace:
(i) { } ( ) ( )
1
Re Reat
L e s a
s a
= >  −
(ii) { } { } ( )0 1
1 Re 0t
L L e s
s
= = >  
(iii) { } { } ( )2 2
cos Re , Re 0i t s
L t L e s
s
ω
ω ω
ω
= = ∈ >  +

(iv) { } { } ( )2 2
sin Im , Re 0i t
L t L e s
s
ω ω
ω ω
ω
= = ∈ >  +

(v) { } { } ( )2 2
cosh cos , Re
s
L t L i t s
s
ω ω ω ω
ω
= =  ∈ >  −

(vi) { } { } ( )2 2
sinh sin , ReL t L i i t s
s
ω
ω ω ω ω
ω
= − =  ∈ >  −

(vii) { } ( )
{ } ( )
( )2 2
cos Re , , Re
i tt s
L e t L e s
s
λ ωλ λ
ω ω λ λ
λ ω
− +− +
= = ∈ > −  
+ +

(viii) { } ( )
{ } ( )
( )2 2
sin Im , , Re
i tt
L e t L e s
s
λ ωλ ω
ω ω λ λ
λ ω
− +−
= = ∈ > −  
+ +

(ix) { }
( )
( ) ( )1
!
Re Ren at
n
n
L t e s a
s a
+
= >  
−

32. (x) { } ( )1
!
Re 0n
n
n
L t s
s +
= >  
(xi) { } { }
( )
( )
2 2
22 2
cos Re , Re 0i t s
L t t L te s
s
ω ω
ω ω
ω
−
= = ∈ >  
+

(xii) { } { }
( )
( )22 2
2
sin Im , Re 0i t s
L t t L te s
s
ω ω
ω ω
ω
= = ∈ >  
+

(xiii) ( ){ }( ) { }( )at
L F t e s L F s a−
= +
(xiv) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }L aF t bH t aL F t bL H t+ = +
2.2 Đạo hàm của hàm gốc
Mệnh đề 2.4 Giả sử F(t) là hàm gốc, có đạo hàm F’(t) cũng là hàm gốc. Khi đó
{ }( ) { }( ) (0)L F s sL F s F′= − (2.7)
Chứng minh Theo định nghĩa ta có
{ }( )
0
( ) .st
L F s e F t dt
∞
−
′ ′= ∫
Dùng tích phân từng phần ta có:
{ }( ) 0
0
( ) ( ) ( ) ,st st
L F s s e F t dt e F t
∞
∞− −
′ =− − +∫
và vì ( ) 0st
e F t−
→ khi t→∞, ta có
{ }( ) { }( ) (0).L F s sL F s F′= − 
Nếu F(t) có đạo hàm cho tới cấp n và các đạo hàm này đều là những hàm gốc , thì bằng cách
áp dụng công thức (2.7) ta được
{ }( ) { }( ) ( ) { }( ) ( ) ( )2
0 0 0 ,L F s sL F s F s L F s sF F′′ ′ ′ ′= − = − − (2.8)
và một cách tổng quát
{ }( ) { }( )( ) 1 2 ( 1)
(0) (0) ... (0).k k k k k
L F s s L F s s F s F F− − −
′= − − − − (2.9)
Để minh hoạ việc sử dụng phép biến đổi Laplace để giải các bài toán biết giá trị ban đầu,
chúng ta xem một ví dụ.
Ví dụ 1: Tìm hàm f(t) mà thoả mãn
2
2
( ) ( )
2 ( ) sin
d f t df t
f t t
dt dt
+ + = (2.10)
khi 0t ≥ và tại t = 0 có tính chất
(0) 1, (0) 0f f ′= = (2.11)
Giải: Chúng ta bắt đầu lấy phép biến đổi của (2.10). Do tính tuyến tính (xiv) ta có
{ }( ) 2 { ( )} { ( )} {sin }.L f t L f t L f t L t′′ ′+ + =
Sử dụng (2.9) và điều kiện đầu (2.11) ta có
{ ( )} { ( )} 1,L f t sL f t′= − (2.12)
2
{ ( )} { ( )} .1 0.L f t s L f t s′′= − − (2.13)
Vì thế
2
( 2 1) { ( )} 2 {sin },s s L f t s L t+ + − − =

33. từ công thức (iv) của bảng biến đổi Laplace,
2 2 2
2 1
{ ( )} .
2 1 ( 2 1)( 1)
s
L f t
s s s s s
+
= +
+ + + + +
Viết số hạng đầu tiên của vế phải là
( )
22 2 2
2 1 1 1 1
,
2 1 ( 1) 1 ( 1)1
s s
s s s s ss
+ +
= + = +
+ + + + ++
Theo công thức (i) và (ix), đây chính là biến đổi Laplace của hàm số t t
e te− −
+
Để phân tích số hạng thứ hai, ta dùng phân thức từng phần để biểu diễn
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
,
( 2 1)( 1) 2 1 2 ( 1) 2 1
s
s s s s s s
= + −
+ + + + + +
mà là biến đổi Laplace của nó là
1 1 1
cos
2 2 2
t t
e te t− −
+ −
( xem công thức (i),(ix),và (iii)).
Vì vậy nghiệm của phương trình đã cho là
1 1 1
( ) cos
2 2 2
t t t t
f t e te e te t− − − −
= + + + −
3 3 1
cos
2 2 2
t t
e te t− −
= + −  .
2.3 Phép biến đổi Laplace ngược
Trong ví dụ 1 ta thấy để tìm nghiệm ta phải chuyển ngược phép biến đổi. Thông
thường, như được minh hoạ, việc này có thể được thực hiện nhờ bảng các biến đổi Laplace.
Tuy nhiên, vì phép biến đổi này có được từ phép biến đổi Fourier, mà phép biến đổi Fourier
có công thức ngược, nên chúng ta cũng nghi ngờ rằng cũng tồn tại phép biến đổi Laplace
ngược. Để thấy điều này, từ định lý 1.8, công thức Fourier ngược của một hàm khả vi liên
tục, khả tích F là
( ) ( ) i t
F t G e dω
ω ω
∞
−∞
= ∫
Cũng nhắc lại rằng phép biến đổi Laplace L{F} được biểu thị theo phép biến đổi
Fourier bởi công thức (2.4), tức là
{ }( )
1
( ) .
2
G L F iω ω
π
=
Do đó ta có
{ }( )
1
( )
2
i t
F t L F i e dω
ω ω
π
∞
−∞
= ∫
Công thức này thường được viết (thay thế -is cho ω)
{ }( )
1
( ) ,
2
i
st
i
F t L F s e ds
iπ
∞
− ∞
= ∫ (2.14)
Chúng ta sẽ khái quát công thức (2.14) bao gồm cả lớp những hàm không khả tích có
phép biến đổi Laplace xác định khi Re(s) đủ lớn. Điều này dễ đạt được nếu ta có thể tìm một
số dương a đủ lớn để ( ) at
F t e−
khả tích. Khi đó ta viết công thức ngược (2.14) đối với hàm
( ) at
F t e−
{ }1
( ) ( ) ( ) .
2
i
at at st
i
F t e L F t e s e ds
iπ
∞
− −
− ∞
= ∫ (2.15)
Sử dụng công thức (xiii) của bảng biến đổi trong (2.15) và nhân hai vế với at
e ta có

34. { }( ) ( )1
( ) ,
2
i
s a t
i
F t L F s a e ds
iπ
∞
+
− ∞
= +∫ (2.16)
Tích phân thức này có thể được chuyển thành tích phân được gọi là tích phân Browmwich
{ }( )
1
( ) .
2
a i
st
a i
F t L F s e ds
iπ
+ ∞
− ∞
= ∫
Sự phân tích chặt chẽ dẫn đến kết quả khái quát sau:
Định lý 2.5 Giả sử F(t) trơn từng khúc trên mỗi khoảng hữu hạn [ ]0,b và ( )F t bị
chặn bởi t
Meα
với 0t ≥ . Khi đó { }( )L F s tồn tại khi Re( )s α> , và với mọi 0t > và mọi
a α> ,
( ) ( ) 1
. . { }( ) .
2 2
a i
st
a i
F t F t
p v L F s e ds
iπ
+ ∞
− ∞
+ + −
= ∫
Ví dụ 2: Tìm hàm trơn từng khúc F có phép biến đổi Laplace 4
1
{ }( )
1
L F s
s
=
−
.
Giải: Có thể dùng các phân thức từng phần và bảng biến đổi để giải bài toán này,
nhưng ta sẽ minh hoạ việc sử dụng những công thức nghịch đảo. Nhận xét rằng hàm số này
giải tích trong miền Re(s)>1. Để tìm công thức nghịch đảo ta hãy tính tích phân
. 4
1
: . .
1
a i
st
a i
I p v e ds
s
+ ∞
− ∞
=
−∫ ( 0t ≥ )
với 2a = . Tích phân này có thể được tính bằng cách dùng định lý thặng dư. Ta có I là giới
hạn, khi ρ → ∞ , của tích phân đường
4
: ,
1
zt
e
I dz
zρ
ρ
γ
=
−∫
iρ
iρ−iρ−
Cρ ργ
2 2
ργ Cρ
′
iρ
Hình 2.1. chu tuyến cho ví dụ 2.
(a)
(b)

35. trong đó ργ là đoạn thẳng đứng từ 2-iρ đến 2+iρ. Khi 0t ≥ ta đóng kín chu tuyến bằng nửa
đường tròn : 2 , 3
2 2
i
C z eθ
ρ
π π
ρ θ= + ≤ ≤ (xem hình 2.1(a)). Tích phân trên Cρ bị chặn bởi
(2 cos ) sin 2
4 4/2 3 /2
max ,
( 2) 1 ( 2) 1
t i t te e e
ρ θ ρ θ
π θ π
πρ
πρ
ρ ρ
+
≤ ≤
=
− − − −
tiến về 0 khi ρ → ∞ .
Hàm dưới dấu tích phân có 4 điểm cực đơn tại 1, i± ± , tất cả nằm trong nửa đường
tròn hình 2.1(a);
4
.
1 ( 1)( 1)( )( )
zt zt
e e
z z z z i z i
=
− − + − +
Vì thế lim 2 [Re (1) Re ( 1) Re ( ) Re ( )]I I i s s s i s iρ
ρ
π
→∞
= = + − + + −
2
2(1 )(1 ) ( 2)( 1 )( 1 ) ( 1)( 1)(2 ) ( 1)( 1)( 2 )
t t it it
e e e e
i
i i i i i i i i i i
π
− −
 
= + + + 
− + − − − − + − + − − − + − 
sinh sin .i t i tπ π= −
Vậy công thức nghịch đảo là
1 sinh sin
( ) , 0
2 2
t t
F t I t
iπ
−
= = ≥
Với 0t < chúng ta đóng kín chu tuyến như trong hình 2.1(b); tích phân trên Cρ
′ được mô tả
bởi
2 2
π π
θ− ≤ ≤ , tiến tới 0 với t là số âm. Vì chu tuyến này không chứa điểm bất thường ta
có ( ) 0F t = khi t < 0.

36. CHƯƠNG 3 PHÉP Z - BIẾN ĐỔI
Như chúng ta đã thấy, ứng dụng các phép biến đổi vào các họ những hàm số khác
nhau có thể mang lại những thuận lợi về mặt tính toán- ví dụ như sự thay thế phép lấy đạo
hàm bằng phép nhân. Đối với những hàm số liên tục trên một khoảng hữu hạn, hoặc những
hàm tuần hoàn, chúng ta dùng chuỗi Fourier; nếu khoảng là nửa vô hạn, ta dùng biến đổi
Laplace; và phép biến đổi Fourier được sử dụng khi khoảng là toàn bộ đường thẳng thực.
Thường trong thực hành chúng ta gặp những hàm số mà cấu trúc dữ liệu rời rạc.
Chẳng hạn, khi một hàm liên tục f(t) được đo trong thí nghiệm nó được lấy mẫu với một tập
hữu hạn điểm { }jt . Công cụ biến đổi mà làm cho thuận tiện các tính toán toán học đối với
các lớp dữ liệu rời rạc như thế được hiểu là phép z-biến đổi.
Chúng ta kí hiệu dãy số rời rạc bởi a(n) với n nhận giá trị nguyên từ -∞ đến +∞, và
cho phép a(n) có thể là số phức. Xét ví dụ
a(0)
1 1 1 1 1 1 1 1
..., , , , ,1, , , , ,...
16 8 4 2 2 4 8 16
(3.1)
(các giá trị mẫu của ( ) 2
x
f x
−
= tại số các số nguyên x n= );
a(0)
..., 1,1, 1,1, 1,1, 1,1,...− − − − (3.2)
(Các giá trị mẫu của cos xπ );
a(0)
...,0,0,0,3,1,4,1,5,9,... (3.3)
(chữ số trong biểu diễn thập phân của π);
a(1990) a(2000)
...,0,0,0,2,20 ,30 ,20 ,2 ,1 ,1,0,0,0,0,...K K M M K (3.4)
Phép z-biến đổi của dãy a(n) được định nghĩa như tổng của chuỗi
2 1 2
( ) : ( )
... ( 2) ( 1) (0) (1) (2) ...
n
n
A z a n z
a z a z a a z a z
∞
−
=−∞
− −
=
= + − + − + + + +
∑ (3.5)
tại mọi điểm mà (3.5) hội tụ.
Với dãy ( ) 2
n
a n
−
= trong (3.1) thì phép z-biến đổi có thể được biểu diễn như sau:
0
1 0 1
1
2 2 2 .
2 2
n n
n n n n n n
n n n n n
z
z z z
z
∞ ∞ ∞ ∞
− − − − −
=−∞ =−∞ = = =
   
= + = +   
   
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.6)

37. Cả hai “tổng” là chuỗi cấp số nhân. Chuỗi đầu tiên hội tụ đến
1
1
2
z
−
khi 2z < , trong khi
chuỗi thứ hai hội tụ đến
1 0
1
1 1 1 12
12 2 2 2 11
2
n n
n n
z
z z z z
z
∞ ∞
= =
     
= = =     
−      −
∑ ∑
khi
1
2
z > . Vì vậy hình vành khăn hội tụ chung là
1
2
2
z< < , phép z-biến đổi của chuỗi
2
n−
là hàm giải tích
1 1 3
( ) .
12 11 2( 2)
2 2
z
A z
z z
z z
−
= + =
−  − − − 
 
(3.7)
Rõ ràng phép z-biến đổi là chuỗi Laurent của A(z) trong hình vành khăn này.
Phép z-biến đổi của dãy dao động (3.2) có dạng ( 1)n n
n
z
∞
−
=−∞
−∑ ; khi 0n ≥ tổng hội tụ với
|z|>1, còn khi n < 0 tổng hội tụ với |z|<1. Những miền này tách rời nên phép z-biến đổi
không đâu hội tụ.
Vì các phần tử có chỉ số âm của dãy “pi” (3.3) bằng 0, phần tương ứng của chuỗi hội tụ
với mọi z. Những số hạng có chỉ số dương của chuỗi bị chặn bởi 9
n
z
−
và do đó chuỗi con
này hội tụ với |z|>1 mà là miền hội tụ chung và là miền xác định của phép z-biến đổi.
Chuỗi (3.4) chỉ có một số hữu hạn số hạng khác không , vậy phép z-biến đổi của nó đơn
giản là đa thức theo
1
z
hội tụ với mọi giá trị của 0z ≠ .
Từ những ví dụ này chúng ta có thể hiểu về bản chất tổng quát phép z-biến đổi của một
dãy; nó là một hàm chỉnh hình được xác định bởi chuỗi Laurent có các hệ số là các số hạng
của một dãy lấy theo thứ tự ngược lại (vì ( )a n nhân với n
z−
). Từ định lý hội tụ (định lý 0.6)
chúng ta suy ra rằng phần chuỗi có chỉ số dương hội tụ khi
limsup ( ) ,nz a n>
và phần chuỗi có chỉ số âm hội tụ khi
1
.
limsup ( )n
z
a n
<
−
Vì vậy phép z-biến đổi được xác định z thuộc hình vành khăn
1
limsup ( ) ,
limsup ( )
n
n
a n z
a n
< <
−
(3.8)
nếu tập này không rỗng. Phép biến đổi là chỉnh hình trong hình vành khăn này, và chuỗi
Laurent có các tính chất như phép lấy đạo hàm, tích phân, nhân theo từng số hạng.
Nếu a(n) = 0 khi n < 0 [ như trong (3.3)], chuỗi được gọi là chuỗi gốc (causal). Từ (3.8)
ta thấy rằng phép z-biến đổi mà là chuỗi gốc hội tụ bên ngoài đường tròn (nghĩa là bán kính
ngoài của hình vành khăn là vô hạn).
Một hàm chỉnh hình cho trước có thể là phép z-biến đổi của nhiều hơn một dãy, vì biểu
diễn chuỗi Laurent của nó là không duy nhất (nó phụ thuộc vào miền hội tụ). Hàm số
( )( )
1
1 2z z− −
là phép biến đổi của mỗi chuỗi sau:

38. 1
1 2 , 0
( )
0, 0
n
n
a n
n
−
 − ≤
= 
>
, khi |z| < 1;
1
2 , 0
( )
1, 0
n
n
a n
n
−
− ≤
= 
− >
, khi 1 < |z| < 2;
1
0, 1
( )
2 1, 1n
n
a n
n−
<
= 
− ≥
, khi |z| > 2.
Chuỗi thứ ba của những chuỗi trên là chuỗi gốc; một cách tổng quát chuỗi Laurent hội tụ
trong phần ngoài một đường tròn là phép z-biến đổi của chuỗi gốc.
Khi nào phép z-biến đổi của chuỗi có thể được viết ở dạng đóng, nó cung cấp một biểu
diễn rất cô đọng (compact) của chuỗi. Như chúng ta sẽ thấy, nó thuận lợi để giải các mối liên
hệ đệ quy, hoặc giải phương trình sai phân có liên quan đến dãy. Các công cụ để phục hồi
một dãy từ phép z-biến đổi của nó chính là các công cụ xây dựng chuỗi Laurent. Công thức
phép z- biến đổi ngược sau đây được xem như một kiểu của định lý 0.5
Định lý 3.1. Cho A(z) là phép z-biến đổi của dãy {a(n): -∞ < n < ∞} trong hình vành
khăn a z b< < . Khi đó
11
( ) ( ) ( 0, 1, 2,...)
2
n
a n A d n
i
ζ ζ ζ
π
−
Γ
= = ± ±∫
trong đó Γ là đường cong đóng đơn định hướng dương nằm trong hình vành khăn và bao
quanh gốc toạ độ.
Chìa khóa của hầu hết các ứng dụng của phép z- biến đổi là tính chất sau
Định lý 3.2: Đặt A(z) là phép z-biến đổi của dãy {a(n):-∞<n<∞} trong hình vành
khăn a z b< < . Khi đó phép z-biến đổi tương ứng của dãy {b(n) = a(n+1):-∞ < n <∞} được
cho bởi ( )zA z .Tổng quát hơn, phép z-biến đổi của dãy{c(n) = a(n+N):-∞ < n <∞}là ( )N
z A z
với mọi N (dương và âm)
Chứng minh: Phép z-biến đổi của b(n) là
( 1)
( ) ( 1) ( 1) ( )n n n
n n n
b n z a n z z a n z zA z
∞ ∞ ∞
− − − +
=−∞ =−∞ =−∞
= + = + =∑ ∑ ∑
và dễ dàng tổng quát lên cho ( )c n 
Tính chất này được sử dụng để biểu thị phép biến đổi của dãy trễ c(n) = a(n-1) là
1
( )z A z−
. Vài ví dụ sau sẽ mô tả cách sử dụng phép z-biến đổi để giải các phương trình vi
phân.
Ví dụ 1: Giả sử a(n) biểu diễn số còn lại (dư) trong tài khoản tiết kiệm của cuối tháng n.
Bắt đầu từ tháng 1 tiền gửi hằng tháng là t đồng và lãi suất được trả trên tiền vốn của tháng
trước ở mức r. 100 phần trăm (trên tháng). Nếu tài khoản là P đồng tại thời điểm bắt đầu
tháng 0 và không khoản tiền nào được rút ra, tìm công thức cho a(n).
Giải: Số còn lại (dư) trong tài khoản trong nhiều tháng liên tiếp có dạng:
…….
a(-2)=0
a(-1)=0
a(0)=P
a(1)=a(0)+ra(0)+t
a(2)=a(1)+ra(1)+t

39. …………….
Có thể thiết lập phương trình sai phân liên quan đến số dư trong các tháng liên tiếp:
a(n) = a(n-1)+ra(n-1)+D(n) (3.9)
trong đó:
0, 0
( ) : , 0
, 1
n
D n P n
t n
<

= =
 ≥
Rõ ràng a(n)=0 khi n<0, nên a(n) là dãy gốc. Giả sử a(n) có phép z-biến đổi A(z) khi z đủ
lớn. Thực hiện phép z-biến đổi hai vế của (3.9), sử dụng định lý 3.2 và kết quả
1 1
1 0
1 1
.
1 11
n n
n n
z z z z
z
z
∞ ∞
− − − −
= =
= = =
−−
∑ ∑ khi |z|>1
ta có 1
( ) [1 ] ( ) ,
1
t
A z r z A z P
z
−
= + + +
−
hoặc
2
( ) ( )
( ) .
( 1)( 1 ) ( 1)( 1 )
Pz t P z Pz t P
A z z
z z r z z r
+ − + −
= =
− − − − − −
(|z| “lớn”)
Sử dụng phân tích phân thức từng phần điều này trở thành
( ) ,
1 1
t t
P
r rA z z
z r z
 
+ 
= − 
− − − 
 
( )A z có khai triển chuỗi Laurent khi |z| đủ lớn (khi |z|>1+r) :
( )
0 0
1 1
( ) 1 .
1 1
1 1
n n n
n n
t t t t
A z P P r z z
rr r r r
z z
∞ ∞
− −
= =
   
=+ − =+ + −   +   − −
∑ ∑
Dãy tương ứng vì thế được cho bởi
( )1 , 0,
( )
0, 0.
nt t
P r n
a n r r
n
 
+ + − ≥ =  
 <

Xét phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng được cho bởi
( ) (1) ( 1) (2) ( 2) (3) ( 3)
(0) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2).
y n y n y n y n
b x n b x n b x n
β β β= − + − + −
+ + − + −
Trong thống kê phương trình như thế được gọi là sự liên hệ “trung bình lưu động tự
hồi quy” (autoregressive-moving-average) giữa phần nhập x(n) và phần xuất y(n) theo thứ tự
(3,2). Tổng quát hơn, phương trình “ ARMA(p,q)”, được đặc trưng bởi
1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
p q
j k
y n j y n j b k x n kβ
= =
= − + −∑ ∑ (3.10)
thường được dùng để mô hình hóa dãy ngẫu nhiên y(n) được điều khiển bởi x(n) (Tổng đầu
tiên trong (3.10) là tự hồi quy và tổng thứ hai là trung bình lưu động)
Ví dụ 2 Với mô hình ARMA(1,1) hãy biểu thị phép z-biến đổi của phần xuất theo
phép z- biến đổi phần nhập và các hằng số (0)β , b(0), b(1).
Giải: Lấy phép z-biến đổi của phương trình
( ) (1) ( 1) (0) ( ) (1) ( 1)y n y n b x n b x nβ= − + + − (3.11)

40. ta có
1 1
( ) (1) ( ) (0) ( ) (1) ( )Y z z Y z b X z b z X zβ − −
= + +
hoặc
1
1
(0) (1) (0) (1)
( ) ( ) ( )
1 (1) (1)
b b z b z z
Y z X z X z
z zβ β
−
−
+ +
= =
− −
(12) 
Chúng ta vừa thảo luận cách mà các kỹ sư thường mô tả một hệ thống qua sự phản hồi
tần số (frequency response) của nó. Đối với các hệ thống rời rạc được mô hình hóa bởi những
phương trình sai phân như (3.10), bằng cách sử dụng các mẫu hàm hình sin phức i t
e ω
như là
phần nhập
{ }( ) ,i t i n
t n
x n e eω ω
=
= = (3.13)
ta giải tìm được phần xuất có cùng dạng
( ) ( ) ( ) ( ) ,i n
y n H x n H e ω
ω ω= = (3.14)
ở đây hàm biến đổi miền tần số ( )H ω phụ thuộc vào tần số ω trên khoảng [ ],π π− . Ta nói
rằng ( )H ω lọc phần nhập.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện cần và đủ của hệ số β(0), b(0), và b(1) trong mô hình
ARMA(1,1) để mô đun của hàm biến đổi ( )H ω là 1 với mọi tần số ω. Một hàm số biến đổi
như thế được hiểu như là một “lọc toàn bộ”.
Giải. Vì chuỗi i n n
n
e zω
∞
−
=−∞
∑ không đâu hội tụ nên sẽ không đúng nếu ta lấy phép z-biến
đổi của x(n). Do đó ta thay thế trực tiếp dạng (3.13) và (3.14) vào (3.11)
( 1) ( 1)
( ) (1) ( ) (0) (1)i n i n i n i n
H e H e b e b eω ω ω ω
ω β ω − −
= + +
và giải phương trình ta có:
(0) (1) (0) (1)
( )
1 (1) (1)
i
i i
b b e b b
H
e e
ω
ω ω
ω
β β
−
−
+ +
= =
− −
(3.15)
Hàm này có dạng giống như một nhân tử trong (3.12) khi thay i
z e ω
= . Nói cách khác,
( )H ω trùng với biến đổi Mobius
~
(1)
(0) (1) (0)
( )
(1)(1)
(0) (0)
b
z
b z b b
H z
zz
b b
ββ
+
+
= ≡
− −
(3.16)
với z thuộc đường tròn đơn vị. Yêu cầu ( ) 1H ω = , cũng có nghĩa là yêu cầu phép biến đổi
Mobius này biến đường tròn đơn vị thành đường tròn đơn vị.
~
( )H z cũng sẽ biến phần trong
đường tròn thành chính nó, hoặc thành phần ngoài của nó. Theo ví dụ 0.22 ta có mọi ánh xạ
Mobius biến đường tròn đơn vị đến chính nó có dạng ( ) .
1
i z
H z e
z
θ α
α
−
=
−

Kết hợp với (3.16) ta có
1
(1) (0) , (1) , 1.b b
α
β α
α α
== =− ≠ 
Nghiệm của phương trình sai phân với điều kiện đầu được thực hiện một cách tiện lợi
nhất với phép z-biến đổi một phía ( )A z+
mà bỏ đi các số hạng có chỉ số âm trong chuỗi (3.5)
0
( ) : ( ) .n
n
A z a n z
∞
+ −
=
= ∑ (3.17)

41. Rõ ràng nếu a(n) là dãy gốc, thì ( ) ( )A z A z+
= , và miền hội tụ của ( )A z+
là phần
ngoài của một đường tròn ( limsup ( ) )nz a n> . Tính chất phép z- biến đổi một phía tương
tự như tính chất được mô tả trong định lý 3.2,
Định lý 3.3 Đặt ( )A z+
là phép z-biến đổi một phía của dãy { ( ) : }a n n−∞ < < ∞ trong
miền a z< . Khi đó phép z-biến đổi một phía của dãy { ( ) ( 1) : }b n a n n= + −∞ < < ∞ được cho
bởi ( ) (0)z A z a+
 −  .
Tổng quát hơn, phép z-biến đổi một phía của dãy { ( ) ( ) : }c n a n N n= + −∞ < < ∞ là
1 2 ( 1)
( ) (0) (1) (2) ... ( 1)N N
z A z a a z a z a N z+ − − − −
 − − − − − −  cho mọi số dương N.
Chứng minh Phép z-biến đổi một phía của b(n) là
( 1)
0 0 0 0
( ) ( 1) ( 1) ( ) (0)
( ) (0) .
n n n m
n n n m
b n z a n z z a n z z a m z za
z A z a
∞ ∞ ∞ ∞
− − − + −
= = = =
+
= + = + = −
 = − 
∑ ∑ ∑ ∑
Bằng quy nạp ta có kết quả khái quát.
Ví dụ 4 Giả sử dãy a(n) thoả mãn phương trình
a(n+2) -3a(n+1) + 2a(n)=0 (3.18)
với mọi 0n ≥ và a(0) = 1 , a(1)= -1. Tìm công thức của a(n) khi n ≥ 0
Giải. Phương trình (3.18) thỏa với mọi n ≥ 0, áp dụng phép z-biến đổi một phía và sử
dụng định lý 3.3 ta được
2 1
( ) 1 ( 1) 3 ( ) 1 2 ( ) 0z A z z z A z A z+ − + +
   − − − − − + =   
tức là
2
2
0 0
4 4 3 2 1 1
( ) 3 2
3 2 ( 1)( 2) 1 2 1 1/ 1 2 /
3 2 2 .n n n
n n
z z z
A z z z
z z z z z z z z
z z
+
∞ ∞
− −
= =
− − − 
= = = + = − 
− + − − − − − − 
= −∑ ∑
Vì thế 1
( ) 3 2 ,n
a n +
= − khi n ≥ 0

42. CHƯƠNG 4 TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI
HILBERT
Một tích phân dạng
( )f
d
z
ζ
ζ
ζΓ
−∫
với Γ là một đường cong trơn từng khúc trong  và :f γ →  là hàm liên tục được biết
như là một tích phân Cauchy. Việc nghiên cứu các tích phân Cauchy khá hấp dẫn và đem lại
các kết quả có ích. Trong chương này chúng ta sẽ khám phá một số khía cạnh lý thuyết và
thực tiễn của các dạng tích phân này
Nếu Γ là một đường cong trơn đóng như trong hình 4.1 và f chỉnh hình bên trong và trên
Γ , thì định lý công thức tích phân Cauchy được phát biểu rằng
2 ( ), khi ben trong( )
0, khi ben ngoai
if z zf
d
z z
πζ
ζ
ζΓ
 Γ
= 
− Γ
∫

 (4.1)
Vấn đề đặt ra là giá trị của tích phân sẽ như thế nào khi điểm z xuyên qua Γ . Để tìm hiểu
điều này ta xét đường cong 'εΓ như trong hình 4.2. Điểm 0z nằm trên đường Γ , nhưng nằm
hoàn toàn bên trong 'εΓ , theo công thức tích phân Cauchy ta có
0
0
( )
2 ( )
f
d if z
zε
ζ
ζ π
ζ′Γ
=
−∫ (4.2)
ở đây giả sử bán kính ε của đường tròn lõm là đủ nhỏ để 'εΓ còn nằm bên trong miền chỉnh
hình của f. Khi ε tiến đến 0, tích phân trên nửa đường 'S ε tiến đến 0( )if zπ (theo bổ đề 0.17)
Sε
′
ε
′Γ
Hình 4.2 đường cong lõm
0z
Γ
Hình 4.1 Đường của tích phân Cauchy

43. Tóm lại: Trên cơ sở hình 4.2 ta có
0
0 0 0
( ) ( ) ( )
. . lim ,
S
f f f
d p v d d
z z zε εε
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ′ ′Γ Γ →
= +
− − −∫ ∫ ∫ (4.3)
|| ||
02 ( )if zπ 0( )if zπ
(công thức Cauchy) (bổ đề 0.17)
Từ đó ta có
0
0
( )
. . ( ).
f
p v d if z
z
ζ
ζ π
ζΓ
=
−∫ (4.4)
Ví dụ 1: Kiểm tra đẳng thức (4.4) cho trường hợp Γ là đường tròn đơn vị tâm 1z = có
định hướng dương, với ( ) 1f z ≡ , và 0 0z = .
Giải: Rõ ràng
1
d
z
ξ
ξΓ −∫ bằng 2 iπ khi 1 1z − < và bằng 0 khi 1 1z − >
Khi 0 0z z= = (xem hình 4.3) ta có
[ ]1 2
1 2
, 0
1
. . lim
0 z z
p v d Logz Logzζ
ζΓ →
= −
−∫
với 1 2z z= như đã chỉ ra. Vì thế ta có
[ ]1 2
1 2
, 0
1
. . lim .
0 2 2z z
p v d iArgz iArgz i i i
π π
ζ π
ζΓ →
= − = + =
−∫ 
Nếu ta khoét một vùng lõm bên trong Γ , như trong hình 4.4 thì tích phân trên nửa đường
tròn (quay theo chiều kim đồng hồ) Sε
′′ bằng 0( )if zπ− . Ta phân tích tích phân (4.3) về dạng
0
0 0 0
( ) ( ) ( )
. . lim
S
f f f
d p v d d
z z zε εε
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ′′ ′′Γ Γ →
= +
− − −∫ ∫ ∫ (4.5)
|| || ||
0 0( )if zπ 0( )if zπ−
(ĐL Cauchy) [ĐT (4.4)] (bổ đề 0.17)
21
Hình 4.3 Chu tuyến của ví dụ 1
1z
2z

44. Từ những xem xét trên ta thấy điều đã xảy ra đối với tích phân Cauchy (4.1) khi điểm
z xuyên qua Γ . Trong hình 4.5 các điểm { }: 1,2,3,...nz n+
= tiến đến 0z từ bên trong, và các
tích phân Cauchy bằng 2 ( )nif zπ +
. Hơn nữa nếu đường cong là lõm như trong hình 4.2, thì các
tích phân này không đổi. Chúng tiến đến giới hạn 02 ( )if zπ , và từ (4.3) và (4.4) ta có thể quy
một nửa của giới hạn này cho giá trị chính và nửa khác của giới hạn này cho phần lồi ngoài
Sε
′ .
Bây giờ nếu chuỗi { }nz−
tiến tới 0z từ bên ngoài Γ (Hình 4.6), chúng ta sử dụng cung lõm bên
trong Sε
′′ để lập luận rằng giới hạn (bằng không) của tích phân Cauchy có được là do 0( )if zπ
từ giá trị chính và 0( )if zπ− từ tích phân trên nửa đường tròn Sε
′′. Như vậy khi điểm z xuyên
qua chu tuyến Γ chúng ta có thể quy cho bước nhảy trong tích phân Cauchy là do sự thay thế
một cung lõm này bởi một cung lõm khác; Sε
′ “mở cửa” cho z đi qua sau đó Sε
′′ “đóng cửa”
đằng sau nó. Sự khác nhau giữa giới hạn trong và ngoài là do phần ngược hướng nhau của
các nửa đường tròn:
0 0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim lim
n nz z z z
n n S S
f f f f
d d d d
z z z zε ε
ε ε
ζ ζ ζ ζ
ζ ζ ζ ζ
ζ ζ ζ ζ+ −+ − → →→ →
′ ′′Γ Γ
− = −
− − − −∫ ∫ ∫ ∫   
0 0 0( ) [ ( )] 2 ( ).if z if z if zπ π π= − − = (4.6)
Bằng cách tính tương tự, trung bình của giới hạn phần trong và giới hạn phần ngoài sinh ra
giá trị chính của tích phân:
0 0
( ) ( )
lim lim
n nz z z z
n n
f f
d d
z z
ζ ζ
ζ ζ
ζ ζ+ −+ −Γ Γ→ →
+ =
− −∫ ∫ 
0 0
0 0 0
( ) ( ) ( )
2 . . lim lim
S S
f f f
p v d d d
z z zε εε ε
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ′ ′′Γ → →
 
= + + 
− − − 
∫ ∫ ∫
0
( )
2 . . .
f
p v d
z
ζ
ζ
ζΓ
 
=  
− 
∫ (4.7)
ε
′′Γ
Sε
′′
0z
Hình 4.4 Phần lõm bên trong

45. Nếu đường Γ không đóng ta không có định lý không tổng quát nói về giá trị của
( )f
d
z
ζ
ζ
ζΓ −∫ , nhưng nếu lập luận được tiến hành nhự từ hình 4.2 đến 4.6 các đẳng thức (4.6)
và (4.7) vẫn đúng khi chúng ta giải thích dãy { }nz+
tiến tới 0z từ bên trái của Γ và { }nz−
tiến
tới từ bên phải. Công thức Sokhotskyi-Plemelj mở rộng các xem xét này tới các đường và
hàm tổng quát hơn (không chỉnh hình); Công thức này phát biểu rằng hiệu giữa các giá trị
giới hạn của tích phân Cauchy
( )f
d
z
ζ
ζ
ζΓ −∫ khi z tiến tới 0z (trên Γ ) từ bên trái và từ bên
phải là luôn bằng 02 ( )if zπ , trong khi trung bình của chúng bằng giá trị chính.
Xét Γ là đường cong bao bọc một miền trong nửa mặt phẳng như trong hình 4.7. Nếu
f(z) chỉnh hình trong nửa mặt phẳng trên và tiến tới không tại vô tận nhanh sao cho tích phân
trên nửa đường tròn RS triệt tiêu khi R → ∞ , thì (4.4) có dạng
( )
. . ( ).
f
p v d if x
x
ξ
ξ π
ξ
∞
−∞
=
−∫ (4.8)
RS
R-R
[ ],RS R RΓ= + −
Hình 4.7 Chu tuyến bao quanh nửa mặt phẳng (khi R → ∞).
Γ
3z− 1z−
2z−
0z
Γ
3z+
1z+
Hình 4.5 Tiến đến 0z từ bên trong Γ
0z
2z+
Hình 4.6 Tiến đến 0z từ bên ngoài Γ

46. Chẳng hạn tích phân trên RS sẽ triệt tiêu nếu ( )
K
f z
z
≤ hoặc nếu ( ) imz
f z K e≤ với số
nguyên m (xem bổ đề Jodan 0.18).
Biểu diễn ( ) ( , ) ( , )f x iy u x y iv x y+ = + và tách (4.8) thành phần thực và phần ảo, ta có
1 ( ,0) 1 ( ,0)
( ,0) . . , ( ,0) . . .
u v
v x p v d u x p v d
x x
ξ ξ
ξ ξ
π ξ π ξ
∞ ∞
−∞ −∞
=− =
− −∫ ∫ (4.9)
Công thức đầu tiên của (4.9) dẫn đến định nghĩa sau.
Định nghĩa 4.1 Biến đổi Hilbert của hàm thực tuỳ ý ( ) ( )x xφ −∞ < < ∞ được định
nghĩa bởi
1 ( )
( ) : . .x p v d
x
φ ξ
ψ ξ
π ξ
∞
−∞
= −
−∫ (4.10)
(khi tích phân tồn tại)
Khi ( )xφ và ( )xψ là một cặp hàm số mà tổ hợp iφ ψ+ có thể được mở rộng thành một
hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng trên, bị “triệt tiêu” tại vô tận, thì ψ là biến đổi Hilbert
của φ . Như vậy phép biến đổi Hilbert của cosx là sinx, vì cos sin iz
x i x e+ =khi z x= và bổ
đề Jordan chỉ ra iz
e bị triệt tiêu tại vô tận. Nhận xét rằng phép biến đổi Hilbert của sinx là -
cosx ( bởi vì sin cos iz
x i x ie− =− khi z x= ). Điều này phù hợp với các dấu trong (4.9) và
công thức thứ hai trong (4.9) được xem như công thức của phép biến đổi Hilbert ngược:
1 ( )
( ) : . .x p v d
x
ψ ξ
φ ξ
π ξ
∞
−∞
=
−∫ (4.11)
Có thể lập các phép biến đổi Hilbert bằng cách viết ra các hàm chỉnh hình với các tính chất
được đòi hỏi trong nửa mặt phẳng trên và tách các phần thực và ảo trên trục thực. Theo cách
này ta có bảng sau
Bảng các phép biến đổi Hilbert
Hàm ( )xφ Phép biến đổi Hilbert ( )xψ
cos xω (ω>0)
cos xω (ω<0)
sin xω (ω>0)
sin xω (ω<0)
2 2
a
a x+
(a>0)
sin ax
x
(a>0)
sin xω
sin xω−
cos xω−
cos xω
2 2
x
a x+
1 cosax
x
−
Ví dụ 2: Kiểm tra đẳng thức (4.10) đối với dòng đầu tiên trong bảng biến đổi.
Giải. Chúng ta tách tích phân Cauchy ra thành 2 phần:
cos
. . . . . . .
2( ) 2( )
i i
e e
p v d p v d p v d
x x x
ωξ ωξ
ωξ
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
∞ ∞ ∞ −
−∞ −∞ −∞
= +
− − −∫ ∫ ∫
Để tính giá trị của tích phân đầu chúng ta khép kín chu tuyến với một nửa đường tròn
và một cung lõm trong nửa mặt phẳng trên ξ , được biểu diễn trong hình 4.8(a). Dùng bổ đề
Jordan và định lý Cauchy, ta có
. . Re ( ) .
2( ) 2
i i x
e ie
p v d i s x
x
ωξ ω
π
ξ π ξ
ξ
∞
−∞
= = =
−∫

47. Chu tuyến của tích phân thứ hai được khép kín như hình 4.8(b), và ta có
. . Re ( ) .
2( ) 2
i i x
e ie
p v d i s x
x
ωξ ω
π
ξ π ξ
ξ
∞ − −
−∞
=− ==−
−∫
Tổng của các tích phân này bằng
cos
. . sin
2
i x i x
e e
p v d i x
x
ω ω
ωξ
ξ π π ω
ξ
∞ −
−∞
−
= = −
−∫
và chia cho –π, ta nhận được điều cần chứng minh.
Như vậy chúng ta có thể đưa ra một phương pháp tính phép biến đổi Hilbert : bắt đầu
từ hàm ( )xφ , dùng công thức Poisson đối với nửa mặt phẳng để mở rộng nó thành một hàm
điều hoà u(x,y) trong nửa mặt phẳng trên; thiết lập liên hợp điều hoà v(x,y) mà hạn chế trên
trục x nó trở thành phép biến đổi ( )xψ (Xem ở 0.7, 0.8, 0.9, 0.14 chương 0). Khi đó đẳng
thức (4.10) hoàn thành công việc này.
Nhiều áp dụng của biến đổi Hilbert được dựa trên cách mà nó tương tác với biến đổi
Fourier. Chúng ta xét công thức
1
( ) ( ) ,
2
i x
x e dxω
ω φ
π
∞
−
−∞
Φ = ∫ (4.12)
và công thức nghịch đảo của nó
( ) ( ) ,i x
x e dω
φ ω ω
∞
−∞
= Φ∫ (4.13)
Ta đã xác định phép biến đổi Hilbert là toán tử tuyến tính trên hàm sin và cosin. Vì
vậy nếu chúng ta chấp nhận quan điểm rằng phương trình (4.13) biểu diễn φ như một chồng
chất của các hàm hình sin, thì ta viết lại (4.13) là
[ ] [ ]
0
0
( ) ( ) cos sin ( ) cos sinx x i x d x i x dφ ω ω ω ω ω ω ω ω
∞
−∞
=Φ + + Φ +∫ ∫ (4.14)
và lấy phép biến đổi Hilbert của nó như sau:
[ ] [ ]
0
0
( ) ( ) sin cos ( ) sin cosx x i x d x i x dψ ω ω ω ω ω ω ω ω
∞
−∞
= Φ − + + Φ −∫ ∫
0
( /2) ( /2)
0
( ) ( )i x i x
e d e dω π ω π
ω ω ω ω
∞
+ −
−∞
= Φ + Φ∫ ∫
x
(b)
x
(a)
Hình 4.8 Chu tuyến cho ví dụ 2.