Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng của nó trong đại số Banach, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Huỳnh Minh Toàn
VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN
TRONG ĐẠI SỐ BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Huỳnh Minh Toàn
VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN
TRONG ĐẠI SỐ BANACH
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3. LỜI CÁM ƠN
Tôi xin được gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy khoa Toán – Tin
trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho lớp
Toán giải tích khóa K21. Xin được cảm ơn quý thầy trong Hội đồng khoa học đã
đọc và cho những ý kiến xác đáng. Cám ơn phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi rất
nhiều trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến TS. Nguyễn Văn Đông, người thầy tận tụy đã
hết lòng hướng dẫn, tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Phong cách làm việc khoa học, lòng nhiệt huyết yêu nghề của thầy sẽ là hành trang
vốn quý cho chúng tôi, những người đã và đang theo nghề giáo.

4. MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cám ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU.................................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................................... 3
1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến.............................................................................................. 3
1.2. Một số kiến thức về tôpô – giải tích hàm ........................................................................ 8
Chương 2. ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND TRÊN NÓ .... 11
2.1. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand................................................ 11
2.2. Đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử....................................... 27
Chương 3. HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG .. 35
3.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động trên không gian các phép biến đổi Gelfand ........ 35
3.2. Định lý hàm ẩn trong đại số Banach.............................................................................. 40
3.3. Vài kết quả về biên Shilov............................................................................................. 46
KẾT LUẬN.............................................................................................................................. 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................................... 55

5. 1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong các đối tượng chính của lý thuyết các đại số Banach giao
hoán là việc nghiên cứu xem khi nào có thể biểu diễn một đại số bởi một đại
số các hàm liên tục trên một không gian compact. Sự biểu diễn này tạo điều
kiện cho việc ứng dụng các kết quả của lý thuyết hàm vào lý thuyết đại số
Banach. Việc nghiên cứu các ứng dụng của giải tích phức vào lý thuyết đại
số Banach được quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như Weiner,
Lévy, Shilov, Rossi, Arens, Caderon, Hormander… Tôi chọn đề tài nhằm
tìm hiểu sâu hơn về giải tích phức và một số ứng dụng của nó trong đại số
Banach.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức và xem xét một số
ứng dụng của nó trong đại số Banach. Cụ thể luận văn trình bày lại các kết
quả sau
+ Mô tả các biểu diễn của đại số giao hoán qua các hàm liên tục theo
biểu diễn Gelfand.
+ Chứng minh các hàm chỉnh hình nhiều biến phức tác động lên
không gian các biến đổi Gelfand. Đồng thời áp dụng kết quả này để chứng
minh định lý hàm ẩn đối với một đại số Banach.
+ Chứng minh rằng biên Shilov có thể được xác định bởi các điều
kiện địa phương.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các đại số Banach, các phép biến đổi Gelfand, biên Shilov, định lý
hàm ẩn, hàm chỉnh hình nhiều biến phức.

6. 2
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn là một tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu thêm về hàm chỉnh
hình nhiều biến và ứng dụng của nó trong đại số Banach.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand
Chương 3. Hàm chỉnh hình trong đại số Banach và một số ứng dụng

7. 3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức liên quan đến giải tích
phức nhiều biến, tôpô, giải tích hàm được sử dụng cho các chương sau.
1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến
Định nghĩa 1.1.1
Hàm nhiều biến phức trên một tập n
D ⊂  là một ánh xạ f từ D vào mặt
phẳng phức , giá trị của hàm f tại điểm z D∈ được kí hiệu là ( )f z .
Định nghĩa 1.1.2
Hàm : n
l →  gọi là − tuyến tính (tương ứng − tuyến tính) nếu
i) ( ') ( ) ( '), , ' n
l z z l z l z z z+ = + ∀ ∈
ii) ( ) ( ), , n
l z l z zλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈  (tương ứng , n
zλ∀ ∈ ∀ ∈  ) .
Hàm − tuyến tính : n
l →  là − tuyến tính nếu ( ) ( ),l iz il z= n
z∀ ∈
Trong trường hợp ( ) ( ), , n
l z l z zλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈  ta nói l là − phản tuyến tính
Chẳng hạn hàm jz z→ là − tuyến tính, hàm jz z→ là − phản tuyến tính
Mọi hàm − tuyến tính : n
l →  được viết duy nhất dưới dạng
( ) '( ) ''( )l z l z l z= +
với
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) , ''( )
2 2
l z il iz l z il iz
l z l z
− +
= = , 'l là − tuyến tính, ''l là − phản
tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3
Hàm :f Ω →  , với Ω là tập mở trong n
 , được gọi là 2n
− khả vi
(tương ứng n
− khả vi) tại z∈Ω nếu tồn tại một ánh xạ − tuyến tính
: n
l →  (tương ứng − tuyến tính) sao cho
( ) ( ) ( ) ( )f z h f z l h hϕ+ = + + với
( )
0
h
h
ϕ
→ khi 0h → .
Hàm l nếu tồn tại thì duy nhất và được gọi là 2n
− đạo hàm (tương ứng
n
− đạo hàm) của f tại z ký hiệu '( )f z .

8. 4
Nếu f là 2n
− khả vi tại a thì ánh xạ l thỏa điều kiện của định nghĩa trên
được kí hiệu là ad f và được gọi là vi phân của f tại a .
Đặc biệt, nếu f là 2n
− khả vi tại a thì
a a ad f f f= ∂ + ∂
trong đó a f∂ là một ánh xạ − tuyến tính và a f∂ là một ánh xạ − phản tuyến
tính
Ta lại có
1
( ( ) ( ) )
n
a i i
i i i
f f
d f a dx a dy
x y=
∂ ∂
= +
∂ ∂
∑
Bằng cách viết , , 1,...,j j j j j jz x iy z x iy j n=+ =− =
, , 1,...,jj j j j jdz dx idy d z dx idy j n= + = − =
Suy ra ,
2 2
j jj j
j j
dz d z dz d z
dx dy
i
+ −
= =
Khi đó
1
( ) ( )
2 2
n
j jj j
a
j j j
dz d z dz d zf f
d f a a
x y i=
    + −∂ ∂
= +    
   ∂ ∂     
∑
1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
n n
jj
j jj j j j
f f f f
a i a dz a i a d z
x y x y= =
   ∂ ∂ ∂ ∂
= − + +   
∂ ∂ ∂ ∂      
∑ ∑
1
( ) ( )
n
jj
jj j
f f
a dz a d z
z z=
∂ ∂
= +
∂ ∂
∑
với a f∂ =
1
( )
n
j
j j
f
a dz
z=
∂
∂
∑ ,
1
2j j j
f f f
i
z x y
 ∂ ∂ ∂
= −  ∂ ∂ ∂ 
a f∂ =
1
( )
n
j
jj
f
a d z
z=
∂
∂
∑ ,
1
2j j j
f f f
i
x yz
 ∂ ∂ ∂
= +  ∂ ∂∂  
Do tính duy nhất của sự phân tích ánh xạ aa ad f f f= ∂ + ∂ nên , aa f f∂ ∂ là suy nhất.
Tổng quát nếu f là 2n
− khả vi trên Ω thì df f f= ∂ + ∂ với
1
n
a j
j j
f
f dz
z=
∂
∂ =
∂
∑ và
1
n
ja
jj
f
f d z
z=
∂
∂ =
∂
∑ .

9. 5
Vậy hàm f là n
− khả vi tại 0 n
z ∈ nếu và chỉ nếu f là 2n
− khả vi tại 0
z và nó
thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann 0
( ) 0, 1,...,
j
f
z j n
z
∂
= ∀ =
∂
, nghĩa là khi và chỉ
khi
0 0
( ) ( )df z f z= ∂ .
Định nghĩa 1.1.14
i) Hàm :f Ω →  , Ω là mở trong n
 gọi là chỉnh hình tại z nếu f là
n
− khả vi trong một lân cận của z .
ii) Ánh xạ : m
f Ω →  , Ω là mở trong n
 gọi là chỉnh hình tại z nếu jf
chỉnh hình tại z , 1,...,j n∀ = , ở đây ( )1,..., mf f f= .
iii) Nếu f chỉnh hình tại z ta nói
j
f
z
∂
∂
là đạo hàm riêng của f theo biến
jz .
Định lý 1.1.5
Cho Ω là tập mở trong n
 . Một ánh xạ 2n
− khả vi :f Ω →  là chỉnh
hình trên Ω khi và khi nó thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann
0, 1,...,
j
f
j n
z
∂
= ∀ =
∂
Ký hiệu ( )H Ω là tập hợp tất cà các hàm chỉnh hình trên Ω .
Định nghĩa 1.1.6
Cho Ω là một tập mở trong n
 với 2n ≥ . Một hàm :f Ω →  được gọi là
chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình với mỗi biến khi các biến còn lại cố
định. Điều này có nghĩa là với mọi 1 2 1 1, ,..., , ...,j j nz z z z zο ο ο ο ο
− + hàm
g( )
:
j jz z
g V →

 là hàm
chỉnh hình, với { }1 2 1 1:( , ,..., , , ..., )j j j j nV z z z z z z zο ο ο ο ο
− += ∈ ∈Ω
( ) 1 2 1 1( , ,..., , , ..., )j j j j ng z f z z z z z zο ο ο ο ο
− +=

10. 6
Định lý 1.1.7
Hàm f liên tục trên đa đĩa đóng ( , )P a r và chỉnh hình từng biến trên ( , )P a r
thì nó được biểu diễn bởi tích phân bội Cauchy
( )( ) ( )
1 2
1 1 2 2
( ) ...1
( )
2 ...
n
n
n n
f d d d
f z
i z z z
ζ ζ ζ ζ
π ζ ζ ζΓ
 
=  
− − − 
∫ , ( , )z P a r∀ ∈ .
Định lý 1.1.8
Giả sử hàm f liên tục trên đa đĩa đóng ( , )P a r và chỉnh hình từng biến
trên ( , )P a r thì tại mỗi ( , )z P a r∈ tồn tại một khai triển lũy thừa dạng
f(z )= ( )
0
c z a
α
α
α
∞
=
−∑
với
( )
1
1 ( )
2
n
f d
c
i a
α α
ζ ζ
π ζ
+
Γ
 
=  
  −
∫ và sự hội tụ của chuỗi là sự hội tụ chuẩn tắc.
Giả sử n
Ω ⊂  và ' m
Ω ⊂  là hai miền (mở và liên thông). Các biến trong Ω
được viết 1( ,..., )nz z z= , các biến trong 'Ω được viết 1( ,..., )nw w w= . Một ánh xạ
: 'G Ω → Ω được mô tả bởi m hàm
1 1 1 1( ,..., ),..., ( ,..., )n m m nw g z z w g z z= =
Ánh xạ G được gọi là ánh xạ chỉnh hình nếu m hàm 1,..., mg g là các hàm chỉnh hình
trên Ω . Nếu 1( ) ( ,..., )mf w f w w= là hàm nào đó xác định trên 'Ω thì hợp thành
( )( )f G z khi đó là một hàm trên Ω .
Định lý 1.1.9
Nếu ( )f w là hàm chỉnh hình theo từng biến trên 'Ω và : 'G Ω → Ω là một
ánh xạ chỉnh hình thì hợp thành ( )( )f G z là một hàm chỉnh hình.
Định lý 1.1.10 (nguyên lý đồng nhất)
Nếu ,f g là các hàm chỉnh hình trong một miền n
D ⊂  và
( ) ( ) 0,f z g z z U− = ∀ ∈ , U mở khác rỗng, U D⊂ , thì ( ) ( ),f z g z z D= ∀ ∈

11. 7
Định lí 1.1.11 (nguyên lý môđun cực đại)
Nếu f chỉnh hình theo từng biến trên miền n
D ⊂  và nếu có một điểm a D∈
sao cho ( ) ( )f z f a≤ với mọi z trong một lân cận mở nào đó của a thì
( ) ( ),f z f a z D= ∀ ∈
Định lí 1.1.12 (định lý Liouville)
Nếu f chỉnh hình và bị chặn trên n
 thì f const= .
Định lý 1.1.13 (định lý hàm ẩn)
Cho ( , ), 1,...,jf w z j m= là các hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 0
( , )w z trong
m n
×  với 1 1( , ) ( ,..., , ,..., )m nw z w w z z= . Giả sử rằng 0 0
( , ) 0, 1,...,jf w z j m= = và
, 1det( / ) 0m
j k j kf w =∂ ∂ ≠ tại điểm 0 0
( , )w z . Khi đó hệ phương trình ( , ) 0, 1,...,jf w z j m= =
xác định duy nhất một hàm chỉnh hình ( )w z trong lân cận của điểm 0
z thỏa mãn
0 0
( )w z w= .
Ta nhắc lại tập các a − điểm của một hàm chỉnh hình một biến phức trên một
miền.
Định lý 1.1.14
Cho G là một miền trong , :f G →  là một hàm chỉnh hình khác hằng
trên G . Khi đó, a∀ ∈ tập hợp { }1
( ) : : ( )f a z G f z a−
=∈ =mà ta gọi là các a − điểm
của f , là tập rời rạc, đóng tương đối trong G .
Đặc biêt, với K là tập compact, K G⊂ thì mỗi tập 1
( ) ,f a K a−
∩ ∈ là tập hữu hạn.
Dẫn đến 1
( )f a−
là tập không quá đếm được.
Định lý 1.1.15
Tập các không điểm của một hàm chỉnh hình khác hằng trong miền G là tập
con rời rạc và đóng (tương đối) trong G .
Các kiến thức trong phần này xem chứng minh chi tiết trong [4], [11].

12. 8
1.2. Một số kiến thức về tôpô – giải tích hàm
Định nghĩa 1.2.1
Không gian tôpô X gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới dạng
hợp của hai tập mở khác rỗng, rời nhau. Do phần bù của tập mở là tập đóng nên
không gian X liên thông nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau
đây
i) X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng, khác rỗng, rời
nhau.
ii) X không có tập con thực sự khác rỗng vừa mở vừa đóng.
Định nghĩa 1.2.2
Không gian tôpô X gọi là hoàn toàn không liên thông (totally disconnected
space) nếu với mọi ,x y X∈ thì tồn tại một phân hoạch A B∪ sao cho ,x A y B∈ ∈ .
Trong không gian hoàn toàn không liên thông, mỗi thành phần liên thông chỉ gồm
có một điểm.
Bổ đề 1.2.3 (bổ đề Borel – Lesbesgue)
Nếu A là tập compact của không gian tôpô X thì mọi phủ mở của A đều có
phủ con hữu hạn.
Định lý 1.2.4
Cho X là không gian compact Hausdorff hoàn toàn không liên thông. Khi
đó X có một cơ sở tôpô gồm những tập vừa mở vừa đóng.
Bổ đề 1.2.5 (bổ đề Urysohn)
Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời nhau
của X . Khi đó, tồn tại một hàm liên tục [ ]: 0;1f X → sao cho ( ) 0,f x x A= ∀ ∈ và

13. 9
( ) 1,f x x B= ∀ ∈ .
Định lý 1.2.6
Cho X là không gian compact, Y là không gian Hausdorff và :f X Y→ là
một song ánh liên tục. Khi đó f là phép đồng phôi.
Định nghĩa 1.2.7
Cho { }, I
Xα α α
τ ∈
là một họ các không gian tôpô. Đặt I
X Xαα∈
= ∏ và
: X Xα απ → là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ α . Các không gian Xα gọi là các
không gian tọa độ.
Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu απ liên tục.
Tôpô tích còn được gọi là tôpô Tikhonov.
Định lý 1.2.8 (định lý Tikhonov)
Không gian tích I
X Xαα∈
= ∏ compact nếu và chỉ nếu mọi không gian tọa
độ Xα là compact.
Định nghĩa 1.2.9
Giả sử F là không gian con đóng của không gian định chuẩn E , kí hiệu
{ }:E x F x E
F
= + ∈ , đây là tập thương của E với quan hệ tương đương xRy nếu
( )x y F− ∈ . Trên E
F
ta xét chuẩn inf
y F
x F x y
∈
+ = − , thì E
F
cùng với chuẩn này
gọi là không gian thương của không gian định chuẩn E theo không gian con đóng
F .
Định lý 1.2.10
Nếu là E không gian Banach và F là không gian con đóng của E thì E
F
là
không gian Banach.
Định lý 1.2.11 (định lý ánh xạ mở)
Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f đi từ không gian Banach E vào không
gian Banach F là ánh xạ mở, nghĩa là với mọi tập mở U E⊂ , ( )f U là tập mở
trong F .

14. 10
Định lý 1.2.12 (định lý đồ thị đóng)
Cho f là ánh xạ tuyến tính đi từ không gian Banach E vào không gian
Banach F . Khi đó f liên tục nếu và chỉ nếu đồ thị của nó
{ }( ; ( )) :fG x f x E F x E= ∈ × ∈ là tập đóng trong E F× .
Định lý 1.2.13 (định lý Stone – Weierstrass)
Cho X là một không gian compact. Khi đó nếu đại số con ( )A C X⊂  chứa
các hằng và phân biệt các điểm của X thì A trù mật trong ( )C X .
Định lý 1.2.14 (định lý Stone – Weierstrass dạng phức)
Cho X là một không gian compact và A là một đại số con của ( )C X thỏa
mãn các tính chất
i) Chứa các hằng và phân biệt các điểm của X .
ii) f A∈ thì f A∈ .
Khi đó, A trù mật trong ( )C X .
Các kiến thức phần này xem chứng minh chi tiết trong [1], [2], [7].

15. 11
Chương 2. ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND
TRÊN NÓ
Trong chương này ta đưa ra và chỉ xét các vấn đề cơ bản nhất của đại số
Banach giao hoán có đơn vị (gọi gọn là đại số Banach) và phép biến đổi Gelfand
trên nó. Mở đầu Chương 2 là mục 2.1 giới thiệu về đại số Banach và tập hợp các
dạng tuyến tính nhân trên nó (định lý 2.1.5). Phần tiếp theo của mục này trình bày
về tập các biến đổi Gelfand của đại số Banach và mô tả mối liên hệ tập các biến đổi
Gelfand với đại số đó (định lý 2.1.7). Các định lý 2.1.16, 2.1.17 mô tả mối liên hệ
giữa các iđêan cực đại của một đại số Banach và tập tất cả các dạng tuyến tính nhân
trên đại số Banach tương ứng.
Mục 2.2 giới thiệu về đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn
phần tử thuộc một đại số Banach. Định lý 2.2.3 mô tả mối liên hệ giữa phổ nối và
các biến đổi Gelfand của hữu hạn phần tử thuộc một đại số Banach. Phần cuối của
mục này chỉ ra sự đồng phôi giữa không gian các iđêan cực đại của một đại số
Banach hữu hạn sinh với phổ nối của các phần tử sinh.
2.1. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand
Định nghĩa 2.1.1
Một đại số B trên trường số phức là một không gian vectơ trên  cùng với
một phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau:
, , ,f g h Bλ∀ ∈ ∀ ∈
i) ( ) ( )f gh fg h= .
ii) ( ) ,( )f g h fg fh f g h fh gh+ = + + = + .
iii) ( ) ( ) ( )f g f g fgλ λ λ= = .
Nếu phép nhân là giao hoán thì B được gọi là đại số phức giao hoán.
Định nghĩa 2.1.2
Một đại số B trên trường số phức được gọi là đại số Banach nếu trên B
được trang bị một chuẩn . sao cho ( ), .B là không gian Banach và
, ,fg f g f g B≤ ∀ ∈ .

16. 12
Phần tử e B∈ thỏa , , 1fe ef f f B e= = ∀ ∈ = được gọi là phần tử đơn vị của
B
Phần tử f B∈ được gọi là khả nghịch trong B nếu tồn tại phần tử g B∈
thỏa gf fg e= = , phần tử g được ký hiệu là 1
:g f −
= . Ta kiểm tra được phần tử khả
nghịch và phần tử đơn vị là duy nhất.
Các ví dụ
1) Không gian các số phức  với các phép nhân là phép nhân các số phức theo
nghĩa thông thường là một đại số Banach giao hoán có đơn vị là 1.
2) Cho X là không gian tôpô compact, ký hiệu ( )C X là tập các ánh xạ liên tục
trên X nhận giá trị phức, trên ( )C X xét chuẩn max ( ) ,
x X
f f f x∞ ∈
= = với
( )f C X∈ , khi đó ( )( ), .C X ∞
là một đại số Banach giao hoán có đơn vị là hàm
hằng ( ) 1f x ≡ .
3) Cho E là không gian Banach, ký hiệu ( )B E là không gian các toán tử tuyến
tính liên tục đi từ E vào E . Theo kết quả giải tích hàm ta có ( )B E là không gian
Banach với chuẩn
1
sup ( ) , ( )
x
f f x f B E
=
= ∈ . Trên ( )B E ta trang bị phép nhân là
phép hợp thành các toán tử. Khi đó ( )B E là đại số Banach với phần tử đơn vị là
toán tử đồng nhất, tuy nhiên đại số Banach này không giao hoán.
Trong luận văn này ta chỉ nghiên cứu đại số Banach giao hoán có đơn vị.
Định nghĩa 2.1.3
i) Không gian vectơ con đóng A B⊂ , A chứa đơn vị, đóng kín với phép toán
nhân được gọi là đại số Banach con của B .
ii) Một không gian vectơ con I của B gọi là một iđêan của B nếu BI B⊂ ,
nghĩa là , ,gf B g B f I∈ ∀ ∈ ∀ ∈ .
iii) Iđêan I của B gọi là iđêan thực sự nếu I B≠ . Một iđêan thực sự J của đại
số Banach B được gọi là iđêan cực đại nếu với mội iđêan I chứa J thì
I B= .

17. 13
Một trong những mục tiêu chính của chương này là nghiên cứu xem trong
phạm vi nào có thể biểu diễn một đại số Banach bởi đại số của những hàm liên tục
trên một không gian compact.
Giả sử K là một không gian compact và ( )C K là đại số các hàm liên tục
nhận giá trị phức trên K .
Giả sử rằng ( )B f Tf C K∋ → ∈ là một biểu diễn liên tục của B , nghĩa là T
giao hoán với các phép toán đại số của B và sup
K
Tf C f≤ với C là hằng số nào
đó.
Ta lại có ( ) ( )n n
T f Tf= dẫn đến ( ) ( )
n nn n n
Tf Tf T f C f C f= = ≤ ≤ , do đó
1
1 1n
nn n
Tf C f C f≤ ≤ . Suy ra
1
sup lim
n
n
nK
Tf f f
→∞
≤ ≤ (2.1.1)
Định nghĩa 2.1.4
Một dạng tuyến tính m (a linear form) trên B gọi là dạng tuyến tính nhân
(multiplicative linear functional) nếu nó liên tục, không đồng nhất không và
( ) ( ) ( )m fg m f m g= , ,f g B∀ ∈ .
Ta ký hiệu BM là tập tất cả các dạng tuyến tính nhân trên B . Trên BM xét
tôpô là tôpô yếu nhất làm cho các ánh xạ ( )BM m m f∋ → ∈ liên tục với mọi
f B∈ .
Nhận xét
i) Điều kiện m không đồng nhất không tương đương với ( ) 1m e = .
ii) ( ) 0m f ≠ nếu f là phần tử khả nghịch. Thật vậy, từ 1
1 ( ) ( )m e m ff −
= =
1
( ) ( )m f m f −
= . Suy ra ( ) 0m f ≠ .
iii) Dạng tuyến tính nhân m là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và có chuẩn
1m = .
Thật vậy, nếu f B∈ và 1f < , với mọi λ ∈ mà 1λ ≥ ta chứng minh
( )m f λ≠ . Vì 1λ ≥ nên 1
1fλ−
< do đó 1
e fλ−
− khả nghịch. Áp dụng ii) ta có

18. 14
1
( ) 0m e fλ−
− ≠ hay ( )m f λ≠ . Điều này có nghĩa là f B∈ và 1f < thì
( ) 1m f < .
Áp dụng điều này, với mọi f B∈ , ta có
( )
( ) 1, 1, , 0
m ff
m f B f
f f
λ
λ λ
= < ∀ > ∀ ∈ ≠ .
Suy ra ( ) , 1, , 0m f f f B fλ λ< ∀ > ∀ ∈ ≠ . Do đó m liên tục và 1m ≤ (chọn
1
1
n
λ= + rồi cho n → +∞ ). Mặt khác,
1
sup ( ) ( ) 1
x
m m f m e
=
= ≥ = . Vậy 1m = .
iv) Tôpô được định nghĩa ở đây còn có tên gọi là tôpô Gelfand, một cơ sở lân
cận của điểm 0 Bm M∈ chính là giao hữu hạn của những lân cận dạng
{ }0: ( ) ( )Bm M m f m f ε∈ − < , ở đây f B∈ và 0ε > , tức là một họ tập có dạng
{ }1 0( , ,..., , ) : ( ) ( ) , , 1,..., , 0,n B i i iU m f f m M m f m f f B i n n Nε ε ε ∗
= ∈ − < ∈ = > ∈ .
Định lý 2.1.5
BM là một không gian compact Hausdorff.
Chứng minh
Chứng minh tính chất tách Hausdorff. Giả sử 1 2 1 2, ,Bm m M m m∈ ≠ , khi đó có
f B∈ sao cho 1 2( ) ( )m f m f≠ . Xét hai tập sau:
1 2
1 1
( ) ( )
: ( ) ( )
2
B
m f m f
V m M m f m f
 − 
= ∈ − < 
 
,
1 2
2 2
( ) ( )
: ( ) ( )
2
B
m f m f
V m M m f m f
 − 
= ∈ − < 
 
.
Ta có 1 2,V V là các tập mở lần lượt chứa 1 2,m m nhưng 1 2V V∩ =∅ .
Chứng minh tính compact. Đặt { }:fD z z f=∈ ≤ , f
f B
D D
∈
= ∏ .
Với Bm M∈ , với mọi f B∈ thì ( )m f f≤ (do 2.1.1) nên ( ) fm f D∈ .
Trên D ta xét tôpô tích, với mỗi f ta có fD là tập compact, theo định lý Tychonoff
ta có D là compact với tôpô tích. Tôpô tích trên D là tô pô yếu nhất làm cho các

19. 15
phép chiếu fp tương ứng với mỗi phần tử của tập chỉ số B liên tục và mỗi phần tử
của D là một ánh xạ (có thể không là dạng tuyến tính nhân) m sao cho ( ) fm f D∈ ,
thì ( ) ( )fp m m f= . Vì vậy mỗi phần tử Bm M∈ là một phần tử đặc biệt của D và ta
có ( ) ( )fp m m f= . Do đó tôpô trên BM thừa hưởng từ tôpô tích trên D là trùng với
tôpô Gelfand. Cho nên chỉ cần chứng minh BM là tập con đóng của D là xong.Thật
vậy, với ,f g B∈ xét ánh xạ , :f gD D →  xác định như sau:
, ( ) ( ) ( ) ( )f gD m m f g m f m g= + − −
Theo định nghĩa tôpô tích thì rõ ràng là ,f gD liên tục, dẫn đến 1
, (0)f gD−
đóng.
Một cách tương tự, với ,f g B∈ , λ ∈ xét các ánh xạ
,
,
, , :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1
fg f e
fg
f
e
D D D D
D m m fg m f m g
D m m f m f
D m m e
λ
λ λ λ
→
= −
= −
= −

Ta có ,, ,fg f eD D Dλ đều liên tục.
Ta lại có 1 1 1 1
, ,
( , ) ( , ) ( , )
(0) (0) (0) (0)B f g fg f e
f g B B f g B B f B
M D D D Dλ
λ
− − − −
∈ × ∈ × ∈ ×
= ∩ ∩ ∩

  
Suy ra BM là tập con đóng của D , mà D compact nên BM compact.
Từ đó với tôpô Gelfand trên BM thì BM là compact Hausdorff . ■
Định nghĩa 2.1.6
i) Với f B∈ , hàm liên tục : Bf M
∧
→  xác định bởi ( ) : ( )m f m m f
∧
=
được gọi là phép biến đổi Gelfand của f B∈ .
ii) Ánh xạ ( )BB C M→ xác định bởi f f
∧
 được gọi là biểu diễn
Gelfand
(Gelfand representation of B ) của B .

20. 16
Bây giờ ta xét một biểu diễn liên tục bất kỳ của B . ( )B f Tf C K∋ → ∈ , ở
đây K là không gian compact. Bởi vì 2 2
( ) ( )Te T e Te= = nên hàm liên tục Te chỉ
nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1. Đặt ( ){ }0 : ( ) 0K k K Te k=∈ =,
( ){ }1 : ( ) 1K k K Te k=∈ =, do tính liên tục của Te và compact của BM nên 0 1,K K
compact và rời nhau, 0Tf = trên 0K với mỗi f B∈ . Do đó ta quan tâm đến sự hạn
chế của Tf trên 1K .
Với mỗi 1k K∈ , ánh xạ ( )( )B f Tf k∋ → xác định một phần tử Bm M∈ , mà ta
ký hiệu là ( )kϕ . Do định nghĩa tôpô trên BM và tính liên tục của Tf với mỗi f B∈
kéo theo sự liên tục của ϕ . Vì Tf f ϕ
∧
=  trên 1K , nên ta có sự mô tả đầy đủ mọi
biểu diễn của B bởi các hàm liên tục theo các biểu diễn Gelfand.
Đặt { }:B f f B
∧ ∧
= ∈ , khi đó B
∧
là đại số con của đại số Banach ( )BC M ,
( )BC M là đại số các hàm nhận giá trị phức liên tục trên BM .
Định lý 2.1.7
Đại số B
∧
chứa các hằng và tách các điểm của BM . Biểu diễn Gelfand
f f
∧
 là một đồng cấu của B lên B
∧
thỏa mãn sup ( )
BB
m MM
f f m f
∧ ∧
∈
= ≤ .
Chứng minh
Ta có e B∈ nên ( ) ( ) 1, Be m m e m M
∧
= = ∀ ∈ , suy ra ( )( ) ( ) ,e m m eλ λ λ λ
∧
= = ∀ ∈.
Từ đó suy ra B
∧
chứa các hàm hằng ( )eλ
∧
.
Chứng minh B
∧
tách các điểm của BM . Thật vậy, với 1 2, Bm m M∈ mà
1 2( ) ( ),f m f m f B
∧ ∧
= ∀ ∈ 1 2( ) ( ),m f m f f B⇔ = ∀ ∈ , suy ra 1 2m m= . Do đó B
∧
tách các
điểm của BM .
Ta kiểm tra được biểu diễn Gelfand f f
∧
 là một đồng cấu của B lên B
∧
.

21. 17
Ngoài ra, Bm M∀ ∈ ta có ( ) ( )f m m f m f f
∧
= ≤ = .
Suy ra sup ( )
BB
m MM
f f m f
∧ ∧
∈
= ≤ .■
Định nghĩa 2.1.8
Cho f B∈ , B là một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Phổ của f , ký
hiệu là ( )B fσ là tập tất cả các giá trị λ ∈ sao cho f eλ− không khả nghịch.
Định lý 2.1.9
Với mỗi f B∈ , ta có
i) { }( ) ( ) :B Bf f m m Mσ
∧
= ∈ .
ii) Ta gọi bán kính phổ của phần tử f B∈ là ( )Br f , được xác định bởi
{ }( ) sup : ( ) sup ( )
B
B B
m M
r f f f mλ λ σ
∧
∈
= ∈ = . Khi đó
1
( ) lim n n
B
n
r f f
→∞
= .
Chứng minh
i) Ta chứng minh { }( ) : ( )B Bf m m M fσ
∧
∈ ⊂ . Thật vậy, nếu ( )B fλ σ∉ suy ra
f eλ− khả nghịch nên có g B∈ sao cho ( )g f e eλ− =. Khi đó với mọi Bm M∈ thì
( )( ) ( ) 1m g f e m eλ− = = hay ( ) ( ) 1g m f m λ
∧ ∧
 
− = 
 
. Suy ra { }( ) : Bf m m Mλ
∧
∉ ∈ .
Vậy { }( ) : ( )B Bf m m M fσ
∧
∈ ⊂ .
Để tiếp tục chứng minh định lý 2.1.9 ta cần dùng đến các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.10
Nếu 1
g−
tồn tại thì ( )
1
g hλ
−
− tồn tại và liên tục theo λ trong đĩa
{ }1
: 1g hλ λ −
∈ < .

22. 18
Nếu ω là tập con, mở, compact tương đối của đĩa này, được bao bởi hữu hạn
các cung thuộc lớp 1
C thì ( )
1
( ) 0g h d
ω
λ ϕ λ λ
−
∂
− =∫ , trong đó ϕ là hàm chỉnh hình
trong ω và thuộc lớp 1
( )C ω .
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh nếu 1f < thì ( )
1
e f
−
− tồn tại. Thật vậy, do tính
chất của đại số Banach
nn
f f≤ , và 1f < nên chuỗi
0
n
n
f
∞
=
∑ hội tụ tuyệt đối, ký
hiệu tổng này là
0
: n
n
s f
∞
=
= ∑ . Ta lại có
( )( ) ( )( )1
... ...n n n
e f e f e f f e f f e f+
− = − + + + = + + + − .
Trong đẳng thức này cho n → +∞ và chú ý rằng khi đó 0n
f → , ta được
( ) ( )e e f s s e f= − = − . Suy ra phần tử khả nghịch của ( )e f− là
0
n
n
s f
∞
=
= ∑ .
Giả sử 1
g−
tồn tại, đặt 1
g h H−
= , khi đó chuỗi
0
n n
n
Hλ
∞
=
∑ hội tụ chuẩn tắc trong
đĩa { }1
: 1g hλ λ −
∈ < . Áp dụng ý kết quả trên, ta có
( )
1
0
n n
n
H e Hλ λ
∞
−
=
= −∑
Do đó 1
0
( ) n n
n
I g Hλ λ
∞
−
=
= ∑ tồn tại và hội tụ chuẩn tắc trong đĩa này.
Ta lại có ( ) ( ) ( )1
( ) ( ) ( )I g h I g e g h I g e H eλ λ λ λ λ λ−
− = − = − = .
Suy ra ( )
1
( )I g hλ λ
−
= − .
Vậy ( )
1 1
0
( ) ( ) ( ) ( ) 0n n
n
g h d I d g H d
ω ω ω
λ ϕ λ λ λ ϕ λ λ λ ϕ λ λ
∞
− −
∂ ∂ ∂
=
 
− = = = 
 
∑∫ ∫ ∫ .■
Bổ đề 2.1.11
Nếu ( )
1
e fλ
−
− tồn tại khi Rλ ≤ thì ( )
1
sup , 0
nn
R
R f e f n
λ
λ
−
=
≤ − ≥
(2.1.11)

23. 19
Chứng minh
Từ bổ đề 2.1.10 ta có tích phân ( )
1 11
2
n
r
e f d
i λ
λ λ λ
π
− − −
=
−∫ không phụ thuộc
vào r khi 0 r R< ≤ , và khi 1r f < ta thấy tích phân này bằng n
f bằng cách lấy
tích phân trên chuỗi khai triển. Ta có ( )
1
0
n n
n
e f fλ λ
∞
−
=
− =∑ , nên
1
0
1
2
n k k n
r
k
f f d
i λ
λ λ λ
π
∞
− −
=
=
 
=  
 
∑∫ .
Suy ra ( ) ( )
1 111 1
sup
2
n n
nr R
f e f d e f
Rλ λ
λ λ λ λ
π
− −− −
= =
≤ − ≤ − ⋅∫ .■
Bổ đề 2.1.12
Không có phần tử f B∈ nào mà có tập phổ là tập rỗng, nghĩa là
( ) ,B f f Bσ ≠ ∅ ∀ ∈ .
Chứng minh
Nếu f B∈ mà ( )B fσ = ∅ thì ( )
1
e fλ
−
− tồn tại với mọi λ ∈ . Ta lại có
( ) ( )
11 1 1 1 1
e f f e fλ λ λ
−− − − − −
− =− − .
Suy ra ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1
e f f e f Oλ λ λ λ
− −− − − − −
− ≤ − = ,
nghĩa là ( )1
lim 0O
λ
λ
−
→∞
= .
Điều này lại mâu thuẫn với ( 2.1.11) khi 0n = .■
Bổ đề 2.1.13 (Gelfand – Mazur)
Nếu B là một trường thì B đẳng cấu, đẳng cự với trường số phức .
Chứng minh
Từ bổ đề 2.1.12 với mỗi f B∈ có λ ∈ sao cho f eλ− không khả nghịch.
Ta lại có B là một trường và ( )f e Bλ− ∈ nên dẫn đến 0f eλ− =hay f eλ= .
Giả sử tồn tại 1 2,λ λ sao cho 1 2f e f eλ λ− = − nên ( )1 2 0eλ λ− =. Suy ra
1 2λ λ= . Vậy với mỗi f B∈ có duy nhất một fλ ∈ sao cho ff eλ= . Do đó
{ }: ,f fB f e e Bλ λ= = ∈ ∈ .

24. 20
Xét ánh xa: : BΦ →  , xác định bởi ff eλ λ=  . Khi đó, Φ là đẳng cấu
nên B ≅  . Mặt khác, ,f ff e f Bλ λ= = ∀ ∈ , nên B đẳng cự với trường số phức
.■
Bổ đề 2.1.14
Nếu I là iđêan cực đại của B thì I đóng và khi đó B
I
đẳng cấu với trường
số phức.
Để chứng minh ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.15
Ký hiệu ( )G B là tập các phần tử khả nghịch trong B , khi đó
i) ( )G B là một nhóm nhân với phép toán nhân trong đại số Banach B .
ii) ( )G B là tập mở trong B và ánh xạ 1
( ) ( )G B f f G B−
∋ → ∈ thì liên tục.
Chứng minh
i) Chứng minh ( )G B là một nhóm nhân.
Thật vậy, từ định nghĩa đại số Banach B ta suy ra phép nhân trên ( )G B là kết hợp,
giao hoán. Hơn nữa phần tử đơn vị ( )e G B∈ và 1 1
, ( )ff f f e f G B− −
= = ∀ ∈ . Vậy
( )G B là nhóm nhân.
ii) Thật vậy, với f B∈ mà 1f < ta chứng minh được
0
w k
k
f
∞
=
= ∑ là phần tử
khả nghịch của e f− . Do đó, với g B∈ mà 1e g− < , ta viết ( )g e e g= − − áp dụng
bước trên ta có g khả nghịch, và 1
0
( )k
k
g e g
∞
−
=
= −∑ .
Lấy bất kỳ 0 ( )f G B∈ , ta chứng minh ( )11
0 0; ( )B f f G B
−−
⊂ . Với ( )11
0 0;f B f f
−−
∈ , ta
có 1
0 0f f f f−
= nên 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0( ) 1e f f f f f f f f f f f f− − − − −
− = − = − ≤ − < , vì vậy
1
0f f−
khả nghịch và phần tử khả nghịch đó là ( ) ( )
11 1
0 0
0
1
k
k
f f f f
∞
−− −
=
= −∑ . Từ đó suy ra

25. 21
f khả nghịch và 1 1 1
0 0 0
0
( )
k
k
f f f f f
∞
− − −
=
 = − ∑ , vậy ( )f G B∈ . Từ đó ta có ( )G B là tập
mở trong B .
Chứng minh ánh xạ liên tục. Lấy bất kỳ 0 ( )f G B∈ , và dãy ( )n n
f hội tụ về 0f ,
khi n đủ lớn thì
11
0 0nf f f
−−
− < . Ta có
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0
( ) 0
kk n
n n n
k k
f f f f f f f f f f
∞ ∞
→∞− − − − − −
= =
  − ≤ − ≤ − →   ∑ ∑ .■
Chứng minh bổ đề 2.1.14
Đầu tiên ta chứng minh I đóng. Áp dụng kết quả bổ đề 2.1.15 trên, do I là
iđêan cực đại nên I không chứa phần tử khả nghịch, ta có ( )I B G B⊂ , mà ( )G B
mở nên ( )B G B đóng. Do vậy ( )I I B G B⊂ ⊂ , ta lại có I B≠ do ( )e G B∈ . Mà I
là iđêan cực đại nên I I= , hay I đóng. Theo kết quả đại số thì nếu I là iđêan cực
đại của B thì B
I
là một trường, do đó nó đẳng cấu với trường số phức theo bổ đề
2.1.13 .■
Định lý 2.1.16
Ký hiệu: BM là tập tất cả dạng tuyến tính nhân từ B vào .
B∆ là tập các iđêan cực đại của B .
Khi đó, ánh xạ : B BA M → ∆ xác định bởi ( ) : kerA m m= là một song ánh.
Kết quả của định lý này ta cho ta sự tương ứng một một giữa không gian các
iđêan cực đại với không gian các dạng tuyến tính nhân, do đó BM còn được gọi là
không gian các iđêan cực đại của đại số Banach B .
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh với mỗi Bm M∈ thì ker m là một iđêan cực đại, tức
là chứng minh ker
B
m
là một trường, nghĩa là phần tử kerf m+ khả nghịch trong

26. 22
ker
B
m
với mọi kerf m∉ . Ta có, với kerf m∉ thì ( ) 0m f λ= ≠ . Đặt
1
g e
λ
= . Khi
đó,
( )
( ) ( ) ( ) ( )
m e
m fg m f m g m eλ
λ
= = = . Suy ra kerfg e m− ∈ . Vì vậy
ker kerfg m e m+ =+ , dẫn đến ( )( )ker ker ker kerf m g m fg m e m+ + =+ =+ . Do đó
phần tử kerf m+ là khả nghịch, phần tử nghịch đảo của nó là kerg m+ . Từ đây suy
ra ánh xạ A xác định.
Chứng minh A đơn ánh. Thật vậy, giả sử 1 2, Bm m M∈ sao cho
1 2( ) ( )A m A m= , tức là 1 2ker kerm m= . Ta cần chứng minh 1 2m m= . Giả sử ngược lại,
1 2m m≠ , khi đó có 1 2: ( ) ( )f B m f m f∈ ≠ . Đặt 1( )f m fλ = , ta cũng có 1( )f fm eλ λ= ,
suy ra ff eλ− ∈ 1ker m 2ker m= . Từ đó 2 ( ) 0m f eλ− =, hay 2 1( ) ( )m f m fλ= = , tới đây
ta gặp mâu thuẫn với giả sử bên trên. Vậy 1 2m m= , hay A đơn ánh.
Chứng minh A toàn ánh. Giả sử BJ ∈∆ , khi đó ta có J là iđêan cực đại nên
B
J
là một trường nên nó đẳng cấu với trường số phức . Ta cần chỉ ra có một
đồng cấu phức A sao cho kerJ A= . Gọi : BB
J
π → là phép chiếu tự nhiên, ta có
π là một đồng cấu liên tục và kerJ π= . Gọi A là đẳng cấu từ B
J
lên , khi đó
A π  là đồng cấu phức và ( )kerJ A π=   . Đặt A A π=   thì A là đồng cấu cần tìm.■
Định lý 2.1.17
Cho I là một iđêan thật sự của B , khi đó có một phần tử Bm M∈ sao cho
( ) 0,m f f I= ∀ ∈ .
Chứng minh
Ta có iđêan thực sự không chứa đơn vị e , vì nếu chứa e thì nó trùng với B .
Do B chứa đơn vị, theo bổ đề Zorn mỗi iđêan thực sự đều được chứa trong một
iđêan cực đại. Ta lại có mỗi iđêan cực đại thì được đồng nhất tương ứng với một
dạng tuyến tính nhân. Vì vậy có Bm M∈ sao cho ( ) 0,m f f I= ∀ ∈ .■

27. 23
Từ đây ta suy ra được một đại số Banach giao hoán có đơn vị B thì luôn tồn
tại ít nhất một dạng tuyến tính nhân đi từ B → . Thật vậy, nếu tất cả các phần tử
của đại số Banach B là khả nghịch, thì khi đó B sẽ đẳng cấu với trường số phức ,
rõ ràng phép đẳng cấu đó chính là một dạng tuyến tính nhân. Trường hợp còn lại sẽ
tồn tại một phần tử không khả nghịch, giả sử là b B∈ , hiển nhiên ta có bB là một
iđêan thực sự chứa b , áp dụng kết quả trên sẽ có phần tử Bm M∈ .■
Ta chứng minh phần còn lại của định lý 2.1.9
Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại { }( ) ( ) :B Bf f m m Mσ
∧
⊂ ∈ . Thật vậy, lấy
( )B fλ σ∈ suy ra f eλ− không khả nghịch, đặt J f eλ= − là iđêan sinh bởi
f eλ− , ta có J B≠ . Theo định lý 2.1.17 có Bm M∈ sao cho m triệt tiêu trên J , dẫn
đến ( ) 0m f eλ− =hay ( )m f λ= . Suy ra { }( ) : Bf m m Mλ
∧
∈ ∈ . Vậy ta có bao hàm
thức ngược lại.
Tiếp theo ta chứng minh công thức về bán kính phổ
ii) Lấy
( )
1
sup
Bz f
z
R σ∈
> , thì ( )
1
e fλ
−
− tồn tại khi Rλ ≤ , áp dụng (2.1.11) ta có
( )
1
0supn n
R
R f e f k
λ
λ
−
=
≤ − =hay
11
0
nn nR f k≤ , lấy giới hạn trên hai vế ta có
1
lim 1n n
n
R f
→∞
≤ , do cách lấy
1
R
nên ta có
1
( )
lim sup
B
n n
n z f
f z
σ→∞ ∈
≤ . (2.1.12)
Từ (2.1.1) và (2.1.12) ta có:
1 1
( )
sup ( ) sup ( ) lim lim sup sup ( )
B B B B
n nn n
nnm M m M z f m M
f m m f f f z f m
σ
∧ ∧
→∞→∞∈ ∈ ∈ ∈
≤ ≤ ≤ ≤ =
Vậy đẳng thức phải xảy ra, hay nói cách khác ta có
1
sup ( ) lim
B
n n
nm M
f m f
∧
→∞∈
= .■

28. 24
Hệ quả 2.1.18
Cho B là một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Khi đó phép biến đổi
Gelfand :G B f f B
∧ ∧
∋ → ∈ là phép đẳng cự khi và chỉ khi
22
,f f f B= ∀ ∈ .
Chứng minh
Giả sử G là phép đẳng cự, khi đó f B∀ ∈ ta có
222 2
22
sup ( ) sup ( ) sup ( )
B B B
B
m M m M m M
M
f f f m f m f m f
∧ ∧ ∧ ∧
∈ ∈ ∈
 
== = = = 
 
.
Ngược lại, giả sử
22
,f f f B= ∀ ∈ . Bằng qui nạp ta chứng minh được
22
, 1
nn
f f n= ∀ ≥ .
Lại áp dụng định lý 2.1.9 ta được
1
2 2n nf f= . Lấy lim hai vế ta có:
1 1
2 2lim lim ( )
B
n nn n
B
n n
M
f f f r f f
∧
→+∞ →+∞
= = = = .
Vậy G là phép đẳng cự.■
Ví dụ
Cho X là không gian tôpô compact Hausdorff. Khi đó, không gian ( )C XM
đồng phôi với X .
Chứng minh
Với mỗi x X∈ , ta xây dựng ánh xạ : ( )xm C X →  xác định bởi
( ) ( ), ( )xm f f x f C X= ∀ ∈ . Ta kiểm tra được xm là một đồng cấu phức với mỗi x X∈ .
Ta chứng minh rằng với ( )C Xm M∈ thì tồn tại duy nhất x X∈ sao cho xm m= .
Sự tồn tại, giả sử ngược lại là xm m≠ với mọi x X∈ . Khi đó với mọi x X∈
tồn tại hàm ( )g C X∈ sao cho ( ) ( ) ( )xm g m g g x≠ =. Đặt ( )xf g m g= − , ta có
( )xf C X∈ . Khi đó ( ) 0xf x ≠ . Ta lại có xf là hàm liên tục nên tồn tại lân cận xU của
x sao cho 0xf ≠ trên xU . Suy ra
2
0xf > trên xU . Mặt khác, ta có
( ) ( ( )) ( ) ( ) 0xm f m g m g m g m g= − = − = nên
2
( )xm f ( ) ( ) ( ) 0x x x xm f f m f m f= = = . Mặt

29. 25
khác, họ { }x x X
U ∈
là một phủ mở của X compact nên có phủ con hữu hạn, suy ra tồn
tại 1,..., nx x X∈ sao cho
1
i
n
x
i
X U
=
=  . Đặt 1
2
...xh f= +
2
... nxf+ ta có ( )h C X∈ và
0h > trên X . Từ đó suy ra h khả nghịch nên ( ) 0m h ≠ với mọi ( )C Xm M∈ . Nhưng
ta lại có 1
22
( ) ( ... )nx xm h m f f= + + 1
2
( )xm f= +
2
... ( ) 0nxm f+ =. Ta gặp mâu thuẫn.
Vậy xm m= .
Sự duy nhất, giả sử có 1 2,x x X∈ sao cho 1 2x xm m m= = . Ta chứng minh
1 2x x= , thật vậy từ 1 2( ) ( ), ( )f x f x f C X= ∀ ∈ , ta chọn hàm f thích hợp ta có được
1 2x x= .
Tiếp theo, ta xét ánh xạ ( ): C XX MΦ → được xác định bởi ( ) xx mΦ =. Theo chứng
minh bước trên ta suy ra được Φ là một song ánh. Ta chứng minh Φ liên tục, nghĩa
là lấy bất kỳ x X∈ , { }x Xα α
⊂ mà x xα → thì ( ) ( )x xαΦ → Φ . Thật vậy, với mọi
( )f C X∈ , thì f liên tục nên ( ) ( )f x f xα → , mà điều này có nghĩa là
( ) ( ), ( )x xm f m f f C Xα
→ ∀ ∈ . Do đó, x xm mα
→ trong ( )C XM hay ( ) ( )x xαΦ → Φ . Vậy
Φ liên tục. Ta lại có ( ), C XX M là các không gian compact Hausdoff nên Φ là phép
đồng phôi.■
Ví dụ
Xét { }1 : ,n n nn
n
l a a a
+∞
+∞
=−∞
=−∞
 
= ∈ < +∞ 
 
∑ , trên 1l xét chuẩn 1,n
n
a a a l
+∞
=−∞
= ∀ ∈∑ .
1l với chuẩn này là một không gian Banach. Trên 1l ta định nghĩa phép nhân là tích
{ }n n
c a b c
+∞
=−∞
= ∗ = , được xác định bởi ,n n k k
k
c a b n
+∞
−
=−∞
= ∀ ∈∑  . Với phép nhân này 1l
trở thành một đại số Banach giao hoán. Ký hiệu 1n lε ∈ là dãy mà tọa độ thứ n là 1,
các tọa độ còn lại là 0. Khi đó 0ε là phần tử đơn vị của 1l .
Với mọi phần tử { } 1na a l= ∈ , ta có thể viết lại dưới dạng n n
n
a a ε
+∞
=−∞
= ∑ .

30. 26
Ta có n k n kε ε ε +∗ = với ,n k−∞ < < +∞ , đặc biệt nε khả nghịch và phần tử khả nghịch
được cho bởi 1
( )n nε ε−
−= . Mặt khác 1( )n
nε ε= với n−∞ < < +∞ . Suy ra 1
n
n
n
a a ε
+∞
=−∞
= ∑ .
Do đó 1l được sinh bởi hai phần tử 1 1,ε ε− . Ta chỉ ra rằng không gian các iđêan cực
đại 1lM của 1l được đồng nhất với hình tròn đơn vị { }: 1λ λΓ= ∈ = trong mặt
phẳng phức. Thật vậy, với mỗi λ ∈Γ ta xét ánh xạ 1:m lλ →  được xác định bởi
{ } 1( ) ,n
n n
n
m a a a a lλ λ
+∞
=−∞
= ∀= ∈∑ . Ta kiểm tra được mλ là phiếm hàm tuyến tính. Ta
cần kiểm tra mλ bảo toàn phép nhân. Với mọi 1,a b l∈ , ta có
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n n n
n n k k n n
n n k n n
m a b c a b a b m a m bλ λ λλ λ λ λ
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
−
=−∞ =−∞ =−∞ =−∞ =−∞
∗= = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ .
Vậy mλ là một đồng cấu phức của 1l , do đó 1lm Mλ ∈ .
Với mỗi dạng tuyến tính nhân 1lm M∈ ta chứng minh rằng tồn tại λ ∈Γ sao cho
m mλ= . Thật vậy, giả sử 1lm M∈ . Khi đó từ 1 1( ) 1m ε ε≤ =và 1
1
1
( )
( )
m
m
ε
ε −= ≤
1 1ε−≤ =, suy ra được 1( ) 1m ε = . Do đó 1( )m ε λ= ∈Γ . Ta lại có 1
n
n
n
a a ε
+∞
=−∞
= ∑ nên
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n
n n n n
n n n n
m a m a a m a m a m aλε ε ε λ
+∞ +∞ +∞ +∞
=−∞ =−∞ =−∞ =−∞
= = = ==∑ ∑ ∑ ∑ . Vậy m mλ= , nên
ta có thể đồng nhất 1lM với Γ .
Tiếp theo ta đưa ra ví dụ về phép biến đổi Gelfand của phần tử 1a l∈ là a
∧
được xác định bởi ( ) :i in
n
n
a e a eϕ ϕ
+∞∧
=−∞
= ∑ . Suy ra đại số 1l
∧
các phép biến đổi Gelfand
của đại số 1l có thể đồng nhất với ( )S Γ , tập các hàm liên tục trên Γ có chuỗi
Fourier hội tụ tuyệt đối. Ta chứng minh được nếu ( )f S∈ Γ thỏa mãn ( ) 0,i
f eϕ
ϕ≠ ∀
thì
1
( )S
f
∈ Γ . Thật vậy, ta chọn được 1a l∈ sao cho f a
∧
= . Khi đó rõ ràng là a
không nằm trong một iđêan thực sự nào của 1l , thật vậy, giả sử ngược lại khi đó sẽ

31. 27
tồn tại một dạng tuyến tính nhât 1:h l →  sao cho ( ) 0h a = . Theo kết quả phía trên
có i
eϕ
λ= ∈Γ sao cho 0 ( )i in
n
n
h e a eϕ ϕ
+∞
=−∞
= = ∑ ( ) ( )i i
a e f eϕ ϕ
∧
= = . Tới đây ta gặp mâu
thuẫn vì ( ) 0,i
f eϕ
ϕ≠ ∀ . Vậy a không nằm trong một iđêan thực sự nào của 1l . Suy
ra 1a al∈ nên a phải khả nghịch trong 1l , khi đó 1 1
a
f
∧
−
= .
2.2. Đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử
Ta nói rằng đại số Banach giao hoán có đơn vị B được sinh bởi các phần tử
1,..., nf f B∈ nếu bao đóng của đại số con nhỏ nhất của B mà chứa 1,..., nf f thì trùng
với B . Nói một cách khác, tập những phần tử dạng 1( ,..., )nP f f , với P là đa thức
với hệ số phức ( 1( ,..., )nP f f a f α
α= ∑ , với 0
f e= ) sẽ trù mật trong B . Đại số B
được gọi là hữu hạn sinh nếu tập sinh của nó là hữu hạn.
Định lý 2.2.1
Nếu đại số Banach giao hoán có đơn vị B được sinh bởi một phần tử b ,
nghĩa là tập các đa thức với biến b trù mật trong B . Khi đó ánh xạ
: ( )B Bb M bσ
∧
→ ⊂  xác định bởi ( ) ( )b m m b
∧
= là phép đồng phôi.
Chứng minh
Theo định lý 2.1.9 ta có b
∧
là toàn ánh liên tục từ ( )B BM bσ→ . Ta thấy rằng
, ( )B BM bσ là các không gian compact Hausdorff, vì vậy ta chỉ cần chứng minh ánh
xạ b
∧
là một đơn ánh thì khi đó ta sẽ có một phép đồng phôi.
Giả sử 1 2( ) ( )b m b m
∧ ∧
= hay 1 2( ) ( )m b m b= ta chứng minh 1 2m m= . Thật vậy, với
mọi phần tử a B∈ , do đại số B được sinh bởi một phần tử b nên có một dãy các đa
thức
0
( )
n
k
n k
k
P b c b
=
= ∑ hội tụ về a B∈ . Ta lại có 1 2( ) ( )n nm P m P= , sử dụng tính chất liên
tục của 1 2,m m cho n → +∞ ta thu được 1 2( ) ( ),m a m a a B= ∀ ∈ . Vậy 1 2m m= , hay nói
cách khác b
∧
là một đơn ánh.■

32. 28
Cho B là đại số Banach giao hoán có đơn vị, BM là không gian các iđêan
cực đại của B .
Giả sử chuỗi
1
( ) i
i
i
F z a z
+∞
=
= ∑ có bán kính hội tụ là 0δ > và xét b B∈ mà
b δ
∧
∞
< . Do
1
lim n
n
n
b b
∧
→+∞
∞
= nên có số tự nhiên N sao cho nếu n N> thì
1
n nb δ< .
Vì vậy chuỗi
1
i
i
i
a b
+∞
=
∑ hội tụ. Mặt khác B là không gian Banach nên mỗi chuỗi hội
tụ tuyệt đối thì hội tụ, dẫn đến chuỗi
1
i
i
i
a b
+∞
=
∑ hội tụ tới phần tử thuộc B mà ta ký
hiệu là ( )F b B∈ .
Một cách tương tự, giả sử rằng chuỗi 1
1 1( ,..., ) ... m
m mG z z c z zαα
α= ∑
1
1 1( ,..., ) ... m
m mc z zαα
α α= ∑ hội tụ đều và tuyệt đối trên các tập compact con của đa đĩa
{ }(0; ) :n
jP z zδ δ=∈ < và xét 1,..., nb b B∈ sao cho , 1,...,ib i nδ
∧
∞
< = . Lý luận như
trên có số tự nhiên N sao cho nếu n N> thì
1
, 1,...,n n
ib i mδ< = . Vì vậy chuỗi
1
1 1( ,..., ) ... n
n nc b bαα
α α∑ hội tụ. Vì vậy chuỗi 1
1 1( ,..., ) ... n
n nc b bαα
α α∑ hội tụ tới một
phần tử thuộc B , ký hiệu 1( ,..., )nG b b B∈ .
Ta xem ,F G như là các hàm "chỉnh hình trừu tượng" trên đại số Banach B ,
ta có tính chất Bm M∈ thì ( ( )) ( ( ))m F b F m b= và 1 1( ( ,..., )) ( ( ),..., ( ))n nm G b b G m b m b= .
Thay vì xét phổ của một phần tử, ta xét phổ của nhiều phần tử và khái niệm
phổ nối xuất hiện.
Định nghĩa 2.2.2
Cho 1,..., nf f B∈ , phổ nối 1( ,..., )B nf fσ của 1,..., nf f được định nghĩa là tập tất
cả các giá trị 1( ,..., ) n
nλ λ λ= ∈ sao cho iđêan sinh bởi 1 1( ),...,( )n nf e f eλ λ− − khác
với B .

33. 29
Chú ý, trường hợp 1n = thì định nghĩa này trùng với định nghĩa phổ của một phần
tử.
Từ đây định lý 2.1.9 được mở rộng như sau.
Định lý 2.2.3
Cho 1,..., nf f B∈ , bất kỳ. Khi đó, ( )1 1,..., ( ),..., ( ) :B n n Bf f f m f m m Mσ
∧ ∧
  
= ∈  
  
.
Chứng minh
Nếu ( )1,...,B nf fλ σ∈ theo định lý 2.1.17 có Bm M∈ sao cho
( ) 0, 1,...,j jm f e j nλ− = = hay ( )j jm f λ= . Suy ra 1( ),..., ( ) :n Bf m f m m Mλ
∧ ∧
  
∈ ∈  
  
.
Vậy ( )1 1,..., ( ),..., ( ) :B n n Bf f f m f m m Mσ
∧ ∧
  
⊂ ∈  
  
.
Nếu ( )1,...,B nf fλ σ∉ theo định nghĩa phổ nối có , 1,...,jg B j n∈ = sao cho
1
( )
n
j j j
j
g f e eλ
=
− =∑ . Vì vậy , Bm M∀ ∈ ta có:
1
( )( ( ) ) 1
n
jj j
j
g m f m λ
∧ ∧
=
− =∑ , chứng tỏ có
một j sao cho ( ) 0jjf m λ
∧
 
− ≠ 
 
, dẫn đến ( )1 1( ),..., ( ) ,..., ,n n Bf m f m m Mλ λ
∧ ∧
 
≠ ∀ ∈ 
 
.
Suy ra 1( ),..., ( ) :n Bf m f m m Mλ
∧ ∧
  
∉ ∈  
  
Vậy ( )1 1,..., ( ),..., ( ) :B n n Bf f f m f m m Mσ
∧ ∧
  
⊃ ∈  
  
.■
Bổ đề 2.2.4
1 1( ,..., ) ( ,..., )n
n B nf fλ λ λ σ∋= ∈ khi và chỉ khi phương trình
1
( )
n
i i i
i
g e f eλ
=
− =∑
không có nghiệm trong B .
Chứng minh
Giả sử 1 1( ,..., ) ( ,..., )n B nf fλ λ λ σ= ∈ , theo định lý 2.1.17 có Bm M∈ sao cho
1 1( ,..., ) ( ),..., ( )n nf m f mλ λ λ
∧ ∧
 
= =  
 
( ), 1,...,i im f i nλ⇔= ∀= .

34. 30
Nếu phương trình
1
( )
n
i i i
i
g e f eλ
=
− =∑ (2.2.4) có nghiệm, tức là tồn tại các
, 1,...,ig B i n∈ ∀ = sao cho đẳng thức (2.2.4) xảy ra, thì
1
1 ( ) ( )
n
i i i
i
m e m g e fλ
=
 
= = − 
 
∑
( )
1
( ) ( ) 0
n
i i i
i
m g m fλ
=
= − =∑ điều này mâu thuẫn. Vậy phương trình không có nghiệm
trong B .
Ngược lại, giả sử phương trình
1
( )
n
i i i
i
g e f eλ
=
− =∑ không có nghiệm trong B nhưng
1 1( ,..., ) ( ,..., )n B nf fλ λ λ σ= ∉ . Khi đó tồn tại ,1j j nλ ≤ ≤ sao cho
( ) ( ),j j j Bf m m f m Mλ
∧ ∧
≠ = ∀ ∈ .
Suy ra ( ) ( )( ) 0,j j j j Bm e f e f m m Mλ λ− = − ≠ ∀ ∈ , nên j je fλ − khả nghịch. Dẫn đến có
jg B∈ sao cho ( )j j je f g eλ − =. Vì vậy phương trình
1
( )
n
i i i
i
g e f eλ
=
− =∑ có nghiệm
( )
1
0,
,
i
j j
i j
g
e f i jλ
−
≠
= 
− =
(điều này mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy 1 1( ,..., ) ( ,..., )n B nf fλ λ λ σ= ∈ .■
Cho K là tập compact con của n
 . Gọi ( )P K là đại số các hàm được xấp xỉ
đều trên K bởi các đa thức n biến 1,..., nz z . Khi đó ( )P K được sinh bởi các phần tử
1,...,z nz . Ta nhắc lại tập lồi đa thức, đa diện đa thức.
Định nghĩa 2.2.5
Cho K là tập compact của n
 , bao lồi đa thức của K là tập K , được xác
định bởi { }{ }: ( ) sup (w) ,w ,n
K z P z P K P= ∈ ≤ ∈ ∀  , ở đây P là đa thức.
Tập K được gọi là tập lồi đa thức nếu K K=  .

35. 31
Định lý 2.2.6
Cho K là tập compact lồi đa thức và Ω là một lân cận của K . Khi đó tồn tại
những đa thức 1,..., mP P thỏa mãn { }: ( ) 1, 1,...,n
jK z P z j m L⊂ ∈ ≤ = = ⊂ Ω .
L được gọi là một đa diện đa thức, và rõ ràng rằng nó là một tập lồi đa thức.
Xem chứng minh trong [11].
Mệnh đề 2.2.7
Nếu { }n n
p là dãy các đa thức hội tụ đều trên K thì { }n n
p cũng hội tụ đều
trên K .
Chứng minh
Theo giả thiết, với mỗi 0ε > thì tồn tại số tự nhiên N sao cho nếu ,n m N>
thì ( ) ( ) ,n mp w p w w Kε− < ∀ ∈ . Ta lại có n mp p− là đa thức nên ta có ( ) ( )n mp z p z− ≤
{ }sup ( ) ( ) : ,n mp w p w w K z Kε≤ − ∈ ≤ ∀ ∈  . Vậy { }n n
p hội tụ đều trên K .■
Mệnh đề 2.2.8
Nếu ( )f P K∈ thì tồn tại một hàm F liên tục trên K thỏa mãn K
F f= .
Chứng minh
Với mỗi z K∈  , ta định nghĩa ( ) : lim ( )n
n
F z p z
→+∞
= , ở đây { }n n
p là dãy các đa
thức hội tụ đều đến hàm f trên K . Ta chứng minh quy tắc xác định trên là ánh xạ,
tức là không phụ thuộc vào việc chọn dãy đa thức { }n n
p . Thật vậy, giả sử { }n n
q là
dãy các đa thức hội tụ đều đến hàm f trên K . Khi đó ta có dãy các đa thức
1 1, ,..., , ,...n np q p q cũng hội tụ đều đến hàm f trên K . Theo mệnh đề 2.2.7 dãy này
cũng hội tụ đều trên K . Vì vậy mỗi dãy con phải hội tụ đến cùng một giới hạn. Vậy
lim n
n
q F
→+∞
= , hay hàm F xác định. Theo cách xác định trên rõ ràng hàm F liên tục
trên K thỏa mãn K
F f= .■
Định lý 2.2.9
Gọi ( )P KM là không gian các iđêan cực đại của ( )P K , 1,..., np p là các phép
chiếu trong n
 , nghĩa là ( ) , 1,...,i ip z z i n= = . Khi đó, ánh xạ ( ): n
P KMΦ →  xác định

36. 32
bởi 1( ) ( ( ),..., ( ))nm m p m pΦ = là phép đồng phôi từ ( )P KM lên K thỏa mãn điều kiện
nếu q là đa thức n biến, thì ( )( ) ( ( )), P Km q q m m M= Φ ∀ ∈ .
Chứng minh
Kiểm tra sự xác định của ánh xạ Φ . Với q là đa thức n biến, ta có
1 1 ( )( ) ( ( ,..., )) ( ( ),..., ( )) ( ( )),n n P Km q m q p p q m p m p q m m M= = = Φ ∀ ∈ nên
( ( )) ( )q m m qΦ = ≤ q . Vì vậy ( )( ) , P Km K m MΦ ∈ ∀ ∈ nên ánh xạ Φ xác định từ
( )P KM vào K .
Chứng minh Φ đơn ánh. Thật vậy, bởi vì tập các đa thức trù mật trong ( )P K
nên nếu 1 2( ) ( )m mΦ =Φ thì 1 2( ) ( )m q m q= với mọi đa thức q . Vì vậy 1 2m m= . Vậy
Φ đơn ánh.
Chứng minh Φ toàn ánh . Thật vậy, lấy 1( ,..., )nz z K∈  , với mỗi đa thức q ta
định nghĩa 1( ) : ( ,..., )nq q z zθ = . Khi đó, rõ ràng θ là phiếm hàm tuyến tính trên tập
các đa thức, hơn nữa θ bị chặn vì { }1( ) ( ,..., ) sup ( ) :nq q z z q w w K qθ= ≤ ∈= . Từ
đó tồn tại duy nhất một mở rộng tuyến tính bị chặn của θ là θ trên ( )P K . Do θ
tuyến tính nhân nên θ cũng vậy. Rõ ràng ta có θ không đồng nhất không và vì vậy
( )P KMθ ∈ . Ta lại có 1 1( ) ( ( ),..., ( )) ( ,..., )n np p z zθ θ θΦ= = . Vậy Φ toàn ánh .
Ngoài ra, ta có Φ liên tục, song ánh từ không gian compact ( )P KM lên K là không
gian Hausdorff nên Φ là đồng phôi.■
Hệ quả 2.2.10
i) Nếu ( )f P K∈ và F là hàm mở rộng liên tục của f lên K thì
( )( ( )) ( ), P KF m m f m MΦ = ∀ ∈ .
ii) Nếu ( ) ( )P K C K= thì K K= .
Chứng minh
i) Lấy { }n n
p là dãy các đa thức sao cho ( ) lim ( ),n
n
f w p w w K
→+∞
= ∀ ∈ .
Khi đó ( ) lim ( ),n
n
F z p z z K
→+∞
= ∀ ∈  (2.2.8). Do đó với mọi ( )P Km M∈ thì

37. 33
( ) ( lim )n
n
m f m p
→+∞
= lim ( ) lim ( ( ))n n
n n
m p p m
→+∞ →+∞
= = Φ .
Nhưng ( )m KΦ ∈  nên ( ( )) ( )F m m fΦ = (do (2.2.8)).
ii) Ta đã chứng minh được không gian các iđêan cực đại của ( )C K là
( )C KM K≡ . Theo kết quả trên thì ( )C KM K≡  . Vậy ta có K K= .■
Ta có thể miêu tả dễ dàng không gian iđêan cực đại của đại số Banach giao
hoán hữu hạn sinh, cụ thể là nó đồng phôi với tập phổ nối của những phần tử sinh.
Đây chính là sự mở rộng của định lý 2.2.1.
Định lý 2.2.11
Cho đại số Banach B được sinh bởi 1,..., nf f . Khi đó,
i) Ánh xạ
1
1
: ( ,..., )
( ) : ( ),..., ( )
n
B B n
n
M f f
m m f m f m
ϕ σ
ϕ
∧ ∧
→ ⊂
 
=  
 


là phép đồng phôi.
ii) Tập 1( ,..., )B nK f fσ= là tập compact lồi đa thức.
iii) Nếu f B∈ thì 1
f ϕ
∧
−
° được xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K .
Chứng minh
i) Theo định nghĩa tôpô trên BM ta có ϕ liên tục. Do BM compact Hausforff
nên 1( ,..., )B nf fσ compact, vì vậy ta chỉ cần chứng minh ϕ song ánh thì khi đó ϕ là
phép đồng phôi. Hiển nhiên, theo cách xác định ánh xạ ϕ và định lý 2.2.3 ta có ϕ
là toàn ánh.
Chứng minh ϕ là đơn ánh. Thật vậy, với Bm M∈ , ta có
( )1 1( ,..., ) ( ( ),..., ( ))n nm P f f P f m f m
∧ ∧
=
với mọi đa thức P . Với 1 2, Bm m M∈ mà 1 2( ) ( )m mϕ ϕ= . Ta chứng minh 1 2m m= . Với
mọi f B∈ , do tính trù mật của tập đa thức dạng 1( ,..., )nP f f nên có dãy các đa

38. 34
thức 1
0
( ,..., )
k
k nP f f c f
α
α
α
α
=
=
= ∑ hội tụ về f B∈ . Khi đó từ 1 2( ) ( )m mϕ ϕ= . Suy ra
( ) ( )1 1 2 1( ,..., ) ( ,..., )k n k nm P f f m P f f= , mà 1 2,m m liên tục, cho k → +∞ ta được
1 2( ) ( ),m f m f f B= ∀ ∈ . Vậy ϕ đơn ánh.
ii) Ta có K là compact.
Đặt { }{ }: ( ) sup (w) ,w ,n
K z P z P K P= ∈ ≤ ∈ ∀  . P là đa thức. Ta chứng minh
K K= , hiển nhiên ta có K K⊂  . Lấy z K∈  , 1( ,..., )nz z z= , ta chỉ ra rằng ánh xạ m
biến j jf z→ , 1 1( ,..., ) ( ,..., )n nP f f P z z→ có thể mở rộng thành dạng tuyến tính nhân
trên B . Ta có m là đồng cấu từ B vào . Ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục của ánh
xạ này. Với mọi đa thức P , thì
( )1 1 1 1( ,..., ) sup ( ,..., ) sup ( ,..., ) ( ,..., )
B
n n n n
K m M
P z z P m P f f P f f
ζ
ζ ζ
∈ ∈
≤ = ≤ .
Từ đó suy ra m liên tục, hay Bm M∈ . Vậy ( )1( ),..., ( )nz m f m f K= ∈ hay K K⊃  .
iii) Chứng minh f B∈ , thì 1
f ϕ
∧
−
° được xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K .
Thật vậy, do các đa thức dạng 1( ,..., )nP f f trù mật trong B nên từ sơ đồ
1
1( ,..., ) f
B n BK f f Mϕ
σ
∧
−
= → →  ta có thể nói rằng không gian các iđêan cực đại
của ( )P K ( là không gian con đóng của ( )C K các hàm liên tục được xấp xỉ đều bởi
các đa thức trên K ) là K , tức là ta có thể đồng nhất ( )P KM K≡  .
Tức là ta có 1
( )f P Kϕ
∧
−
° ∈ , do đó 1
f ϕ
∧
−
° được xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K .■

39. 35
Chương 3. HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ
ỨNG DỤNG
Các kết quả quan trọng nhất của Chương 3 là các định lý 3.1.1, 3.1.2. Các
định lý này chỉ ra sự tác động của các hàm chỉnh hình nhiều biến lên không gian các
biến đổi Gelfand (mục 3.1). Mục 3.2 trình bày một ''định lý hàm ẩn'' cho không
gian Banach (định lý 3.2.1) như là một ứng dụng của định lý 3.1.2. Định lý 3.2.1
còn được sử dụng để chính minh định lý lũy đẳng Shilov (định lý 3.2.5). Mục này
cũng trình bày một điều kiện để một phần tử trong đại số Banach có căn bậc n (định
lý 3.2.6). Mục 3.3 giới thiệu về biên Shilov, các hệ quả của định lý lũy đẳng
Shilov. Đặc biệt mục này cũng chỉ ra rằng biên Shilov có thể được xác định bởi các
điều kiện địa phương (định lý 3.3.8).
3.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động trên không gian các phép biến đổi Gelfand
Định lý 3.1.1
Cho 1,..., nf f B∈ và hàm ϕ chỉnh hình trên lân cận của 1( ,..., ) n
B nf fσ ⊂  .
Khi đó, tồn tại hữu hạn những phần tử 1,...,n Nf f B+ ∈ và một hàm Φ chỉnh hình trên
lân cận của đa đĩa { }: , 1,...,N
j jD z z f j N=∈ ≤ = thỏa mãn
1 1( ),..., ( ) ( ),..., ( ) ,n N Bf m f m f m f m m Mϕ
∧ ∧ ∧ ∧
   
=Φ ∈   
   
.
Trước khi đưa ra chứng minh của định lý 3.1.1 ta nêu ra ứng dụng của định lý này.
Định lý 3.1.2 (định lý Arens – Calderón – Shilov)
Cho 1,..., nf f B∈ và hàm ϕ chỉnh hình trên lân cận của 1( ,..., ) n
B nf fσ ⊂  .
Khi đó, có phần tử g B∈ thỏa mãn 1( ) ( ),..., ( ) ,n Bg m f m f m m Mϕ
∧ ∧ ∧
 
= ∀ ∈ 
 
.
Chứng minh
Chọn 1,...,n Nf f B+ ∈ theo định lý 3.1.1, khi đó có hàm Φ chỉnh hình trên lân
cận của đa đĩa { }: , 1,...,N
j jD z z f j N=∈ ≤ = thỏa mãn
1 1( ),..., ( ) ( ),..., ( ) ,n N Bf m f m f m f m m Mϕ
∧ ∧ ∧ ∧
   
=Φ ∀ ∈   
   
.

40. 36
Do Φ chỉnh hình trên lân cận của đa đĩa D nên ( ) ,z a z a Rα α
α α
α α
Φ= < +∞∑ ∑ , với
1( ,..., )Nz z z= , ( )1 ,..., NR f f=
Ta có chuỗi a f α
α
α
∑ tồn tại và hội tụ trong B . Đặt g a f α
α
α
= ∑ . Khi đó,
1 1,..., ,...,N ng a f f f f fα
α
α
ϕ
∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧
   
==Φ =   
   
∑ .■
Để chứng minh định lý 3.1.1 ta cần các bổ đề bổ trợ sau.
Bổ đề 3.1.3
Cho Ω là tập mở trong n
 chứa ( )1,...,B nf fσ . Khi đó, tồn tại một đại số con
đóng hữu hạn sinh '
B của B sao cho '
1,..., nf f B∈ và ( )' 1,..., nB
f fσ ⊂ Ω .
Chứng minh
Gọi 0B là đại số con đóng của B sinh bởi các phần tử 1,..., nf f B∈ và
( )00 1,...,B nf fσ σ= .
Nếu 0σ ⊂ Ω thì chọn 0'B B= .
Nếu 0σ ⊄ Ω , lấy ( )1 0,..., nλ λ λ σ= ∈ Ω , khi đó ( )1,...,B nf fλ σ∉ , theo bổ đề 2.2.4 sẽ
tồn tại 1,..., ng g B∈ sao cho
1
( )
n
i i i
i
e g e fλ
=
= −∑ . Ký hiệu 1B là đại số con đóng của B
sinh bởi 1 1,..., , ,...,n nf f g g B∈ . Ta có
1
( )
n
i i i
i
g e fλ
=
−∑ khả nghịch trong 1B . Tức là
1
( ) 1 0
n
i i i
i
m g e fλ
=
 
− =≠ 
 
∑ , với 1Bm M∈ . Do tính liên tục của m dẫn đến tồn tại một
lân cận Uλ của λ trong n
 sao cho ( )1
1
( ) 0, ,...,
n
i i i n
i
m g e f Uλα α α α
=
 
− ≠ ∀= ∈ 
 
∑ . Nói
cách khác mọi phần tử có dạng
1
( )
n
i i i
i
g e fα
=
−∑ khả nghịch trong 1B với mọi
( )1,..., n Uλα α α= ∈ . Vì vậy ( )1 1,...,B nf fα σ∉ . Mặt khác, 0 σ Ω là tập compact nên
theo cách làm trên ta phủ được 0 σ Ω bởi hữu hạn các lân cận Uλ , giả sử là

41. 37
{ } 1i
s
i
Uλ =
, thu được các jg và gọi chúng là 1,..., ku u . Gọi 'B là đại số con đóng sinh
bởi 1 1,..., , ,...,n kf f u u . Do 0 'B B⊂ nên 0'B BM M⊂ , theo định lý 2.2.3 suy ra
( ) ( )0' 1 1 0,..., ,...,B n B nf f f fσ σ σ⊂ =.
Nếu 0 α σ∈ Ω thì α phải thuộc vào một trong ,1r
U r sλ ≤ ≤ . Từ đó tồn tại
1,..., 'kv v B∈ sao cho
1
( )
n
i i i
i
v e fα
=
−∑ khả nghịch trong 'B . Suy ra ( )' 1,...,B nf fα σ∉ .
Vậy ( )' 1,...,B nf fσ ⊂ Ω .■
Chọn 1,...,n vf f+ sao cho 1 1,..., , ,...,n n vf f f f+ sinh ra đại số '
B trong bổ đề 3.1.3
và π là phép chiếu : v n
π →  xác định bởi ( ) ( )1 1,... : ,...v nz z z zπ = .
Bổ đề 3.1.4
Tồn tại những đa thức v biến kP , 1,...,k µ= sao cho
( ) ( )1, , 1,..., , ,..., , 1,...,v
j j k k vz z f j v P z P f f k µ∈ ≤ = ≤ = zπ⇒ ∈Ω .
Chứng minh
Ta có tập { }: , 1,...,v
j jA z z f j v=∈ ≤ = là tập compắc
Nếu ( )' 1,..., ,nB
z f f z Aπ σ∈ ∀ ∈ thì những đa thức kP ta có thể chọn bất kỳ.
Nếu ( )' 1,..., nB
z f fπ σ∉ , thì ánh xạ , 1,...,j jf z j v→ = không thể mở rộng thành dạng
tuyến tính nhân trên '
B . Do đó có đa thức v biến P sao cho ( ) ( )1,..., vP z P f f>
(3.1.4), bất đẳng thức vẫn đúng trong một lân cận zN của z . Do A compact, họ
{ }z z A
N ∈
là một phủ mở của A nên có phủ con hữu hạn 1,...,N Nµ , tương ứng với
những đa thức 1,...,P Pµ thỏa tính chất (3.1.4). Khi đó,
, , 1,...,v
j jz z f j v∈ ≤ = và ( ) ( )1,..., , 1,...,k k vP z P f f k µ≤ =
thì ,1sz N s µ∈ ≤ ≤ .
Nếu zπ ∉Ω , dẫn đến ( )' 1,..., nB
z f fπ σ∉ nên ( ) ( )1,...,s vP z P f f> (mâu thuẫn).
Vậy zπ ∈Ω .■

42. 38
Để chứng minh định lý 3.1.1 ta cần dùng đến kết quả sau liên quan đến bài
toán Cousin. Ta nói rằng tập compact K có tính chất Cousin (Cousin property) nếu
với mỗi ( ),p q
f C∞
∈ (không gian các hàm − khả vi vô hạn lần dạng ( ),p q với hệ số
thuộc C∞
) với 0f∂ = trong một lân cận của K ( ), 0p q ≥ phương trình u f∂ = có
nghiệm ( ),p q
u C∞
∈ trong một lân cận nào đó của K .
Bổ đề 3.1.5
Cho K là tập compact trong n
 , D là đĩa đóng đơn vị trong , P là đa thức
trên n
 . Ký hiệu 1
: n n
µ +
→  là ánh xạ Oka xác định bởi ( )( ),z z P z và đặt
( ){ }: , 1PK z z K P z= ∈ ≤ . Giả sử rằng tập K D× trong 1n+
 có tính chất Cousin. Khi
đó,
a) PK có tính chất Cousin.
b) Với mỗi ( ) ( ),
, 0p q
f C p q∞
∈ ≥ với 0f∂ = trong một lân cận của PK , tồn tại
( ),p q
F C∞
∈ với 0F∂ = trong một lân cận của K D× sao cho f F µ=  trong
lân cận của PK .
Ta thấy ( )1
PK K Dµ−
= × .
Chứng minh
Ta chứng minh b) trước. Gọi 1
: n n
π +
→  là phép chiếu xác định bởi
( ) ( ), ,z w z w zπ = , thì khi đó π µ là đồng nhất. Nếu ω là tập mở chứa PK sao
cho ( ) ( ),p q
f C ω∞
∈ và 0f∂ = trong ω thì ( ) ( )1
,p q
f Cπ π ω∞ −
∈ và 0f fπ π∂ =∂ = 
trong 1
π ω−
là một lân cận của ( ) ( ){ }, ,PK z w K D w P zµ= ∈ × = .Ta có
( )f f fπ µ πµ= =   trong ω . Lấy ( )1
0Cϕ π ω∞ −
∈ bằng 1 trên lân cận của PKµ và
đặt F f QGϕπ= − , ở đây ( ) ( ),Q z w w P z= − và G là dạng ( ),p q trong lân cận của
K D× được xác định sao cho 0F∂ =. Chú ý rằng ( )F f fµ ϕ µ= =  trong một lân
cận của PK . Phương trình 0F∂ = được viết lại dưới dạng Q G fϕ π∂ =∂ ∧  , vì f π

43. 39
là dạng ∂ −đóng ( closed∂ − ), vì vậy ta có phương trình
1
G f H
Q
ϕ π∂ = ∂ ∧ = . Bởi
vì 0ϕ∂ = trong một lân cận của PKµ , ta có ( ), 1p q
H C∞
+
∈ trong một lân cận của K D×
và ( )
2
1/ 0H Q fϕ π∂= ∂ ∧ = . Theo giả thiết ta có K D× có tính chất Cousin, nên có
( ),p q
G C∞
∈ là nghiệm của phương trình G H∂ = trong lân cận của K D× .
Để chứng minh a) ta lấy ( ), 1p q
f C∞
+
∈ với 0f∂ = trong lân cận của PK . Theo
kết quả b) vừa chứng minh có thể chọn ( ), 1p q
F C∞
+
∈ sao cho 0F∂ = trong lân cận của
K D× và f F µ=  . Do K D× có tính chất Cousin nên phương trình U F∂ = có một
nghiệm thuộc ( ),p q
C∞
trong một lân cận của K D× . Nếu chúng ta đặt u U µ=  , thì
u U F fµ µ∂ =∂ = =  trong lân cận của PK .■
Áp dụng bổ đề trên ta đạt được.
Định lý 3.1.6
Cho ∆ là đa đĩa đóng trong n
 , D là đĩa đóng đơn vị trong  và 1,..., mP P là
các đa thức. Ký hiệu µ là ánh xạ Oka 1: ( , ( ),..., ( ))n n m
mz z P z P zµ +
∋ → ∈ 
và tập { } 1
: ( ) 1, 1,..., ( D )m
jK z P z j m µ−
= ∈∆ ≤ = = ∆ × . Khi đó,
a) K có tính chất Cousin.
b) Với mỗi ( , ) ( , 0)p qf C p q∞
∈ ≥ mà 0f∂ = trong một lân cận của tập K , ta tìm
được ( ),p q
F C∞
∈ với 0F∂ = trong một lân cận của Dm
∆ × sao cho f F µ= 
trong một lân cận của K .
Chứng minh định lý 3.1.1
Giả sử Ω là lân cận của 1( ,..., )B nf fσ mà trên đó ϕ là hàm chỉnh hình, ở đây
1,...,n vf f+ và 1,...,P Pµ được chọn như trong các bổ đề 3.1.3, 3.1.4.
Đặt
1( ,..., ), 1,...,v k k nf P f f k µ+= = , N v µ= + .

44. 40
{ }: , 1,..., , ( ) , 1,...,v
j j k k vK z z f j v P z f k µ+=∈ ≤ = ≤ =
Theo bổ đề 3.1.4 , với z K∈ thì zπ ∈Ω . Từ đó ta có hàm ( )z zϕ π chỉnh hình
trên lân cận của K .
Theo kết quả định lý 3.1.6 có một hàm Φ chỉnh hình trên lân cận của đa đĩa
{ }: , 1,...,N
j jD z z f j N=∈ ≤ =
thỏa mãn ( )1 1,..., , ( ),..., ( ) ( )vz z P z P z zµ ϕ πΦ =với mọi z trong lân cận của K .
Đặc biệt, với Bm M∈ , ta chọn ( ) ( ), 1,...,j j jz f m m f j v
∧
= = = , từ đây kéo theo
( ) ( ) ( )j j v j vP z f m m f
∧
+ += = . Do đó, z K∈ và ta có 1 1( ,..., ) ( ,..., )N nf f f fϕ
∧ ∧ ∧ ∧
Φ = .■
Sử dụng định lý 3.1.1 ta sẽ chứng minh một ''định lý hàm ẩn'' đối với một
đại số Banach.
3.2. Định lý hàm ẩn trong đại số Banach
Xét phương trình đại số
0
0
n
k
k
k
a w
=
=∑ (3.2.1) với hệ số ka và ẩn là w B∈ .
Phương trình này dẫn đến phương trình theo các phép biến đổi Gelfand tương ứng
là
0
0
n
k
k
k
a w
∧∧
=
=∑ (3.2.2), ở đây với mỗi Bm M∈ nó là một phương trình đại số với hệ
số phức ẩn là ( )w m
∧
. Một điều kiện cho sự tồn tại nghiệm phương trình (3.2.1) là
phương trình (3.2.2) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào m .
Định lý 3.2.1
Giả sử rằng có một hàm h liên tục trên BM thỏa mãn
0
0
n
k
k
k
a h
∧
=
=∑ ,
1
1
0
n
k
k
k
k a h
∧
−
=
≠∑ tại mọi điểm thuộc BM . Khi đó, phương trình (3.2.1) có một nghiệm
w thỏa mãn w h
∧
= .

45. 41
Chứng minh được thực hiện sau hai bước, bước một là xác định w sao cho
(3.2.2) được thỏa, tiếp theo là chứng minh w cũng thỏa (3.2.1). Để làm được điều
đó ta cần các bổ đề sau.
Bổ đề 3.2.2
Với h liên tục trên BM thỏa mãn
0
0
n
k
k
k
a h
∧
=
=∑ , 1
1
0
n
k
k
k
k a h
∧
−
=
≠∑ tại mọi điểm
thuộc BM . Khi đó, tồn tại hữu hạn những phần tử 1,...,n va a B+ ∈ sao cho với mọi cặp
điểm 1 2( , ) B Bm m M M∈ × mà 1 2( ) ( ), 0,...,j ja m a m j v
∧ ∧
= = thì 1 2( ) ( )h m h m= .
Chứng minh
Với mọi điểm 0 0
1 2( , ) B Bm m M M∈ × mà 0 0
1 2m m≠ có a B∈ sao cho
0 0
1 2( ) ( )a m a m
∧ ∧
≠ . Do tính liên tục của a
∧
nên 1 2( ) ( )a m a m
∧ ∧
≠ trong một lân cận của
0 0
1 2( , )m m . Mặt khác xét phần tử đường chéo 0 0
( , )m m , chọn 0δ > đủ nhỏ sao cho đa
thức 0
0
( )
n
k
k
k
a m z
∧
=
∑ chỉ có duy nhất một không điểm đơn 0
( )z h m= trong đĩa
{ }0
: ( )D z z h m δ= ∈ − ≤ . Gọi V là lân cận của 0
m sao cho 0
( ) ( )h m h m δ− ≤ và
phương trình
0
( ) 0
n
k
k
k
a m z
∧
=
=∑ chỉ có một nghiệm duy nhất thỏa 0
( )z h m δ− ≤ khi
m V∈ .
Khi đó, nếu m V∈ thì dẫn đến ( )h m là không điểm duy nhất của
0
( )
n
k
k
k
a m z
∧
=
∑
trong 0
( )z h m δ− ≤ . Do đó, nếu 1 2( , )m m V V∈ × và 1 2( ) ( ), 0,...,k ka m a m k n
∧ ∧
= = thì dẫn
đến 1 2( ) ( )h m h m= . Ta lại có B BM M× là compact, theo bổ đề Borel – Lebesgue ta
tìm được hữu hạn các phần tử 1,...,n va a+ thỏa mãn tính chất bổ đề.■
Bổ đề 3.2.3
Giả sử 1,...,n va a+ là các phần tử được xác định trong bổ đề 3.2.2. Khi đó, tồn
tại một hàm H chỉnh hình trên lân cận tập 1
0( ,..., ) v
B va aσ +
⊂  thỏa 0( ,..., )vh H a a
∧ ∧
= .

46. 42
Chứng minh
Với 0( ,..., )B va aλ σ∈ , có Bm M∈ : 0 ( ),..., ( )va m a m λ
∧ ∧
 
= 
 
, đặt ( ) ( )h m H λ= ,
Ta chứng minh quy tắc đặt trên là một ánh xạ từ 0( ,..., )B va aσ → . Thật vậy, nếu
1 2 0, ( ,..., )B va aλ λ σ∈ thì tồn tại 1 2, Bm m M∈ sao cho
0 1 1 1( ),..., ( )va m a m λ
∧ ∧
 
= 
 
và 0 2 2 2( ),..., ( )va m a m λ
∧ ∧
 
= 
 
Nếu 1 2λ λ= thì 1 2( ) ( ), 0,...,j ja m a m j v
∧ ∧
= = . Theo bổ đề 3.2.2, ta có 1 2( ) ( )h m h m= hay
1 2( ) ( )H Hλ λ= .Vậy hàm H xác định trên 0( ,..., )B va aσ thỏa 0( ,..., )vh H a a
∧ ∧
= .
Ta chứng minh H liên tục, tức là chỉ ra rằng với nếu , 1,2...i Bm M i∈ =và
0
( ) ( ),k i ka m a m
∧ ∧
→ 0,...,k v= thì 0( ) ( )ih m h m→ . Giả sử ngược lại, ( )ih m hội tụ đến
'h , ta cần chứng minh 0
' ( )h h m= . Ta có ( )i i Bm M⊂ , BM là compact nên dãy (suy
rộng) ( )i im có dãy con hội tụ, giả sử luôn là chính nó, gọi m là giới hạn của nó. Với
0,...,k v= , do tính liên tục của các ka
∧
nên ( ) ( ), 0,...,k i ka m a m k v
∧ ∧
→ =. Mặt khác
0
( ) ( ),k i ka m a m
∧ ∧
→ với 0,...,k v= , và giới hạn của dãy trong  là duy nhất nên
0
( ) ( ), 0,...,k ka m a m k v
∧ ∧
= = . Áp dụng bổ đề 3.2.2 ta có 0( ) ( )h m h m= . Mà ( ) 'ih m h→
và cũng do h liên tục nên ( ) ( )ih m h m→ . Vậy 0
' ( )h h m= .
Tiếp theo ta chứng minh tính chỉnh hình của hàm H . Do cách xác định hàm
H trên 0( ,..., )B va aσ nên nó thỏa điều kiện
0
0
n
k
k
k
z H
=
=∑ và 1
1
0
n
k
k
k
kz H −
=
≠∑ . Theo định
lý hàm ẩn 1.1.13 ta có phương trình
0
0
n
k
k
k
z H
=
=∑ xác định trên lân cận quả cầu mở
của bất kỳ điểm nào trong 0( ,..., )B va aσ một hàm chỉnh hình, hàm này trùng với hàm
H ở giao của 0( ,..., )B va aσ và quả cầu mở đó. Tập các quả cầu đó là một phủ mở
của tập compact 0( ,..., )B va aσ nên có một phủ con hữu hạn. Gọi 2δ là một cận dưới
dương của những bán kính của những quả cầu hữu hạn đó. Khi đó , ta có duy nhất

47. 43
một hàm chỉnh hình H thỏa điều kiện
0
0
n
k
k
k
z H
=
=∑ trong tập những điểm mà
khoảng cách đến 0( ,..., )B va aσ nhỏ hơn δ và hàm này trùng với hàm H được cho
trước trên đó. Thật vậy, nếu hai quả cầu với bán kính δ phủ lên nhau thì tâm của
một trong hai quả cầu đó phải nằm trong quả cầu có tâm là quả cầu còn lại với bán
kính là 2δ .■
Trước khi đưa ra chứng minh định lý 3.2.1 ta cần một khái niệm về Radical
của một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Radical của B là giao của tất cả các
iđêan cực đại. Ký hiệu là RadB . Vậy, ta có
b RadB∈ { } ( ){ }1
: 0 : 0B Bb M M M m m M b
∧
−
⇔ ∈ ∈= ∈ ⇔=  .
Chứng minh định lý 3.2.1
Với H là hàm chỉnh hình trên lân cận của 0( ,..., )B va aσ , theo định lý 3.1.2 có
phần tử 0w B∈ thỏa mãn 0 0( ,..., )vw H a a
∧ ∧ ∧
= . Theo bổ đề 3.2.3 ta lại có
0( ,..., )vh H a a
∧ ∧
= . Vậy 0w h
∧
= . Suy ra 0
0
0
kn
k
k
a w
∧ ∧
=
=∑ hay 0
0
n
k
k
k
a w b
=
=∑ với
0
0
n
k
k
k
b a h
∧ ∧
=
= =∑ . Dẫn đến
1
0j jb → khi j → +∞ , nên b RadB∈ . Mặt khác theo giả
thiết còn lại thì
1
0
1
( ) ( ) 0,
kn
k B
k
k a m w m m M
−∧ ∧
=
≠ ∀ ∈∑ . Điều này có nghĩa là phần tử
0
1
n
k
k
k
ka w
=
∑ khả nghịch. Để giải phương trình (3.2.1) ta đặt 0w w u= + . Muốn có
0w h w
∧ ∧
= = thì phải có u RadB∈ . Phương trình theo ẩn u trở thành
1
0
1
... 0
n
k
k
k
b u ka w −
=
+ + =∑ dấu ba chấm chỉ những số hạng bậc cao hơn của u . Vậy ta
chỉ cần chứng minh u RadB∈ là xong. Điều này được thực hiện nhờ bổ đề tiếp theo
sau đây.

48. 44
Bổ đề 3.2.4
Trong phương trình
0
0
n
j
j
j
b u
=
=∑ với hệ số jb B∈ , giả sử 0b RadB∈ và 1b khả
nghịch. Khi đó, phương trình này có một nghiệm u RadB∈ .
Chứng minh
Ta có thể nhân hai vế phương trình
0
0
n
j
j
j
b u
=
=∑ cho 1
1b−
nên ta có thể giả sử
1b e= . Ta xét phương trình 2
0 2 ... 0n
nz w z w z w+ + + + =, ở đây 0 2, ,..., nz z z là các biến
số phức. Áp dụng định lý hàm ẩn 1.1.13 có một hàm w chỉnh hình trên lân cận của
0 trong n
 , thỏa mãn 0w = khi 0 2 ... 0nz z z= = = = , và ta có thể viết
0
( )w z c zα
α
α ≠
= ∑ ,
ở đây 0 2( , ,..., )nα α α α= là đa chỉ số và
0
c r
α
α
α ≠
< +∞∑ với 0r > nào đó. Ta chứng
minh 0cα = ngoại trừ khi 0 2 3( ) 2 ... ( 1) 0nL nα α α α α= − − − − − > . Giả sử điều này đã
đúng với những số hạng có bậc k≤ (rõ ràng đúng khi 0k = hoặc 1 vì 0w z=− + số
hạng bậc cao hơn). Nếu 1
,..., j
α α là các đa chỉ số với ( ) 0, 1,...,i
L i jα > = , thì điều
này kéo theo 1
( ... )j
L jα α+ + ≥ . Do đó, những số hạng có bậc 1k≤ + trong
2
2 ... n
nz w z w+ + là có dạng zβ
với ( ) ( 1) 1 0L j jβ ≥ − − = > cho nên tất cả các số hạng
có bậc 1k + trong khai triển của w thỏa mãn điều kiện này.
Ta chứng minh rằng chuỗi ( )w b có được bằng cách thay jz bởi jb là hội tụ theo
chuẩn dẫn đến ( )w b RadB∈ bởi vì tất cả các số hạng trong chuỗi đều thuộc RadB .
Ta chọn 1R > sao cho 1
,2j
jb R j n−
< ≤ ≤ . Khi đó ta có
0 0 02
0 2 0... n
nb b b b b Rα α α ααα
≤ ≤ nếu ( ) 0L α > .
Ta lại có 0b RadB∈ nên với 0α đủ lớn ta có 0 0
0b R r
αα α
< . Ta có thể giả sử rằng
1r < và khi đó 02
r r
α α
≥ và 00 0
1
0 0b αα α →+∞
→ . Vì vậy chuỗi ( )w b c bα
α= ∑ hội tụ
tuyệt đối, mà B là không gian Banach nên ( )w b hội tụ. Rõ ràng rằng ( )w b thỏa

49. 45
mãn phương trình bởi vì 2
0 2( ) ( ) ...b w b b w b+ + + có thể được sắp xếp lại như là một
chuỗi lũy thừa của b , với tất cả các hệ số là 0.■
Ta nhắc lại phần tử lũy đẳng của một đại số Banach B giao hoán có đơn vị.
Phần tử b B∈ được gọi là phần tử lũy đẳng không tầm thường nếu 0,b b e≠ ≠ và
2
b b= .
Định lý 3.2.5 (định lý lũy đẳng Shilov)
Giả sử rằng BM không liên thông và ta viết được 0 1BM M M= ∪ , trong đó
0 1,M M là hai tập đóng và rời nhau. Khi đó, có hai phần tử 0 1,e e B∈ thỏa 0 1e e e+ =,
0 1 0e e = , 0 1e
∧
= trên 0M và 1 1e
∧
= trên 1M .
Chứng minh
Hàm 0h = trên 0M , 1h = trên 1M liên tục và thỏa mãn phương trình
(1 ) 0h h− =, phương trình này chỉ có một không điểm đơn vì 1 2 ( ) 0, Bh m m M− ≠ ∀ ∈ .
Áp dụng định lý 3.2.1 có phần tử 1e B∈ sao cho 1e h
∧
= , nghĩa là 1 1( ) 0e e e− =, 1 0e
∧
=
trên 0M và 1 1e
∧
= trên 1M . Nếu ta đặt 0 1e e e= − , thì 0 1,e e B∈ là hai phần tử thỏa điều
kiện của định lý.■
Kết quả của định lý này nói lên rằng 0e và 1e là các phần tử lũy đẳng với
0 1 0e e = , 0 1e e e+ =. Vì vậy các iđêan 0Be và 1Be là các đại số Banach con của B với
phần tử đơn vị lần lượt là 0e và 1e . Ta lại có, 0 1 0Be Be∩ =và 0 1Be Be B+ =nên B
chính là tổng trực tiếp của 0Be và 1Be . Ngược lại, rõ ràng rằng nếu một đại số
Banach được phân tích thành tổng trực tiếp thì không gian các iđêan cực đại tương
ứng cũng được phân tích như vậy, và do đó, nó không liên thông.
Định lý 3.2.6
Cho a B∈ là phần tử khả nghịch, giả sử rằng có một hàm h xác định và liên
tục trên BM thỏa n
h a
∧
= . Khi đó có phần tử w B∈ thỏa n
w a= .

50. 46
Chứng minh
Theo giả thiết a khả nghịch nên dẫn đến ( ) 0, Ba m m M
∧
≠ ∀ ∈ , vì vậy h là
không điểm đơn của n
h a
∧
− . Theo định lý 3.2.1 có phần tử w B∈ sao cho w h
∧
= , tức
là
n
w a
∧ ∧
= . Vậy n
w a= .■
Kết quả của định lý này chỉ ra một điều kiện để một phần tử trong đại số Banach B
có căn bậc n .
3.3. Vài kết quả về biên Shilov
Định nghĩa 3.3.1
Một tập con đóng 0M của BM được gọi là biên của BM nếu
0
sup sup ,
BM M
f f f B
∧ ∧
= ∀ ∈ .
Định lý 3.3.2
Giao của tất cả các biên của BM cũng là một biên của nó.
Định nghĩa 3.3.3
Giao của tất cả các biên của BM kí hiệu là ( )S B , được gọi là biên Shilov của
BM .
Để chứng minh định lý 3.3.2 ta cần bổ đề.
Bổ đề 3.3.4
Cho 1,..., nf f B∈ và tập : ( ) 1, 1,...,B iU m M f m i n
∧
 
= ∈ < = 
 
.
Khi đó, U giao với mỗi biên của BM , hoặc 0 M U là một biên của BM với mỗi
biên 0M .
Chứng minh
Với 0M là biên của BM , giả sử 0 M U không là biên của BM . Ta chọn được
f B∈ sao cho sup ( ) 1
Bm M
f m
∧
∈
= nhưng
0
sup ( ) 1
M U
f m
∧
< .

51. 47
Bằng cách thay f bởi k
f với k đủ lớn, ta có thể giả sử rằng
0( ) , f m m M Uε
∧
< ∀ ∈ , ở đây 0ε > được chọn sao cho
sup ( ) 1, 1,...,
B
i
m M
f m i nε
∧
∈
< = .
Khi đó
0
( ) ( ) 1, (3.3.4.1)
( ) ( ) 1, (3.3.4.2)
i
i
f m f m m U
f m f m m M U
∧ ∧
∧ ∧

< ∀ ∈

 < ∀ ∈

(3.3.4.1) có được là do định nghĩa tập U và ( ) 1, Bf m m M
∧
≤ ∀ ∈
(3.3.4.2) có được là do cách chọn ε và ( ) 1, Bf m m M
∧
≤ ∀ ∈ .
Dẫn đến 0( ) ( ) 1, , 1,...,if m f m m M i n
∧ ∧
< ∀ ∈ = , mặt khác ta lại có 0M là biên nên
( ) ( ) 1, , 1,...,i Bf m f m m M i n
∧ ∧
< ∀ ∈ = (3.3.4.3)
Với Bm M∈ mà ( ) 1f m
∧
= , tức 0m M∈ thì m U∈ vì theo (3.3.4.3) ta có
( ) 1, 1,...,if m i n
∧
< = .
Vậy 0M U∩ ≠ ∅ với mọi 0M là biên của BM .■
Chứng minh định lý 3.3.2
Gọi J là họ tất cả các biên của BM , vì BM cũng là một biên nên J ≠ ∅ . Đặt
( ) :
E J
S B E
∈
=  . Ta chứng minh ( )S B ≠ ∅ và ( )S B là một biên của BM .
Thật vậy, với mỗi ( )m S B∉ , ta chứng minh tồn tại một lân cận mở mU của m sao
cho B mM U là biên của BM . Do ( )m S B∉ nên có một biên mS sao cho mm S∉ . Với
ml S∈ ta chọn được phần tử lf B∈ sao cho ( ) 0, ( ) 2l lf m f l
∧ ∧
= = . Ta có

52. 48
: ( ) 1l lV m M f m
∧
 
=∈ > 
 
là một lân cận mở của l . Mà mS là tập compact nên tìm
được hữu hạn 1,..., kl l M∈ sao cho
1
i
k
m l
i
S V
=
⊂  . Đặt 1
1 ... 1km l lU f f
∧ ∧
   
= < ∩ ∩ <   
   
. Ta
có m mU S∩ =∅ nên theo bổ đề 3.3.4 ta có B mM U là một biên của BM .
Lấy W là lân cận mở tùy ý của ( )S B . Với mỗi Bm M W∈ thì ( )m S B∉ , ta
chọn được một lân cận mU như bước trên. Mặt khác, BM W là compact nên ta tìm
được hữu hạn các mU sao cho 1
... rB m mM W U U⊂ ∪ ∪ . Theo cách chọn ta có
1
B mM U là biên của BM , tiếp tục ta cũng có ( )10 : ... rB m mS M U U= ∪ ∪ là một biên
của BM . Hiển nhiên 0S W⊂ . Với f B∈ , cố định, ta có sup sup
BM W
f f
∧ ∧
≤ (do 0S W⊂ ).
Theo cách lấy W là lân cận tùy ý của ( )S B nên
( )
sup sup
BM S B
f f
∧ ∧
≤ . Vậy ( )S B là biên
của BM .■
Ví dụ
Cho { }: 1z z∆= ∈ ≤ là đĩa đóng đơn vị trong mặt phẳng phức, và ( )B P= ∆
là đại số các hàm được xấp xỉ đều bởi các đa thức trên ∆, ta có BM = ∆ . Khi đó, ta
có ( )S B = ∂∆ . Nói cách khác biên Shilov trùng với biên tôpô. Thật vậy, từ nguyên
lý môđun cực đại suy ra ∂∆ là biên của BM . Vì vậy ( ( ))S P ∆ ⊂ ∂∆ . Ta chứng minh
bao hàm thức ngược lại là ( ( ))S P ∆ ⊃ ∂∆ . Lấy { }: 1z zλ ∈∂∆= ∈ = , khi đó hàm
( ) 1p z zλ= + chỉ đạt môđun cực đại tại một điểm duy nhất z λ= . Suy ra ∂∆ được
chứa trong mọi biên của BM . Tức là ta có ( ( ))S P ∆ ⊃ ∂∆ . Vậy ( )S B = ∂∆ .
Tuy nhiên, không phải lúc nào biên Shilov cũng chính là biên tôpô, xét
{ }2 2
1 2 1 2( , ) : 1, 1z z z z∆= ∈ ≤ ≤ và 2
( )B P= ∆ . Ta có
{ } { }2 2 2
1 2 1 1 2 2( , ) : 1 ( , ) : 1z z z z z z∂∆ = ∈∆ = ∪ ∈∆ = .
Trong trường hợp này { }2 2
1 2 1 2( ( )) : ( , ) : 1, 1S P z z z z∆ = Γ = ∈∆ = = .

53. 49
Thật vậy, giả sử 2
( )f P∈ ∆ và đạt môđun cực đại tại 2
1 2( , )a a ∈∆ . Khi đó hàm
1 2( , )f z a đat cực đại tại 1a . Theo nguyên lý môđun cực đại ta có 1 1a = . Tương tự
2 1a = . Suy ra 1 2( , )a a ∈Γ. Vì vậy Γ là biên của BM . Do đó 2
( ( ))S P ∆ ⊂ Γ . Ta chứng
minh bao hàm thức ngược lại, với mỗi 1 2( , )a a ∈Γ, xét hàm
2
1 2 1 1 2 2 1 2( , ) (1 )(1 ),( , )p z z a z a z z z=+ + ∈ . Ta có 2
( )p P∈ ∆ . Ta kiểm tra được p đạt
môđun cực đại trên 2
∆ tại duy nhất một điểm 1 2( , )a a . Từ đó suy ra Γ được chứa
mọi biên của BM , do đó 2
( ( ))S PΓ ⊂ ∆ .
Hệ quả 3.3.5
Giả sử B là đại số Banach giao hoán có đơn vị, không gian các iđêan cực đại
của B là BM , biên Shilov là ( )S B . Khi đó, nếu ( )S B liên thông thì BM cũng liên
thông .
Chứng minh
Giả sử rằng 0 1BM M M= ∪ , trong đó 0M và 1M là các tập con thực sự, đóng
và giao nhau bằng rỗng. Do ( )S B liên thông nên 0( )S B M⊂ hoặc 1( )S B M⊂ . Giả
sử rằng 1( )S B M⊂ . Khi đó theo định lý 3.2.5 tồn tại phần tử 1e B∈ sao cho 1 1e
∧
=
trên 0M và 1 0e
∧
= trên 1M . Điều này trái với định nghĩa biên Shilov.■
Hệ quả 3.3.6
Cho B là đại số Banach giao hoán có đơn vị, không gian các iđêan cực đại
của B là BM . Khi đó, BM hoàn toàn không liên thông (tức là mọi thành phần liên
thông của BM chỉ gồm có một điểm) thì đại số B
∧
trù mật trong ( )BC M .
Chứng minh
Lấy ( ) Bf C M B
∧
∈ , ta chứng minh f nằm trong bao đóng của B
∧
. Nghĩa là
chỉ ra có a B
∧ ∧
∈ sao cho *1
,f a n
n
∧
− ≤ ∈ . Thật vậy, lấy Bm M∈ và chọn số tự nhiên
*
n∈ , sao cho tập
1
: ( ) ( )BM f m f
n
ϕ ϕ
 
∈ − < 
 
là một lân cận mở của m . Do BM là

54. 50
hoàn toàn không liên thông nên tồn tại một tập vừa mở vừa đóng mU chứa m sao
cho
1
: ( ) ( )m BU M f m f
n
ϕ ϕ
 
⊂ ∈ − < 
 
. Ta có họ { } B
m m M
U ∈
là một họ các tập vừa mở,
vừa đóng phủ BM . Do tính compact của BM nên có một phủ con hữu hạn giả sử là
1
,..., km mU U . Ta có thể giả sử rằng các tập imU này là rời nhau đôi một. Khi đó với
mỗi 1,...,i k= thì i kB m m
k i
M U U
≠
= ∪ có thể xem là một phân hoạch của BM . Áp dụng
định lý 3.2.5 có các phần tử , 1,...,ib B i k∈ = sao cho 1ib
∧
= trên imU và 0ib
∧
= trên
km
k i
U
≠
 . Đặt ( )i ib f m b= thì ib B∈ và ( )ib f m
∧
= trên imU và 0ib
∧
= trên km
k i
U
≠
 . Đặt
1 ... ka b b= + + , khi đó, với mỗi Bm M∈ thì tồn tại một chỉ số , 1i i k≤ ≤ sao cho
imm U∈ . Vì vậy
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )kf m a m f m b m b m f m f
n
ϕ
∧ ∧ ∧
− = − − − = − < .
Suy ra
1
f a
n
∧
− ≤ , ta thấy rằng f thuộc bao đóng của B
∧
.■
Hệ quả 3.3.7
Cho B là đại số Banach giao hoán có đơn vị, không gian các iđêan cực đại
của B là BM . Khi đó, BM là liên thông khi và chỉ khi 0 và e là hai phần tử lũy
đẳng duy nhất của B .
Chứng minh
Giả sử BM không liên thông, theo định lý 3.2.5 thì tồn tại phần tử lũy đẳng
không tầm thường.
Ngược lại, nếu b B∈ là phần tử lũy đẳng không tầm thường và 2
b b= , thì
2
b b
∧ ∧
=
nên b
∧
là phần tử lũy đẳng không tầm thường của đại số B
∧
. Vì vậy b
∧
chỉ nhận giá
trị 0 hoặc 1 trên BM .

55. 51
Đặt { }0 : ( ) 0BM m M b m
∧
=∈ =và { }1 : ( ) 1BM m M b m
∧
=∈ =. Khi đó, ta có 0M và 1M là
hai tập đóng, rời nhau, khác rỗng, con của BM và 0 1 BM M M∪ =. Vậy BM không
liên thông.■
Định lý sau đây chỉ ra rằng biên Shilov có thể được mô tả bởi các điều kiện
địa phương
Định lý 3.3.8
Cho 0 Bm M∈ và giả sử rằng có một lân cận mở 0V của 0m sao cho mọi lân
cận V của 0m thì có một phần tử f B∈ mà
0
sup sup
V V V
f f
∧ ∧
< . Khi đó, 0m thuộc vào
biên Shilov của BM .
Việc chứng minh định lý này cần bổ đề sau.
Bổ đề 3.3.9
Cho 0f B∈ và { }0: ( ) 1 ' ''Bm M f m K K
∧
∈ ==∪ , ở đây 'K và ''K là hai tập
compact rời nhau. Khi đó, tồn tại những phần tử 1,..., vf f B∈ và một hàm ϕ chỉnh
hình trên lân cận của 1( ,..., )B vf fσ thỏa mãn
0
( )
1
z
z
ϕ
−
chỉnh hình trên lân cận của
0 ( ),..., ( ) : 'vf m f m m K
∧ ∧
  
∈  
  
nhưng 0 ( ),..., ( ) 1vf m f mϕ
∧ ∧
 
= 
 
khi ''m K∈ .
Chứng minh
Do định nghĩa tôpô trên BM và tính chất tách các điểm của đại số B
∧
ta có
thể chọn được 1,..., nf f B∈ sao cho ánh xạ 1: ( ,..., )B B nM f fφ σ→ xác định bởi
0( ) : ( ),..., ( )nm f m f mφ
∧ ∧
 
=  
 
thỏa mãn ( ') ( '')K Kφ φ∩ =∅ . Đặt '
( ')fK Kφ= , ''
( '')fK Kφ= .
Gọi 1
0 ( )n
Cχ ∞ +
∈  là hàm bằng 0 trên lân cận của '
fK , bằng 1 trên lân cận của
''
fK . Chúng ta muốn có 0( ) ( ) ( 1) ( )z z z v zϕ χ= + − chỉnh hình, thì hàm v phải được

56. 52
chọn sao cho 0(1 )z v χ− ∂ =∂ . Trong lân cận Ω của fM ( ( )f BM Mφ= ), ta có
1
0 (0,1)(1 ) ( )z Cχ− ∞
− ∂ ∈ Ω và dạng này là dạng ∂ –đóng . Theo bổ đề 3.1.3 ta chọn được
1,...,n vf f B+ ∈ sao cho nếu 'B là đại số sinh bởi 0 ,..., vf f thì 1
' 0( ,..., ) v
B vf fσ +
⊂  là
tập lồi đa thức và ' 0( ( ,..., ))B vf fπ σ ⊂ Ω với 0 0:( ,..., ) ( ,..., )v nz z z zπ  là phép chiếu.
Lại theo định lý 2.2.6 tồn tại đa diện đa thức ∏ thỏa mãn
1
' 0( ,..., )B vf fσ π −
⊂ ∏ ⊂ Ω . Áp dụng định lý 3.1.6 có hàm v C∞
∈ xác định trên lân
cận của ' 0( ,..., )B vf fσ sao cho 0( 1)z vϕ χ π= + − là hàm chỉnh hình trên
' 0( ,..., )B vf fσ .■
Chứng minh định lý 3.3.8
Ta có thể lấy một lân cận V của 0m , mở, compact tương đối trong 0V . Theo
giả thiết có 0f B∈ sao cho
0
0 0
sup 1,sup 1
V V V
f f
∧ ∧
< =, ta có thể trực chuẩn hóa 0f để
0 ( ) 1f m
∧
= với m nào đó thuộc V .
Ta đặt:
{ }0 0' : , ( ) 1K m m V f m
∧
= ∉ =
{ }0 0'' : , ( ) 1K m m V f m
∧
= ∈ =
Ta có ', ''K K compact và rời nhau. Áp dụng bổ đề 3.3.9 có các phần tử 1,..., vf f B∈
và hàm ϕ chỉnh hình trên lân cận của 0( ,..., )B vf fσ sao cho
0
( )
1
z
z
ϕ
−
chỉnh hình trên
lân cận của 0 ( ),..., ( ) : 'vf m f m m K
∧ ∧
  
∈  
  
nhưng 0 ( ),..., ( ) 1vf m f mϕ
∧ ∧
 
= 
 
khi ''m K∈ .
Với 0ε > đủ nhỏ, ta đặt 1
0 1 0( ) ( 1, ,..., )( 1 )vz z z z zεϕ εϕ ε −
= − − − , thì ta có εϕ chỉnh hình
trên lân cận của 0( ,..., )B vf fσ . Áp dụng định lý 3.1.2 có một phần tử g Bε ∈ sao cho
0( ,..., )vg f fεε ϕ
∧ ∧ ∧
= .
Trên phần bù của V là BM V , ta có:

57. 53
0 0
0
( ) ( ( ),..., ( )) ( ( ) ,..., ( )) ( )
( ) 1
v vg m f m f m f m f m O
f m
εε
ε
ϕ ϕ ε ε
ε
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧
= = − =
− −
khi 0ε → .
Khi ''m K∈ , thì 0( ) ( ( ) ,..., ( )) 1 ( )vg m f m f m Oε
ε
ϕ ε ε
ε
∧ ∧ ∧
= − =− +
−
. Vì khi 0ε → thì
0( ( ) ,..., ( )) 1vf m f mϕ ε
∧ ∧
− → .
Suy ra phần bù của V là BM V không phải là biên với mọi V . Điều này chứng tỏ
0m nằm trong biên Shilov.■

58. 54
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày các nội dung sau
+ Giới thiệu về đại số Banach, tập các biến đổi Gelfand của đại số Banach và
mô tả các biểu diễn của đại số Banach giao hoán qua các hàm liên tục theo biểu
diễn Gelfand.
+ Giới thiệu về đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử
thuộc một đại số Banach. Mô tả mối liên hệ giữa phổ nối và các biến đổi Gelfand
của hữu hạn phần tử thuộc một đại số Banach. Chỉ ra sự đồng phôi giữa không gian
các iđêan cực đại của một đại số Banach hữu hạn sinh với phổ nối của các phần tử
sinh.
+ Chỉ ra sự tác động của các hàm chỉnh hình nhiều biến lên không gian các
biến đổi Gelfand ; áp dụng kết quả này để chứng minh định lý hàm ẩn đối với một
đại số Banach và chứng minh định lý lũy đẳng Shilov.
+ Giới thiệu về biên Shilov, các hệ quả của định lý lũy đẳng Shilov. Đặc biệt
chỉ ra rằng biên Shilov có thể được xác định bởi các điều kiện địa phương.
Do thời gian hạn hẹp, luận văn chưa thể tiếp cận đến các ứng dụng độc đáo
khác các hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số Banach chẳng hạn như là nguyên
lý cực đại địa phương trong đại số Banach của Rossi, đại số Banach và lý thuyết thế
vị phẳng…
Trên tinh thần làm việc nghiêm túc nhưng khả năng nghiên cứu còn hạn chế,
sai sót là điều khó tránh khỏi, mong quý thầy và các bạn góp ý để luận văn được
hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn!

59. 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, 2005.
[2]. Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2009.
[3]. Nguyễn Quang Diệu, Nhập môn Đại số đều, NXB Đại học Sư Phạm, 2010.
[4]. Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội, 2001.
[5]. Trần Minh Tạo, Vài ứng dụng của giải tích phức vào đại số đều, Luận văn
thạc sĩ toán học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2011.
[6]. Eberhard Kaniuth, A course in commutative Banach Algebras, Springer
Science+Business Media, LLC, 2009.
[7]. George L. Cain, Introduction to general topology, Addison – Wesley
Publishing Company, 1994.
[8]. Herbert Alexander – John Wermer, Several complex variables and Banach
algebra, Springer-Verlag New York .
[9]. J. A. Erdos, C*
-Algebras, Department of Mathematics King’s College
London WC2R 2LS ENGLAND.
[10]. Joan Mae Negrepotis, Applications of theory of several complex variables to
Banach algebras, Mathematics Department McGrill University Montreal,
1967.
[11]. Lars Hormander, An introduction to complex analysis in several variables,
D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N.J, 1966.
[12]. Robert C. Gunning – Hugo Rossi, Analytic functions of several complex
variables, Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs, N.J, 1965.