Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Với 10k bạn có ngay 5 lượt download tài liệu bất kỳ do Garment Space upload Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍNH MINH
KHOA TOÁN –TIN
NGUYỄN CƠ THẠCH
HÀM PHÂN HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ
CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍNH MINH
KHOA TOÁN –TIN
HÀM PHÂN HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ
CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
GVHD: TS.NGUYỄN VĂN ĐÔNG
SV: NGUYỄN CƠ THẠCH
LỚP: TOÁN 5-BT
MSSV: K33101239
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011

3. LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cô của trường ĐHSP nói
chung và các cán bộ giảng viên khoa Toán-Tin nói riêng bao năm qua đã tận tình
chỉ dẫn và tạo mọi điều kiện tốt nhất để em được học tập tại trường .
Em có được kết quả ngày hôm nay là do một phần ở sự nỗ lực của bản thân
và một phần quan trọng ở sự chỉ dạy của thầy cô.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn riêng đến thầy Nguyễn Văn Đông đã tận tình
hướng dẫn cho em trong những ngày qua để em hoàn thành bài khóa luận tốt
nghiệp. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn thầy.
Chắc chắn bài làm của em vẫn còn những sai sót, rất mong được sự đóng
góp, chỉnh sửa của quý thầy cô để được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, em xin chân
thành cảm ơn quý thầy cô và kính chúc thầy cô sức khỏe, công tác tốt.
TP.HCM, tháng 12, năm 2011
Sinh viên
NGUYỄN CƠ THẠCH

4. MỤC LỤC
Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................................. 1
Chương II: HÀM PHÂN HÌNH.......................................................................................... 5
2.1 Hàm phân hình.......................................................................................................... 5
2.2 Trường các hàm phân hình ....................................................................................... 6
2.3 Không gian mê-tric các hàm phân hình.................................................................. 10
2.4 Biểu diễn hàm phân hình ........................................................................................ 14
Chương III: HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH................................................. 20
3.1 Lý thuyết tổng quát về sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình .................................... 21
3.2 Khai triển phân thức từng phần của cot zπ π ......................................................... 24
3.3 Công thức Euler đối với 2
1
(2 ) n
v
n vζ −
≥
= ∑ ............................................................... 29
3.4 Lý thuyết Eisenstein về hàm lượng giác................................................................. 36
KẾT LUẬN....................................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 43

5. Mở đầu
Lý thuyết giải tích phức được phát triển vào thế kỷ 19 gắn liền với các nhà
toán học: Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass…
Ngày nay giải tích phức vẫn tiếp tục phát triển và hoàn thiện. Giải tích phức
không những sâu sắc về lý thuyết và có nhiều ứng dụng không những trong toán
học mà còn trong nhiều ngành khoa học tự nhiên cũng như trong kĩ thuật.
Lý thuyết hàm phân hình là một phần quan trọng và đặc sắc của giải tích
phức. Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm hệ thống lại một số kiến thức về giải tích
phức để từ đó giúp cho bản thân có điều kiện nghiên cứu sâu hơn về giải tích phức
sau này.
Nội dung chính của luận văn trình bày các tính chất có liên quan đến hàm
phân hình và một số tính chất có liên quan đến sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình.
Luận văn còn nghiên cứu một số chuỗi hàm phân hình đặc biệt như chuỗi Euler,
Eisenstein.
Luận văn gồm ba chương:
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương II: Trình bày khái niệm và một số tính chất của hàm phân hình.
Chương III: Trình bày về sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình và một số chuỗi hàm
phân hình đặc biệt.

6. Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.1: Cho D là tập mở khác rỗng trong . Hàm f: D→ 
được gọi là hàm chỉnh hình trên D nếu nó khả vi phức tại mỗi điểm thuộc D.
Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm 0z D∈ nếu tồn tại một lân cận U mở của 0z nằm
trong D sao cho |Uf chỉnh hình trên U. Tập hợp các điểm mà tại đó hàm chỉnh hình luôn
là tập mở trong .
Hàm chỉnh hình còn gọi là hàm giải tích.
Hàm chỉnh hình trên  còn gọi là hàm nguyên.
Tập hợp các hàm chỉnh hình trong D được kí hiệu là O(D).
Định lý 1.2 (định lý đồng nhất): Các mệnh đề sau về cặp f, g các hàm chỉnh hình trên
miền G ⊂  là tương đương:
i) f = g
ii) Tập hợp { }: ( ) ( )G f gω ω ω∈ =có một điểm giới hạn trong G
iii) Có một c G∈ sao cho ( )( ) ( )
( )n n
f c g c n= ∀ ∈
Định lý 1.3: Cho D là một tập mở khác rỗng trong  và chuỗi nf∑ các hàm chỉnh
hình trong D, hội tụ compact trong D về một hàm giới hạn f trong D. Khi đó với mọi
k ∈ chuỗi đạo hàm k lần theo từng số hạng ( )k
nf∑ hội tụ trong D về ( )k
f :
( ) ( )
( ) ( ),k k
nf z f z z D= ∈∑

7. Định lý 1.4 (định lý về chuỗi bội): Cho ( )
0( ) ( )
n k
n k
k
f z c z z= −∑ là chuỗi lũy thừa hội
tụ trong một đĩa chung B tâm c với n∈ . Giả sử ( ) ( )n
n
f z f z= ∑ hội tụ chuẩn tắc trong
B. Khi đó với mỗi ( )
0
,
n
k k
n
k b c
∞
=
∈ =∑ hội tụ trong  và f được biểu diễn trong B dưới
dạng:
0( ) ( )k
kf z b z z= −∑
Định lý 1.5 (định lý Hurwitz): Giả sử G là một miền trong , ãy ( )nd f O G∈ hội tụ
compact trong G về à nf v f không có không điểm trong G. Khi đó nếu f không là hàm
hằng không thì f không có không điểm trong G.
Định nghĩa 1.6 (Cấp của một không điểm và bội tại một điểm):
Nếu f là một hàm chỉnh hình khác hằng 0 trong một lân cận của c, thì từ định
lý đồng nhất ta biết rằng có một số tự nhiên m sao cho :
( 1)
( ) ( ) ( ) 0m
f c f c f c−
′= = = = và ( )
( ) 0.m
f c ≠ Đặt
{ }( )
( ) min : ( ) 0n
co f m n f c==∈ ≠
Số này được gọi là cấp của không điểm của f tại c, hoặc gọi vắn tắt là cấp của f
tại c. Rõ ràng :
( ) 0 ( ) 0cf c o f=⇔ >
Ta đặt ( )co f = ∞ nếu f đồng nhất 0 gần c.
Với mọi chuỗi lũy thừa n
nf c z= ∑ ta định nghĩa cấp ( )v f của hàm f là
{ }min : 0 0
( )
0
nn c khi f
v f
khi f
∈ ≠ ≠
= 
∞ =

Chẳng hạn ( )n
v z n= .
Đặt ( )c z z cτ = + ta có nếu ( )n
nf c z c= −∑ thì n
c nf c zτ = ∑ và ( ) ( )c co f v f τ= 

8. Ngoài ra, ta thường dùng số ( , ) ( ( ))cv f c o f f c= − để chỉ rằng f nhận giá trị ( )f c với bội
( , )v f c tại c. Ta luôn có ( , ) 1v f c ≥ và hai mệnh đề sau tương đương
a) f có bội n < ∞ tại c
b) ( ) ( ) ( ) ( )n
f z f c z c F z= + − với F là hàm chỉnh hình tại c và thỏa
( ) 0F c′ ≠ . Đặc biệt ( , ) 1 ( ) 0v f c f c′=⇔ ≠ .
Định lý 1.7: Cho G là một miền trong , :f G →  là hàm chỉnh hình khác hằng.
Khi đó với mọi a∈ tập hợp thớ
{ }1
( ) : ( )f a z G f z a−
=∈ =
mà ta gọi là tập các a- điểm của f , là tập rời rạc và đóng (tương đối) trong G.
Đặc biệt, với mọi tập compact K G⊂ , mỗi tập 1
( ) ,f a K a−
∩ ∈ , là tập hữu hạn dẫn
đến 1
( )f a−
là tập không quá đếm được, nghĩa là f không có quá đếm được các a - điểm
trong G. Tập các không điểm của một hàm chỉnh hình khác hằng trong miền G là tập con
rời rạc và đóng (tương đối) trong G.
Định lý 1.8: Cho :g G G′→ là ánh xạ chỉnh hình từ miền G lên miền G′. f là hàm
chỉnh hình trên miền G và là hàm hằng trên mỗi tập thớ của g- ( )1
, .g w w G−
′∈ Khi đó có
một hàm chỉnh hình h trong G′sao cho *( )g h f= hay ( ( )) ( ), .h g z f z z G= ∀ ∈
1.2 Điểm bất thường
Mệnh đề 1.9: Nếu hàm f có một cực điểm cấp m tại 0z thì 0( ) ( )l
z z f z− → ∞
khi 0z z→ với mọi số nguyên l m< , trong khi 0 0( ) ( ) ózm
z z f z c− là điểm bất
thường bỏ được. Đặc biệt 0( )f z khi z z→ ∞ → .

9. Mệnh đề 1.10: Nếu f có không điểm cấp m tại 0z thì
1
f
có cực điểm cấp m
tại 0z . Ngược lại nếu f có cực điểm cấp m tại 0z thì 0
1
óc z
f
là điểm bất thường bỏ
được và nếu ta định nghĩa 0
1
( ) 0z
f
= thì
1
f
có không điểm cấp m tại 0z
Định lý 1.11: Giả sử f là một hàm nguyên khi đó:
i) f là hàm hằng ⇔ ∞ là điểm bất thường bỏ được.
ii) f là hàm đa thức ⇔ ∞ là cực điểm của f.
iii) f là hàm siêu việt ⇔ ∞ là điểm bất thường cốt yếu của f.
1.3 Về hàm mũ
Định lý 1.12: Cho G là một miền trong . Các mệnh đề sau đối với hàm chỉnh
hình f trong G là tương đương:
i) ( ) ( )f z aexp bz= trong G với a, b các hằng số trong .
ii) ( ) ( )f z bf z′ = trong G.
Định lý 1.13: Cho G là một miền chứa 0, hàm :f G →  là hàm khả vi phức
tại 0 thỏa điều kiện (0) 0f ≠ và thỏa phương trình hàm
( )( ) ( )f w z f w f z+ = với , ,w z w z+ thuộc G
Khi đó với (0)b f ′= ta có:
( ) exp( )f z bz z G= ∀ ∈ .
1.4 Về dãy trong không gian mê tric
Định nghĩa 1.14: Cho S là không gian mê tric, một điểm p S∈ được gọi là
điểm giới hạn hoặc là điểm tụ của tập M S⊂ nếu { }( )U M p∩ ≠ ∅ với mọi lân
cận U của p.
Mọi lân cận của điểm giới hạn p của M chứa vô hạn điểm của M và do đó luôn
có dãy { } { }nc M p⊂ với lim n
n
c p
→∞
= .
Định lý 1.15: S là không gian compact nếu và chỉ nếu mọi dãy ( )nx trong S
đều chứa một dãy con hội tụ.

10. Chương II: HÀM PHÂN HÌNH
Trong lý thuyết hàm các hàm chỉnh với các cực điểm đã đóng một vai trò nổi
bật. Vào năm 1875 Briot và Bouquet đã gọi những hàm này là các hàm phân hình.
Mục 2.1 trình bày khái niệm và tính chất của hàm phân hình.
Các hàm phân hình không những có thể cộng, trừ, nhân mà còn có thể chia. Điều
này khiến cấu trúc đại số của các hàm phân hình đơn giản hơn so với các hàm
chỉnh hình. Đặc biệt các hàm phân hình trên một miền tạo thành một trường.
Mục 2.2 trình bày cấu trúc đại số của tập các hàm phân hình trên một miền.
Mục 2.3 trình bày cấu trúc tô pô của không gian các hàm phân hình.
Nội dung chính của mục 2.4 là định lý (2.15) chỉ ra mọi hàm phân hình đều có thể
biểu diễn thành thương của hai hàm chỉnh hình.
2.1 Hàm phân hình
Định nghĩa 2.1: Cho D là một tập mở khác rỗng trong . Một hàm f được
gọi là hàm phân hình trong D , nếu có một tập con rời rạc ( )P f của D sao cho f
chỉnh hình trên ( )D P f và có cực điểm tại mỗi điểm thuộc ( )P f .
Dựa vào mệnh đề 1.9 ta chọn ∞ như giá trị của hàm tại mỗi cực điểm :
( ) :f z = ∞ với ( )z P f∈
Như vậy các hàm phân hình trong D là các ánh xạ liên tục { }D ∞→ = ∪ ∞ 
Tập ( )P f được gọi là tập cực của f , tập hợp này là tập đóng tương đối trong
D . Lưu ý rằng tập cực có thể là tập ∅ nên các hàm chỉnh hình trong D là hàm
phân hình trong D . Vì ( )P f là tập rời rạc, đóng tương đối trong D nên tập cực
của mỗi hàm phân hình trong D hoặc rỗng, hoặc hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được.
Một hàm phân hình f trong D mà có tập cực khác rỗng không thể biến toàn bộ
D vào .

11. Ví dụ :
a) Mọi hàm hữu tỷ 1
1
...
( ) : , 0 ,
...
m
o m
nn
o n
a a z a z
h z b m n
b b z b z
+ + +
= ≠ ∈
+ + +

là hàm phân hình với tập cực là tập hữu hạn, đó là tập các không điểm
của mẫu thức.
b) Hàm
cos
cot
sin
z
z
z
π
π
π
= là hàm phân hình không là hàm hữu tỷ có tập cực
là tập vô hạn đếm được với (cot )P zπ =  .
2.2 Trường các hàm phân hình
Một hàm được gọi là phân hình tại 0z nếu nó phân hình trong một lân cận nào
đó của 0z . Khi đó nếu hàm này khác hằng 0 thì nó có khai triển
( )0( )
n
n
n m
f z c z z
∞
=
= −∑
tại 0z , với số nc ∈ xác định duy nhất và m∈ sao cho 0mc ≠
Nếu 0m < thì ( )
1
0
n
n
m
c z z
−
−∑ được gọi là phần chính của f tại 0z .
Trường hợp 0m ≥ phần chính của f bằng 0 .
Cho D là tập mở khác rỗng trong . Ký hiệu: { }( ) : : phân hình trongM D h h D= .
Ta có ( ) ( )O D M D⊆ .
Với các hàm phân hình ta có thể thực hiện phép cộng, trừ, nhân. Nếu
, ( )f g M D∈ với các tập cực ( ), ( )P f P g thì ( ) ( )P f P g∪ là rời rạc và đóng tương
đối trong D và các hàm , , , .f g f g f g± chỉnh hình trong ( ) ( ) ( )D P f P g∪ . Với
mỗi 0 ( ) ( )z P f P g∈ ∪ có các số tự nhiên ,m n và một lân cận U của 0z nằm trong
D với ( ) { }0( ) ( )U P f P g z∩ ∪ =sao cho 0 0( ) ( ) và ( ) ( )m n
z z f z z z g z− − bị chặn trong
{ }0U z ( 0m = trong trường hợp 0 ( ) và 0z P f n∉ =trong trường hợp 0 ( )z P g∉ ).

12. Khi đó mỗi hàm trong 3 hàm
[ ]0( ) ( ) ( )m n
z z f z g z+
− + , [ ]0( ) ( ) ( )m n
z z f z g z+
− − , [ ]0( ) ( ). ( )m n
z z f z g z+
−
bị chặn trong { }0U z . Điểm 0z khi đó hoặc là điểm bất thường bỏ được hoặc là
cực điểm của , , .f g f g f g+ − . Do đó tập cực của các hàm này là tập con của
( ) ( )P f P g∪ và là tập rời rạc và đóng tương đối trong D . Từ điều này có
, , . ( )f g f g f g M D+ − ∈
( )M D là - đại số (đối với phép cộng, trừ, nhân) và - đại số ( )O D là - đại
số con của ( )M D . Với mọi , ( )f g M D∈ các tập cực thỏa
( ) ( ) , ( ) ( ) ( )P f P f P f g P f P g−= ± ⊂ ∪

( )P f g±

nói chung là một tập con thực sự của ( ) ( )P f P g∪ . Chẳng hạn với :D =  ,
1
( ) :f z
z
= ,
1
( ) :g z z
z
= − ta có { }( ) ( ) 0P f P g≡ =nhưng ( ) ( ) ( )P f g P f P g+ = ∅ ≠ ∪
Nếu
1
( ) : , ( ) :f z g z z
z
= = thì { }( ) 0 , ( ) và ( . ) ( ) ( )P f P g P f g P f P g= = ∅ = ∅ ≠ ∪ .
Cũng như ( )O D , - đại số ( )M D là đóng đối với phép lấy đạo hàm, chính xác
hơn là:
Cùng với f , đạo hàm 'f của nó là hàm phân hình trong D . Hai hàm này có
cùng tập cực ( ) ( ')P f P f= ; và nếu q là phần chính của f tại một cực điểm thì 'q
cũng là phần chính của 'f tại đó.
( )O D là vành giao hoán các hàm chỉnh hình trong D . Trong vành ( )O D các
hàm chỉnh hình trong D phép chia một hàm g chỉ có thể thực hiện được khi g
khác không trong D . Nhưng trong vành ( )M D , chúng ta có thể chia bởi các hàm
có không điểm. Tập không điểm ( )Z f của một hàm phân hình ( )f M D∈ được
hiểu là tập không điểm của hàm chỉnh hình ( )
( ( ))D P f
f O D P f∈ . Khi đó ( )Z f
đóng tương đối trong D và ( ) ( )Z f P f∩ =∅.

13. Định lý 2.2: Các khẳng định sau về hàm phân hình ( )u M D∈ là tương đương
i) u là một đơn vị trong ( )M D , nghĩa là, 1uu = với u nào đó thuộc ( )M D
ii) Tập hợp các không điểm ( )Z u là tập rời rạc trong D
Ngoài ra khi i) đúng ta có ( ) ( ) và ( ) ( )P u Z u Z u P u= =
Chứng minh: i)⇒ii) Từ phương trình 1uu = suy ra rằng với c D∈
( ) 0 ( ) và ( ) ( ) 0u c u c u c u c=⇔ =∞ =∞ ⇔ = 
nghĩa là , ( ) ( ) và ( ) ( )Z u P u P u Z u= =  . Đặc biệt, ( )Z u , là tập cực của một hàm phân
hình, nên là tập rời rạc trong D .
ii)⇒i) : ( ) ( )A Z u P u= ∪ là tập rời rạc và đóng tương đối trong D .Trong D A
hàm
1
u
u
= chỉnh hình. Mọi điểm thuộc ( )Z u là một cực điểm của u (mệnh đề 1.10)
và mọi ( )c P u∈ là điểm bất thường bỏ được và là không điểm của u vì
1
lim 0
( )z c u z→
= . Điều này có nghĩa ( )u M D∈ 
Trên cơ sở định lý này thương của hai phần tử , ( )f g M D∈ tồn tại trong vành
( )M D khi ( )Z g rời rạc trong D . Đặc biệt ( )
f
M D
g
∈ , ( )f g O D∀ ∈ khi ( )Z g rời
rạc trong D .
Một hệ quả quan trọng của định lý này là:
Hệ quả 2.3: - đại số của các hàm phân hình trong một miền là một trường
Chứng minh: Nếu ( )f M G∈ không phải là phần tử 0 và G là một miền thì
( )G P f cũng là một miền và ( )G P f
f là một hàm chỉnh hình khác 0 thuộc
( ( ))O G P f . Khi đó ( )Z f là tập rời rạc trong G (định lý 1.7) và cho nên theo định
lý 2.2 f là một đơn vị trong ( )M G . Như vậy mỗi phần tử trong { }( ) 0M G đều là
đơn vị 

14. Trường ( )M  chứa trường ( )z các hàm hữu tỷ như là một trường con thực sự
vì exp ,cot ( )z z z∉ .
Ta có thể mở rộng định lý 1.8 qua kết quả sau
Định lý 2.4: Cho : 'g G G→ là ánh xạ chỉnh hình từ miền G lên miền G’. Đơn
ánh *
: ( ') ( )g O G O G→ , *
( )h f g h= , tức là ( ( )) ( )h g z f z= với mọi z G∈ , trong
định lý 1. 8 có thể được mở rộng thành đơn ánh *
: ( ') ( )g M G M G→ từ trường các
hàm phân hình trong 'G đến trường các hàm phân hình trong G . Ngoài ra, với mọi
( ')h M G∈ ta có * 1
( ( )) ( ( ))P g h g P h−
=
Chứng minh: Vì g khác hàm hằng và mỗi tập ( )P h với ( ')h M G∈ là tập rời rạc,
đóng tương đối trong 'G , nên tập hợp 1
( ( ))g P h−
luôn rời rạc và đóng tương đối
trong G. (định lý 1.7). Ta có h g chỉnh hình trong 1
( ( ))G g P h−
. Hơn nữa vì
( )
lim( )( ) lim ( )
z c w g c
h g z h w
→ →
= = ∞ với mọi 1
( ( ))c g P h−
∈
nên *
( ) :g h h g=  là một hàm phân hình trong G với tập cực là 1
( ( ))g P h−
. Ánh xạ
*
g được định nghĩa như vậy là một đơn ánh từ ( ')M G vào ( )M G 
Định lý 2.5 (Định lý đồng nhất cho hàm phân hình): Các phát biểu sau về cặp
hàm phân hình ,f g trong miền G là tương đương
i) f g=
ii) Tập hợp { } ( ( ) ( )) : ( ) ( )G P f P g f gω ω ω∈ ∪ =có điểm giới hạn trong
( ( ) ( ))G P f P g∪
iii) có một điểm ( ) ( ) ( )c G P f P g∈ ∪ sao cho ( ) ( )
( ) ( )n n
f c g c= với mọi
n∈
Chứng minh: Nếu G là một miền thì ( ( ) ( ))G P f P g∪ cũng là một miền. Do
đó các mệnh đề tương đương được suy ra từ định lý 1.2.

15. Sau đây ta trình bày về cấp của hàm phân hình
Nếu 0f ≠ là hàm phân hình tại 0z thì f có khai triển duy nhất
0( ) ( )n
n
n m
f z c z z
∞
=
= −∑ với , (c 0)n mc m∈ ∈ ≠ 
Số nguyên m được xác định duy nhất bởi phương trình này được gọi là cấp của
f tại 0z , ký hiệu 0
( )zo f . Nếu f chỉnh hình tại 0z thì đây là cấp đã được giới thiệu
ở mục 1.6. Từ định nghĩa này ta có: Với một hàm f phân hình tại 0z
1) f chỉnh hình tại 00 ( ) 0zz o f⇔ ≥
2) Trong trường hợp 0
( ) 0zm o f= < , 0z là một cực điểm của f với cấp m−
Như vậy các cực điểm của f là những điểm mà cấp của f tại đó âm.
Các quy tắc tính toán của hàm 0
( )zo f : Với mọi hàm ,f g phân hình tại 0z
i) 0 0 0
( . ) ( ) ( )z z zo f g o f o g= +
ii) { }0 0 0
( ) min ( ), ( )z z zo f g o f o g+ ≥ với đẳng thức xảy ra khi 0 0
( ) ( )z zo f o g≠
2.3 Không gian mê-tric các hàm phân hình
Nếu G là một miền trong  và f là hàm phân hình trong G và  :f G ∞→  được
xác định bởi ( )f z = ∞ khi z là cực điểm, ( ) ( )f z f z= với các z khác thì f là hàm
liên tục. Xét mê-tric trên M(G) như là mê-tric cảm sinh của mê-tric trên ( , )C G ∞
Mê-tric d trên ∞ được định nghĩa như sau
2 2
( , )
1 1
z w
d z w
z w
−
=
+ +
với ,z w∈
và 2 2 2
1
( , ) lim
1 1 1
w
z w
d z
z w z
→∞
−
∞= =
+ + +
với z ∈
Lưu ý rằng trong , nếu { }M z R⊂ ≤ thì
1 2
1 2 1 2 1 22
( , ) , ,
1
z z
d z z z z z z M
R
−
≤ ≤ − ∀ ∈
+
(2.3.1)

16. Nhận xét rằng với { }1 2, 0z z ∈ ta có
1 2
1 2
1 1
( , ) ( , )d z z d
z z
= (2.3.2)
và với { } 0z ∈ có
1
( ,0) ( , )d z d
z
= ∞ (2.3.3)
Ta ký hiệu ( , )B a r∞ là quả cầu trong ∞ .
Mệnh đề 2.6
a) Nếu a∈ và r > 0 thì có số 0ρ > sao cho ( , ) ( , )B a B a rρ∞ ⊂
b) Ngược lại, nếu 0ρ > a∈ thì có r > 0 sao cho ( , ) ( , )B a r B a ρ∞⊂
c) Với 0ρ > cho trước có một tập compact K ⊂  sao cho
( , )K B ρ∞ ∞⊂ ∞
d) Ngược lại, với một tập compact K ⊂  cho trước có một số 0ρ > sao
cho ( , ) B Kρ∞ ∞∞ ⊂ 
Định lý 2.7: Cho { }nf là dãy trong M(G) và giả sử nf f→ trong ( , )C G ∞ .
Khi đó hoặc f phân hình hoặc f ≡ ∞ . Đặc biệt nếu nf là dãy trong ( )O G thì hoặc f
chỉnh hình hoặc f ≡ ∞
Để chứng minh định lý ta cần chứng minh kết quả sau
Bổ đề 2.8: Nếu  là tập con compact của ( , )C G ∞ thì  là đồng liên tục tại
mỗi điểm của G. ( ( , )C G ∞⊂  được gọi là đồng liên tục tại điểm a G∈ nếu và
chỉ nếu với mọi 0ε > tồn tại ( , ) 0aδ δ ε= > sao cho với z a δ− <
( )( ), ( )d f z f a ε< với mọi f ∈ )

17. Chứng minh: Cố định a G∈ và cho 0ε > và R > 0 được chọn sao cho
( , )K B a R G= ⊂ thì K là tập compact. Do  là tập compact nên từ định lý 1.15 có
hữu hạn hàm 1,..., nf f trong  sao cho với mỗi f ∈ có ít nhất một kf với
sup ( ( ), ( ))
3
k
z K
d f z f z
ε
∈
< (2.3.4)
Nhưng vì kf liên tục nên có 0 Rδ< < sao cho z a δ− < dẫn đến
( ( ), ( ))
3
k kd f z f a
ε
<
với 1 k n≤ ≤ . Do đó nếu z a δ− < , f ∈ và k được chọn sao cho (2.3.4) đúng thì
( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))
3 3 3
k k k kd f z f a d f z f z d f z f a d f a f a
ε ε ε
ε≤ + + < + + =.
Chứng minh định lý 2.7 : Giả sử có một a G∈ với ( )f a ≠ ∞ và đặt ( )M f a= .
Sử dụng mệnh đề 2.6a có thể tìm một số 0ρ > sao cho ( ( ), ) ( ( ), )B f a B f a Mρ∞ ⊂ .
Nhưng vì nf f→ nên có 0n sao cho ( ( ), ( ))
2
nd f a f a
ρ
< với 0n n≥ . Đồng thời
{ }1 2, , ,...f f f là tập compact trong ( , )C G ∞ nên theo bổ đề 2.8 nó đồng liên tục tại
mỗi điểm của G. Nghĩa là có 0r > sao cho z a r− < dẫn đến ( ( ), ( ))
2
n nd f z f a
ρ
< .
Suy ra ( ( ), ( ))nd f z f a ρ≤ với z a r− ≤ và 0n n≥ . Nhưng với sự chọn lựa của ρ ta
có ( ) ( ) ( ) ( ) 2n nf z f z f a f a M≤ − + ≤ với mọi ( , )z B a r∈ và 0n n≥ . Khi đó sử dụng
(2.3.1) ta có
2
( ) ( )
( ( ), ( ))
1 4
n
n
f z f z
d f z f z
M
−
≤
+
với mọi ( , )z B a r∈ và 0n n≥ . Vì ( ( ), ( )) 0nd f z f z → đều với ( , )z B a r∈ dẫn đến
( ) ( ) 0nf z f z− → đều với ( , )z B a r∈ . Vì phần cuối của dãy { }nf bị chặn trên

18. B(a,r) nên nf không có cực điểm và chỉnh hình gần z = a với 0n n≥ . Suy ra f
chỉnh hình trên một đĩa tâm a.
Bây giờ giả sử có một điểm a G∈ với ( )f a = ∞ . Với hàm ( , )g C G ∞∈  ta định
nghĩa
1
g
bởi
1 1
( )
( )
z
g g z
= nếu ( ) 0g z ≠ , ( )g z ≠ ∞ ,
1
( ) 0z
g
= nếu ( )g z = ∞ ,
1
( )z
g
= ∞
nếu ( ) 0g z = . Điều này dẫn đến
1
( , )C G
g
∞∈  . Vì nf f→ trong ( , )C G ∞ nên theo
(2.3.2), (2.3.3)
1 1
nf f
→ trong ( , )C G ∞ . Vì mỗi
1
nf
phân hình trong G nên có 0r >
và một 0n sao cho
1
nf
,
1
f
chỉnh hình trên ( , )B a r với 0n n≥ và
1 1
nf f
→ đều với
mọi ( , )z B a r∈ . Từ định lý Hurwitz 1.5 ta có hoặc
1
0
f
≡ hoặc
1
f
có các không
điểm cô lập trong ( , )B a r . Do đó nếu f không đồng nhất bằng ∞ thì
1
f
không
đồng nhất bằng 0 , suy ra f là hàm phân hình trong B(a,r). Kết hợp với phần đầu
của chứng minh ta có f là hàm phân hình trong G nếu f không đồng nhất bằng
∞.
Nếu ( )nf O G∈ thì
1
nf
không có không điểm trong B(a,r). Theo định lý Hurwitz
1.5 hoặc
1
0
f
≡ hoặc
1
f
không bao giờ triệt tiêu. Nhưng vì ( )f a = ∞ nên
1
f
có ít
nhất một không điểm. Do đó f ≡ ∞ trên B(a,r). Kết hợp với phần đầu của chứng
minh ta có hoặc f chỉnh hình hoặc f ≡ ∞ 
Hệ quả 2.9: { }( )M G ∪ ∞ là không gian mê tric đủ
Hệ quả 2.10: { }( )O G ∪ ∞ là không gian con đóng của ( , )C G ∞

19. 2.4 Biểu diễn hàm phân hình
Định lý 2.11: Cho G là một miền trong  và { }nf là dãy hàm thuộc ( )O G sao cho
không có hàm nf nào là hàm hằng 0. Nếu
1
[ ( ) 1]n
n
f z
∞
=
−∑ hội tụ tuyệt đối và đều trên các
tập compact trong G thì
1
( )n
n
f z
∞
=
∏ hội tụ trong G về f(z). Nếu a là một không điểm của
f thì a là một không điểm của chỉ một số hữu hạn các hàm nf và bội của các không
điểm của f là tổng các bội của các không điểm của nf tại a.
Định nghĩa 2.12: Một nhân tử sơ cấp là một trong các hàm ( )pE z với 0,1,2,...p =
( ) 1E z z= −
2
...
2
( ) (1 )
p
z z
z
p
pE z z e
+ + +
= − , 1p ≥
Hàm p
z
E
a
 
 
 
có một không điểm đơn tại a và không có không điểm khác. Đồng thời
nếu b là một điểm trong G thì p
a b
E
z b
− 
 
− 
có một không điểm tại z a= và chỉnh
hình trong G .
Bổ đề 2.13: Nếu 1z ≤ và 0p ≥ thì
1
1 ( )
p
pE z z
+
− ≤
Định lý 2.14: Cho G là một miền, { }ja là một dãy các điểm phân biệt trong G mà
không có điểm giới hạn trong G và giả sử { }jm là một dãy các số nguyên. Khi đó có
một hàm chỉnh hình f xác định trên G mà các không điểm của nó chỉ là các điểm ja
với bội jm
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh cho trường hợp đặc biệt là có một 0R > sao
cho
{ }:z z R G> ⊂ và 1ja R j≤ ∀ ≥ (2.4.1)

20. Xét dãy { }nz bao gồm các điểm { }ja nhưng sao cho mỗi ja được lặp lại phụ thuộc
vào số bội jm . Khi đó với mỗi 1n ≥ có một điểm nw trong G sao cho
( , )n n nw z d z G− = 
Trường hợp { }ja có hữu hạn phần tử thì định lý được chứng minh dễ dàng nên ta
chỉ xét { }ja có vô hạn phần tử. Lưu ý rằng giả thiết 2.4.1 loại bỏ trường hợp G =  . Vì
ja R j≤ ∀ và { }ja không có điểm giới hạn trong G dẫn đến G khác rỗng và là tập
compact đồng thời lim 0n n
n
z w
→∞
− =
Xét các hàm n n
n
n
z w
E
z w
 −
 
− 
. Mỗi hàm này đều có không điểm đơn tại nz z= . Ta cần
chỉ ra rằng tích vô hạn các hàm này hội tụ trong ( )O G . Để làm điều này ta lấy K là tập
con compact của G sao cho ( , ) 0d G K > .
Với mỗi z K∈ có:
( , )
( , )
nn n
n n
n n
z wz w
z w d G K
z w d w K
−−
≤ ≤ −
−

Điều này dẫn đến rằng với mọi , 0 1δ δ< < có một số nguyên N sao cho
n n
n
z w
z w
δ
−
<
−
với mọi z K∈ và n N≥
Theo bổ đề 2.13 có
1
1 nn n
n
n
z w
E z K
z w
δ + −
− < ∀ ∈ 
− 
và n N≥ (2.4.2)
Suy ra
1
1n n
n
n n
z w
E
z w
∞
=
  −
−  
−  
∑ hội tụ tuyệt đối và đều trên K
Theo định lý 2.11
1
( ) n n
n
n n
z w
f z E
z w
∞
=
 −
=  
− 
∏
hội tụ trong ( )O G , do đó f là một hàm chỉnh hình trong G . Đồng thời cũng theo định
lý 2.11 f chỉ nhận các điểm jz a= là không điểm cấp jm .

21. Ta chứng minh lim ( ) 1
z
f z
→∞
= . Lấy 0ε > là số tùy ý và 1R R> . Nếu 1z R> , vì do
nz R≤ và (0, )nw G B R∈ ⊂
Ta có
1
2n n
n
z w R
z w R R
−
≤
− −
cho nên nếu chọn 1R R> sao cho 12 ( )R R Rδ< − với δ nào đó thỏa 0 1δ< < thì (2.4.2)
thỏa với 1z R≥ và 1n∀ ≥ . Đặc biệt, Re 0n n
n
n
z w
E
z w
 −
> 
− 
với mọi n và 1z R≥
Do đó đẳng thức sau có nghĩa
1
og ( )
( ) 1 1
n n
n
nn
z w
L E
z w
f z e
∞
=
 −
 
 − 
∑
−= − (2.4.3)
Xét khai triển chuỗi của (1 )Log z+ tại 0
( )
1 2
1
1
(1 ) ...
2
n
n z
Log z z z
n
−
∞
−
+ = = − +∑
có bán kính hội tụ bằng 1
Ta có ( )
2
2(1 ) 1 1
1 ... ...
2 3 2 2 1
zLog z z z
z z
z z
+
− = − + ≤ + + =
−
Nếu xét
1
2
z < thì
(1 ) 1
1
2
Log z
z
+
− ≤ , do đó
1 3
(1 )
2 2
z Log z z≤ + ≤ (2.4.4)
Từ (2.4.2) và (2.4.4) có
1 1 1
3
1
2
n n n n n n
n n n
n n nn n
z w z w z w
LogE LogE E
z w z w z w
∞ ∞ ∞
= = =
    − − −
≤ ≤ −    
− − −     
∑ ∑ ∑
2
1
1
3 3
2 2 1
n
n
δ
δ
δ
∞
+
=
≤ =
−
∑ với 1z R≥

22. Nếu ta hạn chế δ để 1w
e ε− < khi
2
3
2 1
w
δ
δ
<
−
thì (2.4.3) cho ( ) 1f z ε− < khi
1z R≥ . Vậy lim ( ) 1
z
f z
→∞
=
Bây giờ cho 1G là một tập mở tùy ý trong  với { }jα là một dãy điểm phân biệt
trong 1G mà không có điểm giới hạn và cho { }jm là một dãy các số nguyên. Khi đó nếu
( , )B a r là một đĩa trong 1G sao cho ( , ) 1j B a r jα ∈ ∀ ≥ , ta xét phép biến đổi phân tuyến
tính
1
( )T z
z a
=
−
. Đặt 1( )G T G= thì G thỏa điều kiện 2.4.1 với
1
( )j j
j
a T
a
α
α
= =
−
Theo chứng minh trên có hàm f trong ( )O G với không điểm tại mỗi ja với bội jm và
không có không điểm nào khác sao cho lim ( ) 1
z
f z
→∞
= . Khi đó ( ) ( ( ))g z f T z= là hàm
chỉnh hình trên { }G a với a là điểm bất thường bỏ được. Hơn nữa g có các không
điểm tại jα với bội jm . 
Một trong các kết quả thú vị suy ra từ kết quả trên là
Hệ quả 2.15: Nếu f là hàm phân hình trong miền G thì có các hàm g và h chỉnh hình
trong G sao cho
g
f
h
=
Chứng minh: Cho { }ja là một dãy các cực điểm của f và giả sử { }jm là cấp của
cực điểm tại ja . Khi đó theo định lý 2.14 có một hàm chỉnh hình h chỉ nhận ja là các
không điểm bội jm . Như vậy hf có các điểm bất thường bỏ được tại mỗi ja . Suy ra
g hf= là hàm chỉnh hình trong G
Định lý 2.16: Để hàm f hữu tỉ trên , cần và đủ là f là hàm phân hình trên 
và tồn tại lim ( )
z
f z ∞
→∞
∈ .
Chứng minh:

23. (Theo nguyên lý không điểm cô lập suy ra rằng tập ( )P f các điểm cực của f gồm
những điểm cô lập. Do tính chất compact nên mỗi hình tròn đóng (0, )B n chỉ chứa
hữu hạn phần tử của ( )P f .)
( )⇒ Nếu f là hàm hữu tỉ thì
1
0 1
0 01
0 1
( ) , 0, 0.
m m
m
n n
n
a z a z a
f z a b
b z b z b
−
−
+ + +
= ≠ ≠
+ + +


Khi đó rõ ràng f là phân hình và tồn tại lim ( )
z
f z
→∞
.
( )⇐ Ta đi xét các trường hợp:
Trường hợp 1: lim ( )
z
f z
→∞
hữu hạn, khác 0. Khi đó tồn tại số 0n để 0( ) (0, )P f B n⊂
(bởi vì nếu trái lại thì với mọi n tồn tại ( )ns P f∈ để ns n> , do ns là cực điểm nên
tồn tại ( ,1)n nz B s∈ để ( )nf z n> , khi đó , ( )n nz f z→ ∞ → ∞ ta gặp mâu thuẫn). Vì
trong 0(0, )B n chỉ có hữu hạn điểm cực của f nên
{ }1 2( ) , , , .mP f z z z= 
Bây giờ giả sử f phân hình trên chỉ có một số hữu hạn các cực điểm 1 2, , , mz z z
với bậc 1 2, , , .mp p p Khi đó hàm
1
( ) ( ) ( ) j
m
p
j
j
g z f z z z
=
= −∏
chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức, tức là một hàm nguyên.
Bởi vì lim ( ) 0 ên lim ( ) .
z z
f z n g z
→∞ →∞
≠ =∞ Do đó theo định lý 1.11, g là một đa thức. Từ
đó
1
( )
( )
( ) j
m
p
j
j
g z
f z
z z
=
=
−∏
là một hàm hữu tỉ. ( f là hàm phân hình và lim ( ) 0
z
f z
→∞
≠ thì f là một hàm hữu tỉ).

24. Trường hợp 2: lim ( ) 0
z
f z
→∞
= , ta xét ( ) ( ) 1z f zϕ= + . Vì ϕ là hàm phân hình và
lim ( ) 1
z
zϕ
→∞
= nên ϕ là hàm hữu tỉ, và do đó ( ) ( ) 1f z zϕ= − là hàm hữu tỉ.
Trường hợp 3: lim ( )
z
f z
→∞
= ∞ , ta xét
1
( )
( )
z
f z
ϕ = .Vì ϕ là hàm phân hình và
lim ( ) 0
z
zϕ
→∞
= nên ϕ là hàm hữu tỉ. Từ đó
1
f
ϕ
= là hàm hữu tỉ.

25. Chương III: HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH
Năm 1847 nhà toán học Gotthold Eisenstein đã giới thiệu định lý về chuỗi
hàm lượng giác
1
, 1,2,
( )k
v
k
z v
∞
=−∞
=
+
∑ 
mà ngày hôm nay được mang tên của ông ấy . Chuỗi Eisenstein là một ví dụ đơn
giản về chuỗi hội tụ chuẩn tắc của hàm phân hình trong . Trong mục 3.1 chúng
ta sẽ tìm hiểu các khái niệm tổng quát của chuỗi hội tụ compact và chuẩn tắc của
các hàm phân hình. Trong mục 3.2 chúng ta sẽ tìm hiểu về sự phân tích của hàm
2 2
1 1
1 2 1 1 1
cot
z
z
z z v z z v z v
π π
∞ ∞
 
=+ =+ + 
− + − 
∑ ∑
thành phân thức từng phần. Nó là một trong những khai triển chuỗi hiệu quả nhất
trong phân tích cổ điển. Trong mục 3.3 bằng cách so sánh các hệ số từ chuỗi
Taylor của 2 2
1
2 1
à cot
z
v z
z v z
π π
∞
−
−
∑ tại 0 chúng ta khẳng định đồng nhất thức
Euler nổi tiếng
( )
( )
( )
2
1
22
1
21
1 , 1,2,
2 2 !
n
n
nn
B n
v n
π∞
−
=− =∑ 
Trong mục 3.4 chúng ta phác họa sự tiếp cận của Eisenstein về hàm lượng giác.

26. 3.1 Lý thuyết tổng quát về sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình
3.1.1 Hội tụ compact và hội tụ chuẩn tắc: Cho D mở khác rỗng trong . Chuỗi
hàm
1
n
n
f
≥
∑ với nf phân hình trong D , được gọi là hội tụ compact trong D nếu với
mỗi tập compact K D⊂ có tương ứng một chỉ số ( )m m K= ∈ sao cho:
i) Với mỗi n m> tập cực ( )nP f không có phần chung với K và
ii) Chuỗi n K
n m
f
≥
∑ hội tụ đều trên K
Chuỗi nf∑ được gọi là hội tụ chuẩn tắc trong D nếu i) đúng và điều kiện ii)
được thay thế bởi một điều kiện mạnh hơn :
ii’) n K
n m
f
≥
< ∞∑
Nhận xét: Các điều kiện ii) và ii') có nghĩa do điều kiện i), các hàm nf với n m≥
không có cực điểm nên liên tục trong K
Một hệ quả khác của điều kiện i) này là tập hợp
0
( )n
n
U P f
∞
=
rời rạc và đóng
tương đối trong D
Rõ ràng rằng i) và ii) hoặc i) và ii') đúng với mọi tập con compact của D nếu
nó đúng với mọi đĩa đóng nằm trong D
Ta có sự hội tụ chuẩn tắc dẫn đến sự hội tụ compact. Nếu mọi nf đều là hàm
chỉnh hình trong D thì điều kiện i) là không cần thiết và chúng ta sẽ quay lại sự hội
tụ compact hay hội tụ chuẩn tắc của chuỗi các hàm chỉnh hình. Chuỗi hội tụ
compact các hàm phân hình có hàm giới hạn là hàm phân hình. Chính xác hơn ta
có
Định lý 3.1 (định lý hội tụ): Cho D là tập mở khác rỗng trong , ( )nf M D∈
và nf∑ hội tụ compact (tương ứng hội tụ chuẩn tắc) trong D . Khi đó có một hàm
phân hình f trong D thỏa tính chất sau:

27. Nếu U là một tập con mở của D và với m nào đó thuộc  không có hàm
phân hình ( )nf n m≥ nào có cực điểm trong U thì chuỗi n U
n m
f
≥
∑ của các hàm
chỉnh hình hội tụ compact (tương ứng chuẩn tắc) trong U về một hàm ( )F O U∈
sao cho
1 1...o mU U U U
f f f f F−= + + + (3.1.1)
Đặc biệt, f chỉnh hình trong
0
( )n
n
D U P f
∞
=
, nghĩa là,
0
( ) ( )n
n
P f U P f
∞
=
⊂
Một cách tự nhiên, chúng ta gọi hàm f là tổng của chuỗi nf∑ và ta viết
nf f= ∑ .
Như vậy, trong mọi tập con mở khác rỗng compact tương đối U của D , sau
khi trừ một số hữu hạn các số hạng đầu, những gì còn lại của chuỗi các hàm phân
hình là một chuỗi các hàm chỉnh hình trong U và chuỗi này hội tụ compact (tương
ứng, hội tụ chuẩn tắc) về một hàm chỉnh hình trong U .
3.1.2 Một số quy tắc tính toán đối với chuỗi hàm phân hình
1. Nếu nf f= ∑ , ng g= ∑ là chuỗi các hàm phân hình trong D hội tụ
compact (tương ứng hội tụ chuẩn tắc) thì với ,a b∈ chuỗi ( )n naf bg∑ +
hội tụ compact (tương ứng hội tụ chuẩn tắc) trong D về af bg+ .
2. Nếu ( )nf M D∈ mà chuỗi nf∑ hội tụ chuẩn tắc trong D thì mọi chuỗi
con của nó hội tụ chuẩn tắc trong D .
3. Định lý sắp xếp lại : Nếu ( )nf M D∈ và
0
n
n
f
∞
=
∑ hội tụ chuẩn tắc trong D
về f thì mọi song ánh :τ →  chuỗi được sắp xếp lại ( )
0
n
n
fτ
∞
=
∑ hội tụ
chuẩn tắc về f .

28. Định lý 3.2: Nếu ( )nf M D∈ và nf f∑ =hội tụ compact (tương ứng hội tụ
chuẩn tắc) trong D , thì với mọi 1k ≥ chuỗi đạo hàm theo từng số hạng k lần
( )k
nf∑ hội tụ compact (tương ứng hội tụ chuẩn tắc) trong D về ( )k
f .
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp 1k = . Giả sử U là tập mở
compact tương đối trong D , chọn m đủ lớn cho nf là hàm chỉnh hình trong U
với mọi n m≥ . Khi đó n U
n m
f
≥
∑ hội tụ compact (tương ứng chuẩn tắc) trong U về
hàm ( )F O U∈ sao cho 3.1.1 thỏa. Ta có ( )'
' ( )n n UU
f f O U= ∈ theo định lý 1.3
chuỗi 'n
n m
f U
≥
∑ hội tụ compact (tương ứng chuẩn tắc) trong U về ' ( )F O U∈ . Điều
này dẫn đến 'nf∑ hội tụ compact (tương ứng chuẩn tắc) trong toàn bộ D . Theo
(3.1.1) tổng g của nó thuộc ( )M D thỏa
( )1 1 1' ... ' ' ... ' ( )'o m o mU U U U U U U
g f f F f f f F f− −= + + + = + + + + =
Điều này chứng minh rằng 'g f= .
Ví dụ :
Với mọi 0r > các bất đẳng thức sau đúng
( )
k k
z n n r± ≥ − với 1, ,k n z r n≥ ∈ ≤ <
Từ đó với : (0, )K B r= ta có các đánh giá
1 1
( )K
r
z n n n n r
− ≤
+ −
với n r> .
1 1
( ) ( )k k
K
z n n r
≤
± −
với 1,k n r≥ > .
Vì chuỗi ( )
1 1
1 và
( )k
k
n n n r
>
−
∑ ∑ hội tụ và vì mọi tập compact trong  phải
nằm trong một đĩa (0, )B r nào đó , ta có 4 chuỗi :
1 1
1 1 1 1 1 1
, , ,
( ) ( )k k
o oz n n z n n z n z n
∞ ∞ ∞ ∞
   
− +   
+ − + −   
∑ ∑ ∑ ∑ với 2k ≥
hội tụ chuẩn tắc trong  về các hàm phân hình.

29. Cộng hai chuỗi đầu tiên của các chuỗi này suy ra chuỗi 2 2
1
2z
z n
∞
−
∑ hội tụ chuẩn
tắc trong .
Bên cạnh chuỗi n
o
f
∞
∑ ta có thể xem xét chuỗi tổng quát hơn có dạng
1
:n n n
o
f f f
+∞ − ∞
−∞ −∞
= +∑ ∑ ∑ với
1
nf
−
−∞
∑ có nghĩa là
1
lim n
n
n
f
−
→∞
−
∑
Các chuỗi hàm như thế được gọi là hội tụ (tuyệt đối) tại 0z ∈ nếu cả hai chuỗi
1
0( )nf z
−
−∞
∑ và 0( )n
o
f z
∞
∑ hội tụ (tuyệt đối). Sự hội tụ compact hoặc chuẩn tắc của
nf
+∞
−∞
∑ có nghĩa là sự hội tụ compact hoặc chuẩn tắc của cả hai chuỗi
1
nf
−
−∞
∑ và
n
o
f
∞
∑ . Từ những điều vừa nói ta có
Chuỗi các hàm phân hình trong  được cho bởi :
2 2
1
1 1 2 1
và 2
( )
' k
z
k
z n n z n z n
∞ ∞ +∞
−∞−∞
 
+= ≥ 
+ − + 
∑ ∑∑
là các chuỗi hội tụ chuẩn tắc trong , ở đây
1
:' o
+∞ − ∞
−∞ −∞
= +∑ ∑ ∑
3.2 Khai triển phân thức từng phần của cot zπ π
3.2.1 Hàm cotang và công thức nhân đôi
Hàm cot zπ π là hàm chỉnh hình trong   và có mỗi m∈ đều là một cực
điểm đơn mà tại điểm đó phần chính là
1
z m−
. Hơn nữa, hàm này là hàm lẻ và nó
thỏa công thức góc nhân đôi :
1
2 cot 2 cot cot ( )
2
z z zπ π π π π π= + +

30. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng các tính chất này đặc trưng cho hàm cotang
Bổ đề 3.3 : Giả sử g là hàm chỉnh hình trong   và có phần chính
1
z m−
tại
mỗi m∈ . Giả sử thêm nữa là g là một hàm lẻ và thỏa công thức góc nhân đôi
1
2 (2 ) ( ) ( )
2
g z g z g z= + +
Khi đó ( ) cot g z z zπ π= ∀ ∈ 
Chứng minh: Hàm ( ) : ( ) coth z g z zπ π= − là hàm nguyên lẻ và thỏa
1
2 (2 ) ( ) , (0) = 0
2
h z h z h z h
 
= + + 
 
(3.2.1)
Giả sử h không đồng nhất bằng 0. Khi đó theo nguyên lý cực đại có (0,2)c B∈
sao cho ( ) ( ) (0,2)h z h c z B< ∀ ∈
Vì cả
1
2
c và
1
1 (0,2)
2
c B+ ∈ dẫn đến
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( 1) 2 ( )
2 2 2 2 2
h c h c h c h c h c+ + ≤ + + <
Mâu thuẫn với (3.2.1). Do đó 0h ≡ 
Định nghĩa 1
1 1 1 1
( ) : lim '
k
k
n k
z
z n z z n n
ε
∞
→∞
=− −∞
 
= =+ − 
+ + 
∑ ∑ 2 2
1
1 2z
z z n
∞
= +
−
∑
Từ bổ đề 3.2.1 ta có định lý
Định lý 3.4: Hàm cotang có biểu diễn chuỗi trong   là
1cot ( )z zπ π ε= (3.2.2)
Chứng minh: Từ định nghĩa của 1( )zε ta có 1( )zε là một hàm chỉnh hình trong
  và có phần chính là
1
z m−
tại mỗi m∈ . Ngoài ra 1 1( ) ( )z zε ε− =− . Ta kiểm
tra rằng các tổng riêng
1
1 1 1
( )
n
nS z
z z zν ν
 
=+ + 
+ − 
∑ thỏa mãn

31. 2
1 1
( ) ( ) 2 (2 )
2 2 2 1
n n nS z S z S z
z n
+ += +
+ +
Từ biểu thức này sau khi cho qua giới hạn theo ( )n n → ∞ ta có công thức
nhân đôi
1 1 1
1
2 (2 ) ( ) ( )
2
z z zε ε ε= + + . Theo bổ đề 3.2.1 có 1( ) cotz zε π π= .
Phương trình (3.2.2) được gọi là biểu diễn phân thức từng phần của cot zπ π .
3.2.2 Chuỗi phân thức từng phân
2
2
à
sin sin
v
z z
π π
π π
. Hãy chú ý phương
trình 2
1
(cot )
sin
z
z
′ = − và áp dụng định lý 3.2 cho chuỗi hội tụ chuẩn tắc
1 1 1
'z z v v
∞
−∞
 
+ − 
+ 
∑
được suy từ phương trình ( )1 cotz zε π π= , ta có khai triển phân thức từng phần cổ
điển
( )
2 2 21
22 2 2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 2 2
sin ( ) ( ) ( )
z v
z z z v z v z z vz v
π
π
∞ − ∞ ∞
−∞ −∞
+
= =+ + =+
+ + −+
∑ ∑ ∑ ∑ (3.2.3)
Lấy vi phân một lần nữa ta được
( ) ( )
3 21
3
3 32 3 3 3 3 2 2
1 1
cot 1 1 1 1 1 2 6
sin ( ) ( )
z z zv
z z z v z v zz v z v
π
π
π
∞ − ∞ ∞
−∞ −∞
+
= =+ + =+
+ ++ −
∑ ∑ ∑ ∑ (3.2.4)
Từ đẳng thức 1
1 1
tan cot 2 cot à cot ( )
2 2
z z z v z zπ π π π π π π π ε=− =
cho ta được :
( )
2 2
0
1 4
tan
2 2 1
z
z
v z
π π
∞
=
+ −
∑ (3.2.5)

32. Từ công thức
1
cot tan
sin 2
z z
z
π
π π π π
π
= + cho chúng ta được phương trình
( ) 2 2
1
1 2
1
sin
v z
z z z v
π
π
∞
= + −
−
∑ (3.2.6)
Từ (3.2.6) và điều hiển nhiên là 2 2
2 1 1z
z v z v z v
= +
− + −
, ta có được sự khai triển
phân thức từng phần cổ điển
( 1)
sin
v
z z v
π
π
∞
−∞
−
=
+
∑ (3.2.7)
Ở (3.2.7) chúng ta có thể nhóm các số hạng tương ứng đến chỉ số à ( 1)v v v− + ,
với v∈ , áp dụng đồng nhất thức
1
cos sin
2
z zπ π
 
= + 
 
ta được:
( )
( )
( )
1
2
2 21
0 2
2 1
cos
v v
z v z
π
π
∞
+
= −
+ −
∑ (3.2.8)
Khi 0z = ta có chuỗi Leibniz
1 1
1
4 3 5
π
= − + − +.tổng của chuỗi là / 2π có được
từ (3.2.6) và (3.2.8) khi ta chọn 1/ 4z =
3.2.3 Đặc trưng của hàm cotang bởi định lý cộng và phương trình vi
phân
Ta có :
2
2
1
cot
1
iz
iz
e
z i
e
+
=
−
(3.2.9)
cot cot 1
cot( )
cot cot
w z
w z
w z
−
+ =
+
(3.2.10)
( ) ( )
2
cot ' cot 1 0z z+ + = (3.2.11)

33. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng đẳng thức (3.2.10) và đẳng thức (3.2.11) đặc trưng cho
hàm cotang.
Bổ đề 3.5: Cho g là một hàm phân hình trong miền G. Khi đó phương trình vi
phân
2
' 1 0g g+ + = (3.2.12)
thỏa mãn chỉ với họ các hàm
2
2
1
( ) , ( )
1
iz
iz
ae
g z i g z i
ae
+
≡ =
−
với a tùy ý thuộc .
Chứng minh: Bằng tính toán ta thấy các hàm liệt kê ở trên thỏa phương trình vi
phân 3.2.12 đã cho. Ngược lại xét ( )g M G∈ thỏa phương trình vi phân 3.2.12 và
g i≡ . Đặt
g i
f
g i
+
=
−
ta có ( )f M G∈ và nó thỏa phương trình ' 2f if= . Thật vậy,
ta có:
2
2 2
2 ' 2 ( 1)
'
( ) ( )
ig i g
f
g i g i
− − − −
= =
− −
(do (3.2.12))
2 2 2
2 2
2 ( 1)
2 2 2
( ) ( )
i g g i g i
i i if
g i g i g i
+ − +
= = = =
− − −
Theo định lý 1.12 ta có ( ) exp(2 )f z a iz= . Trước tiên điều này đúng trong
( )G P f . Áp dụng định lý đồng nhất cho hàm phân hình (định lý 2.5) có
( ) exp(2 )f z a iz z G= ∀ ∈
Vì
1
1
f
g i
f
+
=
−
nên có điều phải chứng minh  .
Định lý 3.6: Các mệnh đề sau liên quan đến một hàm g phân hình trên một
lân cận U của 0 là tương đương
i) Phần chính của g tại 0 là
1
z
và với mọi , ( )w z U P g∈ sao cho với

34. ( )w z U P g+ ∈ ta có:
( ) ( ) 1
( )
( ) ( )
g w g z
g w z
g w g z
−
+ =
+
( định lý cộng )
ii) g có cực điểm tại 0 và thỏa 2
' 1 0g g+ + =
iii) ( ) cotg z z=
Chứng minh: )i ii⇒ Từ )i theo định lý phép cộng ta có
0
( ) ( )
'( ) lim
h
g z h g z
g z
h→
+ −
=
0
( ). ( ) 1
( )
( ) ( )
lim
h
g z g h
g z
g z g h
h→
−
−
+
=
2
0
( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )
lim
( ( ) ( ))h
g z g h g h g z g z
h g z g h→
− − −
=
+ [ ]
2
2
0
1 ( )
lim 1 ( )
( ) ( )h
g z
g z
h g z g h→
− −
= =− −
+
vì
0 0
lim ( ) 1 và lim ( ) 0 ( )
h h
hg h hg z z U P g
→ →
= = ∀ ∈
)ii iii⇒ vì ( )g z i≡ nên g có dạng
2
2
1
( )
1
iz
iz
ae
g z i
ae
+
=
−
với a∈ nào đó do bổ
đề 3.5 Vì g có cực điểm tại 0 nên 2 0
1 0i
ae − = suy ra 1a = dẫn đến ( ) cotg z z= .
)iii i⇒ Do cotz có cực điểm đơn tại 0 nên phần chính của khai triển Laurent
của cotz tại 0 là
1
z
.
Ngoài ra với ( )w z U p g+ ∈ có
cot .cot 1 cos .cos sin .sin
cot cot cos .sin cos .sin
w z w z w z
w z w z z w
− −
=
+ +
cos( )
cot( )
sin( )
w z
w z
w z
+
= = +
+
3.3 Công thức Euler đối với 2
1
(2 ) n
v
n vζ −
≥
= ∑
Phần 3.3.1 dành cho việc giới thiệu các số Bernoulli.
Trong phần 3.3.2 ta sẽ tìm hiểu về các chuỗi Taylor của các hàm zcotz, tanz, và
sin
z
z
.
Phần 3.3.3 trình bày công thức Euler đối với 2
1
(2 ) n
v
n vζ −
≥
= ∑ .

35. Phần 3.3.4 trình bày các đẳng thức khá thú vị giữa các số Bernoulli, và cuối cùng
ta có một thảo luận ngắn về chuỗi Eisenstein ( ), 2k z kε ≥ trong 3.3.5.
3.3.1 Chuỗi Taylor của
1z
z
e −
. Các số Bernoulli
Vì các lý do có tính lịch sử ta viết chuỗi Taylor ( )
1z
z
g z
e
=
−
tại 0 dưới dạng:
0
, .
1 !
vv
vz
Bz
z B
e v
∞
= ∈
−
∑ 
Vì cotz là một hàm số lẻ nên zcotz là một hàm số chẵn.
Do
(2 )
cot
g iz
z i
z
= + nên
( ) .cot
2 2 2
z z z
g z
i i
 
+ =  
 
Suy ra ( )
2
z
g z + là hàm số chẵn.
Dẫn đến: 1
1
2
B
−
= và 2 1 0, 1.vB v+ = ∀ ≥
Do đó:
22
1
1 .
1 2 (2 )!
vv
z
Bz z
z
e v
∞
= − +
−
∑
Ta có:
1
1 0
1
1 . .
1 ! !
z v
vv
z
Be z z
z
z e v v
−∞ ∞
 −  
= =    −   
∑ ∑
Bằng cách nhân hai chuỗi và so sánh các hệ số (sử dụng tính duy nhất của khai
triển Taylor) ta nhận được công thức
0 1 2 1 0.
0 1 2 1
n
n n n n
B B B B
n
−
       
+ + + + =       
−       

Các số 2vB được gọi là những con số Bernoulli. Chúng có thể được xác định từ
công thức đệ quy trên. Mỗi số Bernoulli 2vB là số hữu tỷ với:

36. 0 2 4 6
8 10 12 14
1 1 1
1, , ,
6 30 42
1 5 691 7
, , , .
30 66 2730 6
B B B B
B B B B
−
= = = =
− −
= = = =
Vì bán kính hội tụ của chuỗi 2
1 (2 )!
vvB
z
v
∞
∑ là hữu hạn ( 2R π= ) nên chúng ta nhận
thấy rằng dãy 2vB của các số Bernoulli là không bị chặn.
3.3.2 Chuỗi Taylor của các hàm zcotz, tanz, và
sin
z
z
.
Hàm g(z) liên kết với hàm cotz và tanz thông qua các đẳng thức
( )2
cot ,
g iz
z i
z
= + tan cot 2cot 2 .z z z= −
Khi đó theo đồng nhất thức
22
1
1 ,
1 2 (2 )!
vv
z
Bz z
z
e v
∞
= − +
−
∑
chúng ta có được:
( )
( )
2 1
2
1
1 4
cot 1 ,
2 !
v
v v
vz B z
z v
∞
−
= + −∑ (3.3.1)
( )
( )
( )
1 2 1 3 5 7
2
1
4 4 1 1 2 17
tan 1
2 ! 3 15 315
v v
v v
vz B z z z z z
v
∞
− −
−
= − =+ + + +∑  (3.3.2)
Đẳng thức (3.3.1) đúng trong một đĩa thủng ( ) { }0, 0B R . Trong phần 3.3.3 chúng
ta sẽ thấy rằng 1
2( 1)v
vB−
− luôn là số dương, và do đó tất cả các hệ số trong chuỗi
(3.3.1) là số âm và trong chuỗi (3.3.2) là số dương. Đẳng thức (3.3.1) cũng có thể
được đưa về dạng đẹp hơn
2 4 6
2 4 6cot 1
2 2 2! 4! 6!
z z z z z
B B B=− + − + (3.3.3)
Ta có:
2
2
1
4
cot 1 ( 1)
(2 )!
v
v v
vz z B z
v
∞
=+ −∑

37. 1 2
2
1
2(4 1)
tan ( 1) .
2 (2 )!
v
v v
v
z
z B z
v
∞
− −
= −∑
Bởi vì
1
cot tan
2 sin
z
z
z
+ = nên theo đẳng thức (3.3.1)và (3.3.2) ta có đẳng thức
1 2
2
0
(4 2)
( 1) .
sin (2 )!
v
v v
v
z
B z
z v
∞
− −
= −∑ (3.3.4)
3.3.3 Khai triển hàm 1( )zε tại 0 và công thức Euler đối với (2 )nζ .
Bổ đề 3.7: Giả sử 1
1
( )z
z
ε − là hàm chỉnh hình trong đĩa mở đơn vị E và có các
cực điểm tại 1± . Khi đó chuỗi Taylor của nó tại 0, với bán kính hội tụ bằng 1 được
viết là:
{ }2 1
1 2
1
1
( ) , 0n
nz q z z E E
z
ε
∞
− ×
= − ∈ =∑ (3.3.5)
trong đó 2 2
1
1
2 (2 ) 2 .n n
v
q n
v
ζ
≥
= = ∑
Chứng minh: Từ khai triển chuỗi cấp số nhân
2
2 2 2
0
2 2
n
n
z
z v v v
∞
=
−  
=  
−  
∑ ta có hệ số
Taylor thứ (2n-2) là 2
2
n
v
− .
Vì chuỗi 2 2
1
2
v z v≥ −
∑ hội tụ compact trong E nên theo định lý chuỗi bội của
Weierstrass hệ số Taylor thứ (2n-2) của nó là 2
1
2
n
v v≥
−
∑ , tức là 2nq− . Nhưng
2 2
1
2
v z v≥ −
∑ là hàm chẵn, nên tất cả các hệ số Taylor với chỉ số lẻ triệt tiêu, suy ra
chuỗi 2 2
21
n
nq z
∞ −
−∑ xem như là chuỗi Taylor về 0 của chuỗi này.
Vì 1 2 21
1 2
( )z z z E
z z v
ε
∞ ×
= + ∀ ∈
−
∑ nên ta có khẳng định (3.3.5)

38. Từ Bổ đề trên và kết quả ở phần 3.3.2 ta có
Công thức Euler:
2
1
2
(2 )
(2 ) ( 1) , 1,2,
2(2 )!
n
n
nn B n
n
π
ζ −
=− =
Chứng minh: Dựa vào (3.3.1) và (3.3.5) chúng ta có trong lân cận của 0
2
2 1 2 2 1
2 1 2
1 1
1 1 2
( ) cot ( 1)
(2 )!
n
n n n n
n nq z z z B z
z z n
ε π π π
∞ ∞
− −
− = = = + −∑ ∑
2
1 2 1
2
1
1 (2 )
( 1)
(2 )!
n
n n
nB z
z n
π∞
− −
= − −∑
So sánh các hệ số ta suy ra được
2
1
2 2
(2 )
( 1)
(2 )!
n
n
n nq B
n
π−
= −
Mà
2
1
2 2
(2 )
2 (2 ) (2 ) ( 1) , 1,2,
2(2 )!
n
n
n nq n n B n
n
π
ζ ζ −
= ⇒ =− = 
Từ công thức Euler, tình cờ ta thấy rằng các số Bernoulli 2 4 2, , , nB B B đan dấu.
Hơn nữa khẳng định về tính bị chặn liên quan đến dãy 2nB trong 3.3.1 bây giờ có
thể được phát biểu chính xác hơn :
Vì 2
1 2 1n
v n−
< < ∀ ≥∑ , nên
22 2
(2 )! (2 )!
2 4
(2 ) (2 )
nn n
n n
B
π π
< < ; đặc biệt là 2 1
2
lim n
n
B
B
+
= ∞
Thêm vào đó 1 (2 ) 2nζ< < , đẳng thức 2
2
2 (2 )
(2 )! (2 )
n
n
B n
n
ζ
π
= và công thức Cauchy -
Hadamard ta có chuỗi Taylor
1z
z
e −
tại 0 có bán kính hội tụ 2π . Đây là cách xác
định bán kính hội tụ mà không phải kiểm tra các không điểm của mẫu số.

39. 3.3.4 Phương trình vi phân đối với 1ε và đồng nhất thức
của những số Bernoulli.
Vì ( ) 2
cot 1 (cot )z z′ =− − , nên ta được:
2 2
1 1ε ε π′ =− − (3.3.6)
hàm 1ε là nghiệm của phương trình vi phân 2 2
y y π′ =− − . Từ (3.3.6) chúng ta có
một công thức đệ quy đẹp nhưng không quen thuộc cho các số (2 )nζ , cụ thể là
mệnh đề sau
Mệnh đề 3.8:
1, 1
1
(2 ) (2 ) (2 )
2 k l n
k l
n n k lζ ζ ζ
+ =
≥ ≥
 
+ = 
 
∑ với
2
1, (2)
6
n
π
ζ> =.
Chứng minh: Sử dụng định lý 3.2 và bổ đề 3.7 chúng ta có
2 2
1 2
1
1
( ) 2 (2 1) (2 ) n
z n n z
z
ε ζ
∞
−
′ =− − −∑
Dựa trên cơ sở của định lý 3.2 và định lý về chuỗi bội 1.4, từ bổ đề 3.7 cho ta
được:
2 2 2 2 2
1 2
1 2
1, 1
1
( ) 4 (2 ) 4 (2 ) (2 ) ,n n
n k l n
k l
z n z k l z z E
z
ε ζ ζ ζ
∞ ∞
− − ×
= +=
≥ ≥
=− + ∈∑ ∑ ∑ .
Thay vào (3.3.6) và so sánh các hệ số của các số có lũy thừa giống nhau của z ta
có 3.8 
Nếu chúng ta dùng công thức Euler cho (2 )nζ , từ 3.8 ta có:
2 2 2
1, 1
1
(2 1) (2 )! 0, 2
(2 )!(2 )!
n k l
k l m
k l
n B n B B n
k l+ =
≥ ≥
+ + = ≥∑ . (3.3.7)
3.3.5 Chuỗi Eisenstein
1
( )
( )
k k
z
z v
ε
∞
−∞
=
+
∑
Theo 3.1.2 chuỗi ( )k zε hội tụ chuẩn tắc trong  với mọi số nguyên 2k ≥ ,và do đó
theo định lý hội tụ 3.1 chúng biểu diễn các hàm phân hình trong . Từ định nghĩa
của kε ta có kε là hàm chỉnh hình trên   và tại mỗi n∈ nó có một cực điểm

40. cấp k, có phần chính là
1
( )k
z n−
. Các hàm 2lε là hàm chẵn và 2 1lε + là hàm lẻ.
Chuỗi 1( )zε cũng không có ngoại lệ và có dạng tổng quát như vậy nếu chúng ta sử
dụng quy tắc tính tổng e∑ cho nó. Trong 3.2.2 ta có:
2
3
2 32 2
cot
( ) , ( )
sin sin
z
z z
z z
π π
ε ε π
π π
= =
Như vậy 3 2 1ε ε ε= , một đồng nhất thức mà nhất định không thể được nhận trực tiếp
qua các biểu diễn chuỗi.
Định lý tuần hoàn: Cho 1( ),k k w≥ ∈ ∈  . Khi đó:
( ) ( )k kz w z z wε ε+= ∀ ∈ ⇔ ∈  .
Chứng minh: Nếu ( ) ( )k kz w zε ε+ = , cùng với 0 thì w cũng là một cực điểm của
kε ,vì thế w∈ . Do sự hội tụ của các chuỗi này là chuẩn tắc nên các chuỗi này có
thể được sắp xếp lại và ta nhận được ( 1) ( ), .k kz z kε ε+= ∀ Từ đó dẫn đến
( ) ( ),k kz n z n Zε ε+= ∀ ∈ 
Từ định lý 3.2 chỉ ra rằng:
1 1.k kk kε ε +
′ =− ∀ ≥ (3.3.8)
(Đối với 1ε ta sử dụng chuỗi hội tụ chuẩn tắc
1 1 1
'z z v v
∞
−∞
 
+ − 
+ 
∑ ). Quy nạp theo k,
ta có:
1
( 1)
1
( 1)
2
( 1)!
k
k
k k
k
ε ε
−
−−
= ∀ ≥
−
(3.3.9)
Từ sự khai triển (3.3.5) của 1ε (quy nạp một lần nữa) dẫn đến :
2
2
2
2 11
( ) ( 1) 2
1
k n k
k nk
n k
n
z q z k
kz
ε −
≥
− 
= + − ∀ ≥ 
− 
∑ (3.3.10)
và đặc biệt
2 3
2 2 4 3 4 62 3
1 1
( ) 3 , ( ) 3 10z q q z z q z q z
z z
ε ε= + + + = − − −  (3.3.11)

41. 3.4 Lý thuyết Eisenstein về hàm lượng giác
Lý thuyết về các hàm số lượng giác ngày nay hầu như luôn dựa trên hàm số
mũ phức, cũng có thể được xây dựng dựa vào các hàm Eisenstein kε và các quan
hệ phi tuyến đơn giản giữa chúng. Việc xây dựng lý thuyết các hàm số vòng được
vạch ra bởi Eisenstein năm 1847 trong một công trình [Ei] mà ngày nay khá nổi
tiếng. Chẳng hạn trong công trình này, hàm ℘.Weierstrass và phương trình vi
phân của nó là nét nổi bật. Eisenstein viết:
“Những tính chất cơ bản của các hàm tuần hoàn đơn giản này được bộc lộ
thông qua việc xem xét đồng nhất thức như sau:
2 2 2 2 2 3
1 1 1 1 2 1 1
( ) ( )p q p q p q p q p q
   
= + + +   
+ +   
”. (3.4.1)
ở đây p và q là những số vô định (indeterminates). Ta khẳng định (3.4.1) từ việc
tính toán trực tiếp hoặc (đơn giản hơn) bằng việc lấy đạo hàm đồng nhất thức
1 1 1 1
pq p q p q
 
= + 
+  
theo p và q .
Eisenstein đã tìm ra được tất cả những mệnh đề quan trọng về chuỗi bởi xử lí khéo
léo bậc thầy của ông ấy với đồng nhất thức (3.4.1).
Trong phần tiếp theo chúng ta trình bày phần khởi đầu của lý thuyết Eisenstein.
Ta chỉ làm việc với 4 hàm đầu tiên 1 2 3 4, , ,ε ε ε ε . Đồng nhất thức 1( ) cotz zε π π= sẽ
được chứng minh lại một lần nữa, độc lập với những gì được xét ở phần trước. Ta
sử dụng định lý 3.6 đối với các nghiệm của phương trình vi phân 2
1 0g g′+ + =.
3.4.1 Định lý cộng.
2 2 2 2 2 2 3 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )[ ( ) ( )]w z w w z z w z w z w zε ε ε ε ε ε ε ε ε− + − + = + +
Chứng minh: Đặt ,p z q w vµ µ= + = + − thay vào (3.4.1) ta có:

42. 2 2 2 2 2
3
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1
( )
z w v w z v z w v
w z v z w v
µ µ µ µ
µ µ
 
− + 
+ + − + + + + − 
 
= + 
+ + + + − 
Lấy tổng Eisenstein theo µ với v cố định ta có
2 22 2 2
1 13
1 1
[ ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
2
[ ( ) ( )]
( )
e z w v
z w v w z v
z w v
w z v
µ
µ
ε ε
µ µ
ε ε
=−∞
− + +
+ + − + +
= + +
+ +
∑
Vì v là chu kỳ của kε (theo định lý tuần hoàn 3.3.5), nên ta có thể viết 2 ( )wε thay
vì viết 2 ( )w vε + ,viết 1( )wε thay vì viết 1( )w vε + . Hơn nữa, tổng đầu tiên của vế trái
trùng với tổng thông thường
∞
−∞∑ vì nó hội tụ chuẩn tắc. Sau khi đơn giản hóa và
tính tổng trên theo v , ta có:
2 2 22 2
3 1 1
1
( )[ ( ) ( )]
( ) ( )
2 ( )[ ( ) ( )].
v
w z z w
z w v
w z z w
µ
ε ε ε
µ µ
ε ε ε
∞ ∞
=−∞ =−∞
− + +
+ + −
= + +
∑ ∑
Vì tính hội tụ chuẩn tắc cho phép ta đổi chỗ hai dấu lấy tổng của biểu thức vế trái.
Do 2 2( ) ( )w wε µ ε− = ta có tổng bội trở thành:
2
2 22 2 2
( )1 1
( ) ( )
( ) (( ) ) ( )v
w
w z
z w v zµ µ
ε µ
ε ε
µ µ µ
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
−
= =
+ − + +
∑ ∑ ∑ 
3.4.2 Công thức cơ bản của Eisenstein
Định lý cộng không được phát biểu tường minh bởi Eisenstein. Ông dẫn trực
tiếp từ (3.4.1) được các đồng nhất thức
2
4 2 1 33 ( ) ( ) 2 ( ) ( )z z z zε ε ε ε= + (3.4.2)
2
2 4 2 2( ) ( ) 2 ( )z z q zε ε ε= + (3.4.3)
Các công thức này được gọi là công thức cơ bản của Eisenstein. Ta dùng định lý
cộng để chứng minh công thức này. Trước khi chứng minh hai công thức trên ta
cần kết quả sau:

43. Bổ đề 3.9:
Với mọi z ∈  và mọi số nguyên 1k ≥ có một lân cận 0w = sao cho
( )
0
1
( ) ( )
!
v v
k k
v
w z z w
v
ε ε
≥
+ =∑
Đặt biệt ta có:
2 3
1 1 2 3 4
2
2 2 3 4
2
3 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) 3 ( )
( ) ( ) 3 ( ) 6 ( )
w z z z w z w z w
w z z z w z w
w z z z w z w
ε ε ε ε ε
ε ε ε ε
ε ε ε ε
 += − + − + −

+= − + − +

+= − + − +


 
(3.4.4)
(Chứng minh (3.4.4) ta sử dụng định lý tuần hoàn (3.3.8))
Chứng minh định lý:
▪ Chứng minh (3.4.2):
Với z cố định thuộc   các hàm xuất hiện trong định lý cộng là hàm phân hình
theo w .
Áp dụng tính chất (3.4.4) cho vế trái định lý cộng ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2. . .w z w w z z w zε ε ε ε ε ε− + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 2 3 4. 2 3w z w z z w z wε ε ε ε ε ε = − − + − + 
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 2 3 42 3z z z w z wε ε ε ε − − + − + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 3 4 2 2 3 42 3 2 3w z w z w z z z w z wε ε ε ε ε ε ε   = − − + − + − − − + − +    
Do khai triển ( )2 wε tại 0 (3.3.11) ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2. . .w z w w z z w zε ε ε ε ε ε− + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 4 3 4 2 2 32
1
3 2 3 2q q w z w z w z z z w
w
ε ε ε ε ε
 
 =− + + + − + − + − − − +     
 
  
( ) 2
4 23 ( )z zε ε=− − +
ở đây, phần rút gọn sau cùng chỉ ra các số hạng theo 1 2
, , ,w w w−

Áp dụng tính chất (3.4.4) cho vế phải định lý cộng ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
3 1 1 3 4 5 1 12 2 ( ) 3 6w z w z z z w z w w zε ε ε ε ε ε ε ε + + = − + − + +       

44. Do khai triển ( )1 wε tại 0 (3.3.5) có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
3 1 1 3 4 5 2 4
1
2 2 ( ) 3 6w z w z z z w z w q w q w
w
ε ε ε ε ε ε
 
 + + = − + − + − − −      
 
 
( ) ( ) ( )2
3 4 5 12 ( ) 3 6z z w z w zε ε ε ε + − + − + 
4 3 16 ( ) 2 ( ) ( )z z zε ε ε=− + +
So sánh các hệ số hằng ta có:
2
4 2 4 3 13 ( ) ( ) 6 ( ) 2 ( ) ( )z z z z zε ε ε ε ε− − =− +
2
4 2 33 ( ) ( ). ( )z z zε ε ε⇔ = 
▪ Chứng minh (3.4.3):
Với z cố định thuộc   , ta xét w zζ= + như một biến trong định lý cộng .
Áp dụng tính chất (3.4.4) cho vế trái định lý cộng ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2. . .z z z zε ζ ε ε ζ ε ζ ε ε ζ− − − −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2
2 3 4 2 2 2 2 22 3z z z z z zε ε ζ ε ζ ε ε ε ζ ε ε ζ= + + − + − + − 
Do khai triển ( )2ε ζ tại 0 (3.3.11) ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
2 3 4 2 2 3 2 42
1
2 3 2 3z z z z z z q qε ε ζ ε ζ ε ε ε ζ ζ
ζ
 
+ + − + − + + + + + 
 
  
( ) 2
2 2 42
1
3z q qε ζ
ζ
 
− + + + 
 

( )2
2 2 2 42 ( ) 3 ( )z q z zε ε ε= − − +
Áp dụng tính chất (3.4.4) cho vế phải định lý cộng ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
3 1 2 3 4 3 12 2VP z z z z zε ζ ε ε ζ ε ζ ε ζ ε ζ ε = − − − − + + 
Do khai triển ( )3ε ζ tại 0 (3.3.11) có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2 3
4 1 2 3 43
3
4 6 1 43
1
2 3 10
1
2 3 10 2
VP q z z z z
q q z z
ζ ζ ε ε ζ ε ζ ε ζ
ζ
ζ ζ ε ε
ζ
 
 = − − − − − − − −  
 
 
+ − − − =− + 
 
 
 

45. So sánh các hệ số hằng ta có:
( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 2 4 42 3 2z q z z zε ε ε ε− − =− ( ) ( ) ( )2
2 2 2 42z q z zε ε ε⇔ = +
(Lưu ý: Hàm 2lε là hàm số chẵn, hàm 2 1lε + là hàm số lẻ.)
Khử 4 ( )zε giữa 3.4.2 và 3.4.3 ta được:
2
1 3 2 2 2( ) ( ) ( ) 3 ( )z z z q zε ε ε ε= − (3.4.5)
Nếu ta lấy đạo hàm 3.4.5 , sử dụng 3.3.8 ta có 2 3 1 4 2 32qε ε ε ε ε= + . Sử dụng 3.4.3 để
khử 4ε và sau đó chia cho 2 22qε − , ta được:
3 1 2( ) ( ) ( )z z zε ε ε= (3.4.6)
Thay công thức này vào 3.4.5 và chia cho 2ε , dẫn đến:
2
1 2 2( ) ( ) 3z z qε ε= − (3.4.7)
Từ những liên hệ thu thập được ta có thể phác họa kết luận: Mỗi hàm kε là một đa
thức thực theo 1ε . Trong tính toán 2 1ε ε′= − , phương trình 3.4.7 cũng có thể được
xem như phương trình vi phân theo 1ε :
2
1 1 2( ) ( ) 3z z qε ε′ =− − (3.4.8)
Từ 3.4.8 ta có:
Định lý 3.10: Hàm cotang có biểu diễn chuỗi trong   là
1cot ( )z zπ π ε=
Chứng minh: Đặt a là căn bậc hai dương của 2 2
1
1
3 6
v
q
v≥
= ∑ .
Ta có ( )1 1
1( ) ( )g z a a z Mε− −
= ∈  là nghiệm của phương trình vi phân 2
1 0g g′+ + =.
Vì g có cực tại gốc 0 nên theo định lý 3.6: ( ) cotg z z= , và vì vậy 1( ) cotz a azε = .
 là tập hợp các chu kỳ của 1( )zε trong khi 1
aπ −
 là tập hợp các chu kỳ của
cot az (lưu ý rằng (cot)per Zπ= ), dẫn đến 1
aπ −
=  và do đó a π= vì a là số
dương.

46. 3.4.3 Phác họa lý thuyết hàm lượng giác theo hàm Eisenstein
Các hàm xem xét ở trên chỉ ra rằng lý thuyết các hàm lượng giác về cơ bản có
thể được phát triển chỉ từ hàm Eisenstein 1ε . Trước tiên ta định nghĩa π như là
23q và định nghĩa hàm cotang bằng phương trình 1cot ( )z zπ π ε= . Các hàm số
vòng khác có thể được quy về 1ε . Nếu ta nhớ lại công thức
1 1
cot cot
sin 2 2 2
z z
z
π+ 
= − 
 
thì trong lý thuyết Eisenstein phương trình
1 1
1 1
sin 2 2 2
z z
z
π
ε ε
π
 +    
= −    
    
như là định nghĩa của hàm sin. Khai triển phân thức từng phần ta có
1 2 1 2 ( 1)
sin 2 2 2 1 2
v
e e
z z v z v z v
π
π
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
−
= − =
+ + + +
∑ ∑ ∑
Bởi vì
1
cos sin
2
z zπ π
 
= + 
 
, ta có thể xem
1 1
1 2 1 2 3
cos 2 4 4
z z
z
π
ε ε
π
 + +    
= −    
    
như là định nghĩa của hàm cos.
Hàm mũ cũng có thể được định nghĩa theo nghĩa của 1ε . Với hàm:
( ) 1
1
( ) 1
( )
( ) 1
z i iz
e z M
z i iz
ε π π
ε π π
+ + +
= = ∈
− − +



do 2 2
1 1ε ε π′− = + , ta được:
( )
( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 1
( ) ( )
2 2 2 ( )
( ) ( )
z z
e z i i ie z
z i z i
ε ε π
π π π
ε π ε π
′ +
′ =− = =
− −
.
Khi ( )0 1e = , theo định lý 1.12 và định lý 2.5 cho chúng ta biết hàm ( )e z vừa
được giới thiệu thực ra chính là hàm exp(2 )izπ .

47. KẾT LUẬN
Trên cơ sở các tài liệu tham khảo, tôi đã đọc, đã học và viết thành khóa luận
này với đề tài “Hàm phân hình và sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình”.
Luận văn trình bày ngắn gọn về tập hợp các hàm phân hình với cấu trúc đại số và
tô pô của nó. Luận văn trình bày khái niệm sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình,
công thức chuỗi hàm phân hình dạng bình phương nghịch đảo (công thức Euler),
mối liên hệ giữa các số Bernoulli và chuỗi Eisenstein, phác họa lý thuyết hàm
lượng giác theo hàm Eisenstein . Trong khi tiến hành khóa luận tôi đã học được rất
nhiều kiến thức thật sự bổ ích cho bản thân. Luận văn không những cung cấp cho
tôi những kiến thức mới lạ mà còn giúp tôi hiểu sâu hơn về các kiến thức cũ.
Lý thuyết hàm phân hình thật sự rất hay và rộng nên còn nhiều vấn đề về
hàm phân hình tôi chưa tìm hiểu hết chẳng hạn như sự tương đương bảo giác qua
hàm phân hình, lý thuyết Nevanlinna…. Mong rằng sau này tôi có dịp được tiếp
tục nghiên cứu.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được thầy hướng dẫn tận tình nhưng vì
thời gian có hạn nên khóa luận còn nhiều thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp
ý của quý thầy cô và các bạn sinh viên.
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12-2011
NGUYỄN CƠ THẠCH

48. TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
1. Đậu Thế Cấp, Hàm phức và phép tính toán tử, NXB Đại học quốc
gia TP.Hồ Chí Minh, 2006.
2. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB Đại học quốc
gia Hà Nội, 2001.
TIẾNG ANH
3. R.Remmert, Theory of complex Funtions, Springer-Verlag, New
york, 1991.(p.220-222, p.315-340)
4. The ring of entire functions, Jonas Bjermo U.U.D.M Project Report
2004:15.(p.3-9)