Matematika Kelas 7 Bab 2 Himpunan.pptx

1. Matematika
MEDIA MENGAJAR
UNTUK SMP/MTs KELAS X

2. HIMPUNAN
Sumber:

3. PETA KONSEP
Himpunan
Pengertian
Himpunan
Notasi dan Penyajian
Kesamaan Himpunan
Himpunan Berhingga, Himpunan
Kosong, dan Himpunan Tak hingga
Himpunan Bagian, Himpunan
Semesta, dan Himpunan Kuasa
Penyajian Himpunan
dengan Diagram Venn
dan Penerapannya
dalam Pemecahan
Masalah
Masalah Kontekstual
Operasi Biner pada Himpunan
Operasi Uner pada Himpunan
Pemecahan Masalah Menggunakan Himpunan

4. Observasi
Gambar di atas memperlihatkan buah-buahan yang dijual di pasar atau supermarket. Apel, anggur,
dan stroberi dikelompokkan dalam satu rak. Wortel, brokoli, paprika, dan bayam juga
dikelompokkan dalam satu rak. Pengelompokan tersebut disebut dengan himpunan. Himpunan
adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan
(diberi batasan) dengan jelas. Kumpulan apel, anggur, dan stroberi yang diletakkan dalam satu rak
disebut dengan himpunan buah-buahan. Sementara itu, kumpulan wortel, brokoli, paprika, dan
bayam yang diletakkan dalam satu rak disebut dengan himpunan sayur-sayuran.

5. 2.1 Pengertian Himpunan
A. Pengertian
Berikut adalah definisi himpunan:
Dalam kehidupan sehari-hari, kita tentu
pernah menjumpai hal-hal berikut:
• sekeranjang jeruk,
• sesisir pisang,
• sekumpulan semut hitam.
Sementara pada matematika kita jumpai:
• kumpulan bilangan bulat positif maksimal
10, bilangan genap antara 20 dan 30.
• Contoh-contoh seperti itu, jika kita cermati
ternyata memiliki kesamaan. Kesamaan
yang dimaksud adalah semua objek yang
dihimpun dalam kumpulan tersebut
memiliki ciri-ciri yang jelas.

6. 2.1 Pengertian Himpunan
B. Notasi dan Cara Penyajian Himpunan
Salah satu cara untuk menuliskan sebuah himpunan ialah dengan
menggunakan kata-kata.
a. A adalah himpunan nama-nama hari dalam seminggu.
b. B adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahun.
c. C adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5.
d. D adalah himpunan bilangan asli kurang dari 1.000.
1. Menulis Himpunan dengan Menggunakan Kata-Kata

7. 2.1 Pengertian Himpunan
B. Notasi dan Cara Penyajian Himpunan
2. Menulis Himpunan dengan Cara Mendaftar
Cara lain untuk menuliskan sebuah himpunan ialah dengan mendaftar anggota-anggotanya di antara
dua tanda kurung kurawal.
a. A adalah himpunan nama-nama hari dalam seminggu. Penulisan himpunan A dilakukan seperti
berikut.
A = {Minggu, Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu}
b. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari atau sama dengan 5.
Penulisan himpunan B ditulis seperti berikut.
B = {1, 2, 3, 4, 5}
Bagaimana cara menuliskan suatu himpunan jika jumlah anggotanya sangat banyak
dan terhingga? Penulisannya dilakukan dengan cara menuliskan minimal empat
anggota pertama. Lalu, dilanjutkan dengan tanda titik sebanyak tiga dan diakhiri
dengan menulis anggota terakhir dari himpunan tersebut.

8. ContohSoal
Tuliskan himpunan C dengan cara mendaftar jika diketahui C adalah himpunan
bilangan asli dari 1 sampai dengan 1.000.
Jawab:
Dengan cara mendaftar, cara penulisannya ialah seperti berikut.
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 1.000}
Dalam bentuk paling sederhana, cukup menuliskan empat anggota pertama dari
himpunan C, dilanjutkan dengan tiga titik dan diakhiri dengan penulisan anggota terakhir.
C = {1, 2, 3, 4, . . . , 1.000}
Secara umum, aturan penulisan himpunan dengan cara mendaftar dilakukan dengan cara berikut.

9. 2.1 Pengertian Himpunan
B. Notasi dan Cara Penyajian Himpunan
3. Menulis Himpunan dengan Notasi Pembentuk
Himpunan
ContohSoal
Tuliskan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan.
E adalah himpunan bilangan bulat positif kurang dari 4
Jawab:
Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan, cara penulisannya adalah
E = {x | x bilangan bulat positif kurang dari 4}
dibaca “E adalah himpunan semua x dengan syarat x bilangan bulat positif kurang dari 4“.
Cara lain untuk menulis sebuah himpunan adalah dengan
menggunakan notasi pembentuk himpunan.

10. 2.1 Pengertian Himpunan
C. Kesamaan Himpunan
Jika ada pertanyaan seperti “mungkinkah ada dua himpunan yang sama?“ atau “mungkinkah ada
dua himpunan yang sama bahkan jika lebih dari dua himpunan?“. Secara umum, dua himpunan
atau lebih dikatakan sama, jika himpunan-himpunan tersebut memenuhi definisi berikut.

11. ContohSoal
Himpunan A dan B masing-masing adalah A = {h, a, s, i, m} dan B = {h, i, s, a, m}.
Apa yang dapat kamu simpulkan tentang himpunan tersebut?
Kerjakan Latihan 1 halaman 79 – 80
Jawab:
Karena urutan penulisan elemen pada himpunan tidak harus urut, akibatnya jika elemen-
elemen dalam himpunan B dibuat sama urutannya dengan himpunan A, maka himpunan
B = {h, i, s, a, m} akan menjadi B = {h, a, s, i, m}. Sebaliknya, jika elemen-elemen dalam
himpunan A = {h, a, s, i, m} dibuat sama urutannya dengan himpunan
B = {h, i, s, a, m}, maka himpunan A akan menjadi A = {h, i, s, a, m}. Jadi,
A = B

12. 2.1 Pengertian Himpunan
D. Himpunan Berhingga, Himpunan Kosong, dan Himpunan Tak Hingga
Pada himpunan, jika banyak anggotanya dapat dihitung maka himpunan itu disebut himpunan
berhingga. Jika tidak mempunyai anggota maka himpunan itu disebut himpunan kosong. Jika
anggotanya banyak dan tak terhitung maka himpunan itu disebut himpunan tak hingga. Sementara itu,
jika suatu himpunan berupa himpunan kosong, maka banyaknya anggota himpunan itu adalah 0 (nol).
Kerjakan Latihan 2
halaman 81 – 82

13. 2.1 Pengertian Himpunan
E. Himpunan Bagian, Himpunan Semesta, dan Himpunan Kuasa
1. Himpunan Bagian
Misalkan diketahui himpunan-himpunan seperti berikut.
A = {a}, B = {a, b}, dan C = {a, b, c}.
A ⊂ B ⊂ C dibaca “A termuat dalam B dan B termuat dalam C“ atau “A adalah himpunan bagian
dari B dan B adalah himpunan bagian dari C“.

14. ContohSoal
Tuliskan semua himpunan bagian dari H = {a, b, c}.
Jawab:
Himpunan-himpunan bagian dari himpunan H = {a, b, c},
terdiri dari:
a. Himpunan bagian yang banyak anggotanya 0 (tak memiliki anggota) adalah ∅ atau { }.
b. Himpunan bagian yang beranggotakan 1 elemen adalah {a}, {b}, {c}.
c. Himpunan bagian yang beranggotakan 2 elemen adalah {a, b}, {a, c}, {b, c}.
d. Himpunan bagian yang beranggotakan 3 elemen adalah {a, b, c}.
Jadi, himpunan bagian dari H = {a, b, c} adalah ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, dan
{a, b, c}.

15. 2.1 Pengertian Himpunan
E. Himpunan Bagian, Himpunan Semesta, dan Himpunan Kuasa
2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta merupakan kebalikan dari himpunan bagian. Contohnya, H = {a, b, c, d, e}.
Karena banyaknya anggota H adalah 5 elemen, maka n(H) = n = 5. Jadi, total banyaknya himpunan
bagian dari H adalah n(H) = 2n = 25 = 32. Himpunan semesta dari ke-32 himpunan bagian tersebut
adalah himpunan bagian terbesarnya.
Himpunan semesta pada umumnya ditulis dengan lambing S, sehingga semesta dari semua himpunan
bagian dari H adalah himpunan S yang merupakan himpunan H itu sendiri, yakni
S = H = {a, b, c, d, e}. Secara formal (matematika), definisi dari himpunan semesta adalah sebagai
berikut.

16. 2.1 Pengertian Himpunan
E. Himpunan Bagian, Himpunan Semesta, dan Himpunan Kuasa
3. Himpunan Kuasa
Misalkan himpunan semesta S beranggotakan tiga elemen, yakni S = {a, b, c}. “Bagaimana cara
menentukan semua himpunan bagian dari himpunan S?“.
Selidiki bahwa himpunan bagian dari S yang beranggotakan nol elemen adalah ∅. Himpunan bagian
dari S yang beranggotakan satu elemen adalah {a}, {b}, {c}. Selanjutnya, himpunan bagian dari S yang
beranggotakan dua elemen adalah {a, b}, {a, c}, {b, c}. Terakhir, himpunan bagian dari S yang
beranggotakan 3 elemen adalah S itu sendiri yakni S = {a, b, c}.
Kini, dari semua himpunan bagian S yang terdiri atas Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b},{a, c}, {b, c}, dan {a, b, c} kita
bentuk himpunan baru berupa:
Jadi, HS disebut himpunan kuasa dari S yang himpunan terbesarnya adalah S = {a, b, c}.
Kerjakan Latihan 3 halaman 88 – 89

17. 2.2 Penyajian Himpunan dengan Diagram Venn dan
Penerapannya dalam Pemecahan Masalah
A. Masalah Kontekstual (Terkait Banyak Anggota Himpunan)
Untuk memudahkan pemecahan masalah, himpunan-himpunan yang ada dapat disajikan dalam bentuk
diagram Venn. Dengan cara penyajian tersebut, menjadi lebih mudah bagi kita dalam membayangkan
cara pemecahannya. Selain itu, kita juga dapat mengetahui lebih lanjut tentang hubungan (relasi) yang
dapat terjadi antara himpunan-himpunan tersebut.
Pada penyajian himpunan menggunakan diagram Venn, himpunan semesta umumnya digambarkan
menggunakan lambang persegi panjang. Sementara himpunan-himpunan bagian yang ada di dalamnya
digambarkan menggunakan bentuk lingkaran atau elips. Tujuannya adalah untuk memudahkan dalam
memahami himpunan dan hubungan (relasi) antara himpunan yang satu dengan himpunan lainnya.

18. 2.2 Penyajian Himpunan dengan Diagram Venn dan
Penerapannya dalam Pemecahan Masalah
B. Operasi Biner pada Himpunan
Operasi biner adalah operasi yang dilakukan antara dua unsur sehingga dihasilkan unsur tunggal. Pada
himpunan, operasi biner yang dimaksud terdiri dari irisan (intersection), gabungan (union), selisih
(difference), dan perkalian (multiplication). Sementara operasi uner adalah operasi yang dilakukan
terhadap sebuah unsur sehingga dihasilkan unsur tunggal.

19. 2.2 Penyajian Himpunan dengan Diagram Venn dan
Penerapannya dalam Pemecahan Masalah
B. Operasi Biner pada Himpunan

20. ContohSoal
Diketahui A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, d, e, f }. Gambarkan diagram Venn dari kedua
himpunan tersebut, kemudian tentukan himpunan-himpunan A ∩ B, A ∪ B, dan A – B.
Gambarkan juga diagram Venn dari setiap himpunan tersebut.
Kerjakan Latihan 12 halaman 63 – 64
Jawab:
Perhatikan bahwa himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, d, e, f} saling beririsan. Irisannya
adalah {b, d, e}, sehingga diagram Venn dari himpunan A dan B berpotongan. Dengan
demikian, setiap diagram Venn dari himpunan A ∩ B, A ∪ B, dan A – B adalah sebagai
berikut.
Berdasarkan diagram Venn tersebut, hasil operasi biner dari himpunan A dan B adalah:
A ∩ B = {b, d, e}, A ∪ B = {a, b, c, d, e, f }, dan A – B = {a, c}.

21. 2.2 Penyajian Himpunan dengan Diagram Venn
dan Penerapannya dalam Pemecahan Masalah
C. Operasi Uner pada Himpunan
Pada himpunan, satu-satunya operasi yang berupa operasi uner adalah operasi komplemen (ingkaran)
dari suatu himpunan. Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang semua elemennya anggota
S tetapi bukan anggota A, ditulis dengan lambang Ac atau A’.

22. ContohSoal
Diketahui semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A dan B adalah himpunan-himpunan dalam semesta S
dengan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6, 7}. Gambarkan diagram Venn yang memperlihatkan
hubungan antara ketiga himpunan S, A, dan B. Berdasarkan diagram Venn tersebut, tuliskan
dengan cara mendaftar himpunan setiap irisan, gabungan, dan selisih.
Kerjakan Latihan 4 halaman 94 – 95
Jawab:
Himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, d, e, f} saling beririsan. Irisannya adalah {b, d, e}, sehingga
diagram Venn dari himpunan A dan B berpotongan. Dengan demikian, setiap diagram Venn dari
himpunan A ∩ B, A ∪ B, dan A – B adalah sebagai berikut.
Diagram Venn yang memperlihatkan hubungan antara ketiga himpunan S, A, dan
B tersebut adalah

23. 2.2 Penyajian Himpunan dengan Diagram Venn dan
Penerapannya dalam Pemecahan Masalah
D. Pemecahan Masalah Menggunakan Himpunan
Untuk setiap dua himpunan A dan B, berlaku:
Rumus di atas dikenal sebagai rumus umum banyak anggota dua himpunan. Rumus tersebut berlaku
secara umum, artinya berlaku untuk semua relasi antara dua himpunan. Dengan menggunakan rumus
tersebut memungkinkan kita untuk menjawab masalah kontekstual yang diberikan di awal tentang
penerapan himpunan dalam pemecahan masalah.

24. Kerjakan Latihan 5 halaman 98 – 100 Kerjakan Latihan Ulangan Bab 2
halaman 101 – 106
ContohSoal
Pada sebuah wilayah RT (Rukun Tetangga) yang terdiri dari 16 KK (Kepala Keluarga) terdapat 10
KK yang memiliki sepeda motor, 6 KK memiliki mobil, dan 3 KK tidak memiliki sepeda motor
maupun mobil. Masalah yang ditanyakan adalah berapa KK yang memiliki mobil sekaligus
memiliki sepeda motor?
Jawab:
S = himpunan seluruh KK, maka n(S) = 16, A = himpunan KK pemilik sepeda motor, maka
n(A) = 10, dan B = himpunan KK pemilik mobil, maka n(B) = 6. Sebanyak 3 KK tidak memiliki
sepeda motor maupun mobil, maka yang dimaksud adalah n(A ∪ B)c = 3.
Karena n(A ∪ B)c = 3, maka n(A ∪ B) = n(S) – n(A ∪ B)c = 16 – 3 = 13
Misalkan n(A ∩ B) = x, maka n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
13 = 10 + 6 – x
x = 10 + 6 – 13 = 3
Jadi, banyaknya KK yang memiliki sepeda motor dan mobil ada 3 KK.