Bab 1 membahas sistem bilangan real, termasuk definisi bilangan bulat, rasional, dan real beserta sifat-sifatnya seperti komutatif, asosiatif, dan distributif. Bab ini juga menjelaskan interval dalam bilangan real seperti selang tertutup, terbuka, dan setengah terbuka.
Bab 2 membahas supremum dan infimum sebagai batas atas dan bawah suatu himpunan serta contoh perhitungannya.
Bab 3 memfokuskan pada pertid
4. Sistem Bilangan
Himpunan bilangan asli
N = {1, 2, 3, 4, }
Himpunan bilangan bulat
I = { , –2, –1, 0, 1, 2, }
Himpunan bilangan rasional
Q = { | p, q ∈ I, q≠0}
N ⊂ I ⊂ Q ⊂ R
6. Sifat-Sifat Bilangan Real
• Komutatif (pertukaran) terhadap penjumlahan dan perkalian
x + y = y + x dan xy = yx
• Asosiatif (pengelompokan) terhadap penjumlahan dan perkalian
(x+y)+z = x+(y+z) dan (xy)z = x(yz)
• Distributif perkalian terhadap penjumlahan
(x+y)z = xz + yz
• Memiliki unsur identitas
– terhadap operasi jumlah yaitu 0 sehingga x + 0 = x ,
– terhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x . 1 = x .
• Mempunyai invers
– terhadap penjumlahan yaitu –x, sehingga x + (–x) = 0
– terhadap perkalian yaitu 1/x sehingga x . 1/x = 1.
7. Sifat-Sifat Urutan Bilangan Real
• Trikotomi
Jika x dan y bilangan real, maka berlaku x < y
atau x > y atau x = y.
• Transitif
Jika x < y dan y < z, maka x < z
• Penambahan
x < y ⇔ x + z < y + z
• Perkalian
x < y ⇔ xz < yz, untuk z positif
x < y ⇔ xz > yz, untuk z negatif
8. Sistem Bilangan Real
Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan
sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan
sistem bilangan real
Penulisan himpunan dalam bentuk interval / selang:
{x|a ≤ x ≤ b, x∈R} = [a , b] disebut selang tutup
{x|a < x < b, x∈ R } = (a , b) disebut selang buka
{x|a ≤ x < b, x∈ R } = [a , b) disebut selang setengah buka atau selang
setengah tutup
{x|a < x ≤ b, x∈ R } = (a , b] disebut selang setengah buka atau selang
setengah tutup
{x|x ≥ b, x∈ R } = [b , ∞), disebut selang tak terbatas
{x|x < a, x∈ R } = (–∞ , a], disebut selang tak terbatas
10. Unsur Maksimum dan Minimum
Definisi
• a ∈ A disebut unsur maksimum dari himpunan A,
apabila untuk semua x ∈ A berlaku x ≤ a.
• b ∈ A disebut unsur minimum dari himpunan A,
apabila untuk semua x ∈ A berlaku x ≥ b.
Contoh
A = (3,7}
Unsur Maksimum A = 7
Unsur Minimum A tidak ada
11. Batas Atas dan Batas Bawah
Definisi
• p ∈ R disebut batas atas dari himpunan A
apabila x ∈ A berlaku x ≤ p
• q ∈ R disebut batas bawah dari himpunan A
apabila x ∈ A berlaku x ≥ q
Contoh
B = (3,7]
batas atas B adalah p ≥ 7
batas bawah B adalah q ≤ 3
12. Supremum dan Infimum
Definisi Supremum
u ∈ R disebut supremum dari himpunan A,
ditulis sup A = u apabila
– u batas atas dari A
– jika t batas atas lain dari A, maka u < t .
Definisi Infimum
v ∈ R disebut infimum dari himpunan A,
ditulis inf A = v apabila
– v batas bawah dari A
– jika s batas bawah lain dari A, maka v > s .
13. Supremum dan Infimum
Contoh
• Untuk A = {1, 2, 3, 4, 5},
maka sup A = 5 dan inf A = 1
• Untuk B = (3,7] ,
maka sup A = 7 dan inf A = 3
Latihan
Tentukan unsur maksimum, unsur minimum, batas atas, batas
bawah, supremum, dan infimum dari himpunan berikut
16. Catatan
pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi
oleh suatu variabel karena variabel tersebut bisa
bernilai positif atau negatif.
Pertaksamaan akan berubah tanda apabila variabel
pengali/pembagi bernilai negatif