Recommended
More Related Content
Similar to BARISAN ARITMATIKA-1.docx
Similar to BARISAN ARITMATIKA-1.docx (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
BARISAN ARITMATIKA-1.docx
- 1. 1 DAFTAR ISI Halaman Judul Daftar Isi ............................................................................................................................. 1 BAB 2 BARISAN DAN DERET ...................................................................................... 2 A. BARISAN ..................................................................................................................... 2 1. BARISAN ARITMATIKA ............................................................................................ 2 2. BARISAN GEOMETRI ................................................................................................ 4 B. DERET ......................................................................................................................... 5 1. DERET ARITMATIKA ................................................................................................ 5 2. DERET GEOMETRI ..................................................................................................... 8 3. DERET GEOMETRI TAK HINGGA ........................................................................... 9 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 12
- 2. 2 BAB 2 BARISAN DAN DERET A. BARISAN 1. BARISAN ARITMATIKA Seperti namanya barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki beda yang sama sehingga menghasilkan pola tetap. Contoh bentuk barisan aritmatika bisa kita lihat di bawah ini: Nah, dari contoh di atas bisa kita lihat bahwa suatu barisan aritmatika akan berbentuk seperti ini: U1, U1 +b, U1 +2b, U1 +3b, …… sampai n suku. Suku pertama adalah U1 atau a, selisihnya adalah b, dan n adalah jumlah suku. RUMUS BARISAN ARITMATIKA Ada beberapa rumus yang terkait dengan barisan aritmatika yang bisa digunakan untuk menghitung suku ke-n, jumlah, atau cara mencari beda (b) dari suatu barisan aritmatika. U1 = a = suku pertama (ke-1) dalam barisan aritmatika b = beda n = suku ke- Nah, setelah memahami cara mencari suku ke-n dalam suatu barisan aritmatika,kita juga bisa mencari beda (b) pada barisan aritmatika dengan menggunakan rumus berikut ini: Rumus barisan aritmatika bisa kita lihat di bawah ini: Un = suku ke-n
- 3. 3 Contoh Soal Barisan Aritmatika dan Pembahasan Setelah mengetahui mengenai berbagai rumus barisan aritmatika, berikut ini adalah beberapa contoh soal barisan aritmatika lengkap dengan pembahasannya. Contoh Soal 1 Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah … Diketahui: a = 7 b = –2 Ditanya: Jawab: = 7 + 39 . (-2) = 7 + (-78) = – 71 Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71. Contoh Soal 2 Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah … Diketahui: a = 5 b = –7 Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut ? Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah Jawab:
- 4. 4 2. BARISAN GEOMETRI Geometri yaitu barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan yaitu bernilai konstan, sebagai tumpuan contohnya a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Kaprikornus hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r). Misalkan kita punya sebuah deret geometri U1, U2, U3, …, Un-1, Un Maka: U2/U1 = U3/U2=U4/U3 = … Un/Un-1 = r (konstan) lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? Coba ambil contoh U3/U2 = r maka U3 = U2. r = a.r.r = ar2 U4/U3 = r maka U4 = U3. r = a.r2.r = ar3 Sejalan dengan Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = arn-2.r = arn-2+1 = arn-1. Jadi dari klarifikasi di atas kita sanggup menyimpulkan. Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan Un = arn-1 dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri. CONTOH SOAL 1 Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, …. Jawab : r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio a = 1/8 Un = arn-1 = 1/8 2(10-1) = 1/8 . 29 = 2-3.29 = 26 = 64 CONTOH SOAL 2 Berikut ini adalah barisan bilangan geometri 2, 8, 32, ... Maka, tentukan: U5 Diketahui : Suku pertama a = 2 Rasio r = 8/2 = 32/8 = 4 Ditanya : Nilai U5? Un = 2.4^(n-1) U5 = 2.4^(5-1) = 2.4^4 U5 = 2.256 U5 = 512
- 5. 5 Jadi, nilai suku ke-5 dari barisan geometri di atas adalah 512. B. DERET 1. DERET ARITMATIKA Deret aritmatika sebenernya masih punya hubungan erat dengan barisan aritmatika. Banyak soal-soal deret aritmatika juga yang bisa kita pecahkan menggunakan kombinasi rumus barisan aritmatika. Pada dasarnya, pengertian deret aritmatika adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan. RUMUS DERET ARITMATIKA Nilai suku pertama dilambangkan dengan a. Sedangkan, selisih atau beda antara nilai sukusuku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan arimatika dapat dihitung dengan rumus berikut. Sn = jumlah n suku pertama U1 = a = suku pertama (ke-1) dalam barisan aritmatika b = beda n = banyak suku dalam barisan aritmatika Nah, di awal tadi kita sudah tau untuk mengetahui nilai suku ke-n (Un) dari suatu barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus berikut ini. Lalu JIKA kita ingin menghitung deret aritmatika yang merupakan penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan aritmatika kita dapat mensubstitusi rumus di atas ke dalam rumus deret aritmatika. Hasilnya akan seperti ini:
- 6. 6 CONTOH SOAL DERET ARITMATIKA DAN PEMBAHASAN Contoh Soal 1 Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + 5 Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika: Pembahasan Lengkap 437 adalah … Diketahui: a = 2 b = 2 Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ? Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah Contoh Soal 2 Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah … Jawab: Sebelum kita mencari nilai dari S15, kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan substitusi dari persamaan U3 dan U6 Jawab: Ditanya :
- 7. 7 Sebelumnya mari ingat lagi bahwa sehingga U3 dan U6 dapat ditulis menjadi: Eliminasi a menggunakan persamaan i dan ii. a + 2b = 24 a + 5b = 36 – -3b = -12 b = 4 Lalu, substitusikan nilai b = 4 ke salah satu persamaan (contoh persamaan i). a + 2b = 24 a + 2 . 4 = 24 a + 8 = 24 a= 24 – 8 a = 16 Setelah mendapatkan nilai a dan b, baru kita bisa mencari nilai dari Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660 . . .(i) . . .(ii)
- 8. 8 2. DERET GEOMETRI Sementara itu deret geometri yaitu sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Contoh Soal Deret Geometri I Diketahui suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 2. Tuliskan barisan dan deret geometrinya. Jawab : Barisan geometrinya adalah 5, 10, 20, 40, 80, 160, Un Deret geometrinya adalah 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 +...+L/n Rumus jumlah suku-suku deret dapat dinyatakan sebagai berikut. CONTOH SOAL 1 Carilah jumlah tujuh suku pertama pada deret geometri 14 + 12 + 36 + 108 ... Diketahui a = 4danr = 3 Ditanya: S 7? Jawab: S7 = 4(rn - 1) / (r - 1) S7 = 4(37 - 1) / (3 - 1) S7 = 4372 Jadi jumlah 7 suku pertama dalam deret tersebut adalah 4372. CONTOH SOAL 2 Tentukan jumlah deret geometri berikut. ini, 4 + 2/1 + 1/2 + 1/4 . Diketahui a = 4 dan r = 1/2 Ditanya: Sn? Jawab: Sn = a / (1 - r) = 4 / (1 - 1/2) Sn = 4 / (1/2) = 4.2 Sn = 8
- 9. 9 3. DERET GEOMETRI TAK HINGGA Ketika diberikan suatu barisan geometri U1, U2, U3, ... , Un, maka deret geometrinya adalah U1 + U2 + U3 + ... + Un. Secara umum, U1 adalah a atau angka awal pada suatu barisan geometri. Lalu, U2 adalah ar, dengan r yang merupakan rasio. Misalnya, pada suatu barisan geometri 4, 12, 36, dan seterusnya. Rasio pada barisan tersebut adalah 12/4 = 3 atau 36/12 = 3. Pada sub-bab deret geometri, terdapat deret geometri berhingga dan deret geometri tak berhingga. Kali ini, kita akan belajar mengenai rumus rasio deret geometri tak hingga di bawah ini: Mengutip buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, deret geometri tak hingga merupakan suatu deret geometri yang memiliki suku berjumlah tak hingga. Secara matematis, rumus jumlah deret geometri tak hingga dapat ditulis sebagai berikut: Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Berdasarkan nilai r dan n = ∞, rumus deret geometri tak hingga digolongkan menjadi divergen dan konvergen. 1. Rumus Deret Geometri Tak Hingga Divergen Deret divergen diartikan sebagai suatu deret yang sifatnya menyebar, yaitu deret yang tidak memiliki kecenderungan pada suatu nilai tertentu. Sehingga, deret divergen merupakan deret yang tidak memiliki limit. Jadi, rentang rasio pada deret divergen adalah r > 1 dan r < -1. Untuk r > 1 dan n = ∞, maka r^n = ∞. Untuk r < –1 dan n = ∞, maka r^n = –∞. Melihat contoh di atas, maka dapat diperoleh rumus deret geometri divergen adalah:
- 10. 10 Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Artinya, seluruh deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 akan mendapatkan hasil ± ∞. 2. Rumus Deret Geometri Tak Hingga Konvergen Deret geometri konvergen merupakan deret geometri tak hingga yang memiliki rentang antara –1 < r < 1. Artinya, deret geometri ini memiliki limit. Sehingga, nilai rasio akan semakin kecil dan mendekati nol. Jika n = ∞ hasil r^n = 0. Maka, rumus deret geometri konvergen dapat diperoleh menjadi: Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Sekarang, mari kita mengerjakan contoh soal Matematika untuk pembuktian rumus deret geometri tak hingga berikut ini: Contoh soal 1 Berapakah hasil deret geometri berikut ini? 2 + 2/3 + 2/9 + ... Penyelesaian: a = 2 dan r = 1/3. Artinya, r berada dalam rentang -1 < r < 1, sehingga kita menggunakan rumus deret geometri konvergen. S∞ = a / (1 - r) S∞ = 2 / (1 - (1/3)) S∞ = 3 Jadi, hasil deret geometri tak hingga adalah 3.
- 11. 11 Contoh soal 2 Hitunglah deret geometri di bawah ini! 1, -2, 4, -8, .... Penyelesaian: a = 1 dan r = -2. Artinya r < -1, maka r^n = –∞. S∞ = (a/(1+2)) - ((a-∞)/(1+2)) S∞ = (a/3) - (-∞/3) S∞ = (a/3) - (-∞) S∞ = ∞ Jadi, hasil deret geometri tersebetu adalah ∞.