PERANGKATGURU.COM/GURU BY ELI PRIYATNA

1. DND-2006 http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif

2. DND-2006
Apakah astrofisika itu ?
 Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/benda-
benda langit
Informasi yang diterima Cahaya (gelombang
elektromagnet)
Pancaran gelombang elektromagnet dapat dibagi dalam
beberapa jenis, bergantung pada panjang gelombangnya
(λ)
1. Pancaran gelombang radio, dengan λ antara
beberapa milimeter sampai 20 meter
2. Pancaran gelombang inframerah, dengan λ ≈ 7500 Å
hingga sekitar 1 mm (1 Å = 1 Angstrom = 10-8
cm)

3. DND-2006
3. Pancaran gelombang optik atau pancaran kasatmata
dengan λ sekitar 3 800Å sampai 7 500 Å
 merah oranye λ : 6 000 – 6 300 Å
 oranye λ : 5 900 – 6 000 Å
 kuning λ : 5 700 – 5 900 Å
 kuning hijau λ : 5 500 – 5 700 Å
 hijau λ : 5 100 – 5 500 Å
 hijau biru λ : 4 800 – 5 100 Å
 biru λ : 4 500 – 4 800 Å
 biru ungu λ : 4 200 – 4 500 Å
 ungu λ : 3 800 – 4 200 Å
Panjang gelombang optik terbagi dlm beraneka warna:
 merah λ : 6 300 – 7 500 Å

4. DND-2006
4. Pancaran gelombang ultraviolet, sinar X dan sinar γ
mempunyai λ < 3 500 Å
http://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/spectra.html
Pancaran gelombang elektromagnet mulai dari sinar
Gamma sampai dengan pancaran radio

5. DND-2006
Ketinggian
Sinar-X Sinar GammaUV
KasatMata
Infra-merahGel.MikroRadio
Permukaan Laut
ozon (O3)
molekul (H2O, CO2)
molekul ,atom, inti atom
teleskop optik
satelit balon, satelitbalon, satelitteleskop radio
http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.html
Jendela Optik
Jendela Radio
Pancaran gelombang yang dapat menembus atmosfer Bumi adalah
panjang gelombang kasatmata dan panjang gelombang radio

6. DND-2006
Dengan mengamati pancaran gelombang elektromagnet
kita dapat mempelajari beberapa hal yaitu,
 Arah pancaran. Dari pengamatan kita dapat menga-
mati letak dan gerak benda yang memancarkannya
 Kuantitas pancaran. Kita bisa mengukur kuat atau ke-
cerahan pancaran
 Kualitas pancaran. Dalam hal ini kita bisa mempe-
lajari warna, spektrum maupun polarisasinya

7. DND-2006

8. DND-2006
Buah durian jatuh
ke bumi
Antara durian dan
bumi terjadi gaya
tarik gravitasi
Bulan bergerak
mengedari bumi
Antara bumi dan
bulan terjadi gaya
tarik gravitasi
Hukum Gravitasi Newton
Sebagai hukum yang mengatur
gerak dalam alam semesta
Apakah ada
kesamaan
?
ada !

9. DND-2006
F F
Menurut Newton,
Antara dua benda yang massanya masing-
masing m1 dan m2 dan jarak antara
keduanya adalah d akan terjadi gaya tarik
gravitasi yang besarnya,
d
G = tetapan gravitasi
= 6,67 x 10-8
dyne cm2
/g2
bersifat tarik menarik
gayam1 m2
Hukum Gravitasi Newton
. . . . . . . . . (1-
1)
G m1 m2
F = −
d2
Sir Isaac Newton
(1643 – 1727)

10. DND-2006
Menentukan massa Bumi
Semua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumi
akan bergerak dengan percepatan g = 980,6 cm/s2
Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar,
F = − mg
percepatan
massa bendagaya gravitasi
Dari persamaan (1-1) :
. . . . . . . . . . . . . . . . . (1-2)
. . . . . . . (1-3)
radius Bumi
massa Bumi
G m1 m2
F = −
d2
F = − G M⊕ m
R⊕
2

11. DND-2006
Dari pers. (1-2) :
R⊕
2
G M⊕
g =
dan pers. (1-3) :
F = − mg
G M⊕ mF = −
R⊕
2
. . . (1-4)
Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km
Radius bumi di kutub : b = 6356,8 km
a
b
R⊕
Jika bumi berbentuk bundar sempurna maka
volume Bumi adalah,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-5)
. . . . . . . . . (1-6)
4 π
3
Volume bumi = (a2
b)
4 π
3
V⊕ = R⊕
3

12. DND-2006
Dari pers. (1-5) :
= 6371,1 km = 6,37 x 108
cm
R⊕ = (a2
b)1/3
4 π
3
V = (a2
b)
4 π
3
V = R⊕
3Dari pers. (1-6) :
R⊕ = [(6378,2 )2
(6356,8)]1/3
Radius bumi rata –rata :
Masukan harga g, G dan R⊕
ke pers (1-4) :
G
g R⊕
2
M⊕ =
(980,6)(6,37 x 108
)2
(6,67 x 10-8
)
= = 5,98 x 1027
gr
R⊕
2
G M⊕
g =
diperoleh,

13. DND-2006
Dari pers. (1-6) :
dan massa jenis bumi rata-rata adalah,
M⊕
V⊕
ρ⊕ = =
5,98 x 1027
1,08 x 1027
= 5,52 gr/cm3
V⊕ = (6,37 x 108
)3
4 π
3
= 1,08 x 1027
cm3
diperoleh volume Bumi,
4 π
3
V⊕ = R⊕
3

14. DND-2006
Gerak Bulan Mengedari Bumi
Mengikuti hukum
Newton
BumiBulan
Karena M ≈ 1/100 M⊕, maka massa bulan dapat
diabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah,
d
a
v
jarak Bumi - Bulan
. . . . . . . . . . . . . (1-7)
d 2
G M⊕
a =

15. DND-2006
Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah P
maka,
Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d,
dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, maka
percepatan sentripetal Bulan adalah,
a = v2
/d . . . . . . . . . . . . . . . (1-
8)
Subtitusikan pers. (1-8), ke pers. (1-7) :
d 2
G M⊕
a =
G M⊕
d
=
d 2
v2
diperoleh, . . . . . . . . . . . . . . . (1-9)
. . . . . . . . . . . . . . . (1-10)
P
2π d
v =

16. DND-2006
Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) :
ke pers. (1-10) :
diperoleh, . . . . . . . . . . . . . (1-11)
d 2
G M⊕
d
=
v2
P
2π d
v =
d3
P2
G M⊕
4π 2
=
Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulan
mengelilingi Bumi adalah,
P = 27,3 hari = 2,36 x 106
detik
Jarak Bum1-Bulan adalah,
d = 384 000 km = 3,84 x 1010
cm

17. DND-2006
Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan
ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,
M⊕ ≈ 6,02 x 1027
gr
Hasil ini sama dengan yang ditentukan berdasarkan
benda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu
M⊕ ≈ 5,98 x 1027
gr
Buah durian jatuh ke bumi
Bulan bergerak mengedari bumi
Kesimpulan :
Disebabkan oleh gaya yang
sama yaitu gaya gravitasi

18. DND-2006
Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulan
terhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu,
jarak Bumi – Bulan = 3,84 x 1010
cm
Percepatan Bulan terhadap Bumi
(6,67 x 10-8
)(5,97 x 1027
)
(3,84 x 1010
)d 2
a = = = 0,27 cm/s2
G M⊕

19. DND-2006
Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi
Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan,
maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat
ditentukan yaitu,
massa bulan
radius bulan
= 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi
Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi
Gaya gravitasi di permukaan Bulan
G M
R
2
g=
= 165,72 cm/s2
(6,67 x 10-8
)( 0,0123 x 5,98 x 1027
)
g=
(0,27 x 6,37 x 108
)2

20. DND-2006
Objek
Massa
(Bumi = 1)
Diameter
(Bumi = 1)
Gravitasi
(Bumi = 1)
Bulan 0,0123 0,27 0,17
Venus 0,81 0,95 0,91
Mars 0,11 0,53 0,38
Jupiter 317,9 11,20 2,54
Matahari 333 000 109,00 28,10
Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit

21. DND-2006
Berat benda di permukaan Bumi
massa benda
Contoh :
Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N,
berapakah berat benda tersebut pada ketinggian 25 000
km di atas permukaan bumi ?
berat benda (gaya gravitasi yang
dirasakan oleh benda)  weight
G M⊕ m
R⊕
2
W =
Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukan
dengan menggunakan persamaan berikut,

22. DND-2006
Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W1 =
100 N, maka
Apabila W2 adalah berat benda pada ketinggian 25 000
km (= 2,5 x 109
cm) di atas permukaan bumi, maka
Jawab :
. . . . . . . . . . . . . . . . ()W1 =
G M⊕ m
R⊕
2
(R⊕ + 2,5 x 109
)2
W2 =
G M⊕ m . . . . . . . . . . . . ()

23. DND-2006
Jika harga R⊕
= 6,37 x 108
cm, dan harga W1 = 100 N
dimasukan ke pers () maka akan diperoleh,
Dari pers () dan () diperoleh,
(R⊕ + 2,5 x 109
)2
W2 =
W1 R⊕
2
(6,37 x 108
+ 2,5 x 109
)2
W2 =
(100)(6,37 x 108
) 2
≈ 4 N
. . . . . . . . . . . . . . ()

24. DND-2006
Hukum Kuadrat Kebalikan
Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempat
dapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan
F = - mg
Dari pers. (1-1) :
Dari pers. (1-2) :
. . . . . . . (1-12)
G m M
F = −
d 2
d2
G M
g =
d1
2
G M
g1 =
d2
2
G M
g2 =
d1
g2 =
d2
g1
2Untuk g1 :
Untuk g2 :

25. DND-2006
Contoh :
1. Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permuka-
an laut) adalah 980 cm/s2.
Tentukanlah percepatan di
ketinggian 25 000 km di atas permukaan Bumi.
Jawab :
g1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s2
d2
d1
g2 = g1
2
d1 = radius bumi= R⊕
= 6,37 x 108
cm
Misalkan g2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000
km, maka
d2 = R⊕
+ 25 000 km = 3,14 x 109
cm

26. DND-2006
Jadi,
d1
d2
g2 = g1
2
3,14 x 109
6,37 x 108
= (980)
2
= 40,41 cm/s2
2. Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak
100 000 km dari pusat planet Jupiter, sedangkan
pesawat pengorbitnya berada pada ketinggian 300
000 km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasi
pesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalam
percepatan gravitasi pengorbitnya.

27. DND-2006
Jawab :
Misalkan :
g1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo
d1 = ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo
= 100 000 km
g2 = percepatan gravitasi pesawat pengorbit
d2 = ketinggian pesawat pengorbit = 300 000 km
d1
d2
g1 = g2
2
100 000
300 000
= g2
2
= 9 g2maka

28. DND-2006
Satuan Gaya
F = mg
Jika massa (m) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g)
dinyatakan dalam m/s2
, maka gaya (F) dinyatakan
dalam,
F = (kg)(m/s2
) = kg m/s2
= Newton (N)
Jika massa (m) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g)
dinyatakan dalam cm/s2
, maka gaya (F) dinyatakan
dalam,
F = (gr)(cm/s2
) = gr cm/s2
= dyne
1 Newton = 105
dyne
Dari pers. (1-2) :

29. DND-2006
Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gaya
yang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) di
permukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ?
Jawab : F = mg
g di Bumi = 9,8 m/s2
g di Bulan = 0,17 x g di Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s2
g di Jupiter = 2,54 x g di Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s2
Jadi :
F di Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s2
= 735 N
Contoh :
F di Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s2
= 125,25 N
F di Jupiter = (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s2
= 1 866,75 N

30. DND-2006
m2(x2, y2, z2)
m1(x1, y1, z1)
Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalah
m1 dan massa benda kedua adalah m2.
Berdasarkan Hukum Newton,
pada benda ke-1 akan bekerja
gaya :
m1 = − G
d2
r
dt2
m1 m2
r2
x
y
z
. . (1-13)
r
Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah
(x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) dan jarak kedua benda adalah r
Hukum Gerak Dua BendaHukum Gerak Dua Benda

31. DND-2006
d2
x1
m1 = − Gm1 m2
dt2
x1 − x2
r3
. . . . . (1-14a)
d2
y1
m1 = − Gm1 m2
dt2
y1 − y2
r3
. . . . . (1-14b)
d2
z1
m1 = − Gm1 m2
dt2
z1 − z2
r3
. . . . . (1-14c)
Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu
x, y, dan z, yaitu :

32. DND-2006
dalam arah x, y, z, diperoleh :
d2
x2
m2 = − Gm1 m2
dt2
x2 − x1
r3
. . . . . . (1-16a)
d2
y3
m2 = − Gm1 m2
dt2
y2 − y1
r3
. . . . . . (1-16b)
d2
z2
m2 = − Gm1 m2
dt2
z2 − z1
r3
. . . . . . (1-16c)
Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu
dengan menguraikan gaya :
m2 = − G
d2
r
dt2
m1 m2
r2
. . . . . . . . . . (1-15)

33. DND-2006
Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan
persamaan gerak benda.
 kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan.
 Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapat
dipecahkan, koordinat kedua benda (x1,y1,z1) dan
(x2,y2,z2) sebagai fungsi waktu t dapat ditentukan.
Keenam persamaan gerak benda di atas adalah
persamaan diferensial orde ke-2,
 terdapat 12 tetapan integrasi.

34. DND-2006
Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari
dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu,
 6 koordinat kedudukan awal (3 koordinat x, y, z untuk
masing-masing benda yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2)
 6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk
masing-masing benda, yaitu νx1, νy1, νz1 dan νx2, νy2,
νz2).

35. DND-2006
 tiga koordinat kedudukan awal
 tiga komponen kecepatan awal benda yang
bergerak
m1
m2(x, y, z)
x
y
z
Sekarang dapat dituliskan :
x = x2 – x1 . . . . . . . . . (1-17a)
y = y2 – y1 . . . . . . . . . (1-17b)
z = z2 – z1 . . . . . . . . . (1-17c)
dan definisikan,
M = m1 + m2
. . . . . . . . . (1-18)
Persoalan ini dapat disederhanakan dengan meng-
anggap benda pertama diam dan dianggap sebagai
pusat koordinat
 Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu

36. DND-2006
Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada
pers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh
. . . . . . . . . . (1-19a)
Dengan cara yang sama diperoleh komponen pada
arah y dan z, yaitu
. . . . . . . . . . (1-19b)
d2
z
= − GM
dt2
z
r3
. . . . . . . . . . (1-19c)
d2
x
= − GM
dt2
x
r3
d2
y
= − GM
dt2
y
r3

37. DND-2006
x − y = 0
d2
y
dt2
d2
x
dt2
d2
y
x = − GM
dt2
xy
r3
Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers.
(1-19b) dengan x dan kurangkan keduanya.
d2
x
= − GM
dt2
x
r3
Pers. (1-19a) :
d2
y
= − GM
dt2
y
r3
Pers. (1-19b) :
x y
x x
d2
x
y = − GM
dt2
xy
r3
. . . . . . (1-20)

38. DND-2006
Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai,
x − y = 0
dy
dt
dx
dt
d
dt
. . . . . . . . . . (1-21)
Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh,
x − y = a1
dy
dt
dx
dt
. . . . . . . . . . (1-
22a)
tetapan integrasi
Dengan cara yang sama diperoleh,
y − z = a2
dz
dt
dy
dt
. . . . . . . . . . (1-22b)
z − x = a3
dx
dt
dz
dt
. . . . . . . . . . . (1-
22c)

39. DND-2006
Pers. (1-22a) : x zx − y = a1
dy
dt
dx
dt
Pers. (1-22b) : x xy − z = a2
dz
dt
dy
dt
Pers. (1-22c) : x yz − x = a3
dx
dt
dz
dt
Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian
jumlahkan
xz − yz = a1z
dy
dt
dx
dt
xy − xz = a2x
dz
dt
dy
dt
yz − xy = a3y
dx
dt
dz
dt

40. DND-2006
xz − yz = a1z
dy
dt
dx
dt
xy − xz = a2x
dz
dt
dy
dt
yz − xy = a3y
dx
dt
dz
dt
Ini adalah persamaan sebuah bidang datar
 Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar.
a1z + a2x + a3y = 0 . . . . . . . . . . . (1-23)
+

41. DND-2006
Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian
jumlahkan hasilnya
d2
y
= − GM
dt2
y
r3
Pers. (1-19b) : x
dy
2
dt
2d2
x
= − GM
dt2
x
r3
Pers. (1-19a) : x
dx
dt
d2
x
= − GM
dt2
x
r3
dx
2
dt
dx
2
dt
d2
y
= − GM
dt2
y
r3
dy
2
dt
dy
2
dt
d2
z
= − GM
dt2
z
r3
Pers. (1-19c) : x
dt
dz
2
d2
z
= − GM
dt2
z
r3
dz
2
dt
dz
2
dt

42. DND-2006
d2
x
= − GM
dt2
x
r3
dx
2
dt
dx
2
dt
d2
y
= − GM
dt2
y
r3
dy
2
dt
dy
2
dt
d2
z
= − GM
dt2
z
r3
dz
2
dt
dz
2
dt
+
2GM
r3
x + y + z
dx
dt
dy
dt
dz
dt
2 + + =
d2
x
dt2
dx
dt
d2
y
dt2
dy
dt
d2
z
dt2
dz
dt

43. DND-2006
2GM
r3
x + y + z
dx
dt
dy
dt
dz
dt
+ + =
d
dt
dx
dt
2
dy
dt
2
dx
dt
2
atau
. . . . . (1-24)
Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh,
r2
= x2
+ y2
+ z2
. . . . . . . . . . (1-26)r = x + y + z
dx
dt
dy
dt
dz
dt
dr
dt
. . . . . . . . . . . . . (1-25)
Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh,

44. DND-2006
v2
= + +
dx
dt
2
dy
dt
2
dx
dt
2
. . . . . . . . . (1-27)
Kecepatan benda dinyatakan oleh,
Subtitusikan pers. (1-26) :
dan (1-27) ke pers. (1-24) :
r = x + y + z
dx
dt
dy
dt
dz
dt
dr
dt
2GM
r3
x + y + z
dx
dt
dy
dt
dz
dt
+ + =
d
dt
dx
dt
2
dy
dt
2
dx
dt
2
diperoleh,
2GM
r2
dr
dt
=
dv2
dt
. . . . . . . . . . . (1-28)

45. DND-2006
Integrasikan pers. (1-28),
v2
= + h
2GM
r
. . . . . . . . . . . . (1-29)
tetapan integrasi
= −
dv2
dt
2GM
r2
dr
dt∫ ∫0
v
0
r
diperoleh,
Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah
G m2 M
r
V = . . . . . . . . . . . . (1-30)

46. DND-2006
dan energi kinetiknya adalah,
. . . . . . . . . . . . (1-31)T = m2 v2
1
2
Subtitusikan pers. (1-29) :
T = m2 + h = + m2h
1
2
2GM
r
1
2
Gm2 M
r
. . (1-32)
ke pers. (1-31), diperoleh
v2
= + h
2GM
r

47. DND-2006
Pers. (1-30) :
Pers. (1-32) :
G m2 M
r
V =
T = + m2h
1
2
Gm2 M
r
T + V = + m2 h −
1
2
Gm2 M
r
Gm2 M
r
1
2= m2 h
= h’ . . . . . . . . . . . . . . . . (1-
33)
Persamaan ini mengatakan bahwa energi total benda
kedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama.
+
Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32),

48. DND-2006
Hukum KeplerHukum Kepler
I. Orbit planet mengelilingi matahari tidak
berbentuk lingkaran tetapi berbentuk
elips dengan matahari di titik fokusnya
aphelion perihelion
Matahari
Planet
Johannes Kepler
(1571 – 1630)

49. DND-2006
II. Vektor radius (garis hubung matahari – planet) dalam
selang waktu yang sama akan menyapu luas daerah
yang sama.
Matahari
Planet
dθ
dt
dt
r
dθ
dt
r2
= c (konstan)
 Hukum Luas

50. DND-2006
III. Kuadrat periode planet mengitari matahari sebanding
dengan pangkat tiga setengah sumbu besar elips
1 Periode = peredaran
planet mulai dari titik A
sampai kembali lagi ke
titik A
P2
∝ a3Setengah
sumbu panjang
Matahari
Planet a
b
A

51. DND-2006
Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang
orbit) dalam bidang (x, y).
 Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisa
dibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton.
 Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persama-
an yang mengandung variabel x dan y, yaitu,
d2
x
= − GM
dt2
x
r3
Pers. (1-19a) :
d2
y
= − GM
dt2
y
r3
Pers. (1-19b) :
dan
 Bukti :
Bukti Hukum Kepler

52. DND-2006
Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a)
dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x,
kemudian kurangkan, Hasilnya adalah,
Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh :
x − y = 0
dy
dt
dx
dt
d
dt
Pers. (1-21) :
x − y = c
dy
dt
dx
dt
Per. (1-22a) :
tetapan integrasi
Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut,

53. DND-2006
d2
y
= − GM
dt2
y
r3
Pers. (1-19b) : ×
dy
2
dt
2d2
x
= − GM
dt2
x
r3
Pers. (1-19a) : ×
dx
dt
d2
x
= − GM
dt2
x
r3
dx
2
dt
dx
2
dt
d2
y
= − GM
dt2
y
r3
dy
2
dt
dy
2
dt
+
2GM
r3
x + y
dx
dt
dy
dt
2 + =
d2
x
dt2
dx
dt
d2
y
dt2
dy
dt

54. DND-2006
atau . . (1-34)d
dt
2GM
r3
x + y
dx
dt
dy
dt
+ =
dx
dt
2
dy
dt
2
Jarak antara kedua benda adalah,
r2
= x2
+ y2 . . . . . . . . . . . . (1-
35)
Turunkan persamaan (1.35) diperoleh,
r = x + y
dx
dt
dy
dt
dr
dt
. . . . . . . . . . . (1-
36)
Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34),
r
dr
d t
d
dt
−2 x + y
dx
dt
dy
dt
+ =
dx
dt
2
dy
dt
2
r3
GM

55. DND-2006
diperoleh, + − 2 = h
dx
dt
2
dy
dt
2
r
GM . . . . . . . . . . (1-37)
tetapan integrasi
Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistem
koordinat polar dengan mendefinisikan
x = r cos θ = cos θ − r sin θ
dx
dt
dr
dt
dθ
dt
y = r sin θ = sin θ + r cos θ
dy
dt
dr
dt
dθ
dt
Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),

56. DND-2006
x − y = c
dy
dt
dx
dt
Per. (1-22a) :
r cos θ
= cos θ - r sin θ
dr
dt
dθ
dt
r sin θ
sin θ + r cos θ =
dr
dt
dθ
dt
diperoleh r 2
= cdθ
dt
atau =
1
dt
1
dθ
c
r 2
. . . . . . . . . . . (1-39)
. . . . . . . . . . . . . (1-38)

57. DND-2006
Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37),
dan hasilnya,
. . . . . . . (1-40)
dengan, µ = G M . . . . . . . . . . . . (1-
41)
+ r 2
= + h
2µ
r
dr
dt
2 dθ
dt
2
ke pers. (1-40), diperoleh
Masukan pers. (1-39) : =
1
dt
1
dθ
c
r 2
dr
dθ
1
r4
1
r2
2µ
c2
r
2
+ − − = 0
h
c2
. . . . . (1-
42)

58. DND-2006
Jika kita definisikan :
Kemudian dimasukkan ke
u = − µ
c2
1
r
+ − − = 0
dr
dθ
1
r4
1
r2
2µ
c2
r
2 h
c2
Pers. (1-42) :
maka diperoleh, + u2
= H2
dr
dθ
2
. . . . . . . . . . . (1-
43)
dengan H2
= + =tetapan
h
c2
µ2
c4
. . . . . . . (1-44)
Pemecahan persamaan (1-43) adalah :
u = H cos (θ - ω) .. . . . . . . . . . . (1-
45)tetapan integrasi

59. DND-2006
Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) ke
pers. (1-43),
= 1 + 1 + cos (θ − ω)
µ
c2
1
r
hc2
µ2
+ u2
= H2
dr
dθ
2
Pers. (1-43) :
H2
= + = tetapan
h
c2
µ2
c4
Pers. (1-44) :
u = H cos (θ - ω)Pers. (1-45) :
diperoleh,
c2
/µ
r =
1 + 1 + cos (θ − ω)
hc2
µ2
atau . . . . . (1-
47)
. . (1-46)

60. DND-2006
Kita didefinisikan :
1/2
e = 1 +
hc
µ
µ
c2
p = . . . . . . . . . . . . . (1-48)
. . . . . . . . . . . (1-
49)
υ = (θ − ω) . . . . . . . . . . . . . (1-50)
Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke
Pers. (1-47) :
akan diperoleh,
c2
/µ
r =
1 + 1 + cos (θ − ω)
hc2
µ2
1 + e cos υ
p
r = . . . . . . . (1-51)
Persamaan irisan kerucut

61. DND-2006
Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips,
parabola atau hiperbola.
 Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasil
ini merupakan pembuktian Hukum Kepler I
Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I
berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaan
irisan kerucut.
 Parameter p disebut parameter kerucut
 Parameter e disebut eksentrisitas
 Parameter υ disebut anomali benar
1 + e cos υ
p
r =

62. DND-2006
Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan pada
gambar berikut
υ
θ
ω
p
A
B
m1
m2
a
ae
Garis potong bidang
orbit dan bidang langit
Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar,
dituliskan a yang harganya diberikan oleh :
p = a (1 – e 2
) . . . . . . . . . . . (1-52)
(Apfokus)
(Perifokus)

63. DND-2006
Perhatikan :
 Benda pusat terletak pada titik fokus orbit
 Sudut ω menunjukkan kedudukan titik perifokus
terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal ini
garis potong bidang orbit dengan bidang langit)
υ
θ
ω
p
A
B
m1
m2
a
ae
Garis potong bidang
orbit dan bidang langit
(Apfokus)
(Perifokus)

64. DND-2006
 jika e < 1 → orbit berupa elips
1 + e cos υ
p
r =Dari pers. (1-51) :
 jika e = 1 → orbit berupa parabola
 jika e > 1 → orbit berupa hiperbola
p = a (1 – e 2
)karena (pers. 1-52) :
 Titik perifokus dicapai apabila υ = 0o
 r = a (1 – e)
 Titik apfokus dicapai apabila υ = 180o
 r = a (I + e)
maka,

65. DND-2006
Aphelion
Perihelion
Apabila m1 adalah Matahari dan m2 adalah planet, maka
 titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion
 titik terdekat disebut Perihelion
υ
θ
ω
p
A
B
m1
m2
a
ae
Garis potong bidang
orbit dan bidang langit

66. DND-2006
Apastron
Periastron
Apabila sistem ini adalah sistem bintang ganda dengan
m1 adalah bintang ke-1 dan m2 adalah bintang ke-2,
maka
 titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron
 titik terdekat disebut Periastron
υ
θ
ω
p
A
B
m1
m2
a
ae
Garis potong bidang
orbit dan bidang langit

67. DND-2006
Dari persamaan (1-38) :
Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh :
r 2
= c
dθ
dt
r 2
= c
dθ
dt
1
2
1
2
. . . . . . . . . . . . (1-53)
luas segitiga yg disapu
oleh vektor radius r dlm
waktu dt
Bukti Hukum Kepler II

68. DND-2006
Integrasikan persamaan (1-53) : r 2
= c
dθ
dt
1
2
1
2
A = π a2
(1 – e2
)1/2 r 2
dθ = c dt
1
2
1
2
0
P Periode Orbit
Luas elips
Dengan demikian :
c P = π a2
(1 – e2
)1/2
π a2
(1 – e2
)1/2
= c P
1
2
= 2π a3/2
a1/2
(1 – e2
)1/2
atau
. . . . . . . (1-54)

69. DND-2006
Masukkan p = a (1 – e2
) ke
c P = 2π a3/2
a1/2
(1 – e2
)1/2
pers. (1-54) :
c P = 2π a3/2
p1/2
diperoleh, . . . . . . . . . . (1-55)
Selanjutnya masukan pers. p = c2
/µ ke pers. (1-55),
diperoleh,
c P = 2π a3/2
c
µ1/2
P = 2π a3/2
1
µ1/2
P2
= 4π2
a3
µ
Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh,
=
a3
P2
µ
4π2
. . . (1-56)

70. DND-2006
M = m1 + m2
µ = G Mdan pers. (1-41) :
Masukkan pers. (1-18) :
ke pers. (1-56) : =
a3
P2
µ
4π2
diperoleh, = (m1 + m2)
a3
P2
G
4π2
. . . . . . . . (1-
57)
Dalam kasus planet mengelilingi Matahari,
 m1 adalah massa matahari (M)
 m2 adalah massa planet
Karena m2 << m1 (massa planet terbesar, yaitu Jupiter,
hanya 0,001 M), maka persamaan (1-57) menjadi :

71. DND-2006
= M
a3
P2
G
4π2
Bukti Hukum Kepler III
. . . . . . . . . . . . . . (1-58)
 Bumi dengan satelit-satelit buatan
 Planet dengan satelit-satelitnya
 Sistem bintang ganda
Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalam
mengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk :
 dan lainnya

72. DND-2006
1. Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbit
yang hampir berupa lingkaran. Apabila radius
orbitnya adalah 96 000 km, tentukanlah periode orbit
satelit tersebut.
Contoh :
Jawab :
Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massa
satelit maka menurut Hk Kepler III
a3
P2
4π 2
G M⊕
=
4π 2
a3
G M⊕
P =
0,5
Diketahui, M⊕ = 5,98 x 1027
gr, a = 9,6 x 109
cm dan
G = 6,67 x 10-8
dyne cm2
/gr2

73. DND-2006
Jadi
(6,67 x 10-8
) (5,98 x 1027
)
4π 2
(9,6 x109
)3
P =
0,5
= 295 919,24 det = 3,42 hari

74. DND-2006
Jawab :
2. Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari
8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radius
orbit Bumi dua kali daripada radius sekarang
(andaikan orbit Bumi berupa lingkaran)
Misalkan : M1
= massa matahari sekarang
M2
= 8 M1
a1 = radius orbit bumi sekarang
a2 = 2 a1
Karena M
>> M⊕
maka
4π 2
G M
=
a3
P2

75. DND-2006
Jadi periodenya sama dengan periode sekarang
P1
2
a1
3
4π 2
G M1
=
a2
3
P2
2
4π 2
G M2
=
M1
8M1
0,5
8
P2 =P1
a1
2a1
1,5
= 2
1,5
P1
1
0,5
M2
M1
P2 = P1
a1
a2
0,5 1,5
= (2,83)(0,3535) P1 = P1

76. DND-2006
1. Statsiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumi
setiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km.
Statsiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal
20 Februari 1986. Setelah beberapa tahun di ruang
angkasa, statsiun ruang angkasa ini ditinggalkan dan
secara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal
10 Maret 2001.
a. Berapakalikah statsiun ruang angkasa ini
mengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi?
b. Berapakah jarak yang ditempuh statsiun ruang
angkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatif
terhadap radius Bumi)
Soal Latihan :

77. DND-2006
2. Berapakalikah gaya gravitasi yang disebabkan oleh
Matahari terhadap pesawat ruang angkasa Ulysses
yang berjarak 2,3 AU dari Matahari dibandingkan
dengan percepatan gravitasi yang disebabkan oleh
Matahari terhadap planet Jupiter yang berjarak 5,2
AU dari Matahari?
3. Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumi
setiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jika
kamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruang
angkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut
harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedari
Bumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam ini
disebut satelit Geosyncronous karena satelit selalu
berada di suatu titik yang tetap di atas Bumi)

78. DND-2006
5. Jika Io yang berjarak 422 000 km dari Jupiter
memerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu
putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktu
yang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yang
lain) yang berjarak 671 000 km dari Jupiter untuk
melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter?
4. Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyai
massa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi),
dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yang
sama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapi
Io mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya
1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi
dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamu
menjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini?

79. DND-2006
Lanjut ke Bab II
Kembali ke Daftar Materi