補充: 初版，尚須修正-題目調整、刪減練習題數量等 中華民國高中物理教材 High School Physics Textbook in Republic of China 3-1 平面運動的描述 3-2 拋體運動

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
3 平面運動
平面運動
高中物理
本章的目的
特技汽機車在特技人員的操作下，其行進移動軌跡是拋物線，
分析這樣的運動模式需要新的數學工具-向量，方便把一維的系
統擴展到二維的系統（直線→平面）
。
很幸運的是，在高中物理範圍，只討論到二維運動，因此要先
介紹一些向量的基本規則，請同學要好好學習。
版權說明：
◼ 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
◼ 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)

2. 平面運動
2
REVIEW AND SUMMARY

3. 3.1 平面運動的描述
3
3.1 平面運動的描述
❑銳角三角函數
1.圖中的直角三角形中，a 為 A
 (角度 θ)的對邊長，b 為角度 θ
的鄰邊長，c 為斜邊長。角度 θ(0°＜θ＜90°)
◼ A
 的正弦函數 sinθ＝
a
c
=
對邊長
斜邊長
◼ A
 的餘弦函數 cosθ＝
b
c
=
鄰邊長
斜邊長
◼ A
 的正切函數 tanθ＝
a
b
=
對邊長
鄰邊長
2.物理常用的邊角關係：
❑向量(Vector)
1. 具有量值與方向的數學概念，可以用有向線段來表示。
◼ 線段的長度表向量的 量值 ，箭頭的方向表向量的 方
向 。
◼ 一帶有箭頭的線段不管平移至何處，代表同一向量。
◼ 向量的量值為 1 的向量稱為 單位向量
◼ 符號表示：在字母上頭加一箭號來表向量，如a
2. 考慮一向量a ，其量值為 a，與正 x 軸的夾角(方向角)為 θ
◼ 向量可以分解兩個分量： 1 2
a a a
= + ， 1
a 、 2
a 稱為a 的分
向量，兩分量夾角為任意角度，但常以垂直角度分解。
3. 以直角座標表示向量
◼ 與 x, y, z 軸同方向的單位向量, 分別以ˆˆ ˆ
i,j,k 表
ˆ ˆ
i j
x y
a a a
= + 2 2 2
cos
sin
x
x y
y
a a
a a a
a a


=
 = +
=
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.理解三角函數的意義。
2.應用三角函數的基礎概念於向
量分解、加減法及拋體、牛頓
力學等相關物理情境。
3.理解向量包含量值與方向，與
向量加法(減法)與一般的加減
法是不相同
4.應用向量概念，描述平面運動
中的質點的位置與位移、速度
與速率、加速度..等概念。
圖 3-2 以圖 3-1 的向量進行分解
𝜃
𝑎
റ
𝑂 𝑎𝑥
𝑎𝑦
𝑥
𝑦
x 軸的分量
y 軸的分量
A
B
C
c
b
a
終點
起點
𝑎
റ
圖 3-1 地圖任兩點的位移可利用向量
可以標示。

4. 平面運動
4
4. 物理量如力、速度、加速度、位移及電場、磁場等都是向量
說明：古巴選手 Angel Jimenez Cabeza 參加 2012 倫敦身障
奧林匹克運動會 F13 跳遠比賽，起跳時速度為 0
v ，以 7.14
公尺獲得銀牌。
圖 3-3 起跳時速度為 0
v ，可分解兩個相互垂直量：水平分量 x
v 、鉛直分量 y
v 。From https://flic.kr/p/d6QNhs
❑向量運算-加法與減法(Vector Addition and Subtraction)
1. 使用三角形法或平行四邊形法處理向量的加減法
圖 3-5 向量加法與減法 (a) 𝑎
റ + 𝑏
⃑റ = 𝑐
റ (c) 𝑐
റ = 𝑎
റ − 𝑏
⃑റ
2. 以三角函數來尋找向量加減法後的結果
◼ 正弦定律：
sin sin sin
A B
a b c
  
= =
◼ 餘弦定律： 2 2 2
2 cos
c a b ab 
= + +
3. 以解析幾何的計算式來尋找向量量值
說明：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( i j) ( i j) ( )i+( )j
x y x y x x y y
c a b a a b b a b a b
= + = + + + = + +
ˆ ˆ
i+ j
x y
c c c
= ➔ +
x x x
c a b
= 、 +
y y y
c a b
=
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( i j) ( i j) ( )i+( )j
x y x y x x y y
d a b a a b b a b a b
= − = + − + = − −
ˆ ˆ
i+ j
x y
d d d
= ➔ x x x
d a b
= − 、 y y y
d a b
= −
(a)加法-三角形法或平行四邊形法 (b)減法-三角形法
圖 3-4 PhET 模擬動畫：向量加法
𝑂

5. 3.1 平面運動的描述
5
答：D
類題 1-1：某物體初速為 v，於 t 時間內運動方向偏轉 120o
，則
此時間內速度變化量為何？ 答： 3v
類題 1-2：物體在水面上運動，在 5 秒內速度由 6 m/s 向東，變
成 8 m/s 向北，則物體的平均加速度大小為多少？ (A) 10 m/s2
(B) 8 m/s2
(C) 4 m/s2
(D) 2 m/s2
。
物體在水面上運動，在 5 秒內速度由 6 m/s 向東，變成 8 m/s
向北，則物體的平均加速度大小為多少？ (A) 10 m/s2
(B) 8
m/s2
(C) 4 m/s2
(D) 2 m/s2
。
向量運算-減法
例題
物體在水面上運動，在 5 秒內速度由 6 m/s 向東，變成 8 m/s
向北，則物體的平均加速度大小為多少？ (A) 10 m/s2
(B) 8
m/s2
(C) 4 m/s2
(D) 2 m/s2
。
向量運算-減法
例題

6. 平面運動
6
❑平面運動的位置向量與位移向量
1.位置向量(position vector)：用來描述物體(或質點)在平面位置
的向量。
◼ 由原點指向 A1 點的位置向量： 1 1 1
ˆ ˆ
i j
r x y
= +
◼ 由原點指向 A2 點的位置向量： 2 2 2
ˆ ˆ
i j
r x y
= +
圖 3-6 位置與位移向量示意圖。
2.質點位置向量改變後，形成位移(Displacement)
說明：物體由 r1 移動到 r2 的位移
2 1
2 2 1 1
2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
( i j) ( i j)
ˆ ˆ
( )i ( )j
ˆ ˆ
i j
r r r
x y x y
x x y y
x y
 = −
= + − +
= − + −
=  + 
2 2
r x y
 =  + 
❑平面運動的速度(Velocity)
1.質點在平面運動時候的 移動快慢 及 移動方向 。
◼ 平均速度：質點從 P 點移動到 Q 點的時間為t
2 1
2 1
av
r r
r
v
t t t
−

= =
 −
ˆ ˆ ˆ ˆ
av x y
x y
v v v
t t
 
= + = +
 
i j i j
方向：運動軌跡上的割線，由 P 指向 Q
◼ 瞬時速度：移動時間極短，則 P、Q 相當接近
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
lim lim( )
av x y
t t
r x y
v v v
t t t
 →  →
  
= = + = +
  
i j i j
方向：P點的切線方向
r1
x
y
圖 3-7 質點在時距 Δt，從 P 點
移動 Q 點
x
y
1
r
2
r
P
Q
切線
r


7. 3.1 平面運動的描述
7
❑平面運動的加速度
1.物理意義：用來描述運動中物體的速度變化的 快慢 及 移
動方向 。
2.平均加速度：單位時間的速度變化
◼ 假設物體在 P 點移動速度為 v1 在 Q 點移動速度為 v2 (物
體由 P 移到 Q)
𝑎
റ =
𝛥𝑣
റ
𝛥𝑡
=
𝑣2
⃑⃑⃑⃑റ − 𝑣1
⃑⃑⃑⃑റ
𝛥𝑡
|𝑎
റ| = √𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2
◼ 方向：
3.瞬時加速度(向量)：極短時間的平均加速度
瞬時加速度的方向未必沿著物體軌跡的切線方向
❑平面運動中的加速度與速度的關係(補充資料)
1.質點進行平面運動時，其瞬時速度(切線方向)與瞬時加速度
之間的夾角，將會決定速度方向與量值的改變程度
說明：
在平面運動的質點，可以將路徑某點的加速度分解成軌跡的
切線 方向和 法線 方向
切線加速度 ：加速度平行速度方向的分量
◼ 可以改變速度 大小
◼ 不改變速度 方向
法線加速度 ：加速度鉛直速度方向的分量
◼ 功用：可以改變速度 方向
◼ 不改變速度 大小
t
a
N
a
圖 3-8 質點從 P 點沿軌跡移動到
Q 點時，速度產生改變，必然有
加速度
x
y
1
r
2
r
P
Q
2
v
1
v
P 點的法線方向
P
質點 P 的
移動軌跡
圖 3-9 左圖：質點速度量值不
變。中圖：速度量值增加。右
圖：速度量值減少

8. 平面運動
8
1. 有甲、乙兩個質點，其速度分別為(－1 , 3) m/s 與(1 , 2) m/s，
則兩質點之速度夾角為何？
2. 一物體在水平面上作等速率圓周運動，其軌道半徑為5/𝜋 m，
週期為 20 s。求此物體：(1)5 秒內位移的大 (2)5 秒內平均
加速度的大小
3. 某質點在平面上運動，前 10 秒以 20.0 m/s 等速度向北，後
15 秒以 10.0 m/s 等速度向東，然後停止運動。求全程之(1)
路徑長(2)位移(3)平均速度(4)平均速率
練習題答案
1. 45° 2.(1)
5 2

m (2)
2
10
m/s2
3. (1)350 m (2)250
m，北偏東 37° (3)10 m/s， 北偏東 37° (4)14 m/s
課後 練習題

9. 3.2 拋體運動
9
3.2 拋體運動
❑拋體運動(Projectile Motion)
1.在空間中，質點有初速 v0、重力加速度 g 的運動模式。
2.拋體運動的類型：水平拋射運動、斜向拋射運動
3.運動的獨立性
◼兩正交方向的物理量彼此互不影響➔ex.重力加速度（鉛直
方向）不影響水平方向的速度，僅能影響同方向的速度。
◼任何的平面運動可以視為兩個相互垂方向運動(ex.水平、垂
直)的總和
❑水平拋射運動
1.情境假定：一水平初速 v0 的救援飛機攜帶救災物資包裹，在
高度 h，將救災物資垂直丟下(重力加速度 g)
說明：
將包裹視為質點，則可忽略包裹轉動，並忽略空氣阻力。基
於慣性，該質點水平速度亦為 v0
水平方向：等速度運動
鉛直方向：加速度為 g
− 的靜止落下運動
t 秒後
質點水平速度： 0
x
v v
= 質點鉛直速度： y
v gt
= −
速度量值： 2 2 2 2
( )
x y o
v v v v gt
= + = +
速度方向：
0
tan y
x
v gt
v v
 = =
質點水平位置： 0
x v t
=
質點鉛直位置： 2
1
2
y gt
= −
此時，運動軌跡方程式： 2
2
0
( )
2
g
y x
v
= −
h
R
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.理解運動的獨立性。
2.應用運動的獨立性分解質點在
拋體運動軌跡中任意位置時的
速度、加速度的量值與方向。
3.在已知發射速度(角度、速度量
值)計算質點在飛行過程的任
意位置、位移、瞬時速度。
圖 3-10 水平拋射運動，其鉛直方
向的運動模式為自由落體運動。

10. 平面運動
10
答：(1) 490 m (2) 392 m (3)約 105.5 m/s (4) at =5.88 m/s2
an = 7.84 m/s2
類題：一砲彈在 80 m 高的懸崖上，水平射出一彈，欲射中一
以 5 m/s 等速遠離的船隻，則彈之初速應為_____m/s。
（發射
時，船距崖底 200m）
【雄女】 答：55 m/s
一架救援飛機地以 39.2 m/s 的水平速度朝正在海中受難者頭
頂上飛過，並且準備投下一個救生包，恰可在第10秒時落入
中海面(g=9.8 m/s2
)則：
(1)飛機離海面多高？(2) 飛機需在受難者前方多少公尺就必
須投擲(水平距離)？ (3)當救生包落入海面時候速度值為何？
(4)第3秒時救生包的法線及切線加速度值各為若干？
拋體運動-基本題
例題

11. 3.2 拋體運動
11
答：第三階
類題：有石階每一階高 20 cm，寬 30 cm，某物自頂階水平拋
出，v0=5 m/s，求：(1)此物將下落幾階？(2)需時幾秒？【嘉
中、附中】答：(1) 12 階 (2) 0.7 秒
1. 一物自h高之塔頂水平拋射，著地時速度與水平夾角45°，求
此時水平位移？
2. 以初速vo水平拋射一物，當前進水平距離＝鉛直距離時，其水
平速度大小為鉛直速度大小的幾倍？
3. 一水平拋射之物自原點出發，當其運動方向與水平夾角30°
時 ，其所在橫坐標與縱坐標大小比值為若干？
4. 自高處以初速vo水平拋出一物，2秒後切線加速度大小等於法
線加速度大小，求此時速度大小？
5. 有一石階每階高20 cm，寬30 cm，自石階頂端將一石以5 m/s
之初速水平拋出，若g＝10 m/s2
，則(1)此石將落於第幾階？(2)
此石碰到石階需幾秒？
6. 一質點由某高處以速度 20 m/s 水平拋出
。
今以出發時刻為零
，
球自樓梯頂端滾出，水平速度為 2 m/s，樓梯的高與寬均為 0.3
m，則球先擊中樓梯踏板的第______階。(g = 10 m/s2
)
拋體運動-階梯問題
例題
課後 練習題

12. 平面運動
12
且重力加速度 g＝10 m/s2
，則每經過 1 秒 (A)速度的水平分
量增加量為 20m/s (B)加速度的水平分量恆為零 (C)水平
位移增加 20 公尺 (D)速度的鉛直分量增加 10m/s (E)加速度
的鉛直分量恆為零。
7. 將一石子在斜角θ之斜面頂端以vo水平擲出，石子於擲出後多
久，其速度方向恰好與斜面平行？(重力加速度為g)
大考試題觀摩
8. 一棒球飛向二壘的正上方，球與二壘的水平距離為6.0 m 時，
教練開始計時，此時球的高度為1.8m，速度為20 m/s水平向前。
若忽略阻力，則下列有關此球運動的敘述哪些正確？（此題
假設重力加速度為10 m/s2
） (A) 0.3s時球飛至二壘正上方
(B)飛至二壘正上方時，水平速度分量大於20 m/s (C) 0.3 s時
球的高度為1.35 m (D)球落地點與二壘間的水平距離為6.0
m (E)若球與地面作彈性碰撞
， 則反彈後的最高點與二壘間
的水平距離為12 m。 [92. 指定科考]
練習題答案
1. 2h 2.
2
1
3. 3
2 4. 2 Vo 5. (1)12 階 (2)
5
3
2
秒
6. BCD 7. tan
o
v
g
 8. ACD

13. 3.2 拋體運動
13
❑斜向拋射運動的分析
1.棒球或足球運動中，常看到球以特定速度、角度飛上空中，並
落下，整個過程形成拋物線軌跡。在物理學，此情境可以簡化
成一質點以初速 v0，仰角 拋出，並假設無空氣阻力作用。
說明：
水平方向：等速度運動
鉛直方向：任意時刻之加速度都為 g
− ，質點做鉛直上拋運
動
t 秒後之物理量。
◼速度：質點的水平速度： 0 0 cos
x
v v 
= 
質點的鉛直速度： 0 0
( sin )
y y
v v gt v gt

= − = −
◼位置：質點的水平位置： 0 0 0
( cos )
x
x x v t v t

− =  =  
質點的鉛直位移：
2
0 0
2
0
1
2
1
( sin )
2
y
y y v t gt
v t gt

− =  −
=  −
◼軌跡方程式： 2
2 2
0
tan
2 cos
g
y x x
v


=  −
討論：
◼ 到達最高度 H 需時 t，可得 0 sin
v
t
g

= ➔全程飛行時
間 0
2 sin
v
T
g

=
簡易證明：
水平方向：視為 等速度 運動
鉛直方向：視
為 鉛直上拋
運動

14. 平面運動
14
◼ 最大高度：
2 2
0 sin
2
v
H
g

= 、水平射程
2
0 sin 2
v
R
g

= R/H 比：4cot
簡易證明：
圖 3-11 以相同的初速，不同仰角計算出的拋物線軌跡，可以發現當角度
互餘時，水平移動距離相等。
Check Your Understanding
忽略空氣阻力，請問左圖的運動模式是否屬
於等加速度運動?若是等加速度運動，與本小
節內容有何差別?
From：https://pixabay.com/images/id-865113/

15. 3.2 拋體運動
15
答：(1) ˆ ˆ
(4) 80i 20j
v = + m/s (2) ˆ ˆ
(4) 320i 160j
S = + m (3)180 m (4)12 s (5)960
m (6) at=0 m/s2
an=-10 m/s2
類題：一物體以 30 m/s 之速度，仰角 30o
，自地面向上拋射，求：(1)2 秒後之位置向
量和速度。(2)軌跡方程式。(3)飛行時間。(4)水平射程。(5)最大高度和水平射程之比。
答：(1) ˆ ˆ
30 3i+10j m, ˆ ˆ
30i 20j
− m/s (2) 2
1
135
y x
= − (3) 3 秒 (4) 90 m (5)
3
4
1
以100 m/s之初速，仰角37°斜向拋射一物體，g＝10 m/s2
，求
物體：(1)4秒末速度 (2)4秒末位移 (3)可達最大高度 (4)飛
行時間 (5)水平射程 (6)最高點切線加速度與法線加速
度
斜向拋射-基礎題
例題

16. 平面運動
16
答：全
類題：一砲在高 50 m 之砲臺上向海面射擊，初速為 20 m/s，
仰角為 30，恰可擊中停泊於海面之敵艦，試求：(1)砲彈在空
中飛行之時間。 (2)艦與砲臺間之水平距離。 (3)設艦係以 5
m/s 之速度向砲臺進行，求發砲時艦與砲臺間之水平距離。
【北一女、師大附中】 答：(1) 4.3 s (2) 74.5 m (3) 96 m
類題：如圖，自 h 高的 A 點將物體 P 以初速 v0 仰角 拋出而
落於地面 B 點，另一物體 Q 同時以初速 v0、俯角 被拋出而
落於地面 C 點。(1) 求兩物落地時間差t ？(2) 求兩物水平
射程差x？
答：(1) 0
2 sin
v
g

(2)
2
0
2 cos sin
v
g
 

某物從30 m高的樓頂上，以速度10 m/s及仰角600斜拋而出，
如右圖，則：(A)從拋出至落地，費時約3.5 秒 (B)物體的水
平射程約18公尺 (C)物體落地時的鉛直速度量值約26 m/s
(D)物體落地時的水平速度量值為5 (E)物體離地的最大高度
約34 m。
斜向拋射-綜合題
例題
F
E
A
B
C
D
x
y


h
v0
30 m
60°
𝑣0

17. 3.2 拋體運動
17
1. 兩次斜拋，最大高度相同，初速不相同且仰角分別為30°及45°，
求其水平射程的比?
2. 斜向拋射，若最大高度為水平射程之半，求拋射仰角。
3. 一球自斜角53°斜面頂端上拋出，球的初速10 m/s，方向與斜
面垂直，若重力加速度為10 m/s2
，則小球在空中的飛行時間
為何？，小球落點與出發點的距離為多少？
4. 由地面斜拋一物，落地時水平射程 R，軌跡最大高度 h，則
軌跡中高 h / 2 二點A，B兩點的距離為何？
5. 一質點以仰角 30、初速 50 m/s 射出後，已知質點於某時刻
通過前方某距離處一座高度 20 m 的塔頂尖端
，
則(g＝10 m/s2
)
(A)質點通過塔頂的時刻為 1 s (B)塔頂與發射點間的水平距
離為 25 m (C)質點最大飛行高度為 31.25 m (D)全程的
飛行時間為 5 s (E)質點的水平射程為 125 m。
6. 一質點由地面斜向拋出，其軌跡方程式為 y=-x2
＋x，則(g=10
m/s2
) (A)拋射仰角為30° (B)最高點與出發點的水平距離為
0.5 m (C)最大高度為0.25 m (D)全程飛行時間為 s (E)
初速之量值為 m/s 。
7. 物體在水平地面上作斜向拋射，仰角60°，初速12 m/s，當物
體的運動方向與水平夾30°時
，
瞬間速度的大小為______m/s
。
8. 質量m之物置於光滑斜板上，由A點靜止釋放，若AB長為h，
BC高亦為h，則物落地點距C點多遠？(A)
3
3
h (B)
2
3
h (C)
3
3
2
h (D) 2 h (E)2h。
某質點斜向拋射以拋出點為原點之軌跡方程式為 64y＝48x－
5x2
，求：(1)初速仰角 (2)初速大小 (g=10m/s2
)
答：(1) 37度 (2)40m/s
3
3
5
1
10
課後 練習題
h
A
B
C 地
30
h

18. 平面運動
18
大考試題觀摩
練習題答案
1. 3：1 2. tan-1
2 3.
10 400
,
3 9
4.
2
R
5. ABCDE
6. BCDE 7. A 8. A
看電影學科學：關鍵少數的原型人物 Katherine Johonson
參考資料
1. Wiki, http://en.wikipedia.org/wiki/
2. 邱韻如,前人的足跡, http://goo.gl/thNpVs
3. 郭奕玲、沈慧君著：物理學演義，凡異出版社。