Uploaded bymoeiraqi.org
3,104 views

ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الرابع التكامل2017 الأستاذ علي حميد

يتناول الوثيقة شرحًا مفصلًا عن التكامل في الرياضيات، ويقدم أمثلة وتمارين متنوعة بالحلول. يركز على الدوال المستمرة والممابلة، ويعرض خاصيات مختلفة للتكامل وكيفية حسابه لمجموعة من الدوال. هذه المادة تعتبر دليلًا دراسيًا للطلاب في الفصل الرابع.

Embed presentation

Downloaded 33 times
‫أعداد‬‫األس‬‫ـتاذ‬ ‫جديدة‬ ‫طبعة‬ ‫ومنقحة‬ ‫الدراسي‬ ‫للعام‬ 2017 ‫شرح‬‫مفصل‬‫الرابع‬ ‫الفصل‬ ‫وتمارين‬ ‫أمثلة‬ ‫لجميع‬. ‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫وجميع‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬‫ال‬ ‫للفصل‬‫رابع‬. ‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أسئلة‬.
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 272 ‫ال‬ ‫الفصل‬‫رابع‬/‫التكامل‬ ‫للتكامــــــــــل‬ ‫األساسٌة‬ ‫النظرٌة‬–‫الممابلة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫عل‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬‫الفترة‬ ‫ى‬, -‫دالة‬ ‫توجد‬ ‫فأنه‬F‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, -‫بحٌث‬: ( ) ( ) ( ) ‫وٌكون‬∫ ( ) ( ) ( )‫تسمى‬ ‫حٌث‬‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬f‫الفترة‬ ‫على‬, - ‫مثال‬(1)/‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,𝟏 𝟓-‫بحٌث‬( ) 𝟑 𝟐 ‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬f‫لٌمة‬ ‫فجد‬∫ ( ) 𝟓 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ 𝟓 𝟏 ( ) (𝟓) (𝟏) 𝟑(𝟐𝟓) 𝟑(𝟏) 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐 : ‫األتٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ذلن‬ ‫نكتب‬ ‫أن‬ ‫وٌمكن‬ ∫ 𝟓 𝟏 ( ) , ( ) 𝟓 - 𝟏 ,𝟑 𝟐 𝟓 - 𝟏 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐 ‫مثال‬(2)/‫كانت‬ ‫أذا‬f‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬0𝟎 𝟐 1‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫و‬f: ً‫ه‬ 0𝟎 𝟐 1,( ) ‫ف‬‫أو‬‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟐 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟎 ( ) , ( )- . 𝟐 / (𝟎) . 𝟐 / (𝟎) 𝟏 𝟎 𝟎 ‫م‬‫ثال‬(3)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) 𝟑 𝟐,, 𝟏 𝟑-‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( ) 𝟑 𝟐 ‫الحل‬/∵( ) 𝟑 𝟐‫على‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬) ‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫ألنها‬ ( ∴F‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬‫على‬(𝟏 𝟑) ( ) 𝟑 𝟐 ( ) (𝟏 𝟑) ∴F‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 273 ‫م‬‫ثال‬(4)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) 𝟏 𝟐 𝟐,‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟐, ‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬∫ 𝟐𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∵( ) 𝟐‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐 (𝟐) 𝟐 ( ) ∴‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ 𝟐 𝟒 𝟎 [ 𝟏 𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟒 [ 𝟏 𝟐 𝟐 . 𝟒 /] [ 𝟏 𝟐 𝟐(𝟎)] [ 𝟏 𝟐 . 𝟐 /] [ 𝟏 𝟐 𝟎] 𝟏 𝟐 (𝟏) 𝟏 𝟐 (𝟎) 𝟏 𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 274 ‫بٌن‬ ‫العاللة‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬f‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫والدالة‬F ( ) ‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬( ) ‫الدالة‬ 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝟏𝟏 , ( )- 𝟏 𝟏, ( )- ( ) 𝟏 𝟏 ( )( ) 𝟏 ( ) ( ) 𝟏 ( )𝟐( ) 𝟏 ( )𝟐( ) 𝟏 𝟏 ∫ ( ) ( ) ‫نستنتج‬ ‫الجدول‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫ألٌة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫مجموعة‬ً‫ه‬ ‫أعاله‬ ‫الجدول‬ ً‫ف‬ ‫كما‬F+C‫أن‬ ‫حٌث‬Cً‫حمٌم‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 275 ‫م‬‫ثال‬(5)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟒 𝟎 , - 𝟎 𝟒 𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ‫م‬‫ثال‬(6)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟐 𝟒 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟐 𝟒 , - 𝟒 𝟐 0 𝟐 𝟒 1 , 𝟎 𝟏- 𝟏 ‫م‬‫ثال‬(7)/‫أوجد‬∫ 𝟑 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝟑 𝟎 , - 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏 𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 . 𝟏 𝟐 / 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 ‫م‬‫ثال‬(8)/‫أوجد‬∫ 𝟑𝟑 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ 𝟑 𝟑 𝟏 * 𝟒 𝟒 + 𝟏 𝟑 [ 𝟖𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 ] 𝟖𝟎 𝟒 𝟐𝟎
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 276 ‫المحدد‬ ‫التكامـــــل‬ ‫خواص‬ :‫أوال‬Ⓘ‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , - ‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬: (𝑎) 𝑓(𝑥) 𝑥2 0 𝑥𝜖, 1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝑑𝑥 𝟎 (𝑏) 𝑓(𝑥) 3 > 0 𝑥𝜖, 2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ (𝟑) 𝟑 𝟐 𝑑𝑥 > 𝟎 (𝑐) 𝑓(𝑥) (𝑥 1) > 0 𝑥𝜖,2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝑑𝑥 > 𝟎 ②‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , - ‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬: (𝑎) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖,1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟐) 𝟐 𝟏 𝑑𝑥 < 𝟎 (𝑏) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖, 2 1- ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟏 𝟐 𝑑𝑥 < 𝟎 :‫ثانٌا‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكان‬C‫ثابت‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬‫فأن‬ ∫ 𝑪𝒇(𝒙) 𝑪 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 ‫م‬‫ثال‬(9)/‫كان‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖 𝟓 𝟐 ‫فأوجد‬∫ 𝟓 ( ) 𝟓 𝟐 ‫الحل‬/ ∫ 𝟓 ( ) 𝟓 𝟐 𝟓∫ ( ) 𝟓 𝟐 𝟓( 𝟖) 𝟒𝟎
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 277 :‫ثالثا‬‫كانت‬ ‫أذا‬𝟏 𝟐‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالتٌن‬, -‫فأن‬( 𝟏 𝟐)∫ 𝟏∫ ∫ 𝟐 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 ‫على‬ ‫المستمرة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫محدد‬ ‫عدد‬ ‫أي‬ ‫مجموع‬ ‫على‬ ‫الخاصٌة‬ ‫هذه‬ ‫تعمٌم‬ ‫وٌمكننا‬, - ‫م‬‫ثال‬(10)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ 𝟐( ) 𝟏𝟕 𝟑 𝟏 ,∫ 𝟏( ) 𝟏𝟓 𝟑 𝟏 : ‫من‬ ‫كال‬ ‫فأوجد‬ ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟏( ) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐( ) 𝟑 𝟏 15 17 32 ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟏( ) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐( ) 𝟑 𝟏 15 17 2 ‫م‬‫ثال‬(11)/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐 𝟐‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟐 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ ( ) 𝟐 𝟏 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟏 ∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 , 𝟑 𝟐 - 𝟏 , 𝟐 𝟐 - 𝟏 (8 1) (4 1) 7 3 10 :‫رابعا‬‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( )‫فأن‬: ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 𝒄 𝒂 ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 𝒃 𝒄 𝒃 𝒂 ‫م‬‫ثال‬(21)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖 𝟕 𝟑 ,∫ ( ) 𝟓 𝟑 𝟏 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟕 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ ( ) 𝟕 𝟏 ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ ( ) 𝟕 𝟑 𝟓 𝟖 𝟏𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 278 ‫م‬‫ثال‬(31)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) | |‫أوجد‬∫ ( ) 𝟒 𝟑 ‫الحل‬/‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟑 𝟒-: ‫هما‬ ‫لاعدتان‬ ‫ولها‬ ( ) 2 𝟎 < 𝟎 ∫ ( ) 𝟒 𝟑 ∫ ( ) 𝟎 𝟑 ∫ ( ) * 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟎 , 𝟐 𝟐 𝟒 - 𝟎 𝟒 𝟎 [0 ( 9 2 )] [ 16 2 0] 9 16 2 25 2 ‫م‬‫ثال‬(14)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) 2 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 < 𝟏 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟓 𝟎 ‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬ ( ) ( 𝟏) 𝟐( 𝟏) 𝟏 𝟑 ‫معرفة‬ ( ) 𝟏 ( ) { ( ) ( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟏 ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ∵ 𝟏 = 𝟐 ∴ 𝟏 ( ) 𝟑 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏) ∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+ ∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓- ∴ ∫ ( ) ∫ ( ) 𝟏 𝟎 ∫ ( ) 𝟓 𝟏 ∫ 𝟑 𝟏 𝟎 ∫ (𝟐 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟓 𝟎 ,𝟑 𝟏 - 𝟎 , 𝟐 𝟓 - 𝟏 , 𝟑 𝟎- , 𝟑𝟎 𝟐- 𝟑 𝟐𝟖 𝟑𝟏
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 279 ‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟔 𝟏 < 𝟏 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟑 𝟐 ‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬ ( ) ( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟐( 𝟏) 𝟓 ‫معرفة‬ ( ) 𝟏 ( ) { ( ) ( 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟓 𝟏 ( ) ( 𝟔 𝟏) 𝟓 𝟐 ∵ 𝟏 = 𝟐 ∴ 𝟏 ( ) 𝟓 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏) ∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+ ∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑- ∴ ∫ ( ) ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ (𝟔 𝟏) 𝟏 𝟐 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐 ,𝟑 𝟐 𝟏 - 𝟐 , 𝟑 𝟐 𝟑 - 𝟏 , 𝟐 𝟏𝟒- , 𝟑𝟔 𝟐- 𝟏𝟐 𝟑𝟒 𝟐𝟐 ‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) | | 𝟑‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟒 𝟑 ‫الحل‬/‫السابك‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫الحل‬ ‫أثبات‬ ‫طرٌمة‬ ‫نفس‬ ( ) 2 𝟑 𝟎 𝟑 < 𝟎 ∫ ( ) 𝟒 𝟑 ∫ (𝟑 ) 𝟎 𝟑 ∫ ( 𝟑) *𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟎 * 𝟐 𝟐 𝟑 + 𝟎 𝟒𝟒 𝟎 [𝟎 ( 𝟗 𝟗 𝟐 )] [( 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟐) 𝟎] 𝟐𝟕 𝟒𝟎 𝟐 𝟔𝟕 𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 280 :‫خامسا‬ ( ) ∫ ( ) 𝟎 ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) : ً‫ال‬‫مث‬ ( ) ∫ 𝟑 𝟑 * 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟑 9 2 9 2 𝟎 ( ) ∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 ∫ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 , 3 - 2 ,27 8- 27 8 19 (𝟒 𝟏)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أحسب‬: ( ) ∫ (𝟑 𝟐) 𝟐 𝟐 * 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 * 𝟑(𝟒) 𝟐 𝟒+ * 𝟑(𝟒) 𝟐 𝟒+ (𝟔 𝟒) (𝟔 𝟒) 𝟐 𝟏𝟎 𝟖 ( ) ∫ ( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟏 * 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝟐 ] 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐 𝟒 𝟐) ( 𝟏 𝟏 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 ( ) ∫ ( 𝟒 𝟒 ) 𝟑 𝟏 * 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟑 [ 𝟐𝟒𝟑 𝟓 𝟏𝟖] [ 𝟏 𝟓 𝟐] 𝟐𝟒𝟐 𝟓 𝟏𝟔 𝟐𝟒𝟐 𝟖𝟎 𝟓 𝟑𝟐𝟐 𝟓
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 281 ( ) ∫ | 𝟏| 𝟐 𝟎 | 𝟏| 2 𝟏 𝟏 𝟏 < 𝟏 ∫ | 𝟏| 𝟐 𝟎 ∫ (1 ) ∫ ( 1) 2 * 2 2 + * 2 2 + 2 [(1 1 2 ) 0] [(2 2) ( 1 2 1)] 1 2 1 2 𝟏 ( ) ∫ ( ) 𝟎 𝟐 * 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟎 * (𝟎) 𝟐 𝟐 (𝟎)+ [ . 𝟐 / 𝟐 𝟐 . 𝟐 /] ,𝟎 𝟎- [ ( 𝟐 𝟒 ) 𝟐 𝟏] 𝟐 𝟖 𝟏 𝟏 𝟐 𝟖 ( ) ‫مالحظة‬ ( ) ∫ 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 ∫ 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟏 ∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 * 3 3 2 2 + 2 3 (* 27 3 9 2 3+ * 8 3 4 2 2+) ( 54 27 18 16 12 12 6 ) 59 6 ( ) ∫ 𝟐 𝟑 𝟒 2 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 ∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐) 𝟑 𝟏 * 2 4 5 1 + , 2 4 5 𝟑 - 𝟏 [9 12 5 3 ] ,1 4 5- 3 5 3 8 5 5 3 15 5 3 10 3
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 282 ‫س‬2/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬f(x)‫حٌث‬ 0𝟎 𝟔 1‫حٌث‬( ) ( ) 𝟏‫حٌث‬0𝟎 𝟔 1‫ثم‬‫أحسب‬∫ ( )𝟔 𝟎 ‫الحل‬/‫ل‬‫ـ‬‫أن‬ ‫نثبت‬ ً‫ك‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( ) ‫أن‬ ‫نثبت‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬0𝟎 𝟔 1 ( ) , - 0 𝟎 𝟔 1 ( ) ( ) ( ) ∴( )‫مجالها‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ( ) ̅( ) 𝟏 ( ) ∴( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( ) ∫ ( ) 𝟔 𝟎 ( 𝟔 ) (𝟎) [ 𝟔 𝟔 ] , 𝟎 𝟎- 𝟏 𝟐 𝟔 𝟑 𝟔 ‫س‬3/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أوجد‬: ( ) ∫ ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐 𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟐)( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐) 𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐) 𝟒 𝟏 [ 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 ] 𝟏 𝟒 , 𝟔𝟒 𝟐𝟒 𝟖- * 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐+ 𝟑𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑𝟒 𝟓 𝟒 𝟏𝟑𝟔 𝟓 𝟒 𝟏𝟒𝟏 𝟒
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 283 ( ) ∫ | 𝟏| 𝟏 𝟏 ( ) | 𝟏| { 𝟏 𝟏 𝟏 < 𝟏 (‫الفترة‬ ‫خارج‬ ) ∫ | 𝟏| ∫ ( 1) * 2 2 + ( 1 2 1) ( 1 2 1) 1 1 𝟐 ( ) ∫ 𝟒 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟏)( 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟏 ∫ ( 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 * 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟑 [ 𝟖𝟏 𝟒 𝟗 𝟗 𝟐 𝟑] [𝟒 𝟖 𝟑 𝟐 𝟐] 𝟖𝟏 𝟒 𝟗 𝟐 𝟏𝟐 𝟖 𝟖 𝟑 𝟒 𝟖𝟏 𝟒 𝟗 𝟐 𝟖 𝟑 𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟓𝟒 𝟑𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟏𝟑 𝟏𝟐 ( ) ∫ √ (√ 𝟐) 𝟐 𝟏 𝟎 ∫ √ ( 𝟒√ 𝟒) 𝟏 𝟎 ∫ . 𝟏 𝟐 / ( 𝟒 . 𝟏 𝟐 / 𝟒) 𝟏 𝟎 ∫ ( . 𝟑 𝟐 / 𝟒 𝟒 . 𝟏 𝟐 / ) 𝟏 𝟎 [ . 𝟓 𝟐 / . 𝟓 𝟐 / 𝟐 𝟐 𝟒 . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / ] 𝟎 𝟏 [ 𝟐 𝟓 𝟐 𝟖 𝟑 ] 𝟎 𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟓 𝟕𝟔 𝟏𝟓 ‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬‫ت‬( ) 2 𝟐 𝟑 𝟔 < 𝟑 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟒 𝟏 ‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟒- ( ) (𝟑) 𝟐(𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ) ( ) (𝟑) ( ) { ( ) (𝟐 ) 𝟐(𝟑) 𝟔 𝟏 ( ) (𝟔) 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐 ( ) (𝟑) ( ) (𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ ) ∫ ( ) 𝟒 𝟏 ∫ 𝟔 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐 , 𝟔 𝟑 - 𝟏 , 𝟐 𝟒 - 𝟑 ,𝟏𝟖 𝟔- ,𝟏𝟔 𝟗- 𝟒 𝟑 𝟏𝟐 𝟕 𝟏𝟗
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 284 ‫س‬5/‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐 < 𝟎 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟑 𝟏 ‫وزاري‬2014/‫د‬1 ‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫أنها‬ ‫بأثبات‬ ‫وذلن‬( 𝟎) ( ) (𝟎) 𝟑(𝟎) 𝟐 𝟎 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ) ( ) (𝟎) ( ) { 𝟎 (𝟑 𝟐) 𝟑(𝟎) 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 (𝟐 ) 𝟐(𝟎) 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 ( ) (𝟎) ( ) (𝟎) 𝟔 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ ) ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐 𝟎 𝟏 ∫ 𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟎 - 𝟏 , 𝟑 𝟑 - 𝟎 ,𝟎 𝟏- ,𝟐𝟕 𝟎- 𝟑 𝟎 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟔 ****************************************************************** ‫التكامـــل‬‫الغٌــر‬‫المحدد‬ ‫للدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫المستمرة‬, -‫ممابلة‬ ‫دالة‬F‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ً‫نهائ‬ ‫ال‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬f‫وكل‬ ‫ٌساوي‬ ‫منها‬F + C‫حٌث‬C‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌساوي‬ ‫منها‬ ‫أثنٌن‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫بٌن‬ ‫والفرق‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌمثل‬ ‫تس‬‫ـــــ‬‫مجموع‬ ‫مى‬‫ــــ‬‫الممابل‬ ‫الدوال‬ ‫ة‬‫ـــــ‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫ة‬F+C‫للدالةة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫بالتكامل‬𝒇‫المسةتمرة‬‫الفتةرة‬ ‫علةى‬ , -‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙ٌ‫متغ‬ ‫رمز‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫الدالة‬ ‫ر‬‫هو‬𝒙 ‫بالصورة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫كتابة‬ ‫على‬ ‫ٌصطلح‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 𝑭( 𝒙) 𝑪 𝑪 𝐑 ‫هو‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫عملٌة‬‫األخرى‬ ‫دور‬ ً‫تنه‬ ‫أحداهما‬ ‫أي‬ ‫التفاضل‬ ‫لعملٌة‬ ‫المعاكسة‬ ‫العملٌة‬ ‫م‬‫ثال‬(1)/‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫التكامل‬: (𝒂) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝒄 (𝒃) ∫( 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒙 𝟐) 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝟏 𝟏 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟏 𝒙 𝒄 (𝒄) ∫( 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄 (𝒅) ∫ 𝐬𝐢𝐧( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 285 ‫م‬‫ثال‬(2)/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬ (𝒂) ∫( 𝒙 𝟐 𝟑) 𝟐 ( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐 𝟑) 𝟑 𝟑 𝒄 (𝒃) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟔 ( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟔 (2)( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟕 𝟕 𝒄 1 𝟏𝟒 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟕 𝒄 (𝒄) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟒 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟓 𝒙 𝟓 𝒄 (𝒅) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟔 𝑥 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟕 𝑥 𝟕 𝒄 ‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ً‫ف‬ ‫العاللات‬ ‫بعض‬ (𝟏) 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝟏 (𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 (𝟑) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽) 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 (𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝟏 (𝟓) 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) (𝟔) 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) (𝟕) 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜽 𝟏 (𝟖) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏 𝟐 ,𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙- (𝟗) 𝒄𝒐𝒔𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏 𝟐 ,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙- (𝟏𝟎) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒙 𝟏 𝟐 ,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙- (𝟏𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝑠𝜃
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 286 ‫التربٌعٌة‬ ‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ‫تكامالت‬ (𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄 (𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝜽 𝒄 (𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜽 𝒄 (𝟓) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 (∫ 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽) 𝟏 𝟐 (𝜽 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄 𝟏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 (∫ 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽) 𝟏 𝟐 (𝜽 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄 𝟏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝑐 ‫صفحة‬ ‫الكتاب‬ ‫من‬ ( ‫أمثلة‬185‫و‬‫صفحة‬618) (𝟏) ∫ 𝟗 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅 𝒙 𝟑 ∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑 𝒅 𝒙 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑 𝒄 (𝟑) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ‫وزاري‬2012/‫د‬3 (4) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 ∫ . 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙/ 𝟐 𝒅𝒙 ∫ * 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)+ 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟒 ( 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 (∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 ) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 (∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫ 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 ( 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟏 𝟒 ( 𝟑 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟑 𝟖 𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏( 𝟐𝒙) 𝟏 𝟑𝟐 𝒔𝒊𝒏( 𝟒𝒙) 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 287 (𝟓) ∫( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟕( 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱) 𝐝𝐱 ( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟖 𝟖 𝒄 (𝟔) ∫ 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝟐 𝒄 𝟏 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝒄 (𝟕) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙)𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟑 𝒙 𝟑 𝒄 ‫وزار‬‫ي‬4201/‫د‬2 (𝟖) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒄 ‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬6201/‫د‬1 (𝟗) ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟔𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 ∫( 𝟐𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱) 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱) 𝒅𝒙 𝟐 𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱)( 𝟑) 𝒅𝒙 ( 𝟐 𝟑 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 𝟒 𝐜 𝟏 𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 𝐜 ‫مالحظة‬ 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 (𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱) 𝟒 (𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) ( 𝟐) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄 (𝟏𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟑𝐱 𝐝𝐱 ∫ * 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)+ 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 ( 𝒙 𝟏 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟓 𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙 𝒙 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟕 𝒕𝒂𝒏 𝟕𝒙 𝒙 𝒄 ‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 288 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫أوجد‬: (𝟏) ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝟐 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟏 𝟑) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟔 ) ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑) ( 𝟒 𝟑 ) 𝒄 𝟏 𝟖 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑) 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓 (𝟐 𝒙) 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒕𝒂𝒏 𝟔 (𝟐 𝒙) 𝟔 𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝟔 (𝟐 𝒙) 𝟏𝟐 𝒄 (𝟑) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑(𝟒 𝒙) 𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒙)𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟒 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙) 𝟒 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙) 𝟏𝟔 𝒄 (𝟒) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟓(𝒙 𝟑) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟔(𝒙 𝟑 ) 𝟔 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝟔( 𝒙 𝟑) 𝟏𝟖 𝒄 (𝟓) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) 𝒔𝒆𝒄(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) ) 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) 𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙) 𝟒 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙) 𝟖 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒙 𝒙 𝟐 𝟗 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙 𝟐 𝟗) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) (𝒙 𝟐 𝟗) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 (𝒙 𝟐 𝟗) . 𝟑 𝟐 / 𝟑 𝒄 (𝒙 𝟐 𝟗) 𝟑 𝟑 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙)𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝒙 𝒄𝒐𝐬𝒙)𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝒙 𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟔 𝒙 𝟔 𝒄 (𝟖) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝒙 𝟓 𝒄 (𝟗) ∫ 𝒙 𝟓 𝟐𝒙 𝟑𝟑 𝒅𝒙 ∫(𝒙) 𝒙 𝟐 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫(𝒙) (𝒙 𝟐 𝟐) . 𝟏 𝟑 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) (𝒙 𝟐 𝟐) . 𝟒 𝟑 / . 𝟒 𝟑/ 𝒄 ( 𝟑 𝟖 ) (𝒙 𝟐 𝟐) . 𝟒 𝟑 / 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓)𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐 𝟐 𝟓𝒙) 𝒄 (𝟏𝟏) ∫ 𝟑 (𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝟑 (𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 𝟑 ∫(𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 𝟑(𝒙 𝟏) 𝟏 𝟏 𝒄 𝟑 (𝒙 𝟏) 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 289 (𝟏𝟐) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏 √𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏 𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 𝟏)(𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏) . 𝟏 𝟓 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) (𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏) . 𝟒 𝟓 / . 𝟒 𝟓 / 𝒄 𝟓 𝟏𝟐 (𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏) . 𝟒 𝟓 / 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐) 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝒙 𝟒 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝟗𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟗 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄 𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝟐 𝑐 ‫مثال‬/‫التكامالت‬ ‫أوجد‬‫للدوال‬‫األتٌة‬: (𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟕 𝒄𝒐𝒕𝟕𝒙 𝒙 𝒄 (𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 2 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙 𝐜 (𝟒) ∫(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒙 𝒄 (𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟓 𝒙 (𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟔 𝒙 𝟔 𝒄 (𝟕) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 290 (𝟖) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫,𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙- 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫,𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙- 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝟏 𝟔 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟖 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄 (𝟗) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 ( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟔 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙(𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄 (𝟔)‫من‬ ‫بدل‬ (𝟒)‫األس‬ ‫أجعل‬ ‫ولكن‬ (𝟏𝟎)‫السؤال‬ ‫حل‬ ∶ ‫واجب‬ (𝟏𝟏) ∫ 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄 (‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫على‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) (𝟏𝟐) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟐𝐱 𝐝𝐱 ∫ * 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)+ 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 ( 𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝐱 𝟏 𝟑 ∫ ( 𝟑) 𝒙 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝒙 𝟏 𝟑 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 ( 𝟐) 𝐝𝒙 𝟏 𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒄 (𝟏𝟓) ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 ( 𝟕) 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 𝐜𝐨𝐭 𝟕𝒙 𝒄 (𝟏𝟔) ∫ 𝒙 𝟐 9 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 3)(𝑥 3) 𝑥 3 𝒅𝒙 ∫(𝑥 3) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 3𝒙 𝒄 (𝟏𝟕) ∫ 𝒙 𝟒 16 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 4)(𝒙 𝟐 4) 𝑥 2 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 2)(𝑥 2)(𝒙 𝟐 4) 𝑥 2 𝒅𝒙 ∫(𝑥 2)(𝒙 𝟐 4) 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟑 4𝑥 2𝒙 𝟐 8) 𝒅𝒙 𝒙 𝟒 𝟒 2𝒙 𝟐 2 𝒙 𝟑 𝟑 8𝑥 𝒄 (𝟏𝟖) ∫ 𝒙 𝟑 1 𝒙 1 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 1)(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝑥 1 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 291 (𝟏𝟗) ∫ 𝒙 𝟐 √𝒙 𝟑 𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟓) 2 𝒅𝒙 1 3 ∫(3)𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟓) 2 𝒅𝒙 1 3 × (𝒙 𝟑 𝟓)2 1 2 𝒄 2 3 𝒙 𝟑 𝟓 𝒄 (𝟐𝟎) ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑 𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟗 𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟗 ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑 𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟗 𝒙 ( 𝟗)𝐝𝐱 𝟏 𝟗 × 𝐜𝐨𝐭 𝟒 𝟗 𝒙 𝟒 𝒄 (𝟐𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟗 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 (𝟗) 𝐝𝐱 𝟏 𝟗 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝒙 𝒄 (𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕 𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟕 𝒙 (𝟕) 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒄 ‫وزاري‬2012/‫د‬2 (𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟑 𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝐝𝐱 ∫( 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 )𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙𝐝𝐱 𝟏 𝟑 𝒄𝒔𝒄 𝟑 𝒙 𝒄 (𝟐𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝟑𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑( 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 )𝒔𝒆𝒄 𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟑 × 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝟑𝒙 𝟓 𝐜 𝟏 𝟏𝟓 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝟑𝒙 𝐜 ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬.𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 /‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1) ‫الحل‬/ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫ (𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 ((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 𝟏 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 292 ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬(𝟑 𝟐 )‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1) ‫الحل‬/ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐 ) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ : ‫مثال‬‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟑 𝟐 𝟔 𝟗)‫تساوي‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(15) ‫الحل‬/ 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏 ‫النمطة‬( 𝟏 𝟏𝟓)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 (( 𝟏 𝟏𝟓)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏𝟓 𝟏 𝟑 𝟗 𝟏𝟎 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 𝟏𝟎 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ : ‫مثال‬‫م‬ ‫جد‬ً‫المنحن‬ ‫عادلة‬. 𝟔 /‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(-1,4) ‫الحل‬/ ∫ ∫(𝟔 ) 𝟑 𝟐 ( 𝟏 ‫عندما‬ 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐 𝟑) 𝟑 𝟑 (( 𝟏 𝟒)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 293 : ‫مثال‬ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫مٌله‬ ‫الذي‬(𝟐 )‫والمستمٌم‬𝟑 𝟕‫عندما‬ ‫له‬ ‫مماسا‬𝟐 ‫الحل‬/ Ⓘ‫لٌمة‬ ‫نعوض‬(x)‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬‫الستخراج‬‫لٌمة‬(y)‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ثم‬ 𝟑 𝟕 𝟑(𝟐) 𝟕 𝟏 (𝟐 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ②‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫نشتك‬‫إلٌجاد‬‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫أخر‬ ‫بمعنى‬ ‫أي‬ ‫المٌل‬ 𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑 ③‫المنح‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫المجاهٌل‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬‫ن‬ً‫حٌث‬( 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ④‫التكامل‬ ‫ثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نكامل‬(C)ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫فٌتم‬‫المطلوبة‬ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟐 𝟏) 𝟐 ((2 1)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ : ‫مالحظات‬ ‫مثل‬ ‫مجهول‬ ‫ثابت‬ ‫وفٌه‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫تكامل‬ ‫ال‬(C)‫او‬(P)‫المجهول‬ ‫لٌمة‬ ‫تجد‬ ‫حتى‬. ‫السؤال‬ ‫معلومات‬ ‫من‬ ‫كاملة‬ ‫نمطة‬ ‫أوال‬ ‫تجد‬ ‫أن‬ ‫ٌفضل‬ ‫دالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫ألٌجاد‬‫ألستخدمها‬‫ثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫المجهولة‬ ‫التكامل‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 294 (𝟒 𝟐)‫تمارين‬ : ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫ضمن‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫تكامالت‬ ‫جد‬ (1) ∫ (2𝒙 𝟐 𝟑) 𝟐 𝟗 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 ∫ (𝟒𝒙 𝟒 𝟏𝟐𝒙 𝟐 𝟗) 𝟗 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 ∫ (𝟒𝒙 𝟒 𝟏𝟐𝒙 𝟐) 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 ∫ 𝒙 𝟐(𝟒𝒙 𝟐 𝟏𝟐) 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 𝟒𝒙 𝟑 𝟑 𝟏𝟐𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ (𝟑 √𝟓𝒙) 𝟕 √ 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟕 √𝟕 (√ 𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 √𝟕 ∫ .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟕 (√ 𝒙) 𝒅𝒙 (‫المشتقة‬ ‫)نوفر‬ 𝟏 √𝟕 ( 𝟐 √𝟓 ) ∫ ( √𝟓 𝟐 ) .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟕 (√ 𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 √𝟕 ( 𝟐 √𝟓 ) .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟖 𝟖 𝒄 1 𝟒 √𝟑𝟓 (𝟑 √𝟓𝒙 ) 𝟖 𝒄 (𝟑) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙) 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙)(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒄 ‫وزاري‬3201/‫د‬1 (𝟒) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟏 𝒙 𝟏 𝐜 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐜 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄 ‫أخر‬ ‫حل‬: ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄 (𝟓) ∫ 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒 𝒅𝒙 𝟏 𝟔 ∫(𝟔)𝒙 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒 𝒅𝒙 𝟏 𝟔 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟑 𝟑 𝒄 𝟏 𝟏𝟖 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟑 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝟑 𝐝𝐱 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐𝟑 𝐝𝐱 ∫(𝒙 𝟓) . 𝟐 𝟑 / 𝐝𝐱 (𝒙 𝟓) . 𝟓 𝟑 / . 𝟓 𝟑/ 𝒄 𝟑 𝟓 (𝒙 𝟓) . 𝟓 𝟑 / 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 (𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 ( 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙 𝟑 𝒄 (𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝐝𝐱 𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟏 𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 295 .‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬ ∫ 𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝐝𝐱 𝟐 𝒄𝒐𝒔 √𝟏 𝒙 𝒄 (𝟗) ∫(𝟑𝒙 𝟐 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝟗𝒙 𝟒 𝟔𝒙 𝟐 𝟏)𝒅𝒙 𝟗 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐𝒙 𝟑 𝒙 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ √ 𝒙 𝒙 √𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) √ 𝒙(𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 )( √ 𝒙) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) (𝒙 𝟏 𝟒) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 𝟒 ) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ [ 𝟏 𝟐 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 𝟐 (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟒 𝟑 (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟒 𝟑 (𝟏 √ 𝒙) 𝟑 𝒄 .‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬ ∫ 𝒙 √ 𝒙 √𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) √ 𝒙(√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) ( √ 𝒙) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) (𝒙 𝟏 𝟒) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 𝟒 ) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 (𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) [𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 𝟐 (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐/ 𝒄 𝟒 𝟑 (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟒 𝟑 (√ 𝒙 𝟏) 𝟑 𝒄 ‫وزا‬‫ري‬2013/‫د‬2 (𝟏𝟏) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 ( 𝟏 𝟑 ) 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ [ 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)] 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ ( 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟔 ) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄 (𝟏𝟐) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟒 ) ∫(𝟒) 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ∫( 𝟐) 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟖𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟖𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝟏 𝟖 𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 296 ‫وزاري‬2016/‫د‬1 (𝟏𝟓) ∫ √𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝟐)𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟑 𝟐 . 𝟑 𝟐/ 𝒄 𝟏 𝟑 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟑 𝟐 𝒄 (𝟏𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄 (𝟏𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟖𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟏𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟑𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙 𝒄 (𝟏𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟏 𝟐 ,𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙-) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 (∫ 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟔𝒙 𝒅𝒙) 𝟏 𝟒 [𝒙 𝟐 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 ∫ 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒙) 𝒅𝒙] 𝟏 𝟒 [𝒙 𝟏 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙)] 𝒄 𝟏 𝟒 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟏 𝟖 𝒙 𝟏 𝟗𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒄 𝟑 𝟖 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟏 𝟗𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝑐 ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬: (1) ∫ 𝟐𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ( 𝟏 𝟒 ) 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒔𝒊𝒏√ 𝒙 √ 𝒙 𝒅𝒙 (𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒔𝒊𝒏√ 𝒙 √ 𝒙 𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔√ 𝒙 𝒄 (𝟑) ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 . 𝒂 𝟐/ 𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟐 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 0𝐬𝐞𝐜 𝟐 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝟏1 𝒅𝒙 𝟐 𝒂 𝒕𝒂𝒏 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝒙 𝒄 (𝟒) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟐 𝟑 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐( 3 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙)𝒅𝒙 𝟐 𝟑 × (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑 𝟑 𝐜 𝟐 𝟗 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑 𝐜
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 297 (𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟏 𝟐 / 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 1 4 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟏 𝟐 / (𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟒 ) (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟑 𝟐 / 𝟔 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 . 𝟏 𝟐 / (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝐝𝐱 ∫ . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝒙 ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒔𝒆𝒄 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝐝𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙) 𝟏 𝟐 (𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝐝𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝒄 𝟐 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄 (𝟖) ∫ 𝟑 𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔 ( 𝟏 𝒙 ) 𝒅𝒙 ( 𝟑) ∫ 𝟏 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟏 𝒙 ) 𝐝𝐱 𝟑𝒔𝒊𝒏( 𝟏 𝒙 ) 𝐜 (𝟗) ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 ) 𝐝𝐱 ∫ (𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 ) 𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄)𝐝𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ (𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐 (𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 (𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ . 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 / 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 0 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 1 0 𝟏 𝒔𝒊𝒏 1 𝟒 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ) 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫الحل‬ ‫نكمل‬ ‫ثم‬)9(‫الصفحة‬ ً‫ف‬)36( (𝟏𝟏) ∫ ( 𝟓 𝒙 𝟑 𝟕 𝒙 𝟐 ) . 𝟏 𝟑 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟓 𝟕𝒙 𝒙 𝟑 ) . 𝟏 𝟑 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝟓 𝟕𝒙) . 𝟏 𝟑 / 𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟕 (𝟓 𝟕𝒙) . 𝟒 𝟑 / . 𝟒 𝟑/ 𝒄 𝟑 𝟐𝟖 (𝟓 𝟕𝒙) . 𝟒 𝟑 / 𝒄 (𝟏𝟐) ∫ 𝟕𝒙 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟔 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟒(𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 𝟕 ∫ 𝒙 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 𝟕 ∫ . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 ( 𝟕 𝟓 ) ∫(𝟓) . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟒 [ 𝟏 (𝒙 𝟓) 𝟐] 𝒅𝒙 𝟕 𝟓 . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟓 𝟓 𝒄 𝟕 𝟐𝟓 . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟓 𝐜 (𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟓 𝒙 𝟑𝟑 𝒅𝒙 ∫( 𝒙) 𝒙 𝟐 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 ∫( 𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟏 𝟑 ) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ∫( 𝟐𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟏 𝟑 ) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑 ) ( 𝟒 𝟑) 𝒄 𝟑 𝟖 ( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑 ) 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 298 (𝟏𝟒) ∫ 𝟓𝒙 𝟒 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓𝒙 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫ 𝒙(𝟓𝒙 𝟐 𝟑) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟏𝟎 ) ∫(𝟏𝟎)𝒙(𝟓𝒙 𝟐 𝟑) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟏𝟎 ) ( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑) ( 𝟑 𝟐 ) ( 𝟑 𝟐) 𝒄 1 𝟏𝟓 ( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑) ( 𝟑 𝟐 ) 𝒄 (𝟏𝟓) ∫ 𝟓 𝟕√ 𝒙 𝟑 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟑 / (𝒙). 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 [ 𝟐 𝟕 ] ∫ [ 𝟕 𝟐 ] (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟑 / (𝒙). 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 [ 𝟐 𝟕 ] (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟒 𝟑 / . 𝟒 𝟑/ 𝒄 𝟑 𝟏𝟒 (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟒 𝟑 / 𝒄 (𝟏𝟔) ∫ 𝒙 𝟔 (𝟓 𝟑 𝒙 ) 𝟔 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 [𝟓 𝟑 𝒙 ]) 𝟔 𝐝𝐱 ∫(𝟓𝒙 𝟑) 𝟔 𝐝𝐱 ( 𝟏 𝟓 ) (𝟓𝒙 𝟑) 𝟕 𝟕 𝒄 1 𝟑𝟓 (𝟓𝒙 𝟑) 𝟕 𝒄 (𝟏𝟕) ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟔 𝟔𝒙 𝟑 𝟗) 𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(,𝒙 𝟑 𝟑- 𝟐) 𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟎 𝒅𝒙 1 3 ∫ 3𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟎 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) (𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒄 𝟏 𝟑𝟑 (𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟏 𝒄 (𝟏𝟖) ∫ 𝟕𝒙 𝟐 𝒙 𝟔 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟐 𝒙 𝟐(𝒙 𝟒 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟑 𝒙 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 ( 𝟕 𝟒 ) ∫(𝟒)𝒙 𝟑 (𝒙 𝟒 𝟏) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟕 𝟒 ) (𝒙 𝟒 𝟏) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟕 𝟔 (𝒙 𝟒 𝟏) . 𝟑 𝟐 / 𝑐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 299 ‫اللوغارٌتم‬‫الطبٌعــ‬ً‫ـ‬ ‫ةةةةةةةتكن‬‫ة‬‫ل‬u‫ةةةةةةةى‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةةةبة‬‫ة‬‫بالنس‬ ‫ةةةةةةةتماق‬‫ة‬‫لالش‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫لابل‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫موجب‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫دال‬x‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫للدال‬ ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬ ‫ةةةةةةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬ ‫ةةةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬uً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ه‬ ( ) ‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫الدالة‬ . / ‫و‬‫فأن‬ ‫علٌه‬∫ 𝟏 | |‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫شرط‬( )‫موجبةة‬‫هةذه‬ ‫وتسةتخدم‬ ‫ٌصعب‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫توفٌر‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬‫اشتمالها‬‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬: 𝟏 𝟎 ( ) ( ) ‫مثال‬(1)/‫كان‬ ‫اذا‬(𝟑 𝟐 𝟒)‫فأ‬‫و‬‫جد‬ (𝟑 𝟐 𝟒) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟒 ‫مثال‬(2)/‫جد‬∫ 𝜃 𝑑 𝟏 𝜃 𝜃 𝟏 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 ∫ 𝜃 𝑑 𝟏 𝜃 𝜃 ∫ | | |𝟏 |𝜃 / ‫مثال‬: ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫مشتمة‬ ‫جد‬ : ( ) ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) ( ) ( ) . / ( ) . / ( ) ( )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 300 / ‫مثال‬‫التكامل‬ ‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: ∫ ∫ ( ) ( ) 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 1 ( 𝟏 𝟐 ) ∫ (𝟐) 𝟐 1 𝟏 𝟐 | 𝟐 |1 ∫ 𝟏 | | ∫ ∫ ∫ | | ∫ ∫ | | ∫ 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 |𝟏 𝟑 | ‫دالة‬‫اللوغارٌت‬‫م‬ً‫الطبٌع‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬‫ةةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫عكس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬‫أو‬ ‫ةةتمها‬‫ة‬‫نش‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةدوال‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةض‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةان‬‫ة‬‫هن‬ ‫ةةر‬‫ة‬‫أخ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫بمعن‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫علٌه‬ ‫ةةدخل‬‫ة‬‫ن‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫نكامله‬‫ال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫ةةال‬‫ة‬‫أدخ‬ ‫ةةك‬‫ة‬ٌ‫طر‬ ‫ةةن‬‫ة‬‫ع‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫ةةاط‬‫ة‬‫بألغ‬ ‫ةةوم‬‫ة‬‫نم‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ننته‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫ث‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬ ‫علٌها‬ ‫العمل‬ ‫المراد‬ ‫الدالة‬ ‫شكل‬ ‫لتغٌٌر‬ ً‫ه‬ ‫العملٌة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الهدف‬ ً‫الطبٌع‬ ‫ةة‬‫ة‬‫ل‬‫ذا‬‫ةة‬‫ة‬‫ف‬‫ةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫أن‬‫ةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫اي‬‫ةةوة‬‫ة‬‫للم‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫مرفوع‬uً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬( ) (‫االس()الدالة‬ ‫)مشتقة‬ ( )‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬ ∫( )‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬ 𝟐 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 ( ) 𝟎 𝟏 𝟏 ‫مثال‬(3)/‫لتكن‬‫فجد‬ ( 𝟐 ) ‫مثال‬(4)/‫جد‬∫ 𝟐 ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ∫ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 301 ‫األسٌــ‬ ‫الدالة‬‫األساس‬ ( ‫ــة‬)‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫أن‬ ‫نفةةةةةةرض‬( )‫ةةةةةأ‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫أسةةةةةةاس‬ ‫ةةةةةل‬‫ة‬‫ٌمث‬ ‫ةةةةةت‬‫ة‬‫ثاب‬ ‫ةةةةةدد‬‫ة‬‫ع‬‫للمةةةةةةوة‬ ‫مرفوعةةةةةةة‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫دالةةةةةةة‬ ‫اي‬ ‫ةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ن‬uً‫هةةةةةة‬ ( ) (‫()الدالة‬ ‫األساس‬ )(‫االس‬ ‫)مشتقة‬ ( )( )‫ةةةةةةةةةةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬∫( ) 𝟏 ( ) . ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫نوضح‬ ‫وسوف‬ ‫السابمة‬ ‫األسٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬ ‫ذكرناها‬ ً‫الت‬ ‫الخصائص‬ ‫ببعض‬ ‫وتتمٌز‬ ‫مثال‬(5)/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: 𝟑 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟓 ( 𝟑)(𝟐) (𝟐 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟓 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐)( 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐)(𝟐 𝟐 ) 𝟓 𝟓 ( 𝟓)( ) ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐) 𝟏 ( ) ( ), - , - ( ) 𝟑(𝟐 𝟒 ) 𝟑(𝟐 𝟒 ) ( 𝟑),𝟒 ( 𝟒)(𝟏)- 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟓 (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟓 𝟓 𝟓 ( 𝟓)
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 302 ‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬: ∫ 𝟕 𝟏 𝟕 𝟕 ∫ ( ) ∫ ∫ √ √ ( 𝟐) ∫ √ ( 𝟐)√ 𝟐 √ ‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬: ∫ 𝟒 𝟒 ( 𝟏 𝟒 ) ∫ 𝟐 ( ) 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 ∫( 𝟑) 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 ∫ 𝟑 𝟕 ( 𝟐 𝟕 ) ( 𝟏 𝟕 ) ∫( 𝟕) 𝟑 𝟕 ( 𝟐 𝟕 ) ( 𝟏 𝟕 ) 𝟑 𝟕 ( 𝟏 𝟑 ) ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 ∫ ( 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 ) ∫(𝟐(𝟑 𝟑 𝟑) 𝟐(𝟒 𝟐 𝟑) ) ∫ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟑 𝟓 ( 1 2 ) ∫( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟑 ) ∫( 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟓 ( 1 2 ) 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝟏 𝟑 ) 𝟐 𝟑 𝟓 ( 𝟏 𝟐 ) ∫ 𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 303 (𝟒 𝟑)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: (𝒂) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 (𝒃) 𝐲 𝐥𝐧 . 𝒙 𝟐 / . 𝟏 𝟐 / . 𝒙 𝟐 / ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝟐 𝒙 ) 𝟏 𝒙 (𝒄) 𝒚 𝒍𝒏(𝒙 𝟐) 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 (𝒅) 𝐲 (𝒍𝒏𝒙) 𝟐 𝟐 𝒍𝒏𝒙 ( 𝟏 𝒙 ) 𝟐 𝒙 𝐥𝐧𝐱 (𝒆) 𝒚 𝒍𝒏 ( 𝟏 𝒙 ) 𝟑 𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟑 ( 𝟑𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 ) 𝟑𝒙 𝟏 𝟑 𝒙 (𝒇) 𝒚 𝒍𝒏(𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙) ( 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝒈) 𝐲 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) , 𝟏𝟎𝒙 𝟑- ( 𝟏𝟎𝒙 𝟑) 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) (𝒉) 𝒚 𝟗√ 𝒙 𝟗√ 𝒙 (𝒍𝒏𝟗) ( 𝟏 𝟐√ 𝒙 ) 𝟗√ 𝒙 𝟐√ 𝒙 (𝒍𝒏𝟗) (𝒊) 𝒚 𝟕 . 𝒙 𝟒 / 𝟕 . 𝒙 𝟒 / (𝒍𝒏𝟕) ( 𝟏 𝟒 ) 𝒍𝒏𝟕 𝟒 𝟕 . 𝒙 𝟒 / ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐)
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 304 ‫س‬2/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬: (𝑎) ∫ 1 𝟏 ,𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒙 𝟏 𝟑 - 𝟎 | 𝒍𝒏|𝟑 𝟏| 𝒍𝒏|𝟎 𝟏| 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟒 𝟎 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟐 𝟐 𝟐𝒍𝒏𝟐 (𝒃) ∫ 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 𝟎 𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟐 𝟗 𝟒 - 𝟎 | | 𝒍𝒏|𝟏𝟔 𝟗| 𝒍𝒏|𝟎 𝟗| 𝒍𝒏𝟐𝟓 𝒍𝒏𝟗 𝒍𝒏𝟓(𝟐) 𝒍𝒏𝟑(𝟐) 𝟐𝒍𝒏𝟓 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏 𝟓 𝟑 ‫وزاري‬4201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬1 (𝒄 ∫ 𝟐 𝟓 𝟑 ) 𝒅𝒙 , 𝟐 𝟓 - 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐( 𝟓) 𝟐( 𝟑) 𝟏 𝟐 (𝟓) 𝟐 0 (𝟑) 𝟐 1 𝟏 𝟐 𝟐𝟓, 𝟗- 𝟏 𝟐 𝟏𝟔, - 𝟖 (𝒅) ∫ 𝟐 𝟎 𝒅𝒙 , 𝟐 - 𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟏 0 𝟏1 𝟐 𝟏 0 𝟏1 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 ‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2 (𝒆) ∫ ( 𝟏 )2 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 * ( 𝟏 )3 3 + 0 1 3 ,( 𝟏 )3 𝟏 - 𝟎 1 3 1 [ (1 𝒆 𝟏) 3 (1 𝒆 𝟎) 3 ] 𝟑 𝟏 ( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟏 𝟏) 𝟑 𝟑 𝟏 ( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟐) 𝟑 𝟑 𝟏 ( 𝟏 𝒆) 𝟑 𝟑 𝟖 ‫السؤال‬ ‫كان‬ ‫لو‬: ∫ ( 𝟏 ) 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟐 ) 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 * 𝒆 𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝟐 + 0 1 * 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝟐 + * 𝒆 𝟎 𝒆 𝟎 𝟐 + 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 ‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬1 (𝒇) ∫ 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 - 𝟎 ( ) 𝒍𝒏𝟔 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟔 𝟎 𝒍𝒏𝟔 ‫وزاري‬5201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬2 (𝒈) ∫ √ 𝟐√ 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 , √ 𝟒 - 𝟎 0𝒆√𝟒 𝒆√𝟏1 𝒆 𝟐 𝒆 𝟏 ‫وزاري‬2011/‫د‬1 (𝒉 ∫ ( 𝟐 𝟐 ) 𝟒 𝟒 ) 𝒅𝒙 , |𝟐 | 𝟒 - 𝟒 𝒍𝒏 |𝟐 𝟒 |𝒍𝒏 |𝟐 𝟒 |𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟑 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟑 𝟎 𝒍𝒏𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 305 (𝒊) ∫ √ 𝟐 𝟔 𝒅𝒙 ∫ ( ). 𝟏 𝟐 /𝟐 𝟔 𝐝𝐱 ( ). 𝟏 𝟐 / [ . 𝟏 𝟐 / 𝟔 𝟐 ] , 𝟐√ 𝟐 - 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟐 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟐 √𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 √𝟐 𝟐 √𝟐 ( ) ∫ 𝟑 𝟓 ∫( 𝟐 𝟓 ) 𝟓 ∫( 𝟐 𝟓 𝟏) 𝟓 ∫( 𝟐 𝟓 𝟓 𝟓 ) ∫ 𝟓 𝟐 𝟓 ∫ 𝟓 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟓 ) 𝟐 𝟓 𝟐 ∫ 𝟓 𝟓 𝒅𝒙 𝟏 𝟏𝟎 𝟐 𝟓 𝟏 𝟓 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙| 𝒄 ‫وزاري‬2015/‫د‬1 ( 𝒌 ∫ ( ) 𝟐 𝟎 ) 𝒅𝒙 , - 𝟐 0 . 𝟐 / (𝟎) 1 , 𝟎 𝟏- 𝟏 𝒆 ( 𝑳 ∫ 𝟐 𝟏 ) 𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 , 𝟐 - 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 ‫س‬3/‫أثبت‬‫أن‬: ( ) ∫ √ 𝟑 𝟏 √ 𝟐𝟑 𝟐 𝟖 𝟏 ‫األٌسر‬ ∫ 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟏 𝟐𝟖 𝟏 𝟑 ∫ ( 𝟏 𝟑 ) 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟏 𝟐𝟖 𝟏 𝟑 [ ( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ] 𝟏 𝟖 𝟐 [( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 ] 𝟏 𝟖 𝟐 [(𝟖 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 (𝟏 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 ] 𝟐 [(𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 (𝟏 𝟏) 𝟑 𝟐] 𝟐 [(𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎] 𝟐(𝟏) 𝟐 ‫األٌمن‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 306 ( ) ∫ |𝟑 𝟔| 𝟒 𝟐 𝒅𝒙 𝟑𝟎 ‫مالحظة‬𝟑 𝟔 𝟐 |3 6| 2 3 6 2 6 3 < 2 ‫األٌسر‬ ‫الطرف‬ ∫ |3 6| 2 𝑑𝑥 ∫ (6 3 ) 2 2 𝑑𝑥 ∫ (3 6) 2 𝑑𝑥 *6 3 2 2 + 2 2 * 3 2 2 6 + 𝟐 𝟒 (,12 𝟔- , 12 6-) ( 24 24 ,𝟔 12-) 6 18 6 ‫األٌمن‬ ‫الطرف‬𝟑𝟎 ‫وزاري‬2016/‫د‬1 ‫س‬4/( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟐 𝟔-‫كان‬ ‫فأذا‬∫ ( ) 𝟔 𝟏 𝟔‫وكان‬∫ , ( ) 𝟑- 𝟔 𝟐 𝟑𝟐‫فج‬‫ـــــ‬‫د‬ ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ∫ , ( ) 𝟑- 𝟔 𝟐 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 ∫ 𝟑 𝟔 𝟐 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 | 𝟑 | 𝟐 𝟔 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 , 𝟏𝟖 ( 𝟔)- 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 𝟐𝟒 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 𝟖 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟏 𝟖 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟔 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟖 𝟔 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 307 ‫س‬5/‫لٌمة‬ ‫جد‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬∫ . 𝟏 𝟐 /𝟏 𝟐 ∫ 𝟐𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟏 𝟐∫ 𝟐𝟒 𝟎 * 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐, - 𝟎 𝟒 ( 𝟐 𝟐 𝟐 ) ( 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 ) 𝟐 [ 𝟒 𝟎] 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐,𝟏 𝟎- 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 (×𝟐) ⇒ 𝟐 𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎 𝟑 𝟐 ‫س‬6/‫لتكن‬( ) 𝟐 𝟐‫حٌث‬‫تساوي‬ ‫الصغرى‬ ‫نهاٌتها‬ ‫دالة‬( 𝟓)‫فجد‬∫ ( ) 𝟑 𝟏 ‫الحل‬/‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬ ∴̅( ) 𝟎 ( ) 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐) ⇒ 𝟏 ∴‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫وه‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬( ) 𝟓 ( 𝟏) 𝟐 𝟐( 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ ( 𝟐 𝟐 𝟒 ) 𝟑 𝟏 * 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 + (𝟗 𝟗 𝟏𝟐) ( 𝟏 𝟑 𝟏 𝟒) 𝟔 ( 𝟏 𝟑 𝟑) 𝟔 ( 𝟏 𝟗 𝟑 ) 𝟔 ( 𝟖 𝟑 ) 𝟏𝟖 𝟖 𝟑 𝟐𝟔 𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 308 ‫س‬7/ً‫للمنحنةةة‬ ‫كةةةان‬ ‫أذا‬( ) ( 𝟑) 𝟑 𝟏‫انم‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫نمط‬‫ـــــةةةـ‬‫الب‬( )‫ةةةدار‬‫ة‬‫للمم‬ ‫العددٌةةةة‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المٌم‬ ‫جةةةد‬ ∫ ( )𝟎 ∫ ( )𝟎 ‫وزاري‬2015/‫د‬3 ‫الحل‬/‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ∴̅̅( ) 𝟎 ( ) ( 𝟑) 𝟑 𝟏 ̅( ) 𝟑( 𝟑) 𝟐 ̅̅( ) 𝟔( 𝟑) 𝟔( 𝟑) 𝟎 ( 𝟔) ⇒ 𝟑 𝟎 𝟑 (𝟑) (𝟑 𝟑) 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 ∴‫األنمالب‬ ‫نمطة‬( )ً‫ه‬(𝟑 𝟏)‫أن‬ ‫أي‬𝟑 𝟏 ∫ ( ) 𝟎 ∫ ( ) 𝟎 ∫ 𝟑( 𝟑) 𝟐 𝟏 𝟎 ∫ 𝟔( 𝟑) 𝟑 𝟎 𝟑 * ( 𝟑) 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟏 𝟔 * ( 𝟑) 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟑 𝟑 * (𝟏 𝟑) 𝟑 𝟑 (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟑 + 𝟔 * (𝟑 𝟑) 𝟐 𝟐 (𝟎 𝟑) 𝟐 𝟐 + 𝟑 [ 𝟖 𝟑 𝟐𝟕 𝟑 ] 𝟔 [ 𝟎 𝟗 𝟐 ] 𝟑 [ 𝟏𝟗 𝟑 ] 𝟔 [ 𝟗 𝟐 ] 𝟏𝟗 𝟐𝟕 𝟒𝟔
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 309 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ / ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬: (𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒙(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙) (𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝐝𝐱 𝐥𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙| 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒆𝒍𝒏(𝒙 𝟐 𝟓) 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝟓)𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝟓𝒙 𝒄 (𝟑) ∫ 𝒆|𝒙| 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙 𝟎 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙 𝟐 𝟎 𝒅𝒙 ,𝟏 𝒆 𝟐- ,𝒆 𝟐 𝟏- 𝟐𝒆 𝟐 𝟐 (𝟒) ∫ 𝒅𝒙 𝒙√𝟏 𝒍𝒏𝒙 ∫ (𝟏 𝒍𝒏𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 (𝟏 𝒍𝒏𝒙) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝒄 𝟐√𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒄 (𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| 𝒄 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏𝒙| 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙) (𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙| 𝒄 (𝟖) ∫ 𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 √ 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 (𝟐)√ 𝒙 𝒅𝒙 𝟐𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 𝒕𝒂𝒏√ 𝒙| 𝒄 (𝟗) ∫ ( 𝟏 𝒙 𝒍𝒏𝒙 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒍𝒏𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙 (𝒍𝒏𝒙) 𝟐 𝟐 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ (𝒍𝒏𝒙) 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 (𝒍𝒏𝒙) 𝟒 𝟒 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝒆 𝒙 (𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙(𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 (𝒆 𝒆 𝒙) 𝟏 𝟏 𝒄 𝟏 𝒆 𝒆 𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 310 / ‫مثال‬‫جد‬‫للدوال‬‫التالٌة‬: (𝟏) ( ) ( 𝟏 ) (𝟏) 𝟏 (𝟏 ) ( ) (𝟏 ) (𝟐) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 𝟐 𝟐 ( 𝟏 ) 𝟐 ( 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 ) (𝟑) ( ) ( ) (𝟒 ) ( )𝒙 𝟐( ) ,𝟏 -𝒙 𝟐( ) 𝟐( )𝒙 𝟐( ) 𝟐( )𝒙 , 𝟐( )𝒙 𝟐( )- 𝟐( ) 𝟐( )𝒙 (𝟓) 𝟑 𝟏 (𝟑 𝟏)(𝟏) ( )( 𝟑 𝟑 ) (𝟑 𝟏) 𝟐 (𝟑 𝟏) ( 𝟑 𝟑 ) (𝟑 𝟏) 𝟐 / ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬: ⒜‫عندما‬𝟎 𝟎 𝟏 (𝟎 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 .‫المماس‬ ‫معادلة‬/
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 311 (b)𝟐‫عندما‬𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 (𝟏 𝟐) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒( 𝟏) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬ (c)‫عندما‬ ( ) (𝟏) ( ) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ ( 𝟏 ) (𝟏) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐( ) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬ / ‫مثال‬‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) ( ),0𝟎 𝟒 1‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( )‫ثم‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟒 𝟎 / ‫الحل‬ ( )‫وكذلن‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( )‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟐 ( ) ( ) ( ‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ) ∫ 𝟒 𝟎 , ( )- (√𝟐 𝟏) (𝟏 𝟎) (√𝟐 𝟏)
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 312 :‫مالحظة‬ ‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫نستخدم‬. /‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫جهة‬ ‫على‬ ‫متغٌر‬ ‫كل‬ ‫نضع‬ ‫ثم‬ ‫للمٌل‬ ****************************************************************** ‫س‬1:‫المستمٌم‬ ‫ٌمس‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫جد‬𝟑 𝟕‫ٌساوي‬ ‫نماطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬𝟑 𝟐 𝟔 ‫س‬2:‫الثانٌةة‬ ‫المشتمة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬𝟔‫للدالةة‬ ‫وكةان‬‫النمطةة‬( 𝟏 𝟒)‫ثةم‬ ‫الدالةة‬ ً‫منحنة‬ ‫جةد‬ ‫محلٌةة‬ ‫عظمةى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫نمطةة‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ‫بأستخدام‬ ‫س‬3:‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟐 𝟔 )‫لٌمتهةا‬ ‫محلٌةة‬ ‫صةغرى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫وله‬ ( 𝟑)‫ممعر‬ ً‫المنحن‬ ‫وكان‬( > 𝟏)‫لكل‬ ‫ومحدب‬( < 𝟏) ‫س‬4:‫بالنمطة‬ ‫المار‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟏 𝟐)‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 ‫س‬5:‫جد‬‫معادلة‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ‫المنحنٌات‬‫عند‬ ‫مٌلها‬‫نمطها‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬( )‫هو‬ 𝟐 𝟐 ****************************************************************** ‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫اٌجاد‬ ‫مسا‬‫حة‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬‫السـ‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬‫ــٌنات‬ ‫لتكن‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫ولتكن‬Aً‫بةالمنحن‬ ‫المحةددة‬ ‫المنطمةة‬ ‫مسةاحة‬( )‫ومحةور‬ ‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬‫فأن‬|∫ ( ) | ‫الحل‬ ‫خطوات‬: ‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬‫ما‬ ‫نتبع‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬ً‫ٌل‬: Ⓘ‫ةةةل‬‫ة‬‫نجع‬( ) 𝟎‫ةةةرة‬‫ة‬‫للفت‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫ةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫ةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةع‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةاطع‬‫ة‬‫التم‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫ةةةاد‬‫ة‬‫الٌج‬, -‫ةةةزي‬‫ة‬‫فنج‬ ‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬ ‫تعلمنا‬ ‫كما‬ ‫الفترة‬. ②‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫الدالة‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬ ③‫مجموع‬ = ‫المساحة‬‫لل‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬‫المجزئة‬ ‫تكامالت‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 313 ‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑 𝟒‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟐 𝟐- / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 ∴ً‫ه‬ ‫التكامل‬ ‫فترات‬( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐) |∫ ( 𝟑 𝟒 ) 𝟎 𝟐 | |∫ ( 𝟑 𝟒 ) 𝟐 𝟎 | * 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟎 * 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟐 |(𝟎) (𝟒 𝟖)| |(𝟒 𝟖) (𝟎)| 𝟒 | 𝟒| 𝟖 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ‫ةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(2)/‫مس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫المح‬ ‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ددة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ــ‬‫ة‬𝟐 ‫ةةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫والمستمٌمٌن‬𝟏 𝟑 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟎 𝟎 ,𝟏 𝟑- |∫ 𝟐 𝟑 𝟏 | 𝟑 * 𝟑 𝟑 + 𝟏 |[ 𝟐𝟕 𝟑 ] [ 𝟏 𝟑 ]| 𝟐𝟔 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2013/‫د‬1 ‫مثال‬(3)/‫الدالة‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟏)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 |∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟏 𝟎 | |∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟏 | * 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 + 𝟎 𝟏 * 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 |( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟏) (𝟎)| |(𝟒 𝟖 𝟒) ( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟏)| 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟒 | 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 314 ‫مثةةةال‬(4)/‫الدالةةةة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫المنطمةةةة‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟐 𝟏‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟐 𝟑- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 , 𝟐 𝟑- |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟐 | |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟏 | |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟏 | * 𝟑 𝟑 + 𝟐 𝟏 * 𝟑 𝟑 + 𝟏 𝟏 * 𝟑 𝟑 + 𝟏 𝟑 |[( 𝟏 𝟑 𝟏) ( 𝟖 𝟑 𝟐)] [( 𝟏 𝟑 𝟏) ( 𝟏 𝟑 𝟏)] [(𝟗 𝟑) ( 𝟏 𝟑 𝟏)]| | 𝟕 𝟑 𝟏| | 𝟐 𝟑 𝟐| |𝟕 𝟏 𝟑 | 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐𝟎 𝟑 𝟐𝟖 𝟑 𝟗 𝟏 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( )‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬0 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 𝟎 [ 𝟐 ] |∫ 𝟎 𝟐 | |∫ 𝟎 | | 𝟎 , - 𝟐 | | , - 𝟎 | | (𝟎) . 𝟐 /| | ( ) (𝟎)| , 𝟏 𝟎- ,𝟏 𝟏- | 𝟏| 𝟐 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 315 ‫مثةةةةال‬(6)/‫مس‬ ‫جةةةةد‬‫ــةةةةـ‬‫الدال‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫احة‬‫ـــةةةةـ‬‫ة‬‫وعلةةةةى‬ ‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬ ‫الفترة‬, - / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 𝟐 , - |∫ 𝟐 | |∫ 𝟐 𝟐 | |∫ 𝟐 | | 𝟐 , - | | | 𝟐 , - 𝟐 | | | , - 𝟐 | | . 𝟐 / ( )| | . 𝟐 / . 𝟐 /| | ( ) . 𝟐 /| | 𝟏 𝟎| |𝟏 𝟏| |𝟎 𝟏| | 𝟏| 𝟐 | 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ / ‫ةةةةال‬‫ة‬‫مث‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( ) 𝟐 𝟒‫ةةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟏 𝟑- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐 , 𝟏 𝟑- (‫السالب‬ ‫ٌهمل‬ ) |∫ ( 𝟐 𝟒) 𝟐 𝟏 | |∫ ( 𝟐 𝟒) 𝟑 𝟐 | |* 𝟑 𝟑 𝟒 + 𝟏 𝟐 | |* 𝟑 𝟑 𝟒 + 𝟐 𝟑 | |( 𝟖 𝟑 𝟖) ( 𝟏 𝟑 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) ( 𝟖 𝟑 𝟖)| | 𝟗 𝟑 𝟖 𝟒| | 𝟑 𝟖 𝟑 𝟖| |𝟑 𝟏𝟐| |𝟓 𝟖 𝟑 | | 𝟗| | 𝟏𝟓 𝟖 𝟑 | 𝟗 𝟕 𝟑 𝟐𝟕 𝟕 𝟑 𝟑𝟒 𝟑 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 316 / ‫مثال‬‫مس‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫الدال‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫احة‬‫ــــ‬‫ة‬( )‫الس‬ ‫ومحور‬‫ــــ‬‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫ٌنات‬,𝟎 𝟐- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 ( ‫الصفر‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫موجب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫ألنه‬ ‫الٌمكن‬ ) |∫ 𝟐 𝟎 | | 𝟐 𝟎 | ( 𝟐 𝟏) (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ) / ‫مثةةةةال‬‫الدالةةةةة‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫مسةةةةاحة‬ ‫جةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐 ‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬ ‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 [ 𝟎 𝟐 ] |∫ 𝟐 𝟒 𝟎 | |∫ 𝟐 𝟐 𝟒 | |[ 𝟏 𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟒 | |[ 𝟏 𝟐 𝟐 ] 𝟒 𝟐 | [ 𝟏 𝟐 (𝟏 𝟎)] [ 𝟏 𝟐 (𝟎 𝟏)] 𝟏 𝟐 | 𝟏 𝟐 | 𝟏 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ) ****************************************************************** ‫بمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫لتكن‬( ) ( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرتان‬ ‫دالتٌن‬, -‫المحةد‬ ‫المساحة‬ ‫فأن‬‫بةالمنحنٌٌن‬ ‫دة‬f,g‫والمسةتمٌمٌن‬ ً‫ه‬|∫ ( ( ) ( )) | : ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ً‫ماٌل‬ ‫نتبع‬ ‫دالتٌن‬ ً‫منحن‬ ‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬: Ⓘ‫نجعةةةل‬( ) ( )‫للفتةةةرة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫فةةةأذا‬ ‫التمةةةاطع‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫الٌجةةةاد‬, -‫ةةةا‬‫ة‬‫تعلمن‬ ‫كمةةةا‬ ‫ةةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ‫فنجةةةزي‬ ‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬. ②‫الدالتٌن‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬. ③= ‫المساحة‬‫المجزئة‬ ‫للتكامالت‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬ ‫مجموع‬(‫األكبر‬ ‫للدالة‬–) ‫األصغر‬ ‫الدالة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 317 ‫وزار‬‫ي‬2011/‫د‬1 ‫مثال‬(1)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬ً‫بالمنحن‬ ‫المحددة‬√‫والمستمٌم‬ / ‫الحل‬ ‫نجد‬‫التماطع‬ ‫نمط‬‫بجعل‬ ‫وذلن‬√ √ (‫)بالتربٌع‬ ⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 |∫ (√ ) 𝟏 𝟎 | |∫ ( . 𝟏 𝟐 / ) 𝟏 𝟎 | |[ . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟏 | [* 𝟐 √ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟏 ] [( 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 ) (𝟎)] 𝟒 𝟑 𝟔 𝟏 𝟔 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫مثال‬(2)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ً‫المنحن‬𝟑 ‫والمستمٌم‬ / ‫الحل‬ ‫بجعل‬ ‫وذلن‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫نجد‬𝟑 𝟑 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 |∫ ( 𝟑 ) 𝟎 𝟏 | |∫ ( 𝟑 ) 𝟏 𝟎 | |* 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟎 | |* 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟏 | |(𝟎) ( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 )| |( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 ) (𝟎)| 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟐 (‫مساحة‬ ‫)وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 318 ‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(3)/‫مس‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( )‫و‬( ) ‫الفترة‬ ‫وعلى‬0 𝟐 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟏 𝟒 [ 𝟐 𝟐 ] (‫الموجب‬ ‫األتجاه‬) |∫ ( ) 𝟒 𝟐 | |∫ ( ) 𝟐 𝟒 | | |, 𝟒 - 𝟐 | | | |, 𝟐 - 𝟒 | | |( . 𝟒 / . 𝟒 /) ( . 𝟐 / . 𝟐 /)| |( . 𝟐 / . 𝟐 /) ( . 𝟒 / . 𝟒 /)| |( 𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 ) ( 𝟏 𝟎)| |(𝟏 𝟎) ( 𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 )| | 𝟐 √𝟐 𝟏| |𝟏 𝟐 √𝟐 | |√𝟐 𝟏| |𝟏 √𝟐| √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟏 𝟐√𝟐 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ / ‫مثةةةةةةةال‬‫بةةةةةةة‬ ‫المحةةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةةد‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( ) 𝟐 𝟐 𝟏‫و‬( ) 𝟓 ‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑- ‫الحل‬/‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟒)( 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 |∫ ( 𝟐 𝟑 𝟒) 𝟏 𝟐 | |∫ ( 𝟐 𝟑 𝟒) 𝟑 𝟏 | |* 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 + 𝟐 𝟏 | |* 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 + 𝟏 𝟑 | |( 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒) ( 𝟖 𝟑 𝟔 𝟖)| |(𝟗 𝟐𝟕 𝟐 𝟏𝟐) ( 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒)| | 𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟒𝟖 𝟔 | | 𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟕𝟐 𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟔 | 𝟏𝟕 𝟔 | 𝟏𝟏𝟐 𝟔 | 𝟏𝟕 𝟔 𝟏𝟏𝟐 𝟔 𝟏𝟐𝟗 𝟔 𝟒𝟑 𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 319 / ‫مثال‬‫جد‬‫المساحة‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬𝟒 𝟏𝟐‫و‬𝟐 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒)( 𝟐 𝟑) 𝟎 𝟐 ∓√ 𝟑 ‫ٌهمل‬ |∫ ( 𝟒 𝟐 𝟏𝟐) 𝟐 𝟐 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟑 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟐 | * 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟑 𝟐𝟒+ * 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟑 𝟐𝟒+ | 𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎 𝟏𝟓 | | 𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎 𝟏𝟓 | | 𝟑𝟎𝟒 𝟏𝟓 | 𝟑𝟎𝟒 𝟏𝟓 𝟔𝟎𝟖 𝟏𝟓 𝟒𝟎 𝟖 𝟏𝟓 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) / ‫مثةةةةةةال‬‫بةةةةةةالمنحنٌٌن‬ ‫المحةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐 𝟏‫و‬( ) 𝟐 ‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 [ 𝟎 𝟐 ] 𝟏 (‫ٌهمل‬ ) |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟎 | |∫ ( 𝟐 ) 𝟐 𝟎 ∫ 𝟐 𝟎 | |∫ ( 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟎 ∫ 𝟐 𝟎 | |[ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 ] 𝟎 𝟐 , - 𝟎 𝟐 | |[( 𝟏 𝟐 × 𝟐 𝟎) 𝟎] 0 𝟐 𝟎1| | 𝟒 𝟐 | | 𝟒 | 𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 320 / ‫مثال‬‫المنحنٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) | 𝟏| 𝟐‫و‬( ) 𝟏 𝟓 𝟕 / ‫الحل‬( ) 2 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 < 𝟏 ( ) 2 𝟏 𝟏 𝟑 < 𝟏 ‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟏 𝟏 𝟓 𝟕 𝟔 𝟓 𝟔 𝟓 𝟏 𝟑 𝟏 𝟓 𝟕 𝟒 𝟓 𝟒 𝟓 < 𝟏 |∫ ( 𝟒 𝟓 𝟒) 𝟏 𝟓 | |∫ ( 𝟔 𝟓 𝟔) 𝟓 𝟏 | |* 𝟒 𝟐 𝟏𝟎 𝟒 + 𝟓 𝟏 | |* 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 𝟔 + 𝟏 𝟓 | |( 𝟒 𝟏𝟎 𝟒) (𝟏𝟎 𝟐𝟎)| |( 𝟏𝟓 𝟑𝟎) ( 𝟔 𝟏𝟎 𝟔)| | 𝟒𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟎| | 𝟏𝟓 𝟓𝟒 𝟏𝟎 | | 𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟒 𝟏𝟎 | 𝟐𝟒𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟒 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / / ‫مثال‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟐 ( ) 𝟏 𝟐 𝟐‫الفترة‬ ‫وعلى‬,𝟎 𝟏- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 (‫بالدستور‬) ⇒ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟖 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑𝟑 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 √𝟑𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑𝟑 𝟒 𝟏 √ 𝟑𝟑 𝟒 𝟎 𝟏 ‫الدالة‬ ‫نختبر‬(0) 0 < (0) 2‫الدالة‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬( )‫األكبر‬ ‫الدالة‬ ً‫ه‬ |∫ ( 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 ) 𝟏 𝟎 | |* 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟏 | |( 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 ) (𝟎)| 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝟐𝟑 𝟏𝟐 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 321 ‫المســــــافة‬ ‫ةةتكن‬‫ة‬‫ل‬( )‫ةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الممطوع‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةتوي‬‫ة‬‫مس‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫جس‬ ‫ةةرعة‬‫ة‬‫س‬ ‫الزمنٌة‬, 𝟏 𝟐-ً‫ه‬:∫ | ( )|𝟐 𝟏 ‫تمثل‬ ‫حٌث‬( )‫متجهة‬ ‫غٌر‬ ‫كمٌة‬ ً‫وه‬ ‫المسافة‬ ‫ممدار‬ ‫أم‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــــــــ‬‫ةةةةةة‬‫ة‬‫األزاح‬ ‫ا‬( )‫والس‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫رعة‬( )‫ةةةةةل‬‫ة‬ٌ‫والتعج‬( )ٌ‫كم‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫فه‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫أزاح‬ ‫وأن‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫متجه‬ ‫ات‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫ة‬ ً‫ه‬ ‫الجسم‬∫ ( )𝟐 𝟏 ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫و‬∫ ( ) : ‫مالحظات‬ Ⓘ‫ال‬ ‫النات‬ ‫ألن‬ ‫مطلك‬ ‫بدون‬ ‫وٌكون‬ ‫للسرعة‬ ‫محدد‬ ‫تكامل‬ ‫األزاحة‬‫صفر‬ ‫أو‬ ‫سالب‬ ‫أو‬ ‫موجب‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ‫ٌهم‬ ②‫ال‬ ً‫لك‬ ‫هو‬ ‫المسافة‬ ‫لانون‬ ً‫ف‬ ‫المطلك‬ ‫وجود‬‫سالب‬ ‫النات‬ ‫ٌكون‬ ③‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬‫مثال‬‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫الثامنة‬ ‫الثانٌة‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬∫ ‫الدالة‬ ④‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫األولى‬ ‫الخمس‬ ً‫الثوان‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬ ‫مثال‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬∫ ‫الدالة‬ ⑤‫فأن‬ ‫الجسم‬ ‫تعجٌل‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ً‫أعط‬ ‫أذا‬‫السرعة‬ ( ) ∫ ‫التعجٌل‬‫محدد‬ ‫غٌر‬ ‫تكامل‬ ‫وهو‬ ⑥‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةد‬‫ة‬‫وج‬ ‫أن‬ ‫ةةل‬‫ة‬‫التكام‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫تجزئ‬ ‫ةةدوث‬‫ة‬‫ح‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ٌعن‬ ‫ةةذا‬‫ة‬‫وه‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫الجس‬ ‫ةةاه‬‫ة‬‫أتج‬ ‫ةةر‬‫ة‬ٌ‫ٌتغ‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةاد‬‫ة‬‫أٌج‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ . ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫التكامل‬ ً‫ف‬ ‫التجزئة‬ ‫تهمل‬ ‫لذا‬ ‫ثابت‬ ‫الجسم‬ ‫أتجاه‬ ‫ٌكون‬ ‫األزاحة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 322 ‫مثال‬(1)/‫بسرعة‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬( ) 𝟐 𝟒 ⁄‫فجــــــــــــــد‬: ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,𝟏 𝟑 -ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫األزاحة‬,𝟏 𝟑 - ⓒ‫الخ‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬‫امسة‬ⓓً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫بعده‬(4)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ‫الح‬‫ل‬/2 4 0 2 4 𝟐 ,1 3 - |∫ (𝟐 𝟒) 𝟐 𝟏 | |∫ (𝟐 𝟒) 𝟑 𝟐 | |, 𝟐 𝟒 𝟐 - 𝟏 | |, 𝟐 𝟒 𝟑 - 𝟐 | |(𝟒 𝟖) (𝟏 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) (𝟒 𝟖)| | 𝟒 𝟑| | 𝟑 𝟒| 𝟏 𝟏 𝟐 ∫ (𝟐 𝟒) 𝟑 𝟏 , 𝟐 𝟒 𝟑 - 𝟏 (𝟗 𝟏𝟐) (𝟏 𝟒) 𝟑 𝟑 𝟎 |∫ (𝟐 𝟒) 𝟓 𝟒 | |, 𝟐 𝟒 𝟓 - 𝟒 | |,(𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟏𝟔 𝟏𝟔)-| 𝟓 ∫ (𝟐 𝟒) 𝟒 𝟎 |, 𝟐 𝟒 𝟒 - 𝟎 | ,(𝟏𝟔 𝟏𝟔) (𝟎)- 𝟎 ‫مثةةةةال‬(2)/‫بتعجٌةةةةل‬ ‫مسةةةةتمٌم‬ ‫خةةةةط‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ٌتحةةةةرن‬ ‫جسةةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫ةةةةبحت‬‫ة‬‫أص‬ ‫لةةةةد‬ ‫سةةةةرعته‬ ‫كانةةةةت‬ ‫ةةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬ (𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)ً‫ثوان‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬: ⓐ‫خالل‬ ‫المسافة‬‫الثانٌة‬‫الثالثة‬ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)ً‫ثوان‬ / ‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟖 𝟏𝟎 |∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟑 𝟐 | |, 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 - 𝟐 | |(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟑𝟔 𝟐𝟎)| 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟓 ∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟑 𝟎 , 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 - 𝟎 (𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏 ⓒ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫السرعة‬ ‫جد‬ ‫أعاله‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬(10)ً‫ثوان‬ ( ) 𝟏𝟖 𝟏𝟎 (𝟏𝟎) 𝟏𝟖(𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗𝟎
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 323 (𝟒 𝟔)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟒 ‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬𝟏 𝟏 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟎 ( 𝟑 𝟏) 𝟎 𝟎 , 𝟏 𝟏- 𝟏 , 𝟏 𝟏- |∫ ( 𝟒 ) 𝟎 𝟏 | |∫ ( 𝟒 ) 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟏 | |(𝟎) ( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 )| |( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 ) (𝟎)| | ( 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 )| |( 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 )| 𝟕 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫س‬2/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑-‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐 , 𝟐 𝟑- 𝟐 𝟏 ‫ٌهمل‬ |∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒) 𝟐 𝟐 | |∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒) 𝟑 𝟐 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 + 𝟐 𝟐 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 + 𝟐 𝟑 | |( 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟖) ( 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟖)| |( 𝟐𝟒𝟑 𝟓 𝟐𝟕 𝟏𝟐) ( 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟖)| | 𝟔𝟒 𝟓 𝟑𝟐| | 𝟐𝟏𝟏 𝟓 𝟐𝟑| | 𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟎 𝟓 | | 𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟓 𝟓 | | 𝟗𝟔| 𝟗𝟔 𝟓 𝟏𝟗𝟐 𝟓 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫س‬3/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒 𝟐 ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 |∫ ( 𝟒 𝟐) 𝟎 𝟏 | |∫ ( 𝟒 𝟐) 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟑 + 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟏 | |(𝟎) ( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟑 )| |( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟑 ) (𝟎)| | 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 | | 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 | | 𝟐 𝟏𝟓 | | 𝟐 𝟏𝟓 | 𝟒 𝟏𝟓 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫وزاري‬2012/‫د‬2
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 324 ‫س‬4/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟑‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 𝟎 0𝟎 𝟐 1 𝟑 0𝟎 𝟐 1 𝟐 𝟑 0𝟎 𝟐 1 |∫ 𝟑 𝟑 𝟎 | |∫ 𝟑 𝟐 𝟑 | |* 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟑 | |* 𝟑 𝟑 + 𝟑 𝟐 | |[ 𝟑 . 𝟑/ 𝟑 ] * 𝟑(𝟎) 𝟑 +| |[ 𝟑 . 𝟐/ 𝟑 ] [ 𝟑 . 𝟑/ 𝟑 ]| |* ( ) 𝟑 + * (𝟎) 𝟑 +| |[ ( 𝟑 𝟐 ) 𝟑 ] * ( ) 𝟑 +| |* ( 𝟏) 𝟑 + * 𝟏 𝟑 +| |, 𝟎- * ( 𝟏) 𝟑 +| | 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 | | 𝟏 𝟑 | 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ‫س‬5/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟐 𝟐 𝟏‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 0 𝟎 𝟐 1 𝟑 𝟒 0 𝟎 𝟐 1 |∫ 𝟐 𝟒 𝟎 | |∫ 𝟐 𝟐 𝟒 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟒 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐 | | 𝟐 . 𝟒 / 𝟐 𝟐(𝟎) 𝟐 | | 𝟐 . 𝟐 / 𝟐 𝟐 . 𝟒 / 𝟐 | | . 𝟐 / 𝟐 (𝟎) 𝟐 | | ( ) 𝟐 . 𝟐 / 𝟐 | | 𝟏 𝟐 𝟎 | | 𝟎 𝟏 𝟐 | | 𝟏 𝟐 | | 𝟏 𝟐 | 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 325 ‫س‬6/‫جد‬‫ال‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬√ 𝟏 𝟏 𝟐 ‫الفترة‬ ‫وعلى‬[2,5] / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ √ 𝟏 𝟏 𝟐 .(‫بالتربٌع‬ )/ ⇒ 𝟏 𝟏 𝟒 𝟐 (× 𝟒) ⇒ 𝟐 𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐) 𝟐 𝟎 𝟐 ,𝟐 𝟓- |∫ [ 𝟏 𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟐] 𝟓 𝟐 | |[ 𝟐 𝟒 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 . 𝟑 𝟐/ ] 𝟐 𝟓 | |[ 𝟐 𝟒 𝟐( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 ] 𝟐 𝟓 | | 𝟐𝟓 𝟒 𝟐(𝟒) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 | | 𝟐𝟓 𝟒 𝟐(𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟑 (𝟏 𝟐 𝟑 )| | 𝟐𝟓 𝟒 𝟏𝟔 𝟑 𝟏 𝟑 | | 𝟕𝟓 𝟔𝟒 𝟒 𝟏𝟐 | | 𝟕 𝟏𝟐 | 𝟕 𝟏𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ‫س‬7/‫المساحة‬ ‫جد‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬𝟒 𝟏𝟐𝟐 / ‫الحل‬‫صفحة‬ ‫محلول‬( 𝟒𝟖) ‫وزاري‬2014/‫د‬1 ‫س‬8/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـــــ‬‫احة‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬( )( )‫حٌث‬,𝟎 𝟐 - / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟎 ,𝟎 𝟐 - ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 - 𝟏 𝟎 ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 - |∫ ( ) 𝟎 | |∫ ( ) 𝟐 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟎 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟐 | |* 𝟐( ) 𝟐 ( )+ * 𝟐(𝟎) 𝟐 (𝟎)+| |* 𝟐(𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )+ * 𝟐( ) 𝟐 ( )+| |(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| |(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| | 𝟏 𝟏| |𝟏 𝟏| | 𝟐| 𝟐 𝟒 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 326 ‫وزاري‬2013/‫د‬2 ‫س‬9/‫جد‬‫المساحة‬‫با‬ ‫المحددة‬‫لدالتٌن‬( ) 𝟐 𝟏( )‫حٌث‬0𝟎 𝟑 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟑 𝟐 [𝟎 𝟑 𝟐 ] |∫ ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 | |, - 𝟎 𝟑 𝟐 | |( 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ) ( 𝟎 𝟎)| |(𝟎 𝟑 𝟐 ) ( 𝟏)| | 𝟑 𝟐 𝟏| 𝟑 𝟐 𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ‫س‬10/‫جد‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬‫الدالة‬𝟑 𝟒 𝟐 𝟑‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟒 𝟑) 𝟎 ( 𝟏)( 𝟑) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟑 |∫ ( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 ) 𝟏 𝟑 | |∫ ( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 ) 𝟎 𝟏 | |* 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟏 | |* 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟎 | |( 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 ) ( 𝟖𝟏 𝟒 𝟑𝟔 𝟐𝟕 𝟐 )| |( 𝟎) ( 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 )| | 𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟐 𝟏𝟐 | | 𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟏𝟐 | 𝟑𝟐 𝟏𝟐 | 𝟓 𝟏𝟐 | 𝟑𝟐 𝟓 𝟏𝟐 𝟑𝟕 𝟏𝟐 𝟑 𝟏 𝟏𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 327 ‫س‬11/‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬‫بسرعة‬( ) (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑)‫أحسب‬ ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,2 4-ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫األزاحة‬,0 5- ‫الحل‬/‫وزاري‬2015/‫د‬1 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 0 ( 3) 𝟐 𝟐 𝟏 0 ( 1)( 1) 0 𝟏 𝟎 1 ,2 4- |∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑) 𝟒 𝟐 | |, 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 - 𝟐 | |(𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟐) (𝟖 𝟏𝟐 𝟔)| |𝟐𝟖 𝟐| 𝟐𝟔 ∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑) 𝟓 𝟎 |, 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟓 - 𝟎 | ,(𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟓) (𝟎)- 𝟔𝟓 ‫وزاري‬2011/‫د‬2 ‫س‬12/‫جس‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫ةةةةدره‬‫ة‬‫ل‬ ‫ةةةةل‬‫ة‬ٌ‫بتعج‬ ‫ةةةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫م‬(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐 ‫ةةةةد‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةةةرعته‬‫ة‬‫س‬ ‫ةةةةت‬‫ة‬‫وكان‬ ‫مرور‬(4)‫تساوي‬ ً‫ثوان‬𝟗𝟎‫أحسب‬ ⓐ‫عندما‬ ‫السرعة‬𝟐 ⓑ‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬,1 2- ⓒ‫بعد‬ ‫االزاحة‬(10)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ‫الحل‬/ ( ) ∫ ( ) ∫(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟗𝟎 𝟐(𝟏𝟔) 𝟏𝟐(𝟒) 𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟒𝟖 𝟗𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎 ( ) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 (𝟐) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟐(𝟐) 𝟏𝟎 𝟖 𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟐 ∫ (𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎) 𝟐 𝟏 * 𝟐 𝟑 𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 + 𝟏 𝟐 |( 𝟏𝟔 𝟑 𝟐𝟒 𝟐𝟎) ( 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏𝟎)| | 𝟏𝟔 𝟑 𝟒𝟒 𝟐 𝟑 𝟏𝟔| | 𝟏𝟒 𝟑 𝟐𝟖| 𝟏𝟒 𝟖𝟒 𝟑 𝟗𝟖 𝟑 ∫ ( 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝟎 * 𝟐 𝟑 𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 + 𝟎 𝟏𝟎 |( 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎) (𝟎)| 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟑 𝟒𝟏𝟎𝟎 𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 328 ‫س‬13/‫وبعد‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫تتحرن‬‫ثانٌة‬‫سةرعتها‬ ‫اصةبحت‬ ‫الحركةة‬ ‫بدط‬ ‫من‬(100 6 2)‫أو‬‫جةد‬ ‫ال‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬‫نمطة‬‫موضع‬ ‫الى‬‫ها‬‫اال‬‫ول‬‫بدا‬ ‫الذي‬‫ت‬‫أحس‬ ‫ثم‬ ‫منه‬‫ب‬‫عندها‬ ‫التعجٌل‬.‫وزاري‬2014/‫د‬2 / ‫الحل‬ ( ) (100 6 2) ‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬ ∫.100 6 2 / 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 ‫السكون‬ ‫من‬ ‫تتحرك‬ ‫النقطة‬ ∴𝟎 𝟎 𝟎 𝟓𝟎(0)2 𝟐( 𝟎) 𝟑 𝟎 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 ‫األزاحة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫عودة‬ ‫عند‬( )‫صفر‬ ‫تساوي‬: ‫ٌكون‬ ‫لذا‬ 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 𝟎 2 (𝟓𝟎 𝟐 ) 𝟎 2 𝟎 𝟎 ‫ٌهمل‬ 50 2 𝟎 𝟐 𝟓𝟎 𝟐𝟓 ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬ ( ) ̅( ) ‫التعجٌل‬ ( ) 100 12 ( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⁄ 𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 329 ‫الدورانٌـ‬ ‫الحجــوم‬:‫ـة‬ 1.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬ ‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐 2.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬ ‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐 ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ‫ةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬0 4√‫ةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬,‫دارت‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬,. ‫حجمها‬ ‫جد‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ (√ ) 𝟐 𝟒 𝟎 ∫ 𝟒 𝟎 * 2 2 + [( 16 2 ) (0)] 8 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2014/‫د‬3 ‫مثال‬(2)/‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ً‫المنحن‬𝟏 𝟒 𝟏 ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫دارت‬.‫حجمها‬ ‫جد‬. ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏 ) 𝟐𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟏 ) 𝟒 𝟏 , 𝟒 - 𝟏 , 𝟒 𝟏- 𝟐 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2011/‫د‬2 ‫مثةةةال‬(3)/‫ةةةه‬‫ة‬‫معادلت‬ ‫ةةةذي‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2 8 ‫والمستمٌمٌن‬2 0ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ 8 𝟐 𝟎 ,4 2 𝟐 - 𝟎 ,16 0- 16 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫مثةةةال‬(4)/‫معادلتةةةه‬ ‫الةةةذي‬ ‫المكةةةاف‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫المحةةةددة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫أوجةةةد‬2 2 ‫والمستمٌمٌن‬0 5ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ (𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟓 𝟎 ∫ 𝟒 𝟒 𝟓 𝟎 * 𝟒 𝟓 𝟓 + 𝟎 𝟓 * 𝟒(𝟓) 𝟓 𝟓 (𝟎)+ 𝟐𝟓𝟎𝟎 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 330 ‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫الم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫س‬4 2 ‫والمستمٌمٌن‬0 16‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ . 𝟒 / 𝟏𝟔 𝟎 * 𝟐 𝟖 + 𝟎 𝟏𝟔 * (𝟏𝟔) 𝟐 𝟖 (𝟎)+ 𝟑𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(6)/‫ةةةادات‬‫ة‬‫الص‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الناش‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ومنحن‬ 𝟑 ,1 3. ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟗 𝟐 ) 𝟑 𝟏 [ 𝟏𝟖 ] 𝟏 𝟑 𝟏𝟖 [ 𝟏 ] 𝟏 𝟑 𝟏𝟖 [ 𝟏 𝟑 𝟏] 𝟏𝟖 [ 𝟐 𝟑 ] 𝟏𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2015/‫د‬3 ‫الصةادات‬ ‫محةور‬ ‫بةٌن‬ ‫المحصةورة‬ ‫المنطمةة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫الناش‬ ‫الحجم‬ ‫أوجد‬‫الدالةة‬ ً‫ومنحنة‬ 𝟏 ‫والمسةتمٌمٌن‬ 1 2 . ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الحل‬/ 1 1 1 2 2 ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟏 [ 𝟏 ] 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝟐 𝟏] 𝟏 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬3201/‫د‬2 ‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫بةةةٌن‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫أوجةةةد‬ 𝟏 ‫ةةةتمٌمٌن‬‫ة‬‫والمس‬2 1‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الصادات‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟏 [ 𝟏 ] 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝟐 𝟏] 𝟏 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 331 (𝟒 𝟕)‫تمارين‬ ‫س‬(1)/:‫ةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ً‫ةةةةةدوران‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2 ‫والمستمٌمٌن‬1 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 2)2 𝟐 𝟏 ∫ 𝟐 𝟏 * 5 + 2 [ 32 5 1 5 ] 31 5 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2013/‫د‬1 ‫س‬2/‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2 1 ‫والمستمٌم‬4‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ 0 1 2 1 2 1 ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏) 𝟒 𝟏 * 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟒 [(𝟖 𝟒) ( 𝟏 𝟐 𝟏)] [𝟒 𝟏 𝟐 ] 𝟒 𝟏 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫س‬3/ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2 1 ‫والمستمٌم‬0‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ 2 1 1 2 𝟎 2 1 𝟏 (‫التكامل‬ ‫)حدود‬ ∫ 𝟐 ∫ (1 2) 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ (𝟏 𝟐 2 4) 𝟏 𝟏 * 𝟐 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓 + 𝟏 𝟏 [(𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟓 ) ( 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟓 )] [𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 ] 𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟔 𝟏𝟓 𝟏𝟔 𝟏𝟓 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2014/‫د‬2 ‫س‬4/ً‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2 ‫والمستمٌم‬‫ان‬0 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫ا‬‫لحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ 𝟐 𝟎 * 4 + 2 [ 16 4 0] 4 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 332 ‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬ ‫س‬5/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬‫الفروع‬( )‫الت‬ ‫بموضوع‬ ‫مرتبطة‬‫فاض‬‫ل‬ ( ) 𝟐 |𝟐 | 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟐) | 𝟐 | 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟐 | 𝟐 | ( ) ( ) 𝟐( )( ) 𝟐( ) ( ) 𝟐 | | 𝟐 𝟏 | | (𝟐 ) 𝟐 | | ( ) | 𝟐 | 𝟏 𝟐 𝟐( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 𝟐 ( 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ) ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 ( ) ( ) ( ) ( )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 333 ‫س‬12/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫تكامالت‬ ( ) ∫( 𝟒 𝟒 ) ∫( 𝟐 𝟐 )( 𝟐 𝟐 ) ∫( 𝟐 )(𝟏) 𝟏 𝟐 ∫( 𝟐 )(𝟐) 𝟏 𝟐 𝟐 ( ) ∫( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟐 𝟐) ∫( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 ∫ 𝟐 ( 𝟐) 𝟏 𝟐 ∫( 𝟏 𝟒 ) 𝟐 ∫ 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟒 𝟒 ) 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 ( ) ∫ | | ∫ 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 ( ) ∫ 𝟐 √ 𝟑 √ 𝟐𝟑 ∫ 𝟐 . 𝟐 𝟑 / 𝟏 𝟑 𝟐(𝟑) ∫ ( 𝟏 𝟑 ) . 𝟐 𝟑 / 𝟏 𝟑 𝟔 𝟏 𝟑 𝟔 √ 𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 334 ( ) ∫ 𝟑 ∫ 𝟐 ∫( ) 𝟐 𝟑 𝟑 ( ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟑 ∫ 𝟑(𝟑 𝟓 𝟐) 𝟑 ∫ (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟑 ∫ (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 ∫( 𝟏𝟎) (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 × (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 𝟒𝟎 (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟒 𝟑 ( ) ∫ 𝟏 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 ∫ 𝟏 ( 𝟕) 𝟐 ∫( 𝟕) 𝟐 ( 𝟕) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟕 ( ) ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 ∫(𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 335 ‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1⁄: ‫نات‬ ‫جد‬ (1) ∫( 3 2 ) 3 (2) ∫ 1 √1 ∫(1 ) 2 [ (1 )2 1 2 ] [2(1 )2] [2(22)2] [2(1)2] 4 2 2 (3) ∫ 6 3 ∫(1 2 2 3 ) 3 ∫ 3 2 ∫ 2 3 3 1 3 3 2 3 3 3 1 3 3 2 9 3 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬2⁄‫نات‬ ‫جد‬: ∫( )( ) ∫( 2 2 ) ∫ 2 1 2 ∫(1 2 ) 1 2 ( 1 2 2 ) 1 2 1 4 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬: ∫ √ 2 15 ∫ ( 2 15)2 1 2 ∫ 2 ( 2 15)2 *2 ( ) + 0 ( 2 15) 1 0 (72) 1 0 (1) 1 2 114
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 336 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬: ∫ 2 2 ∫ 2 1 2 (1 2 ) 1 2 ∫ 2 1 2 ∫ 2 2 1 2 1 2 ∫(2) 2 1 2 1 2 ∫(1 4 ) 1 4 2 1 4 ( 1 4 4 ) 1 4 2 1 4 1 16 4 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬2⁄: ‫نات‬ ‫جد‬ ∫(1 3 )2 ∫(1 2 3 2 3 ) ∫ 2 ∫ 3 1 2 ∫(1 6 ) 2 3 3 1 2 ( 1 6 6 ) 3 2 2 3 3 1 12 6 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫جد‬ : ∫( 2 )2 ∫( 2 2 2 2 2 ) 1 2 ∫(1 2 ) 2 ∫ (2 ) 1 2 ∫(1 4 ) 1 2 ( 1 2 2 ) 4 3 1 2 ( 1 4 4 ) 1 2 1 4 2 4 3 1 2 1 8 4 1 4 2 4 3 1 8 4
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 337 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫كان‬ ‫إذا‬∫ ( 𝟑) 𝟗 𝟒𝟏 ‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬ 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 2 2 2 4 1 4 9 4 (× ) ⇒ 2 2 1 9 2 2 1 9 0 2 2 8 0 2 2 8 0 ( 2 4)( 2 2) 0 2 2 ‫ٌهمل‬ 2 4 0 2 4 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬2:‫كان‬ ‫إذا‬∫ (𝟐 𝟑) 𝟏𝟐‫وكان‬𝟐 𝟑‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬ /‫الحل‬ 3 2 (1) ∫(2 3) 12 , 2 3 - 12 , 2 3 - , 2 3 - 12 2 3 2 3 12 2 3 (3 2 )2 3(3 2 ) 12 2 3 (9 12 4 2) 9 6 12 0 2 3 9 12 4 2 9 6 12 0 3 2 21 30 0 ( ) ⇒ 2 7 10 0 ( 2)( 5) 0 2 0 2 3 2(2) 1 5 0 5 3 2(5) 7
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 338 ‫وزاري‬ ‫ةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2000‫/د‬2‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :( ) 𝟏 𝟐 𝟐 ‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬‫الفترة‬0𝟎 𝟐 1 :‫الحل‬ 1 2 2 0 2 0 2 2 2 - 2 4 0𝟎 𝟐 1 3 4 0𝟎 𝟐 1 00 1 0 2 1 ‫التكامل‬ ‫فترات‬ ||∫ 2 || ||∫ 2 2 || |[ 1 2 2 ] | |[ 1 2 2 ] 2 | |[ 1 2 2 ] [ 1 2 0]| |[ 1 2 ] [ 1 2 2 ]| | 1 2 (1) 1 2 (0)| | 1 2 (0) 1 2 (1)| 1 2 1 2 1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1:‫جد‬ : ∫ 2 2 ∫, -2 ∫ [ 1 2 (2 )] 2 ∫ ( 1 2 2 ) 2 ∫ 1 4 2 2 1 4 1 2 ∫(1 4 ) 1 8 ( 1 4 4 ) 1 8 1 32 4 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬2:‫جد‬ : ∫ 9 12 4 2 ∫ (3 2 )2 ∫(3 2 ) 2 1 2 ∫(3 2 ) 2( 2) * 1 2 (3 2 ) 1 + [ 1 2(3 2 ) ] [ 1 2(1) ] [ 1 2(5) ] 1 2 1 10 5 1 10 4 10 2 5
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 339 ‫وزاري‬ ‫ةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2001‫د‬ /1‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :𝟑 𝟗‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟑 𝟑-. ‫ا‬/‫لحل‬9 0 ( 2 9) 0 0 2 9 0 2 9 3 ∴‫التكامل‬ ‫فترات‬, 3 0- ,0 3- |∫ ( 9 ) | |∫ ( 9 ) | |0 2 1 | |0 2 1 | |,0- 0 2 1| |0 2 1 ,0-| | 2 | | 2 | 2 40 2 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬1::‫لٌمة‬ ‫جد‬ ∫ 2 5 (2 5) ∫( 2 5 )2(2 5) [ ( 2 5 )2 3 2 ] [ 2 3 ( 2 5 )2] [ 2 3 (16 20)2] [ 2 3 (0)2] [ 2 3 (62)2] 2 3 (216) 432 3 144 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 . /‫الحل‬4 3 2 3 2 4 3 2 4 0 ( 2 4)( 2 1) 0 2 4 0 2 4 2 ( 2 1 0)‫ٌهمل‬ |∫ ( 3 2 4) 2 2 | |0 4 1 2 2 | |[ 32 5 8 8] [ 32 5 8 8]| | 64 5 32| | 96 5 | 96 5 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 340 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫د‬ /1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐 ‫وعلى‬,𝟏 𝟑-. :‫الحل‬2 2 2 2 0 ( 2) 0 0 ,0 3- 2 0 2 ,0 3- |∫ ( 2 2 ) 2 | |∫ ( 2 2 )2 | |0 2 1 2 | |0 2 1 2 | |0 41 0 11| |,9 9- 0 41| | 4 1| | 4| | 3| | 2 | | | | | 2 2 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒 ‫لٌمة‬ ‫فجد‬h. /‫الحل‬ ∫ ( 2 9)2 2 ∫ ( 2 9) 2 2 1 2 ∫ 2 ( 2 9) 2 2 *2 ( ) + 2 0(16 9) 1 0( 2 9) 1 2 (52) ( 2 9) 2 ( 2 9) 5 2 ( 2 9) 3 ‫بالتربٌع‬ ⇒ 2 9 9 2 0 0 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟓 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟏 . /‫الحل‬∫ (5 2 ) 2 2 ∫ (5 2 ) 2 ( 2) 0 2 ( 2 ) 1 2 22 [ 1 2(5 2 ) ] 2 [ 1 2(5 4) ] [ 1 2(5 2) ] 1 2 1 6 3 1 6 2 6 1 3
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 341 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟑 𝟒) 𝟐 𝟐 𝟏 . ∫ (3 4) 2 ∫ (3 4) 2 3 0 ( ) 1 2 22 0 ( ) 1 2 0 ( ) 1 0 ( ) 1 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟓 ∫ ( ) 𝟑‫وكانت‬, -‫لٌمة‬ ‫جد‬ ∫ ( ) /‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 5 ∫ ( ) 3 ∫ ( ) 5 3 ∫ ( ) 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2‫جد‬ :∫ 𝟐 𝟐 ∫(2 2 1)2 ∫(4 4 2 1) ‫الدالة‬ ‫المشتقة‬∫ 4 ∫ 4 2 ∫ 4 ∫ ( ) 4 ∫ 2 ( ) ∫ 4 4 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1‫بسرعة‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟗‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t:‫إحسب‬ 1-‫خالل‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬[ ‫الفترة‬0,2.] 2-‫التعجٌل‬ ‫فٌه‬ ‫ٌصبح‬ ‫الذي‬ ‫الزمن‬𝟏𝟖 𝟐 . /‫الحل‬(1) 3 2 12 9 0 - 3 2 4 3 0 ( 3)( 1) 0 3 0 3 ,0 2- 1 0 1 ,0 2- |∫(3 2 12 9) | |∫(3 2 12 9) 2 | |, 6 2 9 - 1 0 | |, 6 2 9 -2 1 | |,1 6 9- ,0-| |,8 24 18- ,1 6 9-| |4| |2 4| 4 2 6 (2) ( ) ̅( ) 6 12 18 6 12 6 18 12 6 30 5
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 342 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ 𝟑 𝟐 𝟖 𝟑 /‫الحل‬ ∫ 2( 1) ∫ ( 1)2 ∫( 1) 2 [ ( 1)2 1 2 ] [2( 1)2] [2(8 1)2] [2(3 1)2] [2(32)2] [2(22)2] 6 4 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2:‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐 ‫الفترة‬ ً‫ف‬0𝟎 𝟐 1. /‫الحل‬ 2 2 2 2 0 2 2 3 2 - 2 4 0𝟎 𝟐 1 3 4 0𝟎 𝟐 1 ||∫ 2 || ||∫ 2 2 || |[ 1 2 2 ] | |[ 1 2 2 ] 2 | |0 2 2 1 0 2 01 0 2 1 0 2 2 1| | 2 (1) 2 (0)| | 2 (0) 2 (1)| 2 2 1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫جد‬ :‫ال‬‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬( ) ( ) √ 𝟐 𝟏[ ‫الفترة‬ ً‫ف‬1,5.] /‫الحل‬ √2 1 √2 1 0 √2 1 ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ 2 1 2 2 2 1 0 ( 1)2 0 1 0 1 |∫ [(2 1)2 ] | |∫(2 1)2 | |∫ | |[ 1 2 (2 1)2 3 2 ] | |* 2 2 + | |[ 1 3 (2 1)2] | |* 2 2 + | |[ 1 3 (9)2 1 3 (1)2] [ 25 2 1 2 ]| |[ 1 3 (32)2 1 3 ] [ 24 2 ]| |9 1 3 24 2 | | 54 2 72 6 | | 20 6 | 10 3 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 343 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ ( ) 𝟐𝟐 𝟎 . /‫الحل‬ ∫( 2 2 2 ) 2 ∫(2 1) 2 ∫ ( 2 1) [ 1 2 2 ] 22 [ 1 2 2 ] [ 1 2 0 0] [ 1 2 ( 1) 2 ] [ 1 2 (1)] 1 2 2 1 2 .1 2 / ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫مشتم‬ ً‫منحن‬ :‫ته‬‫األولى‬ 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 ( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬1,2.ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ) /‫الحل‬( ) 2 ‫الطرفٌن‬ ‫بتكامل‬ ( ) ∫ 2 ( ) ∫ 2 ( 2) ( ) ∫ 2( 2) 2 ( ) 2 ( 2) ( ) 2 2 ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ً‫المنحن‬ (1 2) ‫ان‬ ‫وبما‬ 2 2 2 2 2 0 ( ) 2 2 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2010‫/د‬2‫ةةةةةةةةةةةةةةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 :‫ةةةةةةةةةةةةةةةةة‬‫ة‬‫لٌم‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ ∫ , ( ) ( ) 𝟒 - 𝟑 𝟏 /‫الحل‬ ∫ , ( ) ( ) 4 - ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ 4 6 2 0 2 1 4 ,2 2-3 1 4 ,18 2- 4 16 20
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 344 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫سرعته‬ ‫بحٌث‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟕‫المسافة‬ ‫جد‬ ( ً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫ٌمطعها‬ ً‫الت‬4‫تماس‬ ‫المسافة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علم‬ ‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ,‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ).‫باألمتار‬ /‫الحل‬ ( ) 3 2 4 7 > 0 ∫ (3 2 4 7) , 2 2 7 - 4 0 ,64 32 28- ,0- 124 ( ) ̅( ) 6 4 ‫لحظة‬ ‫أي‬ ً‫ف‬ ‫التعجٌل‬ (4) 6(4) 4 24 4 28 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬1‫المساحة‬ ‫جد‬ :‫المحددة‬ً‫بالمنحن‬( ) ( 𝟏) 𝟑 [ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬-1,3. ] /‫الحل‬( 1) 0 1 0 1 , 1 3- | ∫( 1) | |∫( 1) | * ( 1) 4 + | ( 1) 4 | |*0 ( 2) 4 +| |* (2) 4 0+| | 4| |4| 4 4 8 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬1ً‫المنحنةةة‬ ‫بةةةٌن‬ ‫المحصةةةورة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫جةةةد‬ :𝟐 𝟏 ‫والمستمٌمٌن‬𝟐 𝟏.‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ /‫الحل‬ ∫ 2 ∫( 1) * 2 2 + 2 [( 4 2 2) ( 1 2 1)] 2 0(2 2) . 2 /1 .0 2 / 2 ‫مكعبة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 345 ‫وزاري‬ ‫ةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2012‫/د‬2:‫ةةةةةا‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ً‫ةةةةةالمنحن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ت‬√5 2 ‫والمستمٌمٌن‬2 1ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ . 5 2/ 𝟐𝟐 𝟏 ∫ 𝟓 𝟒 𝟐 𝟏 𝟓 𝟎 𝟓 (𝟓) 𝟓 (𝟎) 𝟑𝟏𝟐𝟓 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬3:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫لةةةد‬ ‫سةةةرعته‬ ‫كانةةةت‬ ‫فةةةأذا‬ ‫أصبحت‬(𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)‫ساعات‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬: ⓐ‫الثانٌة‬ ‫الساعة‬ ‫خالل‬ ‫لطعها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬ ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)‫ساعات‬ / ‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟖 𝟏𝟎 |∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟐 𝟏 | |, 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 - 𝟏 | |(𝟑𝟔 𝟐𝟎) (𝟗 𝟏𝟎)| 𝟓𝟔 𝟏𝟗 𝟑𝟕 ∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟑 𝟎 , 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 - 𝟎 (𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬1:‫جد‬∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝟒 𝟎 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 (𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝝅 𝟒 𝟎 * 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟎 𝝅 𝟒 𝒕𝒂𝒏 𝟐 . 𝝅 𝟒 / 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐(𝟎) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 346 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3:‫أن‬ ‫أثبت‬∫ | 𝟑 𝟔| 𝟑𝟎 𝟒 𝟐 ‫الحل‬/ |𝟑 𝟔| { 𝟑 𝟔 𝟐 (𝟑 𝟔) < 𝟐 ‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟒-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟐)‫ألن‬: ( ) (𝟐) 𝟑(𝟐) 𝟔 𝟎 ‫معرفة‬ ( ) 𝟐 ( ) { (𝟐 ) (𝟑 𝟔) 𝟎 𝟏 (𝟐 ) (𝟔 𝟑 ) 𝟎 𝟐 ∵ 𝟏 = 𝟐 ∴ 𝟐 ( ) 𝟎 ‫موجودة‬ 𝟐 ( ) (𝟐) ∫ |𝟑 𝟔| 𝟒 𝟐 ∫ ( 𝟑 𝟔) 𝟐 𝟐 ∫ (𝟑 𝟔) 𝟒 𝟐 [ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 ] 𝟐 𝟐 [ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 ] 𝟐 𝟒 ,( 𝟔 𝟏𝟐) ( 𝟔 𝟏𝟐)- ,(𝟐𝟒 𝟐𝟒) (𝟔 𝟏𝟐)- 𝟔 𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟎 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3‫جد‬ :∫ √ 𝟐 𝟒 ‫الحل‬/ ∫ √ 𝟐 𝟒 ∫ √ 𝟐( 𝟐) ∫ 𝟐 𝟐 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬1‫جد‬ :∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 ∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐) 𝟑 𝟏 𝟐 * 4𝑥 𝟏 5 1 + 𝟐 [ 4𝑥 5 𝑥 ] 𝟗[ 12 𝟓 3 ] 𝟏, 4 5- 3 𝟓 3 8 5 5 3 15 5 3 10 3
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 347 ‫وزاري‬ ‫ةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑 𝟗‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬, 𝟑 𝟑- / ‫الحل‬ ‫الصفحة‬ ً‫ف‬ ‫محلول‬(𝟔𝟖)‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫د‬ /1: ‫وزاري‬ ‫ةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟎 𝟐⁄ )‫وبعةةةد‬2‫بةةةدط‬ ‫مةةةن‬ ‫ثانٌةةةة‬ ‫السرعة‬ ‫أصبحت‬ ‫الحركة‬(𝟐𝟒 ): ‫أحسب‬ , ⓐ‫المسافة‬. ‫الخامسة‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ⓑً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫بعد‬4)) ً‫ثوان‬. / ‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟒 𝟏𝟎( 𝟐) 𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟒 𝟏𝟎 𝟒 |∫ (𝟏𝟎 𝟒) 𝟓 𝟒 | |, 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 - 𝟒 | |(𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟖𝟎 𝟏𝟔)| 𝟏𝟒𝟓 𝟗𝟔 𝟒𝟗 ∫ (𝟏𝟎 𝟒) 𝟒 𝟎 , 𝟓 𝟐 𝟒 𝟒 - 𝟎 (𝟖𝟎 𝟏𝟔) (𝟎) 𝟗𝟔 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫تكامل‬ ‫جد‬∫ √ 2 / ‫الحل‬ ∫ 3 6 √ 2 3 ∫( 2)( 2) ( ‫األسس‬ ‫تجمع‬ ‫الضرب‬ ‫)عند‬ 3 ∫( 2) 2 3 ( 2) 5 3 9 5 ( 2) 9 5 ( 2)
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 348 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 𝒅𝒙 (2) ∫ 𝒙 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 / ‫الحل‬ (1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 𝒅𝒙 ∫(𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥) 𝑑𝑥 ∫(1 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥 ∫(1 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1 4 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐 (2) ∫ 𝒙 𝟑 1 𝒙 1 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 1)(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝑥 1 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 349 ‫التكامل‬ ‫حول‬ ‫إضافٌة‬ ‫أسئلة‬ ‫س‬1:‫اآلتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬ / (𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝐱𝐝𝐱(𝟐) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟕 𝐱 𝐝𝐱(𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 𝐝𝐱 (𝟔) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝐱 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐝𝐱(𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝟒 𝐱 𝐝𝐱(𝟒) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝐱𝐝𝐱 (𝟗) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱(𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐝𝐱 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑 . 𝒙 𝟑 / 𝒅𝒙(𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟓 (𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 (𝟏𝟓) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝟑𝒙) 𝒅𝒙 (𝟏𝟖) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) . 𝟑 𝟐 / 𝒅𝒙 (𝟏𝟕) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓 𝒙 𝒅𝒙(𝟏𝟔) ∫ √𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 (𝟐𝟏) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑(𝟐𝒙) 𝒅𝒙(𝟐𝟎) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟗) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 (𝟐𝟒) ∫ 𝟑 𝟒(𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓 𝒙 𝒅𝒙(𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔 𝒙 𝒅𝒙 (𝟐𝟕) ∫ 𝟏 √ 𝟏 𝟒 𝟎 (𝟐𝟔) ∫ 𝟏 √ (𝟏 √ ) (𝟐𝟓) ∫ 𝟖 𝟑 𝟐 (𝟑𝟎) ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝟗 𝟎 (𝟐𝟗) ∫|𝟐 𝟒| 𝟑 𝟑 (𝟐𝟖) ∫ 𝟑 | | 𝟏 𝟐 (𝟑𝟑) ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟎 (𝟑𝟐) ∫ 𝟐 𝟒 (𝟑𝟏) ∫ 𝟐 𝟒 𝟎
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 350 ‫س‬2/‫التكامل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫ (𝟑 𝟐 𝟖 ) 𝟒 𝟐 ‫س‬3/‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(3,1). ‫س‬4/‫ةاوي‬‫ة‬‫تس‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫أي‬ ‫ةد‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫الثان‬ ‫ةتمة‬‫ة‬‫المش‬ ‫أن‬ ‫ةت‬‫ة‬‫علم‬ ‫أذا‬( )‫ةث‬‫ة‬ٌ‫ح‬‫ةذا‬‫ة‬‫ه‬ ‫ةة‬‫ة‬‫معادل‬ ‫ةد‬‫ة‬‫ج‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ً‫المنحن‬(0,1)‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ونمطة‬(1,-1). ‫س‬5/‫ةد‬‫ة‬‫وبع‬ ‫ةكون‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫ةرن‬‫ة‬‫تتح‬t‫ةرعتها‬‫ة‬‫س‬ ‫ةبحت‬‫ة‬‫اص‬ ‫ةة‬‫ة‬‫الحرك‬ ‫ةدط‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫ثان‬(𝟏𝟎𝟎 𝟐)‫ةد‬‫ة‬‫أوج‬ ‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫أحسب‬ ‫ثم‬ ‫منه‬ ‫بدات‬ ‫الذي‬ ‫االول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النمطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬.

More Related Content

PDF
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 3 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 2 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
PDF
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
byanasKhalaf4
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 ال...
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الرابع التكامل 2017 الأستاذ ع...
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 3 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 2 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
byanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 ال...
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الرابع التكامل 2017 الأستاذ ع...
bymoeiraqi.org
 

What's hot

PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 1 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطية
byAhmed Mahdi
 
PDF
جميع أنشطة وتجارب الفيزياء - سعيد محي تومان
byOnline
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
PDF
Διαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
καταλήξεις ρημάτων
bydbatsi
 
PPT
Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
bypefkounar
 
PPT
5ο κεφάλαιο - Κρούσεις
byKostas
 
PPTX
κυκλικη κινηση-θεωρια
byVasilis Zarifis
 
PDF
διαγωνισμα στην φυσικη της β λυκειου (ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ)
byMAMALAS71
 
PDF
Polite in Thai
byasiporn Iamsaard
 
DOC
επαναληπτικο 9
byNansy Tzg
 
DOC
Μαθηματικά Δ΄- 2η Ενότητα - φύλλο αξιολόγησης
byfotaolympia
 
PPTX
ισπανικη αρχιτεκτονικη
byIouliaTsaka14
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2017 ...
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 1 للأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطية
byAhmed Mahdi
 
جميع أنشطة وتجارب الفيزياء - سعيد محي تومان
byOnline
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
byanasKhalaf4
 
Διαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
καταλήξεις ρημάτων
bydbatsi
 
Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
bypefkounar
 
5ο κεφάλαιο - Κρούσεις
byKostas
 
κυκλικη κινηση-θεωρια
byVasilis Zarifis
 
διαγωνισμα στην φυσικη της β λυκειου (ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ)
byMAMALAS71
 
Polite in Thai
byasiporn Iamsaard
 
επαναληπτικο 9
byNansy Tzg
 
Μαθηματικά Δ΄- 2η Ενότητα - φύλλο αξιολόγησης
byfotaolympia
 
ισπανικη αρχιτεκτονικη
byIouliaTsaka14
 

Similar to ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الرابع التكامل2017 الأستاذ علي حميد

PDF
مراجعة مركزة -قصي هاشم 2015
byOnline
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الخامس 2017 الأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
PDF
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاول
byملزمتي
 
PPT
حل المعادلات المتعددة الخطوات
bynoojy66666
 
PDF
الحدوديات جدع مشترك علمي
byAHMED ENNAJI
 
PDF
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdf
byanasKhalaf4
 
PPT
2 6 المتتابعات الحسابية كدوال خطية غ
byGhaida'a Mahir
 
PDF
Math4amsome lessons
bymoh13
 
PDF
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانى
byملزمتي
 
PPT
حل المعادلات التي تتضمن القيمة المطلقة
bynoojy66666
 
PPT
حل المعادلات التي تتضمن القيمة المطلقة
bynoojy66666
 
PPT
حل المعادلات المتعددة الخطوات
bynoojy66666
 
PDF
Book113839539
byAltabtyAltabty
 
PDF
1com
byaddabenslimmohammed
 
PDF
1com3mbachir
byaddabenslimmohammed
 
PDF
دعم وتقوية 2
byAHMED ENNAJI
 
PDF
فرض 2 باك عحأ4دورة2 مع
byAHMED ENNAJI
 
PDF
فرض 2 باك عحأ4دورة2 مع
byAHMED ENNAJI
 
PDF
دعم وتقوية 4
byAHMED ENNAJI
 
PDF
دعم وتقوية3
byAHMED ENNAJI
 
مراجعة مركزة -قصي هاشم 2015
byOnline
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الخامس 2017 الأستاذ علي حميد
bymoeiraqi.org
 
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاول
byملزمتي
 
حل المعادلات المتعددة الخطوات
bynoojy66666
 
الحدوديات جدع مشترك علمي
byAHMED ENNAJI
 
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdf
byanasKhalaf4
 
2 6 المتتابعات الحسابية كدوال خطية غ
byGhaida'a Mahir
 
Math4amsome lessons
bymoh13
 
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانى
byملزمتي
 
حل المعادلات التي تتضمن القيمة المطلقة
bynoojy66666
 
حل المعادلات التي تتضمن القيمة المطلقة
bynoojy66666
 
حل المعادلات المتعددة الخطوات
bynoojy66666
 
Book113839539
byAltabtyAltabty
 
1com
byaddabenslimmohammed
 
1com3mbachir
byaddabenslimmohammed
 
دعم وتقوية 2
byAHMED ENNAJI
 
فرض 2 باك عحأ4دورة2 مع
byAHMED ENNAJI
 
فرض 2 باك عحأ4دورة2 مع
byAHMED ENNAJI
 
دعم وتقوية 4
byAHMED ENNAJI
 
دعم وتقوية3
byAHMED ENNAJI
 

Recently uploaded

PPTX
فاضل_المبارك_رحلة_في_عالم_الابداعيي.pptx
byssuserc02d5b
 
PDF
« مسؤوليات الموظف » الدرس5.pdf مسلك الادارة التربوية
byMEDBIFORN
 
PDF
حقيبة تدريبية الابتكار وريادة الأعمال الاجتماعية.pdf
byHakapetk حقيبتك
 
PDF
حقيبة تدريبية تصميم خطة عمل ناجحة في السوق السعودي.pdf
byHakapetk حقيبتك
 
PPTX
مكون مادة التاريخ الفرض الثاني السادس - -.pptx
byFayssalBcharri
 
PDF
قراءة تعمقية في جوابات اماساءل التبانيات.pdf
byأنور غني الموسوي
 
PDF
ملخص درس الأسماء الخمسة
byموقع تعلم التربوي
 
PDF
كتاب دورة استخدام الحاسب في الأعمال المكتبية.pdf
bymaa998li
 
PPTX
اللغة العربية للصف الاول قراءة وطني قطر⁩.pptx
bysamglory712
 
PDF
التوثيق أساس لبناء نظم معلومات المشروعات - دكتور محمد عزت أمنة
byMuhammad Ezzat Amna
 
فاضل_المبارك_رحلة_في_عالم_الابداعيي.pptx
byssuserc02d5b
 
« مسؤوليات الموظف » الدرس5.pdf مسلك الادارة التربوية
byMEDBIFORN
 
حقيبة تدريبية الابتكار وريادة الأعمال الاجتماعية.pdf
byHakapetk حقيبتك
 
حقيبة تدريبية تصميم خطة عمل ناجحة في السوق السعودي.pdf
byHakapetk حقيبتك
 
مكون مادة التاريخ الفرض الثاني السادس - -.pptx
byFayssalBcharri
 
قراءة تعمقية في جوابات اماساءل التبانيات.pdf
byأنور غني الموسوي
 
ملخص درس الأسماء الخمسة
byموقع تعلم التربوي
 
كتاب دورة استخدام الحاسب في الأعمال المكتبية.pdf
bymaa998li
 
اللغة العربية للصف الاول قراءة وطني قطر⁩.pptx
bysamglory712
 
التوثيق أساس لبناء نظم معلومات المشروعات - دكتور محمد عزت أمنة
byMuhammad Ezzat Amna
 

ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الرابع التكامل2017 الأستاذ علي حميد

  • 1.
    ‫أعداد‬‫األس‬‫ـتاذ‬ ‫جديدة‬ ‫طبعة‬ ‫ومنقحة‬ ‫الدراسي‬ ‫للعام‬ 2017 ‫شرح‬‫مفصل‬‫الرابع‬‫الفصل‬ ‫وتمارين‬ ‫أمثلة‬ ‫لجميع‬. ‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫وجميع‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬‫ال‬ ‫للفصل‬‫رابع‬. ‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أسئلة‬.
  • 2.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 272 ‫ال‬ ‫الفصل‬‫رابع‬/‫التكامل‬ ‫للتكامــــــــــل‬ ‫األساسٌة‬ ‫النظرٌة‬–‫الممابلة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫عل‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬‫الفترة‬ ‫ى‬, -‫دالة‬ ‫توجد‬ ‫فأنه‬F‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, -‫بحٌث‬: ( ) ( ) ( ) ‫وٌكون‬∫ ( ) ( ) ( )‫تسمى‬ ‫حٌث‬‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬f‫الفترة‬ ‫على‬, - ‫مثال‬(1)/‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,𝟏 𝟓-‫بحٌث‬( ) 𝟑 𝟐 ‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬f‫لٌمة‬ ‫فجد‬∫ ( ) 𝟓 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ 𝟓 𝟏 ( ) (𝟓) (𝟏) 𝟑(𝟐𝟓) 𝟑(𝟏) 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐 : ‫األتٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ذلن‬ ‫نكتب‬ ‫أن‬ ‫وٌمكن‬ ∫ 𝟓 𝟏 ( ) , ( ) 𝟓 - 𝟏 ,𝟑 𝟐 𝟓 - 𝟏 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐 ‫مثال‬(2)/‫كانت‬ ‫أذا‬f‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬0𝟎 𝟐 1‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫و‬f: ً‫ه‬ 0𝟎 𝟐 1,( ) ‫ف‬‫أو‬‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟐 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟎 ( ) , ( )- . 𝟐 / (𝟎) . 𝟐 / (𝟎) 𝟏 𝟎 𝟎 ‫م‬‫ثال‬(3)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) 𝟑 𝟐,, 𝟏 𝟑-‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( ) 𝟑 𝟐 ‫الحل‬/∵( ) 𝟑 𝟐‫على‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬) ‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫ألنها‬ ( ∴F‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬‫على‬(𝟏 𝟑) ( ) 𝟑 𝟐 ( ) (𝟏 𝟑) ∴F‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-
  • 3.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 273 ‫م‬‫ثال‬(4)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) 𝟏 𝟐 𝟐,‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟐, ‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬∫ 𝟐𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∵( ) 𝟐‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐 (𝟐) 𝟐 ( ) ∴‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ 𝟐 𝟒 𝟎 [ 𝟏 𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟒 [ 𝟏 𝟐 𝟐 . 𝟒 /] [ 𝟏 𝟐 𝟐(𝟎)] [ 𝟏 𝟐 . 𝟐 /] [ 𝟏 𝟐 𝟎] 𝟏 𝟐 (𝟏) 𝟏 𝟐 (𝟎) 𝟏 𝟐
  • 4.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 274 ‫بٌن‬ ‫العاللة‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬f‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫والدالة‬F ( ) ‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬( ) ‫الدالة‬ 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝟏𝟏 , ( )- 𝟏 𝟏, ( )- ( ) 𝟏 𝟏 ( )( ) 𝟏 ( ) ( ) 𝟏 ( )𝟐( ) 𝟏 ( )𝟐( ) 𝟏 𝟏 ∫ ( ) ( ) ‫نستنتج‬ ‫الجدول‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫ألٌة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫مجموعة‬ً‫ه‬ ‫أعاله‬ ‫الجدول‬ ً‫ف‬ ‫كما‬F+C‫أن‬ ‫حٌث‬Cً‫حمٌم‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬
  • 5.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 275 ‫م‬‫ثال‬(5)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟒 𝟎 , - 𝟎 𝟒 𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ‫م‬‫ثال‬(6)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟐 𝟒 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟐 𝟒 , - 𝟒 𝟐 0 𝟐 𝟒 1 , 𝟎 𝟏- 𝟏 ‫م‬‫ثال‬(7)/‫أوجد‬∫ 𝟑 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝟑 𝟎 , - 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏 𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 . 𝟏 𝟐 / 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 ‫م‬‫ثال‬(8)/‫أوجد‬∫ 𝟑𝟑 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ 𝟑 𝟑 𝟏 * 𝟒 𝟒 + 𝟏 𝟑 [ 𝟖𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 ] 𝟖𝟎 𝟒 𝟐𝟎
  • 6.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 276 ‫المحدد‬ ‫التكامـــــل‬ ‫خواص‬ :‫أوال‬Ⓘ‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , - ‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬: (𝑎) 𝑓(𝑥) 𝑥2 0 𝑥𝜖, 1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝑑𝑥 𝟎 (𝑏) 𝑓(𝑥) 3 > 0 𝑥𝜖, 2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ (𝟑) 𝟑 𝟐 𝑑𝑥 > 𝟎 (𝑐) 𝑓(𝑥) (𝑥 1) > 0 𝑥𝜖,2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝑑𝑥 > 𝟎 ②‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , - ‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬: (𝑎) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖,1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟐) 𝟐 𝟏 𝑑𝑥 < 𝟎 (𝑏) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖, 2 1- ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟏 𝟐 𝑑𝑥 < 𝟎 :‫ثانٌا‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكان‬C‫ثابت‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬‫فأن‬ ∫ 𝑪𝒇(𝒙) 𝑪 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 ‫م‬‫ثال‬(9)/‫كان‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖 𝟓 𝟐 ‫فأوجد‬∫ 𝟓 ( ) 𝟓 𝟐 ‫الحل‬/ ∫ 𝟓 ( ) 𝟓 𝟐 𝟓∫ ( ) 𝟓 𝟐 𝟓( 𝟖) 𝟒𝟎
  • 7.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 277 :‫ثالثا‬‫كانت‬ ‫أذا‬𝟏 𝟐‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالتٌن‬, -‫فأن‬( 𝟏 𝟐)∫ 𝟏∫ ∫ 𝟐 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 ‫على‬ ‫المستمرة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫محدد‬ ‫عدد‬ ‫أي‬ ‫مجموع‬ ‫على‬ ‫الخاصٌة‬ ‫هذه‬ ‫تعمٌم‬ ‫وٌمكننا‬, - ‫م‬‫ثال‬(10)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ 𝟐( ) 𝟏𝟕 𝟑 𝟏 ,∫ 𝟏( ) 𝟏𝟓 𝟑 𝟏 : ‫من‬ ‫كال‬ ‫فأوجد‬ ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟏( ) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐( ) 𝟑 𝟏 15 17 32 ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟏( ) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐( ) 𝟑 𝟏 15 17 2 ‫م‬‫ثال‬(11)/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐 𝟐‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟐 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ ( ) 𝟐 𝟏 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟏 ∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 , 𝟑 𝟐 - 𝟏 , 𝟐 𝟐 - 𝟏 (8 1) (4 1) 7 3 10 :‫رابعا‬‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( )‫فأن‬: ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 𝒄 𝒂 ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 𝒃 𝒄 𝒃 𝒂 ‫م‬‫ثال‬(21)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖 𝟕 𝟑 ,∫ ( ) 𝟓 𝟑 𝟏 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟕 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ ( ) 𝟕 𝟏 ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ ( ) 𝟕 𝟑 𝟓 𝟖 𝟏𝟑
  • 8.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 278 ‫م‬‫ثال‬(31)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) | |‫أوجد‬∫ ( ) 𝟒 𝟑 ‫الحل‬/‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟑 𝟒-: ‫هما‬ ‫لاعدتان‬ ‫ولها‬ ( ) 2 𝟎 < 𝟎 ∫ ( ) 𝟒 𝟑 ∫ ( ) 𝟎 𝟑 ∫ ( ) * 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟎 , 𝟐 𝟐 𝟒 - 𝟎 𝟒 𝟎 [0 ( 9 2 )] [ 16 2 0] 9 16 2 25 2 ‫م‬‫ثال‬(14)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) 2 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 < 𝟏 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟓 𝟎 ‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬ ( ) ( 𝟏) 𝟐( 𝟏) 𝟏 𝟑 ‫معرفة‬ ( ) 𝟏 ( ) { ( ) ( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟏 ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ∵ 𝟏 = 𝟐 ∴ 𝟏 ( ) 𝟑 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏) ∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+ ∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓- ∴ ∫ ( ) ∫ ( ) 𝟏 𝟎 ∫ ( ) 𝟓 𝟏 ∫ 𝟑 𝟏 𝟎 ∫ (𝟐 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟓 𝟎 ,𝟑 𝟏 - 𝟎 , 𝟐 𝟓 - 𝟏 , 𝟑 𝟎- , 𝟑𝟎 𝟐- 𝟑 𝟐𝟖 𝟑𝟏
  • 9.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 279 ‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟔 𝟏 < 𝟏 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟑 𝟐 ‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬ ( ) ( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟐( 𝟏) 𝟓 ‫معرفة‬ ( ) 𝟏 ( ) { ( ) ( 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟓 𝟏 ( ) ( 𝟔 𝟏) 𝟓 𝟐 ∵ 𝟏 = 𝟐 ∴ 𝟏 ( ) 𝟓 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏) ∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+ ∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑- ∴ ∫ ( ) ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ (𝟔 𝟏) 𝟏 𝟐 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐 ,𝟑 𝟐 𝟏 - 𝟐 , 𝟑 𝟐 𝟑 - 𝟏 , 𝟐 𝟏𝟒- , 𝟑𝟔 𝟐- 𝟏𝟐 𝟑𝟒 𝟐𝟐 ‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) | | 𝟑‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟒 𝟑 ‫الحل‬/‫السابك‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫الحل‬ ‫أثبات‬ ‫طرٌمة‬ ‫نفس‬ ( ) 2 𝟑 𝟎 𝟑 < 𝟎 ∫ ( ) 𝟒 𝟑 ∫ (𝟑 ) 𝟎 𝟑 ∫ ( 𝟑) *𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟎 * 𝟐 𝟐 𝟑 + 𝟎 𝟒𝟒 𝟎 [𝟎 ( 𝟗 𝟗 𝟐 )] [( 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟐) 𝟎] 𝟐𝟕 𝟒𝟎 𝟐 𝟔𝟕 𝟐
  • 10.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 280 :‫خامسا‬ ( ) ∫ ( ) 𝟎 ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) : ً‫ال‬‫مث‬ ( ) ∫ 𝟑 𝟑 * 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟑 9 2 9 2 𝟎 ( ) ∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 ∫ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 , 3 - 2 ,27 8- 27 8 19 (𝟒 𝟏)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أحسب‬: ( ) ∫ (𝟑 𝟐) 𝟐 𝟐 * 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 * 𝟑(𝟒) 𝟐 𝟒+ * 𝟑(𝟒) 𝟐 𝟒+ (𝟔 𝟒) (𝟔 𝟒) 𝟐 𝟏𝟎 𝟖 ( ) ∫ ( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟏 * 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝟐 ] 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐 𝟒 𝟐) ( 𝟏 𝟏 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 ( ) ∫ ( 𝟒 𝟒 ) 𝟑 𝟏 * 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟑 [ 𝟐𝟒𝟑 𝟓 𝟏𝟖] [ 𝟏 𝟓 𝟐] 𝟐𝟒𝟐 𝟓 𝟏𝟔 𝟐𝟒𝟐 𝟖𝟎 𝟓 𝟑𝟐𝟐 𝟓
  • 11.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 281 ( ) ∫ | 𝟏| 𝟐 𝟎 | 𝟏| 2 𝟏 𝟏 𝟏 < 𝟏 ∫ | 𝟏| 𝟐 𝟎 ∫ (1 ) ∫ ( 1) 2 * 2 2 + * 2 2 + 2 [(1 1 2 ) 0] [(2 2) ( 1 2 1)] 1 2 1 2 𝟏 ( ) ∫ ( ) 𝟎 𝟐 * 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟎 * (𝟎) 𝟐 𝟐 (𝟎)+ [ . 𝟐 / 𝟐 𝟐 . 𝟐 /] ,𝟎 𝟎- [ ( 𝟐 𝟒 ) 𝟐 𝟏] 𝟐 𝟖 𝟏 𝟏 𝟐 𝟖 ( ) ‫مالحظة‬ ( ) ∫ 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 ∫ 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟏 ∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 * 3 3 2 2 + 2 3 (* 27 3 9 2 3+ * 8 3 4 2 2+) ( 54 27 18 16 12 12 6 ) 59 6 ( ) ∫ 𝟐 𝟑 𝟒 2 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 ∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐) 𝟑 𝟏 * 2 4 5 1 + , 2 4 5 𝟑 - 𝟏 [9 12 5 3 ] ,1 4 5- 3 5 3 8 5 5 3 15 5 3 10 3
  • 12.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 282 ‫س‬2/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬f(x)‫حٌث‬ 0𝟎 𝟔 1‫حٌث‬( ) ( ) 𝟏‫حٌث‬0𝟎 𝟔 1‫ثم‬‫أحسب‬∫ ( )𝟔 𝟎 ‫الحل‬/‫ل‬‫ـ‬‫أن‬ ‫نثبت‬ ً‫ك‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( ) ‫أن‬ ‫نثبت‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬0𝟎 𝟔 1 ( ) , - 0 𝟎 𝟔 1 ( ) ( ) ( ) ∴( )‫مجالها‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ( ) ̅( ) 𝟏 ( ) ∴( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( ) ∫ ( ) 𝟔 𝟎 ( 𝟔 ) (𝟎) [ 𝟔 𝟔 ] , 𝟎 𝟎- 𝟏 𝟐 𝟔 𝟑 𝟔 ‫س‬3/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أوجد‬: ( ) ∫ ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐 𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟐)( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐) 𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐) 𝟒 𝟏 [ 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 ] 𝟏 𝟒 , 𝟔𝟒 𝟐𝟒 𝟖- * 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐+ 𝟑𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑𝟒 𝟓 𝟒 𝟏𝟑𝟔 𝟓 𝟒 𝟏𝟒𝟏 𝟒
  • 13.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 283 ( ) ∫ | 𝟏| 𝟏 𝟏 ( ) | 𝟏| { 𝟏 𝟏 𝟏 < 𝟏 (‫الفترة‬ ‫خارج‬ ) ∫ | 𝟏| ∫ ( 1) * 2 2 + ( 1 2 1) ( 1 2 1) 1 1 𝟐 ( ) ∫ 𝟒 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟏)( 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟏 ∫ ( 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 * 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟑 [ 𝟖𝟏 𝟒 𝟗 𝟗 𝟐 𝟑] [𝟒 𝟖 𝟑 𝟐 𝟐] 𝟖𝟏 𝟒 𝟗 𝟐 𝟏𝟐 𝟖 𝟖 𝟑 𝟒 𝟖𝟏 𝟒 𝟗 𝟐 𝟖 𝟑 𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟓𝟒 𝟑𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟏𝟑 𝟏𝟐 ( ) ∫ √ (√ 𝟐) 𝟐 𝟏 𝟎 ∫ √ ( 𝟒√ 𝟒) 𝟏 𝟎 ∫ . 𝟏 𝟐 / ( 𝟒 . 𝟏 𝟐 / 𝟒) 𝟏 𝟎 ∫ ( . 𝟑 𝟐 / 𝟒 𝟒 . 𝟏 𝟐 / ) 𝟏 𝟎 [ . 𝟓 𝟐 / . 𝟓 𝟐 / 𝟐 𝟐 𝟒 . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / ] 𝟎 𝟏 [ 𝟐 𝟓 𝟐 𝟖 𝟑 ] 𝟎 𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟓 𝟕𝟔 𝟏𝟓 ‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬‫ت‬( ) 2 𝟐 𝟑 𝟔 < 𝟑 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟒 𝟏 ‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟒- ( ) (𝟑) 𝟐(𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ) ( ) (𝟑) ( ) { ( ) (𝟐 ) 𝟐(𝟑) 𝟔 𝟏 ( ) (𝟔) 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐 ( ) (𝟑) ( ) (𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ ) ∫ ( ) 𝟒 𝟏 ∫ 𝟔 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐 , 𝟔 𝟑 - 𝟏 , 𝟐 𝟒 - 𝟑 ,𝟏𝟖 𝟔- ,𝟏𝟔 𝟗- 𝟒 𝟑 𝟏𝟐 𝟕 𝟏𝟗
  • 14.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 284 ‫س‬5/‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐 < 𝟎 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟑 𝟏 ‫وزاري‬2014/‫د‬1 ‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫أنها‬ ‫بأثبات‬ ‫وذلن‬( 𝟎) ( ) (𝟎) 𝟑(𝟎) 𝟐 𝟎 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ) ( ) (𝟎) ( ) { 𝟎 (𝟑 𝟐) 𝟑(𝟎) 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 (𝟐 ) 𝟐(𝟎) 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 ( ) (𝟎) ( ) (𝟎) 𝟔 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ ) ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐 𝟎 𝟏 ∫ 𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟎 - 𝟏 , 𝟑 𝟑 - 𝟎 ,𝟎 𝟏- ,𝟐𝟕 𝟎- 𝟑 𝟎 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟔 ****************************************************************** ‫التكامـــل‬‫الغٌــر‬‫المحدد‬ ‫للدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫المستمرة‬, -‫ممابلة‬ ‫دالة‬F‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ً‫نهائ‬ ‫ال‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬f‫وكل‬ ‫ٌساوي‬ ‫منها‬F + C‫حٌث‬C‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌساوي‬ ‫منها‬ ‫أثنٌن‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫بٌن‬ ‫والفرق‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌمثل‬ ‫تس‬‫ـــــ‬‫مجموع‬ ‫مى‬‫ــــ‬‫الممابل‬ ‫الدوال‬ ‫ة‬‫ـــــ‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫ة‬F+C‫للدالةة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫بالتكامل‬𝒇‫المسةتمرة‬‫الفتةرة‬ ‫علةى‬ , -‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙ٌ‫متغ‬ ‫رمز‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫الدالة‬ ‫ر‬‫هو‬𝒙 ‫بالصورة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫كتابة‬ ‫على‬ ‫ٌصطلح‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 𝑭( 𝒙) 𝑪 𝑪 𝐑 ‫هو‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫عملٌة‬‫األخرى‬ ‫دور‬ ً‫تنه‬ ‫أحداهما‬ ‫أي‬ ‫التفاضل‬ ‫لعملٌة‬ ‫المعاكسة‬ ‫العملٌة‬ ‫م‬‫ثال‬(1)/‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫التكامل‬: (𝒂) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝒄 (𝒃) ∫( 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒙 𝟐) 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝟏 𝟏 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟏 𝒙 𝒄 (𝒄) ∫( 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄 (𝒅) ∫ 𝐬𝐢𝐧( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒄
  • 15.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 285 ‫م‬‫ثال‬(2)/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬ (𝒂) ∫( 𝒙 𝟐 𝟑) 𝟐 ( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐 𝟑) 𝟑 𝟑 𝒄 (𝒃) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟔 ( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟔 (2)( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟕 𝟕 𝒄 1 𝟏𝟒 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟕 𝒄 (𝒄) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟒 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟓 𝒙 𝟓 𝒄 (𝒅) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟔 𝑥 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟕 𝑥 𝟕 𝒄 ‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ً‫ف‬ ‫العاللات‬ ‫بعض‬ (𝟏) 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝟏 (𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 (𝟑) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽) 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 (𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝟏 (𝟓) 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) (𝟔) 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) (𝟕) 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜽 𝟏 (𝟖) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏 𝟐 ,𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙- (𝟗) 𝒄𝒐𝒔𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏 𝟐 ,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙- (𝟏𝟎) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒙 𝟏 𝟐 ,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙- (𝟏𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝑠𝜃
  • 16.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 286 ‫التربٌعٌة‬ ‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ‫تكامالت‬ (𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄 (𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝜽 𝒄 (𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜽 𝒄 (𝟓) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 (∫ 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽) 𝟏 𝟐 (𝜽 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄 𝟏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 (∫ 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽) 𝟏 𝟐 (𝜽 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄 𝟏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝑐 ‫صفحة‬ ‫الكتاب‬ ‫من‬ ( ‫أمثلة‬185‫و‬‫صفحة‬618) (𝟏) ∫ 𝟗 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅 𝒙 𝟑 ∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑 𝒅 𝒙 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑 𝒄 (𝟑) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ‫وزاري‬2012/‫د‬3 (4) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 ∫ . 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙/ 𝟐 𝒅𝒙 ∫ * 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)+ 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟒 ( 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 (∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 ) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 (∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫ 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 ( 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟏 𝟒 ( 𝟑 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟑 𝟖 𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏( 𝟐𝒙) 𝟏 𝟑𝟐 𝒔𝒊𝒏( 𝟒𝒙) 𝒄
  • 17.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 287 (𝟓) ∫( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟕( 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱) 𝐝𝐱 ( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟖 𝟖 𝒄 (𝟔) ∫ 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝟐 𝒄 𝟏 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝒄 (𝟕) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙)𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟑 𝒙 𝟑 𝒄 ‫وزار‬‫ي‬4201/‫د‬2 (𝟖) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒄 ‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬6201/‫د‬1 (𝟗) ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟔𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 ∫( 𝟐𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱) 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱) 𝒅𝒙 𝟐 𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱)( 𝟑) 𝒅𝒙 ( 𝟐 𝟑 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 𝟒 𝐜 𝟏 𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 𝐜 ‫مالحظة‬ 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 (𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱) 𝟒 (𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) ( 𝟐) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄 (𝟏𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟑𝐱 𝐝𝐱 ∫ * 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)+ 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 ( 𝒙 𝟏 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟓 𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙 𝒙 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟕 𝒕𝒂𝒏 𝟕𝒙 𝒙 𝒄 ‫وزاري‬2014/‫د‬1
  • 18.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 288 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫أوجد‬: (𝟏) ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝟐 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟏 𝟑) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟔 ) ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑) ( 𝟒 𝟑 ) 𝒄 𝟏 𝟖 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑) 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓 (𝟐 𝒙) 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒕𝒂𝒏 𝟔 (𝟐 𝒙) 𝟔 𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝟔 (𝟐 𝒙) 𝟏𝟐 𝒄 (𝟑) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑(𝟒 𝒙) 𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒙)𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟒 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙) 𝟒 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙) 𝟏𝟔 𝒄 (𝟒) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟓(𝒙 𝟑) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟔(𝒙 𝟑 ) 𝟔 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝟔( 𝒙 𝟑) 𝟏𝟖 𝒄 (𝟓) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) 𝒔𝒆𝒄(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) ) 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) 𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙) 𝟒 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙) 𝟖 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒙 𝒙 𝟐 𝟗 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙 𝟐 𝟗) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) (𝒙 𝟐 𝟗) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 (𝒙 𝟐 𝟗) . 𝟑 𝟐 / 𝟑 𝒄 (𝒙 𝟐 𝟗) 𝟑 𝟑 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙)𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝒙 𝒄𝒐𝐬𝒙)𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝒙 𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟔 𝒙 𝟔 𝒄 (𝟖) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝒙 𝟓 𝒄 (𝟗) ∫ 𝒙 𝟓 𝟐𝒙 𝟑𝟑 𝒅𝒙 ∫(𝒙) 𝒙 𝟐 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫(𝒙) (𝒙 𝟐 𝟐) . 𝟏 𝟑 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) (𝒙 𝟐 𝟐) . 𝟒 𝟑 / . 𝟒 𝟑/ 𝒄 ( 𝟑 𝟖 ) (𝒙 𝟐 𝟐) . 𝟒 𝟑 / 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓)𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐 𝟐 𝟓𝒙) 𝒄 (𝟏𝟏) ∫ 𝟑 (𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝟑 (𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 𝟑 ∫(𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 𝟑(𝒙 𝟏) 𝟏 𝟏 𝒄 𝟑 (𝒙 𝟏) 𝒄
  • 19.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 289 (𝟏𝟐) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏 √𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏 𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 𝟏)(𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏) . 𝟏 𝟓 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) (𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏) . 𝟒 𝟓 / . 𝟒 𝟓 / 𝒄 𝟓 𝟏𝟐 (𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏) . 𝟒 𝟓 / 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐) 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝒙 𝟒 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝟗𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟗 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄 𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝟐 𝑐 ‫مثال‬/‫التكامالت‬ ‫أوجد‬‫للدوال‬‫األتٌة‬: (𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟕 𝒄𝒐𝒕𝟕𝒙 𝒙 𝒄 (𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 2 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙 𝐜 (𝟒) ∫(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒙 𝒄 (𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟓 𝒙 (𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟔 𝒙 𝟔 𝒄 (𝟕) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
  • 20.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 290 (𝟖) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫,𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙- 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫,𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙- 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝟏 𝟔 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟖 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄 (𝟗) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 ( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟔 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙(𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄 (𝟔)‫من‬ ‫بدل‬ (𝟒)‫األس‬ ‫أجعل‬ ‫ولكن‬ (𝟏𝟎)‫السؤال‬ ‫حل‬ ∶ ‫واجب‬ (𝟏𝟏) ∫ 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄 (‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫على‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) (𝟏𝟐) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟐𝐱 𝐝𝐱 ∫ * 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)+ 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 ( 𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝐱 𝟏 𝟑 ∫ ( 𝟑) 𝒙 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝒙 𝟏 𝟑 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 ( 𝟐) 𝐝𝒙 𝟏 𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒄 (𝟏𝟓) ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 ( 𝟕) 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 𝐜𝐨𝐭 𝟕𝒙 𝒄 (𝟏𝟔) ∫ 𝒙 𝟐 9 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 3)(𝑥 3) 𝑥 3 𝒅𝒙 ∫(𝑥 3) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 3𝒙 𝒄 (𝟏𝟕) ∫ 𝒙 𝟒 16 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 4)(𝒙 𝟐 4) 𝑥 2 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 2)(𝑥 2)(𝒙 𝟐 4) 𝑥 2 𝒅𝒙 ∫(𝑥 2)(𝒙 𝟐 4) 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟑 4𝑥 2𝒙 𝟐 8) 𝒅𝒙 𝒙 𝟒 𝟒 2𝒙 𝟐 2 𝒙 𝟑 𝟑 8𝑥 𝒄 (𝟏𝟖) ∫ 𝒙 𝟑 1 𝒙 1 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 1)(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝑥 1 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄
  • 21.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 291 (𝟏𝟗) ∫ 𝒙 𝟐 √𝒙 𝟑 𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟓) 2 𝒅𝒙 1 3 ∫(3)𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟓) 2 𝒅𝒙 1 3 × (𝒙 𝟑 𝟓)2 1 2 𝒄 2 3 𝒙 𝟑 𝟓 𝒄 (𝟐𝟎) ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑 𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟗 𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟗 ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑 𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟗 𝒙 ( 𝟗)𝐝𝐱 𝟏 𝟗 × 𝐜𝐨𝐭 𝟒 𝟗 𝒙 𝟒 𝒄 (𝟐𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟗 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 (𝟗) 𝐝𝐱 𝟏 𝟗 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝒙 𝒄 (𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕 𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟕 𝒙 (𝟕) 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒄 ‫وزاري‬2012/‫د‬2 (𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟑 𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝐝𝐱 ∫( 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 )𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙𝐝𝐱 𝟏 𝟑 𝒄𝒔𝒄 𝟑 𝒙 𝒄 (𝟐𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝟑𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑( 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 )𝒔𝒆𝒄 𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟑 × 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝟑𝒙 𝟓 𝐜 𝟏 𝟏𝟓 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝟑𝒙 𝐜 ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬.𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 /‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1) ‫الحل‬/ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫ (𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 ((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 𝟏 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
  • 22.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 292 ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬(𝟑 𝟐 )‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1) ‫الحل‬/ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐 ) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ : ‫مثال‬‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟑 𝟐 𝟔 𝟗)‫تساوي‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(15) ‫الحل‬/ 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏 ‫النمطة‬( 𝟏 𝟏𝟓)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 (( 𝟏 𝟏𝟓)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏𝟓 𝟏 𝟑 𝟗 𝟏𝟎 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 𝟏𝟎 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ : ‫مثال‬‫م‬ ‫جد‬ً‫المنحن‬ ‫عادلة‬. 𝟔 /‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(-1,4) ‫الحل‬/ ∫ ∫(𝟔 ) 𝟑 𝟐 ( 𝟏 ‫عندما‬ 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐 𝟑) 𝟑 𝟑 (( 𝟏 𝟒)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
  • 23.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 293 : ‫مثال‬ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫مٌله‬ ‫الذي‬(𝟐 )‫والمستمٌم‬𝟑 𝟕‫عندما‬ ‫له‬ ‫مماسا‬𝟐 ‫الحل‬/ Ⓘ‫لٌمة‬ ‫نعوض‬(x)‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬‫الستخراج‬‫لٌمة‬(y)‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ثم‬ 𝟑 𝟕 𝟑(𝟐) 𝟕 𝟏 (𝟐 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ②‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫نشتك‬‫إلٌجاد‬‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫أخر‬ ‫بمعنى‬ ‫أي‬ ‫المٌل‬ 𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑 ③‫المنح‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫المجاهٌل‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬‫ن‬ً‫حٌث‬( 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ④‫التكامل‬ ‫ثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نكامل‬(C)ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫فٌتم‬‫المطلوبة‬ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟐 𝟏) 𝟐 ((2 1)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ : ‫مالحظات‬ ‫مثل‬ ‫مجهول‬ ‫ثابت‬ ‫وفٌه‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫تكامل‬ ‫ال‬(C)‫او‬(P)‫المجهول‬ ‫لٌمة‬ ‫تجد‬ ‫حتى‬. ‫السؤال‬ ‫معلومات‬ ‫من‬ ‫كاملة‬ ‫نمطة‬ ‫أوال‬ ‫تجد‬ ‫أن‬ ‫ٌفضل‬ ‫دالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫ألٌجاد‬‫ألستخدمها‬‫ثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫المجهولة‬ ‫التكامل‬
  • 24.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 294 (𝟒 𝟐)‫تمارين‬ : ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫ضمن‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫تكامالت‬ ‫جد‬ (1) ∫ (2𝒙 𝟐 𝟑) 𝟐 𝟗 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 ∫ (𝟒𝒙 𝟒 𝟏𝟐𝒙 𝟐 𝟗) 𝟗 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 ∫ (𝟒𝒙 𝟒 𝟏𝟐𝒙 𝟐) 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 ∫ 𝒙 𝟐(𝟒𝒙 𝟐 𝟏𝟐) 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 𝟒𝒙 𝟑 𝟑 𝟏𝟐𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ (𝟑 √𝟓𝒙) 𝟕 √ 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟕 √𝟕 (√ 𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 √𝟕 ∫ .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟕 (√ 𝒙) 𝒅𝒙 (‫المشتقة‬ ‫)نوفر‬ 𝟏 √𝟕 ( 𝟐 √𝟓 ) ∫ ( √𝟓 𝟐 ) .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟕 (√ 𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 √𝟕 ( 𝟐 √𝟓 ) .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟖 𝟖 𝒄 1 𝟒 √𝟑𝟓 (𝟑 √𝟓𝒙 ) 𝟖 𝒄 (𝟑) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙) 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙)(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒄 ‫وزاري‬3201/‫د‬1 (𝟒) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟏 𝒙 𝟏 𝐜 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐜 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄 ‫أخر‬ ‫حل‬: ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄 (𝟓) ∫ 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒 𝒅𝒙 𝟏 𝟔 ∫(𝟔)𝒙 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒 𝒅𝒙 𝟏 𝟔 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟑 𝟑 𝒄 𝟏 𝟏𝟖 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟑 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝟑 𝐝𝐱 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐𝟑 𝐝𝐱 ∫(𝒙 𝟓) . 𝟐 𝟑 / 𝐝𝐱 (𝒙 𝟓) . 𝟓 𝟑 / . 𝟓 𝟑/ 𝒄 𝟑 𝟓 (𝒙 𝟓) . 𝟓 𝟑 / 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 (𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 ( 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙 𝟑 𝒄 (𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝐝𝐱 𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟏 𝒙 𝒄
  • 25.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 295 .‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬ ∫ 𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝐝𝐱 𝟐 𝒄𝒐𝒔 √𝟏 𝒙 𝒄 (𝟗) ∫(𝟑𝒙 𝟐 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝟗𝒙 𝟒 𝟔𝒙 𝟐 𝟏)𝒅𝒙 𝟗 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐𝒙 𝟑 𝒙 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ √ 𝒙 𝒙 √𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) √ 𝒙(𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 )( √ 𝒙) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) (𝒙 𝟏 𝟒) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 𝟒 ) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ [ 𝟏 𝟐 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 𝟐 (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟒 𝟑 (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟒 𝟑 (𝟏 √ 𝒙) 𝟑 𝒄 .‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬ ∫ 𝒙 √ 𝒙 √𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) √ 𝒙(√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) ( √ 𝒙) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) (𝒙 𝟏 𝟒) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 𝟒 ) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 (𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) [𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 𝟐 (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐/ 𝒄 𝟒 𝟑 (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟒 𝟑 (√ 𝒙 𝟏) 𝟑 𝒄 ‫وزا‬‫ري‬2013/‫د‬2 (𝟏𝟏) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 ( 𝟏 𝟑 ) 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ [ 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)] 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ ( 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟔 ) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄 (𝟏𝟐) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟒 ) ∫(𝟒) 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ∫( 𝟐) 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟖𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟖𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝟏 𝟖 𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒙 𝒄
  • 26.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 296 ‫وزاري‬2016/‫د‬1 (𝟏𝟓) ∫ √𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝟐)𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟑 𝟐 . 𝟑 𝟐/ 𝒄 𝟏 𝟑 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟑 𝟐 𝒄 (𝟏𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄 (𝟏𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟖𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟏𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟑𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙 𝒄 (𝟏𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟏 𝟐 ,𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙-) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 (∫ 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟔𝒙 𝒅𝒙) 𝟏 𝟒 [𝒙 𝟐 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 ∫ 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒙) 𝒅𝒙] 𝟏 𝟒 [𝒙 𝟏 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙)] 𝒄 𝟏 𝟒 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟏 𝟖 𝒙 𝟏 𝟗𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒄 𝟑 𝟖 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟏 𝟗𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝑐 ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬: (1) ∫ 𝟐𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ( 𝟏 𝟒 ) 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒔𝒊𝒏√ 𝒙 √ 𝒙 𝒅𝒙 (𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒔𝒊𝒏√ 𝒙 √ 𝒙 𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔√ 𝒙 𝒄 (𝟑) ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 . 𝒂 𝟐/ 𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟐 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 0𝐬𝐞𝐜 𝟐 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝟏1 𝒅𝒙 𝟐 𝒂 𝒕𝒂𝒏 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝒙 𝒄 (𝟒) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟐 𝟑 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐( 3 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙)𝒅𝒙 𝟐 𝟑 × (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑 𝟑 𝐜 𝟐 𝟗 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑 𝐜
  • 27.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 297 (𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟏 𝟐 / 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 1 4 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟏 𝟐 / (𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟒 ) (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟑 𝟐 / 𝟔 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 . 𝟏 𝟐 / (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝐝𝐱 ∫ . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝒙 ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒔𝒆𝒄 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝐝𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙) 𝟏 𝟐 (𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝐝𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝒄 𝟐 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄 (𝟖) ∫ 𝟑 𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔 ( 𝟏 𝒙 ) 𝒅𝒙 ( 𝟑) ∫ 𝟏 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟏 𝒙 ) 𝐝𝐱 𝟑𝒔𝒊𝒏( 𝟏 𝒙 ) 𝐜 (𝟗) ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 ) 𝐝𝐱 ∫ (𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 ) 𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄)𝐝𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ (𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐 (𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 (𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ . 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 / 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 0 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 1 0 𝟏 𝒔𝒊𝒏 1 𝟒 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ) 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫الحل‬ ‫نكمل‬ ‫ثم‬)9(‫الصفحة‬ ً‫ف‬)36( (𝟏𝟏) ∫ ( 𝟓 𝒙 𝟑 𝟕 𝒙 𝟐 ) . 𝟏 𝟑 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟓 𝟕𝒙 𝒙 𝟑 ) . 𝟏 𝟑 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝟓 𝟕𝒙) . 𝟏 𝟑 / 𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟕 (𝟓 𝟕𝒙) . 𝟒 𝟑 / . 𝟒 𝟑/ 𝒄 𝟑 𝟐𝟖 (𝟓 𝟕𝒙) . 𝟒 𝟑 / 𝒄 (𝟏𝟐) ∫ 𝟕𝒙 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟔 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟒(𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 𝟕 ∫ 𝒙 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 𝟕 ∫ . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 ( 𝟕 𝟓 ) ∫(𝟓) . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟒 [ 𝟏 (𝒙 𝟓) 𝟐] 𝒅𝒙 𝟕 𝟓 . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟓 𝟓 𝒄 𝟕 𝟐𝟓 . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟓 𝐜 (𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟓 𝒙 𝟑𝟑 𝒅𝒙 ∫( 𝒙) 𝒙 𝟐 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 ∫( 𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟏 𝟑 ) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ∫( 𝟐𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟏 𝟑 ) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑 ) ( 𝟒 𝟑) 𝒄 𝟑 𝟖 ( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑 ) 𝒄
  • 28.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 298 (𝟏𝟒) ∫ 𝟓𝒙 𝟒 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓𝒙 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫ 𝒙(𝟓𝒙 𝟐 𝟑) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟏𝟎 ) ∫(𝟏𝟎)𝒙(𝟓𝒙 𝟐 𝟑) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟏𝟎 ) ( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑) ( 𝟑 𝟐 ) ( 𝟑 𝟐) 𝒄 1 𝟏𝟓 ( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑) ( 𝟑 𝟐 ) 𝒄 (𝟏𝟓) ∫ 𝟓 𝟕√ 𝒙 𝟑 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟑 / (𝒙). 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 [ 𝟐 𝟕 ] ∫ [ 𝟕 𝟐 ] (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟑 / (𝒙). 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 [ 𝟐 𝟕 ] (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟒 𝟑 / . 𝟒 𝟑/ 𝒄 𝟑 𝟏𝟒 (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟒 𝟑 / 𝒄 (𝟏𝟔) ∫ 𝒙 𝟔 (𝟓 𝟑 𝒙 ) 𝟔 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 [𝟓 𝟑 𝒙 ]) 𝟔 𝐝𝐱 ∫(𝟓𝒙 𝟑) 𝟔 𝐝𝐱 ( 𝟏 𝟓 ) (𝟓𝒙 𝟑) 𝟕 𝟕 𝒄 1 𝟑𝟓 (𝟓𝒙 𝟑) 𝟕 𝒄 (𝟏𝟕) ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟔 𝟔𝒙 𝟑 𝟗) 𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(,𝒙 𝟑 𝟑- 𝟐) 𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟎 𝒅𝒙 1 3 ∫ 3𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟎 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) (𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒄 𝟏 𝟑𝟑 (𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟏 𝒄 (𝟏𝟖) ∫ 𝟕𝒙 𝟐 𝒙 𝟔 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟐 𝒙 𝟐(𝒙 𝟒 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟑 𝒙 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 ( 𝟕 𝟒 ) ∫(𝟒)𝒙 𝟑 (𝒙 𝟒 𝟏) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟕 𝟒 ) (𝒙 𝟒 𝟏) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟕 𝟔 (𝒙 𝟒 𝟏) . 𝟑 𝟐 / 𝑐
  • 29.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 299 ‫اللوغارٌتم‬‫الطبٌعــ‬ً‫ـ‬ ‫ةةةةةةةتكن‬‫ة‬‫ل‬u‫ةةةةةةةى‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةةةبة‬‫ة‬‫بالنس‬ ‫ةةةةةةةتماق‬‫ة‬‫لالش‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫لابل‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫موجب‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫دال‬x‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫للدال‬ ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬ ‫ةةةةةةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬ ‫ةةةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬uً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ه‬ ( ) ‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫الدالة‬ . / ‫و‬‫فأن‬ ‫علٌه‬∫ 𝟏 | |‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫شرط‬( )‫موجبةة‬‫هةذه‬ ‫وتسةتخدم‬ ‫ٌصعب‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫توفٌر‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬‫اشتمالها‬‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬: 𝟏 𝟎 ( ) ( ) ‫مثال‬(1)/‫كان‬ ‫اذا‬(𝟑 𝟐 𝟒)‫فأ‬‫و‬‫جد‬ (𝟑 𝟐 𝟒) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟒 ‫مثال‬(2)/‫جد‬∫ 𝜃 𝑑 𝟏 𝜃 𝜃 𝟏 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 ∫ 𝜃 𝑑 𝟏 𝜃 𝜃 ∫ | | |𝟏 |𝜃 / ‫مثال‬: ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫مشتمة‬ ‫جد‬ : ( ) ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) ( ) ( ) . / ( ) . / ( ) ( )
  • 30.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 300 / ‫مثال‬‫التكامل‬ ‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: ∫ ∫ ( ) ( ) 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 1 ( 𝟏 𝟐 ) ∫ (𝟐) 𝟐 1 𝟏 𝟐 | 𝟐 |1 ∫ 𝟏 | | ∫ ∫ ∫ | | ∫ ∫ | | ∫ 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 |𝟏 𝟑 | ‫دالة‬‫اللوغارٌت‬‫م‬ً‫الطبٌع‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬‫ةةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫عكس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬‫أو‬ ‫ةةتمها‬‫ة‬‫نش‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةدوال‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةض‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةان‬‫ة‬‫هن‬ ‫ةةر‬‫ة‬‫أخ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫بمعن‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫علٌه‬ ‫ةةدخل‬‫ة‬‫ن‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫نكامله‬‫ال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫ةةال‬‫ة‬‫أدخ‬ ‫ةةك‬‫ة‬ٌ‫طر‬ ‫ةةن‬‫ة‬‫ع‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫ةةاط‬‫ة‬‫بألغ‬ ‫ةةوم‬‫ة‬‫نم‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ننته‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫ث‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬ ‫علٌها‬ ‫العمل‬ ‫المراد‬ ‫الدالة‬ ‫شكل‬ ‫لتغٌٌر‬ ً‫ه‬ ‫العملٌة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الهدف‬ ً‫الطبٌع‬ ‫ةة‬‫ة‬‫ل‬‫ذا‬‫ةة‬‫ة‬‫ف‬‫ةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫أن‬‫ةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫اي‬‫ةةوة‬‫ة‬‫للم‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫مرفوع‬uً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬( ) (‫االس()الدالة‬ ‫)مشتقة‬ ( )‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬ ∫( )‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬ 𝟐 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 ( ) 𝟎 𝟏 𝟏 ‫مثال‬(3)/‫لتكن‬‫فجد‬ ( 𝟐 ) ‫مثال‬(4)/‫جد‬∫ 𝟐 ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ∫ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐
  • 31.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 301 ‫األسٌــ‬ ‫الدالة‬‫األساس‬ ( ‫ــة‬)‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫أن‬ ‫نفةةةةةةرض‬( )‫ةةةةةأ‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫أسةةةةةةاس‬ ‫ةةةةةل‬‫ة‬‫ٌمث‬ ‫ةةةةةت‬‫ة‬‫ثاب‬ ‫ةةةةةدد‬‫ة‬‫ع‬‫للمةةةةةةوة‬ ‫مرفوعةةةةةةة‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫دالةةةةةةة‬ ‫اي‬ ‫ةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ن‬uً‫هةةةةةة‬ ( ) (‫()الدالة‬ ‫األساس‬ )(‫االس‬ ‫)مشتقة‬ ( )( )‫ةةةةةةةةةةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬∫( ) 𝟏 ( ) . ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫نوضح‬ ‫وسوف‬ ‫السابمة‬ ‫األسٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬ ‫ذكرناها‬ ً‫الت‬ ‫الخصائص‬ ‫ببعض‬ ‫وتتمٌز‬ ‫مثال‬(5)/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: 𝟑 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟓 ( 𝟑)(𝟐) (𝟐 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟓 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐)( 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐)(𝟐 𝟐 ) 𝟓 𝟓 ( 𝟓)( ) ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐) 𝟏 ( ) ( ), - , - ( ) 𝟑(𝟐 𝟒 ) 𝟑(𝟐 𝟒 ) ( 𝟑),𝟒 ( 𝟒)(𝟏)- 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟓 (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟓 𝟓 𝟓 ( 𝟓)
  • 32.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 302 ‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬: ∫ 𝟕 𝟏 𝟕 𝟕 ∫ ( ) ∫ ∫ √ √ ( 𝟐) ∫ √ ( 𝟐)√ 𝟐 √ ‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬: ∫ 𝟒 𝟒 ( 𝟏 𝟒 ) ∫ 𝟐 ( ) 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 ∫( 𝟑) 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 ∫ 𝟑 𝟕 ( 𝟐 𝟕 ) ( 𝟏 𝟕 ) ∫( 𝟕) 𝟑 𝟕 ( 𝟐 𝟕 ) ( 𝟏 𝟕 ) 𝟑 𝟕 ( 𝟏 𝟑 ) ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 ∫ ( 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 ) ∫(𝟐(𝟑 𝟑 𝟑) 𝟐(𝟒 𝟐 𝟑) ) ∫ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟑 𝟓 ( 1 2 ) ∫( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟑 ) ∫( 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟓 ( 1 2 ) 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝟏 𝟑 ) 𝟐 𝟑 𝟓 ( 𝟏 𝟐 ) ∫ 𝟐
  • 33.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 303 (𝟒 𝟑)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: (𝒂) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 (𝒃) 𝐲 𝐥𝐧 . 𝒙 𝟐 / . 𝟏 𝟐 / . 𝒙 𝟐 / ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝟐 𝒙 ) 𝟏 𝒙 (𝒄) 𝒚 𝒍𝒏(𝒙 𝟐) 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 (𝒅) 𝐲 (𝒍𝒏𝒙) 𝟐 𝟐 𝒍𝒏𝒙 ( 𝟏 𝒙 ) 𝟐 𝒙 𝐥𝐧𝐱 (𝒆) 𝒚 𝒍𝒏 ( 𝟏 𝒙 ) 𝟑 𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟑 ( 𝟑𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 ) 𝟑𝒙 𝟏 𝟑 𝒙 (𝒇) 𝒚 𝒍𝒏(𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙) ( 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝒈) 𝐲 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) , 𝟏𝟎𝒙 𝟑- ( 𝟏𝟎𝒙 𝟑) 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) (𝒉) 𝒚 𝟗√ 𝒙 𝟗√ 𝒙 (𝒍𝒏𝟗) ( 𝟏 𝟐√ 𝒙 ) 𝟗√ 𝒙 𝟐√ 𝒙 (𝒍𝒏𝟗) (𝒊) 𝒚 𝟕 . 𝒙 𝟒 / 𝟕 . 𝒙 𝟒 / (𝒍𝒏𝟕) ( 𝟏 𝟒 ) 𝒍𝒏𝟕 𝟒 𝟕 . 𝒙 𝟒 / ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐)
  • 34.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 304 ‫س‬2/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬: (𝑎) ∫ 1 𝟏 ,𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒙 𝟏 𝟑 - 𝟎 | 𝒍𝒏|𝟑 𝟏| 𝒍𝒏|𝟎 𝟏| 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟒 𝟎 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟐 𝟐 𝟐𝒍𝒏𝟐 (𝒃) ∫ 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 𝟎 𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟐 𝟗 𝟒 - 𝟎 | | 𝒍𝒏|𝟏𝟔 𝟗| 𝒍𝒏|𝟎 𝟗| 𝒍𝒏𝟐𝟓 𝒍𝒏𝟗 𝒍𝒏𝟓(𝟐) 𝒍𝒏𝟑(𝟐) 𝟐𝒍𝒏𝟓 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏 𝟓 𝟑 ‫وزاري‬4201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬1 (𝒄 ∫ 𝟐 𝟓 𝟑 ) 𝒅𝒙 , 𝟐 𝟓 - 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐( 𝟓) 𝟐( 𝟑) 𝟏 𝟐 (𝟓) 𝟐 0 (𝟑) 𝟐 1 𝟏 𝟐 𝟐𝟓, 𝟗- 𝟏 𝟐 𝟏𝟔, - 𝟖 (𝒅) ∫ 𝟐 𝟎 𝒅𝒙 , 𝟐 - 𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟏 0 𝟏1 𝟐 𝟏 0 𝟏1 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 ‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2 (𝒆) ∫ ( 𝟏 )2 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 * ( 𝟏 )3 3 + 0 1 3 ,( 𝟏 )3 𝟏 - 𝟎 1 3 1 [ (1 𝒆 𝟏) 3 (1 𝒆 𝟎) 3 ] 𝟑 𝟏 ( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟏 𝟏) 𝟑 𝟑 𝟏 ( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟐) 𝟑 𝟑 𝟏 ( 𝟏 𝒆) 𝟑 𝟑 𝟖 ‫السؤال‬ ‫كان‬ ‫لو‬: ∫ ( 𝟏 ) 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟐 ) 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 * 𝒆 𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝟐 + 0 1 * 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝟐 + * 𝒆 𝟎 𝒆 𝟎 𝟐 + 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 ‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬1 (𝒇) ∫ 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 - 𝟎 ( ) 𝒍𝒏𝟔 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟔 𝟎 𝒍𝒏𝟔 ‫وزاري‬5201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬2 (𝒈) ∫ √ 𝟐√ 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 , √ 𝟒 - 𝟎 0𝒆√𝟒 𝒆√𝟏1 𝒆 𝟐 𝒆 𝟏 ‫وزاري‬2011/‫د‬1 (𝒉 ∫ ( 𝟐 𝟐 ) 𝟒 𝟒 ) 𝒅𝒙 , |𝟐 | 𝟒 - 𝟒 𝒍𝒏 |𝟐 𝟒 |𝒍𝒏 |𝟐 𝟒 |𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟑 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟑 𝟎 𝒍𝒏𝟑
  • 35.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 305 (𝒊) ∫ √ 𝟐 𝟔 𝒅𝒙 ∫ ( ). 𝟏 𝟐 /𝟐 𝟔 𝐝𝐱 ( ). 𝟏 𝟐 / [ . 𝟏 𝟐 / 𝟔 𝟐 ] , 𝟐√ 𝟐 - 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟐 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟐 √𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 √𝟐 𝟐 √𝟐 ( ) ∫ 𝟑 𝟓 ∫( 𝟐 𝟓 ) 𝟓 ∫( 𝟐 𝟓 𝟏) 𝟓 ∫( 𝟐 𝟓 𝟓 𝟓 ) ∫ 𝟓 𝟐 𝟓 ∫ 𝟓 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟓 ) 𝟐 𝟓 𝟐 ∫ 𝟓 𝟓 𝒅𝒙 𝟏 𝟏𝟎 𝟐 𝟓 𝟏 𝟓 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙| 𝒄 ‫وزاري‬2015/‫د‬1 ( 𝒌 ∫ ( ) 𝟐 𝟎 ) 𝒅𝒙 , - 𝟐 0 . 𝟐 / (𝟎) 1 , 𝟎 𝟏- 𝟏 𝒆 ( 𝑳 ∫ 𝟐 𝟏 ) 𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 , 𝟐 - 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 ‫س‬3/‫أثبت‬‫أن‬: ( ) ∫ √ 𝟑 𝟏 √ 𝟐𝟑 𝟐 𝟖 𝟏 ‫األٌسر‬ ∫ 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟏 𝟐𝟖 𝟏 𝟑 ∫ ( 𝟏 𝟑 ) 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟏 𝟐𝟖 𝟏 𝟑 [ ( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ] 𝟏 𝟖 𝟐 [( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 ] 𝟏 𝟖 𝟐 [(𝟖 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 (𝟏 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 ] 𝟐 [(𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 (𝟏 𝟏) 𝟑 𝟐] 𝟐 [(𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎] 𝟐(𝟏) 𝟐 ‫األٌمن‬
  • 36.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 306 ( ) ∫ |𝟑 𝟔| 𝟒 𝟐 𝒅𝒙 𝟑𝟎 ‫مالحظة‬𝟑 𝟔 𝟐 |3 6| 2 3 6 2 6 3 < 2 ‫األٌسر‬ ‫الطرف‬ ∫ |3 6| 2 𝑑𝑥 ∫ (6 3 ) 2 2 𝑑𝑥 ∫ (3 6) 2 𝑑𝑥 *6 3 2 2 + 2 2 * 3 2 2 6 + 𝟐 𝟒 (,12 𝟔- , 12 6-) ( 24 24 ,𝟔 12-) 6 18 6 ‫األٌمن‬ ‫الطرف‬𝟑𝟎 ‫وزاري‬2016/‫د‬1 ‫س‬4/( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟐 𝟔-‫كان‬ ‫فأذا‬∫ ( ) 𝟔 𝟏 𝟔‫وكان‬∫ , ( ) 𝟑- 𝟔 𝟐 𝟑𝟐‫فج‬‫ـــــ‬‫د‬ ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ∫ , ( ) 𝟑- 𝟔 𝟐 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 ∫ 𝟑 𝟔 𝟐 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 | 𝟑 | 𝟐 𝟔 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 , 𝟏𝟖 ( 𝟔)- 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 𝟐𝟒 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 𝟖 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟏 𝟖 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟔 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟖 𝟔 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐
  • 37.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 307 ‫س‬5/‫لٌمة‬ ‫جد‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬∫ . 𝟏 𝟐 /𝟏 𝟐 ∫ 𝟐𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟏 𝟐∫ 𝟐𝟒 𝟎 * 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐, - 𝟎 𝟒 ( 𝟐 𝟐 𝟐 ) ( 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 ) 𝟐 [ 𝟒 𝟎] 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐,𝟏 𝟎- 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 (×𝟐) ⇒ 𝟐 𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎 𝟑 𝟐 ‫س‬6/‫لتكن‬( ) 𝟐 𝟐‫حٌث‬‫تساوي‬ ‫الصغرى‬ ‫نهاٌتها‬ ‫دالة‬( 𝟓)‫فجد‬∫ ( ) 𝟑 𝟏 ‫الحل‬/‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬ ∴̅( ) 𝟎 ( ) 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐) ⇒ 𝟏 ∴‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫وه‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬( ) 𝟓 ( 𝟏) 𝟐 𝟐( 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ ( 𝟐 𝟐 𝟒 ) 𝟑 𝟏 * 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 + (𝟗 𝟗 𝟏𝟐) ( 𝟏 𝟑 𝟏 𝟒) 𝟔 ( 𝟏 𝟑 𝟑) 𝟔 ( 𝟏 𝟗 𝟑 ) 𝟔 ( 𝟖 𝟑 ) 𝟏𝟖 𝟖 𝟑 𝟐𝟔 𝟑
  • 38.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 308 ‫س‬7/ً‫للمنحنةةة‬ ‫كةةةان‬ ‫أذا‬( ) ( 𝟑) 𝟑 𝟏‫انم‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫نمط‬‫ـــــةةةـ‬‫الب‬( )‫ةةةدار‬‫ة‬‫للمم‬ ‫العددٌةةةة‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المٌم‬ ‫جةةةد‬ ∫ ( )𝟎 ∫ ( )𝟎 ‫وزاري‬2015/‫د‬3 ‫الحل‬/‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ∴̅̅( ) 𝟎 ( ) ( 𝟑) 𝟑 𝟏 ̅( ) 𝟑( 𝟑) 𝟐 ̅̅( ) 𝟔( 𝟑) 𝟔( 𝟑) 𝟎 ( 𝟔) ⇒ 𝟑 𝟎 𝟑 (𝟑) (𝟑 𝟑) 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 ∴‫األنمالب‬ ‫نمطة‬( )ً‫ه‬(𝟑 𝟏)‫أن‬ ‫أي‬𝟑 𝟏 ∫ ( ) 𝟎 ∫ ( ) 𝟎 ∫ 𝟑( 𝟑) 𝟐 𝟏 𝟎 ∫ 𝟔( 𝟑) 𝟑 𝟎 𝟑 * ( 𝟑) 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟏 𝟔 * ( 𝟑) 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟑 𝟑 * (𝟏 𝟑) 𝟑 𝟑 (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟑 + 𝟔 * (𝟑 𝟑) 𝟐 𝟐 (𝟎 𝟑) 𝟐 𝟐 + 𝟑 [ 𝟖 𝟑 𝟐𝟕 𝟑 ] 𝟔 [ 𝟎 𝟗 𝟐 ] 𝟑 [ 𝟏𝟗 𝟑 ] 𝟔 [ 𝟗 𝟐 ] 𝟏𝟗 𝟐𝟕 𝟒𝟔
  • 39.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 309 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ / ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬: (𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒙(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙) (𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝐝𝐱 𝐥𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙| 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒆𝒍𝒏(𝒙 𝟐 𝟓) 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝟓)𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝟓𝒙 𝒄 (𝟑) ∫ 𝒆|𝒙| 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙 𝟎 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙 𝟐 𝟎 𝒅𝒙 ,𝟏 𝒆 𝟐- ,𝒆 𝟐 𝟏- 𝟐𝒆 𝟐 𝟐 (𝟒) ∫ 𝒅𝒙 𝒙√𝟏 𝒍𝒏𝒙 ∫ (𝟏 𝒍𝒏𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 (𝟏 𝒍𝒏𝒙) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝒄 𝟐√𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒄 (𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| 𝒄 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏𝒙| 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙) (𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙| 𝒄 (𝟖) ∫ 𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 √ 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 (𝟐)√ 𝒙 𝒅𝒙 𝟐𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 𝒕𝒂𝒏√ 𝒙| 𝒄 (𝟗) ∫ ( 𝟏 𝒙 𝒍𝒏𝒙 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒍𝒏𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙 (𝒍𝒏𝒙) 𝟐 𝟐 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ (𝒍𝒏𝒙) 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 (𝒍𝒏𝒙) 𝟒 𝟒 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝒆 𝒙 (𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙(𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 (𝒆 𝒆 𝒙) 𝟏 𝟏 𝒄 𝟏 𝒆 𝒆 𝒙 𝒄
  • 40.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 310 / ‫مثال‬‫جد‬‫للدوال‬‫التالٌة‬: (𝟏) ( ) ( 𝟏 ) (𝟏) 𝟏 (𝟏 ) ( ) (𝟏 ) (𝟐) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 𝟐 𝟐 ( 𝟏 ) 𝟐 ( 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 ) (𝟑) ( ) ( ) (𝟒 ) ( )𝒙 𝟐( ) ,𝟏 -𝒙 𝟐( ) 𝟐( )𝒙 𝟐( ) 𝟐( )𝒙 , 𝟐( )𝒙 𝟐( )- 𝟐( ) 𝟐( )𝒙 (𝟓) 𝟑 𝟏 (𝟑 𝟏)(𝟏) ( )( 𝟑 𝟑 ) (𝟑 𝟏) 𝟐 (𝟑 𝟏) ( 𝟑 𝟑 ) (𝟑 𝟏) 𝟐 / ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬: ⒜‫عندما‬𝟎 𝟎 𝟏 (𝟎 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 .‫المماس‬ ‫معادلة‬/
  • 41.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 311 (b)𝟐‫عندما‬𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 (𝟏 𝟐) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒( 𝟏) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬ (c)‫عندما‬ ( ) (𝟏) ( ) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ ( 𝟏 ) (𝟏) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐( ) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬ / ‫مثال‬‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) ( ),0𝟎 𝟒 1‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( )‫ثم‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟒 𝟎 / ‫الحل‬ ( )‫وكذلن‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( )‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟐 ( ) ( ) ( ‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ) ∫ 𝟒 𝟎 , ( )- (√𝟐 𝟏) (𝟏 𝟎) (√𝟐 𝟏)
  • 42.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 312 :‫مالحظة‬ ‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫نستخدم‬. /‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫جهة‬ ‫على‬ ‫متغٌر‬ ‫كل‬ ‫نضع‬ ‫ثم‬ ‫للمٌل‬ ****************************************************************** ‫س‬1:‫المستمٌم‬ ‫ٌمس‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫جد‬𝟑 𝟕‫ٌساوي‬ ‫نماطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬𝟑 𝟐 𝟔 ‫س‬2:‫الثانٌةة‬ ‫المشتمة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬𝟔‫للدالةة‬ ‫وكةان‬‫النمطةة‬( 𝟏 𝟒)‫ثةم‬ ‫الدالةة‬ ً‫منحنة‬ ‫جةد‬ ‫محلٌةة‬ ‫عظمةى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫نمطةة‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ‫بأستخدام‬ ‫س‬3:‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟐 𝟔 )‫لٌمتهةا‬ ‫محلٌةة‬ ‫صةغرى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫وله‬ ( 𝟑)‫ممعر‬ ً‫المنحن‬ ‫وكان‬( > 𝟏)‫لكل‬ ‫ومحدب‬( < 𝟏) ‫س‬4:‫بالنمطة‬ ‫المار‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟏 𝟐)‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 ‫س‬5:‫جد‬‫معادلة‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ‫المنحنٌات‬‫عند‬ ‫مٌلها‬‫نمطها‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬( )‫هو‬ 𝟐 𝟐 ****************************************************************** ‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫اٌجاد‬ ‫مسا‬‫حة‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬‫السـ‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬‫ــٌنات‬ ‫لتكن‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫ولتكن‬Aً‫بةالمنحن‬ ‫المحةددة‬ ‫المنطمةة‬ ‫مسةاحة‬( )‫ومحةور‬ ‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬‫فأن‬|∫ ( ) | ‫الحل‬ ‫خطوات‬: ‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬‫ما‬ ‫نتبع‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬ً‫ٌل‬: Ⓘ‫ةةةل‬‫ة‬‫نجع‬( ) 𝟎‫ةةةرة‬‫ة‬‫للفت‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫ةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫ةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةع‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةاطع‬‫ة‬‫التم‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫ةةةاد‬‫ة‬‫الٌج‬, -‫ةةةزي‬‫ة‬‫فنج‬ ‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬ ‫تعلمنا‬ ‫كما‬ ‫الفترة‬. ②‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫الدالة‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬ ③‫مجموع‬ = ‫المساحة‬‫لل‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬‫المجزئة‬ ‫تكامالت‬
  • 43.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 313 ‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑 𝟒‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟐 𝟐- / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 ∴ً‫ه‬ ‫التكامل‬ ‫فترات‬( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐) |∫ ( 𝟑 𝟒 ) 𝟎 𝟐 | |∫ ( 𝟑 𝟒 ) 𝟐 𝟎 | * 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟎 * 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟐 |(𝟎) (𝟒 𝟖)| |(𝟒 𝟖) (𝟎)| 𝟒 | 𝟒| 𝟖 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ‫ةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(2)/‫مس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫المح‬ ‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ددة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ــ‬‫ة‬𝟐 ‫ةةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫والمستمٌمٌن‬𝟏 𝟑 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟎 𝟎 ,𝟏 𝟑- |∫ 𝟐 𝟑 𝟏 | 𝟑 * 𝟑 𝟑 + 𝟏 |[ 𝟐𝟕 𝟑 ] [ 𝟏 𝟑 ]| 𝟐𝟔 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2013/‫د‬1 ‫مثال‬(3)/‫الدالة‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟏)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 |∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟏 𝟎 | |∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟏 | * 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 + 𝟎 𝟏 * 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 |( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟏) (𝟎)| |(𝟒 𝟖 𝟒) ( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟏)| 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟒 | 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 44.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 314 ‫مثةةةال‬(4)/‫الدالةةةة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫المنطمةةةة‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟐 𝟏‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟐 𝟑- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 , 𝟐 𝟑- |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟐 | |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟏 | |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟏 | * 𝟑 𝟑 + 𝟐 𝟏 * 𝟑 𝟑 + 𝟏 𝟏 * 𝟑 𝟑 + 𝟏 𝟑 |[( 𝟏 𝟑 𝟏) ( 𝟖 𝟑 𝟐)] [( 𝟏 𝟑 𝟏) ( 𝟏 𝟑 𝟏)] [(𝟗 𝟑) ( 𝟏 𝟑 𝟏)]| | 𝟕 𝟑 𝟏| | 𝟐 𝟑 𝟐| |𝟕 𝟏 𝟑 | 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐𝟎 𝟑 𝟐𝟖 𝟑 𝟗 𝟏 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( )‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬0 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 𝟎 [ 𝟐 ] |∫ 𝟎 𝟐 | |∫ 𝟎 | | 𝟎 , - 𝟐 | | , - 𝟎 | | (𝟎) . 𝟐 /| | ( ) (𝟎)| , 𝟏 𝟎- ,𝟏 𝟏- | 𝟏| 𝟐 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 45.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 315 ‫مثةةةةال‬(6)/‫مس‬ ‫جةةةةد‬‫ــةةةةـ‬‫الدال‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫احة‬‫ـــةةةةـ‬‫ة‬‫وعلةةةةى‬ ‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬ ‫الفترة‬, - / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 𝟐 , - |∫ 𝟐 | |∫ 𝟐 𝟐 | |∫ 𝟐 | | 𝟐 , - | | | 𝟐 , - 𝟐 | | | , - 𝟐 | | . 𝟐 / ( )| | . 𝟐 / . 𝟐 /| | ( ) . 𝟐 /| | 𝟏 𝟎| |𝟏 𝟏| |𝟎 𝟏| | 𝟏| 𝟐 | 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ / ‫ةةةةال‬‫ة‬‫مث‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( ) 𝟐 𝟒‫ةةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟏 𝟑- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐 , 𝟏 𝟑- (‫السالب‬ ‫ٌهمل‬ ) |∫ ( 𝟐 𝟒) 𝟐 𝟏 | |∫ ( 𝟐 𝟒) 𝟑 𝟐 | |* 𝟑 𝟑 𝟒 + 𝟏 𝟐 | |* 𝟑 𝟑 𝟒 + 𝟐 𝟑 | |( 𝟖 𝟑 𝟖) ( 𝟏 𝟑 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) ( 𝟖 𝟑 𝟖)| | 𝟗 𝟑 𝟖 𝟒| | 𝟑 𝟖 𝟑 𝟖| |𝟑 𝟏𝟐| |𝟓 𝟖 𝟑 | | 𝟗| | 𝟏𝟓 𝟖 𝟑 | 𝟗 𝟕 𝟑 𝟐𝟕 𝟕 𝟑 𝟑𝟒 𝟑 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
  • 46.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 316 / ‫مثال‬‫مس‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫الدال‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫احة‬‫ــــ‬‫ة‬( )‫الس‬ ‫ومحور‬‫ــــ‬‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫ٌنات‬,𝟎 𝟐- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 ( ‫الصفر‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫موجب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫ألنه‬ ‫الٌمكن‬ ) |∫ 𝟐 𝟎 | | 𝟐 𝟎 | ( 𝟐 𝟏) (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ) / ‫مثةةةةال‬‫الدالةةةةة‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫مسةةةةاحة‬ ‫جةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐 ‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬ ‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 [ 𝟎 𝟐 ] |∫ 𝟐 𝟒 𝟎 | |∫ 𝟐 𝟐 𝟒 | |[ 𝟏 𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟒 | |[ 𝟏 𝟐 𝟐 ] 𝟒 𝟐 | [ 𝟏 𝟐 (𝟏 𝟎)] [ 𝟏 𝟐 (𝟎 𝟏)] 𝟏 𝟐 | 𝟏 𝟐 | 𝟏 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ) ****************************************************************** ‫بمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫لتكن‬( ) ( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرتان‬ ‫دالتٌن‬, -‫المحةد‬ ‫المساحة‬ ‫فأن‬‫بةالمنحنٌٌن‬ ‫دة‬f,g‫والمسةتمٌمٌن‬ ً‫ه‬|∫ ( ( ) ( )) | : ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ً‫ماٌل‬ ‫نتبع‬ ‫دالتٌن‬ ً‫منحن‬ ‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬: Ⓘ‫نجعةةةل‬( ) ( )‫للفتةةةرة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫فةةةأذا‬ ‫التمةةةاطع‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫الٌجةةةاد‬, -‫ةةةا‬‫ة‬‫تعلمن‬ ‫كمةةةا‬ ‫ةةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ‫فنجةةةزي‬ ‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬. ②‫الدالتٌن‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬. ③= ‫المساحة‬‫المجزئة‬ ‫للتكامالت‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬ ‫مجموع‬(‫األكبر‬ ‫للدالة‬–) ‫األصغر‬ ‫الدالة‬
  • 47.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 317 ‫وزار‬‫ي‬2011/‫د‬1 ‫مثال‬(1)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬ً‫بالمنحن‬ ‫المحددة‬√‫والمستمٌم‬ / ‫الحل‬ ‫نجد‬‫التماطع‬ ‫نمط‬‫بجعل‬ ‫وذلن‬√ √ (‫)بالتربٌع‬ ⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 |∫ (√ ) 𝟏 𝟎 | |∫ ( . 𝟏 𝟐 / ) 𝟏 𝟎 | |[ . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟏 | [* 𝟐 √ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟏 ] [( 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 ) (𝟎)] 𝟒 𝟑 𝟔 𝟏 𝟔 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫مثال‬(2)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ً‫المنحن‬𝟑 ‫والمستمٌم‬ / ‫الحل‬ ‫بجعل‬ ‫وذلن‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫نجد‬𝟑 𝟑 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 |∫ ( 𝟑 ) 𝟎 𝟏 | |∫ ( 𝟑 ) 𝟏 𝟎 | |* 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟎 | |* 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟏 | |(𝟎) ( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 )| |( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 ) (𝟎)| 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟐 (‫مساحة‬ ‫)وحدة‬
  • 48.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 318 ‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(3)/‫مس‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( )‫و‬( ) ‫الفترة‬ ‫وعلى‬0 𝟐 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟏 𝟒 [ 𝟐 𝟐 ] (‫الموجب‬ ‫األتجاه‬) |∫ ( ) 𝟒 𝟐 | |∫ ( ) 𝟐 𝟒 | | |, 𝟒 - 𝟐 | | | |, 𝟐 - 𝟒 | | |( . 𝟒 / . 𝟒 /) ( . 𝟐 / . 𝟐 /)| |( . 𝟐 / . 𝟐 /) ( . 𝟒 / . 𝟒 /)| |( 𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 ) ( 𝟏 𝟎)| |(𝟏 𝟎) ( 𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 )| | 𝟐 √𝟐 𝟏| |𝟏 𝟐 √𝟐 | |√𝟐 𝟏| |𝟏 √𝟐| √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟏 𝟐√𝟐 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ / ‫مثةةةةةةةال‬‫بةةةةةةة‬ ‫المحةةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةةد‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( ) 𝟐 𝟐 𝟏‫و‬( ) 𝟓 ‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑- ‫الحل‬/‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟒)( 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 |∫ ( 𝟐 𝟑 𝟒) 𝟏 𝟐 | |∫ ( 𝟐 𝟑 𝟒) 𝟑 𝟏 | |* 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 + 𝟐 𝟏 | |* 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 + 𝟏 𝟑 | |( 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒) ( 𝟖 𝟑 𝟔 𝟖)| |(𝟗 𝟐𝟕 𝟐 𝟏𝟐) ( 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒)| | 𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟒𝟖 𝟔 | | 𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟕𝟐 𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟔 | 𝟏𝟕 𝟔 | 𝟏𝟏𝟐 𝟔 | 𝟏𝟕 𝟔 𝟏𝟏𝟐 𝟔 𝟏𝟐𝟗 𝟔 𝟒𝟑 𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 49.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 319 / ‫مثال‬‫جد‬‫المساحة‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬𝟒 𝟏𝟐‫و‬𝟐 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒)( 𝟐 𝟑) 𝟎 𝟐 ∓√ 𝟑 ‫ٌهمل‬ |∫ ( 𝟒 𝟐 𝟏𝟐) 𝟐 𝟐 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟑 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟐 | * 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟑 𝟐𝟒+ * 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟑 𝟐𝟒+ | 𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎 𝟏𝟓 | | 𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎 𝟏𝟓 | | 𝟑𝟎𝟒 𝟏𝟓 | 𝟑𝟎𝟒 𝟏𝟓 𝟔𝟎𝟖 𝟏𝟓 𝟒𝟎 𝟖 𝟏𝟓 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) / ‫مثةةةةةةال‬‫بةةةةةةالمنحنٌٌن‬ ‫المحةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐 𝟏‫و‬( ) 𝟐 ‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 [ 𝟎 𝟐 ] 𝟏 (‫ٌهمل‬ ) |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟎 | |∫ ( 𝟐 ) 𝟐 𝟎 ∫ 𝟐 𝟎 | |∫ ( 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟎 ∫ 𝟐 𝟎 | |[ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 ] 𝟎 𝟐 , - 𝟎 𝟐 | |[( 𝟏 𝟐 × 𝟐 𝟎) 𝟎] 0 𝟐 𝟎1| | 𝟒 𝟐 | | 𝟒 | 𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 50.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 320 / ‫مثال‬‫المنحنٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) | 𝟏| 𝟐‫و‬( ) 𝟏 𝟓 𝟕 / ‫الحل‬( ) 2 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 < 𝟏 ( ) 2 𝟏 𝟏 𝟑 < 𝟏 ‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟏 𝟏 𝟓 𝟕 𝟔 𝟓 𝟔 𝟓 𝟏 𝟑 𝟏 𝟓 𝟕 𝟒 𝟓 𝟒 𝟓 < 𝟏 |∫ ( 𝟒 𝟓 𝟒) 𝟏 𝟓 | |∫ ( 𝟔 𝟓 𝟔) 𝟓 𝟏 | |* 𝟒 𝟐 𝟏𝟎 𝟒 + 𝟓 𝟏 | |* 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 𝟔 + 𝟏 𝟓 | |( 𝟒 𝟏𝟎 𝟒) (𝟏𝟎 𝟐𝟎)| |( 𝟏𝟓 𝟑𝟎) ( 𝟔 𝟏𝟎 𝟔)| | 𝟒𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟎| | 𝟏𝟓 𝟓𝟒 𝟏𝟎 | | 𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟒 𝟏𝟎 | 𝟐𝟒𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟒 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / / ‫مثال‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟐 ( ) 𝟏 𝟐 𝟐‫الفترة‬ ‫وعلى‬,𝟎 𝟏- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 (‫بالدستور‬) ⇒ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟖 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑𝟑 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 √𝟑𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑𝟑 𝟒 𝟏 √ 𝟑𝟑 𝟒 𝟎 𝟏 ‫الدالة‬ ‫نختبر‬(0) 0 < (0) 2‫الدالة‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬( )‫األكبر‬ ‫الدالة‬ ً‫ه‬ |∫ ( 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 ) 𝟏 𝟎 | |* 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟏 | |( 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 ) (𝟎)| 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝟐𝟑 𝟏𝟐 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
  • 51.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 321 ‫المســــــافة‬ ‫ةةتكن‬‫ة‬‫ل‬( )‫ةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الممطوع‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةتوي‬‫ة‬‫مس‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫جس‬ ‫ةةرعة‬‫ة‬‫س‬ ‫الزمنٌة‬, 𝟏 𝟐-ً‫ه‬:∫ | ( )|𝟐 𝟏 ‫تمثل‬ ‫حٌث‬( )‫متجهة‬ ‫غٌر‬ ‫كمٌة‬ ً‫وه‬ ‫المسافة‬ ‫ممدار‬ ‫أم‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــــــــ‬‫ةةةةةة‬‫ة‬‫األزاح‬ ‫ا‬( )‫والس‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫رعة‬( )‫ةةةةةل‬‫ة‬ٌ‫والتعج‬( )ٌ‫كم‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫فه‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫أزاح‬ ‫وأن‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫متجه‬ ‫ات‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫ة‬ ً‫ه‬ ‫الجسم‬∫ ( )𝟐 𝟏 ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫و‬∫ ( ) : ‫مالحظات‬ Ⓘ‫ال‬ ‫النات‬ ‫ألن‬ ‫مطلك‬ ‫بدون‬ ‫وٌكون‬ ‫للسرعة‬ ‫محدد‬ ‫تكامل‬ ‫األزاحة‬‫صفر‬ ‫أو‬ ‫سالب‬ ‫أو‬ ‫موجب‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ‫ٌهم‬ ②‫ال‬ ً‫لك‬ ‫هو‬ ‫المسافة‬ ‫لانون‬ ً‫ف‬ ‫المطلك‬ ‫وجود‬‫سالب‬ ‫النات‬ ‫ٌكون‬ ③‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬‫مثال‬‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫الثامنة‬ ‫الثانٌة‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬∫ ‫الدالة‬ ④‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫األولى‬ ‫الخمس‬ ً‫الثوان‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬ ‫مثال‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬∫ ‫الدالة‬ ⑤‫فأن‬ ‫الجسم‬ ‫تعجٌل‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ً‫أعط‬ ‫أذا‬‫السرعة‬ ( ) ∫ ‫التعجٌل‬‫محدد‬ ‫غٌر‬ ‫تكامل‬ ‫وهو‬ ⑥‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةد‬‫ة‬‫وج‬ ‫أن‬ ‫ةةل‬‫ة‬‫التكام‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫تجزئ‬ ‫ةةدوث‬‫ة‬‫ح‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ٌعن‬ ‫ةةذا‬‫ة‬‫وه‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫الجس‬ ‫ةةاه‬‫ة‬‫أتج‬ ‫ةةر‬‫ة‬ٌ‫ٌتغ‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةاد‬‫ة‬‫أٌج‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ . ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫التكامل‬ ً‫ف‬ ‫التجزئة‬ ‫تهمل‬ ‫لذا‬ ‫ثابت‬ ‫الجسم‬ ‫أتجاه‬ ‫ٌكون‬ ‫األزاحة‬
  • 52.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 322 ‫مثال‬(1)/‫بسرعة‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬( ) 𝟐 𝟒 ⁄‫فجــــــــــــــد‬: ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,𝟏 𝟑 -ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫األزاحة‬,𝟏 𝟑 - ⓒ‫الخ‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬‫امسة‬ⓓً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫بعده‬(4)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ‫الح‬‫ل‬/2 4 0 2 4 𝟐 ,1 3 - |∫ (𝟐 𝟒) 𝟐 𝟏 | |∫ (𝟐 𝟒) 𝟑 𝟐 | |, 𝟐 𝟒 𝟐 - 𝟏 | |, 𝟐 𝟒 𝟑 - 𝟐 | |(𝟒 𝟖) (𝟏 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) (𝟒 𝟖)| | 𝟒 𝟑| | 𝟑 𝟒| 𝟏 𝟏 𝟐 ∫ (𝟐 𝟒) 𝟑 𝟏 , 𝟐 𝟒 𝟑 - 𝟏 (𝟗 𝟏𝟐) (𝟏 𝟒) 𝟑 𝟑 𝟎 |∫ (𝟐 𝟒) 𝟓 𝟒 | |, 𝟐 𝟒 𝟓 - 𝟒 | |,(𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟏𝟔 𝟏𝟔)-| 𝟓 ∫ (𝟐 𝟒) 𝟒 𝟎 |, 𝟐 𝟒 𝟒 - 𝟎 | ,(𝟏𝟔 𝟏𝟔) (𝟎)- 𝟎 ‫مثةةةةال‬(2)/‫بتعجٌةةةةل‬ ‫مسةةةةتمٌم‬ ‫خةةةةط‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ٌتحةةةةرن‬ ‫جسةةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫ةةةةبحت‬‫ة‬‫أص‬ ‫لةةةةد‬ ‫سةةةةرعته‬ ‫كانةةةةت‬ ‫ةةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬ (𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)ً‫ثوان‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬: ⓐ‫خالل‬ ‫المسافة‬‫الثانٌة‬‫الثالثة‬ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)ً‫ثوان‬ / ‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟖 𝟏𝟎 |∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟑 𝟐 | |, 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 - 𝟐 | |(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟑𝟔 𝟐𝟎)| 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟓 ∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟑 𝟎 , 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 - 𝟎 (𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏 ⓒ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫السرعة‬ ‫جد‬ ‫أعاله‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬(10)ً‫ثوان‬ ( ) 𝟏𝟖 𝟏𝟎 (𝟏𝟎) 𝟏𝟖(𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗𝟎
  • 53.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 323 (𝟒 𝟔)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟒 ‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬𝟏 𝟏 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟎 ( 𝟑 𝟏) 𝟎 𝟎 , 𝟏 𝟏- 𝟏 , 𝟏 𝟏- |∫ ( 𝟒 ) 𝟎 𝟏 | |∫ ( 𝟒 ) 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟏 | |(𝟎) ( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 )| |( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 ) (𝟎)| | ( 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 )| |( 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 )| 𝟕 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫س‬2/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑-‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐 , 𝟐 𝟑- 𝟐 𝟏 ‫ٌهمل‬ |∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒) 𝟐 𝟐 | |∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒) 𝟑 𝟐 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 + 𝟐 𝟐 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 + 𝟐 𝟑 | |( 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟖) ( 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟖)| |( 𝟐𝟒𝟑 𝟓 𝟐𝟕 𝟏𝟐) ( 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟖)| | 𝟔𝟒 𝟓 𝟑𝟐| | 𝟐𝟏𝟏 𝟓 𝟐𝟑| | 𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟎 𝟓 | | 𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟓 𝟓 | | 𝟗𝟔| 𝟗𝟔 𝟓 𝟏𝟗𝟐 𝟓 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫س‬3/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒 𝟐 ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 |∫ ( 𝟒 𝟐) 𝟎 𝟏 | |∫ ( 𝟒 𝟐) 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟑 + 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟏 | |(𝟎) ( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟑 )| |( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟑 ) (𝟎)| | 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 | | 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 | | 𝟐 𝟏𝟓 | | 𝟐 𝟏𝟓 | 𝟒 𝟏𝟓 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫وزاري‬2012/‫د‬2
  • 54.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 324 ‫س‬4/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟑‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 𝟎 0𝟎 𝟐 1 𝟑 0𝟎 𝟐 1 𝟐 𝟑 0𝟎 𝟐 1 |∫ 𝟑 𝟑 𝟎 | |∫ 𝟑 𝟐 𝟑 | |* 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟑 | |* 𝟑 𝟑 + 𝟑 𝟐 | |[ 𝟑 . 𝟑/ 𝟑 ] * 𝟑(𝟎) 𝟑 +| |[ 𝟑 . 𝟐/ 𝟑 ] [ 𝟑 . 𝟑/ 𝟑 ]| |* ( ) 𝟑 + * (𝟎) 𝟑 +| |[ ( 𝟑 𝟐 ) 𝟑 ] * ( ) 𝟑 +| |* ( 𝟏) 𝟑 + * 𝟏 𝟑 +| |, 𝟎- * ( 𝟏) 𝟑 +| | 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 | | 𝟏 𝟑 | 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ‫س‬5/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟐 𝟐 𝟏‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 0 𝟎 𝟐 1 𝟑 𝟒 0 𝟎 𝟐 1 |∫ 𝟐 𝟒 𝟎 | |∫ 𝟐 𝟐 𝟒 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟒 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐 | | 𝟐 . 𝟒 / 𝟐 𝟐(𝟎) 𝟐 | | 𝟐 . 𝟐 / 𝟐 𝟐 . 𝟒 / 𝟐 | | . 𝟐 / 𝟐 (𝟎) 𝟐 | | ( ) 𝟐 . 𝟐 / 𝟐 | | 𝟏 𝟐 𝟎 | | 𝟎 𝟏 𝟐 | | 𝟏 𝟐 | | 𝟏 𝟐 | 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
  • 55.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 325 ‫س‬6/‫جد‬‫ال‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬√ 𝟏 𝟏 𝟐 ‫الفترة‬ ‫وعلى‬[2,5] / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ √ 𝟏 𝟏 𝟐 .(‫بالتربٌع‬ )/ ⇒ 𝟏 𝟏 𝟒 𝟐 (× 𝟒) ⇒ 𝟐 𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐) 𝟐 𝟎 𝟐 ,𝟐 𝟓- |∫ [ 𝟏 𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟐] 𝟓 𝟐 | |[ 𝟐 𝟒 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 . 𝟑 𝟐/ ] 𝟐 𝟓 | |[ 𝟐 𝟒 𝟐( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 ] 𝟐 𝟓 | | 𝟐𝟓 𝟒 𝟐(𝟒) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 | | 𝟐𝟓 𝟒 𝟐(𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟑 (𝟏 𝟐 𝟑 )| | 𝟐𝟓 𝟒 𝟏𝟔 𝟑 𝟏 𝟑 | | 𝟕𝟓 𝟔𝟒 𝟒 𝟏𝟐 | | 𝟕 𝟏𝟐 | 𝟕 𝟏𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ‫س‬7/‫المساحة‬ ‫جد‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬𝟒 𝟏𝟐𝟐 / ‫الحل‬‫صفحة‬ ‫محلول‬( 𝟒𝟖) ‫وزاري‬2014/‫د‬1 ‫س‬8/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـــــ‬‫احة‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬( )( )‫حٌث‬,𝟎 𝟐 - / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟎 ,𝟎 𝟐 - ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 - 𝟏 𝟎 ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 - |∫ ( ) 𝟎 | |∫ ( ) 𝟐 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟎 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟐 | |* 𝟐( ) 𝟐 ( )+ * 𝟐(𝟎) 𝟐 (𝟎)+| |* 𝟐(𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )+ * 𝟐( ) 𝟐 ( )+| |(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| |(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| | 𝟏 𝟏| |𝟏 𝟏| | 𝟐| 𝟐 𝟒 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
  • 56.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 326 ‫وزاري‬2013/‫د‬2 ‫س‬9/‫جد‬‫المساحة‬‫با‬ ‫المحددة‬‫لدالتٌن‬( ) 𝟐 𝟏( )‫حٌث‬0𝟎 𝟑 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟑 𝟐 [𝟎 𝟑 𝟐 ] |∫ ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 | |, - 𝟎 𝟑 𝟐 | |( 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ) ( 𝟎 𝟎)| |(𝟎 𝟑 𝟐 ) ( 𝟏)| | 𝟑 𝟐 𝟏| 𝟑 𝟐 𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ‫س‬10/‫جد‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬‫الدالة‬𝟑 𝟒 𝟐 𝟑‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟒 𝟑) 𝟎 ( 𝟏)( 𝟑) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟑 |∫ ( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 ) 𝟏 𝟑 | |∫ ( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 ) 𝟎 𝟏 | |* 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟏 | |* 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟎 | |( 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 ) ( 𝟖𝟏 𝟒 𝟑𝟔 𝟐𝟕 𝟐 )| |( 𝟎) ( 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 )| | 𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟐 𝟏𝟐 | | 𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟏𝟐 | 𝟑𝟐 𝟏𝟐 | 𝟓 𝟏𝟐 | 𝟑𝟐 𝟓 𝟏𝟐 𝟑𝟕 𝟏𝟐 𝟑 𝟏 𝟏𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 57.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 327 ‫س‬11/‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬‫بسرعة‬( ) (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑)‫أحسب‬ ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,2 4-ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫األزاحة‬,0 5- ‫الحل‬/‫وزاري‬2015/‫د‬1 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 0 ( 3) 𝟐 𝟐 𝟏 0 ( 1)( 1) 0 𝟏 𝟎 1 ,2 4- |∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑) 𝟒 𝟐 | |, 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 - 𝟐 | |(𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟐) (𝟖 𝟏𝟐 𝟔)| |𝟐𝟖 𝟐| 𝟐𝟔 ∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑) 𝟓 𝟎 |, 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟓 - 𝟎 | ,(𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟓) (𝟎)- 𝟔𝟓 ‫وزاري‬2011/‫د‬2 ‫س‬12/‫جس‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫ةةةةدره‬‫ة‬‫ل‬ ‫ةةةةل‬‫ة‬ٌ‫بتعج‬ ‫ةةةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫م‬(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐 ‫ةةةةد‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةةةرعته‬‫ة‬‫س‬ ‫ةةةةت‬‫ة‬‫وكان‬ ‫مرور‬(4)‫تساوي‬ ً‫ثوان‬𝟗𝟎‫أحسب‬ ⓐ‫عندما‬ ‫السرعة‬𝟐 ⓑ‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬,1 2- ⓒ‫بعد‬ ‫االزاحة‬(10)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ‫الحل‬/ ( ) ∫ ( ) ∫(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟗𝟎 𝟐(𝟏𝟔) 𝟏𝟐(𝟒) 𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟒𝟖 𝟗𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎 ( ) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 (𝟐) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟐(𝟐) 𝟏𝟎 𝟖 𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟐 ∫ (𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎) 𝟐 𝟏 * 𝟐 𝟑 𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 + 𝟏 𝟐 |( 𝟏𝟔 𝟑 𝟐𝟒 𝟐𝟎) ( 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏𝟎)| | 𝟏𝟔 𝟑 𝟒𝟒 𝟐 𝟑 𝟏𝟔| | 𝟏𝟒 𝟑 𝟐𝟖| 𝟏𝟒 𝟖𝟒 𝟑 𝟗𝟖 𝟑 ∫ ( 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝟎 * 𝟐 𝟑 𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 + 𝟎 𝟏𝟎 |( 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎) (𝟎)| 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟑 𝟒𝟏𝟎𝟎 𝟑
  • 58.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 328 ‫س‬13/‫وبعد‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫تتحرن‬‫ثانٌة‬‫سةرعتها‬ ‫اصةبحت‬ ‫الحركةة‬ ‫بدط‬ ‫من‬(100 6 2)‫أو‬‫جةد‬ ‫ال‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬‫نمطة‬‫موضع‬ ‫الى‬‫ها‬‫اال‬‫ول‬‫بدا‬ ‫الذي‬‫ت‬‫أحس‬ ‫ثم‬ ‫منه‬‫ب‬‫عندها‬ ‫التعجٌل‬.‫وزاري‬2014/‫د‬2 / ‫الحل‬ ( ) (100 6 2) ‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬ ∫.100 6 2 / 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 ‫السكون‬ ‫من‬ ‫تتحرك‬ ‫النقطة‬ ∴𝟎 𝟎 𝟎 𝟓𝟎(0)2 𝟐( 𝟎) 𝟑 𝟎 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 ‫األزاحة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫عودة‬ ‫عند‬( )‫صفر‬ ‫تساوي‬: ‫ٌكون‬ ‫لذا‬ 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 𝟎 2 (𝟓𝟎 𝟐 ) 𝟎 2 𝟎 𝟎 ‫ٌهمل‬ 50 2 𝟎 𝟐 𝟓𝟎 𝟐𝟓 ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬ ( ) ̅( ) ‫التعجٌل‬ ( ) 100 12 ( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⁄ 𝟐
  • 59.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 329 ‫الدورانٌـ‬ ‫الحجــوم‬:‫ـة‬ 1.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬ ‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐 2.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬ ‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐 ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ‫ةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬0 4√‫ةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬,‫دارت‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬,. ‫حجمها‬ ‫جد‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ (√ ) 𝟐 𝟒 𝟎 ∫ 𝟒 𝟎 * 2 2 + [( 16 2 ) (0)] 8 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2014/‫د‬3 ‫مثال‬(2)/‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ً‫المنحن‬𝟏 𝟒 𝟏 ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫دارت‬.‫حجمها‬ ‫جد‬. ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏 ) 𝟐𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟏 ) 𝟒 𝟏 , 𝟒 - 𝟏 , 𝟒 𝟏- 𝟐 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2011/‫د‬2 ‫مثةةةال‬(3)/‫ةةةه‬‫ة‬‫معادلت‬ ‫ةةةذي‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2 8 ‫والمستمٌمٌن‬2 0ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ 8 𝟐 𝟎 ,4 2 𝟐 - 𝟎 ,16 0- 16 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫مثةةةال‬(4)/‫معادلتةةةه‬ ‫الةةةذي‬ ‫المكةةةاف‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫المحةةةددة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫أوجةةةد‬2 2 ‫والمستمٌمٌن‬0 5ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ (𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟓 𝟎 ∫ 𝟒 𝟒 𝟓 𝟎 * 𝟒 𝟓 𝟓 + 𝟎 𝟓 * 𝟒(𝟓) 𝟓 𝟓 (𝟎)+ 𝟐𝟓𝟎𝟎 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
  • 60.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 330 ‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫الم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫س‬4 2 ‫والمستمٌمٌن‬0 16‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ . 𝟒 / 𝟏𝟔 𝟎 * 𝟐 𝟖 + 𝟎 𝟏𝟔 * (𝟏𝟔) 𝟐 𝟖 (𝟎)+ 𝟑𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(6)/‫ةةةادات‬‫ة‬‫الص‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الناش‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ومنحن‬ 𝟑 ,1 3. ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟗 𝟐 ) 𝟑 𝟏 [ 𝟏𝟖 ] 𝟏 𝟑 𝟏𝟖 [ 𝟏 ] 𝟏 𝟑 𝟏𝟖 [ 𝟏 𝟑 𝟏] 𝟏𝟖 [ 𝟐 𝟑 ] 𝟏𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2015/‫د‬3 ‫الصةادات‬ ‫محةور‬ ‫بةٌن‬ ‫المحصةورة‬ ‫المنطمةة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫الناش‬ ‫الحجم‬ ‫أوجد‬‫الدالةة‬ ً‫ومنحنة‬ 𝟏 ‫والمسةتمٌمٌن‬ 1 2 . ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الحل‬/ 1 1 1 2 2 ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟏 [ 𝟏 ] 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝟐 𝟏] 𝟏 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬3201/‫د‬2 ‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫بةةةٌن‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫أوجةةةد‬ 𝟏 ‫ةةةتمٌمٌن‬‫ة‬‫والمس‬2 1‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الصادات‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟏 [ 𝟏 ] 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝟐 𝟏] 𝟏 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
  • 61.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 331 (𝟒 𝟕)‫تمارين‬ ‫س‬(1)/:‫ةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ً‫ةةةةةدوران‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2 ‫والمستمٌمٌن‬1 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 2)2 𝟐 𝟏 ∫ 𝟐 𝟏 * 5 + 2 [ 32 5 1 5 ] 31 5 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2013/‫د‬1 ‫س‬2/‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2 1 ‫والمستمٌم‬4‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ 0 1 2 1 2 1 ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏) 𝟒 𝟏 * 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟒 [(𝟖 𝟒) ( 𝟏 𝟐 𝟏)] [𝟒 𝟏 𝟐 ] 𝟒 𝟏 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫س‬3/ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2 1 ‫والمستمٌم‬0‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ 2 1 1 2 𝟎 2 1 𝟏 (‫التكامل‬ ‫)حدود‬ ∫ 𝟐 ∫ (1 2) 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ (𝟏 𝟐 2 4) 𝟏 𝟏 * 𝟐 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓 + 𝟏 𝟏 [(𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟓 ) ( 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟓 )] [𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 ] 𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟔 𝟏𝟓 𝟏𝟔 𝟏𝟓 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2014/‫د‬2 ‫س‬4/ً‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2 ‫والمستمٌم‬‫ان‬0 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫ا‬‫لحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ 𝟐 𝟎 * 4 + 2 [ 16 4 0] 4 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
  • 62.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 332 ‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬ ‫س‬5/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬‫الفروع‬( )‫الت‬ ‫بموضوع‬ ‫مرتبطة‬‫فاض‬‫ل‬ ( ) 𝟐 |𝟐 | 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟐) | 𝟐 | 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟐 | 𝟐 | ( ) ( ) 𝟐( )( ) 𝟐( ) ( ) 𝟐 | | 𝟐 𝟏 | | (𝟐 ) 𝟐 | | ( ) | 𝟐 | 𝟏 𝟐 𝟐( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 𝟐 ( 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ) ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 ( ) ( ) ( ) ( )
  • 63.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 333 ‫س‬12/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫تكامالت‬ ( ) ∫( 𝟒 𝟒 ) ∫( 𝟐 𝟐 )( 𝟐 𝟐 ) ∫( 𝟐 )(𝟏) 𝟏 𝟐 ∫( 𝟐 )(𝟐) 𝟏 𝟐 𝟐 ( ) ∫( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟐 𝟐) ∫( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 ∫ 𝟐 ( 𝟐) 𝟏 𝟐 ∫( 𝟏 𝟒 ) 𝟐 ∫ 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟒 𝟒 ) 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 ( ) ∫ | | ∫ 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 ( ) ∫ 𝟐 √ 𝟑 √ 𝟐𝟑 ∫ 𝟐 . 𝟐 𝟑 / 𝟏 𝟑 𝟐(𝟑) ∫ ( 𝟏 𝟑 ) . 𝟐 𝟑 / 𝟏 𝟑 𝟔 𝟏 𝟑 𝟔 √ 𝟑
  • 64.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 334 ( ) ∫ 𝟑 ∫ 𝟐 ∫( ) 𝟐 𝟑 𝟑 ( ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟑 ∫ 𝟑(𝟑 𝟓 𝟐) 𝟑 ∫ (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟑 ∫ (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 ∫( 𝟏𝟎) (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 × (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 𝟒𝟎 (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟒 𝟑 ( ) ∫ 𝟏 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 ∫ 𝟏 ( 𝟕) 𝟐 ∫( 𝟕) 𝟐 ( 𝟕) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟕 ( ) ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 ∫(𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑
  • 65.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 335 ‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1⁄: ‫نات‬ ‫جد‬ (1) ∫( 3 2 ) 3 (2) ∫ 1 √1 ∫(1 ) 2 [ (1 )2 1 2 ] [2(1 )2] [2(22)2] [2(1)2] 4 2 2 (3) ∫ 6 3 ∫(1 2 2 3 ) 3 ∫ 3 2 ∫ 2 3 3 1 3 3 2 3 3 3 1 3 3 2 9 3 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬2⁄‫نات‬ ‫جد‬: ∫( )( ) ∫( 2 2 ) ∫ 2 1 2 ∫(1 2 ) 1 2 ( 1 2 2 ) 1 2 1 4 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬: ∫ √ 2 15 ∫ ( 2 15)2 1 2 ∫ 2 ( 2 15)2 *2 ( ) + 0 ( 2 15) 1 0 (72) 1 0 (1) 1 2 114
  • 66.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 336 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬: ∫ 2 2 ∫ 2 1 2 (1 2 ) 1 2 ∫ 2 1 2 ∫ 2 2 1 2 1 2 ∫(2) 2 1 2 1 2 ∫(1 4 ) 1 4 2 1 4 ( 1 4 4 ) 1 4 2 1 4 1 16 4 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬2⁄: ‫نات‬ ‫جد‬ ∫(1 3 )2 ∫(1 2 3 2 3 ) ∫ 2 ∫ 3 1 2 ∫(1 6 ) 2 3 3 1 2 ( 1 6 6 ) 3 2 2 3 3 1 12 6 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫جد‬ : ∫( 2 )2 ∫( 2 2 2 2 2 ) 1 2 ∫(1 2 ) 2 ∫ (2 ) 1 2 ∫(1 4 ) 1 2 ( 1 2 2 ) 4 3 1 2 ( 1 4 4 ) 1 2 1 4 2 4 3 1 2 1 8 4 1 4 2 4 3 1 8 4
  • 67.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 337 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫كان‬ ‫إذا‬∫ ( 𝟑) 𝟗 𝟒𝟏 ‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬ 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 2 2 2 4 1 4 9 4 (× ) ⇒ 2 2 1 9 2 2 1 9 0 2 2 8 0 2 2 8 0 ( 2 4)( 2 2) 0 2 2 ‫ٌهمل‬ 2 4 0 2 4 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬2:‫كان‬ ‫إذا‬∫ (𝟐 𝟑) 𝟏𝟐‫وكان‬𝟐 𝟑‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬ /‫الحل‬ 3 2 (1) ∫(2 3) 12 , 2 3 - 12 , 2 3 - , 2 3 - 12 2 3 2 3 12 2 3 (3 2 )2 3(3 2 ) 12 2 3 (9 12 4 2) 9 6 12 0 2 3 9 12 4 2 9 6 12 0 3 2 21 30 0 ( ) ⇒ 2 7 10 0 ( 2)( 5) 0 2 0 2 3 2(2) 1 5 0 5 3 2(5) 7
  • 68.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 338 ‫وزاري‬ ‫ةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2000‫/د‬2‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :( ) 𝟏 𝟐 𝟐 ‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬‫الفترة‬0𝟎 𝟐 1 :‫الحل‬ 1 2 2 0 2 0 2 2 2 - 2 4 0𝟎 𝟐 1 3 4 0𝟎 𝟐 1 00 1 0 2 1 ‫التكامل‬ ‫فترات‬ ||∫ 2 || ||∫ 2 2 || |[ 1 2 2 ] | |[ 1 2 2 ] 2 | |[ 1 2 2 ] [ 1 2 0]| |[ 1 2 ] [ 1 2 2 ]| | 1 2 (1) 1 2 (0)| | 1 2 (0) 1 2 (1)| 1 2 1 2 1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1:‫جد‬ : ∫ 2 2 ∫, -2 ∫ [ 1 2 (2 )] 2 ∫ ( 1 2 2 ) 2 ∫ 1 4 2 2 1 4 1 2 ∫(1 4 ) 1 8 ( 1 4 4 ) 1 8 1 32 4 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬2:‫جد‬ : ∫ 9 12 4 2 ∫ (3 2 )2 ∫(3 2 ) 2 1 2 ∫(3 2 ) 2( 2) * 1 2 (3 2 ) 1 + [ 1 2(3 2 ) ] [ 1 2(1) ] [ 1 2(5) ] 1 2 1 10 5 1 10 4 10 2 5
  • 69.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 339 ‫وزاري‬ ‫ةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2001‫د‬ /1‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :𝟑 𝟗‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟑 𝟑-. ‫ا‬/‫لحل‬9 0 ( 2 9) 0 0 2 9 0 2 9 3 ∴‫التكامل‬ ‫فترات‬, 3 0- ,0 3- |∫ ( 9 ) | |∫ ( 9 ) | |0 2 1 | |0 2 1 | |,0- 0 2 1| |0 2 1 ,0-| | 2 | | 2 | 2 40 2 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬1::‫لٌمة‬ ‫جد‬ ∫ 2 5 (2 5) ∫( 2 5 )2(2 5) [ ( 2 5 )2 3 2 ] [ 2 3 ( 2 5 )2] [ 2 3 (16 20)2] [ 2 3 (0)2] [ 2 3 (62)2] 2 3 (216) 432 3 144 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 . /‫الحل‬4 3 2 3 2 4 3 2 4 0 ( 2 4)( 2 1) 0 2 4 0 2 4 2 ( 2 1 0)‫ٌهمل‬ |∫ ( 3 2 4) 2 2 | |0 4 1 2 2 | |[ 32 5 8 8] [ 32 5 8 8]| | 64 5 32| | 96 5 | 96 5 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
  • 70.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 340 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫د‬ /1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐 ‫وعلى‬,𝟏 𝟑-. :‫الحل‬2 2 2 2 0 ( 2) 0 0 ,0 3- 2 0 2 ,0 3- |∫ ( 2 2 ) 2 | |∫ ( 2 2 )2 | |0 2 1 2 | |0 2 1 2 | |0 41 0 11| |,9 9- 0 41| | 4 1| | 4| | 3| | 2 | | | | | 2 2 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒 ‫لٌمة‬ ‫فجد‬h. /‫الحل‬ ∫ ( 2 9)2 2 ∫ ( 2 9) 2 2 1 2 ∫ 2 ( 2 9) 2 2 *2 ( ) + 2 0(16 9) 1 0( 2 9) 1 2 (52) ( 2 9) 2 ( 2 9) 5 2 ( 2 9) 3 ‫بالتربٌع‬ ⇒ 2 9 9 2 0 0 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟓 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟏 . /‫الحل‬∫ (5 2 ) 2 2 ∫ (5 2 ) 2 ( 2) 0 2 ( 2 ) 1 2 22 [ 1 2(5 2 ) ] 2 [ 1 2(5 4) ] [ 1 2(5 2) ] 1 2 1 6 3 1 6 2 6 1 3
  • 71.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 341 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟑 𝟒) 𝟐 𝟐 𝟏 . ∫ (3 4) 2 ∫ (3 4) 2 3 0 ( ) 1 2 22 0 ( ) 1 2 0 ( ) 1 0 ( ) 1 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟓 ∫ ( ) 𝟑‫وكانت‬, -‫لٌمة‬ ‫جد‬ ∫ ( ) /‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 5 ∫ ( ) 3 ∫ ( ) 5 3 ∫ ( ) 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2‫جد‬ :∫ 𝟐 𝟐 ∫(2 2 1)2 ∫(4 4 2 1) ‫الدالة‬ ‫المشتقة‬∫ 4 ∫ 4 2 ∫ 4 ∫ ( ) 4 ∫ 2 ( ) ∫ 4 4 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1‫بسرعة‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟗‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t:‫إحسب‬ 1-‫خالل‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬[ ‫الفترة‬0,2.] 2-‫التعجٌل‬ ‫فٌه‬ ‫ٌصبح‬ ‫الذي‬ ‫الزمن‬𝟏𝟖 𝟐 . /‫الحل‬(1) 3 2 12 9 0 - 3 2 4 3 0 ( 3)( 1) 0 3 0 3 ,0 2- 1 0 1 ,0 2- |∫(3 2 12 9) | |∫(3 2 12 9) 2 | |, 6 2 9 - 1 0 | |, 6 2 9 -2 1 | |,1 6 9- ,0-| |,8 24 18- ,1 6 9-| |4| |2 4| 4 2 6 (2) ( ) ̅( ) 6 12 18 6 12 6 18 12 6 30 5
  • 72.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 342 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ 𝟑 𝟐 𝟖 𝟑 /‫الحل‬ ∫ 2( 1) ∫ ( 1)2 ∫( 1) 2 [ ( 1)2 1 2 ] [2( 1)2] [2(8 1)2] [2(3 1)2] [2(32)2] [2(22)2] 6 4 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2:‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐 ‫الفترة‬ ً‫ف‬0𝟎 𝟐 1. /‫الحل‬ 2 2 2 2 0 2 2 3 2 - 2 4 0𝟎 𝟐 1 3 4 0𝟎 𝟐 1 ||∫ 2 || ||∫ 2 2 || |[ 1 2 2 ] | |[ 1 2 2 ] 2 | |0 2 2 1 0 2 01 0 2 1 0 2 2 1| | 2 (1) 2 (0)| | 2 (0) 2 (1)| 2 2 1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫جد‬ :‫ال‬‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬( ) ( ) √ 𝟐 𝟏[ ‫الفترة‬ ً‫ف‬1,5.] /‫الحل‬ √2 1 √2 1 0 √2 1 ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ 2 1 2 2 2 1 0 ( 1)2 0 1 0 1 |∫ [(2 1)2 ] | |∫(2 1)2 | |∫ | |[ 1 2 (2 1)2 3 2 ] | |* 2 2 + | |[ 1 3 (2 1)2] | |* 2 2 + | |[ 1 3 (9)2 1 3 (1)2] [ 25 2 1 2 ]| |[ 1 3 (32)2 1 3 ] [ 24 2 ]| |9 1 3 24 2 | | 54 2 72 6 | | 20 6 | 10 3 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
  • 73.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 343 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ ( ) 𝟐𝟐 𝟎 . /‫الحل‬ ∫( 2 2 2 ) 2 ∫(2 1) 2 ∫ ( 2 1) [ 1 2 2 ] 22 [ 1 2 2 ] [ 1 2 0 0] [ 1 2 ( 1) 2 ] [ 1 2 (1)] 1 2 2 1 2 .1 2 / ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫مشتم‬ ً‫منحن‬ :‫ته‬‫األولى‬ 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 ( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬1,2.ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ) /‫الحل‬( ) 2 ‫الطرفٌن‬ ‫بتكامل‬ ( ) ∫ 2 ( ) ∫ 2 ( 2) ( ) ∫ 2( 2) 2 ( ) 2 ( 2) ( ) 2 2 ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ً‫المنحن‬ (1 2) ‫ان‬ ‫وبما‬ 2 2 2 2 2 0 ( ) 2 2 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2010‫/د‬2‫ةةةةةةةةةةةةةةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 :‫ةةةةةةةةةةةةةةةةة‬‫ة‬‫لٌم‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ ∫ , ( ) ( ) 𝟒 - 𝟑 𝟏 /‫الحل‬ ∫ , ( ) ( ) 4 - ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ 4 6 2 0 2 1 4 ,2 2-3 1 4 ,18 2- 4 16 20
  • 74.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 344 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫سرعته‬ ‫بحٌث‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟕‫المسافة‬ ‫جد‬ ( ً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫ٌمطعها‬ ً‫الت‬4‫تماس‬ ‫المسافة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علم‬ ‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ,‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ).‫باألمتار‬ /‫الحل‬ ( ) 3 2 4 7 > 0 ∫ (3 2 4 7) , 2 2 7 - 4 0 ,64 32 28- ,0- 124 ( ) ̅( ) 6 4 ‫لحظة‬ ‫أي‬ ً‫ف‬ ‫التعجٌل‬ (4) 6(4) 4 24 4 28 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬1‫المساحة‬ ‫جد‬ :‫المحددة‬ً‫بالمنحن‬( ) ( 𝟏) 𝟑 [ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬-1,3. ] /‫الحل‬( 1) 0 1 0 1 , 1 3- | ∫( 1) | |∫( 1) | * ( 1) 4 + | ( 1) 4 | |*0 ( 2) 4 +| |* (2) 4 0+| | 4| |4| 4 4 8 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬1ً‫المنحنةةة‬ ‫بةةةٌن‬ ‫المحصةةةورة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫جةةةد‬ :𝟐 𝟏 ‫والمستمٌمٌن‬𝟐 𝟏.‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ /‫الحل‬ ∫ 2 ∫( 1) * 2 2 + 2 [( 4 2 2) ( 1 2 1)] 2 0(2 2) . 2 /1 .0 2 / 2 ‫مكعبة‬ ‫وحدة‬
  • 75.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 345 ‫وزاري‬ ‫ةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2012‫/د‬2:‫ةةةةةا‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ً‫ةةةةةالمنحن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ت‬√5 2 ‫والمستمٌمٌن‬2 1ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ . 5 2/ 𝟐𝟐 𝟏 ∫ 𝟓 𝟒 𝟐 𝟏 𝟓 𝟎 𝟓 (𝟓) 𝟓 (𝟎) 𝟑𝟏𝟐𝟓 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬3:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫لةةةد‬ ‫سةةةرعته‬ ‫كانةةةت‬ ‫فةةةأذا‬ ‫أصبحت‬(𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)‫ساعات‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬: ⓐ‫الثانٌة‬ ‫الساعة‬ ‫خالل‬ ‫لطعها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬ ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)‫ساعات‬ / ‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟖 𝟏𝟎 |∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟐 𝟏 | |, 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 - 𝟏 | |(𝟑𝟔 𝟐𝟎) (𝟗 𝟏𝟎)| 𝟓𝟔 𝟏𝟗 𝟑𝟕 ∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟑 𝟎 , 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 - 𝟎 (𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬1:‫جد‬∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝟒 𝟎 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 (𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝝅 𝟒 𝟎 * 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟎 𝝅 𝟒 𝒕𝒂𝒏 𝟐 . 𝝅 𝟒 / 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐(𝟎) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐
  • 76.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 346 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3:‫أن‬ ‫أثبت‬∫ | 𝟑 𝟔| 𝟑𝟎 𝟒 𝟐 ‫الحل‬/ |𝟑 𝟔| { 𝟑 𝟔 𝟐 (𝟑 𝟔) < 𝟐 ‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟒-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟐)‫ألن‬: ( ) (𝟐) 𝟑(𝟐) 𝟔 𝟎 ‫معرفة‬ ( ) 𝟐 ( ) { (𝟐 ) (𝟑 𝟔) 𝟎 𝟏 (𝟐 ) (𝟔 𝟑 ) 𝟎 𝟐 ∵ 𝟏 = 𝟐 ∴ 𝟐 ( ) 𝟎 ‫موجودة‬ 𝟐 ( ) (𝟐) ∫ |𝟑 𝟔| 𝟒 𝟐 ∫ ( 𝟑 𝟔) 𝟐 𝟐 ∫ (𝟑 𝟔) 𝟒 𝟐 [ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 ] 𝟐 𝟐 [ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 ] 𝟐 𝟒 ,( 𝟔 𝟏𝟐) ( 𝟔 𝟏𝟐)- ,(𝟐𝟒 𝟐𝟒) (𝟔 𝟏𝟐)- 𝟔 𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟎 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3‫جد‬ :∫ √ 𝟐 𝟒 ‫الحل‬/ ∫ √ 𝟐 𝟒 ∫ √ 𝟐( 𝟐) ∫ 𝟐 𝟐 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬1‫جد‬ :∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 ∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐) 𝟑 𝟏 𝟐 * 4𝑥 𝟏 5 1 + 𝟐 [ 4𝑥 5 𝑥 ] 𝟗[ 12 𝟓 3 ] 𝟏, 4 5- 3 𝟓 3 8 5 5 3 15 5 3 10 3
  • 77.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 347 ‫وزاري‬ ‫ةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑 𝟗‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬, 𝟑 𝟑- / ‫الحل‬ ‫الصفحة‬ ً‫ف‬ ‫محلول‬(𝟔𝟖)‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫د‬ /1: ‫وزاري‬ ‫ةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟎 𝟐⁄ )‫وبعةةةد‬2‫بةةةدط‬ ‫مةةةن‬ ‫ثانٌةةةة‬ ‫السرعة‬ ‫أصبحت‬ ‫الحركة‬(𝟐𝟒 ): ‫أحسب‬ , ⓐ‫المسافة‬. ‫الخامسة‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ⓑً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫بعد‬4)) ً‫ثوان‬. / ‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟒 𝟏𝟎( 𝟐) 𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟒 𝟏𝟎 𝟒 |∫ (𝟏𝟎 𝟒) 𝟓 𝟒 | |, 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 - 𝟒 | |(𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟖𝟎 𝟏𝟔)| 𝟏𝟒𝟓 𝟗𝟔 𝟒𝟗 ∫ (𝟏𝟎 𝟒) 𝟒 𝟎 , 𝟓 𝟐 𝟒 𝟒 - 𝟎 (𝟖𝟎 𝟏𝟔) (𝟎) 𝟗𝟔 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫تكامل‬ ‫جد‬∫ √ 2 / ‫الحل‬ ∫ 3 6 √ 2 3 ∫( 2)( 2) ( ‫األسس‬ ‫تجمع‬ ‫الضرب‬ ‫)عند‬ 3 ∫( 2) 2 3 ( 2) 5 3 9 5 ( 2) 9 5 ( 2)
  • 78.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 348 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 𝒅𝒙 (2) ∫ 𝒙 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 / ‫الحل‬ (1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 𝒅𝒙 ∫(𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥) 𝑑𝑥 ∫(1 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥 ∫(1 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1 4 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐 (2) ∫ 𝒙 𝟑 1 𝒙 1 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 1)(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝑥 1 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄
  • 79.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 349 ‫التكامل‬ ‫حول‬ ‫إضافٌة‬ ‫أسئلة‬ ‫س‬1:‫اآلتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬ / (𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝐱𝐝𝐱(𝟐) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟕 𝐱 𝐝𝐱(𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 𝐝𝐱 (𝟔) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝐱 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐝𝐱(𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝟒 𝐱 𝐝𝐱(𝟒) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝐱𝐝𝐱 (𝟗) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱(𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐝𝐱 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑 . 𝒙 𝟑 / 𝒅𝒙(𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟓 (𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 (𝟏𝟓) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝟑𝒙) 𝒅𝒙 (𝟏𝟖) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) . 𝟑 𝟐 / 𝒅𝒙 (𝟏𝟕) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓 𝒙 𝒅𝒙(𝟏𝟔) ∫ √𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 (𝟐𝟏) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑(𝟐𝒙) 𝒅𝒙(𝟐𝟎) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟗) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 (𝟐𝟒) ∫ 𝟑 𝟒(𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓 𝒙 𝒅𝒙(𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔 𝒙 𝒅𝒙 (𝟐𝟕) ∫ 𝟏 √ 𝟏 𝟒 𝟎 (𝟐𝟔) ∫ 𝟏 √ (𝟏 √ ) (𝟐𝟓) ∫ 𝟖 𝟑 𝟐 (𝟑𝟎) ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝟗 𝟎 (𝟐𝟗) ∫|𝟐 𝟒| 𝟑 𝟑 (𝟐𝟖) ∫ 𝟑 | | 𝟏 𝟐 (𝟑𝟑) ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟎 (𝟑𝟐) ∫ 𝟐 𝟒 (𝟑𝟏) ∫ 𝟐 𝟒 𝟎
  • 80.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 350 ‫س‬2/‫التكامل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫ (𝟑 𝟐 𝟖 ) 𝟒 𝟐 ‫س‬3/‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(3,1). ‫س‬4/‫ةاوي‬‫ة‬‫تس‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫أي‬ ‫ةد‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫الثان‬ ‫ةتمة‬‫ة‬‫المش‬ ‫أن‬ ‫ةت‬‫ة‬‫علم‬ ‫أذا‬( )‫ةث‬‫ة‬ٌ‫ح‬‫ةذا‬‫ة‬‫ه‬ ‫ةة‬‫ة‬‫معادل‬ ‫ةد‬‫ة‬‫ج‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ً‫المنحن‬(0,1)‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ونمطة‬(1,-1). ‫س‬5/‫ةد‬‫ة‬‫وبع‬ ‫ةكون‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫ةرن‬‫ة‬‫تتح‬t‫ةرعتها‬‫ة‬‫س‬ ‫ةبحت‬‫ة‬‫اص‬ ‫ةة‬‫ة‬‫الحرك‬ ‫ةدط‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫ثان‬(𝟏𝟎𝟎 𝟐)‫ةد‬‫ة‬‫أوج‬ ‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫أحسب‬ ‫ثم‬ ‫منه‬ ‫بدات‬ ‫الذي‬ ‫االول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النمطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬.