Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Determinan matriks hasil dekomposisi

8,614 views

Published on

  • Be the first to comment

Determinan matriks hasil dekomposisi

  1. 1. DETERMINAN MATRIKS HASIL DEKOMPOSISI CARA DOOLITLE Disusun Oleh Nama : Kurnia Dewi NIM : 09221033 Dosen Pembimbing : Agustiany Dumeva Puteri, SSi. MSi. PROGRAM STUDI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH PALEMBANG 2012
  2. 2. DETERMINAN MATRIKS HASIL DEKOMPOSISI CARA DOOLITLE Kurnia Dewi 1 ABSTRAKDeterminan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasielemen matriks bujur sangkar. Jika subkrip permutasi elemen matriks adalah genap(inverse genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subkrip permutasi adalahganjil (inverse ganjil) diberi tanda negatuf (-). Inversi terjadi jika bilangan yang lebihbesar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subkrip permutasi elemenmatriks. Untuk mencari determinan matriks dapat dilakukan dengan beberapametode (cara). Salah satu cara untuk mencari determinan matriks yaitu metodedekomposisi lower upper (LU). Dekomposisi lower upper (LU) adalah suatu metodepenyelesaiaan dalam mencari determinan suatu matiks ordo tinggi secara efektif,efisien, dan dengan hasil yang sangat mendekati nilai eksaknya. Denganmenggunakan metode ini, determinan matriks dapat diperoleh dengan cara terlebihdahulu mendekomposisi matriks tersebut menjadi matriks segitiga bawah (L) danmatriks segitiga atas (U). Determinan tersebut diperoleh dari hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks lower (L) dan upper (U). Salah satu metode untukmenyelesaikan dekomposisi LU, yaitu metode Doolittle. Untuk matriks yang berordolebih dari sepuluh sampai ordo tak hingga sebaiknya menggunakan algoritmamatematika.Kata kunci: determinan matriks, metode doolitle.1 Mahasiswa tadris matematika 1 angkatan 2009 IAIN Raden Fatah Palembang
  3. 3. PENDAHULUANA . Latar Belakang adalah ilmu pasti yang hingga kini sesuai dengan perkembangannya telahmengalami perkembangan yang sangat pesat, yaitu dengan dikembangkannya olehpara ilmuwan di seluruh dunia yang mempunyai persepsi yang cukup berbeda.Matematika adalah Sumber dari segala sumber ilmu. Apabila seseorang tidakmemahami matematika maka dia akan sulit untuk memahami ilmu-ilmu yang lain.Dalam menyelesaiakan suatu permasalahan suatu permasalahan dalam matematikajuga dapat menggunakan beberapa cara (metode) Mungkin ketika di SMU, kitahanya diajarkan materi dengan beberapa kasus serta cara penyelesaian yang belumterlalu kompleks, sehingga ketika bertemu dengan kasus yang sangat kompleks makatidaklah efektif jika diselesaikan dengan cara yang sederhana. Oleh karena itu didalam perkuliahan kita diajarkan cara penyelesaian yang mungkin dapat efektif danefisien ketika kita ingin menyelesaikan suatu permasalahan yang sangat kompleks. Dalam hal ini, peranan para ilmuwan sangatlah penting. Seiring dengankemajuan jaman yang semakin canggih kemampuan berfikir dan rasa ingin tahu sertakemampuan mengembangkan suatu teori beserta cara penyelesaian dari beberapakasus yang kompleks dapat diselesaikan dengan lebih efektif dan efisien daripadadengan cara yang sederhana yang memerlukan banyak waktu, tenaga, dan pikiran. Pada kasus mencari determinan matiks terdapat beberpa cara (metode) dalammenyelesaikannya. Akan tetapai terkadang terdapat metode yang kurang cocok ataukurang efektif dalam menentukan determinan matriks. Hal ini mungkin dikarenakanmetode yang digunakan terlalu susah sehingga tingkat kesalahan siswa dalammenjawab soal atau menentukan determinan matriks menjadi cukup tinggi. Selain ituada beberapa metode yang hanya bisa mencari determinan matiks terbatas ordonyasehingga tidak dapat digunakan pada matriks dengan ordo tinggi. Dekomposisi lower upper (LU) adalah suatu metode penyelesaiaan dalammencari determinan suatu matiks ordo tinggi secara efektif, efisien, dan dengan hasilyang sangat mendekati nilai eksaknya. Dengan menggunakan metode ini, determinanmatriks dapat diperoleh dengan cara terlebih dahulu mendekomposisi matrikstersebut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan matriks segitiga atas (U).Determinan tersebut diperoleh dari hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama
  4. 4. matriks lower (L) dan upper (U). Ada 2 metode untuk menyelesaikan dekomposisiLU, yaitu metode Doolittle dan metode Crout . Dalam makalah ini penulis akanmembahas mencari determinan matriks hasil dekomposisi dengan cara doolitle.B. Permasalahan Bagaimana menentukan determinan matriks hasil dekomposisi denganmenggunanakan metode doolitle?C. Batasan Masalah Menentukan determinan matriks pada ordo n x n (matriks bujur sangkar).D. Tujuan Untuk mengetahui determinan matriks hasil dekomposisi matriks metodedoolitle.KAJIAN PUSTAKAA. Pengertian-Pengertian 1. Pengertian Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khususdalam bentuk baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang. Suatumatriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom dapat dituliskan sebagai Am.n atauA (m x n). Beberapa Jenis Matriks Berdasarkan Susunan Elemennya (1) Matriks Bujur Sangkar Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya kolom= n disebut berordo n Contoh : 1 3 A= adalah matriks bujur sangkar ordo 2 2 4 (2) Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya nol ( 0)
  5. 5. (3) Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol Contoh : 1 0 0 0 2 0 0 0 3(4) Matriks Identity ( Satuan ) adalah matriks diagonal yang elemen –elemen diagonal utamanya semua sama dengan 1 1 0 0 Contoh : 0 1 0 0 0 1(5) Matriks Skalar adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1 Contoh : 2 0 0 0 2 0 0 0 2(6) Matriks Segitiga Bawah ( Lower Triangular ) adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol. Contoh : 2 0 0 1 3 0 4 0 2(7) Matriks Segitiga Atas ( Upper Triangular ) adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol.
  6. 6. Contoh : 2 1 0 0 3 5 0 0 2(8) Matriks Simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri, Dengan perkataan lain A = AT dan matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar. Contoh : 1 2 0 1 2 0 T A= 2 3 1 dan A = 2 3 1 0 1 1 0 1 1(9) Matriks Antisimetris adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya, Dengan perkataan lain AT = - A Contoh : 0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 3 4 1 0 3 4 A= , AT = 1 3 0 1 1 3 0 1 2 4 1 0 2 4 1 0(10) Matriks Hermitian adalah matriks dengan transpose hermitiannya = dirinya sendiri. Dengan perkataan lain AH = - AContoh 3 2 i 3 2 iA= dan AH = 2 i 4 2 i 4(11) Matriks Invers ( Kebalikan ) : Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA + I maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1 sebaliknya A adalah invers dari B dan ditulis A = B-1
  7. 7. (12) Matriks Komutatif. adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan berlaku AB = BA. dan Anti Komutatif Jika AB = -BA (13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten Matriks Idempoten Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AA = A2 = A Matriks Periodik Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AAA…A = Ap = A dikatakan periodik dengan periode p-1 Matriks Nilpoten Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku Ar = 0, dikatakan Nilpoten dengan indeks r dan r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.2. Pengertian Determinan Matriks Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semuapermutasi elemen matriks bujur sangkar. Jika subkrip permutasi elemen matriksadalah genap (inverse genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subkrippermutasi adalah ganjil (inverse ganjil) diberi tanda negatuf (-). Inversi terjadi jikabilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutansubkrip permutasi elemen matriks. Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matrikskuadrat). Notasi determinan matriks A:Jika diketahui matriks A:
  8. 8. Maka determinan dari matriks A:Sifat Determinan Matriks 1. Determinan transpose suatu matriks sama dengan determinan matriks itu sendiri ; det At = det A 2. Matriks persegi yang salah satu vektor barisnya (kolomnya) unsur-unsurnya nol, maka nilai determinannya sama dengan 0 (nol). 3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) - nya dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k ïAï 4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula. 5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol). 6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).B. Metode untuk Menentukan Determinan Matriks Salah satu metode untuk menentukan determinan matriks yaitu metodedekomposisi matriks. Determinan suatu matriks dapat diperoleh dengan cara terlebihdahulu mendekomposisi matriks tersebut menjadi matriks segitiga bawah (L) danmatriks segitiga atas (U). Determinan tersebut diperoleh dari hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks L dan U.
  9. 9. A = LUDeterminan matriks A: i = indek barisPEMBAHASANDeterminan Matriks Hasil Dekomposisi Cara Doolitle Menentukan determinan suatu matriks dengan cara tersebut terlebih dahuludidekomposisikan menggunakan metode doolitle (elemen diagonal matriks U adalah1)Contoh:1.Tentukan determinan matriks berikut ini: Solusi: Tahap1:
  10. 10. Tahap 2:Tahap:3 Tahap 4: =Tahap 5:2.Tentukan determinan matriks berikut:Solusi:
  11. 11. Tahap 1:Tahap 2:Tahap 3: — —Tahap 4:Tahap 5:
  12. 12. PENUTUPKesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa mencarideterminan matriks dengan menggunakan hasil dekomposisi matriks cara doolitlelebih efektif dan efisien dibandingkan dengan metode (cara) yang lainnya. Caradoolitle dapat digunakan pada matriks berordo tinggi dan khusunya pada matriks n xn (matriks bujur sangkar).Saran Dari hasil pembahasan maka penulis menyarankan kepada pembaca untukmenggunakan cara doolitle dalam mencari determinan matriks untuk ordo tingkattinggi.Akan tetapi, apabila ordo matriksnya lebih dari 10 sampai dengan tak hinggamaka sebaiknya menggunakan algoritma matematika karena metode doolitle tersebutmemiliki kelemahan dalam mencari determinan matriks untuk ordo tinggi yaitucaranya sangat kompleks.
  13. 13. DAFTAR PUSTAKABismo, Setijo, “Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik”,Jurusan TGP-FTUI, 1999.Pantur dan Susila Nyoman. 1991.Aljabar Elementer. Erlangga:J akarta.Ruminta. 2009.Matriks Persamaan Linnier dan Pemograman Linier. Rekayasa Sains: BandungSetijo Bismo,DEA.http://www.chemeng.ui.ac.id/~bismo/S2/mtks2/modul-2.pdf,Modul Sistem Persamaan Aljabar Linier. Diakses 21 April 2012

×