Successfully reported this slideshow.
Your SlideShare is downloading. ×

Praxeis - dianysmata

More Related Content

Slideshows for you

Related Books

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Related Audiobooks

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Praxeis - dianysmata

  1. 1. Πράξεις και διανύσματα Ζουρνά Άννας
  2. 2. <ul><li>Ας θυμηθούμε τι είναι τα διανύσματα και ποια είναι τα χαρακτηριστικά ενός διανύσματος … </li></ul>
  3. 3. Διάνυσμα ΑΒ <ul><li>Τα διανύσματα ορίζονται ως προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα. </li></ul>Α Β (ε) Το σημείο Α λέγεται αρχή του διανύσματος ΑΒ ενώ το Β είναι το πέρας αυτού.
  4. 4. <ul><li>Τα χαρακτηριστικά ενός διανύσματος είναι: </li></ul><ul><li>το μέτρο </li></ul><ul><li>η φορά και </li></ul><ul><li>η διεύθυνση, ο φορέας, δηλαδή η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα. </li></ul>Διάνυσμα ΑΒ Α Β (ε)
  5. 5. Ίσα διανύσματα <ul><li>Ίσα λέγονται δύο ή και περισσότερα </li></ul><ul><li>διανύσματα όταν έχουν: </li></ul><ul><li>ίδιο μέτρο </li></ul><ul><li>ίδια φορά και </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς. </li></ul>α β γ
  6. 6. Αντίθετα διανύσματα <ul><li>Αντίθετα λέγονται δύο διανύσματα όταν έχουν: </li></ul><ul><li>ίδιο μέτρο, </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς και </li></ul><ul><li>ΑΝΤΙΘΕΤΗ φορά. </li></ul>α β = – α β = – α β
  7. 7. Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα <ul><li>Παράλληλα ή συγγραμμικά λέγονται δύο ή και περισσότερα μη μηδενικά διανύσματα όταν: </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς. </li></ul>α β γ
  8. 8. Ομόρροπα διανύσματα <ul><li>Ομόρροπα λέγονται δύο ή και περισσότερα μη μηδενικά διανύσματα όταν: </li></ul><ul><li>έχουν την ίδια φορά και </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς. </li></ul>Δηλαδή αν έχουν την ίδια κατεύθυνση α β γ δ
  9. 9. Αντίρροπα διανύσματα <ul><li>Αντίρροπα λέγονται δύο μη μηδενικά </li></ul><ul><li>διανύσματα όταν: </li></ul><ul><li>έχουν ΑΝΤΙΘΕΤΗ φορά και </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς. </li></ul>Δηλαδή αν έχουν αντίθετη κατεύθυνση α β
  10. 10. Πρόσθεση ομόρροπων διανυσμάτων <ul><li>Το άθροισμα δύο ή και περισσοτέρων ομόρροπων διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα ομόρροπο προς αυτά που έχει μέτρο το άθροισμα των μέτρων τους. </li></ul>Παράδειγμα Να βρείτε το μέτρο της ολικής δύναμης F ολ που ασκείται σε ένα σώμα αν επιδρούν πάνω του οι δυνάμεις: F 1 = 7N F 2 = 4N F ολ = F 1 + F 2 = 7N + 4N = 11N α β α β
  11. 11. Πρόσθεση αντίρροπων διανυσμάτων <ul><li>Το άθροισμα δύο αντίρροπων διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα ομόρροπο προς το διάνυσμα με το μεγαλύτερο μέτρο και έχει μέτρο τη διαφορά των μέτρων τους. </li></ul>Παράδειγμα Να βρείτε το μέτρο της ολικής δύναμης F ολ που ασκείται σε ένα σώμα αν επιδρούν πάνω του οι δυνάμεις: F 1 = 5 N F 2 = 3 N F ολ = F 1 – F 2 = 5 N – 3 N = 2 N Οι κανόνες αυτοί θυμίζουν το άθροισμα ομόσημων και το άθροισμα ετερόσημων αριθμών. Προς τα πού θα κινηθεί το σώμα; Ποια δύναμη θα υπερισχύσει της άλλης; α β α β
  12. 12. Πρόσθεση μη συγγραμμικών διανυσμάτων <ul><li>Για να προσθέσουμε διανύσματα που δεν είναι συγγραμμικά χρησιμοποιούμε δύο μεθόδους: </li></ul><ul><li>τον κανόνα του πολυγώνου και </li></ul><ul><li>τον κανόνα του παραλληλογράμμου </li></ul>
  13. 13. Ο κανόνας του πολυγώνου <ul><li>Μεταφέρουμε τα διανύσματα το ένα μετά το άλλο σχηματίζοντας ένα πολύγωνο. </li></ul><ul><li>Το άθροισμά τους είναι το διάνυσμα που ενώνει την αρχή του πρώτου διανύσματος με το πέρας του τελευταίου διανύσματος. </li></ul>
  14. 14. Ο κανόνας του πολυγώνου <ul><li>Παράδειγμα </li></ul><ul><li>Να προσθέσετε τα παρακάτω διανύσματα: </li></ul>Μεταφέρουμε τα διανύσματα το ένα μετά το άλλο σχηματίζοντας ένα πολύγωνο. Αρχή Πέρας α β γ δ α + β + γ + δ
  15. 15. Κανόνας του πολυγώνου <ul><li>Όταν προσθέτουμε διαδοχικά διανύσματα η διαδικασία απλουστεύεται κατά πολύ. </li></ul><ul><li>ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΕ + ΕΖ + ΖΗ = ΑΗ </li></ul>Α Β Γ Δ Ε Ζ Η
  16. 16. Ο κανόνας του παραλληλογράμμου <ul><li>Ο κανόνας του παραλληλογράμμου εφαρμόζεται όταν θέλουμε να προσθέσουμε δύο διανύσματα </li></ul><ul><li>με κοινή αρχή. </li></ul><ul><li>Τότε σχηματίζουμε ένα παραλληλόγραμμο </li></ul><ul><li>που έχει πλευρές τα διανύσματα. </li></ul><ul><li>Ως άθροισμα των δύο διανυσμάτων ορίζουμε το διάνυσμα της διαγωνίου του παραλληλογράμμου που έχει αρχή το κοινό σημείο εφαρμογής των δύο διανυσμάτων. </li></ul>
  17. 17. Ο κανόνας του παραλληλογράμμου <ul><li>Παράδειγμα </li></ul><ul><li>Να προσθέσετε τα παρακάτω διανύσματα: </li></ul>Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο και παίρνουμε τη διαγώνιο. α β α + β
  18. 18. Παράδειγμα <ul><li>Να βρείτε το διάνυσμα της συνισταμένης ώθησης που ασκείται στην ιστιοσανίδα: </li></ul>Διάνυσμα ώθησης ανέμου Διάνυσμα ώθησης θαλασσίων ρευμάτων Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο και παίρνουμε τη διαγώνιο.
  19. 19. Διαφορά διανυσμάτων <ul><li>Για να αφαιρέσουμε δύο διανύσματα αρκεί να προσθέσουμε στο πρώτο το αντίθετο του δευτέρου. </li></ul>ΑΒ – ΓΒ = ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ Το αντίθετο του ΓΒ είναι το ΒΓ. ΒΓ = – ΓΒ
  20. 20. <ul><li>Ας δούμε και λίγα ιστορικά στοιχεία </li></ul><ul><li>της θεωρίας των διανυσμάτων… </li></ul>
  21. 21. Ήρων ο Αλεξανδρινός <ul><li>Έζησε στην Αλεξάνδρεια (10 – 70μ. X .) </li></ul><ul><li>Ήταν μηχανικός και γεωμέτρης. </li></ul><ul><li>Η πιο διάσημη εφεύρεσή του είναι η αιολόσφαιρα ή ατμοστρόβιλος </li></ul><ul><li>η πρώτη ατμομηχανή </li></ul><ul><li>στην ιστορία. </li></ul>
  22. 22. Ήρων ο Αλεξανδρεύς <ul><li>Υπήρξε διευθυντής της περίφημης Ανώτατης Τεχνικής Σχολής της Αλεξάνδρειας, το πρώτο πολυτεχνείο. </li></ul><ul><li>Στο βιβλίο του «Μηχανικά» αποδεικνύει με τη χρήση αναλογιών τον τρόπο υπολογισμού της συνισταμένης της κίνησης. Δηλαδή, τον κανόνα </li></ul><ul><li>του παραλληλογράμμου </li></ul><ul><li>που είδαμε σήμερα. </li></ul>
  23. 23. <ul><li>Μηχανισμός του Ήρωνα που άνοιγε τις πύλες ναού με το άναμμα του βωμού </li></ul>Έκδοση του 1589
  24. 24. Μετά από 1700 χρόνια … <ul><li>Ένας Νορβηγός ο Caspar Wessel (1745 – 1818) το 1799 έδωσε ορισμούς για τις πράξεις μεταξύ διανυσμάτων. </li></ul><ul><li>Ένας Γάλλος ο Jean Robert Argand (1768 – 1822) τ o 1806 στην εργασία του στους μιγαδικούς αριθμούς με τίτλο: «Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires </li></ul><ul><li>dans les constructions géométriques» </li></ul><ul><li>έθεσε τις βασικές ιδέες για το </li></ul><ul><li>Διανυσματικό Λογισμό. </li></ul>
  25. 25. <ul><li>Και άλλοι μαθηματικοί και φυσικοί ασχολήθηκαν με το Διανυσματικό Λογισμό όπως οι Michel Chasles, Hermann Grassmann, Josiah Willard Gibbs και Oliver Heaviside, </li></ul><ul><li>αλλά ο Giuseppe Peano ήταν αυτός που θεμελίωσε με αξιώματα την έννοια του διανυσματικού χώρου, το 1888. </li></ul>Τον θυμόμαστε από τα πέντε αξιώματα του με τα οποία ορίστηκε το σύνολο των Φυσικών αριθμών.
  26. 26. Εργασία για το Σπίτι <ul><li>Θεωρία </li></ul><ul><li>Σελ. 162 – 165 </li></ul><ul><li>Ερωτήσεις Κατανόησης (πάνω στο βιβλίο) </li></ul><ul><li>1, 2 και 3 σελ. 165 </li></ul><ul><li>4 σελ. 166 </li></ul><ul><li>Ασκήσεις </li></ul><ul><li>3, 5 σελ 166 (στο τετράδιο και τα σχήματα) </li></ul>

×