struktur aljabar

1. GELANGGANG
Definisi.
R suatu himpunan tidak kosong. Tanda + dan . didefinisikan pada
elemen-elemen R. (R,+, .)adalah suatu gelanggang apabila:
(1). (R, +) suatu grup abelian.
(2). (R, .) suatu semi grup.
(3). Memenuhi sifat distributif kanan dan sifat distributif kiri.
Definisi .
Suatu gelanggang (R, +, .) disebut gelanggang komutatif apabila (R, .)
suatu semigrup komutataif.
Suatu gelanggang (R,+, .) disebut gelanggang dengan elemen kesatuan,
apabila (R, .) suatu monoid.

2. Contoh gelanggang ( Ring)
1. B = Himpunan bilangan bulat. (B, +, .) adalah suatu gelanggang, karena
(1). (B, +) adalah grup komutatif.
(2). (B, .) suatu semigrup.
(3). Ɐ a, b, c Є B berlaku sifat: a .(b + c) = a.b + a.c (sifat distributive kanan)
(a + b) . C = a.c + b.c ( sifat distributif kiri)
B terhadap perkalian memenuhi sifat komutatif,(B,+,.) gelanggang komutatif.
B memuat elemen kesatuan 1, (B, +, .) gelenganggang dengan elemen
kesatuan.
(B,+, . ) gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan

3. Soal soal.
1. G = { …, -4, -2, 0, 1, 2, …}. Perlihatkan bahwa (G, +, .) suatu
gelanggang komutatif.
2. B = Himpunan bilangan bulat.
Ɐ a, b Є B, a Ψ b = a + b + 1
a * b = a + ab + b
Selidiki apakah (B, Ψ , *) merupakan gelanggang.
3. M { I a,b,c,d bilangan-bilangan bulat.
Selidiki apakah M dengan operasi penjumlahan dan perkalian matrik
merupakan gelanggang.
a b
c d

4. 4. B adalah himpunan semua blangan bulat, operasi * dan o dalam B
didefinisikan oleh a* b = a + b + 2 dan aob = a + ab + b,Ɐ a, b Є B. B
terhadap operasi * dan o bukan merupakan suatu gelanggang,
karena tidak memenuhi :
a. Sifat asosiatif terhadap *
b. B memuat elemen nol , yaitu -2
c. Sifat distributive
d. Sifat asosiatif terhadap o.
5. D = { 2x + 1 I x bilangan bulat}.D terhadap penjumlahan dan perkalian
biasa bukan merupakan gelanggang karena tidak berlaku :
a. Tertutup terhadap perkalian
b. Tertutup terhadap penjumlahan
c. Distributif kanan
d. Asosiatif penjumlahan.