MAKALAH STRUKTUR ALJABAR GRUPOIDA www.facebook.com/dianto.irawan?ref=tn_tnmn

1. GRUPOIDA
PENGERTIAN OPERASI BINER
Operasi biner dapat dipandang sebagai aturan yang mengaitkan dua elemen, dapat pula
dipandang sebagai suatu pemetaan.
Definisi 4.1 : Jika S suatu himpunan yang tidak kosong dan T = S x S
Operasi biner pada S adalah pemetaan
a) Jika maka operasi biner ini tidak tertutup, sebab ada pasangan berurutan
anggota dari S yang tidak dipasangkan dengan anggota dari S.
Jadi operasi biner pada himpunan S dikatan tidak tertutup jika (a, b) S x S dengan
, dengan perkataan lain operasi biner * tidak tutup jika
dengan a *b =
b) Jikat T = S x S maka operasi biner adalah tertutup, sebab setiap pasangan berurutan
anggota dari S dipasankan dengan anggota dari S
Jadi operasi biner pada himpunan S dikatakan tertutup jika setiap (a,b)
berlaku . Dengan perkataan lain berlaku
Karena T = S x S berarti pemetaan itu adalah
Definisi tersebut akan ditunjukkan dengan contoh berikut :
Contoh I
Misalnya S = himpunan semua bilangan asli
Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai pengurangan pada bilangan, artinya
a * b = a – b. operasi pengurangan adalah operasi biner yang tidak tertutup.
Untuk jelasnya perhatikan uraian sebagai berikut :
Ambil beberapa anggota S

2. Ambil S dan (2,4) x S tetapi (2,4) T.
(2,4) tidak dapat dipasangkan dengan anggota S
Jika a ≤ b dan (a.b) dengan T ≠ S, S (a,b) dipasangkan dengan (a,b) = a – b satu
anggota S = T S merupakan pemetaan. Jadi Operasi pengurangan tidak tertutup.
Contoh 2
S = Himpunan semua bilangan asli.
Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai penjumlahan pada bilangan, artinya
a * b = a + b Operasi penjumlahan adalah operasi biner yang tertutup.
Perhatikan uraian berikut :
S = {1, 2, 3 …. }
S x S = { (a, b) | a S dan b S dan b } dan T = S x S
Ambil beberapa anggota S sebagai berikut :
Jadi operasi penjumlahan adalah tertutup.

3. Definis 4.2
1. Operasi biner * pada himpunan S disebut tertutup jika
2. Operasi biner * pada himpunan S disebut komulatif jika dan hanya jika
3. Operasi biner * pada himpunan S disebut asosiatif
Jika dan hanya jika
Contoh
A = {1, 2, 3… }
a. Operasi pengruangan pada himpunan A :
Tidak tertutup,
Tidak komulatif, 7 – 3 ≠3 – 7
Tidak asosiatif (7-3) – 1 ≠ 7 – 93 – 1) .
b. Operasi penjumlahan pada himpunan A mempunyai sifat :
Tertutup, 3 + 2 = 5
Komulatif, 3 + 2 = 2 + 3
Asosiatif, 93+2) + 4 = 3 + (2 + 4)
Tabel Caykey
Tabel caykey merupakan salah satu cara untuk mendefinisikan operasi biner pada
himpunan, khusunya himpunan berhingga
Misalnya himpunan S = {a, b, c} dengan operasi * didefinisikan dengan tabel 1.
* a b c
a b c b
b a c b
c c b a
Tabel 1.

4. Anggota yang dioperasikan dicantumkan pada bari pertama (paling atas) dan pada kolom
pertama (paling kiri).
Hasil kali anggota S dinyatakan dalam bujur sangkar yang didalam, mulai baris kedua
dan kolom kedua.
Cara membaca tabel Cayley sebagai berikut :
Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kiri kita baca pada kolom paling kiri
Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kanan kita baca pada baris paling atas.
Perhatikan hasil oeprasi pada daerah yang diarsir, c*b = b
Pembacaan Tabel 1 selanjutnya sebagai berikut :
a * b = a
a * b = c
a * c = b
b * a = a
b * a = b
b * c = b
c * a = c
c * b = c
c * c = a
Untuk selanjutnya sifat-sifat oeprasi biner melalui Tabel sebagai berikut :
1. Jika hasil kali di dalam bujursangkar hanya terdiri dari anggota S maka sifat tertutup
kembali
2. Jika letak anggota dalam tabel simetris terhadap diagonal utama maka operasi biner
komulatif. Pada tabel 1 operasi biner tidak komulatif
3. Untuk melihat sifat asosiatif harus dicoba bahwa memenuhi (a*b) * c =
a * (b*c). ketiga anggota a, b, c tersebut tidak diharuskan semuanya berlainan, boleh
dua anggota sama boleh juga tiga anggota sama.
Pengertian Grupoida
Struktur Aljabar suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner
yang tertutup. Apabila himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur
Aljabar tersebut dinyatakan dengan S, *). Apabila himpunan S dilengkapi dengan dua
operasi biner * dan 0; maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*,0) atau
(S,0,*). Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grupoida.
Definisi 4.3
Suatu struktur dan perkalian pada himpunan bilangan dinyatakan dengan + dan x
A = {1,2,3 … }
B = { ….. 2,-1, 0,1 ,2 .. )

5. Q = { x | x bilangan rasional }
R = { x | x bilangan real }
Struktur Aljabar berikut adalah grupoida :
a) (A, +) dan ( A, x)
b) (B, +) dan (B,x)
c) (Q, +) dan (Q, x)
d) (R, +) dan (R, x)
Contoh 12
M1 adalah himpunan matriks ordo m x n
M2 adalah himpunan matriks ordo n x n
Perhatikan contoh 3 dan 4
(M1, +), (M2, +) dan (M2,x) adalah grupoida
Sifat-Sifat Grupoida
Definis 4.4
1. (G,*) suatu grupoida dari
Elemen i disebut elemen identitas kiri dari G
Jika memenuhi i * a = a dan (G,*)
Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kiri.
2. (G,*) suatu grupoida dengan
Elemen i disebut elemen identitas kanan dari G
Jika memenuhi a * i = a dan (G,*)
Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kiri.
3. (G,*) suatu grupoida
Jika memenuhi a * b = b * a maka (G,*) disebut grupoida komulatif
4. (G,*) suatu grupoida dan
i disebut elemen identitas dari G
jika dan hanya jika memenuhi i * a = a * i = a

6. dalam hal demikian (G,*) disebut grupoida elemen identitas
contoh 15
a) (A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoida
Sifat-sifatnya adalah :
Tidak memnuhi delemen identitas penjumlahan sebab memenuhi 0 + a =
a + 0 = a dan 0 memenuhi a + b = b + a
Asosiatif, memenuhi (a + b ) + c = a (b + c)
Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan suatu tabel
Cayley.
1. Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutan anggotanya sama dengan
garis paling atas maka anggota pada kolom paling kiri merupakan suatu elemen
identitas kiri
2. Jika pada tabel Cayley terdapat suatu kolom yang urutan anggotanya sama dengan
kolom paling kiri maka anggota pada baris paling atas merupakan suatu elemen
identitas kanan
3. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannya sama dengan urutan
baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya sama dengan kolom
paling kiri keduanya menuju elelem yang sama yaitu elemen identitas.
4. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garis diagonal utama maka
grupoida adalah komulatif
Contoh
S = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel
a * a = a
a * b = a
a * c = c
A elemen identitas kiri dari S
b * a = a
b * b = b
b * c = c
b elemen identitas kiri S
* a b c
a a b c
b a b c
c c b a

7. Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitas kiri a dan b
Contoh 19
S = {a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel
a * a = a
b * a = b
c * a = c
a elemen identitas kanan dari S
Demikian pula untuk b dan c
Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitas kanan a,b, dan c
Contoh
S = { a, b , c d} dengan operasi biner * dinyatakan dengan Tabel 4
b * a = a
b * b = b
b * c = c
b * d = d
b elemen identitas kiri dari S
a * b = a
b * b = b
c * b = c
d * b = d
B elemen identitas kanan dari S
Karena b adalah elemen identitas kiri dan elemen identitas kanan, maka b merupakan
elemen identitas dari S.
Jadi (S,*) grupoida komulatif dengan elemen identitas b.
Sifat-sifat yang lain dari grupoida adalah sebagai berikut :
Definisi 4.5
* a b c
a a a a
b b b b
c c c c
* a b c d
a b a d c
b a b c a
c d c b c
d c d a b

8. 1. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kiri jika untuk setiap
a,b,c G berlaku implikasi jika a, b = a c maka b = c
2. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kanan jika kesamaan
ba = ca selalu menghasilkan b = c
3. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan suatuatau pencoretan
atau penghapusan (canccellation law) jika dan a 0 dipenuhi ab =
ac b = c dan b a = c a b = c
4. Suatu grupoida G di katakan memenuhi persamaan kiri jika persamaan
xa = b mempunyai penyelesaian di G
5. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi persamaan kanan jika
persamaan ay = b mempunyai penyelesaian di G.
Contoh
A = { 1, 2, 3, … }
B = { …., -2, -1, 0, 1, 2, …} dan B* = B – {0}
Q = {x | x bilangan rasional} dan Q* = Q – {0}
R = {x | x bilangan real} dan R* = R – {0}
a. Pada grupoida (A, +), (B, +), dan (R, +) berlaku hukum pelenyapan kiri dan
pelenyapan kanan, sebab anggota grupoida tersebut memenuhi
a + b = a + c
b + a = c + a
b. Pada grupoida (A*, x), (B*,x), (Q*, x) dan (R*, x) berlaku hukum pelenyatapan
kanan dan pelenyapan kiri, sebab anggota grupoida tersebut memenuhi
b . a = c . a b = c
a . b = a . c b = c

9. Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabel Cayley maka
a. (G, *) memenuhi hukum pelenyatapan kiri jika dan hanya jika setiap bari dalam
tebel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan
b. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan jika dan jika hanya jika setiap kolom
dalam tabel terdiri dari anggota G yang memenuhi berlainan
c. (G,*) memenuhi hukum persamaan kiri jiak dan jika setiap kolom dalam tabel
terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan
d. (G,*) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap baris dalam
tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan
Jadi dapat disimpulkan
1. Jika baris dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semunya berlainan maka
(G,*) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan hukum persamaan kanan
2. Jika setiap kolom dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semuanya
berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kanan dan hukum persamaan
kiri
Contoh
{G,*) grupoida dengan G ={ p,q,r) dan * dinyatakan dalam tabel
a. Setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan. Jadi (G,*)
memenuhi hukum pelenyapan kiri dan memnuhi persamaan kanan
b. Setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya sama. Jadi (G,*)
tidak memenuhi hukum pelenyapan kanan dan tidak memenuhi hukum persamaan
kiri.
* p q r
p p q r
q p q r
r p q r

10. DAFTAR PUSTAKA
Materi Pokok Struktur Aljabar, 1-12 ; PGTM 3929/ 4 SKS oleh Suherti Soebagio-A,
Sukirman,- Jakarta : Universitas Terbuka.