Fungsi didefinisikan sebagai aturan yang menghubungkan anggota himpunan D dengan tepat satu anggota himpunan K. Fungsi memiliki daerah definisi, daerah nilai, dan kodomain. Ada berbagai jenis fungsi seperti fungsi surjektif, injektif, bijektif, konstan, dan identitas."

1. FUNGSI

2. Fungsi didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa
setiap satu anggota himpunan D berpasangan dengan tepat satu
anggota himpunan K (lihat Gambar )

D K
(a)

D K
(b)
Gambar
FUNGSI

3. Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu
pasangan pada himpunan K disebut daerah definisi atau daerah
asal (domain).
Anggota-anggota pada himpunan K yang merupakan pasangan
anggota-anggota himpunan D disebut daerah nilai (range).
Sedangkan semua anggota himpunan K baik yang merupakan
pasangan dari anggota himpunan D maupun yang bukan disebut
kodomain.
Jadi fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat
satu keluaran untuk setiap masukan tertentu.
Kesimpulan

4. 
D K
Gambar
Jika terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi definisi
Seperti tersebut diatas maka hubungan tersebut bukan suatu
fungsi tetapi disebut relasi (lihat Gambar ).
Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses
yang menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu.

5. Pengertian Fungsi yang lain
• Fungsi : suatu bentuk hubungan matematis
yang menyatakan hubungan ketergantungan
(hub. fungsional) antara suatu variabel dengan
variabel lain.
• y = a + bx
Dependent
variable
Konstanta Koefisien var. x
Independent variable
5

6. Pengertian Fungsi yang lain:
– Aturan yang menghubungkan masing –masing elemen dalam
himpunan A dengan satu dan hanya satu elemen dalam
himpunan B.
– Aturan yang menghubungkan bilangan- bilangan “baru” dengan
bilangan “lama”.
– Bilangan “lama” = x.
– Bilangan “baru” = y.
– Notasi Fungsi = f(x)
Contoh :
Aturan harus menghasilkan bilangan dengan menambah 1 pada
dua kali bilangan lama. Bilangan manakah yang berhubungan
dengan 3 ?
2 x 3 + 1 = 7
Lama baru

7. Notasi Fungsi :
Y = f (x)
Y = 5 + 0.8 x
f (x) = 5 + 0.8 x
5 Konstanta
0,8 Koef. Variabel x
X Variabel bebas
Y Variabel Terikat

8. FUNGSI
Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu
fungsi, yaitu:
1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan cara
menyatakan aturan yang menentukan relasi
antara angggota – anggota daerah asal dengan
anggota – anggota daerah kawannya.
Contoh :
f: R R dimana f(x) = x
R = himpunan semua bilangan nyata.

9. • Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau
transformasi.
• f(a)=b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan
elemen b di dalam B.
• Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f dan
himpunan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.
• Jika f(a)=b , maka b dinamakan bayangan (image) dari
a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b
• Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut
jelajah (range)
Jika f adalah fungsi dari A ke B, kita menuliskan :
f : A  B , yang artinya f memetakan A ke B.

10. A B
a b
f
b bayangan a
a Pra-bayangan b

11. A B
1 u
f
2
3
v
w
Contoh
Relasi f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A = {1,2,3} ke
B = {u,v,w} adalah fungsi dari A ke B.
Disini f(1)=u , f(2)=v , f(3)=w.
Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B.
Jelajah dari f adalah {u,v,w} yang dalam hal ini sama dengan
himpunan B

12. 2. Cara himpunan :
Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari A ke B
dapat dipandang sebagai himpunan bagian
(khusus) dari A x B.
Maka fungsi f : R R dimana f ( x ) = x dapat
juga disajikan sebagai suatu himpunan, yaitu
himpunan bagian dari
R x R :
F = { (x,y)x  R, y R, y = x }

13. Kesamaan dua buah fungsi.
 Dua buah fungsi f : A  B dan g : A  B dikatakan sama bila
kedua fungsi itu mengkaitkan anggota-anggota dari daerah
asalnya dengan anggota-anggota yang sama didaerah
kawannya.
f = g bhb (  x A).f(x) = g(x)
 Contoh :
f : R R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2)
g : R R dimana g(x) = 2x2-2x-4
Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2)
= 2(x2-x-2) = 2x2-2x-4 = g(x)
Maka f = g

14. FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
1. FUNGSI SURJEKTIF/ONTO
2. FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU
3. FUNGSI BIJEKTIF/KORESPONDENSI SATU-
SATU
4. FUNGSI KONSTAN
5. FUNGSI IDENTITAS

15. FUNGSI SURJEKTIF/ONTO
• Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada
(onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu
anggota A.
• Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit
dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ).
• f : A  B adalah fungsi surjektif
bhb ( yB) ( xA). y = f (x)
bhb Rf = B
bhb ( yB) f-1 (y) = 

16. FUNGSI SURJEKTIF
Contoh
•2
•3
•5
•7
•10
Diagram panah
A B

17. A B
a 1
b
c
d
2
3
Gambar
Fungsi pada (onto)

18. A B
a 1
b
c
2
3
4
A B
a 1
b
c
d
2
3
4
A B
a 1
b
c
d
2
3
4
A B
a 1
b
c
d
2
3
Fungsi satu ke satu,
bukan pada
Bukan fungsi satu ke satu,
maupun pada
Fungsi pada,
bukan satu ke satu
Bukan fungsi
Gambar
relasi

19. FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU
• Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi injektif
bila anggota – anggota dari B merupakan
bayangan dari tepat satu anggota A.
• f : A  B adalah fungsi injektif
bhb (  x1,x2  A ). x1  x2  f(x1)  f(x2)
bhb (  x1,x2  A ). f(x1) = f(x2)  x1 = x2

20. FUNGSI INJEKTIF
contoh
•2
•3
•5
•1
•4
•7
•10
•14
Diagram panah
A B

21. FUNGSI BIJEKTIF
• Suatu fungsi f : AB merupakan fungsi
bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif
dan sekaligus injektif.
• Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi
korespondensi satu-satu.

22. FUNGSI BIJEKTIF
Contoh
•2
•3
•5
•7
•10
•14
Diagram panah
A B

23. FUNGSI KONSTAN
• Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi konstan
bila bayangan semua anggota A adalah satu
anggota yang sama di B.
• f : A  B adalah fungsi konstan
bhb.( !c  B)(xA).f(x) = c
• Contoh:
1. f(x) = 2
•2
•3
•5
•7
•10
•14
2. Diagram panah
A B

24. FUNGSI IDENTITAS
• Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi
indentitas bila bayangan dari setiap anggota
dari A ialah dirinya sendiri.
• Daerah asal dan saerah kawan dari suatu
fungsi identits adalah himpunan yang sama.
• f : A  A adalah fungsi indentitas
bhb.( xA). f(x) = x

25. FUNGSI IDENTITAS
CONTOH
•2
•3
•5
•2
•3
•5
Diagram panah
A A

26. Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi
dua bagian utama, yaitu fungsi ril dan fungsi kompleks.
Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini hanya
mencakup fungsi ril saja.
Jenis-jenis fungsi
Menurut jumlah peubah bebas
 Fungsi peubah bebas tunggal
 Fungsi peubah bebas banyak

27. Contoh
a) y = 2x + 3
b) y = x2
c) y = sin x
d) x2 + y2 =r2
 Fungsi peubah bebas tunggal
Fungsi peubah bebas tunggal adalah fungsi
yang hanya mempunyai satu peubah bebas.

28. Contoh
a) w = xy
b) u = sin (x+y)
c) v = cos xy
d) t = xy+ z
 Fungsi peubah bebas banyak
Fungsi peubah bebas banyak adalah fungsi yang
mempunyai lebih dari satu peubah bebas.

29. Menurut cara penyajiannya
 Fungsi eksplisit
 Fungsi eksplisit
 Fungsi parameter

30.  Fungsi eksplisit
Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peubah
bebasnya ditulis atau disajikan pada ruas tersendiri;
terpisah dari peubah tak bebasnya.
Contoh
a) y = x – 5
b) y =x2–1
c) y = sin x
d) y = (x-1)2
Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk
y = f(x)

31. Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk
F(x,y) = 0
 Fungsi implisit
Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah bebas dan
tak bebasnya ditulis pada ruas yang sama.
Contoh
a) x + y = 0
b) x2 + y2 = r2

32. Contoh
 Fungsi parameter
Bentuk umum dari fungsi parameter adalah:
x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter.
Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah
bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 3.3 berikut.
x = t2 – 1
y = t + 2

33. JENIS-JENIS FUNGSI
Fungsi
F.Pangkat
F. Polinom
F. Linier
F. Kuadrat
F. Kubik
F. Bikuadrat
Fungsi rasional
Fungsi
irrasional
Fungsi non-aljabar (transenden)
Fungsi aljabar
F. Eksponensial
F. Logaritmik
F. Trigonometrik
F. Hiperbolik
33

34. • Fungsi polinom : fungsi yang
mengandung banyak suku (polinom)
dalam variabel bebasnya.
y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn
• Fungsi Linear : fungsi polinom khusus
yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat satu (fungsi berderajat
satu).
y = a0 + a1x a1 ≠ 0
34

35. • Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat dua, sering juga disebut fungsi
berderajat dua.
y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0
• Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat
tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n
(n = bilangan nyata).
y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn
an ≠ 0
35

36. • Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel
bebasnya berpangkat sebuah bilangan
nyata bukan nol.
y = xn n = bilangan nyata bukan nol.
• Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel
bebasnya merupakan pangkat dari suatu
konstanta bukan nol.
y = nx n > 0
36

37. • Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari
fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan
bilangan logaritmik.
y = nlog x
• Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik :
fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-
bilangan goneometrik.
persamaan trigonometrik y = sin x
persamaan hiperbolik y = arc cos x
37

38. • Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya :
fungsi eksplisit dan implisit
0
Kubik
0
Kuadrat
0
Linear
0
Umum
Implisit
Eksplisit
Fungsi
3
3
2
2
1
0
3
3
2
2
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
1
0
1
0























y
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a
y
y
x
a
x
a
a
x
a
x
a
a
y
y
x
a
a
x
a
a
y
f(x,y)
f(x)
y
38

39. x
y
x
y
Linear
y = a0 + a1x
a0
Kemiringan = a1
(a) (b)
0 0
Kuadratik
y = a0 + a1x + a2x2
a0
(Kasus a2 < 0)
39

40. x
y
x
y
(c) (d)
0 0
Kubik
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
a0
Bujur sangkar hiperbolik
y = a / x
(a > 0)
40

41. x
y
x
y
(e) (f)
0 0
Eksponen
y = bx
(b > 1)
Logaritma
y = logb x
41

42. Penyimpangan Eksponen
• xn = x x x x…..x x
• Aturan I : xm x xn = xm+n
Contoh : x3 x x4 = x7
• Aturan II : xm / xn = xm-n
Contoh : x4 / x3 = x
• Aturan III : x-n = 1/xn (x ≠ 0)
n suku
42

43. Penyimpangan Eksponen
• Aturan IV : x0 = 1 (x ≠ 0)
• Aturan V : x1/n =
• Aturan VI : (xm)n = xmn
• Aturan VII : xm x ym = (xy)m
n
x
43

44. Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas
• z = g (x, y)
• z = ax + by
• z = a0 + a1x + a2x2 + b1y + b2y2
• Fungsi g membuat peta dari suatu titik dalam
ruang dua dimensi, ke satu titik pada garis
ruas (titik dalam ruang satu dimensi), seperti :
dari titik (x1,y1) ke titik z1
dari titik (x2, y2) ke titik z2
44

45. Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas
z
z1
z2
(x2, y2)
(x1, y1)
g
x2
x1
y1
y2
0 x
y
45

46. Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas
x2
x1
y1
y2
x
y
z
(x2, y2, z2)
(x2, y2, z2)
46

47. Latihan:
Relasi dari himpunan A = {a, b, c, d} ke
himpunan B = {p, q, r, s} yang disajikan dalam
diagram panah berikut, mana yang
merupakan fungsi ?

48. a. b. c.
e. f. g.
h. i.

49. GRAFIK FUNGSI
Misalkan f: A  B.
Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a,f(a) | a
∈ A}, dimana a A adalah elemen pertamanya sedangkan
bayangan dari a adalah elemen keduanya
atau
Grafik dari fungsi f ditulis f* terdiri dari semua pasangan
terurut inmana a A adalah elemen pertamanya sedangkan
bayangan dari a adalah elemen keduanya
f*={(a,b)|a A, b = f(a)}
f*  AB

50. Contoh:
Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f
didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik
fungsi f dapat digambarkan sbb:
A
B

51. • Misalkan fungsi f:AB didefinisikan dengan
diagram :
a
b
c
d
1
2
3
• f(a)=2, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1
• Grafik fungsi f adalah {(a,2), (b,3), (c,2),
(d,1)}AB

52. • Misalkan W={1,2,3,4}
Didefinisikan fungsi f:WR# f(x)=x+3
f*={(1,4), (2,5), (3,6), (4,7)}

53. SIFAT-SIFAT GRAFIK FUNGSI
1. Untuk setiap a A, akan terdapat sebuah
pasangan terurut (a,b) f*
2. Untuk setiap a A, akan terdapat hanya satu
pasangan terurut dengan a sebagai elemen
pertama
Misalkan A={1,2,3,4} dan B={3,4,5,6}
Pasangan terurut {(1,5), (2,3),(4,6)} bukan
grafik dari fungsi f:AB
Pasangan terurut {(1,5),(2,3),(3,6),(4,6),(2,4)}
juga bukan grafik dari f:AB

54. GRAFIK DAN DIAGRAM KOORDINAT
Misalkan f* adalah grafik dari fungsi f:AB
Karena f*AB, maka f* dapat digambarkan
pada diagram koordinat dari AB

55. Misalkan A={a,b,c,d} dan B={1,2,3}
Didefinisikan fungsi f:AB dengan diagram :
a
b
c
d
1
2
3
2
1
3
a b c d
B
A

56. Misalkan A={a,b,c} dan B={1,2,3}
Pandang titik-titik pada diagram-diagram dibawah
ini :
Pada garis vertikal melalui b tidak berisi titik dari f*
Pada garis vertikal melalui a terdapat dua titik dari f*
Keduanya bukan grafik dari f:AB
2
1
3
a b c
2
1
3
a b c

57. 1 2 3
3
2
1
x2+y2 =9
x2+y2 =9 bukan merupakan grafik dari suatu fungsi

58. FUNGSI SEBAGAI HIMPUNAN DARI
PASANGAN TERURUT
1. Untuk setiap a A, akan terdapat sebuah
pasangan terurut (a,b) f*
2. Untuk setiap a A, akan terdapat hanya
satu pasangan terurut dengan a sebagai
elemen pertama
Sifat 1 : Menjamin bahwa setiap elemen dari A
mempunyai bayangan
Sifat 2 : Menjamin bahwa bayangannya unik
f* adalah fungsi f:AB

59. • Misalkan fungsi f:AB adalah fungsi satu-
satu dan onto
Fungsi inversnya adalah :
f-1={(b,a)|(a,b)f}

60. INVERS FUNGSI

61. Misalkan f : A → B fungsi bijektif.
Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan
setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen
pada A.
Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana
f -1 : B → A
Fungsi invers dari f dilambangkan dengan f -1
Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
FUNGSI INVERS

62.  
a
f
 
b
f 1

f -1(b)=a b=f(a)
Fungsi Inversi
Gambar
y = f(x) ↔ x = f -1 (y)
A B

63. Contoh
Relasi f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A = {1,2,3}
ke B = {u,v,w} adalah
fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu.
Inversi fungsi f adalah
f -1 = {(u,1),(v,2),(w,3)}.
Jadi f adalah fungsi invertible
(dapat dibalikkan).

64. Contoh
Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3}
dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1.
Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.
PENYELESAIAN:
fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel
dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.

65. Contoh
Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2.
Apakah f invertibel.
PENYELESAIAN:
Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif
maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

66. Menentukan Rumus Fungsi Invers
Perhatikan diagram panah berikut.
y adalah peta dari x oleh fungsi f, sehingga pemetaan oleh
fungsi f dapat dinayatakan dengan persamaan:
)
(x
f
y 

67. Kalau f-1 adalah invers dari fungsi f maka x adalah peta dari
y oleh fungsi f-1 sehingga diperoleh persamaan:
Selanjutnya peubah x diganti dengan y dan peubah y
diganti dengan x.
)
(
1
y
f
x 


68. Contoh:
Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi
Jawab:
Dengan demikian
atau
6
2
)
( 
 x
x
f
!
6
2
)
( 

 x
x
f
y
6
2 

 y
x
3
2
1


 y
x
3
2
1
)
(
1



y
y
f
3
2
1
)
(
1



x
x
f

69. Contoh:
Tentukan r5umus fungsi invers dari fungsi
Jawab:
3
1
,
1
3
5
2
)
( 



 x
x
x
x
f
1
3
5
2
)
(




x
x
x
f
y
5
2
)
1
3
( 


 x
x
y
5
2
3 


 x
y
yx
5
2
3 



 y
x
yx
5
)
2
3
( 



 y
x
y
2
3
5





y
y
x
y
y
x
3
2
5




y
y
y
f
3
2
5
)
(
1



 
x
x
x
f
3
2
5
)
(
1



 
Jadi fungsi invers dari fungsi
adalah
3
1
,
1
3
5
2
)
( 



 x
x
x
x
f
x
x
x
f
3
2
5
)
(
1





70. KOMPOSISI FUNGSI
 Misalkan g: A  B dan f: B  C.
Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g
adalah fungsi f ◦ g: A  C dengan
(f ◦ g)(x):= f(g(x)).
 Bila f: A  B dan g: D  E maka fungsi
komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.
⊂
SIFAT
(f o g)  (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif

71. Komposisi Fungsi
  
a
g
f 
A
 
 
a
g
f
 
a
g
 
a
g  
 
a
g
f
B C
Gambar

72. Contoh
Diberikan fungsi g = {(1,u),(2,v),(3,w)} yang memetakan A = {1,2,3}
ke B = {u,v,w} dan fungsi f = {(u,y),(v,x),(w,z)} yang menyatakan
B = {u,v,w} ke C = {y,x,z} .
Fungsi komposisi dari A ke C adalah
f o g = {(1,y),(2,x),(3,z)}
  
a
g
f 
A
 
 
a
g
f
 
a
g
 
a
g  
 
a
g
f
B C
1
2
3
w
v
u
z
x
y

73. Contoh
Diberikan fungsi f(x)= x-1 dan g(x) = x2+1 .
Tentukan fog dan gof.
(i) (f o g)(x)=f( g(x) )= f(x2+1)= x2+1-1= x2.
(ii) (g o f)(x)=g( f(x) )= g(x+1)= (x+1)2+1 = x2-2x+2

74. Contoh
Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11} dan
C = {27, 51, 66, 83}.
f: A B ditentukan dengan rumus dengan ditentukan oleh rumus .
Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:

75. Jika h fungsi dari A ke C sehinnga:
peta dari 2 adalah 27
peta dari 3 adalah 51
peta dari 4 adalah 66
peta dari 5 adalah 83
dan diagaram panahnya menjadi,

76. Contoh:
Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1.
Tentukan f  g dan g  f .
Penyelesaian
(i) (f  g)(x) = f(g(x))
= f(x2 + 1)
= x2 + 1 – 1
= x2.
(ii) (g  f)(x) = g(f(x))
= g(x – 1)
= (x –1)2 + 1
= x2 - 2x + 2.

77. Contoh
Diket f(x) = x² dan g(x) = x + 3 carilah (f o g)(2) dan (g o f)(2)!!!
Penyelesaian:
Untuk x = 2 maka f (2) = x² = 2² = 4
Untuk x =2 maka g (2) = x + 3 = 2 + 3 = 5
(f o g)(x)= f(g(x))
= f(x+3)
= (x+3)²
= x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(x²)
= x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) ingat g(2) = 5
= f (5)
= 5²
= 25
(g o f)(2) = g(f(2)) ingat f (2) = 4
= g(4)
= 4 + 3
= 7

78. Contoh
Diket f (x) = x2 + 2x – 3 dan g (x) = 3x – 4
Ditanya
a) Carilah rumus (f o g) (x) dan (g o f) (x)
b) Buktikan bahwa (f o g) (2) = f (g(2)) dan (g o f) (2) = g (f (2))
Penyelesaian:
Untuk x = 2 maka f (2) = x2 + 2x – 3
f (2) = 22 + 2.2 – 3
f (2) = 5
Untuk x =2 maka g (2) = 3x – 4
g (2) = 3.2 – 4
g (2) = 2
a) (f o g) (x) = f (g(x))
= f (3x – 4)
= (3x – 4)2 + 2 (3x – 4) – 3
= 9x2 – 24x + 16 + 6x – 8 – 3
= 9x2 – 18x + 5
(g o f) (x) = g (f(x))
= g (x2 + 2x – 3)
= 3(x2 + 2x – 3) – 4
= 3 x2 + 6x – 9 – 4
= 3 x2 + 6x – 13

79. b) (f o g) (2) = f (g (2)) ingat g (2) = 2
9x2 – 18x + 5 = f (2)
9x2 – 18x + 5 = x2 + 2x – 3
9.22 – 18.2 + 5 = 22 + 2.2 – 3
36 – 36 + 5 = 4 + 4 – 3
5 = 5
(g o f) (2) = g (f (2)) ingat f (2) = 5
3 x2 + 6x – 13 = g(5)
3 x2 + 6x – 13 = 3x – 4
3 .22 + 6.2 – 13 = 3.5 – 4
12 + 12 – 13 = 15 – 4
11 = 11
Terbukti

80. Contoh
Diket f (x) = x2 + 4 dan g (x) = 2x + 3
Ditanya
a) Carilah rumus (f o g) (x) dan (g o f) (x)
b) Buktikan bahwa (f o g) (3) = f (g(3)) dan (g o f) (3) = g
(f (3))
Penyelesaian:
Untuk x = 3 maka f (3) = x2 + 4 = 32 + 4 = 13
Untuk x = 3 maka g (3) = 2x + 3 = 2.3 + 3 = 9
a.) (f o g) (x) = f (g(x))
= f (2x + 3)
= (2x + 3)2 + 4
= 4x2 + 12x + 9 + 4
= 4x2 + 12x + 13
(g o f) (x) = g (f(x))
= g (x2 + 4)
= 2 (x2 + 4) + 3
= 2x2 + 8 + 3
= 2x2 + 11

81. b.) (f o g) (3) = f (g (3)) ingat g (3) = 9
4x2 + 12x + 13 = f (9)
4x2 + 12x + 13 = x2 + 4
4.32 + 12.3 + 13 = 92 + 4
36 + 36 + 13 = 81 + 4
85 = 85
(g o f) (3) = g (f (3)) ingat f (3) = 13
2x2 + 11 = g (13)
2x2 + 11 = 2x + 3
2.32 + 11 = 2.13 + 3
18 + 11 = 26 + 3
29 = 29
Terbukti

82. Contoh:
Diketahui f(x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:
(f o g)(x)
(g o f)(x)
Jawab:
a. (f o g)(x) = f (g(x))
= f(2x – 3)
= (2x – 3)2 + 1
= 4x2 – 12x + 9 + 1
= 4x2 – 12x + 10
b. (g o f)(x) = g (f(x))
= g(x2 + 1)
= 2(x2 + 1) – 3
= 2x2 - 1
Ternyata, Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.

83. Contoh
Diketahui dan ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan (f o
g)(x) = x2 + 6x + 7, maka tentukan g(x) !
Jawab :
f(x) = x + 3
(f o g)(x) = x2 + 6x + 7
f(g(x)) = x2 + 6x + 7
g(x) + 3 = x2 + 6x + 7
g(x) = x2 + 6x + 4

84. Contoh
Diketahui dan ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan (g o f)(x) = 4x2 +
12x + 6, maka tentukan g(x) .
Jawab : (g o f)(x) = 4x2 + 12x + 6
g(f(x)) = 4x2 + 12x + 6
g(2x + 4) = 4x2 + 12x + 6
Misal: 2x + 4 = p, maka
g(p) = + 12 ) + 6
g(p) = p2 – 8p + 16 + 6p – 24 + 6
g(p) = p2 – 2p – 2
Maka: g (x) = x2 – 2x – 2
Cara lain:
Jadi,
6
12
4
)
4
2
(
))
(
(
)
)(
( 2





 x
x
x
g
x
f
g
x
f
g 
2
)
4
2
(
2
)
4
2
( 2




 x
x
2
2
)
( 2


 x
x
x
g

85. Hubungan Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi
Misalkan h(x) adalah fungsi komposisi yang dapat
dibentuk dari fungsi f(x) dan fungsi g(x). Fungsi
h(x) kemungkinannya adalah
ii) h(x) = (fog)(x)
ii) h(x) = (gof)(x)
Diagram panahnya sbb:

86. Pertama
Jadi
)
)(
(
)
(
)
( 1
1
1
x
g
f
x
f
g 


 


87. Kedua
Jadi
)
)(
(
)
(
)
( 1
1
1
x
f
g
x
g
f 


 


88. Contoh:
Misalkan dan ditentukan dengan rumus
dan Tentukan
Jawab:
Cara 1:
Dicari terlebih dahulu selanjutnya dicari
R
R
f 
: R
R
g 
:
3
)
( 
 x
x
f .
2
5
)
( 
 x
x
g )
(
)
( 1
x
g
f 

)
)(
( x
g
f  )
(
)
( 1
x
g
f 

1
5
3
)
2
5
(
))
(
(
)
)(
( 




 x
x
x
g
f
x
g
f 
1
5 
 x
y
1
5 

 y
x
5
1
5
1


 y
x
Jadi
5
1
5
1
)
(
)
( 1



x
x
g
f 

89. Cara 2:
Dicari dan selanjutnya menggunakan rumus
)
(
1
x
f 
)
(
1
x
g 
)
)(
(
)
(
)
( 1
1
1
x
f
g
x
g
f 


 

3
)
( 
 x
x
f
3


 x
y
3


 y
x
3
)
(
1


 
x
x
f
2
5
)
( 
 x
x
g
2
5 

 x
y
5
2
5
1


 y
x
5
2
5
1
)
(
1


 
x
x
g
)
)(
(
)
(
)
( 1
1
1
x
f
g
x
g
f 


 

))
(
( 1
1
x
f
g 


5
2
)
3
(
5
1


 x
5
1
5
1

 x

90. Contoh:
Fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus:
dan
Carilah
Jawab;
Jadi
1
2
)
( 
 x
x
f
4
5
3
)
(



x
x
x
g
)!
(
)
( 1
x
f
g 

))
(
(
)
)(
( x
f
g
x
f
g 

4
1
2
5
)
1
2
(
3





x
x
3
2
8
6



x
x
3
2
8
6




x
x
y
8
6
3
2 


 x
y
yx
8
3
6
2 


 y
x
yx
8
3
)
6
2
( 


 y
x
y
6
2
8
3




y
y
x
6
2
8
3
)
(
)
( 1




x
x
x
f
g 

91. Latihan
1. Diket f (x) = x2 - 4 dan g (x) = 2x + 3
Ditanya
a) Carilah rumus (f o g) (x) dan (g o f) (x)
b) Buktikan bahwa (f o g) (2) = f (g(2)) dan (g o f) (2) = g (f
(2))
2. Diket f (x) = 2x2 - 2 dan g (x) = x - 3
Ditanya
a) Carilah rumus (f o g) (x) dan (g o f) (x)
b) Buktikan bahwa (f o g) (2) = f (g(2)) dan (g o f) (2) = g (f
(2))
3. Diket f (x) = x2 + 2 dan g (x) = 2x - 3
Ditanya
a) Carilah rumus (f o g) (x) dan (g o f) (x).
b) Buktikan bahwa (f o g) (3) = f (g(3)) dan (g o f) (3) = g (f
(3))

92. 4. Diket f (x) = 2x2 – 2, g (x) = x - 3 dan h (x) = x
Ditanya
a) Carilah rumus (f o g) (x) , (g o f) (x), (g o h) (x), dan
(h o f) (x).
a) Buktikan bahwa (f o g) (2) = f (g (2))
b) Buktikan bahwa (g o f) (2) = g (f (2))
c) Buktikan bahwa (g o h) (2) = g (h (2))
d) Buktikan bahwa (h o f) (2) = h (f (2))
5. Diketahui fungsi f(x) = 3x - 9, g(x) = , dan h(x) = 9x.
a) Carilah rumus (f o g) (x) , (g o f) (x), (g o h) (x),
dan (h o f) (x)
a) Buktikan bahwa ( f o g ) (3) = f( g (3))
b) Buktikan bahwa (g o h ) (3) = g ( h (3))
c) Buktikan bahwa ( g o f ) (3) = g( f- (3))
d) Buktikan bahwa ( h o f ) (3) = h ( f (3))

93. 5. Jika maka tentukan
6. Jika , maka tentukan
7. Jika dan , maka tentukan
8. . Jika dan , maka tentukan
1
2
5
)
(



x
x
x
f 

)
3
(
1
f
2
7
)
( 
 x
x
f 


)
1
(
1
x
f
3
2
)
( 
 x
x
f 10
6
)
)(
( 
 x
x
f
g  

)
(
1
x
g
3
8
10
)
)(
( 2


 x
x
x
g
f  4
2
)
( 
 x
x
g


)
(
1
x
f