2. Definisi
Misalkan (R, +, .) suatau gelanggang,maka (R,
+) adalah suatu grup komitatif, sehingga
semua sifat yang belaku dalam grup aditif (
Penjumlahan) berlaku pla dalam gelanggang.
Misalnya -(-a) = , ∀ a ∊ R; dan –(a + b) = (-a) + (-
b), ∀ a, b ∊ R. Oleh karena itu sifat-sifat seperti
itu dapat diterapkan dalam gelanggang.
4. Definisi
Suatu himpunan tak kosong R disebut suatu ring
jika di dalam R didefinisikan dua buah operasi
biner yang dilambangkan dengan + dan ⋅
sedemikian hingga untuk setiap a, b, c ∊ R
berlaku hal-hal berikut:
5. 1. a + b ∊ R [R bersifat tertutup terhadap operasi +]
2. a + b = b + a [Operasi + bersifat komutatif]
3. (a + b) + c = a + (b + c) [Sifat asosiatif operasi +]
4. Terdapat elemen 0 ∊ R sedemikian hingga a + 0 = a
untuk setiap a ∊ R [R memiliki unsur identitas
terhadap penjumlahan, dilambangkan dengan 0]
5. Untuk setiap a ∊ R terdapat elemen –a ∊ R sedemikian
hingga a + (-a) = 0 [Setiap anggota R memiliki invers
terhadap operasi +]
6. a ⋅ b ∊ R [R bersifat tertutup terhadap operasi ∙]
7. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c [Sifat asosiatif operasi ∙]
8. a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c dan (b + c) ⋅ a = b⋅ a + c⋅a
[Sifat distributif operasi ∙ terhadap +]
6. Ring R dengan operasi tambah (+) dan operasi kali ( ⋅ ) biasa
dilambangkan dengan (R,+,-). Jika (R,+,∙) suatu ring maka berlakulah
sifat-sifat berikut:
1. Hukum pencoretan: Jika a + b = a + c maka b = c dan jika a + b = c + b
maka a = c
2. Perkalian dengan nol: a∙ 0 = 0 dan 0∙ a = 0
3. Ketunggalan nol: Jika e ∊ R sedemikian hingga untuk setiap a ∊ R
berlaku a + e = a dan e + a = a maka e = 0. [0 adalah satu-satunya
unsur identitas terhadap penjumlahan di R.]
4. Ketunggalan unsur invers terhadap penjumlahan: Untuk setiap a ∊
R terdapat satu dan hanya satu –a ∊ R sedemikian hingga a + (-a) = 0
dan (-a) + a = 0.
5. a∙ (-b) = -(ab) dan (-a)∙ b = -(a ∙ b)
6. (-a) ∙ (-b) = a∙ b
7. –(-a) = a
