Dokumen menjelaskan tentang kombinasi linier vektor. Kombinasi linier adalah penjumlahan vektor yang diperoleh dengan mengalikan suatu skalar dengan vektor. Rentang vektor adalah himpunan semua kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut.

1. Definisi
Misalkan v1.v2,…,….vn adalah vector-vektor dalam
suatu ruang vector V. jumlah vektor-vektor
berbentuk 𝛼1v1 + 𝛼2v2,… +𝛼nvn. dimana 𝛼1…𝛼n.
adalah skalar-skalar yang disebut suatu
kombinasi linier. Dari v1,v2,...,…vn. himpunan
semua kombinasi linier dari v1,v2…,…vn. disebut
rentang (span) dari v1,…,…vn akan dinyatakan
dengan rentang (v1,…,…vn)
1

2. 𝛼1v1 + 𝛼2v2,… +𝛼nvn
Kondisi vektor
𝑣1
𝑣2
→ ∝ 𝑣1
𝑣2
∝𝑣1
∝𝑣2
∝ adalah skalarnya
Teorema
Jika v1.v2,…,….vn adalah elemen-elemen
dari suatu ruan vektor V, maka Rentang
(v1.v2,…,….vn ) adalah sebuah ruang
bagian dari V
Kombinasi linier diperoleh dari mengalihkan
matriks dengan skalar, dan dengan
menambahkannya bersama-sama.
2

3. Bukti
Misalkan 𝛽 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎𝑟 dan misalkan v = 𝛼1v1 + 𝛼2v2,… +𝛼nvn adalah sembarang
elemen dari rentang (v1.v2,…,….vn) karena.
𝛽𝒗 = 𝛽𝛼1 𝑣1 + 𝛽𝛼2 𝑣2 … = 𝛽𝛼 𝑛 𝑣 𝑛
Maka 𝛽𝒗 ∈ Rentang (v1.v2,…,….vn). Selanjutnya kita harus menunjukkan bahwa sembarang
jumlah elemen-elemen rentang ((v1.v2,…,….vn) juga berada di rentang ((v1.v2,…,….vn) ) 𝒗 =
𝛼1 𝑣1 + ⋯ 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 dan 𝒘 = 𝛽1 𝑣1 + ⋯ 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛
𝒗 + w = 𝛼1 + 𝛽1 𝑣1 + ⋯ 𝛼 𝑛 + 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛
Oleh karena itu rentang (v1.v2,…,….vn) adalah sebuah bagian V.
Artinya dapat diketahui kombinasi linier adalah linier (vektor) dari perkalian skalar.
3

4. Consol 1
Perhatikan soal dibawah ini! Apakah 𝑣 =
2
2
1
1
kombinasi linear dari 𝑢1 =
1
2
−1
1
dan u2 =
1
−1
2
2
?
Jawab :
Untuk menjawab pertanyaan ini kita harus memeriksa ada atau tidak adanya jawaban
dengan system persamaan linear. Dengan cara pada vektor
𝑢1 =
1
2
−1
1
u2 =
1
−1
2
2
𝑖
𝑗
k
l
= =
1 2
2 1
−1 2
1 2
s1
s2
=
2
2
1
1
yang akan kita lakukan dengan menggunakan eliminasi Gauss sebagai berikut :
a)
1 1 2
2 − 1 2
−1 2 1
1 2 1
→
B2 − 2B1
B3 + B1
B4 − B1
1 1 2
0 − 3 − 2
0 3 3
0 1 − 1
u1 u2
𝑢1 = 𝑖 + 2𝑗 + −𝑘 + 𝑙
𝑢2 = 𝑖 + −𝑗 + 2𝑘 + 2𝑙
4

5. •
→
B4 ↔ B2
1 1 2
0 1 − 1
0 3 3
0 − 3 − 2
→
1
6
B3
1
5
B4 +
1
6
B3
1 1 2
0 1 − 1
0 0 1
0 0 0
Jadi, system persamaan linear itu tak punya jawab, yang berarti v bukan
kombinasi linear dari u1 dan u2.
Apakah w=
1
8
−7
1
kombinasi linear dari u1 dan u2 pada butir a) ?
Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks lengkap system persamaan berikut
1 1 1
2 − 1 8
−1 2 − 7
1 2 1
→
B2 − 2B1
B3 + B1
B4 − B1
1 1 1
0 − 3 6
0 3 − 6
0 1 − 2
→
B2 ↔ B4
1 1 1
0 1 − 2
0 3 − 6
0 − 3 6
→
B3 − 3B2
B4 + 3B2
1 1 1
0 1 − 2
0 0 0
0 0 0
Sistem persamaan punya jawab karena unsure 1 terkiri tiap baris tak nol pada matriks
eselon tak ada yang terletak pada kolom terakhir. Jadi w kombinasi linear dari u1 dan
u2.
5

6. Consol 2
Tunjukkan u = (2,3,-1) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari W = { 𝑎1 = 1,0,1 , 𝑎2 = 0,1, −1 , 𝑎3 = 1,1, −1 }.
jawab
Akan dicari skalar-skalar 𝑘1, 𝑘2, 𝑑𝑎𝑛 𝑘3 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 ∶
𝒖 = 𝑘1 𝑎1 + 𝑘2 𝑎2 + 𝑘3 𝑎3.
(2,3,-1) = 𝑘1 1,0,1 + 𝑘2 0,1, −1 + 𝑘3(1,1, −1)
(2,3,-1) = 𝑘1, 0, 𝑘2 + 0, 𝑘2, − 𝑘2 + (𝑘3, 𝑘3, −𝑘3)
(2,3,-1) = (𝑘1 + 𝑘3, 𝑘2 + 𝑘3, 𝑘1 − 𝑘2 − 𝑘3)
Yang berarti membentuk sistem persamaan linear
2 = 𝑘1 + 𝑘3
3 = 𝑘2 + 𝑘3
-1 = 𝑘1 − 𝑘2 − 𝑘3
6

7. Dengan menggunakan eleminasi Gauss-jordan,sistem persamaan
linear ini akan diselesaikan sebagai berikut :
1 0 1 2
0 1 1 3
1 −1 −1 − 1
𝑏3 − 𝑏1 ~
1 0 1 2
0 1 1 3
0 −1 −2 − 3
𝑏3 − 𝑏2~
1 0 1 2
0 1 1 3
0 0 −1 0
𝑏1 + 𝑏3
𝑏2 + 𝑏3
~
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 −1 0
Jadi, 𝑘1 = 2, 𝑘2 = 3, dan 𝑘3 = 0 ,sehingga kombinasi
linear 2𝑎1 + 3𝑎2 + 0𝑎3
dari u adalah
U = 2𝑎1 + 3𝑎2 + 0𝑎3
7