Download luận văn thạc sĩ ngành giáo dục học với đề tài: Vận dụng quy trình mô hình hoá vào dạy học số tự nhiên ở tiểu học, cho các bạn làm luận văn tham khảo 50000172

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HOÀNG THỊ CẨM TRANG
VAÄN DUÏNG QUY TRÌNH MOÂ HÌNH HOÙA
VAØO DAÏY HOÏC SOÁ TÖÏ NHIEÂN ÔÛ TIEÅU HOÏC
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Huế, năm 2016

2. i
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HOÀNG THỊ CẨM TRANG
VAÄN DUÏNG QUY TRÌNH MOÂ HÌNH HOÙA
VAØO DAÏY HOÏC SOÁ TÖÏ NHIEÂN ÔÛ TIEÅU HOÏC
Chuyên ngành: GIÁO DỤC HỌC
Mã số: 60140101
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN HOÀI ANH
Huế, năm 2016

3. ii
LỜI CAM ĐOAN
Đề tài luận văn: “Vận dụng quy trình mô hình hoá vào dạy học số tự nhiên ở
tiểu học” được tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Hoài Anh. Tôi xin
cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu trong luận văn là trung thực, được các tác giả cho phép sử dụng và chưa
từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác./.
Huế, tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn
Hoàng Thị Cẩm Trang

4. iii
Với tình cảm chân thành, tác giả luận văn bày tỏ lòng biết ơn tới TS. Nguyễn
Hoài Anh - Người đã tận tụy giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình nghiên cứu đề tài.
Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học Giáo dục học
(Giáo dục tiểu học) khóa K23 đã bổ sung cho chúng tôi những kiến thức và bài học
vô cùng quý báu về công tác giáo dục, giảng dạy ở tiểu học.
Cảm ơn quý Thầy Cô giáo trong khoa Giáo dục tiểu học –Trường Đại học Sư
phạm Huế, quý Thầy Cô phòng Đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Xin gửi lời cảm ơn tới các giáo viên và học sinh lớp 1, 2, 3, 4 của ba trường
Tiểu học Tân Liên, Số 2 Khe Sanh, Tân Lập (huyện Hướng Hoá, tỉnh Quảng Trị) đã
phối hợp cung cấp nhiều thông tin cần thiết và tạo điều kiện cho tác giả luận văn tổ
chức khảo sát thực trạng và thực nghiệm sư phạm.
Xin chân thành cảm ơn!
Huế, tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn
Hoàng Thị Cẩm Trang
iii

5. 1
MỤC LỤC
Trang phụ bìa .............................................................................................................. i
Lời cam đoan.............................................................................................................. ii
Lời cảm ơn ................................................................................................................ iii
Mục lục........................................................................................................................1
Danh mục các chữ viết tắt...........................................................................................4
Danh mục các bảng, sơ đồ ..........................................................................................5
Danh mục các hình......................................................................................................6
PHẦN MỞ ĐẦU........................................................................................................8
1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................................8
2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề.................................................................................10
3. Mục đích nghiên cứu .........................................................................................13
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.........................................................................................13
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .....................................................................13
6. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................14
7. Giả thuyết khoa học...........................................................................................14
8. Ý nghĩa của luận văn .........................................................................................14
9. Cấu trúc đề tài....................................................................................................15
PHẦN NỘI DUNG CHÍNH....................................................................................16
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU....16
1.1. Khái quát về mô hình hoá toán học ................................................................16
1.1.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của mô hình hoá toán học..16
1.1.2. Những khái niệm cơ bản về mô hình hóa toán học................................18
1.1.3. Quy trình thực hiện mô hình hóa toán học.............................................20
1.1.4. Đặc trưng của mô hình hoá toán học......................................................24
1.1.5. Vai trò của mô hình hóa toán học trong dạy học....................................27
1.2. Nội dung dạy học số tự nhiên trong chương trình môn Toán ở Tiểu học ......29
1.2.1. Mục tiêu dạy học số tự nhiên ở tiểu học.................................................29
1.2.2. Nội dung dạy học số tự nhiên trong chương trình môn Toán ở tiểu học30
1.2.3. Đặc điểm cấu trúc, nội dung số tự nhiên................................................35

6. 2
1.2.4. Thuận lợi và khó khăn khi sử dụng mô hình hoá toán học vào dạy học
nội dung số tự nhiên ở tiểu học...............................................................36
1.3. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học với việc tiếp cận mô hình hoá toán
học..........................................................................................................................39
1.4. Thực trạng sử dụng mô hình hoá toán học trong dạy học số tự nhiên ở tiểu học..39
1.4.1. Mục đích khảo sát...................................................................................39
1.4.2. Nhiệm vụ khảo sát thực trạng.................................................................40
1.4.3. Nội dung khảo sát...................................................................................40
1.4.4. Đối tượng và phạm vi khảo sát...............................................................41
1.4.5. Kết quả khảo sát .....................................................................................42
1.4.5. Nhận xét, đánh giá kết quả khảo sát.......................................................44
1.5. Tiểu kết chương 1 ...........................................................................................45
Chương 2. VẬN DỤNG QUY TRÌNH MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC VÀO
DẠY HỌC SỐ TỰ NHIÊN Ở TIỂU HỌC............................................................47
2.1. Định hướng vận dụng mô hình hoá toán học trong dạy học toán ở tiểu học..47
2.1.1. Vận dụng mô hình hoá toán học trong dạy học toán ở tiểu học phải phù
hợp mục tiêu, nội dung chương trình sách giáo khoa.............................47
2.1.2. Vận dụng mô hình hoá toán học trong dạy học toán ở tiểu học phù hợp
với trình độ nhận thức của học sinh tiểu học..........................................48
2.1.3. Vận dụng mô hình hoá toán học trong dạy học toán ở tiểu học phù hợp
với quy trình mô hình hoá toán học........................................................48
2.1.4. Vận dụng mô hình hoá toán học trong dạy học toán ở tiểu học đảm bảo
phát triển năng lực toán học cho học sinh đặc biệt là năng lực mô hình
hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.......................49
2.1.5. Vận dụng mô hình hoá toán học trong dạy học toán ở tiểu học đáp ứng
yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học...................................................50
2.2. Quy trình vận dụng mô hình hoá toán học vào dạy học số tự nhiên ở tiểu học....50
2.3. Một số ví dụ minh hoạ....................................................................................54
2.3.1. Ví dụ về dạy học khái niệm số tự nhiên: Các số 1, 2, 3 ở lớp 1.............54
2.3.2. Dạy học bài: Tính chất giao hoán của phép nhân ở lớp 4 ....................56

7. 3
2.3.3. Dạy học các phép toán trên các số tự nhiên ...........................................58
2.3.4. Dạy bài: Bài toán về nhiều hơn ở lớp 2..................................................66
2.4. Tiểu kết chương 2 ...........................................................................................68
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..............................................................70
3.1. Mục tiêu thực nghiệm sư phạm ......................................................................70
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm......................................................................70
3.3. Tiến hành thực nghiệm sư phạm.....................................................................78
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm........................................................................79
3.4.1. Kết quả từ việc dạy thực nghiệm các tình huống mô hình hoá ..............79
3.4.2. Kết quả thu được từ việc khảo sát lấy ý kiến của giáo viên về quy trình
vận dụng mô hình hoá toán học trong dạy học số tự nhiên ở tiểu học ...87
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .........................................................88
3.6. Tiểu kết chương 3 ...........................................................................................89
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................90
1. Kết luận..............................................................................................................90
2. Kiến nghị............................................................................................................90
CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI..............................92
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................93
PHỤ LỤC

8. 4
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt Viết đầy đủ
GV Giáo viên
HS Học sinh
MHH Mô hình hóa
MHHTH Mô hình hóa toán học
CNTT Công nghệ thông tin

9. 5
DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ
Sơ đồ 1.1. Quy trình MHHTH theo Swetz và Hartzler ............................................21
Sơ đồ 1.2. Quy trình MHHTH theo Kaiser...............................................................21
Sơ đồ 1.3. Quá trình MHH theo Stillman và Galbraith (2006) ................................22
Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa toán học theo PISA ............................................23
Bảng 1.1. Nội dung dạy học số tự nhiên lớp 1 .........................................................30
Bảng 1.2. Nội dung dạy học số tự nhiên lớp 2 .........................................................31
Bảng 1.3. Nội dung dạy học số tự nhiên lớp 3 .........................................................32
Bảng 1.4. Nội dung dạy học số tự nhiên lớp 4 .........................................................34
Bảng 1.5....................................................................................................................43
Bảng 1.6....................................................................................................................43
Bảng 3.1....................................................................................................................88

10. 6
DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1 ....................................................................................................................20
Hình 1.2 ....................................................................................................................25
Hình 1.3 ....................................................................................................................25
Hình 1.4 ....................................................................................................................37
Hình 2.1 ....................................................................................................................55
Hình 2.2 ....................................................................................................................56
Hình 2.3 ....................................................................................................................56
Hình 2.4 ....................................................................................................................56
Hình 2.5 ....................................................................................................................57
Hình 2.6 ....................................................................................................................57
Hình 2.7 ..................................................................................................................63
Hình 2.8 ....................................................................................................................59
Hình 2.9 ....................................................................................................................61
Hình 2.10. Mô hình que tính ....................................................................................62
Hình 2.11 ..................................................................................................................63
Hình 2.12 ..................................................................................................................65
Hình 2.13 ..................................................................................................................67
Hình 3.1 ....................................................................................................................71
Hình 3.2. Mô hình que tính ......................................................................................73
Hình 3.3 ....................................................................................................................74
Hình 3.4 ....................................................................................................................74
Hình 3.5 ....................................................................................................................77
Hình 3.6 ....................................................................................................................77
Hình 3.7 ....................................................................................................................80
Hình 3.8. GV đang hướng dẫn HS phân tích bài toán..............................................80
Hình 3.9 ....................................................................................................................81
Hình 3.10 ..................................................................................................................81
Hình 3.11. Mô hình que tính ....................................................................................81
Hình 3.12 ..................................................................................................................82

11. 7
Hình 3.13 ..................................................................................................................82
Hình 3.14 ..................................................................................................................83
Hình 3.15 ..................................................................................................................83
Hình 3.16. GV hướng dẫn HS giải quyết vấn đề......................................................83
Hình 3.17 ..................................................................................................................84
Hình 3.18. GV đang hướng dẫn HS thực hiện .........................................................85
Hình 3.19. Các nhóm thực hiện................................................................................86
Hình 3.20. Học sinh thực hiện..................................................................................86

12. 8
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong sự mở cửa và hội nhập quốc tế hiện nay đặt ra những yêu cầu thách
thức lớn cho nền giáo dục Việt Nam. Tại hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung
ương khóa XI đã ra Nghị quyết số 29 về “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và
đào tạo”. Một trong những định hướng đổi mới cơ bản đó là: Phát triển giáo dục và
đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá
trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và
phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà
trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội [2]. Vì vậy, Đảng và Nhà
nước ta đã giành nhiều sự quan tâm và đầu tư cho sự phát triển của giáo dục nước
nhà. Đặc biệt, Tiểu học là cấp học nền tảng trong hệ thống giáo dục quốc dân; mục
tiêu Giáo dục Tiểu học là tập trung hình thành “năng lực công dân; năng lực thực
hành và vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.
Môn Toán là môn học chiếm một vị trí rất quan trọng và then chốt trong nội
dung chương trình các môn học cấp Tiểu học. Các kiến thức, kĩ năng của môn Toán
ở tiểu học có nhiều ứng dụng trong đời sống, chúng rất cần cho người lao động, rất
cần thiết để học các môn học khác và các lớp trên. Mục tiêu của môn Toán ở tiểu
học nhằm giúp HS hình thành vững chắc kĩ năng cơ bản ban đầu về số học, các đại
lượng thông dụng; một số yếu tố hình học và thống kê đơn giản. Hình thành kĩ năng
thực hành tính, đo lường, giải toán làm cơ sở để học tiếp ở cấp Trung học và có thể
vận dụng các kiến thức, kĩ năng đó vào giải quyết các bài toán thực tiễn; có hứng
thú học toán, rèn luyện các phẩm chất của người lao động hiện đại như làm việc có
kế hoạch, khoa học, kỉ luật, kiên trì, sáng tạo,...
Nhận thức được tầm quan trọng của toán học với thế giới thực tại và theo quan
điểm tiếp cận hiện nay, chương trình môn Toán tiểu học được xây dựng theo hướng
tiếp cận năng lực, thể hiện tinh thần phát triển năng lực toán học cho HS tiểu học.
Từ đó các nhà giáo dục tập trung vào nghiên cứu dạy học toán theo hướng giải
quyết các vấn đề thực tế thông qua quá trình MHHTH. Vận dụng MHHTH vào dạy
học là một bước tiến vượt bậc trong đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. MHH

13. 9
là quá trình xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễn đạt và mô tả các
bài toán thực tế. Vì vậy, tích hợp các tình huống thực tế hàng ngày vào các tình
huống dạy học trên lớp học đóng vai trò rất quan trọng, với mục đích cho HS thấy
tính ứng dụng thực tiễn của toán học. Do đó, với tri thức toán học, GV có thể sử
dụng mô hình để giải thích và giúp HS hiểu về các hiện tượng trong thực tế cuộc
sống. Nhờ vậy mà HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Ngoài ra, sử
dụng phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển các kỹ năng toán học,
đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải
quyết vấn đề có hiệu quả hơn. Hơn nữa, phương pháp này giúp việc học toán của
học sinh trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố
toán học trong thực tiễn. Năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực tiễn cũng
được quan tâm khi sử dụng phương pháp này bởi các giai đoạn của quá trình MHH
giúp rèn luyện các thao tác tư duy toán học như phân tích và tổng hợp, trừu tượng
hóa và khái quát hóa…
Số học là nội dung trọng tâm và hạt nhân của chương trình môn Toán ở tiểu
học. Phần số học về số tự nhiên chiếm một khối lượng và thời lượng khá lớn trong
toàn bộ cấu trúc nội dung chương trình môn Toán ở tiểu học, nó xuyên suốt từ ngay
buổi đầu lớp 1 cho đến hết cấp Tiểu học. Mặt khác, số tự nhiên là một thành tựu
toán học lâu đời nhất của loài người. Số tự nhiên được sử dụng ở mọi lúc, mọi nơi,
mọi đối tượng của đời sống xã hội: trong giao dịch, mua bán, thư tín, điện thoại,...
Khi xã hội ngày càng phát triển thì nhu cầu đó càng tăng nhanh. Đặc biệt là đối với
HS tiểu học, số tự nhiên càng có vai trò quan trọng trong quá trình tìm tòi và khám
phá tri thức của nhân loại.
Trong thực tế dạy học hiện nay, bên cạnh những thành tựu đáng ghi nhận thì
vẫn còn tồn tại những mặt hạn chế nhất định. Trong dạy học vẫn còn xu hướng
thiên về “lý thuyết”, coi trọng việc “nâng cao” hơn là tăng cường “tính ứng dụng”.
GV chỉ quan tâm đến việc truyền đạt cho hết những kiến thức đã quy định trong
chương trình và sách giáo khoa cho HS mà xem nhẹ việc dạy cho các em cách thực
hành, cách vận dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn. Đây là một trong những
nguyên nhân tạo ra sự nặng nề, quá tải, dạy học ít gắn bó với thực tiễn. Chương

14. 10
trình dạy học được thiết kế theo logic nội dung của môn học, chú trọng trước hết hệ
thống kiến thức lý thuyết, sự phát triển tuần tự các khái niệm, định luật, học thuyết.
Chưa chú trọng các kỹ năng thực hành vận dụng lý thuyết, năng lực phát hiện và
giải quyết các vấn đề gắn với đời sống thực tiễn của người học. Trong dạy học, một
bộ phận GV vẫn theo lề lối cũ “thầy truyền đạt, trò tiếp nhận, ghi nhớ”. GV cung
cấp cho HS khối lượng kiến thức lớn một cách khô cứng và bắt HS phải ghi nhớ
máy móc. Và một vấn đề đáng lưu tâm hàng đầu trong dạy học toán hiện nay, đó là,
sự thu nhận những năng lực áp dụng toán học vào đời sống thường ngày của người
học. Nhiều HS có thể giải bài toán với các kỹ thuật phức tạp nhưng rất lúng túng khi
đứng trước một vấn đề thực tế cần áp dụng toán học vào để giải quyết.
Do đó, dạy học toán nên quan tâm đến những tình huống xuất phát từ thực tế
giúp HS thấy được mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống cũng như đạt được
những năng lực cho phép giải quyết các vấn đề thực tế bằng công cụ toán học. Việc
lựa chọn phương pháp sử dụng MHHTH vào dạy học số tự nhiên ở tiểu học sẽ góp
phần làm cho giờ học toán sinh động hơn, thực tế hơn và mang tính ứng dụng hơn.
Nó sẽ khơi dậy ở HS động cơ học tập, tăng hiệu quả dạy học toán ở tiểu học. Xuất
phát từ những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Vận dụng quy trình mô hình hóa
vào dạy học số tự nhiên ở tiểu học”.
2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Những thập kỷ gần đây, MHHTH trong nhà trường ngày càng được thúc đẩy
nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng thực tế. Hiểu được
tầm quan trọng này, nhiều nhà nghiên cứu trong nước và trên thế giới đã tiến hành
tìm hiểu về vai trò của MHHTH trong dạy học. Cụ thể:
a) Các nghiên cứu ở nước ngoài
Mason và Davis (1991) cho rằng mô hình được mô tả như một vật dùng thay
thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông
qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không
cần đến vật thật [27].
Tuy nhiên, các nghiên cứu của Swetz, Hartzler (1991) và Verschaffel (2002)
lại cho thấy điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối

15. 11
cảnh áp dụng của mô hình đó. Mô hình ở đây còn có thể hiểu là các hình vẽ, bảng
biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các
mô hình ảo trên máy vi tính (Van Den Heuvel-Panhuizen, 2003; Van de Walle,
2004). Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để
mô tả về một hệ thống nào đó.
Bassanezi và Biembengut (1999) cho rằng, trong dạy học toán, MHH có liên
hệ với các dự án học tập, GV có thể chia HS thành các nhóm nhỏ có cùng mối quan
tâm để tìm hiểu, khám phá thế giới bằng phương tiện toán học, với sự hướng dẫn
của GV [23].
Kaiser, Messmer (1991) đã gợi ý hai hướng khai thác MHHTH. Thứ nhất, mô
hình toán học được sử dụng để hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như một
phương tiện để dạy và học toán ở trường phổ thông. Thứ hai, mô hình toán học
được dùng để phục vụ nghiên cứu khoa học. Tuy nhiên, có nhiều nghiên cứu tập
trung khai thác theo hướng thứ nhất.
Barbosa (2002) cho rằng mô hình toán học đóng vai trò quan trọng trong dạy
học toán. MHHTH là môi trường để học sinh tìm hiểu, khám phá các kiến thức toán
học cũng như các kiến thức liên môn khác.
MHH trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình
huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ
thông tin. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân
tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. MHH cũng cho thấy mối
quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáo khoa dưới góc nhìn của toán
học. Các nghiên cứu của Mason, Davis (1991) và Niss (1989) cho rằng, ở trường
phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn, tạo
động cơ và niềm say mê học toán [27].
Các nghiên cứu (Abdulhamid, 2008; Kaur, Dindyal, 2010; Velten, 2009; Leth,
Galbraith, Haines, Hurford, 2010; Khine, Saleh, 2011) chỉ ra rằng, vấn đề làm rõ
mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn sẽ giúp GV kiến tạo các tình huống và hoạt
động học tập mang tích cực hơn cho HS.

16. 12
b) Các nghiên cứu ở trong nước
Tại Việt Nam, vận dụng phương pháp MHH vẫn còn khá mới mẻ đối với GV
khi dạy học môn Toán. Chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc vận dụng
MHHTH trong dạy và học toán ở nhà trường phổ thông đặc biệt là ở trường tiểu
học. Một số nghiên cứu bước đầu của các tác giả trong các công trình nghiên cứu
dưới đây thể hiện sự đóng góp vào sự phát triển của toán học nói chung và MHHTH
nói riêng.
Tác giả Trần Dũng, Nguyễn Thị Tân An (2009) trong bài báo Sử dụng mô
hình hoá toán học trong việc dạy học toán cho rằng: Toán học là con đường tư duy
có hệ thống, sản sinh ra những giải pháp cho những vấn đề bằng cách MHH các tình
huống trong cuộc sống. Sử dụng MHHTH trong việc dạy học góp phần giải quyết
những khó khăn trong việc dạy học toán [4].
Tác giả Nguyễn Danh Nam (2012) với đề tài: Vận dụng phương pháp mô hình
hóa trong dạy học nhằm đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ
thông trung học, chỉ ra rằng, phương pháp MHHTH nâng cao tinh thần hợp tác
trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin cho HS thông qua trao đổi nhóm, sử
dụng phần mềm dạy học hỗ trợ quá trình giải quyết vấn đề, MHHTH và cải tiến mô
hình cho phù hợp với thực tiễn. Qua đó, tăng cường tính liên môn trong học tập các
môn như Địa lý, Khoa học, Lịch sử, Môi trường. Trong nghiên cứu này, tác giả
cũng chỉ ra việc sử dụng phương pháp MHHTH trong dạy học một số tình huống
như: tạo tình huống có vấn đề, làm sáng tỏ một số yếu tố của toán học trong thực
tiễn và hiểu được ý nghĩa của các số liệu thống kê từ thực tiễn. Những kết quả này
sẽ là cơ sở cho những nghiên cứu tiếp theo về khả năng vận dụng phương pháp
MHH trong dạy học toán ở các trường phổ thông hiện nay, đặc biệt là tiếp cận
hướng tăng cường đưa các bài toán thực tiễn vào chương trình sách giáo khoa mới
sau 2015 [19].
Tác giả Nguyễn Thị Tân An với bài báo Sự cần thiết của mô hình hóa trong
dạy học toán đã nêu: MHHTH sẽ là cầu nối các suy luận trong lớp học và những
suy luận trong những tình huống thực tế. Bài báo trình bày sự cần thiết của MHH
trong dạy học toán nói chung và dạy toán bậc THPT nói riêng [1].

17. 13
Tác giả Lê Thị Thùy Liên với đề tài nghiên cứu: Sử dụng mô hình hóa trong
dạy học các yếu tố hình học lớp 4, 5, cho rằng, trong dạy học toán hiện nay, việc sử
dụng MHHTH mang lại hiệu quả dạy học cao đặc biệt là khi áp dụng vào giảng dạy
các yếu tố hình học. Việc sử dụng MHHTH được xem như là một trong những giải
pháp hữu hiệu trong việc tìm ra một lối đi đúng đắn cho việc nâng cao hiệu quả học
tập nội dung các yếu tố hình học ở nhà trường tiểu học [18].
Mặc dù đã có những nghiên cứu về vận dụng MHHTH vào dạy học toán ở tiểu
học nhưng nghiên cứu vận dụng quy trình MHH vào dạy học số tự nhiên ở tiểu học
vẫn đang còn là một vấn đề mới và chưa được nghiên cứu sâu ở nước ta. Với đề tài
Vận dụng quy trình MHH vào dạy học số tự nhiên ở tiểu học, chúng tôi hi vọng sẽ
góp phần mang đến những nghiên cứu rõ ràng hơn về việc vận dụng quy trình MHH
trong quá trình dạy học số tự nhiên ở tiểu học.
3. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lí luận về MHHTH, đề tài nhằm xác định một quy trình
MHHTH cụ thể từ đó vận dụng vào dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học nhằm góp
phần thực hiện định hướng đổi mới chương trình sách giáo khoa sau năm 2015.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã được nêu ở trên, chúng tôi xác định nhiệm vụ
nghiên cứu như sau:
- Tìm hiểu những vấn đề lí luận về MHHTH và khả năng tiếp cận, vận dụng
MHHTH vào dạy học toán ở tiểu học.
- Phân tích đặc điểm nhận thức của HS tiểu học với việc tiếp cận MHHTH.
- Khảo sát thực trạng việc sử dụng MHHTH vào dạy học số tự nhiên ở tiểu
học hiện nay đối với GV và HS.
- Xây dựng quy trình MHHTH phù hợp với thực tiễn dạy học chủ đề số tự
nhiên nói chung, dạy học môn Toán nói riêng ở cấp Tiểu học.
- Triển khai thực nghiệm sư phạm nhằm khẳng định tính khả thi của quy trình
được đề xuất.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu
Quy trình MHHTH và việc vận dụng vào dạy học số tự nhiên ở tiểu học.
b) Phạm vi nghiên cứu
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu quy trình vận
dụng MHHTH vào dạy học số tự nhiên ở các lớp 1, 2, 3, 4.

18. 14
6. Phương pháp nghiên cứu
Để tiến hành nghiên cứu đề tài, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng
hợp, hệ thống hóa, khái quát hóa hệ thống lý luận nhằm tìm hiểu cơ sở lý luận về
MHHTH và việc sử dụng MHHTH trong dạy học số tự nhiên ở tiểu học.
- Phương pháp quan sát: Dự giờ, thăm lớp, theo dõi thực trạng dạy học số tự
nhiên cũng như việc sử dụng MHHTH trong quá trình dạy học ở tiểu học.
- Phương pháp điều tra khảo sát: Tìm hiểu, thiết kế, rút ra nhận xét thông qua
mẫu phiếu điều tra, bảng hỏi.
- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: Phỏng vấn các nhà giáo dục, giảng viên
đại học, GV có kinh nghiệm ở tiểu học để tìm hiểu những vấn đề lí luận và thực tiễn
về MHHTH ở tiểu học.
- Phương pháp thống kê toán học: Xử lý số liệu điều tra khảo sát.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Dạy thực nghiệm một số tiết về số tự
nhiên ở các lớp 1, 2, 3, 4 tại ba trường tiểu học trên địa bàn tỉnh Quảng Trị.
7. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một quy trình MHHTH phù hợp với thực tiễn dạy học chủ
đề số tự nhiên trong chương trình môn Toán ở tiểu học có hiệu quả thì sẽ tạo ra
những hỗ trợ tích cực cho GV và HS trong quá trình dạy học số tự nhiên, góp phần
phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho HS, qua đó góp phần thực
hiện định hướng đổi mới chương trình sách giáo khoa sau năm 2015.
8. Ý nghĩa của luận văn
a) Ý nghĩa về mặt lí luận
- Khẳng định được sự cần thiết phải tiếp cận và vận dụng MHHTH trong dạy
học ở Tiểu học.
- Xác định được quy trình MHHTH phù hợp với thực tiễn dạy học chủ đề số tự
nhiên ở tiểu học nói riêng, dạy học môn Toán ở tiểu học nói chung.
b) Về mặt thực tiễn
- Đánh giá được thực trạng việc tiếp cận và vận dụng MHHTH trong dạy học
ở tiểu học.
- Xây dựng được các tình huống cụ thể trong dạy học chủ đề số tự nhiên theo
quy trình MHH được xác định.

19. 15
9. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Phụ lục; Nội dung chính
của luận văn được chia thành 3 chương như sau:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
Chương 2: Vận dụng quy trình mô hình hóa toán học vào dạy học số tự nhiên
ở tiểu học.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

20. 16
PHẦN NỘI DUNG CHÍNH
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Khái quát về mô hình hoá toán học
1.1.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của mô hình hoá toán học
MHHTH trong giáo dục chính thức xuất hiện đầu tiên tại hội nghị của
Freudenthal (1968) ([26]), ở đây các nhà giáo dục toán đã thảo luận và đưa ra nhiều
vấn đề liên quan đến MHH: “Tại sao phải dạy toán để có ích (Freudenthal)? Tại sao
nhiều HS không thể sử dụng kiến thức toán đã học để giải quyết các vấn đề thực tế
mặc dù đạt được chứng chỉ xuất sắc về môn học này (Siller)? Dạy toán là phải dạy
sao cho HS có thể áp dụng toán vào những tình huống đơn giản của cuộc sống
(Klamkin)...”[26].
Ý tưởng về sử dụng MHH trong dạy học được đề xuất Aristides C. Barreto từ
giữa những năm 70 của thế kỉ trước. Theo ông: “MHH là quá trình tạo ra các mô
hình để giải quyết các vấn đề toán học”[23]. Mô hình toán học được xây dựng bằng
cách phiên dịch các vấn đề từ thực tiễn, bằng phương tiện ngôn ngữ viết sang
phương tiện ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu hay nói cách khác, MHH là bỏ đi các tính
chất không bản chất của vấn đề và được trình bày dưới dạng ngôn ngữ toán học.
Mối liên hệ giữa toán và MHH tiếp tục được đề cập đến tại hội nghị các nước
nói tiếng Đức (1977) – bao gồm các thảo luận về những khía cạnh của toán học ứng
dụng trong giáo dục. Các nhà nghiên cứu đều đồng tình về vai trò, tầm quan trọng
của MHHTH nhưng vẫn còn tranh luận là làm thế nào để tích hợp MHHTH này vào
trong quá trình dạy học. Họ đưa ra nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau để thảo
luận và vẫn còn thiếu bằng chứng thực nghiệm về ảnh hưởng của việc tích hợp mô
hình ví dụ vào thực tế.
Trong thế kỉ XIX, các nhà giáo dục toán học nổi tiếng đã đặt ra yêu cầu là đưa
vấn đề ngữ cảnh vào trong toán học, chủ yếu là ở các trường tiểu học với quy mô
rộng lớn. Bước sang thế kỉ XX, Felix Klenin - Giám đốc của ICMI [23], nói về sự
cần thiết của các ứng dụng MHH trong giáo dục toán học cho trẻ em. Tuy nhiên,
ông yêu cầu một sự cân bằng mạnh mẽ giữa các ứng dụng và toán học thuần túy.

21. 17
Một dấu mốc quan trọng trong việc giới thiệu MHHTH vào nhà trường là
nghiên cứu năm 1979 của Pollak về: Ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác
ở nhà trường. Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho HS cách sử
dụng toán trong cuộc sống hàng ngày.
Gần 20 năm trước, trong buổi thảo luận, Kaiser, Messer (1986, p. 83) đã đưa
ra những ứng dụng và MHH với những quan điểm khác nhau, cụ thể có 2 xu hướng
chính sau đây:
+ Một là, quan điểm thực dụng, tập trung vào khả năng của người học áp dụng
toán học để giải quyết các vấn đề thực tế. Henry Pollar có thể được xem như là một
nhà nghiên cứu tiêu biểu về quan điểm này.
+ Hai là, quan điểm khoa học nhân văn, tập trung vào khả năng của người học
tạo ra sự tương đối giữa toán học và thực tiễn. Han Freudenthal được xem là nhà
nghiên cứu tiêu biểu của phương pháp này.
Từ đó, dạy và học theo MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật
trên phạm vi toàn cầu. Ví dụ, nghiên cứu của PISA, chương trình đánh giá HS quốc
tế (Programme for International Student Assessment) nhấn mạnh mục đích của giáo
dục toán là phát triển khả năng HS sử dụng toán trong cuộc sống hiện tại và tương
lai. Hội nghị quốc tế về dạy MHH và áp dụng toán ICTMA (International
Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications) tổ chức
2 năm một lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng và MHH trong tất cả các lĩnh vực
của giáo dục toán. Xu hướng đưa MHHTH vào chương trình, sách giáo khoa với
các mức độ khác nhau ngày càng gia tăng. Chẳng hạn ở Đức, Hà Lan, Úc, Mĩ,
MHHTH là một trong những năng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn
toán. Ở Singapore, MHHTH được đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục
đích nhấn mạnh tầm quan trọng của MHH trong việc học toán cũng như đáp ứng
các thách thức của thế kỉ XXI...
Các nhiệm vụ MHHTH thường yêu cầu HS phát triển một mô hình của mình
và khám phá để đáp ứng những yêu cầu nào đó, cung cấp cơ hội để HS phát triển kĩ
năng giải quyết vấn đề và khảo sát toán.

22. 18
1.1.2. Những khái niệm cơ bản về mô hình hóa toán học
1.1.2.1. Khái niệm mô hình
Theo Từ điển Tiếng Việt [5], mô hình là vật cùng hình dạng nhưng được làm
thu nhỏ lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác để tiện trình
bày, nghiên cứu.
Frank Swetz (1991) [26] định nghĩa mô hình là một mẫu, một kế hoạch, một
đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một đối
tượng, một hệ thống hay một khái niệm.
Mô hình theo ý nghĩa vật lí của nó, đó là bản sao, thường thì nhỏ hơn của một
đối tượng. Mô hình đó có cùng nhiều tính chất với đối tượng gốc: nó có cùng những
điểm đặc trưng, có thể là màu sắc thậm chí cả chức năng với đối tượng mà mô hình
đó biểu diễn. Một mô hình lí thuyết của một sự vật hiện tượng là một tập hợp các
quy tắc biểu diễn sự vật hiện tượng đó trong đầu của người quan sát.
Như vậy có thể nhận thấy, mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà
qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua
mô hình ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần
đến vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình
và bối cảnh áp dụng của mô hình đó [16].
Mô hình sử dụng trong dạy học toán là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn
ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó.
Ở đây, chúng tôi hiểu rằng mô hình sử dụng trong dạy học toán có thể là hình
vẽ, biểu đồ, bảng biểu, sơ đồ, phương trình, hệ phương trình, biểu tượng hay mô
hình ảo trên máy tính điện tử.
1.1.2.2. Khái niệm mô hình toán học
Theo Từ điển bách khoa Việt Nam [16], một mô hình toán học là một mô hình
trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán để mô tả về một hệ thống.
Theo Eykhoff (1974) định nghĩa một mô hình toán học là “một biểu diễn cho
các phần quan trọng của một hệ thống có sẵn (hoặc sắp được xây dựng) với mục
đích biểu diễn tri thức về hệ thống đó dưới một dạng có thể dùng được”[23].

23. 19
Mô hình toán học: là một mô hình biểu diễn toán học của những mặt chủ yếu
của một nguyên bản theo một nhiệm vụ nào đó, trong phạm vi giới hạn, với một độ
chính xác vừa đủ và trong dạng thích hợp cho sử dụng [1,tr. 115].
Hay hiểu một cách cụ thể hơn, mô hình toán học là các công thức để tính toán
các quá trình hoá học, vật lý, sinh học,… được mô phỏng từ hệ thống thực.
Như vậy, chúng tôi cho rằng mô hình toán học được hiểu là sử dụng công cụ
toán học để thể hiện nó dưới dạng của ngôn ngữ toán học. Do đó, mô hình toán học
là một cấu trúc toán học mô tả gần đúng đặc trưng của hiện tượng đó.
1.1.2.3. Khái niệm mô hình hoá toán học
Theo Từ điển bách khoa Việt Nam [16], MHHTH là sự giải thích toán học cho
một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người
ta đặt ra trên hệ thống này.
Có rất nhiều định nghĩa, mô tả về khái niệm MHHTH. “Một nhiệm vụ đòi hỏi
chuyển đổi giữa thực tế và toán học được gọi là mô hình hoá toán học” [24]. Nói
một cách ngắn gọn thì: “Mô hình hoá toán học là quá trình giải quyết những vấn đề
thực tế bằng công cụ toán học”. “Mô hình hoá toán học là toàn bộ quá trình chuyển
đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi sự liên quan đến quá
trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù
hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình
huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần
cho đến khi có được một kết quả hợp lý” [22]. Do đó, trong luận văn này, chúng tôi
sử dụng khái niệm MHHTH như sau:
Mô hình hoá toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một
vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và
đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không
thể chấp nhận [1, tr. 115].

24. 20
Ví dụ: Từ vấn đề thực tế yêu cầu tính số bạn
còn lại đang chơi nhảy dây sau khi một bạn không
chơi nữa, HS cần giản lược các yếu tố trung gian
để chuyển đổi vấn đề trên thành mô hình toán học
là phải thực hiện phép tính trừ 4 – 1 = ? Từ đó huy
động kiến thức để giải quyết vấn đề trên như bớt đi
số bạn không chơi để tính được số bạn đang còn
chơi nhảy dây.
Hình 1.1
Như vậy, MHHTH là một hoạt động phức hợp, đòi hỏi HS phải có nhiều năng
lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau cũng như có kiến thức liên
quan đến các tình huống thực tế được xem xét. Thông qua MHHTH, HS học cách
sử dụng các biểu diễn khác nhau, lựa chọn và áp dụng các phương pháp, công cụ
toán học phù hợp trong việc giải quyết vấn đề.
1.1.3. Quy trình thực hiện mô hình hóa toán học
Hiện nay có rất nhiều quan niệm về quy trình MHHTH. Sau đây, chúng tôi xin
giới thiệu một số quan điểm về quy trình MHHTH của một số nhà nghiên cứu.
Quan điểm 1: Quy trình MHHTH được Frank Swetz và J. S. Hartzler (1991)
đề xuất theo sơ đồ 1.1. gồm bốn giai đoạn như sau:
- Giai đoạn thứ nhất: Quan sát hiện tượng hoặc vấn đề từ tình huống thực tế,
hiểu và nhận ra các yếu tố quan trọng có tác động đến vấn đề để từ đó bước đầu xây
dựng mô hình toán học phù hợp;
- Giai đoạn thứ hai: Phân tích mô hình toán học nhằm tìm cách giải quyết bài
toán để rút ra kết luận toán học;
- Giai đoạn thứ ba: HS áp dụng các phương pháp, công cụ toán học phù hợp
để hiểu và thông dịch kết luận toán học mà các em đã đưa ra.
- Giai đoạn thứ tư: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tế và kết
luận, từ đó áp dụng vào thực tế.

25. 21
Sơ đồ 1.1. Quy trình MHHTH theo Swetz và Hartzler
Quy trình trên của Frank Swetz và J. S. Hartzler khá là phù hợp. Nó phản ánh
được mối quan hệ giữa toán học và thực tế cuộc sống. HS biết vận dụng kiến thức
toán học để giải quyết vấn đề từ tình huống thực tế đưa ra. Việc sử dụng MHHTH
trong dạy học toán sẽ giúp phát triển tư duy cho HS, HS nhận thấy ý nghĩa của việc
học toán đối với cuộc sống.
Quan điểm 2: Quy trình MHHTH theo Kaiser (1995):
Sơ đồ 1.2. Quy trình MHHTH theo Kaiser
Quy trình MHHTH theo Kaiser gồm 4 bước:
Bước 1: Xuất phát từ tình hình thực tế để đưa ra vấn đề cần giải quyết. Xây
dựng mô hình từ thực tế dựa trên tình hình thực tế đã đưa.
Bước 2: Khái quát hóa mô hình từ thực tế thành mô hình toán học. Ở bước này
người học sẽ bỏ đi các ngôn ngữ không cần thiết chỉ giữ lại những chi tiết quan
trọng, cốt lõi của vấn đề toán học cần giải quyết.
Bước 3: Sử dụng mô hình toán học và những kiến thức toán học liên quan để
giải quyết vấn đề từ thực tế đưa ra từ đó đi đến kết quả toán học thuần túy.
Bước 4: Chuyển kết quả toán học thuần túy quay lại tình hình thực tế để trả lời
cho vấn đề đặt ra ban đầu.

26. 22
Ta thấy quy trình trên của Kaiser khá là phù hợp. Nó phản ánh chính xác mối
quan hệ giữa MHHTH và thực tế cuộc sống.
Quan điểm 3: Sơ đồ dưới đây được mô phỏng theo quá trình MHHTH của
Stillman và Galbraith.
Sơ đồ 1.3. Quá trình MHH theo Stillman và Galbraith (2006)
Để giải quyết một nhiệm vụ MHHTH, HS lần lượt thực hiện các bước chính sau:
Bước 1: Hiểu tình huống được cho, đưa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp
để tạo ra một mô hình thực tế của tình huống;
Bước 2: Xây dựng mô hình toán biểu diễn trung thực cho mô hình thực tế;
Bước 3: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán;
Bước 4: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;
Bước 5: Xem xét tính hợp lí, thỏa đáng của kết quả thực tế hay quyết định
thực hiện quá trình lần 2;
Bước 6: Trình bày cách giải quyết. Trong quá trình trên, bước 2 là quan trọng
nhất, giúp phân biệt một nhiệm vụ MHH với một nhiệm vụ toán học khác.
Quy trình MHHTH của Stillman và Galbraith mô tả một cách cụ thể, chi tiết.
HS sẽ dễ dàng tiếp thu được phương pháp dạy học bằng MHHTH. HS hiểu bản chất
của tình huống đưa ra và thấy được mối liên hệ giữa vấn đề thực tế với kiến thức
toán học và sử dụng toán học để giải quyết vấn đề đó. Tuy nhiên, trong quá trình
thực hiện nếu những giả thiết không phù hợp thì HS sẽ xây dựng mô hình toán học
lệch hướng do đó sẽ mất thời gian của HS.
Quan điểm 4: Quy trình mô hình hóa toán học của OECD/PISA thường được
gọi là quá trình toán học hóa được trình bày như sau:

27. 23
Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa toán học theo PISA
Trong đó:
(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;
(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học;
(3) Không ngừng cắt tỉa thực tế;
(4) Giải quyết bài toán;
(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo bối cảnh thực tế.
Các quy trình MHHTH giới thiệu trên đây đều gồm các yếu tố chính sau: đó là
một quá trình lặp gồm nhiều bước, bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc là
một phương án giải quyết thành công hay quyết định thực hiện lại quá trình để đạt
được kết quả tốt hơn. Các quy trình MHHTH cho dù thể hiện qua 6 bước, 5 bước
hay 4 bước nhưng đều giúp HS nhận ra được dữ liệu toán học từ tình huống thực tế,
từ đó xây dựng mô hình giải quyết bài toán, rút ra kết luận và từ kết luận đó áp dụng
trở lại vào tình huống thực tế. Qua phần nghiên cứu quy trình MHHTH nêu trên,
quy trình MHHTH được thể hiện trong nghiên cứu này qua 4 bước như sau:
Bước 1: Bắt đầu từ một tình huống thực tế, tình huống này thường được cấu
trúc lại (tinh giản hóa, lý tưởng hóa bằng cách cắt tỉa) để được một bài toán thực tế;
Nhưng bài toán thực tế ở đây thường là bài toán phỏng thực tế.
Bước 2: Bài toán thực tế được phát biểu lại bằng ngôn ngữ toán học;
Bước 3: Vấn đề được giải quyết trong môi trường toán học;
Bước 4: Kết quả giải quyết vấn đề được phiên dịch lại để có câu trả lời cho
tình huống thực tế ban đầu;
Ví dụ: Khi dạy bài 38 + 25 cho HS lớp 2
Bước 1: Cho bài toán thực tế: Trên kệ sách của Lan đã có 38 quyển truyện,

28. 24
vào dịp sinh nhật, các bạn tặng thêm cho Lan 25 quyển truyện nữa. Lan rất vui và
suy nghĩ không biết trên kệ sách của mình bây giờ có bao nhiêu quyển truyện nhỉ?
Em giúp Lan nhé!
Bước 2: Bài toán thực tế được phát biểu lại bằng ngôn ngữ toán học:
Làm thế nào để tính: 38 + 25
Bước 3: Giải quyết vấn đề trong môi trường toán học: Yêu cầu HS tìm
phương án giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng những bó que tính và que tính rời
để gộp, tách đưa về các cách đã biết cách tính.
Bước 4: Kết quả giải quyết vấn đề được phiên dịch lại để có câu trả lời cho
tình huống thực tế ban đầu. Vậy trên kệ sách của Lan bây giờ có 63 quyển truyện.
1.1.4. Đặc trưng của mô hình hoá toán học
1.1.4.1. Tiếp cận bài toán thực tế
MHHTH là cách thức xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễn
đạt và mô tả các bài toán thực tế. MHHTH là quá trình GV sử dụng MHH để giúp
HS tìm hiểu, khám phá các tình huống thực tế bằng công cụ và ngôn ngữ toán học
(có thể với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học). Xuất phát từ một tình huống
thực tế, HS sẽ vận dụng các mô hình như bảng biểu, hình vẽ, biểu đồ, sơ đồ…
và các ngôn ngữ toán học để xây dựng tình huống thành bài toán toán học đơn
thuần. Như vậy, MHHTH được đặc trưng bởi môi trường mà trong đó HS được
yêu cầu khám phá tri thức thông qua môn Toán hoặc các tình huống thực tế có tính
chất liên môn khác. Do đó, việc tích hợp các tình huống thực tế hàng ngày vào các
tình huống dạy học trên lớp học đóng vai trò rất quan trọng, với mục đích cho HS
thấy tính ứng dụng trong thực tế của toán học. Vì vậy, với tri thức toán học, GV có
thể sử dụng mô hình để giải thích và giúp HS hiểu về các hiện tượng trong thực tế
cuộc sống, từ đó hình thành cho các em kĩ năng tự xây dựng mô hình toán học để
giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng mô hình toán học.
Dạy học MHHTH là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực
tế, hướng đến trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tế. Điều này giúp
các em học toán một cách nhẹ nhàng hơn qua việc gợi tình huống từ một bài toán
thực tế. Đặc biệt là ở trường tiểu học, cách tiếp cận này giúp cho việc học toán của

29. 25
HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, có tính ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống
của các em, từ đó tạo động cơ và niềm say mê học tập môn toán cho HS.
Ví dụ: An được phân công phụ trách
lao động của lớp 2A và 2B. Cô giáo
yêu cầu An báo cáo số cây cả hai lớp
trồng được, biết rằng lớp 2A trồng
được 17 cây, lớp 2B trồng được 24
cây. Em hãy giúp An nhé!
Hình 1.2
Với tri thức toán học, GV cho HS tiếp cận các bài toán thực tế và sử dụng mô
hình để giải thích, giúp HS hiểu về các hiện tượng trong thực tế cuộc sống và tính
ứng dụng thực tiễn của toán học.
1.1.4.2. Minh hoạ bài toán toán học
Việc sử dụng MHHTH giúp minh họa cho bài toán toán học một cách hấp dẫn,
lý thú, giúp gợi động cơ giải quyết vấn đề cho HS. Quá trình MHHTH đều bắt đầu
với một tình huống thực tế, đây chính là cách diễn đạt của bài toán toán học cho các
em giải quyết từ đó đi đến tri thức toán học.
Ví dụ xuất phát từ tình huống sau: Chủ nhật, em được mẹ đưa đi siêu thị chơi.
Đến đó, em muốn ăn 2 cái bánh bông lan. Vậy em cần phải xin mẹ bao nhiêu tiền để
mua bánh, biết rằng một cái bánh giá 12 000 đồng (hình 1.3).
Đây chính là tình huống dạy học
minh họa cho bài toán: Một cái bánh
bông lan giá 12 000 đồng. Mua 2 cái
bánh bông lan như thế thì hết bao
nhiêu tiền?
Hình 1.3
1.1.4.3. Giải quyết vấn đề
Trong dạy học, MHHTH có thể được thực hiện thông qua các dự án học tập,
GV có thể chia HS thành các nhóm nhỏ để cùng tìm hiểu, khám phá thế giới bằng
phương tiện toán học với sự hướng dẫn của GV. Do vậy, MHHTH được sử dụng để
hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như một phương tiện để dạy và học toán ở
12.000
đ/cái

30. 26
trường phổ thông bởi vì nó là môi trường để HS tìm hiểu, khám phá các kiến thức
toán học cũng như các kiến thức liên môn khác.
Xuất phát từ bài toán thực tế mà GV đưa ra, HS tiến hành giải quyết vấn đề để
đi đến tri thức cần học và đó cũng chính là mục tiêu bài dạy. Để giải quyết vấn đề
đặt ra, HS phải suy nghĩ, huy động kiến thức, kỹ năng, sử dụng những thao tác tư
duy mới giải quyết được. Bên cạnh đó cũng cần đến sự nỗ lực, cố gắng từ bản thân
của các em. Qua đó sẽ giúp rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề - năng lực quan
trọng mà bất cứ HS nào cũng phải rèn luyện khi học toán. Như vậy có thể nói dạy
học sử dụng MHHTH góp phần giúp các em nâng cao năng lực phân tích và giải
quyết các vấn đề thực tế, rèn luyện các thao tác tư duy cho các em. Có được năng
lực giải quyết vấn đề sẽ giúp HS học toán có hiệu quả đặc biệt là khi học số tự nhiên
một cách tích cực, chủ động hơn, giúp khơi gợi nhu cầu nhận thức cho các em.
Qua việc tham gia giải quyết vấn đề mà bài toán thực tế đưa ra, HS sẽ bộc lộ
những khiếm khuyết về kiến thức và kỹ năng của các em. Từ đó giúp các em nhận
thấy phải bổ sung, điều chỉnh, hoàn thiện tri thức, kỹ năng cần thiết trong quá trình
học tập của mình.
Chính vì vậy, GV chú ý đưa ra vấn đề giải quyết cần phù hợp với khả năng
của HS. Nghĩa là vấn đề đó không quá dễ để HS dễ dàng giải quyết hoặc cũng
không quá khó để HS cảm thấy bất lực, bế tắc mà cần phải đủ để các em nhận ra
rằng nếu mình tích cực suy nghĩ thì sẽ giải quyết được. Như vậy, HS sẽ có niềm tin
ở khả năng huy động kiến thức và kỹ năng sẵn có ở bản thân để tham gia giải quyết
vấn đề. Đây chính là cách để GV rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề cho các em
trong dạy học toán.
Ví dụ như tình huống tính số tiền để mua bánh bông lan ở hình 1.3. HS có thể
đề ra cách giải quyết vấn đề như lấy số tiền mua hai cái bánh cộng lại với nhau hoặc
các em có thể lấy số tiền mua một cái bánh nhân số cái bánh. Từ đó các em có thể
tính được số tiền cần có để mua bánh.
1.1.4.4. Đánh giá phản ánh mô hình toán học
Dạy học sử dụng MHHTH giúp phản ánh bài toán xem có phù hợp với thực tế
hay không, mô hình xây dựng như thế đã hợp lý, thỏa đáng chưa. Nếu mô hình hoặc

31. 27
cách giải quyết của bài toán là hợp lý thì qua đó câu hỏi cho tình huống ban đầu sẽ
được giải đáp; nếu không thì HS cần nhìn nhận lại mô hình còn thiếu sót ở chỗ nào
để điều chỉnh lại cho đúng, từ đó sẽ đề ra cách thức mới để giải quyết vấn đề.
1.1.5. Vai trò của mô hình hóa toán học trong dạy học
1.1.5.1. Đối với giáo viên
- MHHTH giúp cho GV tăng cường năng lực khám phá các bài toán thực tế,
bởi sách giáo khoa hiện nay chủ yếu là các bài tập giả định thực tế nên phần lớn GV
làm theo và HS học một cách thụ động, khô cứng. Qua đó, cũng giúp GV nắm rõ
hơn mối liên hệ giữa toán học và thực tế.
Ví dụ: Thay bằng việc yêu cầu HS thực hiện phép tính 38 + 25 thì GV sẽ
nghiên cứu xem trong thực tế những sự việc, con vật, đồ vật... nào gắn bó thân quen
với HS để đưa ra tình huống học tập một cách lôi cuốn, nhẹ nhàng hơn. Chẳng hạn
như: Trên kệ sách của Lan đã có 38 quyển truyện, vào dịp sinh nhật, các bạn tặng
thêm cho Lan 25 quyển truyện nữa. Lan rất vui và suy nghĩ không biết trên kệ sách
của mình bây giờ có bao nhiêu quyển truyện nhỉ? Em giúp Lan nhé!
- Việc dạy học vận dụng MHHTH giúp rèn cho GV kĩ năng xây dựng mô hình
toán học, từ đó góp phần nâng cao trình độ sư phạm, năng lực nghề nghiệp cho GV.
Ví dụ từ bài toán tính 38 + 25 trên, GV phải xây dựng được mô hình toán học để dự
kiến phương án hỗ trợ cho HS.
- Góp phần phát triển năng lực sáng tạo trong dạy học, bồi dưỡng chuyên
môn, nghiệp vụ của người GV. Đặc biệt là khi xây dựng hệ thống bài toán, khi
biểu diễn để giải quyết vấn đề, đồng thời, còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo
phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn. Chẳng hạn, khi
hình thành khái niệm số cho HS lớp 1, GV có thể cho HS quan sát những bức
tranh, ảnh,... gắn với đời sống của các em và yêu cầu HS đếm số lượng bông
hoa, con gà, con mèo, quả cam,... Từ đó GV hình thành được khái niệm về số 1,
2, 3,... cho HS một cách dễ hiểu và hiệu quả.
- Sử dụng MHHTH trong dạy học là phương pháp giúp việc dạy học của GV
và HS trở nên nhẹ nhàng, hiệu quả hơn. Là một trong những phương pháp giúp
đổi mới phương pháp dạy học toán một cách có hiệu quả, đáp ứng đường lối, chủ

32. 28
trương của Đảng về đổi mới giáo dục Việt Nam sau 2015.
- Góp phần nâng cao hiểu biết, năng lực dạy toán cho GV tiểu học, giúp nâng
cao kỹ năng giảng dạy có hiệu quả cho GV.
- MHHTH đóng vai trò là phương tiện trong dạy học toán. Nó chính là công
cụ hỗ trợ cho việc giảng dạy của GV, GV hướng dẫn HS khái quát lại vấn đề đặt ra
một cách ngắn gọn từ đó vận dụng tri thức đã có để giải quyết vấn đề.
- MHHTH còn đóng vai trò là nội dung giảng dạy của GV và là nội dung học
tập của HS. Bản thân MHHTH cũng chính là nội dung dạy học. Ví dụ khi GV đưa
ra tình huống thực tế: Trên kệ sách của Lan đã có 38 quyển truyện, vào dịp sinh
nhật, các bạn tặng thêm cho Lan 25 quyển truyện nữa. Lan rất vui và suy nghĩ
không biết trên kệ sách của mình bây giờ có bao nhiêu quyển truyện nhỉ? Em giúp
Lan nhé! Đây là vấn đề thực tế mà GV đưa ra cho HS giải quyết. Tuy nhiên đây
cũng chính là nội dung học tập tính 38 + 25 mà HS cần nắm và cũng chính là nội
dung giảng dạy của GV.
1.1.5.2. Đối với học sinh
- MHHTH giúp HS hiểu được mối liên hệ giữa toán học với cuộc sống, môi
trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý
nghĩa hơn.
- Giúp HS thấy rõ mối quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, phù hợp với
trình độ nhận thức của con người nói chung, HS tiểu học nói riêng.
Ví dụ, khi HS được xem hình ảnh trực quan và đếm số lượng nhà, cây, quả,...
sau đó biểu diễn mô hình nhà, cây, quả,... qua các dạng chấm tròn, như vậy các em
đã có thể tư duy từ trực quan cụ thể đến trừu tượng, sau khi giải quyết vấn đề toán
học của bài toán đưa ra, các em sẽ quay trở lại giải quyết tình huống thực tế ban
đầu. Như vậy, dạy học sử dụng MHHTH phù hợp với trình độ nhận thức của HS là
đi từ tư duy trực quan đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn.
- MHHTH trang bị cho HS khả năng sử dụng toán học như một công cụ để
giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống của thực tiễn cuộc sông, từ đó
giúp các em thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế, góp phần tạo sự yêu
thích học toán của HS. MHHTH giúp cho việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa

33. 29
hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ ứng dụng của số tự nhiên trong thực tế
như HS nhận biết số lượng nhà, cây, quả và còn biết được số con vịt bơi trong ao,
số con bò, con trâu trên cánh đồng, số quyển truyện có trong giá sách,....
- Nâng cao tinh thần hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin
cho HS thông qua trao đổi nhóm, sử dụng phần mềm dạy học hỗ trợ quá trình giải
quyết vấn đề, MHH và cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tế. Việc vận dụng
MHHTH vào dạy học, đặc biệt là khi vận dụng công nghệ thông tin sẽ giúp HS học
tập hứng thú, nâng cao năng lực học toán cho các em.
- Giúp HS nâng cao năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề toán học trong
thực tế, rèn luyện các thao tác tư duy toán học.
- MHHTH là một phương tiện góp phần phát triển các kĩ năng, năng lực toán
học và thái độ của HS. Đó là khả năng giải quyết vấn đề, tính tò mò, sáng tạo, khám
phá, suy luận toán học và giao tiếp.
- MHHTH góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và phong phú
hơn về toán học, giúp HS thấy được đó không chỉ là một ngành khoa học mà còn là
một phần của lịch sử và văn hoá của loài người.
- Phương pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ
liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tế bằng cách lựa chọn và sử dụng các
công cụ, phương pháp toán học phù hợp nhất. Điều này, giúp HS hiểu sâu và nhớ
lâu các kiến thức toán học, từ đó có thái độ tích cực đối với toán học, tạo động cơ,
thúc đẩy việc học toán.
- Quá trình MHHTH giúp HS hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học;
nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó, như vậy sẽ giúp
các em thông hiểu tri thức toán học đã học một cách tường minh, có hệ thống hơn.
1.2. Nội dung dạy học số tự nhiên trong chương trình môn Toán ở Tiểu học
1.2.1. Mục tiêu dạy học số tự nhiên ở tiểu học
Dạy học số tự nhiên là một trong những nội dung trọng tâm của dạy học toán
ở tiểu học. Dạy học số tự nhiên ở tiểu học nhằm giúp HS:
a) Về kiến thức

34. 30
- Có khái niệm về số tự nhiên, biết đọc viết, so sánh và sắp xếp thứ tự các số
tự nhiên.
- Biết thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia trên các số tự nhiên. Nắm
được các tính chất của các phép toán, biết tính nhẩm, tính nhanh, tính đúng.
- Biết giải bài toán có lời văn về số tự nhiên.
b) Về kĩ năng
- Hình thành và rèn luyện các kĩ năng thực hành: đọc, viết, đếm, so sánh các
số tự nhiên; cộng, trừ, nhân, chia trên các số tự nhiên.
- Nhận biết các quy tắc thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và quan
hệ giữa các phép tính đó. Biết vận dụng các bảng tính và các tính chất của các phép
tính để tính nhẩm, tính nhanh, tính đúng và giải toán.
- Bồi dưỡng khả năng áp dụng kiến thức số tự nhiên vào giải các bài toán thực
tế đơn giản.
c) Về thái độ
- HS rèn luyện tính cẩn thận, chăm chỉ, tự tin, hứng thú, kiên trì trong học tập
và thực hành toán.
- Tích luỹ được những hiểu biết cần thiết cho đời sống sinh hoạt và học tập
của HS; phục vụ cho việc học các mạch kiến thức toán khác ở tiểu học và học các
môn khác. Đồng thời góp phần phát triển năng lực tư duy, hình thành và rèn luyện
các phẩm chất cần thiết của người lao động.
1.2.2. Nội dung dạy học số tự nhiên trong chương trình môn Toán ở tiểu học
Bảng 1.1. Nội dung dạy học số tự nhiên lớp 1
Nội dung Yêu cầu về kiến thức, kĩ năng
1) Các số đến 10.
Phép cộng và
phép trừ trong
phạm vi 10
- Nhận biết được quan hệ số lượng (nhiều hơn, ít hơn).
- Biết đọc, đếm, viết, so sánh các số đến 10. Sử dụng các dấu =
(bằng), < (bé hơn), > (lớn hơn).
- Nắm được khái niệm ban đầu về phép cộng, phép trừ.
- Nắm được bảng cộng và bảng trừ trong phạm vi 10.
- Số 0 trong phép cộng, phép trừ.
- Nhận biết mối quan hệ giữa phép và phép trừ.

35. 31
- Biết tính giá trị biểu thức số có đến hai dấu phép tính cộng,
trừ.
2) Các số đến
100. Phép cộng
và phép trừ
(không nhớ)
trong phạm vi
100.
- Biết đọc, đếm, viết, so sánh các số đến 100. Nắm được hàng
chụ, hàng đơn vị.
- Biết tính nhẩm và tính viết phép cộng và phép trừ không nhớ
trong phạm vi 100.
- Biết tính giá trị biểu thức số có đến hai dấu phép tính cộng,
trừ.
3) Giải bài toán - Biết giải các bài toán đơn bằng một phép cộng hoặc một phép
trừ, chủ yếu là các bài toán thêm, bớt một số đơn vị.
Bảng 1.2. Nội dung dạy học số tự nhiên lớp 2
Nội dung Yêu cầu về kiến thức, kĩ năng
1) Phép cộng
và phép trừ có
nhớ trong
phạm vi 100
- Biết tên gọi thành phần và kết quả của phép cộng (số hạng,
tổng), phép trừ (số bị trừ, số trừ, hiệu).
- Nắm được bảng cộng và bảng trừ trong phạm vi 20.
- Biết tính nhẩm và tính viết phép cộng và phép trừ không nhớ
hoặc có nhớ một lần trong phạm vi 100.
- Biết tính giá trị biểu thức số có đến hai dấu phép tính cộng, trừ.
- Biết giải bài tập dạng: ‘Tìm x , biết: a + x = b; x - a = b; a - x
= b (với a, b là các số có đến hai chữ số)”, bằng cách sử dụng mối
quan hệ giữa thành phần và kết quả của phép tính.
2) Các số đến
1000. Phép
cộng và phép
trừ trong phạm
vi 1000.
- Biết đọc, đếm, viết, so sánh các số có ba chữ số. Nắm được hàng
trăm, hàng chục, hàng đơn vị.
- Biết tính nhẩm và tính viết phép cộng các số có đến ba chữ số,
tổng không quá 1000, không nhớ.
- Biết tính nhẩm và tính viết phép trừ các số có đến ba chữ số,
không nhớ.
- Biết tính giá trị biểu thức số có đến hai dấu phép tính cộng, trừ,
không có dấu ngoặc.
3) Phép nhân - Nắm được khái niệm ban đầu về phép nhân: lập phép nhân từ

36. 32
và phép chia tổng các số hạng bằng nhau. Nắm được thừa số và tích.
- Nắm được khái niệm ban đầu về phép chia: lập phép chia từ
phép nhân có một thừa số chưa biết khi biết tích và thừa số kia.
Nắm được số bị chia, số chia, thương.
- Lập được bảng nhân 2, 3, 4, 5 có tích không quá 50.
- Lập được bảng chia 2, 3, 4, 5 có số bị chia không quá 50.
- Biết nhân với 1 và chia cho 1.
- Biết nhân với 0. Số bị chia là 0. Không thể chia cho 0.
- Biết nhân, chia nhẩm trong phạm vi các bảng tính. Nhân số có
đến hai chữ số với số có một chữ số không nhớ (chỉ với số tròn
chục). Chia số có đến hai chữ số cho số có một chữ số, quy về một
bước chia trong phạm vi các bảng tính.
- Biết tính giá trị biểu thức số có đến 2 dấu phép tính cộng, trừ
hoặc nhân, chia.
Biết giải bài tập dạng: ‘Tìm x , biết: a × x = b; x : a = b (với a là
số có một chữ số, khác 0; áp dụng phép nhân, chia trong bảng và
sử dụng mối quan hệ giữa thành phần và kết quả của phép tính).
- Nắm được các thành phần bằng nhau của đơn vị (dạng
n
1
, với n
là các số tự nhiên khác 0 và không vượt quá 5).
4) Giải bài
toán
- Biết giải các bài toán đơn về phép cộng và phép trừ (trong đó có
các bài toàn về nhiều hơn hoặc ít hơn một số đơn vị), về phép
nhân và phép chia.
Bảng 1.3. Nội dung dạy học số tự nhiên lớp 3
Nội dung Yêu cầu về kiến thức, kĩ năng
1) Phép nhân
và phép chia
trong phạm vi
1000 (tiếp)
- Củng cố các bảng nhân 2, 3, 4, 5 (có tích không quá 50) và các
bảng chia 2, 3, 4, 5( số bị chia không quá 50). Bổ sung cộng, trừ
các số có ba chữ số có nhớ không quá một lần.
- Lập được các bảng nhân với 6, 7, 8, 9 (tích không quá 100) và
các bảng chia cho 6, 7, 8, 9 (số bị chia không quá 100).

37. 33
- Hoàn thiện các bảng nhân và các bảng chia.
- Biết thực hiện nhân, chia ngoài bảng trong phạm vi 1000: nhân
số có hai, ba chữ số với số có một chữ số có nhớ không quá một
lần; chia số có hai, ba chữ số cho số có một chữ số. Chia hết và
chia có dư.
- Thực hành tính: tính nhẩm trong phạm vi các bảng tính; nhân
nhẩm số có hai chữ số với số có một chữ số, không nhớ; chia nhẩm
số có hai chữ số cho số có một chữ số, không có dư ở từng
bước,...; củng cố về cộng, trừ, nhân, chia trong phạm vi 1000 theo
các mức đã xác định.
- Làm quen với biểu thức số và giá trị của biểu thức. Nắm được
thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức số có đến hai dấu
phép tính, có hoặc không có dấu ngoặc.
- Biết giải bài tập dạng: ‘Tìm x , biết: a : x = b (với a, b là các số
trong phạm vi đã học)”.
2) Giới thiệu
các số trong
phạm vi 10
000.
- Biết đọc, đếm, viết, so sánh các số có đến bốn chữ số. Nắm được
hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị.
- Biết thực hiện:
+ Phép cộng và phép trừ có nhớ (không liên tiếp và không quá hai
lần) trong phạm vi 10 000.
+ Phép nhân số có đến bốn chữ số với số có một chữ số, có nhớ
không liên tiếp và không quá hai lần, tích không quá 10 000.
+ Phép chia số có đến bốn chữ số cho số có một chữ số (chia hết
và chia có dư).
- Biết tính giá trị biểu thức số có đến hai dấu phép tính, có hoặc
không có dấu ngoặc.
3) Giới thiệu
các số trong
phạm vi
- Biết đọc, đếm, viết, so sánh các số có đến năm chữ số. Nắm được
hàng chục nghìn(vạn), hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng
đơn vị.

38. 34
100000. - Biết thực hiện:
+ Phép cộng và phép trừ có nhớ (không liên tiếp và không quá hai
lần) trong phạm vi 100 000.
+ Phép nhân số có đến năm chữ số với số có một chữ số, có nhớ
không liên tiếp và không quá hai lần, tích không quá 100 000.
+ Phép chia số có đến năm chữ số cho số có một chữ số (chia hết
và chia có dư).
- Biết tính giá trị biểu thức số có đến hai dấu phép tính, có hoặc
không có dấu ngoặc.
- Nắm được các phần bằng nhau của đơn vị (dạng
n
1
, với n là các
số tự nhiên từ 2 đến 9). Thực hành nhận biết các phần bằng nhau
của đơn vị trên hình vẽ và trong trường hợp đơn giản.
- Giới thiệu bước đầu về chữ số la Mã.
4) Giải bài
toán
- Biết giải các bài toán có đến hai bước tính với các mối quan hệ
trực tiếp và đơn giản.
- Biết giải bài toán liên quan đến rút về đơn vị.
Bảng 1.4. Nội dung dạy học số tự nhiên lớp 4
Nội dung Yêu cầu về kiến thức, kĩ năng
1) Về đọc, viết,
so sánh các số
tự nhiên
- Biết đọc, viết các số đến lớp triệu; so sánh các số có đến sáu chữ
số và nhận ra các số tròn triệu trong phạm vi lớp tỉ.
- Biết sắp xếp bốn số tự nhiên theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc từ
lớn đến bé.
2) Về dãy số tự
nhiên
Bước đầu nhận biết một số đặc điểm của dãy số tự nhiên:
- Nếu thêm 1 vào một số tự nhiên thì được số tự nhiên liền sau nó,
bớt 1 từ một số tự nhiên khác 0 thì được số tự nhiên liền trước nó.
- Số 0 là số tự nhiên bé nhất. Không có số tự nhiên lớn nhất (tức là
dãy số tự nhiên kéo dài mãi).
3) Về các hàng
trong mỗi lớp.
Nhận biết các hàng trong mỗi lớp. Biết giá trị của mỗi chữ số theo
vị trí của chữ số đó trong mỗi số.

39. 35
4) Về phép
cộng và phép
trừ các số tự
nhiên.
- Biết đặt tính và thực hiện phép cộng, phép trừ các số có đến sáu
chữ số, không nhớ hoặc có nhớ không quá ba lượt và không liên
tiếp.
- Bước đầu biết sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp
của phép cộng các số tự nhiên trong thực hành tính.
5) Về phép
nhân và phép
chia các số tự
nhiên.
- Biết đặt tính và thực hiện phép nhân các số có nhiều chữ số với
các số có không quá ba chữ số (tích có không quá sáu chữ số).
- Bước đầu biết sử dụng tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của
phép nhân và tính chất nhân một tổng với một số trong thực hành
tính.
- Biết đặt tính và thực hiện phép chia số có nhiều chữ số cho số có
không quá ba chữ số (thương có không quá ba chữ số).
6) Về tính
nhẩm
- Biết cộng, trừ nhẩm các số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn (dạng
đơn giản); nhân nhẩm với 10, 100, 1000; chia nhẩm cho 10, 100,
1000; nhân nhẩm số có hai chữ số với 11.
7) Về dấu hiệu
chia hết cho 2,
3, 5, 9
- Bước đầu biết vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 trong
một số tình huống đơn giản.
1.2.3. Đặc điểm cấu trúc, nội dung số tự nhiên
Chương trình môn Toán tiểu học gồm 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1 (lớp 1, 2, 3): có thể coi là giai đoạn học tập cơ bản. Ở giai đoạn
này HS được chuẩn bị những kiến thức, những kĩ năng cơ bản nhất về đếm, đọc,
viết, so sánh, sắp thứ tự các số tự nhiên và bốn phép tính về số tự nhiên (trong phạm
vi các số đến 100 000);
Giai đoạn 2 (lớp 4, 5): có thể coi là giai đoạn học tập sâu (so với giai đoạn
trước). Giai đoạn này, HS vẫn học tập các kiến thức và kĩ năng cơ bản của môn
Toán nhưng ở mức sâu hơn, khái quát hơn, tường minh hơn. Ở học kỳ I của lớp 4,
môn Toán chủ yếu tập trung vào bổ sung, hoàn thiện, tổng kết, hệ thống hoá, khái
quát hoá (đơn giản) về số tự nhiên và dãy số tự nhiên, bốn phép tính (cộng, trừ,
nhân, chia) và một số tính chất của số tự nhiên.
Thu gọn việc dạy số tự nhiên chủ yếu ở các lớp 1, 2, 3. Kĩ năng thực hiện 4
phép tính với số tự nhiên được rèn luyện chủ yếu ở giai đoạn 1.

40. 36
Trong chương trình toán ở bậc tiểu học, tập hợp các số tự nhiên được đưa vào
chương trình môn toán từ lớp 1 đến lớp 4. Các tập hợp số được chia thành các vòng
số, theo từng lớp học, phù hợp với lứa tuổi và sự phát triển nhận thức của HS. Các
vòng số được sắp xếp xen kẽ với các mạch kiến thức khác như các kiến thức về đại
lượng và phép đo đại lượng. Các mạch kiến thức hỗ trợ lẫn nhau khiến cho các kiến
thức về số tự nhiên có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc.
Các kiến thức số tự nhiên được sắp xếp theo nguyên tắc đồng tâm hợp lí, kế
thừa và phát triển, lớp học trên bao hàm lớp học dưới và được mở rộng hơn. Các
kiến thức được phát triển liên tục, không gián đoạn, đảm bảo tính hệ thống và thực
hiện ôn tập, củng cố thường xuyên.
Các kiến thức số tự nhiên được sắp xếp xen kẽ với các mạch kiến thức khác
như đại lượng, các yếu tố hình học, các yếu tố thống kê, giải toán,... Các mạch kiến
thức gắn bó, hỗ trợ lẫn nhau.
Các kiến thức số tự nhiên được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp, cấu trúc
đại số và cấu trúc sắp thứ tự, đồng thời chú ý đến đặc điểm phát triển tâm lý lứa tuổi
của HS tiểu học.
1.2.4. Thuận lợi và khó khăn khi sử dụng mô hình hoá toán học vào dạy học nội
dung số tự nhiên ở tiểu học
1.2.4.1. Thuận lợi
Chúng ta thấy rằng, một trong những mục tiêu quan trọng của việc dạy học là
chuẩn bị cho thế hệ trẻ đủ tự tin và có được những hiểu biết cơ bản để xử lý tốt các
tình huống của thế giới hiện thực xung quanh. MHHTH là một dạng của giải quyết
vấn đề hiện thực. Các nhà toán học đã sử dụng các kĩ thuật trong quy trình MHHTH
để giải quyết vấn đề họ gặp phải trong công việc của mình, để từ đó phát minh ra
những kết quả mới (định lí, định nghĩa hay khái niệm mới). Những chiến lược và kỹ
năng học được trong các bài tập MHH sẽ giúp người học dễ dàng chuyển qua tình
huống mới, giúp HS thấy được toán học trong phạm vi ứng dụng rộng rãi.
Người học tham gia vào quá trình MHHTH sẽ thể hiện ra nhiều mức độ của
“tư duy toán học”. Việc vận dụng MHHTH vào dạy học toán ở nhà trường tiểu học
sẽ hướng đến giải quyết hai vấn đề trong quá trình dạy học đó là:
- HS hiểu được mối liên quan giữa toán học với đời sống hàng ngày.

41. 37
- HS đạt được những năng lực giúp các em giải quyết được vấn đề toán học
trong đời sống bao gồm cả các vấn đề trong đời sống hàng ngày, trong môi trường
chúng ta và trong khoa học.
Do đó, sử dụng MHHTH trong dạy học là điều kiện thuận lợi giúp HS phát
triển các kỹ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo
phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn.
Về nội dung kiến thức số tự nhiên gắn bó gần gũi với thực tiễn của đời sống
HS. Trong cuộc sống, số tự nhiên sử dụng mọi lúc, mọi nơi do đó khi đưa ra các
tình huống thực tiễn, các em sẽ thấy dễ hiểu và tiếp nhận tri thức toán học một cách
nhẹ nhàng hơn.
Đội ngũ GV yêu nghề, nhiệt tình, tâm huyết nên sẽ tích cực đổi mới phương
pháp dạy học làm cho HS hứng thú trong học tập, yêu thích môn Toán.
Hiện nay, trang thiết bị CNTT phục vụ giảng dạy trong nhà trường đã có
những cải thiện đáng kể. Nhiều phòng học đã được trang bị máy chiếu phục vụ cho
hoạt động dạy và học. Trình độ, kĩ năng sử dụng CNTT trong dạy học của GV cũng
được nâng cao. Đây là một trong những điều kiện thuận lợi để sử dụng MHHTH
trong dạy học toán nói chung và dạy học nội dung số tự nhiên nói riêng.
MHHTH là quá trình dạy học GV sử dụng MHH để giúp HS tìm hiểu, khám
phá các tình huống thực tế bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Do đó sử dụng
MHHTH vào dạy học nội dung số tự nhiên là phù hợp với đặc điểm nhận thức của
HS tiểu học nên sẽ kích thích sự tích cực, sáng tạo, hứng thú trong học tập cho HS.
1.2.4.2. Khó khăn
a) Nội dung sách giáo khoa Toán ở tiểu học với việc sử dụng mô hình hoá toán học
- Hiện nay, trong dạy học số tự nhiên, sách giáo khoa phần lớn là đưa luôn mô
hình toán học hoặc “tình huống không đặt trong ngữ cảnh thực tế” và “tình huống
mô hình hoá”, không gắn liền với thực tế của các em.
Ví dụ khi dạy bài Nhân với số có một chữ
số (Toán 4)[10, tr. 57] đưa ra mô hình toán
học 241324 × 2 = ? và 136204 × 4 = ? hoặc
đưa những mô hình trừu tượng như trong
dạy bài Số 6 (Toán 2)[8, tr. 26] (hình 1.4)
Hình 1.4

42. 38
Do đó, nếu đưa quá trình MHHTH vào dạy học, bắt đầu với một tình huống
thực tế sẽ là khó khăn đối với HS.
- Quy trình MHHTH không thật sự tường mình, bởi vì:
Thứ nhất, bài toán đưa ra cho các em rất hiếm khi là một tình huống thực tế
mà hầu như là bài toán phỏng thực tế và bài toán toán học.
Thứ hai, kết quả đưa ra chưa được chú ý đưa vào giải đáp cho tình huống thực
tế ban đầu mà chỉ thường dừng lại ở kết quả.
- Mục đích dạy học đạt được khi giải quyết xong vấn đề toán học.
- Việc liên hệ bài toán với bài toán phỏng thực tế ít khi được đề cập, các kết
quả chủ yếu như nhau.
- Việc nhìn nhận phân tích mô hình là hầu như không được đề cập đến.
b) Đối với giáo viên
- GV vẫn chưa hiểu rõ và nắm vững quy trình MHHTH trong dạy học đặc biệt
là khi áp dụng vào dạy nội dung số tự nhiên nên gặp nhiều khó khăn khi vận dụng
quy trình MHHTH.
- Trong quá trình dạy học nội dung số tự nhiên, GV thường tuân theo nội dung
học tập ở sách giáo khoa. GV ít khi chú trọng tìm tòi, xây dựng bài toán, mô hình
toán học thành tình huống thực tế cho các em khám phá.
- GV chỉ chú trọng việc tìm ra được kết quả toán học của HS là coi như mục
tiêu của bài dạy đã hoàn thành. Mà GV chưa chú trọng đến việc lật ngược vấn đề
xem kết quả đó đã phù hợp với thực tế, mô hình xây dựng nên hay chưa.
c) Đối với học sinh
- HS trong lớp trình độ không đồng đều.
- HS có lối tư duy cụ thể, khả năng tư duy trừu tượng chưa cao, chưa có ý thức
tự giác, chủ động nghiên cứu bài mà còn phụ thuộc vào sự giúp đỡ, truyền thụ kiến
thức từ GV.
- HS còn chưa chủ động trong hoạt động nhóm, còn rụt rè, chưa mạnh dạn đưa
ra ý kiến của mình.
- HS chưa biết cách liên hệ kiến thức đã học vận dụng vào giải quyết những
vấn đề nảy sinh trong thực tế.

43. 39
1.3. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học với việc tiếp cận mô hình hoá
toán học
HS tiểu học thường tri giác trên tổng thể. Tri giác mang tính đại thể, toàn bộ, ít
đi sâu vào chi tiết (lớp 1 và 2) tuy nhiên HS cũng bắt đầu có khả năng phân tích tách
dấu hiệu, chi tiết nhỏ của một đối tượng nào đó. Về sau, các hoạt động tri giác phát
triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác hơn. Tri
giác thường gắn với hành động, với hoạt động thực tiễn chính vì vậy khi dạy học ở
lớp 1, lớp 2 mà để HS tiếp cận MHHTH một cách hiệu quả thì khi thiết kế các tình
huống thực tế GV cần chú ý đến hình ảnh trực quan gần gũi, rõ nét, cụ thể, lôi cuốn
nhằm hướng các em vào giải quyết vấn đề mà GV đưa ra.
Chú ý không chủ định chiếm ưu thế ở HS tiểu học. Sự chú ý của HS tiểu học
còn phân tán, dễ bị lôi cuốn vào các trực quan, gợi cảm, thường hướng ra bên ngoài
vào hành động, chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy. Đây là một điều
thuận lợi trong việc đưa ra các tình huống thực tế, sẽ kích thích hứng thú học tập
của HS, khơi gợi sự chú ý của các em vào hoạt động học tập. Do đó, quá trình vận
dụng quy trình MHHTH phải dễ hiểu, rõ ràng, tránh sự rườm rà, hướng HS vào giải
quyết vấn đề thực tế đưa ra.
Trí nhớ trực quan - hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ logic,
hiện tượng hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ trừu tượng, khô khan. Nên HS
sẽ dễ ghi nhớ từ các mô hình đến các kí hiệu toán học của quá trình lĩnh hội kiến
thức, MHHTH làm cho việc học tập của HS trở nên thích thú hơn, yêu thích học
môn toán hơn.
HS tiểu học bước đầu có khả năng thực hiện việc phân tích tổng hợp, trừu
tượng hoá - khái quát hoá và những hình thức đơn giản của sự suy luận, phán đoán.
Nhìn chung, tư duy của HS lớp 1, 2, 3 là tư duy cụ thể, mang tính hình thức, dựa
vào đặc điểm bên ngoài. Đến lớp 4, 5 bắt đầu có sự chuyển biến về tư duy, chuyển
từ tư duy cụ thể sang khái quát, trừu tượng. Do đó HS có khả năng nhận diện vấn đề
toán học trong tình huống thực tế mà GV đưa ra.
1.4. Thực trạng sử dụng mô hình hoá toán học trong dạy học số tự nhiên ở tiểu học
1.4.1. Mục đích khảo sát
Khảo sát nhằm tìm hiểu thực trạng nhận thức của GV tiểu học về MHHTH
trong dạy học toán cũng như thực trạng sử dụng MHHTH trong dạy học số tự nhiên
ở tiểu học; đồng thời tìm hiểu thực trạng về hứng thú của HS khi học về nội dung số

44. 40
tự nhiên và vận dụng kiến thức về số tự nhiên trong thực tế đời sống của các em
nhằm xác định rõ những khó khăn, vướng mắc mà HS còn gặp phải trong quá trình
tiếp thu tri thức; từ đó, xây dựng được cơ sở thực tiễn cho việc xây dựng quy trình
MHHTH trong dạy học số tự nhiên ở tiểu học.
1.4.2. Nhiệm vụ khảo sát thực trạng
Để tiến hành khảo sát thực trạng sử dụng MHHTH trong dạy học số tự nhiên ở
tiểu học, chúng tôi đưa ra các nhiệm vụ khảo sát như sau:
- Chọn mẫu khảo sát: chọn GV và HS khối lớp 1, 2, 3, 4 ở ba trường tiểu học:
trường Tiểu học Tân Liên, trường Tiểu học số 2 Khe Sanh, trường Tiểu học Tân
Lập ở địa bàn huyện Hướng Hoá, tỉnh Quảng Trị.
- Thiết kế phiếu tìm hiểu thăm dò dành cho GV, HS về sự hiểu biết MHHTH
và khả năng sử dụng MHHTH trong dạy học số tự nhiên ở tiểu học.
- Sử dụng phiếu tìm hiểu thăm dò để thu thập số liệu và phỏng vấn các GV và
HS trong việc sử dụng MHHTH trong dạy học số tự nhiên ở tiểu học.
- Sau khi thu thập được số liệu, tiến hành thống kê, xử lí số liệu để đưa ra
những nhận xét thích hợp.
1.4.3. Nội dung khảo sát
1.4.3.1. Đối với giáo viên
- Đánh giá của GV về nội dung dạy học số tự nhiên với trình độ tiếp nhận của
HS trong chương trình hiện nay.
- Khả năng phát huy tính tích cực trong học tập cho HS theo định hướng dạy
học hình thành kiến thức nội dung số tự nhiên ở sách giáo khoa hiện nay.
- Khả năng vận dụng kiến thức về số tự nhiên trong thực tế đời sống của HS
như thế nào.
- Hiểu biết của GV về dạy học vận dụng MHHTH
- Nhận định của GV về sự cần thiết khi sử dụng MHHTH vào dạy học nội
dung số tự nhiên ở tiểu học.
1.4.3.2. Đối với học sinh
- Nhận xét của HS về nội dung số tự nhiên trong sách giáo khoa hiện nay.
- Sự hứng thú, tích cực của HS khi học nội dung số tự nhiên sử dụng MHHTH
- Khả năng MHHTH của HS khi học nội dung số tự nhiên.

45. 41
- Khó khăn mà HS gặp phải khi vận dụng MHHTH vào giải quyết các tình
huống liên quan đến nội dung số tự nhiên.
1.4.4. Đối tượng và phạm vi khảo sát
1.4.4.1. Đối tượng khảo sát
Chúng tôi tiến hành khảo sát ở 03 trường tiểu học: Trường Tiểu học số 2 Khe
Sanh, trường Tiểu học Tân Liên, trường Tiểu học Tân Lập trên địa bàn huyện
Hướng Hoá, tỉnh Quảng Trị.
● Trường Tiểu học Số 2 Khe Sanh là 1 trong 9 trường đạt chuẩn quốc gia mức
độ 1 của huyện Hướng Hoá. Trường có bề dày về lịch sử, có chất lượng giáo dục
hàng năm cao so với các trường trong huyện, đặc biệt tỷ lệ HS đạt HS giỏi, đạt HS
năng khiếu cấp huyện, cấp tỉnh khá cao. Có không gian trường học xanh, sạch, đẹp,
trường đạt chuẩn trường học thân thiện. Trường đạt danh hiệu lao động xuất sắc cấp
huyện, cấp tỉnh nhiều năm liền. Hiện nay trường có 11 lớp với 325 HS. Trường có
tất cả 24 GV, có 01 GV đạt Chiến sĩ thi đua cấp Tỉnh, 02 GV đạt Chiến sĩ thi đua
cấp cơ sở, 05 GV nhận Giấy khen Chủ tịch Uỷ ban nhân dân huyện. Trường có các
phòng học đều kiên cố và được trang trí thoáng mát, sạch sẽ. Thư viện trường đã đạt
chuẩn 01 theo Quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo và đạt Thư viện tiên tiến, được
trang bị khá hiện đại đáp ứng nhu cầu học tập, nghiên cứu của cán bộ, GV, nhân
viên và HS.
● Trường Tiểu học Tân Liên thuộc xã Tân Liên của huyện Hướng Hoá.
Trường đã đạt chuẩn quốc gia mức độ 1, chất lượng giáo dục đạt khá cao so với
các trường trong huyện, đặc biệt tỷ lệ HS đạt loại giỏi, HS thi giải Toán violimpic
trên mạng cấp huyện, cấp tỉnh. Trường Tiểu học Tân Liên nhiều năm đạt danh
hiệu lao động tiên tiến cấp huyện và năm nay đạt lao động xuất sắc cấp tỉnh.
Trường có hệ thống cơ sở vật chất hiện đại đảm bảo cho hoạt động dạy và học, có
đầy đủ các phòng chức năng, sân chơi, bãi tập. Nhà trường hiện có 32 cán bộ - GV
- nhân viên; trong đó 27 GV được đào tạo chuyên ngành sư phạm Tiểu học (26
trình độ cao đẳng trở lên, 01 GV theo học Thạc sĩ), 02 GV tiếng Anh (trình độ Đại
học), 01 GV Hát - Nhạc (trình độ Đại học), 01 GV Thể dục đang theo học Đại học
và 01 nhân viên kế toán.