Sistem partikel dapat dianggap sebagai satu partikel tunggal yang terletak pada pusat massanya. Pusat massa dapat dihitung dengan rumus yang melibatkan massa dan posisi setiap partikel. Gerak sistem partikel ditentukan oleh gaya yang bekerja pada setiap partikel.
1. SISTEM PARTIKEL
PUSAT MASSA
Suatu sistem partikel yang terdiri dari sejumlah partikel dapat dianggap
sebagai satu partikel bermassa massa total dan terletak pada sebuah
titik yang disebut sebagai pusat massa.
Bila beberapa partikel terletak pada satu garis lurus :
M
x
m
x
m
x
m
m
m
m
x
m
x
m
x
m
m
x
m
x 3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
i
i
i
pm
m1 m2 m3
x1
x2
x3
Pusat massa sistem dapat dihitung dari :
2. Bila beberapa partikel terletak pada satu bidang :
3 m
m2 = 4 kg
4 m
m1 = 2 kg m2 = 6 kg
Pusat massanya terletak di :
m
1
12
12
6
4
2
)
0
(
6
)
3
(
4
)
0
(
2
m
m
m
y
m
y
m
y
m
y
m
2
12
24
6
4
2
)
4
(
6
)
0
(
4
)
0
(
2
m
m
m
x
m
x
m
x
m
x
3
2
1
3
3
2
2
1
1
pm
3
2
1
3
3
2
2
1
1
pm
2
1
M=12 kg
3. GERAK SISTEM PARTIKEL
eksternal
pm
n
2
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
i
i
pm
F
Ma
F
F
F
Ma
a
m
a
m
a
m
Ma
dt
dv
m
dt
dv
m
dt
dv
m
dt
dv
M
v
m
v
m
v
m
Mv
dt
dx
m
dt
dx
m
dt
dx
m
dt
dx
M
x
m
x
m
x
m
Mx
M
x
m
x
4. Contoh Soal 4.1
Pada tiga buah benda masing-masing bekerja gaya seperti
terlihat pada gambar di bawah ini. Tentukan besar dan arah
percepatan pusat massanya.
Jawab :
N
5
,
16
45
cos
12
6
14
F o
x
o
1
o
y 27
5
,
16
49
,
8
tg
N
49
,
8
45
sin
12
F
2
pm
2
2
s
m
16
,
1
16
6
,
18
M
F
a
N
6
,
18
49
,
8
5
,
16
F
5. Bila sebuah kapak dilemparkan ke atas seperti terlihat pada gambar di
bawah ini, maka semua bagian dari kapak tersebut akan melakukan
gerak yang kompleks, yaitu gerak translasi dan rotasi kecuali pusat
massanya yang akan melakukan gerak parabola karena bertindak
sebagai satu partikel.
6. Contoh Soal 4.2
Sebuah meriam menembakkan peluru dengan dengan kecepatan
20 m/s dan sudut 60o terhadap horisontal. Pada saat mencapai
ketinggian maksimum pelurunya pecah menjadi dua sama besar
dengan massa masing-masing m. Pecahan pertama langsung
jatuh bebas sedangkan pecahan kedua terpental. Tentukan
dimana pecahan kedua jatuh ke tanah.
Jawab :
3
,
17
60
sin
20
sin
v
v
10
60
cos
20
cos
v
v
o
o
o
oy
o
o
o
ox
7. Pada ketinggian maksimum :
m
4
,
35
)
7
,
17
(
2
x
2
x
m
7
,
17
)
77
,
1
(
10
t
v
x
s
77
,
1
8
,
9
32
,
17
g
v
t
0
gt
v
v
1
1
ox
1
oy
1
oy
y
Gerak pusat massa :
m
1
,
53
7
,
17
8
,
70
x
x
7
,
17
8
,
70
mx
)
7
,
17
(
m
)
4
,
35
(
m
2
x
x
mx
mx
Mx
2
2
2
pm
2
1
pm
8. MOMENTUM LINIER
F
ma
dt
dv
m
dt
dp
mv
p
Momentum linier dari sebuah partikel didefinisikan sebagai massa
dikalikan dengan kecepatannya :
Sistem partikel :
i
pm
pm
pm
n
n
2
2
1
1
i
F
Ma
dt
dv
M
dt
dp
Mv
p
v
m
v
m
v
m
p
Bila tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada sistem partikel :
C
v
m
v
m
v
m
tetap
p
0
dt
dp
F
n
n
2
2
1
1
9. TUMBUKAN
• Tumbukan Lenting Sempurna : pi = pf Ki = Kf
i
f
i
f
i
f
f
i
i
f
i
f
f
i
f
i
i
f
f
i
i
f
f
i
i
f
f
i
f
f
i
i
f
f
i
i
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
m
v
v
m
v
v
m
v
v
m
v
v
m
v
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
v
m
v
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
• Tumbukan Tidak Lenting : pi = pf Kf < Ki
• Tumbukan Sama sekali Tidak Lenting : pi = pf v1f =v2f
11. Contoh Soal 4.3
Sebuah balok 4 kg yang bergerak ke kanan di atas lantai licin
dengan kecepatan 6 m/s mengalami tumbukan lenting sempurna
dengan balok 2 kg yang juga bergerak ke kanan dengan
kecepatan 3 m/s. Hitung kecepatan kedua balok setelah
tumbukan.
Jawab :
4 kg 2 kg
6 m/s 3 m/s
30
)
7
(
2
)
4
(
4
81
49
32
7
)
2
(
2
1
4
)
4
(
2
1
30
)
3
(
2
)
6
(
4
81
9
72
3
)
2
(
2
1
6
)
4
(
2
1
7
6
42
2
4
3
)
4
2
(
6
)
4
(
2
)
(
2
4
6
24
2
4
3
)
2
(
2
6
)
2
4
(
2
)
(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
f
f
i
i
i
i
f
i
i
f
p
K
p
K
s
m
m
m
v
m
m
v
m
v
s
m
m
m
v
m
v
m
m
v
12. Contoh Soal 4.4
Sebuah balok 2 kg yang bergerak ke kanan di atas lantai licin
dengan kecepatan 5 m/s mengalami tumbukan dengan balok 3
kg yang juga bergerak ke kanan dengan kecepatan 2 m/s.
Setelah tumbukan balok 3 kg bergerak ke kanan dengan
kecepatan 4,2 m/s. Hitung kecepatan balok 2 kg setelah
tumbukan.
Jawab : 3 kg
2 kg
2 m/s
5 m/s
i
f
i
f
i
i
f
f
f
i
i
K
K
K
s
m
m
v
m
v
m
v
m
v
v
m
v
m
v
m
v
m
35
,
29
46
,
26
89
,
2
2
,
4
)
3
(
2
1
7
,
1
)
2
(
2
1
31
6
25
2
)
3
(
2
1
5
)
2
(
2
1
7
,
1
2
4
,
3
2
)
2
,
4
(
3
)
2
(
3
)
5
(
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
13. Contoh Soal 4.5
Gambar di bawah ini adalah bandul balistik yang dapat digunakan
untuk menentukan kecepatan peluru. Peluru yang ditembakkan
akan terbenam di dalam balok kayu yang tadinya diam. Akibatnya
balok akan naik ke atas setinggi h. Tentukan kecepatan peluru
15. IMPULS
Pada gambar di bawah ini ditunjukkan gaya yang bekerja pada suatu
benda yang hanya berlangsung sangat singkat. Dalam hal ini benda
tersebut dikatakan mendapat impuls :
Jadi impuls adalah luas di bawah F(t) :
dt
t
F
I )
(
p
p
p
mv
mv
mv
dv
m
dt
ma
I
i
f
i
f
i
f
v
v
Impuls menyebabkan momentum benda berubah
Bila impuls berlangsung selama t, Gaya rata-rata dapat dihitung dari :
[N s]
t
F
I
16. Contoh Soal 4.5
Seorang pemain memukul bola bisbol bermassa 140 gram yang
datang horisontal dengan kecepatan 39 m/s. Akibat impuls yang
diterimanya bola bisbol tersebut terpental balik dengan kecepatan
kecepatan yang sama tapi arahnya berlawanan.
a). Berapa perubahan momentumnya ?
b). Bila impuls berlangsung selama 1,2 s berapa gaya rata-rata
yang diberikan oleh pamain kepada bola tersebut ?
Jawab :
s
kgm
v
v
m
mv
mv
p
a i
f
i
f 9
,
10
)
39
(
14
,
0
)
39
(
14
,
0
)
(
).
N
x
F
t
F
p
I
b 9083
10
2
,
1
9
,
10
). 3
17. GERAK SISTEM PARTIKEL DENGAN MASSA BERUBAH
Kekekalan momentum juga berlaku pada sistem partikel dengan massa
berubah (gerak roket, pesawat jet dan cumi-cumi ):
Pada saat t roket bermassa M dan bergerak dengan kecepatan v. Karena
menyemburkan gas dengan kecepatanU kebelakang, maka pada saat t +
t massa roket akan berkurang menjadi M +dM (dM negatip) dan
kecepatanya bertambah menjadi v+dv (dv positip).
18. Kecepatan relatip antara
roket dan gas yang
disemburkannya adalah :
)
( dv
v
U
u
Kekekalan momentum :
F
Ma
dt
dv
M
u
dt
dM
Mdv
dMu
Mdv
dv
v
U
dM
Mv
dv
v
dM
M
U
dM
)]
(
[
)
)(
(
)
(
i
i
f
f
i
f
v
m
v
m
p
p
F adalah gaya dorong roket
(thrust):
19. Contoh Soal 4.6
Sebuah roket yang mula-mula massanya 850 kg menyemburkan
gas dengan laju 2,3 kg/s. Bila kecepatan semburan gas irelatip
terhadap roket adalah 2800m/s,
a). Berapa gaya dorong dari roket tersebut ?
b). Bila roket tersebut dilepaskan di ruang angkasa (tidak ada
pengaruh gravitasi), berapa kecepatannya pada saat bahan
bakarnya habis dimana massa roket 180 kg ?
Jawab :
N
Mg
N
u
dt
dM
F
a 8300
)
8
,
9
(
850
6440
)
2800
)(
3
,
2
(
).
s
m
v
M
M
u
v
v
M
dM
u
dv
M
dM
u
dv
dMu
Mdv
b
f
i
f
i
f
M
M
v
v
f
i
f
i
4300
180
850
ln
)
2800
(
ln
).
