Sistem partikel dapat dianggap sebagai satu partikel tunggal yang terletak pada pusat massanya. Pusat massa dapat dihitung dengan rumus yang melibatkan massa dan posisi setiap partikel. Gerak sistem partikel ditentukan oleh gaya yang bekerja pada setiap partikel.
BAB I
PENDAHULUAN
Semua benda di bumi ini terdiri dari banyak partikel. Bahkan debu-pun terdiri dari partikel-partikel. Semua yang ada di bumi ini dapat ditinjau dengan mekanika newton. Hukum dasar mekanika terbukti mampu menjelaskan berbagai fenomena yang berhubungan dengan sistem diskrit (partikel). Hukum dasar ini tercakup dalam formulasi Hukum Newton tentang gerak. Pada bagian ini akan dibahas formulasi hukum mekanika pada sistem partikel dan benda benda yang terdiri dari partikel yang kontinyu (benda tegar).
Perbedaan mendasar antara partikel dan benda tegar adalah bahwa suatu partikel hanya dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) saja, karena secara logika, jika suatu partikel bergerak rotasi maka partikel itu tidak akan terlihat bergerak rotasi melainkan akan tetap terlihat bergerak lurus saja. Hal ini dikarenakan partikel tersebut sangat kecil. Sedangkan benda tegar selain dapat mengalami gerak translasi juga dapat bergerak rotasi yaitu gerak mengelilingi suatu poros ataupun mengalami gerak keduanya secara serempak yaitu translasi-rotasi.
BAB II
PEMBAHASAN ‘SISTEM PARTIKEL’
Sistem Partikel adalah sistem ataupun benda yang terdiri dari banyak partikel (titik partikel) maupun benda yang terdiri dari partikel-partikel yang dianggap tersebar secara kontinyu pada benda.
Pusat Massa
Pusat massa adalah lokasi rerata dari semua massa yang ada di dalam suatu sistem. Istilah pusat massa sering dipersamakan dengan istilah pusat gravitasi, namun demikian mereka secara fisika merupakan konsep yang berbeda. Letak keduanya memang bertepatan dalam kasus medan gravitasi yang sama, akan tetapi ketika gravitasinya tidak sama maka pusat gravitasi merujuk pada lokasi rerata dari gaya gravitasi yang bekerja pada suatu benda. Hal ini menghasilkan suatu torsi gravitasi, yang kecil tetapi dapat terukur dan harus diperhitungkan dalam pengoperasian satelit-satelit buatan.
Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel didefinisikan sebagai berikut
r ⃗_pm=(m_1 r_1+m_2 r_(2+⋯+) m_n r_n)/(m_1+m_2+⋯+m_n )=∑▒i (m_i r_i)/M.........(1)
Dengan (r_i ) ⃗ adalah posisi partikel ke-i di dalam sistem, dan. M=∑_i▒m_i ......... (2)
r ⃗_pm=∑▒i (m_i (□(r ⃗_pm+ r ⃗_i )))/M=r ⃗_pm+(∑▒i m_i r ⃗_i)/M........(4)
sehingga dapat disimpulkan bahwa
∑_i▒〖m_i r ⃗_i=0〗 .......(5)
Bila bendanya bersifat kontinyu, maka menjadi fungsi pusat massa akan menjadi integral :
Jika diuraikan pada komponene x,y,z maka;
x_pm=(∑_(i=1)^n▒〖m_1 x_1 〗)/M,y_pm=(∑_(i=1)^n▒〖m_1 y_1 〗)/M,z_pm=(∑_(i=1)^n▒〖m_1 z_1 〗)/M.........(7)
Kecepatan masing-masing partikel penyusunnya;
v_pm=(∑_i^n▒〖m_i v_i 〗)/M........(8)
Gerak Pusat Massa
Gerak pusat massa dapat diperoleh melalui definisi pusat massa. Kecepatan pusat massa diperoleh dari derivatif persamaan pusat massa;
v ⃗_pm=(∑▒i m_i r ⃗_i)/M.......(9)
Dari persamaan ini, setelah dikalikan dengan M, diperoleh
〖Mv
BAB I
PENDAHULUAN
Semua benda di bumi ini terdiri dari banyak partikel. Bahkan debu-pun terdiri dari partikel-partikel. Semua yang ada di bumi ini dapat ditinjau dengan mekanika newton. Hukum dasar mekanika terbukti mampu menjelaskan berbagai fenomena yang berhubungan dengan sistem diskrit (partikel). Hukum dasar ini tercakup dalam formulasi Hukum Newton tentang gerak. Pada bagian ini akan dibahas formulasi hukum mekanika pada sistem partikel dan benda benda yang terdiri dari partikel yang kontinyu (benda tegar).
Perbedaan mendasar antara partikel dan benda tegar adalah bahwa suatu partikel hanya dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) saja, karena secara logika, jika suatu partikel bergerak rotasi maka partikel itu tidak akan terlihat bergerak rotasi melainkan akan tetap terlihat bergerak lurus saja. Hal ini dikarenakan partikel tersebut sangat kecil. Sedangkan benda tegar selain dapat mengalami gerak translasi juga dapat bergerak rotasi yaitu gerak mengelilingi suatu poros ataupun mengalami gerak keduanya secara serempak yaitu translasi-rotasi.
BAB II
PEMBAHASAN ‘SISTEM PARTIKEL’
Sistem Partikel adalah sistem ataupun benda yang terdiri dari banyak partikel (titik partikel) maupun benda yang terdiri dari partikel-partikel yang dianggap tersebar secara kontinyu pada benda.
Pusat Massa
Pusat massa adalah lokasi rerata dari semua massa yang ada di dalam suatu sistem. Istilah pusat massa sering dipersamakan dengan istilah pusat gravitasi, namun demikian mereka secara fisika merupakan konsep yang berbeda. Letak keduanya memang bertepatan dalam kasus medan gravitasi yang sama, akan tetapi ketika gravitasinya tidak sama maka pusat gravitasi merujuk pada lokasi rerata dari gaya gravitasi yang bekerja pada suatu benda. Hal ini menghasilkan suatu torsi gravitasi, yang kecil tetapi dapat terukur dan harus diperhitungkan dalam pengoperasian satelit-satelit buatan.
Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel didefinisikan sebagai berikut
r ⃗_pm=(m_1 r_1+m_2 r_(2+⋯+) m_n r_n)/(m_1+m_2+⋯+m_n )=∑▒i (m_i r_i)/M.........(1)
Dengan (r_i ) ⃗ adalah posisi partikel ke-i di dalam sistem, dan. M=∑_i▒m_i ......... (2)
r ⃗_pm=∑▒i (m_i (□(r ⃗_pm+ r ⃗_i )))/M=r ⃗_pm+(∑▒i m_i r ⃗_i)/M........(4)
sehingga dapat disimpulkan bahwa
∑_i▒〖m_i r ⃗_i=0〗 .......(5)
Bila bendanya bersifat kontinyu, maka menjadi fungsi pusat massa akan menjadi integral :
Jika diuraikan pada komponene x,y,z maka;
x_pm=(∑_(i=1)^n▒〖m_1 x_1 〗)/M,y_pm=(∑_(i=1)^n▒〖m_1 y_1 〗)/M,z_pm=(∑_(i=1)^n▒〖m_1 z_1 〗)/M.........(7)
Kecepatan masing-masing partikel penyusunnya;
v_pm=(∑_i^n▒〖m_i v_i 〗)/M........(8)
Gerak Pusat Massa
Gerak pusat massa dapat diperoleh melalui definisi pusat massa. Kecepatan pusat massa diperoleh dari derivatif persamaan pusat massa;
v ⃗_pm=(∑▒i m_i r ⃗_i)/M.......(9)
Dari persamaan ini, setelah dikalikan dengan M, diperoleh
〖Mv
pengertian mekanika newtonian, mekanika hamiltonian, mekanika langrangian
penurunan fungsi hamilton dan kekekalan energi
kekekalan energi dan kasus
fungi hamilton dan aplikasi kasus
composed by adnavi ulfa
pengertian mekanika newtonian, mekanika hamiltonian, mekanika langrangian
penurunan fungsi hamilton dan penurunan kekekalan energi
kasus kekekalan energi
fungsi hamilton dan aplikasi kasus
Benda tegar adalah suatu benda yang bentuknya tidak berubah saat diberi gaya dari luar. Benda dianggap sebagai suatu titik materi yang ukurannya bisa diabaikan. Hal itu berlaku jika benda dimasukkan dalam sistem partikel. Itulah mengapa, semua gaya yang bekerja pada benda tersebut hanya dianggap bekerja pada titik materi yang menyebabkan terjadinya gerak translasi (∑F = 0)
Keseimbangan benda tegar adalah kondisi di mana momentum suatu benda bernilai nol. Artinya, jika awalnya suatu benda diam, benda tersebut akan cenderung untuk diam.
Jika ditinjau dari sistem partikel, syarat keseimbangan yang berlaku pada benda hanya syarat keseimbangan translasi. Hal itu berbeda dengan syarat keseimbangan benda tegar.
pengertian mekanika newtonian, mekanika hamiltonian, mekanika langrangian
penurunan fungsi hamilton dan kekekalan energi
kekekalan energi dan kasus
fungi hamilton dan aplikasi kasus
composed by adnavi ulfa
pengertian mekanika newtonian, mekanika hamiltonian, mekanika langrangian
penurunan fungsi hamilton dan penurunan kekekalan energi
kasus kekekalan energi
fungsi hamilton dan aplikasi kasus
Benda tegar adalah suatu benda yang bentuknya tidak berubah saat diberi gaya dari luar. Benda dianggap sebagai suatu titik materi yang ukurannya bisa diabaikan. Hal itu berlaku jika benda dimasukkan dalam sistem partikel. Itulah mengapa, semua gaya yang bekerja pada benda tersebut hanya dianggap bekerja pada titik materi yang menyebabkan terjadinya gerak translasi (∑F = 0)
Keseimbangan benda tegar adalah kondisi di mana momentum suatu benda bernilai nol. Artinya, jika awalnya suatu benda diam, benda tersebut akan cenderung untuk diam.
Jika ditinjau dari sistem partikel, syarat keseimbangan yang berlaku pada benda hanya syarat keseimbangan translasi. Hal itu berbeda dengan syarat keseimbangan benda tegar.
Sebuah buku foto yang berjudul Lensa Kampung Ondel-Ondelferrydmn1999
Indonesia, negara kepulauan yang kaya akan keragaman budaya, suku, dan tradisi, memiliki Jakarta sebagai pusat kebudayaan yang dinamis dan unik. Salah satu kesenian tradisional yang ikonik dan identik dengan Jakarta adalah ondel-ondel, boneka raksasa yang biasanya tampil berpasangan, terdiri dari laki-laki dan perempuan. Ondel-ondel awalnya dianggap sebagai simbol budaya sakral dan memainkan peran penting dalam ritual budaya masyarakat Betawi untuk menolak bala atau nasib buruk. Namun, seiring dengan bergulirnya waktu dan perubahan zaman, makna sakral ondel-ondel perlahan memudar dan berubah menjadi sesuatu yang kurang bernilai. Kini, ondel-ondel lebih sering digunakan sebagai hiasan atau sebagai sarana untuk mencari penghasilan. Buku foto Lensa Kampung Ondel-Ondel berfokus pada Keluarga Mulyadi, yang menghadapi tantangan untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel warisan leluhur di tengah keterbatasan ekonomi yang ada. Melalui foto cerita, foto feature dan foto jurnalistik buku ini menggambarkan usaha Keluarga Mulyadi untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel sambil menghadapi dilema dalam mempertahankan makna budaya di tengah perubahan makna dan keterbatasan ekonomi keluarganya. Buku foto ini dapat menggambarkan tentang bagaimana keluarga tersebut berjuang untuk menjaga warisan budaya mereka di tengah arus modernisasi.
1. SISTEM PARTIKEL
PUSAT MASSA
Suatu sistem partikel yang terdiri dari sejumlah partikel dapat dianggap
sebagai satu partikel bermassa massa total dan terletak pada sebuah
titik yang disebut sebagai pusat massa.
Bila beberapa partikel terletak pada satu garis lurus :
M
x
m
x
m
x
m
m
m
m
x
m
x
m
x
m
m
x
m
x 3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
i
i
i
pm
m1 m2 m3
x1
x2
x3
Pusat massa sistem dapat dihitung dari :
2. Bila beberapa partikel terletak pada satu bidang :
3 m
m2 = 4 kg
4 m
m1 = 2 kg m2 = 6 kg
Pusat massanya terletak di :
m
1
12
12
6
4
2
)
0
(
6
)
3
(
4
)
0
(
2
m
m
m
y
m
y
m
y
m
y
m
2
12
24
6
4
2
)
4
(
6
)
0
(
4
)
0
(
2
m
m
m
x
m
x
m
x
m
x
3
2
1
3
3
2
2
1
1
pm
3
2
1
3
3
2
2
1
1
pm
2
1
M=12 kg
3. GERAK SISTEM PARTIKEL
eksternal
pm
n
2
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
n
n
2
2
1
1
pm
i
i
pm
F
Ma
F
F
F
Ma
a
m
a
m
a
m
Ma
dt
dv
m
dt
dv
m
dt
dv
m
dt
dv
M
v
m
v
m
v
m
Mv
dt
dx
m
dt
dx
m
dt
dx
m
dt
dx
M
x
m
x
m
x
m
Mx
M
x
m
x
4. Contoh Soal 4.1
Pada tiga buah benda masing-masing bekerja gaya seperti
terlihat pada gambar di bawah ini. Tentukan besar dan arah
percepatan pusat massanya.
Jawab :
N
5
,
16
45
cos
12
6
14
F o
x
o
1
o
y 27
5
,
16
49
,
8
tg
N
49
,
8
45
sin
12
F
2
pm
2
2
s
m
16
,
1
16
6
,
18
M
F
a
N
6
,
18
49
,
8
5
,
16
F
5. Bila sebuah kapak dilemparkan ke atas seperti terlihat pada gambar di
bawah ini, maka semua bagian dari kapak tersebut akan melakukan
gerak yang kompleks, yaitu gerak translasi dan rotasi kecuali pusat
massanya yang akan melakukan gerak parabola karena bertindak
sebagai satu partikel.
6. Contoh Soal 4.2
Sebuah meriam menembakkan peluru dengan dengan kecepatan
20 m/s dan sudut 60o terhadap horisontal. Pada saat mencapai
ketinggian maksimum pelurunya pecah menjadi dua sama besar
dengan massa masing-masing m. Pecahan pertama langsung
jatuh bebas sedangkan pecahan kedua terpental. Tentukan
dimana pecahan kedua jatuh ke tanah.
Jawab :
3
,
17
60
sin
20
sin
v
v
10
60
cos
20
cos
v
v
o
o
o
oy
o
o
o
ox
7. Pada ketinggian maksimum :
m
4
,
35
)
7
,
17
(
2
x
2
x
m
7
,
17
)
77
,
1
(
10
t
v
x
s
77
,
1
8
,
9
32
,
17
g
v
t
0
gt
v
v
1
1
ox
1
oy
1
oy
y
Gerak pusat massa :
m
1
,
53
7
,
17
8
,
70
x
x
7
,
17
8
,
70
mx
)
7
,
17
(
m
)
4
,
35
(
m
2
x
x
mx
mx
Mx
2
2
2
pm
2
1
pm
8. MOMENTUM LINIER
F
ma
dt
dv
m
dt
dp
mv
p
Momentum linier dari sebuah partikel didefinisikan sebagai massa
dikalikan dengan kecepatannya :
Sistem partikel :
i
pm
pm
pm
n
n
2
2
1
1
i
F
Ma
dt
dv
M
dt
dp
Mv
p
v
m
v
m
v
m
p
Bila tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada sistem partikel :
C
v
m
v
m
v
m
tetap
p
0
dt
dp
F
n
n
2
2
1
1
9. TUMBUKAN
• Tumbukan Lenting Sempurna : pi = pf Ki = Kf
i
f
i
f
i
f
f
i
i
f
i
f
f
i
f
i
i
f
f
i
i
f
f
i
i
f
f
i
f
f
i
i
f
f
i
i
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
m
v
v
m
v
v
m
v
v
m
v
v
m
v
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
v
m
v
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
• Tumbukan Tidak Lenting : pi = pf Kf < Ki
• Tumbukan Sama sekali Tidak Lenting : pi = pf v1f =v2f
11. Contoh Soal 4.3
Sebuah balok 4 kg yang bergerak ke kanan di atas lantai licin
dengan kecepatan 6 m/s mengalami tumbukan lenting sempurna
dengan balok 2 kg yang juga bergerak ke kanan dengan
kecepatan 3 m/s. Hitung kecepatan kedua balok setelah
tumbukan.
Jawab :
4 kg 2 kg
6 m/s 3 m/s
30
)
7
(
2
)
4
(
4
81
49
32
7
)
2
(
2
1
4
)
4
(
2
1
30
)
3
(
2
)
6
(
4
81
9
72
3
)
2
(
2
1
6
)
4
(
2
1
7
6
42
2
4
3
)
4
2
(
6
)
4
(
2
)
(
2
4
6
24
2
4
3
)
2
(
2
6
)
2
4
(
2
)
(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
f
f
i
i
i
i
f
i
i
f
p
K
p
K
s
m
m
m
v
m
m
v
m
v
s
m
m
m
v
m
v
m
m
v
12. Contoh Soal 4.4
Sebuah balok 2 kg yang bergerak ke kanan di atas lantai licin
dengan kecepatan 5 m/s mengalami tumbukan dengan balok 3
kg yang juga bergerak ke kanan dengan kecepatan 2 m/s.
Setelah tumbukan balok 3 kg bergerak ke kanan dengan
kecepatan 4,2 m/s. Hitung kecepatan balok 2 kg setelah
tumbukan.
Jawab : 3 kg
2 kg
2 m/s
5 m/s
i
f
i
f
i
i
f
f
f
i
i
K
K
K
s
m
m
v
m
v
m
v
m
v
v
m
v
m
v
m
v
m
35
,
29
46
,
26
89
,
2
2
,
4
)
3
(
2
1
7
,
1
)
2
(
2
1
31
6
25
2
)
3
(
2
1
5
)
2
(
2
1
7
,
1
2
4
,
3
2
)
2
,
4
(
3
)
2
(
3
)
5
(
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
13. Contoh Soal 4.5
Gambar di bawah ini adalah bandul balistik yang dapat digunakan
untuk menentukan kecepatan peluru. Peluru yang ditembakkan
akan terbenam di dalam balok kayu yang tadinya diam. Akibatnya
balok akan naik ke atas setinggi h. Tentukan kecepatan peluru
15. IMPULS
Pada gambar di bawah ini ditunjukkan gaya yang bekerja pada suatu
benda yang hanya berlangsung sangat singkat. Dalam hal ini benda
tersebut dikatakan mendapat impuls :
Jadi impuls adalah luas di bawah F(t) :
dt
t
F
I )
(
p
p
p
mv
mv
mv
dv
m
dt
ma
I
i
f
i
f
i
f
v
v
Impuls menyebabkan momentum benda berubah
Bila impuls berlangsung selama t, Gaya rata-rata dapat dihitung dari :
[N s]
t
F
I
16. Contoh Soal 4.5
Seorang pemain memukul bola bisbol bermassa 140 gram yang
datang horisontal dengan kecepatan 39 m/s. Akibat impuls yang
diterimanya bola bisbol tersebut terpental balik dengan kecepatan
kecepatan yang sama tapi arahnya berlawanan.
a). Berapa perubahan momentumnya ?
b). Bila impuls berlangsung selama 1,2 s berapa gaya rata-rata
yang diberikan oleh pamain kepada bola tersebut ?
Jawab :
s
kgm
v
v
m
mv
mv
p
a i
f
i
f 9
,
10
)
39
(
14
,
0
)
39
(
14
,
0
)
(
).
N
x
F
t
F
p
I
b 9083
10
2
,
1
9
,
10
). 3
17. GERAK SISTEM PARTIKEL DENGAN MASSA BERUBAH
Kekekalan momentum juga berlaku pada sistem partikel dengan massa
berubah (gerak roket, pesawat jet dan cumi-cumi ):
Pada saat t roket bermassa M dan bergerak dengan kecepatan v. Karena
menyemburkan gas dengan kecepatanU kebelakang, maka pada saat t +
t massa roket akan berkurang menjadi M +dM (dM negatip) dan
kecepatanya bertambah menjadi v+dv (dv positip).
18. Kecepatan relatip antara
roket dan gas yang
disemburkannya adalah :
)
( dv
v
U
u
Kekekalan momentum :
F
Ma
dt
dv
M
u
dt
dM
Mdv
dMu
Mdv
dv
v
U
dM
Mv
dv
v
dM
M
U
dM
)]
(
[
)
)(
(
)
(
i
i
f
f
i
f
v
m
v
m
p
p
F adalah gaya dorong roket
(thrust):
19. Contoh Soal 4.6
Sebuah roket yang mula-mula massanya 850 kg menyemburkan
gas dengan laju 2,3 kg/s. Bila kecepatan semburan gas irelatip
terhadap roket adalah 2800m/s,
a). Berapa gaya dorong dari roket tersebut ?
b). Bila roket tersebut dilepaskan di ruang angkasa (tidak ada
pengaruh gravitasi), berapa kecepatannya pada saat bahan
bakarnya habis dimana massa roket 180 kg ?
Jawab :
N
Mg
N
u
dt
dM
F
a 8300
)
8
,
9
(
850
6440
)
2800
)(
3
,
2
(
).
s
m
v
M
M
u
v
v
M
dM
u
dv
M
dM
u
dv
dMu
Mdv
b
f
i
f
i
f
M
M
v
v
f
i
f
i
4300
180
850
ln
)
2800
(
ln
).