Sistema de ecuaciones

1. Lic. Faustina Lucila Ccapa Maldonado
Lic. Lic. María Isabel Ticona Benique
Sistema de
ecuaciones

2. Hola Lucas. ¿Sabes que es un sistema de Ecuación?
Hola Bugs.
Sí, un sistema de ecuación es la reunión de varias
ecuaciones simultáneas.
En la cual a cada incógnita le corresponde un mismo
valor.
Entonces un ejemplo de sistema de ecuación sería:
2x + 3y = 18
6x - 2y = 10
Exacto, en ese caso podemos decir que tu sistema tiene
dos ecuaciones y dos variables.

3. PROBLEMA
Pedro también se fue de compras al supermercado y compró
cinco cajas de plumones y siete cajas de lapiceros y tuvo que
pagar 74 soles. ¿Cuál es el precio de cada caja de plumones y
de cada caja de lapiceros?
Alicia
Pedro
Cajas de plumones: x
Cajas de lapiceros: y
5x + 7y = 74 ...(II)
3x + 5y = 50 ...(I)
Alicia se fue de compras a una librería de la ciudad de Juliaca
y pagó 50 soles por tres cajas de plumones y cinco cajas de
lapiceros.

4. A. Método por Sustitución.
B. Método por Igualación.
C. Método por Determinantes.
D. Método por Reducción o Eliminación.
E. Método Mediante Gráficos.
PARA HALLAR LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS
INCÓGNITAS, SE UTILIZAN LOS SIGUIENTES MÉTODOS:

5. A. MÉTODO POR SUSTITUCIÓN
En nuestro sistema:
3x + 5y = 50 primera ecuación
5x + 7y = 74 segunda ecuación
Despejaremos la variable “x” de la primera ecuación:
3x + 5y = 50
3x = 50 - 5y
x =
50 − 5𝑦
3
Reemplazamos “x” en la segunda ecuación:
5x + 7y = 74
5
50 − 5𝑦
3
+ 7y = 74
1. Despejar una variable o incógnita de la ecuación, puede ser cualquiera de
las variables.
2. Sustituir en la ecuación la variable despejada.
3. Reemplazar en cualquier ecuación el valor obtenido.

6. Como en el denominador
tenemos 3 entonces a cada
termino multiplicamos por 3
250 −25𝑦
3
+ 7y = 74
3
250 −25𝑦
3
+ 7y .3 = 74 .3
Reemplazando “y” en la primera ecuación:
3x + 5y = 50
3x + 5(7) =50
3x =50 -35
3x = 15
x =5
250 −25𝑦 + 21y = 222
-25y + 21y = 222-250
-4y = 222-250
-4y = -28
y = 28/4 = 7 ; entonces, y =7
C.S. = { 5 ,7}

7. Ejemplo: 3x + 5y = 50  ecuación 1
5x + 7y = 74  ecuación 2
Despejando “y”, en la primera ecuación:
3x + 5y = 50
5y = 50 -3x
y =
50 − 3𝑥
5
Despejando “y”, en la segunda ecuación:
5x + 7y = 74
7y = 74 -5x
y =
74−5𝑥
7
B. MÉTODO POR IGUALACIÓN
1.-Despegar la misma variable en ambas ecuaciones.
2.-Igualar las expresiones despejadas.
3.-Reemplazar en cualquiera de las ecuaciones despejadas el valor obtenido.
Igualamos ambas ecuaciones obtenidas de la variable “y”

8. 50 −3𝑥
5
=
74 −5𝑥
7
MCM = 35
7(50 -3x) = 5(74-5x)
350 – 21x =370 -25x
-21x + 25x = 370 -350
4x = 20
x =5
Reemplazando “x” en la ecuación 1:
3x + 5y = 50
3(5) +5y =50
15 + 5y = 50
5y = 50-15
y =
35
5
= 7 entonces y =7
Reemplazando el valor de la variable “x” en cualquiera de las ecuaciones:
C.S. = { 5 ,7}

9. Necesitamos conocer previamente dos conceptos fundamentales el de matriz y el de
determinantes.
MATRIZ: la definiremos como un conjunto de objetos ordenados en filas y columnas,
encerradas entre corchetes o paréntesis, una matriz se denota con letras mayúsculas y
sus elementos con letras minúsculas.
Ejemplo: A =
1 2
3 4
ORDEN DE UNA MATRIZ: es el producto indicado del número de fila por el número
de columnas de la matriz.
C. MÉTODO DE DETERMINANTE O REGLA DE CRAMER
1 2
3 4
La matriz tiene 2 filas
y 2 columnas entonces
es de orden 2X2
PRIMERA FILA
SEGUNDA FILA
PRIMERA
COLUMNA
SEGUNDA
COLUMNA

10. MATRIZ CUADRADA: es aquel que tiene igual numero de filas y columnas ,en
una matriz cuadrada la diagonal principal son los números (1y4) y la diagonal
secundaria son los números (3y2 ).
Es una matriz
cuadrada de orden 2
1 2
3 4
DIAGONAL SECUNDARIA DIAGONAL PRINCIPAL
1 2
3 4
= (1.4) - (3.2)
4 - 6
-2
DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN. Esta definido por el producto de los
elementos dela diagonal principal menos el producto de elementos de la diagonal
secundaria.

11. EJEMPLO POR EL MÉTODO DE DETERMINANTES:
Resolver la siguiente ecuación: 3x + 5y = 50
5x +7y = 74
1. Se halla el determinante de la matriz trabajando con los coeficientes de las dos
variables:
D(∆) =
3 5
5 7
=(3)(7) - (5)(5)
D(∆) = 21 - 25
2. Se halla el determinante que corresponde a la variable “x” donde reemplazamos
con los números que están después del signo igual:
D(x) =
50 5
74 7
= (50)(7) – (74)(5)
D(x) =350 -370
D(∆) = -4
D(x) = -20

12. 3. Se halla el determinante que corresponde a la variable ”y” donde reemplazamos la
columna de la variable “y” con los números que están después del signo igual:
D(y) =
3 50
5 74
= (3)(74) –(5)(50)
D(y) = 222 – 250
4. El valor de la variable “x”, se halla dividiendo el determinante que corresponde a
la variable “x” entre el determinante de la matriz:
x =
𝐷(𝑥)
𝐷(⍙)
=
−20
−4
= 5; entonces el valor de la variable “x” es:
D(y) = -28
5. El valor de la variable “y” se halla dividiendo el determinante que corresponde a
la variable “y” entre la determinante de la matriz:
y =
𝐷(𝑦)
𝐷(⍙)
=
−28
−4
= 7; entonces el valor de la variable “y” es:
x=5
y=7
C.S. = { 5 ,7}

13. Se sigue los siguientes pasos:
1.-Decidimos eliminar la variable “y”, para conseguirlo multiplicamos
la primera ecuación por 7 y la segunda ecuación por 5, obteniendo así
el sistema equivalente, como son signos iguales a cualquier numero de
5 y 7 le pongo el signo menos para poder eliminar la variable “y”.
2.-Sumamos miembro a miembro las ecuaciones después de realizar el
producto con cada término de la ecuación.
3.Reemplazamos el valor de la variable “x” en cualquiera de las
ecuaciones.
D. MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN
Consiste este método en conseguir, multiplicando por números convenientes, que una
misma incógnita tenga coeficientes opuestos en ambas ecuaciones.
Ejemplo: 3x + 5y = 50
5x +7y = 74

14. Ejemplo: 3x + 5y = 50
5x +7y = 74
7 3x + 5y = 50  eliminando la variable “y”
-5 5x + 7y = 74
21x + 35y = 350
-25x - 35y = -370
-4x = -20
x =
−20
−4
x = 5  entonces el valor de la variable “x” es igual: x=5
Reemplazando “x” en la primera ecuación:
3x + 5y = 50
3(5) +5y = 50
15 +5y =50
5y =50-15
y =
35
5
= 7  entonces el valor de la variable “y” es igual: y=7
C.S. = { 5 ,7}

15. Para cada uno de ellos con 2 puntos se puede trazar una línea recta, anulando la
variable “x” para encontrar la variable “y”; anulando la variable ”y” para encontrar
la variable ”x”. Hallamos los pares ordenados de la ecuación 1 y 2 dando valores
menores, con el intercepto de estas dos rectas se encuentra el resultado de la ecuación.
E. MÉTODO MEDIANTE GRÁFICO
Ejemplo: 3x + 5y = 50
5x +7y = 74
En la ecuación 1, encontraremos los pares ordenados reemplazando valores:
3x + 5y = 50
x y
Pares
ordenados
0 10 (0;10)
50/3 =16.6 0 (16.7;0)
Para x =0:
3x + 5y = 50
3(0) + 5y=50
0 + 5y =50
y = 50/5
y = 10
Para y =0:
3x + 5y = 50
3x + 5(0) = 50
3x + 0 = 50
3x = 50
x =50/3
x=16.7
PUNTO A
PUNTO B

16. En la ecuación 2, encontraremos los pares ordenados reemplazando valores:
5x +7y = 74
x y
Pares
ordenados
0 74/7=10.57 (0;10.57)
74/5 =14.8 0 (14.8;0)
Para x =0:
5x + 7y =74
5(0) + 7y=74
0 + 7y =74
y = 74/7
y = 10.57
Para y =0:
5x + 7y = 74
5x + 7(0) = 74
5x + 0 = 74
5x = 74
x =74/5
x=14.8
PUNTO C
PUNTO D

17. Ahora ubicamos en el plano cartesiano los pares ordenados, la respuesta es
donde las 2 rectas interceptan en un punto y así encontraremos el conjunto de
solución de la ecuación.
PUNTO DE INTERCEPTO
C.S. = { 5 ,7}
x=5
y=7