บทที่ 2

1. 3
บทที่2
เอกสารที่เกี่ยวข้อง
ในการศึกษาค้นคว้าโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง ต้นไม้กับตรีโกณมิติ ในครั้งนี้
มีเอกสารที่เกี่ยวข้องดังนี้
1. การหาความสูงของต้นไม้
2. ตรีโกณมิติ
3. ต้นหมาก
1. การหาความสูงของต้นไม้
ใช้เครื่องวัดมุมเอียงหรืออุปกรณ์ส่องกล้องรังวัด
รูปภาพที่ 1เครื่องมือวัดมุมเอียง
1. ใช้วิธีนี้เพื่อการวัดที่แม่นยามากขึ้น ยังมีวิธีอื่นแม่นยากว่านี้อีก
แต่นี่จะไม่ต้องคานวณมากและใช้อุปกรณ์พิเศษที่อ่านค่าได้แม่นยา
มันไม่ได้น่ากลัวอย่างที่คิดหรอก: สิ่งที่จาเป็นก็แค่เครื่องคิดเลขที่คิดค่า tan ได้ซักเครื่อง
และไม้โปรแทคเตอร์พลาสติกถูกๆ หลอดดูด และเชือกซักเส้นเท่านั้นเอง
ก็จะเอามาใช้ทาเครื่องวัดมุมเอียง (clinometer) ด้วยตัวเองได้แล้ว
โดยเครื่องนี้จะวัดความชันของสิ่งของหรือใช้ในกรณีที่มีมุมอยู่ระหว่างคุณ กับยอดของต้นไม้
ส่วนอุปกรณ์ส่องกล้องรังวัด (transit)
จะเป็นอุปกรณ์ที่ซับซ้อนกว่าที่ให้ผลอย่างเดียวกันแต่ต้องใช้กล้องส่องทาง
ไกลหรือเลเซอร์ช่วยด้วยเพื่อความแม่นยามากขึ้น

2. 4
รูปภาพที่ 2 วัดระยะทางตามระยะสายตา
2. วัดระยะทางไปตามระยะสายตา
ยืนแล้วถอยหลังไปยังต้นไม้และเดินผ่านจุดที่อยู่แถวพื้นของฐานต้นไม้และจะทา
ให้มองเห็นยอดต้นไม้ได้ชัดเจน เดินตรงและใช้ตลับเมตรเพื่อวัดระยะทางของคุณจากต้นไม้
ซึ่งไม่จาเป็นต้องยืนไกลจากต้นไม้ตามระยะทางที่กาหนดก็ได้
แต่ถ้าจะให้ได้ผลดีที่สุดต้องยืนห่างออกมาประมาณ 1-1.5 เท่าของความสูงต้นไม้
รูปภาพที่ 3 วัดระยะทางตามระยะสายตา
3. วัดมุมเงยไปหายอดต้นไม้
มองไปที่ยอดต้นไม้และใช้เครื่องวัดมุมเอียงหรืออุปกรณ์ส่องกล้องรังวัดเพื่อ จะวัด “มุมเงย”
ระหว่างต้นไม้กับพื้น ซึ่งมุมเงยก็คือมุมที่เกิดจากสองเส้นคือ
พื้นราบและระดับสายตาที่มองไปยังจุดที่ยกสูงขึ้น (ในกรณีนี้คือยอดของต้นไม้) กับคุณด้วยมุมยอด

3. 5
รูปภาพที่ 4 วัดระยะทางตามระยะสายตา
4. คูณระยะห่างจากต้นไม้ด้วยค่า tan
จาตอนที่วัดระยะห่างจากต้นไม้ในขั้นตอนแรกได้ไหม ให้เอามันมาคูณด้วยค่า tan
โดยใช้เครื่องคิดเลข แล้วผลลัพธ์ที่ได้จะบอกความสูงของต้นไม้ที่อยู่เหนือระดับสายตา
ซึ่งมาจากระดับที่ใช้คานวณค่า tan
ถ้าอ่านขั้นตอนย่อยๆ ก่อนหน้านี้เรื่องความหมายของค่า tan มาแล้วจะเข้าใจว่าทาไมวิธีนี้ถึงดี
และอย่างที่ได้อธิบายไปแล้ว ค่าแทนก็คือ (ความสูงของต้นไม้) หารด้วย (ระยะห่างจากต้นไม้)
แล้วคูณแต่ละข้างของสมการด้วย (ระยะห่างจากต้นไม้) และจะได้เป็น (ค่า tan) x
(ระยะห่างจากต้นไม้) = (ความสูงของต้นไม้) นั่นเอง
รูปภาพที่ 5 วัดความสูงของตัวเอง
5. เพิ่มความสูงของตัวเองเข้าไปในขั้นตอนก่อนหน้านี้
แล้วตอนนี้ก็จะได้ความสูงของต้นไม้แล้ว
เพราะเราใช้เครื่องวัดมุมลาดหรือทรานซิสในระดับสายตาไม่ใช่ในระดับพื้นดิน

4. 6
จึงต้องเพิ่มความสูงเข้าไปในการวัดเพื่อจะได้ความสูงทั้งหมดของต้นไม้
แล้วจะได้ความแม่นยาที่มากขึ้นจากการวัดความสูงจากระดับสายตาไม่ใช่บนสุดของ หัว
ตัวอย่างที่1
ต้นไม้ใหญ่ต้นหนึ่งในป่า จุด A เป็นจุดที่ คุณฉวียืนอยู่ ห่างจากโคนต้นไม้คือจุด B
เป็นระยะทางยาว 7 เมตร คุณฉวีจะมองผ่านกล้องส่องทางไกลเห็นยอดต้นไม้คือที่จุด C พอดี
แนวสายตาที่คุณฉวีมองเห็นยอดต้นไม้คือจุด C ทามุม 75
กับแนวระดับ จงให้อัตราส่วนตรีโกณมิติหาความสูงของต้นไม้ใหญ่ต้นนี้
แนวคิดในการแก้โจทย์
1. ศึกษาโจทย์ให้เข้าใจ
2. เขียนรายละเอียดต่าง ๆ ตามที่โจทย์กาหนด
3. สร้างรูปขึ้นมาตามที่โจทย์กาหนดเพื่อง่ายต่อการคานวณ
4. พิจารณาจะใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติใดจึงจะได้ค่าตามที่โจทย์ต้องการ
5. สร้างสมการโดยอาศัยอัตราส่วนตรีโกณมิตินั้น นั่นคือ
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่โจทย์กาหนด = ด้านตรงกันข้าม A/ด้านประชิดมุม A
กาหนดขึ้นมาแล้ววาดรูปตามข้อ 3 จะได้ดังรูป
รายละเอียดที่โจทย์กาหนดให้คือ
1. จุด A ห่างจากจุด B ระยะทาง 7 เมตร
2. จุด A ทามุม 75 กับจุด B
สิ่งที่โจทย์ต้องการทราบคือความยาวของ BC
ขั้นตอนต่อไปคือเรามาพิจารณาว่าเราจะใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติใดหาจึงจะได้ความยาวของ BC
1. ถ้าใช้ sine A = ด้านตรงข้ามมุม A/ด้านตรงกันข้ามมุมฉาก
เมื่อพิจารณาแล้วเราไม่ทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ AC
2. ถ้าใช้ cos A = ด้านประชิดมุม A/ด้านตรงกันข้ามมุมฉาก
เมื่อพิจารณาแล้วเราไม่ทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ AC ด้านที่จะหาไม่มีใน
อัตราส่วน

5. 7
3. ถ้าใช้ tan A= ด้านตรงข้ามมุม A/ด้านประชิดมุม
A จะเห็นว่าอัตราส่วนนี้เราสามารถที่จะหาค่าความยาวตามที่โจทย์ต้องการได้
จากแนวคิดข้อ 5
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่โจทย์กาหนด = ด้านตรงกันข้าม A/ด้านประชิดมุม Aจะได้
1. อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่โจทย์กาหนดคือ 75
2. ด้านที่ทราบความยาวแล้วคือ AB ยาว = 7 เมตร
3. ด้านที่จะหาคือความสูงของต้นไม้นั่นคือ BC
แทนค่าจะได้:- tan75 =
-> ( tan 75 ) 7 = BC (ค่าของ tan 75 องศาหาได้โดยการเปิดดูตารางที่นี่)
-> 3.732 7 = BC หรือ
-> BC = 3.732 7 = 26.124
ตอบ ต้นไม้สูง 26.124 เมตร
2. ตรีโกณมิติ
ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก trigonon มุม 3มุม และ metro การวัด)
เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม, รูปสามเหลี่ยม และฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่นไซน์ และ
โคไซน์ มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิต แม้ว่าจะสรุปไม่ได้อย่างแน่ชัดว่า
ตรีโกณมิติเป็นหัวข้อย่อยของเรขาคณิต
ประวัติของตรีโกณมิติ
นักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลาง (หรือยุคมืด ตามคาเรียกของชาวยุโรป)
มีส่วนเป็นอย่างมากในการพัฒนาและอุทิศผลงานในคณิตศาสตร์สาขาตรีโกณมิติ
โดยพวกเขาได้รับแนวคิดพื้นฐานมาจาก
ตาราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อ Surya Siddhanta (สูรยสิทธานตะ) ตาราอัลมาเกส
(เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด
แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก)

6. 8
ของทอเลมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวกรีก และตาราสเฟียริก
ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่นกัน
อย่างไรก็ตาม
ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ
แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า
เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง
ตรีโกณมิติในปัจจุบัน
ปัจจุบัน มีการนาตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่าง ๆเช่น
เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้
ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนาทาง
งานที่มีการใช้ประโยชน์จากตรีโกณมิติ ได้แก่ดาราศาสตร์ (และการนาทางในมหาสมุทร
บนเครื่องบิน และในอวกาศ) ,ทฤษฎีดนตรี, สวนศาสตร์, ทัศนศาสตร์, การวิเคราะห์ตลาดการเงิน,
อิเล็กทรอนิกส์, ทฤษฎีความน่าจะเป็น, สถิติศาสตร์, ชีววิทยา, การสร้างภาพทางการแพทย์
(การกราดภาพตัดขวางใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAT scans) และ คลื่นเสียงความถี่สูง) , เภสัชศาสตร์,
เคมี, ทฤษฎีจานวน (รวมถึง วิทยาการเข้ารหัสลับ) , วิทยาแผ่นดินไหว, อุตุนิยมวิทยา, สมุทรศาสตร์,
วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ, การสารวจพื้นดิน และภูมิมาตรศาสตร์, สถาปัตยกรรม,
สัทศาสตร์, เศรษฐศาสตร์, วิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมเครื่องกล, วิศวกรรมโยธา,
เรขภาพคอมพิวเตอร์, การทาแผนที่, ผลิกศาสตร์
เกี่ยวกับตรีโกณมิติ
รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกัน ถ้ารูปหนึ่งสามารถขยายได้เป็นอีกรูปหนึ่ง
และจะเป็นกรณีนี้ก็ต่อเมื่อมุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน
เป็นข้อเท็จจริงว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านแต่ละด้านจะเป็นสัดส่วนกัน นั่นคือ
ถ้าด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง

7. 9
ยาวเป็นสองเท่าของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จะกล่าวได้ว่า
ด้านที่สั้นที่สุดจะยาวเป็นสองเท่าของด้านที่สั้นที่สุดของอีกรูปสามเหลี่ยม
และด้านที่ยาวปานกลางก็จะเป็นสองเท่าของอีกรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน
อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมแรก จะเท่ากับ
อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมอีก รูปด้วย
รูปภาพที่ 6 สามเหลี่ยมมุมฉาก
จากข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมฉากหนึ่งมุม (90 องศา หรือ π/2เรเดียน)
ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมใดๆจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด
แต่เพราะว่าผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา หรือ π เรเดียน
ดังนั้นมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนี้คือมุมฉาก
ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นด้านที่ตรงข้ามกับมุมฉาก เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก
นารูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาสองรูปที่มีมุม A ร่วมกัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะคล้ายกัน
และอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากันทั้งสองรูป
มันจะเป็นจานวนระหว่าง 0ถึง 1ขึ้นอยู่กับขนาดของมุม A เท่านั้น เราเรียกว่า ไซน์ของ A
และเขียนด้วย sin (A) ในทานองเดียวกัน เรานิยาม โคไซน์ของ A คืออัตราส่วนระหว่าง
ด้านประชิดมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สาคัญ
ฟังก์ชันอื่นๆสามารถนิยามโดยใช้อัตราส่วนของด้านต่างๆของรูปสามเหลี่ยม
แต่มันก็สามารถเขียนได้ในรูปของ ไซน์ และ โคไซน์ ฟังก์ชันเหล่านี้คือ แทนเจนต์, ซีแคนต์,
โคแทนเจนต์, และ โคซีแคนต์

8. 10
วิธีจา ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ อย่างง่ายๆคือจาว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด (ไซน์-ด้านตรงข้าม-
ด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์-ด้านประชิด-ด้านตรงข้ามมุมฉาก แทนเจนต์-ด้านตรงข้าม-
ด้านประชิด)
ที่ผ่านมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนิยามขึ้นสาหรับมุมระหว่าง 0ถึง 90 องศา (0ถึง π/2เรเดียน)
เท่านั้น หากใช้วงกลมหนึ่งหน่วยจะขยายได้เป็นจานวนบวกและจานวนลบทั้งหมด (ดูใน
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
ครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ถูกจัดลงในตาราง (หรือคานวณด้วยเครื่องคิดเลข)
ทาให้ตอบคาถามทั้งหมดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆได้อย่างแท้จริง โดยใช้กฎไซน์ และ กฎโคไซน์
กฎเหล่านี้สามารถใช้ในการคานวณมุมที่เหลือและด้านของรูปสามเหลี่ยมได้
เมื่อรู้ความยาวด้านสองด้านและขนาดของมุมหนึ่งมุม
หรือรู้ขนาดของมุมสองมุมและความยาวของด้านหนึ่งด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน
นักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่าตรีโกณมิติแต่เดิมนั้น ถูกประดิษฐ์ชิ้นเพื่อใช้คานวณนาฬิกาแดด
ซึ่งมักเป็นโจทย์ในหนังสือเก่าๆ มันมีความสาคัญมากในเรื่องการสารวจ
3. ต้นหมาก
รูปภาพที่ 7ต้นหมาก

9. 11
หมากสง (ชื่อวิทยาศาสตร์: Areca catechu) หรือที่เรียกทั่วไปว่า "หมาก" (พืชที่เรียกว่า
"หมาก" นั้น มีด้วยกันหลายชนิด นักพฤกษศาสตร์จึงเรียกหมากที่ใช้กินกับใบพลูว่า "หมากสง")
เป็นพืชจาพวกปาล์ม เป็นชนิดหนึ่งในสกุลArecaceae
นับว่ามีความสาคัญมากทั้งในด้านเศรษฐกิจและวัฒนธรรมในหลายท้องถิ่น ในทวีปเอเชีย
รวมทั้งประเทศไทยด้วย ส่วนสาคัญของพืชชนิดนี้ คือ เมล็ด ซึ่งมีสารจาพวก อัลคาลอยด์ (alkaloid)
อันประกอบด้วย อาเรเคน (arecaine) และ อาเรโคลีน (arecoline)
นิยมนามาเคี้ยวกับหมากใบและใบพลู ซึ่งนับว่าเป็นสารเสพติดอย่างอ่อน
หมากพบได้ในหลายประเทศของเอเชียตะวันออกเฉียงใต้ เอเชียใต้
แถบมหาสมุทรแปซิฟิ กในส่วนที่เป็นเขตร้อน และบางส่วนของทวีปแอฟริกา