Pat15510

PAT 1 (ต.ค. 55) 1
PAT 1 (ต.ค. 55)
รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1)
วันเสาร์ที่ 6 ตุลาคม 2555 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที่ 1 ข้อ 1 - 25 ข้อละ 5 คะแนน
1. กาหนดให้ เป็นเอกภพสัมพัทธ์และให้ และ เป็นสับเซตของ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. = 2. =
3. = 4. =
2. กาหนดให้ และ เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์
1. 2.
3. [ ] 4. [ ]
17 Aug 2014

2 PAT 1 (ต.ค. 55)
3. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้า และ เป็นประพจน์โดยที่ มีค่าความจริงเป็นจริง
แล้ว [ ] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) กาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ { R | } เมื่อ R คือเซตของจานวนจริง
แล้ว [ ] มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
4. กาหนดให้ I แทนเซตของจานวนเต็ม
ให้ = { | | | } และ = { | | | } พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) จานวนสมาชิกของเซต เท่ากับ 7
(ข) เป็นเซตว่าง
5. ถ้า เป็นเซตคาตอบของอสมการ < เมื่อ > 2
แล้ว เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
1. (2, 3) 2. (3.5, 5) 3. (2.5, 4) 4. (4, 7)

PAT 1 (ต.ค. 55) 3
6. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง และให้ I แทนเซตของจานวนเต็ม ให้ และ เป็นฟังก์ชันจาก R ไปยัง R
โดยที่ = สาหรับทุกจานวนจริง
และ = + 4 สาหรับทุกจานวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) < 169
(ข) { I | + 5 = 0 } เป็นเซตว่าง
7. กาหนดให้ = { | } เมื่อ I แทนเซตของจานวนเต็ม
จานวนสมาชิกของเซต เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2 2. 4 3. 5 4. 7
8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) =
(ข) =

4 PAT 1 (ต.ค. 55)
9. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. = ( √ )
2. =
3. ถ้า เป็นจานวนจริงใดๆแล้ว =
4. ถ้า และ เป็นจานวนจริงใดๆแล้ว sin 2 + cos 2 =
10. ถ้า =
√ √
แล้ว ( ) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2. 3. 4.
11. แกนเอกของวงรีเป็นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดตัดของวงกลม = 25 กับวงกลม
= 0 และโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีอยู่บนเส้นตรง √ = 0
สมการของวงรีตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. = 0 2. = 0
3. = 0 4. = 0

PAT 1 (ต.ค. 55) 5
12. กาหนดให้ แทนเซตคาตอบของสมการ = 244 แล้วเซต เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้
1. ( 1, 4) 2. ( 2, 0.5) 3. (0, 5) 4. ( 3, 0)
13. กาหนดให้ เป็นเมทริกซ์ ที่มีมิติ 3×3 และ det( ) ≠ 0 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) =
(ข) ถ้า = 2 แล้ว det( ) = 2
14. กาหนดให้ = เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้อจากัดดังนี้
0
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) มีค่ามากสุด เท่ากับ 70
(ข) ถ้าจุด ( , ) ที่ทาให้ มีค่าต่าสุด แล้ว จุด ( , ) สอดคล้องกับสมการ = 3

6 PAT 1 (ต.ค. 55)
15. กาหนดให้ ̅, ̅ และ ̅ เป็นเวกเตอร์บนระนาบซึ่ง ̅ ̅ ̅ = ̅ , ̅ ̅ = 8 และ ̅ ̅ =
ถ้าเวกเตอร์ ̅ ทามุม arcsin
√
กับเวกเตอร์ ̅ และเวกเตอร์ ̅ ทามุม √
√
กับเวกเตอร์ ̅
แล้ว ค่าของ |̅| | ̅| เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 6 2. 10 3. 14 4. 18
16. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้า , และ เป็นความยาวด้านของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และ
มุม C ตามลาดับ โดยที่ = แล้ว sin C เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. √
2. 3. √
4. 1
17. กาหนดให้ และ เป็นจานวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ = 0
ค่าของ | | | | ( ) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

PAT 1 (ต.ค. 55) 7
18. กาหนดให้ = ( ) สาหรับ …
และ = ( ) สาหรับ …
ผลบวกของอนุกรม ( ) ( ) … ( ) … เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2. 3. 2 4. 2
19. กาหนดให้ = เมื่อ เป็นจานวนจริง
ถ้า , , เป็นจานวนจริงสามจานวนเรียงกันแบบลาดับเรขาคณิต และเป็นคาตอบของสมการ = 0
แล้ว ค่าของ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 211 2. 107 3. 101 4. 85
20. กาหนดให้ เป็นพหุนามกาลังสอง โดยที่ = 1 และ = สาหรับ
จานวนจริง ใดๆ ค่าของ
1
2
 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 3 2. 2 3. 4.

8 PAT 1 (ต.ค. 55)
21. ค่าของ 
1
lim
x
| |
√
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 12 2. 0 3. 12 4. หาค่าไม่ได้
22. ในการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่หน้าลูกเต๋าลูกหนึ่งขึ้นแต้ม และหน้าลูกเต๋าอีกลูกหนึ่งขึ้น
แต้ม โดยที่ = เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2. 3. 4.
23. กาหนดให้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นเส้นตรง
(ก) ถ้าสมการของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล คือ = แล้ว เท่ากับ 2.6
(ข) ถ้า = 15 แล้ว = 26.4
1 2 3 4 5
3 4 6 7 10

PAT 1 (ต.ค. 55) 9
24. จากการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าคะแนนสอบของนักเรียนมีการแจกแจงปกติและกาหนด
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระหว่าง 0 ถึง ดังตารางต่อไปนี้
(ก) ถ้านักเรียนคนหนึ่งในห้องนี้สอบได้คะแนนน้อยกว่าค่าฐานนิยมอยู่สองเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แล้ว
ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบของนักเรียนคนนี้เท่ากับ 2
(ข) ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องนี้มีค่ามัธยฐานเท่ากับ 60 คะแนน และมีนักเรียนในห้องนี้
สอบได้คะแนนน้อยกว่า 54 คะแนน คิดเป็นร้อยละ 15.9 ของนักเรียนในห้องนี้แล้วสัมประสิทธิ์ของการ
แปรผันของคะแนนสอบนี้เท่ากับ 0.1
25. ให้เติมจานวน 0, 1, 2, 3 ลงในตาราง 4×4 ต่อไปนี้ (ช่องละ 1 จานวน)
โดยที่ แต่ละแถวต้องมีจานวนเต็ม 0, 1, 2 และ 3
แต่ละหลักต้องมีจานวนเต็ม 0, 1, 2 และ 3
(ก) ถ้า แล้ว (ข) ถ้า แล้ว
(ค) ถ้า แล้ว (ง) =
ข้อใดต่อไปนี้สรุปได้ถูกต้อง
1. (ก) – (ง) ถูกเพียง 1 ข้อ 2. (ก) – (ง) ถูกเพียง 2 ข้อ
3. (ก) – (ง) ถูกเพียง 3 ข้อ 4. (ก) – (ง) ถูกทุกข้อ
0.5 1.0 1.5 2.0
พื้นที่ 0.192 0.341 0.433 0.477
2
3 0
1
2 0 1 3

10 PAT 1 (ต.ค. 55)
ตอนที่ 2 ข้อ 26 - 50 ข้อละ 7 คะแนน
26. กาหนดให้ เป็นเอกภพสัมพัทธ์และให้ และ เป็นสับเซตของ
ถ้า 20% ของสมาชิกในเซต เป็นสมาชิกในเซต 25% ของสมาชิกในเซต เป็นสมาชิกในเซต
และ จานวนสมาชิกของเซต เท่ากับ 112
แล้ว จานวนสมาชิกของเซต เท่ากับเท่าใด
27. ให้ เป็นเซตคาตอบของสมการ √ √ √ √ = 14
และให้ เป็นเซตคาตอบของสมการ √ = 25
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต เท่ากับเท่าใด
28. ค่าของ ( ) เท่ากับเท่าใด

PAT 1 (ต.ค. 55) 11
29. ให้ เป็นจานวนจริงใดๆ ถ้า และ เป็นค่ามากสุดของ และ
ตามลาดับ แล้ว เท่ากับเท่าใด
30. กาหนดให้ แทนเซตคาตอบของสมการ =
และให้ = { | } ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต เท่ากับเท่าใด
31. ถ้าวงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางคือ C( ) อยู่บนเส้นตรง = 0 และวงกลมนี้ผ่านจุด A( 5, 2)
และจุด B( 2, 5) แล้ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากับเท่าใด

12 PAT 1 (ต.ค. 55)
32. พาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ A( 3, 2) มีแกนสมมาตรขนานแกน และโฟกัส F อยู่บนเส้นตรง L ซึ่งมีสมการ
เป็น = 0 ถ้าพาราโบลานี้ตัดกับเส้นตรง L ที่จุด B( , ) โดยที่ > 0
แล้ว ผลคูณของเวกเตอร์ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ เท่ากับเท่าใด
33. กาหนดให้ และ เป็นเมทริกซ์มีมิติ 3×3 โดยที่ ≠ ถ้า [ ]
และ = 4 แล้ว เท่ากับเท่าใด
34. สาหรับ … กาหนดให้ … และ = …
ค่าของ n
lim [ ] เท่ากับเท่าใด

PAT 1 (ต.ค. 55) 13
35. กาหนดให้ เป็นจานวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ 2| + 1| = | + 4|
ค่าของ | ̅| เท่ากับเท่าใด (เมื่อ ̅ แทนสังยุต (conjugate) ของ )
36. ถ้าลาดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลบวก 10 พจน์แรกเท่ากับ 205 และผลบวกอีก 10 พจน์ถัดไปเท่ากับ 505 แล้ว
ผลบวก 55 พจน์แรกของลาดับเลขคณิตนี้เท่ากับเท่าใด
37. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ : R → R และ : R → R เป็นฟังก์ชัน โดยที่
1. = สาหรับทุกจานวนจริง
2. ฟังก์ชัน และ มีอนุพันธ์ทุกอันดับสาหรับทุกจานวนจริง
3. ฟังก์ชัน มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 2 ที่ = 1
4. = 2 สาหรับทุกจานวนจริง
ฟังก์ชัน มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์เท่ากับเท่าใด

14 PAT 1 (ต.ค. 55)
38. กาหนดให้ เป็นพหุนามที่สอดคล้องกับ = และให้ =
x
0

ค่าของ
2
lim
x
√ เท่ากับเท่าใด
39. กาหนดให้ เป็นพหุนามโดยที่ = 1 และสอดคล้องกับ 0
lim
h
= 1
ค่าของ เท่ากับเท่าใด
40. ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (0, 1) และตั้งฉากกับเส้นตรง = 6 พื้นที่ของบริเวณในควอดรันต์
(quadrant) ที่ 1 ซึ่งล้อมร้อบด้วย แกน แกน เส้นตรง L เส้นตรง = 6 เท่ากับกี่ตารางหน่วย

PAT 1 (ต.ค. 55) 15
41. กาหนดให้ { … } เมื่อ เป็นจานวนเต็มบวก และ
ให้ = { | }
ค่าของ เท่ากับเท่าใดที่ทาให้จานวนสมาชิกของเซต เท่ากับ 714
42. ให้ แทนจานวนสามหลัก และ แทนจานวนสามหลัก โดยที่ { … }
และ แตกต่างกันทั้งหมด
ถ้า เป็นเซตของ ทั้งหมด โดยที่ มีค่ามากสุด แล้ว ผลบวกของสมาชิกในเซต ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด
43. ถ้า , และ เป็นจานวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ = 16 , = และ =
แล้วผลคูณของ เท่ากับเท่าใด

16 PAT 1 (ต.ค. 55)
44. นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 16 คน ซึ่งแต่ละคนเป็นสมาชิกของชมรมวิชาการ หรือชมรมกีฬา หรือชมรมดนตรี อย่างน้อย 1
ชมรม และพบว่า มี 8 คน เป็นสมาชิกของชมรมวิชาการ มี 10 คน เป็นสมาชิกของชมรมกีฬา มี 10 คน เป็น
สมาชิกของชมรมดนตรี มี 6 คน เป็นสมาชิกของชมรมดนตรีและชมรมกีฬา มี 5 คน เป็นสมาชิกของชมรม
วิชาการและชมรมกีฬา และมี 3 คน เป็นสมาชิกของชมรมวิชาการและชมรมดนตรี ต้องการเลือกผู้แทน 1 คนของ
แต่ละชมรมโดยที่แต่ละคนต้องเป็นสมาชิกเพียงชมรมเดียวเท่านั้น จานวนวิธีเลือกดังกล่าวมีทั้งหมดเท่ากับเท่าใด
45. กาหนด และ เป็นเหตุการณ์ใดๆ ในแซมเปิลสเปซ และกาหนดให้ แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ถ้า = 0.30 , = 0.06 และ ( ) = 0.38
แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด
46. นาข้อมูล 3 จานวนที่แตกต่างกัน มารวมกันมีผลรวมเท่ากับ 195
ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่ามัธยฐานและสัมประสิทธิ์ของพิสัยเท่ากับ 60 และ 0.2 ตามลาดับ
แล้วความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด

PAT 1 (ต.ค. 55) 17
47. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนสองห้อง ปรากฏว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 65 คะแนน
นักเรียนห้องแรกมี 40 คน ห้องที่สองมีนักเรียน 30 คน ถ้าคะแนนสอบของนักเรียนห้องแรกมีสัมประสิทธิ์ของการแปร
ผันเท่ากับ 0.2 นาย ก. เป็นนักเรียนห้องแรกสอบได้ 65 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.5 คะแนนสอบของ
นักเรียนห้องที่สองมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 12 คะแนน และ นาย ข. เป็นนักเรียนห้องที่สองสอบได้คะแนนคิด
เป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 2 แล้ว นาย ข. สอบได้กี่คะแนน
48. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 มีการแจกแจงดังนี้
ถ้าคะแนนเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบนี้เขียนในรูป
เมื่อ และ เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ และ
ห.ร.ม. ของ และ เท่ากับ 1
แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด
คะแนน จานวน (คน)
5 – 9 40
10 – 14 50
15 – 19 30
20 – 24 20

18 PAT 1 (ต.ค. 55)
49. สาหรับ … กาหนดให้ = และ =
จงหาจานวนเต็มบวก ที่ทาให้ …
…
= 1331
50. ถ้า { … } และสอดคล้องกับ = 416
แล้ว เท่ากับเท่าใด

PAT 1 (ต.ค. 55) 19
เฉลย
1. 2 11. 2 21. 3 31. 14.5 41. 106
2. 3 12. 1 22. 4 32. 3 42. 6657
3. 1 13. 4 23. 1 33. 320 43. 108
4. 2 14. 2 24. 1 34. 2.25 44. 6
5. 3 15. - 25. 3 35. 2 45. 0.14
6. 4 16. 3 26. 128 36. 4840 46. 134
7. 2 17. 4 27. 11 37. 2.25 47. 61
8. 3 18. 3 28. 2 38. 3 48. 28
9. 1 19. 2 29. 6 39. 157 49. 36
10. 4 20. 1 30. 10.5 40. 8.2 50. 13
แนวคิด
1. 2
LHS = = = RHS
2. 3
สมมติให้ข้อ 3 เป็นเท็จ ได้ เป็นจริง และ เป็นเท็จ
จาก เป็นเท็จ ได้ เป็นจริง เป็นเท็จ แทนก้อนหน้าจะได้ เป็นเท็จ ขัดแย้ง
3. 1
(ก) ได้สองกรณี คือ เป็นเท็จ กับ และ เป็นจริง ถ้า เป็นเท็จ ได้ [ ] ≡ ≡ T
ถ้า และ เป็นจริง ได้ [ ] ≡ T T ≡ T ดังนั้น (ก) ถูก
(ข) → → [ ]
→ = 0 → = 0 → = 1 [ ] → (ข) ถูก
4. 2
→ → = { 8, … }
→ ยกกาลังสองทั้งสองข้าง ไม่ต้องกระจาย ย้ายข้างมาลบ เข้าสูตร น ล ได้ > 0
ได้ > 0 → {… 4, 3, … }
= { … 2} → 7 ตัว → ก ถูก และ 1 → ข ผิด
5. 3
กรณี 2 < < 3 ได้ > → > 0 → ไม่มีคาตอบในช่วง (2, 3)
กรณี = 3 → เป็น 1 ทั้งสองข้าง ไม่มีทางจริง
กรณี > 3 ได้ < → < 0 → (3, 4)
6. 4
ได้ =
หา ให้ = ได้ = → = → =
ได้ = = 151 → (ก) ผิด

20 PAT 1 (ต.ค. 55)
(ข) ได้ = แทน = ได้ = 2
ให้ = 2 ได้ = 0 ได้ = 1 จะได้ = 2 ได้ 6 เป็นคาตอบ → (ข) ผิด
7. 2
= → ต้องหาร 10 ลงตัว → = 0, ±1, ±2, ±3 → = 8, 3, 0, 1
เหลือ 1, ±2, 3 รวม 4 ตัว
8. 3
(ก) LHS = = = = = → ผิด
(ข) LHS = = = = = RHS → ถูก
9. 1
1) = tan 15 = =
√
√
= √ → ถูก
2) LHS = = = √ → ผิด
3) RHS = = → ผิด
4) RHS = → ผิด
10. 4
( ) = = (
√ √
)
=
(
√
) (
√
)
(
√
) (
√
)
tan (
√
) → วาดสามเหลี่ยม ได้ ข้าม = 1, ฉาก = √ → ชิด = 4 → tan (
√
) =
(
√
) =
(
√
)
(
√
)
→ วาดสามเหลี่ยม ได้ ชิด = 2, ฉาก = √ → ข้าม = 1
→ (
√
) = → (
√
) =
( )
( )
=
ดังนั้น ( ) =
( )( )
= =
หมายเหตุ : ข้อนี้โจทย์ไม่ถูกต้อง เพราะถ้าใช้เครื่องคิดเลขคานวณ √ √
จะได้เป็นค่าติดลบ
แต่ arcsec ให้ผลลัพธ์ได้ในช่วง [ ) ( ] เท่านั้น จึงเป็นลบไม่ได้
11. 2
แก้หาจุดตัดวงกลม ได้ (±4, 3) → = 0, = 3, = 4
จาก = √ ได้ = 2 → = 1 → = 0
12. 1
คูณ ตลอด = 0 → = 0
ได้ = , 2

PAT 1 (ต.ค. 55) 21
13. 4
(ก) จากกฎ = = → ผิด
(ข) = → det( ) = 8 , 0 → ผิด
14. 2
หาจุดตัด ได้ (3, 0) → = 9
(5, 0) → = 15
(10, 10) → = 70 → ก ถูก
( , ) → = → ข ผิด
15. -
ข้อนี้โจทย์ให้ข้อมูลมาเยอะเกินความจาเป็น และขัดแย้งกันเอง โดยคาตอบที่ได้ จะขึ้นกับว่าคนทาหยิบข้อมูลไหนมาใช้
จาก ̅ ̅ ̅ = ̅ จะได้ ̅ ̅ = ̅
เอา ̅ ̅ = 8 กับ ̅ ̅ = มาบวกกัน จะได้
และจาก ̅ ทามุม arcsin
√
กับ ̅ จะได้
ถึงตรงนี้จะมีวิธีหา | ̅| สองแบบ ซึ่งแต่ละแบบจะได้ค่า | ̅| ไม่เท่ากัน
ดังนั้น ข้อมูลที่โจทย์ให้ ขัดแย้งกันเอง คาตอบขึ้นกับว่าจะหยิบข้อมูลไหนมาใช้ในลักษณะอย่างไร
16. 3
เทียบกับกฎของ cos : = จะได้ cos C = → sin C =
√
(มุม < 180° ได้ sin > 0)
=
2 + 3 = 6 2 = 10
A
̅ ̅ + ̅ ̅ = 8 + ( 2)
̅ ̅ ̅ = 6
̅ ̅ = 6
|̅| = 6
̅ = √
̅ ̅ = |̅||̅| (
√
)
8 = |̅|(√ )√ (
√
)
4 = |̅|
= √
แบบแรก ใช้มุม √
√
(เหมือนตอนหา |̅|)
̅ ̅ = | ̅||̅| (
√
√
)
2 = | ̅|(√ ) ( (
√
√
))
2 = | ̅|(√ ) ( √ (
√
√
) )
√ = | ̅|
แบบสอง ไม่ใช้ มุม √
√
̅ ̅ ̅ = ̅
̅ = ̅ ̅
| ̅| = |̅ ̅|
| ̅| = |̅| |̅| ̅ ̅
| ̅| = √ +
| ̅| = √
= ̅ ̅
+ = 3
1 + + 1 + = 3
+ = 1
=
=

22 PAT 1 (ต.ค. 55)
17. 4
จากสูตรผลบวกผลคูณราก ได้ = 3 และ = 4
สปส เป็น R → กับ เป็นคอนจูเกตกัน → = | | = | | = 4
= ( ) = ( ) = 6
18. 3
คี่ = = 2 , คู่ = = 2 , = 3
อนุกรม = ( ) ( ) ( ) … → คู่ ยกกาลังคู่หมด กลายเป็นบวก → = = 2
19. 2
ใช้สูตรผลบวกผลคูณราก ได้ = 26 , = , = 216
ให้ , , = , , แทนใน = 216 ได้ = 6 แก้ = 26 ได้ = 3 ,
ได้รากคือ 2, 6, 18 ได้ = 12 + 36 + 108 = 156 ได้ = = 107
20. 1
จาก = 1 ได้ = แทนในอีกสมการ จะได้
=
=
เทียบ สปส ได้ , = ได้ =
อินทิเกรต ได้ ( ) ( ) = 3
21. 3
=
| |
√
→ ถ้า → ในค่าสัมบูรณ์จะติดลบ → =
√
√
√
=
(√ )
แทน = 1 ได้ 12
22. 4
ไล่แทนเอา ได้ (3, 6), (4, 4), (6, 3) → =
23. 1
ระบบสมการ คือ 30 = กับ 107 = 55 แก้ได้ = 1.7 , = 0.9 → ก ถูก
̂ = 1.7(15) + 0.9 = 26.4 → ข ถูก
24. 1
(ก) แจกแจงปกติ Mode = ̅ → ได้คะแนน = Mode – 2 = ̅ → =
̅ ̅
= 2 → ก ถูก
(ข) ร้อยละ 15.9 คือ พื้นที่ = 0.341 ทางลบ → เปิดตาราง ได้ = 1 → แจกแจงปกติ Med = ̅
→ = 1 → = 6 → สปสการแปรผัน = = 0.1 → ข ถูก

PAT 1 (ต.ค. 55) 23
25. 3
แถว 2 : เหลือ 1 กับ 2 แต่หลักแรกเป็น 2 ไม่ได้
เพราะซ้ากับหลักแรกของแถว 4
หลัก 2 : คิดเหมือนกัน ได้ตามรูปขวา
(ก) ได้ = 0, = 3, = 0, = 3 → ก ผิด
(ข) ได้ = 3, = 0, = 3, = 0 → ข ถูก
(ค) ได้ = 0, = 3, = 0, = 3 → ค ถูก
(ง) กับ ต้องมี 0 กับ 3 , กับ ต้องมี 0 กับ 3 ดังนั้น = = 3 → ง ถูก
26. 128
ให้ = ได้ = 5 และ = 4 → = 112 → = 16
ได้ = 112 + 16 = 128
27. 11
: ให้ √ → √ √ = 14 → | | | | = 14
แต่ → = 14 → = 5 → = 8
: ให้ = √ → = 25 → = 0 → = 3 , 4
→ = → = 1, 4
28. 2
หา tan ง่ายกว่า แล้วค่อยหา sec จากสูตร = 1
( ) =
( )
( )
= → ( ) =
( )( )
= = 1 → = 2
29. 6
หา : = = → = 1
หา : หาร 5 ตลอด = → ถ้า = จะได้ =
ได้ = + = มากสุด = 1 = → = 5
30. 10.5
→ = 0
→ ( ) = 0 → = 0 หรือ = 2
= 0 ได้ = 0 , 2 → 0 ไม่ได้ เพราะทาให้หลัง log ติดลบ เหลือ 2 ตัวเดียว
= 2 → = → = 0 → = 0
→ = ,
ตอบ ( ) ( ) = 10.5
1 2
1 3 2 0
2 1
2 0 1 3
2
3 0
1
2 0 1 3

24 PAT 1 (ต.ค. 55)
31. 14.5
C( ) = ( , ) → =
ตัด สองข้าง ย้ายข้างเข้าสูตรผลต่างกาลังสอง : = 0 ได้ =
ได้ C( ) = ( 7, 3)
หาพื้นที่จากสูตร | | = = 14.5
หรือจากสี่เหลียมคางหมู – สามเหลี่ยมซ้ายขวาสองรูป ก็ได้
= = 30 5 = 14.5
32. 3
แกนสมมาตรขนานแกน เป็นพาราโบลาตะแคง → พิกัด ของ F = พิกัด ของ A = 2 → แทน = 2 ใน L ได้
= 2 → F( 2, 2) → = = 1 → พาราโบลา คือ
แก้หาจุดตัดกับ L ได้ → = 0 → ( , 1), (1, 6)
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = [ ] [ ] = 3
33. 320
= = = 4
จะได้ = = 320
34. 2.25
= ( ) = → = = =
= ∑ = ∑ = ∑ = ∑
= ( ) = ( ) =
35. 2
ให้ = i → √ = √
ยกกาลังสอง → = → = 4
→ √ = 2 = | | = | ̅|
36. 4840
ผลบวก 10 พจน์แรก = 205 = → 41 =
ผลบวก 20 พจน์แรก = 205 + 505 = → 71 =
แก้ระบบสมการ ได้ = 3 , = 7 → ผลบวก 55 พจน์ = = 4840
A(-5,-2)
B(-2, 5)
C(-7, 3)

PAT 1 (ต.ค. 55) 25
37. 2.25
จาก 4 ได้ = 2 + จาก 3 ได้ = 0 และ = 2
ดิฟ 1 ได้ = 2 แทน = 1 ได้ + 0 = 2 → = 1
= 2 ได้ = แทนใน 1 ได้ =
จาก = 2 ได้ = 5 → =
หาค่าต่าสุดของ : = 0 → = → ตอบ ( ) ( ) = 2.25
38. 3
หา → = → เหลือ =
จะได้ = ดังนั้น =
= → ตอบ √ ( ) = 3
39. 157
0
lim
h
=
0
lim
h
= 1
+ = → แทน = 0 ได้ = 1
แทน = 1 ได้ = = 3( ) 5 → =
ได้ = แทน = 1 ได้ = 1 → =
( )
= 157
40. 8.2
= 6 ชัน ดังนั้น L ชัน = 2 → L ผ่านจุด (0, 1) ได้ L : = + 1 → จุดตัด ( , )
พื้นที่ = สี่เหลี่ยมคางหมูทางซ้าย + สามเหลี่ยมทางขวา
= ( ) ( ) + ( ) ( ) = + = = 8.2
41. 106
= 2 มี (1, 2) → 1 ตัว
= 3 มี (1, 3), (2, 3) → 2 ตัว
= 4 มี (1, 4), (2, 4), (3, 4) → 3 ตัว
⋮
= 8 มี … → 7 ตัว
= 9 มี … → 7 ตัว
จะเห็นว่า = 1 ถึง 7 มี … ตัว ตั้งแต่ 8 ขึ้นไป มีค่าละ 7 ตัว
จะได้ 714 = 21 + 7( ) → = 106
= 2 + 1
= 6
1 6

26 PAT 1 (ต.ค. 55)
42. 6657
ต้องเยอะๆ ต้องน้อยๆ ไม่มีผลต่อ
ได้ 981 + 971 + 961 + 951 + 941 + 931 + 921 = 6657
43. 108
จาก = ได้ = แทนใน = 16 ได้ =
→ เป็นได้แค่ 1, 2, 3, 4 ไม่งั้น ติดลบ
เอา = มายกกาลัง สองข้าง ได้ = แทนได้ =
แทน = 1, 2, 3, 4 ได้ = 4 ถึงจริง → = 9 , = 3 → ตอบ (3)(9)(4) = 108
44. 6
ให้ = ได้ 16 = 8 + 10 + 10 – 6 – 5 – 3 + → = 2
ได้ (2)(3)(1) = 6 วิธี
45. 0.14
= 0.30 – 0.06 = 0.24
= 0.38 – 0.24 = 0.14
46. 134
ให้ข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากเป็น , 60 ,
สปสพิสัย = = 0.2 → = 54 → ข้อมูลคือ 54, 60, 81
̅ = = 65 → = = 134
47. 61
ห้องแรก :
̅
=
̅
= = 1.5 → = 10 , ̅ = 50
หา ̅ ห้องสอง :
̅
= 65 → ̅ = 85
ได้ ข
= 2 → ข = 61
48. 28
̅ = = = = 13 + → 28
49. 36
= = →
…
…
= … = = 1331
→ = 1332 แทนค่าเอา ได้ = 36
ว ด
ก
2
43
12
1
3
0.06 0.240.14

PAT 1 (ต.ค. 55) 27
50. 13
ต้องไม่เกิน 7 ไม่งั้นฝั่งซ้ายเกิน
มากสุดได้แค่ = 72 ดังนั้น เป็น 6 ลงไปไม่ได้ ไม่งั้นไม่ถึง 416
ได้ = 7 : ได้ = 24 → = 3 , = 3 → 7+3+3 = 13
เครดิต
ขอบคุณ คุณ Theerawat Tansakul ที่ช่วยแก้ไขจุดบกพร่องในเฉลยข้อ 7 นะครับ (ผมลืม ±3) และเป็นคนพบความ
ผิดพลาดของโจทย์ในข้อ 15

Pat15510

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (14)

Similar to Pat15510

Similar to Pat15510 (20)

Pat15510