<ul><li>ตรีโกณ   ความหมายตามพจนานุกรมแปลว่า   “ สามเหลี่ยม ”   </li></ul><ul><li>ตรีโกณมิติ   คือ คณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่ว่...
<ul><li>ตรีโกณมิติ   ( จากภาษากรีก  trigonon   มุม  3  มุม และ  metro   การวัด )  เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม...
<ul><li>ฟังก์ชันตรีโกณมิติ   ( Trigonometric function )  คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏ...
 
 
 
<ul><li>การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี  1  หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด  และเ...
<ul><li>จะได้ว่า เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง   θ  ให้ เรา </li></ul><ul><li>สามารถหาจุด  ( x,y)   ซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งได้เพี...
<ul><li>เมื่อ  ( x,y)  เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมข้างต้น  y = sinθ ( อ่านว่า วาย เท่ากับ ไซน์ทีตา )   x = cosθ ( อ่านว่า ...
<ul><li>นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญอีกหลายฟังก์ชันดังต่อไปนี้  </li></ul><ul><li>ฟังก์ชันแ...
<ul><li>มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนของเส้นโค้งที่ยาว  2 πr   หน่วยจะมีขนาด  2 π  เรเดียน และมุมที่จุดศูน...
 
 
<ul><li>ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทุกฟังก์ชัน เป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ   ( Periodic Function)   </li></ul><ul><li>กล่าวคือ สามารถแ...
<ul><li>การคำนวนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาจเกี่ยวข้องกับมุมที่อยู่ในรูปของผลบวกหรือผลลบ สูตรที่สำคัญ มีดังนี้  </li></ul>
 
 
<ul><li>ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกฟังก์ชัน  ( เช่น  y = sinx)   สามารถหาอินเวอร์สได้โดยสลับที่ระหว่างโดเมนและเรนจ์ตามปรกติ  ...
 
<ul><li>อัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนของความยาวของด้าน  </li></ul><ul><li>ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  </li></ul><ul><li>จา...
<ul><li>นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก </li></ul><ul><li>รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด  90° (π/2  เรเดียน )  ในที่นี้...
<ul><li>จะได้ </li></ul><ul><li>1).   ไซน์   ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี...
<ul><li>4).  โคซีแคนต์   csc( A )  คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ   sin( A )  นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อค...
<ul><li>วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า </li></ul><ul><li>ข้ามฉาก  ...  sin =  ด้านตรง ข...
<ul><li>อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม  A  </li></ul><ul><li>1. sine  ของมุม  A  เขียนแทนด้วย  sin A </li></ul><ul><li>2. cosin...
<ul><li>ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง  6  ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว  1  หน่วย และมีจุดศู...
 
 
<ul><li>จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม...
<ul><li>1. 0 < sin A < 1  และ  cosec A > 1  </li></ul><ul><li>2. 0 < cos A < 1  และ  sec A > 1  </li></ul><ul><li>3. sin (...
<ul><li>นิยาม </li></ul><ul><li>เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ การเท่ากันของอัตราส่วน </li></ul><ul><li>ตรีโกณมิติที่ต่างกันและเป...
<ul><li>เมื่อกำหนด  x  และ  y  เป็นขนาดของมุมใดๆ   (0 ≤  x ≤ 2 π , 0 ≤  y ≤ 2 π)  จะได้ </li></ul>
 
<ul><li>1.  0 < sin A < 1  และ  cosec A   > 1 </li></ul><ul><li>2.  0 < cos A < 1  และ  sec A   > 1 </li></ul><ul><li>3 . ...
<ul><li>กฎของโคไซน์  ในรูปสามเหลี่ยม  ABC  ใดๆ ถ้า  a,b  และ  c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม  A,B  และ  C  ตามลำดับ จะได้ ...
<ul><li>ในการวัดระยะทางและความสูงของสิ่งใดก็  </li></ul><ul><li>ตาม บางครั้งจะใช้เครื่องมือสำหรับวัดมา </li></ul><ul><li>ใ...
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

ตรีโกณมิต..[1]

19,133 views

Published on

0 Comments
5 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
19,133
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3,394
Actions
Shares
0
Downloads
185
Comments
0
Likes
5
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

ตรีโกณมิต..[1]

  1. 2. <ul><li>ตรีโกณ ความหมายตามพจนานุกรมแปลว่า “ สามเหลี่ยม ” </li></ul><ul><li>ตรีโกณมิติ คือ คณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่ว่าด้วยการคำนวณมุมของสามเหลี่ยม </li></ul><ul><li>ความเป็นมา ... </li></ul><ul><li>         เมื่อ 640-546 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ทาเรส ( thales) คำนวณหาความสูง ของพีรามิด ในประเทศอียิปต์โดยอาศัยเงา วิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คือ คำนวณความสูงของพีรามิดจากความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะที่เงาของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเอง อีกวิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คำนวณ ความสูงของพีรามิดคือ การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิดกับความยาวของเงาของไม้ ( ไม้ที่ทราบความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนั่นเอง ) โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งก็คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เรียกว่า แทนเจนต์ (tangent) นั่นเอง </li></ul>
  2. 3. <ul><li>ตรีโกณมิติ ( จากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด ) เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม , รูปสามเหลี่ยม และ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น ไซน์ และ โคไซน์ มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตแม้ว่าจะสรุปไม่ได้อย่างแน่ชัดว่า ตรีโกณมิติเป็นหัวข้อย่อยของเรขาคณิต </li></ul><ul><li>ประเทศไทยนั้น ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์ สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม ( เพียร ) โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆ มุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบจากตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา </li></ul>
  3. 4. <ul><li>ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ( Trigonometric function ) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180 องศาเสมอ </li></ul><ul><li>ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันคือ sin cos tan csc(cosec) sec cot </li></ul>
  4. 8. <ul><li>การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และเราจะเรียกวงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย ( The unit circle) เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง   θ ( ทีตา ) จาก (1 , 0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีข้อตกลงดังนี้ว่า : ถ้า   θ > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1 , 0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ถ้า   θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1 , 0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ถ้า   θ = 0 จุดปลายส่วนโค้งคือจุด (1 , 0) </li></ul>
  5. 9. <ul><li>จะได้ว่า เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง   θ ให้ เรา </li></ul><ul><li>สามารถหาจุด ( x,y) ซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น ถ้า |θ| > 2 π แสดงว่า วัดส่วนโค้งเกิน 1 รอบ เพราะเส้นรองวงของวงกลมยาว 2 π หน่วย </li></ul>
  6. 10. <ul><li>เมื่อ ( x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมข้างต้น y = sinθ ( อ่านว่า วาย เท่ากับ ไซน์ทีตา ) x = cosθ ( อ่านว่า เอกซ์ เท่ากับ คอสทีตา ) ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์นั้น เป็นจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1 นั่นคือ เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริงตั้งแต่ -1 ถึง 1 และโดเมนของฟังก์ชันทั้งสองคือเซตของจำนวนจริง </li></ul>
  7. 11. <ul><li>นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญอีกหลายฟังก์ชันดังต่อไปนี้ </li></ul><ul><li>ฟังก์ชันแทนเจนต์   (Tangent function)  เขียนแทนด้วย tan ( อ่านว่า แทน ) </li></ul><ul><li>ฟังก์ชันเซแคนต์   (Secant function) เขียนแทนด้วย sec ( อ่านว่า เซก ) </li></ul><ul><li>ฟังก์ชันโคเซแคนต์ (Cosecant function) เขียนแทนด้วย cosec  ( อ่านว่า โคเซก ) </li></ul><ul><li>ฟังก์ชันโคแทนเจนต์   (Cotangent function) เขียนแทนด้วย cot  ( อ่านว่า คอต ) </li></ul>
  8. 12. <ul><li>มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนของเส้นโค้งที่ยาว 2 πr หน่วยจะมีขนาด 2 π เรเดียน และมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งครึ่งวงกลมที่ยาว πr หน่วยจะมีขนาด π เรเดียน </li></ul><ul><li>จะเห็นได้ว่า สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมรายาว a หน่วย จะได้   θ = a/r   </li></ul><ul><li>360 องศา เท่ากับ 2 π เรเดียน </li></ul><ul><li>180 องศา เท่ากับ   π เรเดียน   </li></ul><ul><li>sin = ด้านตรง ข้าม / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก cos = ด้านประ ชิด / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก tan = ด้านตรง ข้าม / ด้านประ ชิด   </li></ul>
  9. 15. <ul><li>ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทุกฟังก์ชัน เป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ ( Periodic Function) </li></ul><ul><li>กล่าวคือ สามารถแบ่งแกน x ออกเป็น ช่วงย่อย ( Subinterval) โดยที่ความยาวแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน และกราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า คาบ ( Period) </li></ul><ul><li>จากรูปข้างต้น จะเห็นได้ว่า </li></ul><ul><li>- คาบของกราฟ y = sinx และ y = cosx เท่ากับ 2 π </li></ul><ul><li>- คาบของกราฟ y = cosecx และ y = secx เท่ากับ 2 π </li></ul><ul><li>- คาบของกราฟ y = tanx และ y = cotx เท่ากับ π </li></ul><ul><li>สำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด เราจะเรียกว่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ว่า แอมพลิจูด ( Amplitude) - ฟังก์ชัน y = sinx และ y = cosx มีแอมพลิจูดเป็น 1 เท่ากัน </li></ul>
  10. 16. <ul><li>การคำนวนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาจเกี่ยวข้องกับมุมที่อยู่ในรูปของผลบวกหรือผลลบ สูตรที่สำคัญ มีดังนี้ </li></ul>
  11. 19. <ul><li>ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกฟังก์ชัน ( เช่น y = sinx) สามารถหาอินเวอร์สได้โดยสลับที่ระหว่างโดเมนและเรนจ์ตามปรกติ ( กลายเป็น x = siny) </li></ul><ul><li>แต่อินเวอร์สที่ได้เหล่านี้จะไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะค่า x แต่ละค่านั้น ให้ค่า y ได้หลายค่าไม่มีที่สิ้นสุด </li></ul><ul><li>ดังนั้นหากจะกำหนดอินเวิร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นฟังก์ชันด้วย ก็จำเป็นต้องจำกัดข่วงของเรนจ์ด้วย </li></ul><ul><li>นั่นหมายถึง ความหมายของ x = siny และความหมายของ y = arcsinx ไม่เท่ากัน   เนื่องจากเรนจ์ไม่เท่ากัน เราเรียกฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติโดยใช้คำว่า arc นำหน้า เช่น arcsin arccos arctan เป็นต้น </li></ul>
  12. 21. <ul><li>อัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนของความยาวของด้าน </li></ul><ul><li>ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก </li></ul><ul><li>จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมี A Ĉ B = 90 องศา ถ้าเราพิจารณาที่มุม A </li></ul><ul><li>1. ด้าน AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก </li></ul><ul><li>2. ด้าน BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A </li></ul><ul><li>3. ด้าน AC เรียกว่า ด้านประชิดมุม A </li></ul>
  13. 22. <ul><li>นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก </li></ul><ul><li>รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน ) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก </li></ul><ul><li>ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A </li></ul><ul><li>เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้ </li></ul><ul><li>1. ด้าน ตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h </li></ul><ul><li>2. ด้าน ตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a </li></ul><ul><li>3. ด้าน ประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับ </li></ul><ul><li>มุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b </li></ul>
  14. 23. <ul><li>จะได้ </li></ul><ul><li>1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ sin( A ) = ข้าม / ฉาก = a / h </li></ul><ul><li>2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ cos( A ) = ชิด / ฉาก = b / h </li></ul><ul><li>3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ tan( A ) = ข้าม / ชิด = a / b </li></ul>
  15. 24. <ul><li>4). โคซีแคนต์ csc( A ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin( A ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม csc( A ) = ฉาก / ข้าม = h / a </li></ul><ul><li>5). ซีแคนต์ sec( A ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos( A ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด sec( A ) = ฉาก / ชิด = h / b </li></ul><ul><li>6). โคแทนเจนต์ cot( A ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan( A ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม cot( A ) = ชิด / ข้าม = b / a </li></ul>
  16. 25. <ul><li>วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า </li></ul><ul><li>ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรง ข้าม / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก </li></ul><ul><li>ชิดฉาก ... cos = ด้านประ ชิด / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก </li></ul><ul><li>ข้ามชิด ... tan = ด้านตรง ข้าม / ด้านประ ชิด </li></ul>
  17. 26. <ul><li>อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A </li></ul><ul><li>1. sine ของมุม A เขียนแทนด้วย sin A </li></ul><ul><li>2. cosine ของมุม A เขียนแทนด้วย cos A </li></ul><ul><li>3. tangent ของมุม A เขียนแทนด้วย tan A = </li></ul><ul><li>4. cotangent ของมุม A เขียนแทนด้วย cot A </li></ul><ul><li>= </li></ul><ul><li>5 . secant ของมุม A เขียนแทนด้วย sec A = </li></ul>
  18. 27. <ul><li>ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ : x กำลัง 2 + y กำลัง 2 1 </li></ul>
  19. 30. <ul><li>จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้ จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y /1 และ cos θ = x /1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ ( เช่น มุม π/2 เรเดียน ) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม </li></ul>
  20. 31. <ul><li>1. 0 < sin A < 1 และ cosec A > 1 </li></ul><ul><li>2. 0 < cos A < 1 และ sec A > 1 </li></ul><ul><li>3. sin ( A + B ) = sin A + sin B </li></ul><ul><li>4. ( sin A )( sin A ) = (sin A) 2 = sin 2A ¹ sin A 2 </li></ul><ul><li>5. sin A = cos ( 90 – A ) </li></ul><ul><li>6. cos A = sin ( 90 – A ) </li></ul><ul><li>7. tan A = cot ( 90 – A ) </li></ul><ul><li>8. sec A = cosec ( 90 – A ) </li></ul>
  21. 32. <ul><li>นิยาม </li></ul><ul><li>เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ การเท่ากันของอัตราส่วน </li></ul><ul><li>ตรีโกณมิติที่ต่างกันและเป็นจริงสำหรับทุกๆค่าขององศา </li></ul><ul><li>เมื่อกำหนด A เป็นมุมแหลม </li></ul><ul><li>1. sin A x cosec A = 1 </li></ul><ul><li>2. cos A x sec A = 1 </li></ul><ul><li>3. tan A x cot A = 1 </li></ul><ul><li>4. cos A x tan A = sin A </li></ul><ul><li>5. cot A x sin A = cos A </li></ul><ul><li>6. sin 2A + cos 2A = 1 </li></ul><ul><li>7. sec 2A - tan 2A = 1 </li></ul><ul><li>8. cosec 2A - cot 2A = 1   </li></ul>
  22. 33. <ul><li>เมื่อกำหนด x และ y เป็นขนาดของมุมใดๆ   (0 ≤ x ≤ 2 π , 0 ≤ y ≤ 2 π) จะได้ </li></ul>
  23. 35. <ul><li>1. 0 < sin A < 1 และ cosec A > 1 </li></ul><ul><li>2. 0 < cos A < 1 และ sec A > 1 </li></ul><ul><li>3 . sin ( A + B )  sin A + sin B </li></ul><ul><li>( sin A )( sin A ) = (sin A) 2 </li></ul><ul><li>= sin 2 A  sin A 2 </li></ul><ul><li>5. sin A = cos ( 90 – A ) </li></ul><ul><li>6. cos A = sin ( 90 – A ) </li></ul><ul><li>7. tan A = cot ( 90 – A ) </li></ul><ul><li>8. sec A = cosec ( 90 – Am) </li></ul>
  24. 36. <ul><li>กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้     </li></ul><ul><li>a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA </li></ul><ul><li>b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cosB </li></ul><ul><li>c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC   </li></ul><ul><li>กฎของไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้ </li></ul>
  25. 37. <ul><li>ในการวัดระยะทางและความสูงของสิ่งใดก็ </li></ul><ul><li>ตาม บางครั้งจะใช้เครื่องมือสำหรับวัดมา </li></ul><ul><li>ใช้ในการวัดโดยตรงไม่ได้ เช่น การวัดสถานที่สองแห่งที่มีสิ่งกีดขวางกั้นตรงกลาง หรือการวัดความสูงของ ภูเขา เป็นต้น </li></ul><ul><li>เราสามารถนำความรู้ในเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ มาประยุกต์ใช้ในการคำนวณได้ อันได้แก่ </li></ul><ul><li>- มุมก้ม ( Angel of Depression) คือมุมที่วังลงไปจากแนวราบ ( ระดับ สายตา ) - และมุมเงย ( Angle of Elevation) คือมุมที่วัดขึ้นจากแนวราบ </li></ul><ul><li>- รวมถึงการใช้กฎของไซน์และโคไซน์มาช่วยในการคำนวณ </li></ul>

×