Pat one

PAT 1 (ต.ค. 58) 1
PAT 1 (ต.ค. 58)
รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1)
วันเสาร์ที่ 31 ตุลาคม 2558 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที่ 1 ข้อ 1 - 30 ข้อละ 6 คะแนน
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์ โดยที่ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ (~𝑝 ∧ ~𝑞) เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (𝑞 ↔ 𝑟) ∨ 𝑝 มีค่าความจริงเป็น จริง 2. (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑟 → 𝑝) มีค่าความจริงเป็น จริง
3. (𝑟 → 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ 𝑞) มีค่าความจริงเป็น จริง 4. (𝑞 → ~𝑝) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
5. (𝑟 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 → ~𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
2. ให้ 𝑆′
แทนคอมพลีเมนต์ของ 𝑆 และ 𝑛(𝑆) แทนจานวนสมาชิกของเซต 𝑆 ให้ 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เป็นเซตใดๆ
โดยที่ 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)′
= ∅ , 𝑛(𝐴) = 12 , 𝑛(𝐵) = 15 , 𝑛(𝐶) = 16 , 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 20
และ 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 10 2. 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 11 3. 𝑛(𝐴′
∩ 𝐵) = 4
4. 𝑛((𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶) = 12 5. 𝑛((𝐴 ∪ 𝐵)′
∩ 𝐶) = 5
3. ให้ 𝐴 เป็นเซตคาตอบของอสมการ ||𝑥 − 1| − 1| < 1 และ 𝐵 เป็นเซตคาตอบของอสมการ 1
𝑥+1
≥
2𝑥−2
𝑥2−3𝑥+2
เซต 𝐴 ∩ 𝐵 เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
1. (−5, −1) 2. (−3, 1) 3. (−1, 3)
4. (0, 4) 5. (1, 5)
29 Feb 2016

2 PAT 1 (ต.ค. 58)
4. (3 − 4 sin2
9°)(3 − 4 sin2
27°)(3 − 4 sin2
81°)(3 − 4 sin2
243°) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0 2. 1 3. 2
4. tan 9° 5. cot 9°
5. ถ้า 2 cot
𝜃
2
= (1 + cot 𝜃)2
และ 0 < 𝜃 <
𝜋
2
แล้วค่าของ (1+sin 𝜃) sec2 𝜃
cos 2𝜃
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0.125 2. 0.25 3. 1
4. 2 5. 4
6. ค่าของ sec2(arctan 2) + cosec2(arccot 3) + cosec (2 arccot 2 + arccos
3
5
) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 335
24
2. 351
24
3. 375
24
4. 385
24
5. 399
24

PAT 1 (ต.ค. 58) 3
7. กาหนดให้ 𝐴 = arcsin(cos
𝜋
3
) และ 0 < 𝐵 <
𝜋
2
sin2
𝐵 + sin2(𝐴 + 𝐵) + sin2(5𝐴 + 𝐵) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. 0 2. 1 3. 3
2
− sin2𝐵
4. 3
2
− cos 2𝐵 5. 3
2
− 2 cos 2𝐵
8. กาหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจานวนจริงบวกที่มากกว่า 2 และสอดคล้องกับ
log 𝑎(𝑏 − 2) = log√ 𝑎 √3 + log 𝑎2(𝑏 + 2) และ (log 𝑏
2
𝑎)(log 𝑎 𝑏) = 1 + log√ 𝑎 𝑏
แล้ว 𝑎 + 𝑏 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 183 2. 210 3. 216
4. 225 5. 239
9. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ความสัมพันธ์ในข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นฟังก์ชัน
1. ความสัมพันธ์ 𝑟1 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥𝑦 + 1 = 0 }
2. ความสัมพันธ์ 𝑟2 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = tan 𝑥 }
3. ความสัมพันธ์ 𝑟3 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥2
= √𝑦2 + 1 }
4. ความสัมพันธ์ 𝑟4 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = |2 − 𝑥| }
5. ความสัมพันธ์ 𝑟5 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥2
=
𝑦
𝑦+1
}

4 PAT 1 (ต.ค. 58)
10. ให้วงกลม 𝐶 มีสมการเป็น 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0 เมื่อ 𝑎 > 0 โดยระยะทางจากจุดศูนย์กลางของ
วงกลม 𝐶 ไปยังเส้นตรง 4𝑥 + 3𝑦 = 71 เท่ากับ 14 หน่วย ถ้าพาราโบลารูปหนึ่ง มีโฟกัสอยู่ที่จุดศูนย์กลางของ
วงกลม 𝐶 และ มี 𝑦 = 7 เป็นไดเรกตริกซ์ แล้วสมการของพาราโบลารูปนี้ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. 𝑥2
− 4𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0 2. 𝑥2
+ 4𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0
3. 𝑥2
+ 4𝑥 − 4𝑦 + 20 = 0 4. 𝑥2
+ 4𝑥 + 8𝑦 + 44 = 0
5. 𝑥2
+ 4𝑥 + 8𝑦 − 36 = 0
11. ให้พาราโบลารูปหนึ่ง มีสมการเป็น 𝑦2
− 4𝑦 + 40𝑥 − 236 = 0 โดยมี 𝑉 และ 𝐹 เป็นจุดยอด และโฟกัสของ
พาราโบลาตามลาดับ ถ้าวงรีรูปหนึ่ง ผ่านจุด (4, 6) และมีโฟกัสอยู่ที่ 𝑉 และ 𝐹 แล้วสมการของวงรีรูปนี้ตรงกับข้อ
ใดต่อไปนี้
1. 4𝑥2
+ 9𝑦2
+ 8𝑥 − 36𝑦 + 140 = 0 2. 4𝑥2
+ 9𝑦2
+ 8𝑥 + 36𝑦 − 140 = 0
3. 4𝑥2
+ 9𝑦2
− 8𝑥 − 36𝑦 − 140 = 0 4. 9𝑥2
+ 4𝑦2
− 36𝑥 − 8𝑦 − 180 = 0
5. 9𝑥2
+ 4𝑦2
+ 36𝑥 − 8𝑦 + 180 = 0

PAT 1 (ต.ค. 58) 5
12. กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนตรรกยะ ให้ 𝑃(𝑥) คือ 8𝑥3
− 4𝑥 − 1 = 0
𝑄(𝑥) คือ 8𝑥4
− 8𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 0
และ 𝑅(𝑥) คือ 𝑥3
+ 𝑥2
> 0
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ∀𝑥[𝑄(𝑥) → 𝑅(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ค) ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑅(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง
1. ข้อ (ก) ถูกเพียงข้อเดียว 2. ข้อ (ข) ถูกเพียงข้อเดียว
3. ข้อ (ค) ถูกเพียงข้อเดียว 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
13. ค่าของ 
1
lim
x
1
√1−𝑥
(1 −
2𝑥3
𝑥2+1
) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0 2. 0.5 3. 1
4. 2 5. 4
14. กาหนดให้ 𝐶 เป็นเส้นโค้ง 𝑦 = 2 + 𝑥|𝑥 − 1| เมื่อ 𝑥 เป็นจานวนจริง ถ้า 𝐿 เป็นเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง 𝐶 ที่
จุด (0, 2) และให้ 𝑁 เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง 𝐿 ณ จุด (0, 2) แล้วเส้นตรง 𝑁 ผ่านจุดในข้อใดต่อไปนี้
1. (−1, 3) 2. (1, 5) 3. (−2, 5)
4. (3, −2) 5. (−3, 4)

6 PAT 1 (ต.ค. 58)
15. ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง โดยที่ 𝑓−1(𝑥) =
2𝑥
𝑥+1
สาหรับทุก
สมาชิก 𝑥 ในเรนจ์ของ 𝑓 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) 2𝑓′(4) − 𝑓(4) = 3
(ข) 𝑓′′
(𝑓(4)) = 𝑓(𝑓′′(4))
(ค) 𝑓 เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (0, 2)
1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
16. กาหนดให้ 𝐴⃗ และ 𝐵⃗⃗ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ โดยที่ 𝐴⃗ = 16𝑖̅ + 𝑎𝑗̅ และ 𝐵⃗⃗ = 8𝑖̅ + 𝑏𝑗̅ เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็น
จานวนจริง ถ้า |𝐴⃗| = |𝐵⃗⃗| และเวกเตอร์ 𝐵⃗⃗ ทามุม 60° กับเวกเตอร์ 𝐴⃗
แล้วค่าของ (𝑎 + 𝑏)2
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 8 2. 16 3. 64
4. 192 5. 320
17. ในการจัดนักเรียนชาย 4 คน และนักเรียนหญิง 4 คน มายืนเรียงเป็นแถวตรงเพียงหนึ่งแถว ความน่าจะเป็นที่ไม่มี
นักเรียนชายสองคนใดเลยยืนติดกัน หรือ ไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดเลยยืนติดกัน มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. 1
70
2. 1
35
3. 4
35
4. 1
7
5. 2
7

PAT 1 (ต.ค. 58) 7
18. ให้ 𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังก์ชัน โดยที่ 𝑓(𝑥) = {√9 − 𝑥 , 𝑥 ≤ 0
7 − 𝑥 , 𝑥 > 4
และ 𝑔(𝑥) = {
𝑥 + 2 , 𝑥 < 1
𝑥 − 4 , 𝑥 ≥ 1
(ก) ถ้า 𝑥 ≤ 0 แล้ว (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = √9 − 𝑥 − 4
(ข) ถ้า 4 < 𝑥 ≤ 6 แล้ว (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 3 − 𝑥
(ค) ถ้า 𝑥 > 6 แล้ว (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 9 − 𝑥
19. กาหนดให้ 𝑧 เป็นจานวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ (1 + i)𝑧̅ −
(9−7i)(𝑧̅− 𝑧)
3+i
= 6 − 2i เมื่อ i2
= −1 และ
𝑧̅ แทนสังยุค (conjugate) ของ 𝑧 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) |𝑧 + 8| = 2
(ข) |𝑧 + 3i| = 10
(ค) |i𝑧 + 2| = 8

8 PAT 1 (ต.ค. 58)
20. กาหนดให้ 𝑎 𝑛 =
𝑛23𝑛
32𝑛+1 เมื่อ 𝑛 = 1, 2, 3, … อนุกรม



1n
𝑎 𝑛 ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 8
3
2. อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 4
3. อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 24 4. อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 64
3
5. อนุกรมลู่ออก
21. กาหนดให้ข้อมูลชุดที่ 1 คือ 𝑥1 + 4 , 𝑥2 + 4 , … , 𝑥20 + 4
และข้อมูลชุดที่ 2 คือ 2𝑥1 + 4 , 2𝑥2 + 4 , … , 2𝑥20 + 4
เมื่อ 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥20 เป็นจานวนจริง
ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 เท่ากับ 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่ 1 เท่ากับ 10
แล้วข้อมูลชุดที่ 2 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และ ความแปรปรวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 96 และความแปรปรวนเท่ากับ 400
22. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนน
สอบวิชานี้เท่ากับ 25% และมีนักเรียนร้อยละ 15.87 ที่สอบได้คะแนนมากกว่า 85 คะแนน ถ้านาย ก เป็นนักเรียน
คนหนึ่งในห้องนี้สอบได้คะแนน 47.6 คะแนน จะอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
เมื่อกาหนดพื้นที่ใต้โค้งปกติ ระหว่าง 0 ถึง 𝑧 ดังนี้
1. 34.46 2. 18.41 3. 13.57
4. 11.51 5. 9.68
𝑧 0.4 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
พื้นที่ 0.1554 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032

PAT 1 (ต.ค. 58) 9
23. กาหนดให้ 𝑎 𝑛 =
1+2+22+23+ … +2 𝑛
32𝑛 เมื่อ 𝑛 = 1, 2, 3, …
ค่าของ n
lim (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎 𝑛) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2
9
2. 1
8
3. 9
56
4. 2
7
5. 25
56
24. กาหนดให้ 𝕀 แทนเซตของจานวนเต็ม และ ℝ แทนเซตของจานวนจริง
ถ้า 𝑟 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 =
𝑥2+2
√4−𝑥 − √2𝑥+1
} และ 𝐴 = { 𝑥2 | 𝑥 ∈ 𝕀 ∩ 𝐷𝑟 }
แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต 𝐴 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 6 2. 10 3. 19
4. 29 5. 30
25. ภายใต้อสมการข้อจากัดต่อไปนี้ 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 , 𝑥 − 𝑦 ≤ 1 , 𝑥 + 𝑦 ≥ 1 , 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0
สมการจุดประสงค์ในข้อใดต่อไปนี้ที่มีค่ามากที่สุด
1. 𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 2. 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 3. 𝑧 = 2𝑥 + 3𝑦
4. 𝑧 = 𝑥 + 4𝑦 5. 𝑧 = 4𝑥 + 𝑦

10 PAT 1 (ต.ค. 58)
26. กาหนดให้ 𝐴 = [
1 2
2 1
] และ 𝐵 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] เมื่อ 𝑎, 𝑏, 𝑐 และ 𝑑 เป็นจานวนจริงบวก โดยที่ 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 9 และ
𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐 ถ้า 𝐴𝐵−1
= 𝐵−1
𝐴 และ det(𝐴𝑡
𝐵) = −24 แล้วค่าของ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 เท่ากับเท่าใด
1. 5 2. 6 3. 7
4. 8 5. 9
27. กาหนดให้ 𝑎̅ และ 𝑏̅ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้า 𝑎̅ ขนานกับ 𝑏̅ แล้ว |𝑎̅ − 𝑏̅| = |𝑎̅| − |𝑏̅|
(ข) ถ้า |𝑎̅ + 𝑏̅|
2
= |𝑎̅|2
+ |𝑏̅|
2
แล้ว 𝑎̅ ตั้งฉากกับ 𝑏̅
(ค) ถ้าเวกเตอร์ 𝑎̅ + 𝑏̅ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ 𝑎̅ − 𝑏̅ แล้ว |𝑎̅| = |𝑏̅|
28. กาหนดให้ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 และ 𝑒 เป็นจานวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ
𝑎 + 𝑏 − 4 = 𝑏 + 𝑐 + 5 = 𝑐 + 𝑑 + 1 = 𝑑 + 𝑒 − 2 = 𝑒 + 𝑎 + 3
(ก) 𝑐 + 𝑒 < 𝑏 + 𝑑
(ข) 𝑐 < 𝑏 < 𝑒 < 𝑑
(ค) 𝑎 + 𝑑 < 𝑏 + 𝑐

PAT 1 (ต.ค. 58) 11
29. กาหนดข้อมูลชุดหนึ่ง ดังตารางต่อไปนี้
เมื่อ 𝑎 เป็นจานวนเต็มบวก
ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 5 แล้วมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด
1. 3.8 2. 4.3 3. 4.8
4. 4.9 5. ไม่มีคาตอบ
30. จากการสารวจประชากรของหมู่บ้านแห่งหนึ่ง มีผู้หญิงร้อยละ 60 ของประชากรทั้งหมดในหมู่บ้านนี้และมีอัตราส่วน
ของจานวนผู้หญิงที่มีสายตาผิดปกติ ต่อจานวนผู้หญิงที่มีสายตาปกติ เท่ากับ อัตราส่วนของจานวนประชากรใน
หมู่บ้านนี้ที่มีสายตาผิดปกติ ต่อ จานวนประชากรในหมู่บ้านนี้ที่มีสายตาปกติ พิจารณาข้อสรุปเกี่ยวกับประชากรใน
หมู่บ้าน ต่อไปนี้
(ก) ผู้หญิงที่มีสายตาผิดปกติมีจานวน 1.5 เท่าของจานวนผู้ชายที่มีสายตาผิดปกติ
(ข) ผู้ชายที่มีสายตาปกติมีจานวนมากกว่าจานวนผู้หญิงสายตาปกติ
(ค) อัตราส่วนของจานวนผู้หญิงที่มีสายตาผิดปกติ ต่อ จานวนผู้หญิงทั้งหมดในหมู่บ้านนี้มากกว่า
อัตราส่วนของจานวนผู้ชายที่มีสายตาผิดปกติ ต่อ จานวนผู้ชายทั้งหมดในหมู่บ้านนี้
คะแนน จานวน
0 – 2 3
3 – 5 5
6 – 8 𝑎
9 – 11 3

12 PAT 1 (ต.ค. 58)
ตอนที่ 2 ข้อ 31 - 45 ข้อละ 8 คะแนน
31. ในการสารวจความชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ วิชาภาษาไทย และวิชาภาษาอังกฤษ ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง
พบว่า มีนักเรียนชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 150 คน
มีนักเรียนชอบเรียนวิชาภาษาไทย 80 คน
มีนักเรียนชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 60 คน
และ มีนักเรียน 30 คน ชอบเรียนทั้งสามวิชา
นักเรียนกลุ่มนี้มีจานวนอย่างมากกี่คน
32. ให้ 𝐴 แทนเซตคาตอบของสมการ 3(9 + 3|𝑥|+|𝑥+4|
) = 3|𝑥+4|
+ 3|𝑥|+4
และให้ 𝐵 = { 59 − 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 }
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต 𝐵 เท่ากับเท่าใด
33. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ให้ 𝑓: ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดคล้องกับ
2
lim
x
𝑥2+𝑥−6
√1+𝑓(𝑥)−3
= 6 และ 1 + 𝑓(𝑥) ≥ 0 สาหรับทุกจานวนจริง 𝑥
ถ้าเส้นตรง 6𝑥 − 𝑦 = 4 ตัดกับกราฟ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่ 𝑥 = 2 แล้วค่าของ 𝑓′(2) เท่ากับเท่าใด

PAT 1 (ต.ค. 58) 13
34. กาหนดให้ฟังก์ชัน 𝑓(𝑥) = {
𝑥3
, 𝑥 < −1
𝑎𝑥 + 𝑏 , −1 ≤ 𝑥 < 1
3𝑥2
+ 2 , 𝑥 ≥ 1
เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจานวนจริง
ถ้าฟังก์ชัน 𝑓 ต่อเนื่อง สาหรับทุกจานวนจริง 𝑥 แล้วค่า
2
2
 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 เท่ากับเท่าใด
35. กาหนดให้ 𝑎 > 1 และ นิยาม 𝐿(𝑛) = log2 𝑛( √ 𝑎
𝑛
) สาหรับ 𝑛 = 1, 2, 3, …
ถ้า 1
𝐿(1)
+
1
𝐿(2)
+ ⋯ +
1
𝐿(10)
= 77 แล้วค่าของ 𝑎 เท่ากับเท่าใด
36. ถ้า 𝑎 และ 𝑏 เป็นจานวนจริงที่สอดคล้องกับ |
1 𝑏 0
𝑎 4 1
5 𝑎 −𝑎
| = −17
แล้วค่าของ |
5 + 2𝑎 2 5
8 + 𝑎 2𝑏 𝑎
2 − 𝑎 0 −𝑎
| เท่ากับเท่าใด

14 PAT 1 (ต.ค. 58)
37. ให้ {𝑎 𝑛} เป็นลาดับเลขคณิตของจานวนจริง
โดยที่ 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + … + 𝑎49 = 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + ⋯ + 𝑎50 = 1275 และ 𝑎100 = 200
ค่าของ 𝑎51 + 𝑎52 + 𝑎53 + … + 𝑎100 เท่ากับเท่าใด
38. ต้องการสร้างจานวนห้าหลัก จากเลขโดด 1, 2, 3 โดยที่แต่ละหลักมีตัวเลขซ้ากันได้ และจานวนห้าหลักประกอบด้วย
ตัวเลข 1 อย่างน้อย 1 หลัก ตัวเลข 2 อย่างน้อย 1 หลัก และตัวเลข 3 อย่างมาก 2 หลัก จะมีจานวนห้าหลัก
ดังกล่าวได้ทั้งหมดกี่จานวน
39. จากการสารวจปริมาณอาหารเสริมที่ใช้เลี้ยงสัตว์ชนิดหนึ่ง จานวน 8 ตัว ได้ข้อมูลซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง
อายุ (ปี) ของสัตว์ชนิดนี้และปริมาณอาหารเสริม (กิโลกรัม) ที่ใช้เลี้ยงสัตว์ดังกล่าวต่อสัปดาห์ ปรากฏผลดังนี้
โดยที่
8
1

i
𝑥𝑖 = 40 ,
8
1

i
𝑦𝑖 = 48 ,
8
1

i
𝑥𝑖
2
= 210 ,
8
1

i
𝑦𝑖
2
= 380 ,
8
1

i
𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 270
และ 3 = 𝑥1 < 𝑥2 < … < 𝑥8 < 10
สมมติว่ากราฟแผนภาพการกระจายที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณอาหารเสริมที่ใช้เลี้ยงสัตว์ต่อสัปดาห์ และ
อายุของสัตว์ดังกล่าว อยู่ในรูปแบบเส้นตรง ถ้าสัตว์ชนิดนี้มีอายุ 4 ปี จะต้องใช้ปริมาณอาหารเสริมที่ใช้เลี้ยงสัตว์ต่อ
สัปดาห์ประมาณกี่กิโลกรัม
อายุ (ปี) : 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8
ปริมาณอาหารเสริมต่อสัปดาห์ (กิโลกรัม) 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4 𝑦5 𝑦6 𝑦7 𝑦8

PAT 1 (ต.ค. 58) 15
40. ถ้า 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 = 21 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีแกนตามขวางขนานแกน 𝑥
มีเส้นตรง 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 เป็นเส้นกากับ (asymtote) เส้นหนึ่ง และมีจุด (1 + 2√5, 3) เป็นโฟกัสจุดหนึ่ง
แล้วค่าของ 𝐴2
+ 𝐵2
+ 𝐷2
+ 𝐸2
เท่ากับเท่าใด
41. ให้ 𝑆 เป็นเซตของคู่อันดับ (𝑎, 𝑏) ทั้งหมด โดยที่ 𝑎, 𝑏 เป็นจานวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ 1
𝑎
−
1
𝑏
=
1
10
จานวนสมาชิกของเซต 𝑆 เท่ากับเท่าใด
42. ให้ 𝐴 เป็นเซตของจานวนจริง 𝑥 ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับอสมการ √2𝑥
√1+𝑥 + √1−𝑥
< √1 − 𝑥
ถ้า 𝑎 เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต 𝐴 และ 𝑏 เป็นขอบเขตล่างมากสุดของเซต 𝐴
แล้วค่าของ 𝑎2
+ 𝑏2
เท่ากับเท่าใด

16 PAT 1 (ต.ค. 58)
43. ให้ 𝐴 เป็นเซตของคู่อันดับ (𝑥, 𝑦) โดยที่ 𝑥 และ 𝑦 เป็นจานวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ
√2 − 𝑥 + √ 𝑦 = 2 และ 3 log4 16𝑥2
= 6 + 6 log2 √ 𝑦
ให้ 𝐵 = { 𝑥2
+ 𝑦2 | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 } ค่ามากที่สุดของสมาชิกในเซต 𝐵 เท่ากับเท่าใด
44. กาหนดให้ข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง 5 จานวน คือ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 โดยที่
5
1

i
𝑥𝑖
2
= 214 และ
5
1

i
(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2
= 34
เมื่อ 𝑥̅ คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่างนี้และ 𝑥̅ > 0
ถ้าข้อมูลกลุ่มตัวอย่างใหม่ 5 จานวน คือ 𝑥1 + 2𝑥2 , 𝑥2 + 2𝑥3 , 𝑥3 + 2𝑥4 , 𝑥4 + 2𝑥5 , 𝑥5 + 2𝑥1 มีส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 16
แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 𝑥1 𝑥2 , 𝑥2 𝑥3 , 𝑥3 𝑥4 , 𝑥4 𝑥5 , 𝑥5 𝑥1 เท่ากับเท่าใด
45. ให้ 𝑆 เป็นเซตของจานวนสองหลัก 𝑎𝑏 ทั้งหมด โดยที่ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 = 143 เมื่อ 𝑎, 𝑏 ∈ {1, 2, 3 , … , 9}
และ 𝑎 ≠ 𝑏 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต 𝑆 เท่ากับเท่าใด

PAT 1 (ต.ค. 58) 17
เฉลย
1. 2 11. 3 21. 1 31. 230 41. 4
2. 5 12. 3 22. 4 32. 126 42. 1.5
3. 3 13. 1 23. 5 33. 5 43. 2
4. 2 14. 1 24. 4 34. 9.25 44. 78.7
5. 5 15. 2 25. 5 35. 32 45. 429
6. 4 16. 4 26. 4 36. 68
7. 4 17. 3 27. 3 37. -
8. 2 18. 4 28. 1 38. 160
9. 3 19. 2 29. 2 39. 3
10. 5 20. 3 30. 1 40. 117
แนวคิด
1. 2
จาก (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ (~𝑝 ∧ ~𝑞) เป็นจริง จะสรุปได้ว่า 𝑝 ∨ 𝑟 กับ ~𝑝 ∧ ~𝑞 ต้องมีค่าความจริงเหมือนกัน
จะเห็นว่า 𝑝 เป็น T ไม่ได้ เพราะถ้า 𝑝 เป็นจริง จะทาให้ 𝑝 ∨ 𝑟 ≡ T ∨ 𝑟 ≡ T
แต่ จะทาให้ ~𝑝 ∧ ~𝑞 ≡ ~T ∧ ~𝑞 ≡ F ∧ ~𝑞 ≡ F
ดังนั้น 𝑝 ต้องเป็น F และจะได้ 𝑝 ∨ 𝑟 ≡ F ∨ 𝑟 ≡ 𝑟
และ ~𝑝 ∧ ~𝑞 ≡ ~F ∧ ~𝑞 ≡ T ∧ ~𝑞 ≡ ~𝑞
สรุป จากข้อมูลที่โจทย์ให้ จะได้ว่า 𝑝 ≡ F และ 𝑟 กับ 𝑞 ตรงข้ามกัน
1. 2.
3. 4.
5.
จะเห็นว่า มีข้อ 2. ข้อเดียว ที่ตรงกับข้อความในตัวเลือก
2. 5
จาก
ซึ่ง 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) คือบริเวณ เป็นเซตว่าง ดังนั้น ใส่ 0 ได้ดังรูป
ต้องเหมือนกัน → จะได้ 𝑟 ≡ ~𝑞
นั่นคือ 𝑟 กับ 𝑞 ต้องมีค่าความจริง
ตรงข้ามกัน
ไม่เหมือนกัน
(𝑞 ↔ 𝑟) ∨ 𝑝
≡ F ∨ F
≡ F
𝑟 กับ 𝑞 ตรงข้ามกัน
จะได้ 𝑞 ↔ 𝑟 ≡ F
(𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑟 → 𝑝)
≡ (F → 𝑞) ∨ (𝑟 → F)
≡ T ∨ (𝑟 → F)
≡ T
(𝑟 → 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ 𝑞)
≡ (𝑟 → 𝑞) ∧ (F ∧ 𝑞)
≡ (𝑟 → 𝑞) ∧ F
≡ F
(𝑞 → ~𝑝) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)
≡ (𝑞 → ~F) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)
≡ (𝑞 → T ) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)
≡ T ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)
≡ T
(𝑟 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 → ~𝑟)
≡ (𝑟 ∨ 𝑞) ↔ (F → ~𝑟)
≡ T ↔ T
≡ T
𝑟 กับ 𝑞 ตรงข้ามกัน ดังนั้น จะมีตัวหนึ่ง T ตัวหนึ่ง F
เมื่อมีตัวหนึ่ง T จะได้ 𝑟 ∨ 𝑞 ≡ T เสมอ
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)′
= ∅
𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = ∅
ใช้สูตร 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵′
𝐴 𝐵
𝐶
𝐴 𝐵
𝐶
0

18 PAT 1 (ต.ค. 58)
จาก 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) → กาหนด 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ดังรูป
จะได้
ให้ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑦 จะได้
จาก 𝑛(𝐴) = 12 จะได้
และจากสูตร Inclusive – Exclusive จะได้
แก้ระบบสมการ (1) กับ (2) :
แทน 𝑥 = 10 , 𝑦 = 1 ในแผนภาพ และหาส่วนที่เหลือ จะได้ดังรูป
1. 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 → 10 2. 𝐴 ∩ 𝐵 → 11 3. 𝐴′
∩ 𝐵
4. (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 → 12 5. (𝐴 ∪ 𝐵)′
∩ 𝐶
จะเห็นว่า ข้อ 5. เท่านั้น ที่ไม่ตรงกับข้อความในตัวเลือก
𝐴 𝐵
𝐶
0 𝑎
𝑏 𝑐𝑥𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶)
𝑎 + 𝑥 = 𝑐 + 𝑥 = 𝑏 + 𝑥
𝑎 = 𝑐 = 𝑏
𝐴 𝐵
𝐶
0 𝑦
𝑦 𝑦𝑥
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
20 = 12 + 15 + 16 − (𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑦) + 𝑥
20 = 43 −𝑥 − 𝑦 −𝑥 − 𝑦 −𝑥 − 𝑦 + 𝑥
2𝑥 + 3𝑦 = 23 …(2)
0 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 + 2𝑦 = 12 …(1)
𝑥 + 2𝑦 = 12 …(1)
2𝑥 + 3𝑦 = 23 …(2)
2 × (1) : 2𝑥 + 4𝑦 = 24 …(3)
(3) – (2) : 𝑦 = 1 → แทนใน (1) : 𝑥 + 2(1) = 12
𝑥 = 10
𝐴 𝐵
𝐶
0 1
1 1
10 𝑛(𝐵) = 15
𝑛(𝐶) = 16
𝐴 𝐵
𝐶
0 1
1 1
10
3
4
𝐴 𝐵
𝐶
0 1
1 1
10
3
4
𝐴 𝐵
𝐶
0 1
1 1
10
3
4
= 𝐵 ∩ 𝐴′
= 𝐵 − 𝐴 → 4
𝐴 𝐵
𝐶
0 1
1 1
10
3
4
𝐴 𝐵
𝐶
0 1
1 1
10
3
4
= 𝐶 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)′
= 𝐶 − (𝐴 ∪ 𝐵) → 4
𝐴 𝐵
𝐶
0 1
1 1
10
3
4

PAT 1 (ต.ค. 58) 19
3. 3
หา 𝐴 : ||𝑥 − 1| − 1| < 1
จากสมบัติค่าสัมบูรณ์ จะได้
จะได้ 0 < |𝑥 − 1| และ |𝑥 − 1| < 2
รวมสองฝั่ง จะได้ 𝐴 ดังรูป
หมายเหตุ : จริงๆแล้ว ข้อนี้ไม่ต้องหา 𝐵 ก็ได้ เนื่องจาก 𝐴 ที่ได้ เป็นสับเซตของ (−1, 3) ในข้อ 3 เพียงข้อเดียว
เนื่องจาก 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 และ 𝐴 ⊂ (−1, 3) ดังนั้น จะสรุปได้ว่า 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ (−1, 3)
ดังนั้น ข้อ 3 เป็นคาตอบได้แน่นอน (แต่ถ้าไม่หา 𝐵 จะไม่รู้ว่ามีตัวเลือกข้ออื่นเป็นคาตอบได้อีกหรือไม่)
หา 𝐵 :
แต่ 𝑥 ≠ 1 ดังนั้น จะเหลือ 𝐵 ดังรูป
จะได้ 𝐴 ∩ 𝐵 ดังรูป
จะเห็นว่า 𝐴 ∩ 𝐵 เป็นสับเซตของ (−1, 3) ในข้อ 3
เพียงข้อเดียว
4. 2
สังเกตว่าแต่ละวงเล็บ จะเข้าสูตร sin3𝜃 = 3 sin 𝜃 − 4 sin3
𝜃 ได้ ถ้ามี sin 𝜃 คูณเพิ่มอีกตัว
→ คูณ sin 𝜃
sin 𝜃
เข้าไปที่แต่ละวงเล็บ แล้วเข้าสูตร sin3𝜃 ดังนี้
=
(sin9°)(3−4 sin2 9°)
sin9°
∙
(sin27°)(3−4 sin2 27°)
sin 27°
∙
(sin81°)(3−4 sin2 81°)
sin81°
∙
(sin243°)(3−4sin2 243°)
sin243°
=
3 sin9°−4 sin3 9°
sin 9°
∙
3 sin 27°−4sin3 27°
sin 27°
∙
3 sin 81°−4 sin3 81°
sin81°
∙
3 sin243°−4sin3 243°
sin243°
=
sin3(9°)
sin9°
∙
sin3(27°)
sin27°
∙
sin3(81°)
sin81°
∙
sin3(243°)
sin243°
=
sin27°
sin9°
∙
sin 81°
sin 27°
∙
sin243°
sin81°
∙
sin729°
sin243°
→ เหลือ sin729°
sin9°
เนื่องจาก 729 หารด้วย 360 เหลือเศษ 9 ดังนั้น sin729°
sin9°
=
sin 9°
sin 9°
= 1
−1 < |𝑥 − 1| − 1 < 1
0 < |𝑥 − 1| < 2
จริงเสมอ ยกเว้น เมื่อ 𝑥 − 1 = 0
→ 𝑥 เป็นอะไรก็ได้ ที่ไม่ใช่ 1
−2 < 𝑥 − 1 < 2
−1 < 𝑥 < 3
1
𝑥+1
≥
2𝑥−2
𝑥2−3𝑥+2
1
𝑥+1
≥
2(𝑥−1)
(𝑥−2)(𝑥−1)
1
𝑥+1
≥
2(𝑥−1)
(𝑥−2)(𝑥−1)
1
𝑥+1
≥
2
𝑥−2
; 𝑥 ≠ 1
0 ≥
2
𝑥−2
−
1
𝑥+1
0 ≥
2(𝑥+1)−1(𝑥−2)
(𝑥−2)(𝑥+1)
0 ≥
2𝑥+2−𝑥+2
(𝑥−2)(𝑥+1)
0 ≥
𝑥+4
(𝑥−2)(𝑥+1)
−4 −1 2
− + − +
มาจากตัวส่วน ต้องเป็นวงขาวๆ
−4 −1 21
−1 1 3
−4 −1 21 3
𝐴
𝐵
𝐴 ∩ 𝐵

20 PAT 1 (ต.ค. 58)
5. 5
จากสูตร tan
𝜃
2
=
sin 𝜃
1+cos 𝜃
ได้ จะได้ cot
𝜃
2
=
1+cos 𝜃
sin 𝜃
จะได้
ดังนั้น (1+sin 𝜃) sec2 𝜃
cos 2𝜃
=
(1+sin30°) sec2 30°
cos 60°
=
(1+
1
2
)(
2
√3
)
2
1
2
= (
3
2
) (
4
3
) (
2
1
) = 4
6. 4
หลัง arc ทุกตัวเป็นค่าบวก → ผล arc จะได้มุมใน Q1 → ใช้สามเหลี่ยมมาช่วยคิดได้ โดยไม่ต้องระวังเรื่อง
เครื่องหมายบวกลบ
หา sec2(arctan 2) :
หา cosec2(arccot 3) :
สุดท้าย cosec(2 arccot 2 + arccos
3
5
) =
1
sin(2 arccot2+arccos
3
5
)
=
1
sin(2 arccot2) cos(arccos
3
5
)+cos(2 arccot2) sin(arccos
3
5
)
…(∗)
sin(2 arccot 2) = 2 sin(arccot 2) cos(arccot 2)
= 2 (
1
√5
) (
2
√5
) =
4
5
cos(2 arccot 2) = 2 cos2(arccot 2) − 1
= 2 (
2
√5
)
2
− 1 =
8
5
− 1 =
3
5
2 cot
𝜃
2
= (1 + cot 𝜃)2
2(1+cos 𝜃)
sin 𝜃
= (1 +
cos 𝜃
sin 𝜃
)
2
2+2cos 𝜃
sin 𝜃
= (
sin 𝜃+cos 𝜃
sin 𝜃
)
2
2+2cos 𝜃
sin 𝜃
=
sin2 𝜃+2 sin 𝜃 cos 𝜃+cos2 𝜃
sin2 𝜃
2+2cos 𝜃
sin 𝜃
=
1 +2 sin 𝜃 cos 𝜃
sin2 𝜃
2 + 2 cos 𝜃 =
1+2sin 𝜃 cos 𝜃
sin 𝜃
2 sin 𝜃 + 2 sin 𝜃 cos 𝜃 = 1 + 2 sin 𝜃 cos 𝜃
2 sin 𝜃 = 1
sin 𝜃 =
1
2
𝜃 = 30°
sin2
𝜃 + cos2
𝜃 = 1
0 < 𝜃 <
𝜋
2
จะได้ cosec(arccot 3) =
√10
1
= √10
ดังนั้น cosec2(arccot 3) = 10
จะได้ sec(arctan 2) =
√5
1
= √5
ดังนั้น sec2(arctan 2) = 5
2
1
arctan 2
= √22 + 12
= √5
2
1
arctan 2
1
3
arccot 3
= √12 + 32
= √10
1
3
arccot 3
= √12 + 22
= √5
1
2
arccot 2
sin2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃
cos 2𝜃 = 2 cos2
𝜃 − 1

PAT 1 (ต.ค. 58) 21
cos (arccos
3
5
) =
3
5
sin(arccos
3
5
) =
4
5
แทนใน (∗) จะได้ cosec (2 arccot 2 + arccos
3
5
) =
1
(
4
5
)(
3
5
)+(
3
5
)(
4
5
)
=
1
24
25
=
25
24
จะได้คาตอบที่โจทย์ถาม = 5 + 10 +
25
24
=
360+25
24
=
385
24
7. 4
จะได้ 𝐴 = arcsin(cos
𝜋
3
) = arcsin(
1
2
) = 30°
ดังนั้น sin2
𝐵 + sin2(𝐴 + 𝐵) + sin2(5𝐴 + 𝐵)
8. 2
= √52 − 32
= 4
5
3
arccos
3
5
= sin2
𝐵 + sin2(30° + 𝐵) + sin2(5(30°) + 𝐵)
= sin2
𝐵 + (sin 30° cos 𝐵 + cos 30° sin 𝐵)2
+ (sin150° cos 𝐵 + cos 150° sin 𝐵)2
= sin2
𝐵 + (sin 30° cos 𝐵 + cos 30° sin 𝐵)2
+ (sin30° cos 𝐵 − cos 30° sin 𝐵)2
= sin2
𝐵 + (
1
2
cos 𝐵 +
√3
2
sin 𝐵)
2
+ (
1
2
cos 𝐵 −
√3
2
sin 𝐵)
2
= sin2
𝐵 +
cos2 𝐵
4
+
√3 cos 𝐵 sin 𝐵
2
+
3 sin2 𝐵
4
+
cos2 𝐵
4
−
√3 cos 𝐵 sin 𝐵
2
+
3 sin2 𝐵
4
= sin2
𝐵 +
2 cos2 𝐵
4
+
6 sin2 𝐵
4
= sin2
𝐵 +
1−sin2 𝐵
2
+
3 sin2 𝐵
2
=
2 sin2 𝐵+1−sin2 𝐵+3 sin2 𝐵
2
=
4 sin2 𝐵 + 1
2
=
4(
1−cos 2𝐵
2
) + 1
2
=
2−2cos 2𝐵+1
2
=
3
2
− cos 2𝐵
ในตัวเลือก เป็นมุมสองเท่า → จะใช้สูตร cos 2𝐵 = 1 − 2 sin2
𝐵 มาช่วยจัดรูป
2sin2
𝐵 = 1 − cos 2𝐵
sin2
𝐵 =
1−cos 2𝐵
2
log 𝑎(𝑏 − 2) = log√ 𝑎 √3 + log 𝑎2(𝑏 + 2)
log 𝑎(𝑏 − 2) =
1
1
2
log 𝑎 √3 +
1
2
log 𝑎(𝑏 + 2)
log 𝑎(𝑏 − 2) = 2 log 𝑎 √3 +
1
2
log 𝑎(𝑏 + 2)
log 𝑎(𝑏 − 2) = log 𝑎 √3
2
+ log 𝑎(𝑏 + 2)
1
2
log 𝑎(𝑏 − 2) = log 𝑎 3 + log 𝑎 √𝑏 + 2
log 𝑎(𝑏 − 2) = log 𝑎(3)(√𝑏 + 2)
𝑏 − 2 = (3)(√𝑏 + 2)
𝑏2
− 4𝑏 + 4 = (9)(𝑏 + 2)
𝑏2
− 13𝑏 − 14 = 0
(𝑏 − 14)(𝑏 + 1) = 0
𝑏 = 14 , −1
log 𝑎 𝑛 𝑀 =
1
𝑛
log 𝑎 𝑀
𝑛 log 𝑎 𝑀 = log 𝑎 𝑀 𝑛
log 𝑎 𝑀 + log 𝑎 𝑁 = log 𝑎 𝑀𝑁
ยกกาลังสองทั้งสองข้าง
(น − ล)2
= น2
− 2นล + ล2
โจทย์ให้ 𝑏 เป็นจานวนจริงบวก

22 PAT 1 (ต.ค. 58)
แก้อีกสมการ
จะได้ 𝑎 + 𝑏 = 196 + 14 = 210
9. 3
ถ้า 𝑦 ถูกยกกาลังคู่ หรือ อยู่ในค่าสัมบูรณ์ แล้ว มักจะ ไม่ใช่ฟังก์ชัน
(เพราะ 𝑦 เป็นลบกับบวก จะยกกาลังคู่ได้ค่าเดียวกัน ทาให้อาจมี 𝑦 สองค่า สาหรับ 𝑥 ค่าหนึ่งๆ)
ข้อ 3. จะเห็นว่าข้อ 3. มี 𝑦2
อยู่ จึงน่าสงสัยว่าจะไม่ใช่ฟังก์ชัน
ลองให้ 𝑦 = 1 กับ −1 จะได้ 𝑥2
= √(±1)2 + 1 = √1 + 1 = √2
𝑥 = ±√√2 → หาค่า 𝑥 ได้
ดังนั้น จะมี 𝑥 หนึ่งค่าที่จับคู่กับ 𝑦 สองค่า เช่น (√√2, 1) กับ (√√2, −1) → ข้อ 3. ไม่เป็นฟังก์ชัน
ข้อ 2. tan เป็น “ฟังก์ชัน” ตรีโกณมิติ → จึงเป็นฟังก์ชันโดยอัตโนมัติ
ข้อ 1. กับ ข้อ 4. วาดกราฟ
ข้อ 5. พิสูจน์ได้โดยสมมติให้ (𝑥1, 𝑦1) และ (𝑥2, 𝑦2) สอดคล้องกับความสัมพันธ์ 𝑥2
=
𝑦
𝑦+1
ถ้า
จะเห็นว่า ถ้า 𝑥1 = 𝑥2 แล้ว จะได้ 𝑦1 = 𝑦2 สอดคล้องกับเงื่อนไขของฟังก์ชัน → เป็นฟังก์ชัน
(log 𝑏
2
𝑎)(log 𝑎 𝑏) = 1 + log√ 𝑎 𝑏
(log 𝑏 𝑎)2(log 𝑎 𝑏) = 1 +
1
1
2
log 𝑎 𝑏
(log 𝑏 𝑎)2
(
1
log 𝑏 𝑎
) = 1 + 2 (
1
log 𝑏 𝑎
)
( 𝑥 )2
(
1
𝑥
) = 1 + 2(
1
𝑥
)
𝑥2
= 𝑥 + 2
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0
𝑥 = 2 , −1
log 𝑏 𝑎 = 2 , −1
log14 𝑎 = 2 , −1
𝑎 = 142
, 14−1
𝑎 = 196 ,
1
14
log 𝑎 𝑛 𝑀 =
1
𝑛
log 𝑎 𝑀
log 𝑁 𝑀 =
1
log 𝑀 𝑁
เปลี่ยนตัวแปร ให้ log 𝑏 𝑎 = 𝑥
คูณ 𝑥 ตลอด
เปลี่ยนตัวแปรกลับ แทน 𝑏 = 14
โจทย์ให้ 𝑎 > 2
𝑦 = |2 − 𝑥|
𝑦 = |𝑥 − 2| → เป็นตัววีหักที่ (2, 0)
𝑥1 = 𝑥2
𝑥1
2
= 𝑥2
2
𝑦1
𝑦1+1
=
𝑦2
𝑦2+1
𝑦1 𝑦2 + 𝑦1 = 𝑦1 𝑦2 + 𝑦2
𝑦1 = 𝑦2
𝑥𝑦 + 1 = 0
𝑥𝑦 = −1
จะได้ 𝑥1
2
=
𝑦1
𝑦1+1
และ 𝑥2
2
=
𝑦2
𝑦2+1
ยกกาลังสองทั้งสองข้าง
จะเห็นว่าเส้นแนวดิ่งตัดกราฟได้อย่าง
มาก 1 จุดเสมอ → เป็นฟังก์ชัน

PAT 1 (ต.ค. 58) 23
10. 5
จัดรูปวงกลม
จะได้วงกลมมีจุดศูนย์กลางคือ (−
𝑎
2
, 3) …(∗)
จะได้ระยะจาก (−
𝑎
2
, 3) ไปยังเส้นตรง เท่ากับ
|4(−
𝑎
2
)+3(3)−71|
√42+32
=
|−2𝑎−62|
5
แต่โจทย์ให้ระยะจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นตรง = 14 ดังนั้น
แต่โจทย์ให้ 𝑎 > 0 ดังนั้น จะได้ 𝑎 = 4 แทนใน (*) จะได้จุดศูนย์กลางวงกลมคือ (−
4
2
, 3) = (−2, 3)
ดังนั้น พาราโบลา มี F(−2, 3) และมีเส้นไดเรคตริกซ์ คือ 𝑦 = 7 จะวาดได้ดังรูป
จุดยอด V จะอยู่ตรงกลาง ระหว่าง F และ เส้นไดเรคตริกซ์ ดังนั้น จะได้พิกัด
ของจุดยอดคือ V(−2,
3+7
2
) = V(−2, 5) → จะได้ ℎ = −2 และ 𝑘 = 5
และจะได้ระยะโฟกัส 𝑐 = 5 − 3 = 2
แทนในรูปสมการของพาราโบลาคว่า
11. 3
จัดรูปพาราโบลา ได้
เทียบกับ รูปสมการ (𝑦 − 𝑘)2
= −4𝑐(𝑥 − ℎ)
จะได้พาราโบลาเปิดซ้าย มีจุดยอด V(ℎ, 𝑘) = (6, 2)
จุดโฟกัสจะอยู่ห่างจากจุดยอดไปทางซ้าย = 𝑐 = 10 → จะได้พิกัดจุดโฟกัสคือ F(6 – 10, 2) = F(−4, 2)
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0
(𝑥2
+ 𝑎𝑥) + (𝑦2
− 6𝑦) = 12
(𝑥2
+ 𝑎𝑥 + (
𝑎
2
)
2
) + (𝑦2
− 6𝑥𝑦 + 32) = 12 + (
𝑎
2
)
2
+ 32
(𝑥 +
𝑎
2
)
2
+ (𝑦 − 3)2
= 21 +
𝑎2
4
เติม ล2
เพื่อเข้าสูตรกาลังสองสมบูรณ์
น2
+ 2นล + ล2
= (น + ล)2
4𝑥 + 3𝑦 = 71
4𝑥 + 3𝑦 − 71 = 0
ระยะจาก (𝑎, 𝑏) ไปยังเส้นตรง 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
หาได้จากสูตร
|𝐴𝑎+𝐵𝑏+𝐶|
√𝐴2+𝐵2
|−2𝑎−62|
5
= 14
|−2𝑎 − 62| = 70
−2𝑎 − 62 = 70 , −70
−2𝑎 = 132 , −8
𝑎 = −66 , 4
(𝑥 − ℎ)2
= −4𝑐(𝑦 − 𝑘)
(𝑥 − (−2))
2
= −4(2)(𝑦 − 5)
(𝑥 + 2)2
= −8(𝑦 − 5)
𝑥2
+ 4𝑥 + 4 = −8𝑦 + 40
𝑥2
+ 4𝑥 + 8𝑦 − 36 = 0
F(−2, 3)
𝑦 = 7
V( ℎ , 𝑘 )
𝑐
𝑦2
− 4𝑦 = −40𝑥 + 236
𝑦2
− 4𝑦 + 4 = −40𝑥 + 236 + 4
(𝑦 − 2)2
= −40𝑥 + 240
(𝑦 − 2)2
= −40(𝑥 − 6)
(𝑦 − 2)2
= −4(10)(𝑥 − 6) V(6, 2)
F
10

24 PAT 1 (ต.ค. 58)
ดังนั้น วงรีมีจุดโฟกัสอยู่ที่ F1(6, 2) และ F2(−4, 2)
จะเห็นว่า โฟกัสเรียงตัวในแนวนอน → เป็นวงรีแนวนอน
เนื่องจากจุดศูนย์กลางวงรี จะอยู่ตรงกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสอง
จะได้ จุดศูนย์กลางวงรี (ℎ, 𝑘) = (
6+(−4)
2
, 2 ) = (1, 2)
และจะได้ ระยะโฟกัส 𝑐 = 6 − 1 = 5 ดังรูป
จากสมบัติของวงรี ถ้า A เป็นจุดบนวงรี จะได้ AF1 + AF2 = ความยาวแกนเอก
เนื่องจากวงรี ผ่านจุด A(4, 6) ใช้สูตรระยะระหว่างจุด ระหว่าง A กับ F1(6, 2) และ F2(−4, 2) จะได้
ดังนั้น ความยาวแกนเอก = 6√5 → จะได้ 𝑎 =
6√5
2
= 3√5 → และจะหา 𝑏 ได้จาก
แทนในสมการวงรีแนวนอน
12. 3
ข้อนี้จะพิจารณาเป็นข้อๆ และแก้สมการเท่าที่จาเป็น
1. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] จะจริงเมื่อ มี 𝑥 ค่าหนึ่ง ที่ทาให้ทั้ง 𝑃(𝑥) และ 𝑄(𝑥) เป็นจริง
แก้ 𝑃(𝑥) ก่อน → จะใช้ทฤษฎีตัวประกอบตรรกยะและทฤษฎีเศษ หาตัวประกอบของ 8𝑥3
− 4𝑥 − 1 ก็ได้
อีกวิธีคือ เติม +1 ให้ 8𝑥3
เพื่อเข้าสูตรผลบวกกาลังสาม แล้วจับกลุ่มดึงตัวร่วม ดังนี้
แต่ 1±√5
4
เป็นอตรรกยะ ไม่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ ดังนั้น มี 𝑥 = −
1
2
เพียงค่าเดียว ที่ทาให้ 𝑃(𝑥) เป็นจริง
AF1 + AF2 = √(4 − 6)2 + (6 − 2)2 + √(4 − (−4))2 + (6 − 2)2
= √ 4 + 16 + √ 64 + 16
= √20 + √80
= 2√5 + 4√5 = 6√5
F1
𝑐 = 5
F2
(1, 2) (6, 2)(−4, 2)
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
(3√5)
2
= 𝑏2
+ 52
45 = 𝑏2
+ 25
20 = 𝑏2(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
(𝑥−1)2
(3√5)
2 +
(𝑦−2)2
20
= 1
𝑥2−2𝑥+1
45
+
𝑦2−4𝑦+4
20
= 1
4(𝑥2−2𝑥+1)+9(𝑦2−4𝑦+4)
180
= 1
4𝑥2
− 8𝑥 + 4 + 9𝑦2
− 36𝑦 + 36 = 180
4𝑥2
+ 9𝑦2
− 8𝑥 − 36𝑦 − 140 = 0
8𝑥3
− 4𝑥 − 1 = 0
8𝑥3
+ 1 − 1 − 4𝑥 − 1 = 0
(8𝑥3
+ 1) − 4𝑥 − 2 = 0
((2𝑥)3
+ 13
) − 2(2𝑥 + 1) = 0
(2𝑥 + 1)(4𝑥2
− 2𝑥 + 1) − 2(2𝑥 + 1) = 0
(2𝑥 + 1)(4𝑥2
− 2𝑥 + 1 − 2) = 0
(2𝑥 + 1)(4𝑥2
− 2𝑥 − 1) = 0
เติม +1 − 1
น3
+ ล3
= (น + ล)(น2
− นล + ล2)
𝑥 = −
1
2
𝑥 =
−(−2)±√(−2)2−4(4)(−1)
2(4)
=
2±√20
8
=
1±√5
4
−𝑏±√ 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
ดึง 2𝑥 + 1 เป็นตัวร่วม

PAT 1 (ต.ค. 58) 25
ถ้าลองแทน 𝑥 = −
1
2
ใน 𝑄(𝑥) ดู จะได้ 8 (−
1
2
)
4
− 8 (−
1
2
)
2
+ (−
1
2
) + 1 =
1
2
− 2 −
1
2
+ 1
= −1 ≠ 0 → เป็นเท็จ
ดังนั้น จะไม่มี 𝑥 ตัวไหนเลย ที่ทาให้ทั้ง 𝑃(𝑥) และ 𝑄(𝑥) เป็นจริง → ข้อ 1. เป็นเท็จ
2. ∀𝑥[𝑄(𝑥) → 𝑅(𝑥)] จะเป็นจริงเมื่อ 𝑥 ทุกตัวที่ทาให้ 𝑄(𝑥) เป็นจริง จะทาให้ 𝑅(𝑥) เป็นจริงด้วย
แก้หา 𝑄(𝑥) → จับกลุ่มดึงตัวร่วม แล้วเติม −1 + 1 คล้ายๆแบบเดิมได้ ดังนี้
ดังนั้น มี 𝑥 = −1 ,
1
2
สองค่าที่ทาให้ 𝑄(𝑥) เป็นจริง → ลองแทนว่าจะทาให้ 𝑅(𝑥) เป็นจริงทั้งสองตัวหรือไม่
𝑥 = −1 : (−1)3
+ (−1)2
= −1 + 1 = 0 → ไม่มากกว่า 0 → ทาให้ 𝑅(𝑥) เป็นเท็จ
จะเห็นว่า 𝑥 = −1 ทาให้ 𝑄(𝑥) เป็นจริง แต่ทาให้ 𝑅(𝑥) เป็นเท็จ → ไม่ต้องแทนต่อ → สรุปได้เลยว่า 2. ผิด
3. ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑅(𝑥)] จะเป็นจริงเมื่อ 𝑥 ทุกตัวที่ทาให้ 𝑃(𝑥) เป็นจริง จะทาให้ 𝑅(𝑥) เป็นจริงด้วย
จากข้อ 1. จะได้ 𝑥 = −
1
2
เป็นค่าเดียวที่ทาให้ 𝑃(𝑥) เป็นจริง → ลองแทนว่าจะทาให้ 𝑅(𝑥) เป็นจริงหรือไม่
𝑥 = −
1
2
: (−
1
2
)
3
+ (−
1
2
)
2
= −
1
8
+
1
4
=
−1+2
8
> 0 → 𝑅(𝑥) เป็นจริง → ข้อ 3. ถูก
13. 1
จัดให้อยู่ในรูปเศษส่วน จะได้ 1
√1−𝑥
(1 −
2𝑥3
𝑥2+1
) =
1
√1−𝑥
(
𝑥2+1−2𝑥3
𝑥2+1
) =
−2𝑥3+𝑥2+1
√1−𝑥 (𝑥2+1)
ซึ่งถ้าแทน 𝑥 = 1 จะได้ 0
0
ดังนั้น ทั้งเศษและส่วน ต้องมี 𝑥 − 1 เป็นตัวประกอบ
เอาเศษ มาหารสังเคราะห์ ด้วย 𝑥 − 1 จะได้ผลหาร −2𝑥2
− 𝑥 − 1 ดังรูป
ดังนั้น −2𝑥3+𝑥2+1
√1−𝑥 (𝑥2+1)
=
(𝑥−1)(−2𝑥2−𝑥−1)
√1−𝑥 (𝑥2+1)
=
−(1−𝑥)(−2𝑥2−𝑥−1)
√1−𝑥 (𝑥2+1)
=
−(√1−𝑥)
2
(−2𝑥2−𝑥−1)
√1−𝑥 (𝑥2+1)
=
−√1−𝑥 (−2𝑥2−𝑥−1)
(𝑥2+1)
แทน 𝑥 = 1 ใหม่ จะได้ −√1−1 (–2(12)−1−1)
(12+1)
=
−(0)(–2(12)−1−1)
2
= 0
8𝑥4
− 8𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 0
8𝑥2(𝑥2
− 1) + (𝑥 + 1) = 0
8𝑥2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + (𝑥 + 1) = 0
(𝑥 + 1)(8𝑥2(𝑥 − 1) + 1) = 0
(𝑥 + 1)(8𝑥3
− 8𝑥2
+ 1) = 0
(𝑥 + 1)(8𝑥3
− 1 + 1 − 8𝑥2
+ 1) = 0
(𝑥 + 1)(8𝑥3
− 1 − 8𝑥2
+ 2) = 0
(𝑥 + 1)((8𝑥3
− 1) − 2(4𝑥2
− 1)) = 0
(𝑥 + 1)((2𝑥 − 1)(4𝑥2
+ 2𝑥 + 1) − 2(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)) = 0
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)((4𝑥2
+ 2𝑥 + 1) − 2(2𝑥 + 1)) = 0
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(4𝑥2
+ 2𝑥 + 1 − 4𝑥 − 2) = 0
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(4𝑥2
− 2𝑥 − 1) = 0
เติม −1 + 1
น3
− ล3
= (น − ล)(น2
+ นล + ล2)
น2
− ล2
= (น − ล)(น + ล)
ดึง 𝑥 + 1 เป็นตัวร่วม
น2
− ล2
= (น − ล)(น + ล)
𝑥 = −1
ดึง 2𝑥 − 1 เป็นตัวร่วม
𝑥 =
1
2
เหมือนตัวประกอบของ 𝑃(𝑥)
→ ไม่มีคาตอบที่เป็นตรรกยะ
1 −2 1 0 1
−2 −1 −1
−2 −1 −1 0
ตัด √1 − 𝑥 ทั้งเศษและส่วน

26 PAT 1 (ต.ค. 58)
14. 1
หาความชันชองเส้นโค้ง 𝑦 = 2 + 𝑥|𝑥 − 1| ณ จุด (0, 2) ก่อน
บริเวณจุด (0, 2) มีค่า 𝑥 ประมาณ 0 ซึ่งจะทาให้ 𝑥 − 1 เป็นลบ ดังนั้น |𝑥 − 1| = −(𝑥 − 1)
จะได้ที่บริเวณ (0, 2) สมการเส้นโค้งคือ 𝑦
ดิฟ 𝑦 จะได้ความชัน บริเวณ (0, 2) คือ 𝑦′
= 0 − 2𝑥 + 1
ดังนั้น ความชัน ณ จุด (0, 2) → แทน 𝑥 = 0 จะได้ 𝑦′
= 0 − 2(0) + 1 = 1 ดังนั้น เส้นตรง 𝐿 มีความชัน = 1
เนื่องจาก เส้นตรง 𝑁 ตั้งฉากกับเส้นตรง 𝐿 → ความชัน 𝑁 กับ 𝐿 ต้องคูณกันได้ −1
→ จะได้ เส้นตรง 𝑁 มีความชัน = −1 (เพราะ −1 × 1 = −1)
เนื่องจากเส้นตรง 𝑁 ผ่านจุด (0, 2) ด้วย → ใช้สูตร 𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
= 𝑚 จะได้สมการเส้นตรง 𝑁 คือ 𝑦−2
𝑥−0
= −1
ดังนั้น จุดที่จะอยู่บนเส้นตรง 𝑁 ได้ ต้องแทนในสมการ 𝑥 + 𝑦 = 2 แล้วเป็นจริง
1. −1 + 3 = 2 จริง 2. 1 + 5 ≠ 2 3. −2 + 5 ≠ 2
4. 3 + (−2) ≠ 2 5. −3 + 4 ≠ 2
จะเห็นว่ามีข้อ 1. ข้อเดียว ที่อยู่บนเส้นตรง 𝑁
15. 2
(ก) จะหา 𝑓(𝑥) และ 𝑓′(𝑥) แล้ว แทน 𝑥 = 4
จาก 𝑓−1(𝑥) =
2𝑥
𝑥+1
ย้ายข้าง 𝑓−1
ไปเป็น 𝑓 อีกข้าง จะได้ 𝑥 = 𝑓 (
2𝑥
𝑥+1
)
เปลี่ยนชื่อตัวแปร 𝑘 เป็น 𝑥 จะได้ 𝑓(𝑥) = −
𝑥
𝑥−2
…(∗)
ดังนั้น 𝑓′(𝑥) = −
(𝑥−2)(1)−(𝑥)(1)
(𝑥−2)2
จาก (∗) จะได้ 𝑓(4) = −
4
4−2
= −2
จาก (∗∗) จะได้ 𝑓′(4) =
2
(4−2)2 =
1
2
(ข) ดิฟ (∗∗) จะได้ 𝑓′′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
2(𝑥 − 2)−2
= −4(𝑥 − 2)−3
∙
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 − 2)
= −4(𝑥 − 2)−3
∙ 1
= −
4
(𝑥−2)3 …(∗∗∗)
ดังนั้น 𝑓′′
(𝑓(4)) = 𝑓′′(−2) = −
4
(−2−2)3 =
1
16
และ 𝑓(𝑓′′(4)) = 𝑓 (−
4
(4−2)3) = 𝑓 (−
1
2
) = −
−
1
2
−
1
2
− 2
= −
−
1
2
−
5
2
= −
1
5
|𝐴| = { 𝐴 เมื่อ 𝐴 ≥ 0
−𝐴 เมื่อ 𝐴 < 0
= 2 + 𝑥(−(𝑥 − 1))
= 2 − 𝑥2
+ 𝑥
𝑦 − 2 = −𝑥
𝑥 + 𝑦 = 2
−
𝑘
𝑘−2
= 𝑓( 𝑘 )
ให้ 𝑘 =
2𝑥
𝑥+1
𝑘𝑥 + 𝑘 = 2𝑥
𝑘𝑥 − 2𝑥 = −𝑘
𝑥(𝑘 − 2) = −𝑘
𝑥 = −
𝑘
𝑘−2
= −
𝑥−2 − 𝑥
(𝑥−2)2
=
2
(𝑥−2)2 …(∗∗)
𝑑
𝑑𝑥
(
บน
ล่าง
) =
(ล่าง ∙
𝑑
𝑑𝑥
บน)−(บน ∙
𝑑
𝑑𝑥
ล่าง)
(ล่าง)2
ดังนั้น 2𝑓′(4) − 𝑓(4) = 2 (
1
2
) − (−2) = 3 → (ก) ถูก
จากข้อ (ก)
จาก (∗∗∗)
ไม่เท่ากัน → (ข) ผิด

PAT 1 (ต.ค. 58) 27
(ค) ฟังก์ชันเพิ่ม จะต้องมี 𝑓′
(𝑥) เป็นบวก
จาก (∗∗) จะได้ 𝑓′(𝑥) =
2
(𝑥−2)2 → จะเห็นว่า ตัวส่วน (𝑥 − 2)2
เป็นบวกเสมอ
ดังนั้น 2
(𝑥−2)2 จะเป็นบวกเสมอ (ยกเว้นที่ 𝑥 = 2 จะหาค่าไม่ได้) → ดังนั้น 𝑓′(𝑥) เป็นบวกบนช่วง (0, 2) → (ค) ถูก
16. 4
จาก |𝐴⃗| = |𝐵⃗⃗| จะได้ |16𝑖̅ + 𝑎𝑗̅| = |8𝑖̅ + 𝑏𝑗̅|
และจากสูตร
แทนแต่ละแบบใน (∗) กรณี 𝑎 = 0 : กรณี 𝑎 = 2𝑏 :
ดังนั้น มีคาตอบเดียว คือ 𝑎 = 0 และ 𝑏 = ±√192
จะได้ (𝑎 + 𝑏)2
= (0 + (±√192))
2
= (±√192)
2
= 192
17. 3
มีคนทั้งหมด 8 คน ดังนั้น จะได้จานวนแบบทั้งหมด = 8!
“หรือ” คือ “ยูเนียน” ดังนั้น จานวนแบบที่โจทย์ต้องการ จะหาได้จากสูตร 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
นั่นคือ จานวนแบบที่ไม่มี ช ติดกัน หรือ ไม่มี ญ ติดกัน = จานวนแบบที่ไม่มี ช ติดกัน + จานวนแบบที่ไม่มี ญ ติดกัน
− จานวนแบบที่ไม่มี ช ไม่ติดกัน และไม่มี ญ ติดกัน
จานวนแบบที่ไม่มี ช ติดกัน → ขั้นที่ 1 : เอา ญ ทั้ง 4 คนมาเข้าแถวปักเป็นหลักไว้ก่อน ได้ 4! แบบ
→ ขั้นที่ 2 : จะเหลือช่องให้ ช เข้าไปแทรกได้ 5 จุด ดังรูป
ดังนั้น ช1 เลือกยืนได้ 5 แบบ
ช2 จะยืนได้ 4 แบบ (เพราะ ช ห้ามยืนติดกัน)
ข3 ยืนได้ 3 แบบ และ ช4 ยืนได้ 2 แบบ
รวมจะได้จานวนแบบที่ ช ไม่ติดกัน = 4! × 5 × 4 × 3 × 2 = 4! 5! แบบ
จานวนแบบที่ไม่มี ญ ติดกัน → คิดแบบเดิม แต่เอา ช ทั้ง 4 ไปยืนเข้าแถวปักเป็นหลักไว้ก่อน แล้วเอา ญ เข้าไปแทรก
จะได้จานวนแบบที่ ญ ไม่ติดกัน = 4! 5! แบบ เหมือนอันแรก
𝐴⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ = |𝐴⃗||𝐵⃗⃗| cos 𝜃
(16𝑖̅ + 𝑎𝑗̅) ∙ (8𝑖̅ + 𝑏𝑗̅) = |𝐴⃗||𝐴⃗| cos 60°
(16)(8) + 𝑎𝑏 = |𝐴⃗|
2
∙
1
2
128 + 𝑎𝑏 = √162 + 𝑎2
2
∙
1
2
256 + 2𝑎𝑏 = 256 + 𝑎2
0 = 𝑎2
− 2𝑎𝑏
0 = 𝑎(𝑎 − 2𝑏)
𝑎 = 0 หรือ 𝑎 = 2𝑏
จาก |𝐴⃗| = |𝐵⃗⃗|
และ 𝐵⃗⃗ ทามุม 60° กับ 𝐴⃗
√162 + 𝑎2 = √82 + 𝑏2
256 + 𝑎2
= 64 + 𝑏2
…(∗)
256 + 02
= 64 + 𝑏2
192 = 𝑏2
±√192 = 𝑏
256 + (2𝑏)2
= 64 + 𝑏2
256 + 4𝑏2
= 64 + 𝑏2
3𝑏2
= −192
ไม่มีคาตอบ (3𝑏2
เป็นลบไม่ได้)
__ ญ __ ญ __ ญ __ ญ __

28 PAT 1 (ต.ค. 58)
จานวนแบบที่ไม่มี ช ไม่ติดกัน และไม่มี ญ ติดกัน → ขั้นที่ 1 : เลือกใครก็ได้ มายืนตาแหน่งแรก ได้ 8 แบบ
→ ขั้นที่ 2 : ตาแหน่งที่ 2 ต้องเป็นคนละเพศกับตาแหน่งแรก
จะมีคนที่เป็นเพศตรงข้ามให้เลือกได้ 4 คน
→ ขั้นที่ 3 : ตาแหน่งที่ 3 ต้องเป็นคนละเพศกับตาแหน่งที่ 2 แต่ต้องไม่
ซ้ากับคนตาแหน่งที่ 1 จะเหลือให้เลือกได้ 3 คน
ทาแบบนี้ไปเรื่อยๆ จะได้จานวนแบบของแต่ละตาแหน่งคือ 8 4 3 3 2 2 1 1
จะได้จานวนแบบ = 8 ∙ 4! 3!
ดังนั้น จานวนแบบที่ไม่มี ช ติดกัน หรือ ไม่มี ญ ติดกัน = 2(4! 5!) − 8 ∙ 4! 3!
จะได้ ความน่าจะเป็น =
2(4! 5!) − 8∙4!3!
8!
=
2(5!) − 8∙3!
8×7×6×5
=
5 − 1
7×5
=
4
35
18. 4
(ก) ถ้า 𝑥 ≤ 0 จะได้ 𝑓(𝑥) ต้องใช้สูตรบน จะได้ 𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥
ดังนั้น (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(√9 − 𝑥)
และเนื่องจาก 𝑥 ≤ 0 จะได้
(ข) ถ้า 4 < 𝑥 ≤ 6 จะได้ 𝑓(𝑥) ต้องใช้สูตรล่าง จะได้ 𝑓(𝑥) = 7 − 𝑥
ดังนั้น (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(7 − 𝑥)
และเนื่องจาก 4 < 𝑥 ≤ 6 จะได้
(ค) ถ้า 𝑥 > 6 จะได้ 𝑓(𝑥) ต้องใช้สูตรล่าง จะได้ 𝑓(𝑥) = 7 − 𝑥
ดังนั้น (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(7 − 𝑥)
และเนื่องจาก 𝑥 > 6 จะได้
19. 2
ให้ 𝑧 = 𝑥 + 𝑦i จะได้ 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑦i → จะได้ 𝑧̅ − 𝑧
−𝑥 ≥ 0
9 − 𝑥 ≥ 9
√9 − 𝑥 ≥ 3 → ดังนั้น 𝑔(√9 − 𝑥) ต้องใช้สูตรล่าง 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 4
จะได้ 𝑔(√9 − 𝑥) = √9 − 𝑥 − 4 → (ก) ถูก
−4 > −𝑥 ≥ −6
7 − 4 > 7 − 𝑥 ≥ 7 − 6
3 > 7 − 𝑥 ≥ 1
→ ดังนั้น 𝑔(7 − 𝑥) ต้องใช้สูตรล่าง 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 4
จะได้ 𝑔(7 − 𝑥) = 7 − 𝑥 − 4 = 3 − 𝑥 → (ข) ถูก
−𝑥 < −6
7 − 𝑥 < 7 − 6
7 − 𝑥 < 1 → ดังนั้น 𝑔(7 − 𝑥) ต้องใช้สูตรบน 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2
จะได้ 𝑔(7 − 𝑥) = 7 − 𝑥 + 2 = 9 − 𝑥 → (ค) ถูก
= (𝑥 − 𝑦i) − (𝑥 + 𝑦i)
= 𝑥 − 𝑦i − 𝑥 − 𝑦i
= −2𝑦i

PAT 1 (ต.ค. 58) 29
แทนในสมการ จะได้
เทียบส่วนจริง กับส่วนจินตภาพของทั้งสองฝั่ง จะได้ 𝑥 + 9𝑦 = 10 …(1) และ
(ก) |𝑧 + 8| = |−8 + 2i + 8| = |2i| = 2 → (ก) ถูก
(ข) |𝑧 + 3i| = |−8 + 2i + 3i| = |−8 + 5i| = √(−8)2 + 52 = √89 → (ข) ผิด
(ค) |i𝑧 + 2| = |i(−8 + 2i) + 2| = |−8i − 2 + 2| = |−8i| = 8 → (ค) ถูก
20. 3
แทนหาพจน์แรกๆดู จะได้



1n
𝑎 𝑛 =
1∙23
33 +
2∙26
35 +
3∙29
37 +
4∙212
39 + ⋯
เป็นอนุกรมผสม เลขคณิต เรขาคณิต ( 𝑟 =
23
32) ต้องใช้เทคนิค คูณ 𝑟 เพื่อเลื่อนพจน์ แล้วหักกับตัวมันเอง
ให้ 1∙23
33 +
2∙26
35 +
3∙29
37 +
4∙212
39 + ⋯ = 𝑥 …(1)
1∙26
35 +
2∙29
37 +
3∙212
39 +
4∙215
311 + ⋯ =
23
32 𝑥 …(2)
(1) – (2) :
1∙23
33 +
1∙26
35 +
1∙29
37 +
1∙212
39 + ⋯ = 𝑥 −
23
32 𝑥
8
27
1 −
8
9
= 𝑥 −
8
9
𝑥
8
27
∙
9
1
=
1
9
𝑥
24 = 𝑥
21. 1
ข้อมูลชุดที่ 2 จะได้จากการเอาข้อมูลชุดที่ 1 มา ลบ 4 → คูณ 2 → บวก 4 ตามลาดับ ดังรูป
(1 + i)(𝑥 − 𝑦i) −
(9−7i)(−2𝑦i)
3+i
= 6 − 2i
(3 + i)(1 + i)(𝑥 − 𝑦i) −(9 − 7i)(−2𝑦i) = (6 − 2i)(3 + i)
( 2 + 4i )( 𝑥 − 𝑦i) + 18𝑦i + 14𝑦 = 20 + 0i
2𝑥 − 2𝑦i + 4𝑥i + 4𝑦 + 18𝑦i + 14𝑦 = 20
2𝑥 + 18𝑦 + (4𝑥 + 16𝑦)i = 20 + 0i
𝑥 + 9𝑦 + (2𝑥 + 8𝑦)i = 10 + 0i
คูณ 3 + i ตลอด
หาร 2 ตลอด
2𝑥 + 8𝑦 = 0
𝑥 + 4𝑦 = 0 …(2)
(1) − (2) : 5𝑦 = 10
𝑦 = 2 → แทนใน (2) : 𝑥 + 4(2) = 0
𝑥 = −8
ดังนั้น 𝑧 = −8 + 2i
คูณ 23
32 ตลอด
และเลื่อนพจน์
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ 𝑎1 =
1∙23
33 =
8
27
และ 𝑟 =
23
32 =
8
9
เนื่องจาก |𝑟| < 1 ดังนั้น อนุกรมลู่เข้า และ 𝑆∞ =
𝑎1
1−𝑟
𝑥1 + 4 , 𝑥2 + 4 , … , 𝑥20 + 4
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥20
2𝑥1 , 2𝑥2 , … , 2𝑥20
2𝑥1 + 4 , 2𝑥2 + 4 , … , 2𝑥20 + 4
ลบ 4
คูณ 2
บวก 4

30 PAT 1 (ต.ค. 58)
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต : จะสอดคล้องกันด้วยสูตรเดียวกัน (คือ ลบ 4 → คูณ 2 → บวก 4)
จาก 𝑥̅ชุด 1 = 50 : จะได้ 50
ลบ 4
→ 46
คูณ 2
→ 92
บวก 4
→ 96 ดังนั้น 𝑥̅ชุด 2 = 96
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน : การบวกหรือลบข้อมูลทุกตัวเท่าๆกัน จะไม่ทาให้ 𝑠 เปลี่ยน
(แต่การคูณ 2 จะยังคงทาให้ 𝑠 เพิ่ม 2 เท่า)
จาก 𝑠ชุด 2 = 10 : จะได้ 10
ลบ 4
→ 10 เท่าเดิม
คูณ 2
→ 20
บวก 4
→ 20 เท่าเดิม ดังนั้น 𝑠ชุด 2 = 20
จากสูตร 𝑣 = 𝑠2
จะได้ ความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ 2 = 202
= 400
22. 4
จากสูตร สัมประสิทธิ์การแปรผัน =
𝑠
𝑥̅
จะได้ 𝑠
𝑥̅
= 25% =
25
100
=
1
4
→ คูณไขว้ จะได้ 4𝑠 = 𝑥̅ …(∗)
โจทย์ให้มีนักเรียนร้อยละ 15.87 ที่สอบได้คะแนนมากกว่า 85 คะแนน
เนื่องจาก 15.87% ไม่ถึงครึ่งหนึ่งของนักเรียนทั้งหมด
จะวาดได้ 85 คะแนนอยู่ฝั่งขวาดังรูป
พื้นที่ที่ใช้เปิดตาราง จะเป็นพื้นที่ที่วัดจากแกนกลาง
จะได้พื้นที่ที่ใช้เปิดตารางคือ 0.5 – 0.1587 = 0.3413 ดังรูป
เปิดตารางจะได้ 𝑧 = 1.0
จากสูตร 𝑧 =
𝑥 − 𝑥̅
𝑠
จะได้ 1.0 =
85 − 𝑥̅
𝑠
หาเปอร์เซ็นไทล์ของ ก ต้องหาค่า 𝑧 ของ ก แล้วเอาไปเปิดตารางหาพื้นที่ทางซ้าย
จะได้ 𝑧ก =
47.6 − 𝑥̅
𝑠
=
47.6 − 68
17
= −
20.4
17
= −1.2
𝑧 เป็นลบ จะอยู่ทางซ้ายของแกน
และเอา 1.2 ไปเปิดตาราง จะได้พื้นที่ = 0.3849 ดังรูป
จะได้ พื้นที่ทางซ้าย = 0.5 – 0.3849 = 0.1151
ดังนั้น มีข้อมูล 11.51% ที่น้อยกว่า ก
นั่นคือ คะแนนของนาย ก คือ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 11.51
23. 5
จะเห็นว่า 1 + 21
+ 22
+ 23
+ … + 2 𝑛
เป็นอนุกรมเรขาคณิต ที่มี 𝑎1 = 1 และ 𝑟 = 2
แต่มีจานวนพจน์ = 𝑛 + 1 พจน์
จากสูตรอนุกรมเรขาคณิต จะได้ 1 + 21
+ 22
+ 23
+ … + 2 𝑛
=
1(1−2 𝑛+1)
1−2
= 2 𝑛+1
− 1
แทนใน 𝑎 𝑛 ที่โจทย์ให้ จะได้ 𝑎 𝑛 =
2 𝑛+1 − 1
32𝑛
𝑥
= 0.5 − 0.1587
= 0.3413
85
𝑠 = 85 − 𝑥̅
𝑠 = 85 − 4𝑠
5𝑠 = 85
𝑠 = 17
จาก (∗)
→ แทนใน (∗) จะได้ 𝑥̅ = 4(17) = 68
0.3849
𝑧
−1.2
= 0.5 − 0.3849
= 0.1151
𝑧
−1.2
𝑛 พจน์1 พจน์
𝑆 𝑛 =
𝑎1(1−𝑟 𝑛)
1−𝑟
0.1587
𝑥
85

PAT 1 (ต.ค. 58) 31
ดังนั้น n
lim (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎 𝑛)
24. 4
จาก 𝐴 = { 𝑥2 | 𝑥 ∈ 𝕀 ∩ 𝐷𝑟 } → จะหา 𝐴 ได้ ต้องหา 𝐷𝑟 ก่อน
จาก 𝑦 =
𝑥2+2
√4−𝑥 − √2𝑥+1
→ ในรูทห้ามติดลบ และ ส่วนห้ามเป็น 0
จะได้ −
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 และ 𝑥 ≠ 1
𝕀 ∩ 𝐷𝑟 คือเอาเฉพาะจานวนเต็ม → เหลือ 0, 2, 3, 4
จะได้ 𝐴 = { 02
, 22
, 32
, 42
} ดังนั้น ผลบวกสมาชิกของ 𝐴 = 02
+ 22
+ 32
+ 42
= 29
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + …
=
22 − 1
32 +
23 − 1
34 +
24 − 1
36 + …
=
22
32 −
1
32 +
23
34 −
1
34 +
24
36 −
1
36 + …
= (
22
32 +
23
34 +
24
36 + … ) − (
1
32 +
1
34 +
1
36 + … )
จาก 𝑎 𝑛 =
2 𝑛+1 − 1
32𝑛
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
|𝑟| < 1 → 𝑆∞ =
𝑎1
1−𝑟
𝑎1 =
22
32 =
4
9
𝑟 =
2
32 =
2
9
𝑎1 =
1
32 =
1
9
𝑟 =
1
32 =
1
9
= (
4
9
1−
2
9
) − (
1
9
1−
1
9
)
= (
4
9
∙
9
7
) − (
1
9
∙
9
8
)
=
4
7
−
1
8
=
25
56
4 − 𝑥 ≥ 0
4 ≥ 𝑥
2𝑥 + 1 ≥ 0
𝑥 ≥ −
1
2
√4 − 𝑥 − √2𝑥 + 1 ≠ 0
√4 − 𝑥 ≠ √2𝑥 + 1
4 − 𝑥 ≠ 2𝑥 + 1
3 ≠ 3𝑥
1 ≠ 𝑥

32 PAT 1 (ต.ค. 58)
25. 5
หาจุดตัดแกนของเส้นตรง วาดกราฟ และแทนจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นกราฟ (0, 0) เพื่อแรเงา จะได้ดังรูป
นาทั้ง 4 รูป มาหาส่วนซ้อนทับกัน จะได้ดังรูป
จะได้พิกัด A(0, 1) , B(0, 2) , D(1, 0)
พิกัด C ต้องแก้ระบบสมการ L1 กับ L2
เอา A(0, 1) , B(0, 2) , C(2, 1) , D(1, 0) ไปแทนในตัวเลือกทั้ง 5 แล้วดูว่าค่าที่สูงที่สุดว่ามาจากตัวเลือกไหน
จะเห็นว่า ค่ามากสุด = 9 เกิดจาก 𝑧 = 4𝑥 + 𝑦 จากตัวเลือกในข้อ 5
26. 4
จาก
L1 : 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4
จุดตัดแกน
จุด (0, 0) → อสมการเป็นจริง
แรเงาส่วนซ้ายล่างที่มี (0, 0)
𝑥 0 4
𝑦 2 0
L2 : 𝑥 − 𝑦 ≤ 1
จุด (0, 0) → อสมการเป็นจริง
แรเงาส่วนซ้ายบนที่มี (0, 0)
𝑥 0 1
𝑦 −1 0
L3 : 𝑥 + 𝑦 ≥ 1
จุด (0, 0) → อสมการเป็นเท็จ
แรเงาส่วนขวาบนที่ไม่มี (0, 0)
𝑥 0 1
𝑦 1 0
𝑥 ≥ 0 และ
𝑦 ≥ 0
คือ บริเวณใน Q1
L1
L2
L3
L1
L2
L3
A
B
C
D
L1 : 𝑥 + 2𝑦 = 4 …(1)
L2 : 𝑥 − 𝑦 = 1 …(2)
(1) − (2): 3𝑦 = 3
𝑦 = 1
แทนใน (2): 𝑥 − 1 = 1
𝑥 = 2
จะได้พิกัด C(2, 1)
A(0, 1) B(0, 2) C(2, 1) D(1, 0)
2𝑥 + 2𝑦 - - - -
3𝑥 + 2𝑦 - 4 8 3
2𝑥 + 3𝑦 - 6 7 2
𝑥 + 4𝑦 - 8 6 1
4𝑥 + 𝑦 - 2 9 4
ไม่ต้องคิด 2𝑥 + 2𝑦 ก็ได้
เพราะยังไงก็แพ้ 3𝑥 + 2𝑦
ไม่ต้องคิด A(0, 1) ก็ได้
เพราะยังไงก็แพ้ B(0, 2)
มากสุด
𝐴𝐵−1
= 𝐵−1
𝐴
𝐴𝐵−1
𝐵 = 𝐵−1
𝐴𝐵
𝐴 = 𝐵−1
𝐴𝐵
𝐵𝐴 = 𝐵𝐵−1
𝐴𝐵
𝐵𝐴 = 𝐴𝐵
คูณ 𝐵 ทางขวาทั้งสองฝั่ง เพื่อตัดกับ 𝐵−1
ฝั่งซ้าย
คูณ 𝐵 ทางซ้ายทั้งสองฝั่ง เพื่อตัดกับ 𝐵−1
ฝั่งขวา

PAT 1 (ต.ค. 58) 33
แทน 𝐴 = [
1 2
2 1
] และ 𝐵 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ใน 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 จะได้
เทียบสมาชิกแต่ละตัว จะได้
จะสรุปได้ว่า 𝑏 = 𝑐 และ 𝑎 = 𝑑 → แทนในข้อมูลที่โจทย์ให้
จาก จาก
จะได้ 𝑐 = 1 → แทนใน 𝑑2
= 𝑐2
+ 8 = 12
+ 8 = 9 → จะได้ 𝑑 = 3
ดังนั้น 𝑎 = 𝑑 = 3 และ 𝑏 = 𝑐 = 1 → จะได้ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 3 + 1 + 3 + 1 = 8
27. 3
(ก) สังเกตว่า |𝑎̅ − 𝑏̅| ทางซ้าย คือขนาดของเวกเตอร์ 𝑎̅ − 𝑏̅ จะเป็นบวกเสมอ
แต่ |𝑎̅| − |𝑏̅| ทางขวา มีโอกาสเป็นลบได้ ถ้า 𝑎̅ ยาวกว่า 𝑏̅
ดังนั้น ถึง 𝑎̅ จะขนานกับ 𝑏̅ แต่ถ้า 𝑎̅ ยาวกว่า 𝑏̅ จะทาให้ |𝑎̅ − 𝑏̅| ≠ |𝑎̅| − |𝑏̅| → (ก) ผิด
(ข) จาก
เนื่องจาก 𝑎̅ และ 𝑏̅ ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ถ้า 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = 0 จะสรุปได้ว่า 𝑎̅ ⊥ 𝑏̅ → (ข) ถูก
(ค) จาก 𝑎̅ + 𝑏̅ ⊥ 𝑎̅ − 𝑏̅ จะสรุปได้ว่า
[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] [
1 2
2 1
] = [
1 2
2 1
] [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]
[
𝑎 + 2𝑏 2𝑎 + 𝑏
𝑐 + 2𝑑 2𝑐 + 𝑑
] = [
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑑
]
[
𝑎 + 2𝑏 2𝑎 + 𝑏
𝑐 + 2𝑑 2𝑐 + 𝑑
] = [
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑑
]
𝑎 + 2𝑏 = 𝑎 + 2𝑐
𝑏 = 𝑐
2𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 2𝑑
𝑎 = 𝑑
𝑐 + 2𝑑 = 2𝑎 + 𝑐
𝑑 = 𝑎
2𝑐 + 𝑑 = 2𝑏 + 𝑑
𝑐 = 𝑏
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 9
𝑐2
𝑑2
= 9
𝑐2(𝑐2
+ 8) = 9
𝑐4
+ 8𝑐2
− 9 = 0
(𝑐2
+ 9)(𝑐2
− 1) = 0
𝑐2
= 1
𝑐 = 1 , −1
𝑐2
= −9
(ไม่มีคาตอบ)
( 𝑐2
เป็นลบไม่ได้)
โจทย์ให้ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
เป็นบวก
det(𝐴𝑡
𝐵) = −24
(det 𝐴𝑡)(det 𝐵) = −24
(det 𝐴 )(det 𝐵) = −24
|
1 2
2 1
| |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = −24
(1 − 4)(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) = −24
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 8
𝑑2
− 𝑐2
= 8
𝑑2
= 𝑐2
+ 8
กระจาย det ในการคูณ
det 𝐴𝑡
= det 𝐴
𝑎 = 𝑑 , 𝑏 = 𝑐
𝑎 = 𝑑 , 𝑏 = 𝑐
|𝑎̅ + 𝑏̅|
2
= |𝑎̅|2
+ |𝑏̅|
2
|𝑎̅|2
+ |𝑏̅|
2
+ 2𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = |𝑎̅|2
+ |𝑏̅|
2
2𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = 0
𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = 0
|𝑢̅ + 𝑣|2
= |𝑢̅|2
+ |𝑣̅|2
+ 2𝑢̅ ∙ 𝑣̅
เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน
จะดอทกันได้ 0
(𝑎̅ + 𝑏̅) ∙ (𝑎̅ − 𝑏̅) = 0
𝑎̅ ∙ 𝑎̅ − 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 𝑏̅ ∙ 𝑎̅ − 𝑏̅ ∙ 𝑏̅ = 0
|𝑎̅|2
− |𝑏̅|
2
= 0
|𝑎̅|2
= |𝑏̅|
2
|𝑎̅| = |𝑏̅| → (ค) ถูก
𝑢̅ ∙ 𝑢̅ = |𝑢̅|2

34 PAT 1 (ต.ค. 58)
28. 1
จะเห็นว่า สมการที่เกิดจากคู่ที่อยู่ติดกัน สามารถตัดตัวแปร และจัดรูปได้ดังนี้
จะเห็นว่า มี 5 ตัวแปร แต่มี 4 สมการ จะมีสมการไม่พอ
ทาได้อย่างมากคือจัดรูปทุกตัวแปรให้อยู่ในรูปของตัวแปรหนึ่ง → จะจัด 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 ให้อยู่ในรูปของ 𝑎
จาก (1) จะได้ 𝑐 = 𝑎 − 9 → แทนใน (3) จะได้
จาก (4) จะได้ 𝑑 = 𝑎 + 5 → แทนใน (2) จะได้
จะได้ 𝑏 = 𝑎 + 1 , 𝑐 = 𝑎 − 9 , 𝑑 = 𝑎 + 5 , 𝑒 = 𝑎 − 6
(ก) 𝑐 + 𝑒 < 𝑏 + 𝑑
(𝑎 − 9) + (𝑎 − 6) < (𝑎 + 1) + (𝑎 + 5)
−15 < 6 → ถูก
(ข) จะเห็นว่า 𝑎 − 9 < 𝑎 − 6 < 𝑎 < 𝑎 + 1 < 𝑎 + 5
ดังนั้น 𝑐 < 𝑒 < 𝑎 < 𝑏 < 𝑑 → ผิด
(ก) 𝑎 + 𝑑 < 𝑏 + 𝑐
𝑎 + (𝑎 + 5) < (𝑎 + 1) + (𝑎 − 9)
5 < −8 → ผิด
29. 2
หา 𝑥̅ → สมมติให้แต่ละชั้นมีคะแนนเท่ากับจุดกึ่งกลางชั้น
จากตาราง จะได้ 𝑥̅ =
7𝑎+53
𝑎+11
แต่โจทย์ให้ 𝑥̅ = 5 ดังนั้น
𝑎 + 𝑏 − 4 = 𝑏 + 𝑐 + 5 = 𝑐 + 𝑑 + 1 = 𝑑 + 𝑒 − 2 = 𝑒 + 𝑎 + 3
ตัด 𝑏 ย้ายข้าง
𝑎 = 𝑐 + 9
(1)
ตัด 𝑐 ย้ายข้าง
𝑏 = 𝑑 − 4
(2)
ตัด 𝑑 ย้ายข้าง
𝑐 = 𝑒 − 3
(3)
ตัด 𝑒 ย้ายข้าง
𝑑 = 𝑎 + 5
(4)
𝑏 = 𝑎 + 5 − 4
= 𝑎 + 1
𝑎 − 9 = 𝑒 − 3
𝑎 − 6 = 𝑒
คะแนน จานวน (𝑓𝑖) จุดกึ่งกลางชั้น (𝑥𝑖) 𝑓𝑖 𝑥𝑖
0 – 2 3 =
0+2
2
= 1 = (3)(1) = 3
3 – 5 5 =
3+5
2
= 4 = (5)(4) = 20
6 – 8 𝑎 7 = (7)(𝑎) = 7𝑎
9 – 11 3 10 = (3)(10) = 30
𝑎 + 11 7𝑎 + 53
+ 3
+ 3
+ 3
7𝑎+53
𝑎+11
= 5
7𝑎 + 53 = 5𝑎 + 55
2𝑎 = 2
𝑎 = 1

PAT 1 (ต.ค. 58) 35
แทน 𝑎 = 1 ในตาราง จะได้ดังรูป
หาความถี่สะสม เพื่อหามัธยฐาน
จะได้ตาแหน่งมัธยฐาน =
12
2
= 6
จะเห็นว่า ความถี่สะสมเกิน 6 ครั้งแรกในชั้นที่ 2 → มัธยฐานอยู่ชั้นที่ 2
จะได้ มัธยฐาน = 𝐿 + (
𝑁
2
− 𝐹 𝐿
𝑓 𝑚
) 𝐼
= 2.5 + (
6 − 3
5
) (3) = 2.5 + 1.8 = 4.3
30. 1
มีผู้หญิง 60% → แสดงว่ามีผู้ชาย 40%
ในผู้หญิง 60% ถ้าสมมติให้มีผู้หญิงสายตาปกติ 𝑥 %
จะมีผู้หญิงสายตาผิดปกติ 60 − 𝑥 %
ในผู้ชาย 40% ถ้าสมมติให้มีผู้ชายสายตาปกติ 𝑦 %
จะมีผู้ชายสายตาผิดปกติ 40 − 𝑦 %
จะวาดได้ดังรูป
โจทย์กาหนดให้
(ก)
(ข) (ค)
คะแนน จานวน ความถี่สะสม
0 – 2 3 3
3 – 5 5 8
6 – 8 1 9
9 – 11 3 12
ปกติ ผิดปกติ
หญิง 𝑥 60 − 𝑥
ชาย 𝑦 40 − 𝑦
หญิง ผิดปกติ
หญิง ปกติ
=
ผิดปกติ ทั้งหมด
ปกติ ทั้งหมด
60−𝑥
𝑥
=
60−𝑥 + 40−𝑦
𝑥+𝑦
(60 − 𝑥)(𝑥 + 𝑦) = (100 − 𝑥 − 𝑦)(𝑥)
60𝑥 + 60𝑦 − 𝑥2
− 𝑥𝑦 = 100𝑥 − 𝑥2
− 𝑥𝑦
60𝑥 + 60𝑦 = 100𝑥
60𝑦 = 40𝑥
𝑦 =
2𝑥
3
…(∗)
หญิง ผิดปกติ = 1.5 (ชาย ผิดปกติ)
60 − 𝑥 = 1.5 (40 − 𝑦)
60 − 𝑥 = 1.5 (40 −
2𝑥
3
)
60 − 𝑥 = 60 − 𝑥
(ก) ถูก
จาก (∗)
คูณกระจาย 1.5
หญิง ผิดปกติ
หญิง ทั้งหมด
>
ชาย ผิดปกติ
ชาย ทั้งหมด
60 − 𝑥
60
>
40 − 𝑦
40
60 − 𝑥
3
>
40 −
2𝑥
3
2
120 − 2𝑥 > 120 − 2𝑥
(ค) ผิด
จาก (∗)
คูณไขว้
ชาย ปกติ > หญิง ปกติ
𝑦 > 𝑥
2
3
𝑥 > 𝑥
(ข) ผิด
จาก (∗)

36 PAT 1 (ต.ค. 58)
31. 230
มีนักเรียน 30 คน ชอบทั้งสามวิชา → วาดได้ดังรูป
ข้อนี้ต้องสมมติให้นักเรียนกลุ่มนี้ชอบอย่างน้อย 1 วิชา
จะได้จานวนนักเรียนทั้งหมด = 𝑛(𝑀 ∪ 𝑇 ∪ 𝐸)
จากสูตร Inclusive – Exclusive จะได้
จะได้จานวนคนมากสุด = 230 เมื่อ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 ดังรูป
32. 126
สังเกตว่า เราสามารถจัดรูปสมการให้มี 3|𝑥+4|
และ 3|𝑥|
เป็นตัวแปรได้ ดังนี้
หรือ
ดังนั้น ผลบวกของสมาชิกใน 𝐵 = (59 − (−1)) + (59 − (−7))
= 60 + 66 = 126
33. 5
โจทย์ให้ เส้นตรง 6𝑥 − 𝑦 = 4 ตัดกับกราฟ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่ 𝑥 = 2
แทน 𝑥 = 2 ในสมการเส้นตรง จะได้
ดังนั้น (2, 8) อยู่บนกราฟ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ด้วย จะได้ 𝑓(2) = 8 …(∗)
𝑛(𝑀 ∪ 𝑇 ∪ 𝐸) = 𝑛(𝑀) + 𝑛(𝑇) + 𝑛(𝐸) − 𝑛(𝑀 ∩ 𝑇) − 𝑛(𝑇 ∩ 𝐸) − 𝑛(𝑀 ∩ 𝐸) + 𝑛(𝑀 ∩ 𝑇 ∩ 𝐸)
= 150 + 80 + 60 − 𝑛(𝑀 ∩ 𝑇) − 𝑛(𝑇 ∩ 𝐸) − 𝑛(𝑀 ∩ 𝐸) + 30
30
𝑀 𝑇
𝐸
30
𝑀 𝑇
𝐸
𝑥
𝑦 𝑧
สมมติ 𝑥, 𝑦, 𝑧 สาหรับ 𝑛(𝑀 ∩ 𝑇), 𝑛(𝑇 ∩ 𝐸), 𝑛(𝑀 ∩ 𝐸)
= 150 + 80 + 60 − (𝑥 + 30) − (𝑧 + 30) − (𝑦 + 30) + 30
= 150 + 80 + 60 − 𝑥 − 30 −𝑧 − 30 −𝑦 − 30 + 30
= 230 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧
≤ 230
𝑥, 𝑦, 𝑧 แทนจานวนคน → 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0
30
𝑀 𝑇
𝐸
0
0 0
120 50
30
3(9 + 3|𝑥|+|𝑥+4|
) = 3|𝑥+4|
+ 3|𝑥|+4
3(9 + 3|𝑥|
∙ 3|𝑥+4|
) = 3|𝑥+4|
+ 3|𝑥|
∙ 34
3(9 + 𝑏 ∙ 𝑎 ) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 34
27 + 3𝑎𝑏 = 𝑎 + 81𝑏
3𝑎𝑏 − 𝑎 − 81𝑏 + 27 = 0
𝑎(3𝑏 − 1) − 27(3𝑏 − 1) = 0
(𝑎 − 27)(3𝑏 − 1) = 0
ให้ 3|𝑥+4|
= 𝑎
3|𝑥|
= 𝑏
𝑎 = 27
3|𝑥+4|
= 33
|𝑥 + 4| = 3
𝑥 + 4 = 3 , −3
𝑥 = −1 , −7
𝑏 =
1
3
3|𝑥|
= 3−1
|𝑥| = −1
ไม่มีคาตอบ
(ค่าสัมบูรณ์เป็นลบไม่ได้)
6(2) − 𝑦 = 4
8 = 𝑦 → จะได้จุดตัดคือ (2, 8)

PAT 1 (ต.ค. 58) 37
พิจารณา 2
lim
x
𝑥2+𝑥−6
√1+𝑓(𝑥)−3
จะเห็นว่า ถ้าแทน 𝑥 = 2 จะได้ 22+2−6
√1+𝑓(2) − 3
=
0
√1+8 − 3
=
0
0
ลิมิตอยู่ในรูป 0
0
→ จะใช้กฎของโลปิตาลได้
แต่โจทย์ให้ 2
lim
x
𝑥2+𝑥−6
√1+𝑓(𝑥)−3
= 6 ดังนั้น 30
𝑓′(2)
= 6 จะได้ 𝑓′(2) =
30
6
= 5
34. 9.25
𝑓(𝑥) = {
𝑥3
, 𝑥 < −1
𝑎𝑥 + 𝑏 , −1 ≤ 𝑥 < 1
3𝑥2
+ 2 , 𝑥 ≥ 1
แทนค่า 𝑎, 𝑏 จะได้ 𝑓(𝑥) = {
𝑥3
, 𝑥 < −1
3𝑥 + 2 , −1 ≤ 𝑥 < 1
3𝑥2
+ 2 , 𝑥 ≥ 1
จะหา
2
2
 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ต้องแบ่งเป็น 3 ช่วงตามเงื่อนไขของ 𝑓(𝑥)
=
1
2


 𝑥3
𝑑𝑥 +
1
1
 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 +
2
1
 3𝑥2
+ 2 𝑑𝑥
=
𝑥4
4
|
−1
−2
+
3𝑥2
2
+ 2𝑥 |
1
−1
+ 𝑥3
+ 2𝑥 |
2
1
= (
(−1)4
4
−
(−2)4
4
) + ((
3(1)2
2
+ 2(1)) − (
3(−1)2
2
+ 2(−1))) + ((23
+ 2(2)) − (13
+ 2(1)))
=
1
4
− 4 +
3
2
+ 2 −
3
2
+ 2 + 12 − 3 = 9.25
ตรงรอยต่อ 𝑥 = −1 จะได้ (−1)3
= 𝑎(−1) + 𝑏
−1 = −𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏 = 1 …(1)
𝑎(1) + 𝑏 = 3(12) + 2
𝑎 + 𝑏 = 5 …(2)
ตรงรอยต่อ 𝑥 = 1 จะได้
(1) + (2) : 2𝑎 = 6
𝑎 = 3
3 + 𝑏 = 5
𝑏 = 2
แทนใน (2) :
จาก (∗)
2
lim
x
𝑥2+𝑥−6
√1+𝑓(𝑥)−3
=
2
lim
x
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2+𝑥−6
𝑑
𝑑𝑥
√1+𝑓(𝑥)−3
=
2
lim
x
2𝑥+1
1
2
(1+𝑓(𝑥))
−
1
2 ∙
𝑑
𝑑𝑥
(1+𝑓(𝑥))
=
2
lim
x
2𝑥+1
1
2
(1+𝑓(𝑥))
−
1
2 ∙ 𝑓′(𝑥)
=
2(2)+1
1
2
(1+𝑓(2))
−
1
2 ∙ 𝑓′(2)
=
5
1
2
(1+ 8 )−
1
2 ∙ 𝑓′(2)
=
5
1
6
∙ 𝑓′(2)
=
30
𝑓′(2)
ดิฟลูกโซ่
แทน 𝑥 = 2
จาก (∗)

38 PAT 1 (ต.ค. 58)
35. 32
จะได้
ดังนั้น 1
𝐿(𝑛)
=
𝑛2
log2 𝑎
แทนในโจทย์ จะได้ 1
𝐿(1)
+
1
𝐿(2)
+ ⋯ +
1
𝐿(10)
=
12
log2 𝑎
+
22
log2 𝑎
+
32
log2 𝑎
+ …
102
log2 𝑎
=
12 + 22 + 32 + … + 102
log2 𝑎
=
10(10+1)(2(10)+1)
6
log2 𝑎
=
5(11)(7)
log2 𝑎
แต่โจทย์ให้ 1
𝐿(1)
+
1
𝐿(2)
+ ⋯ +
1
𝐿(10)
= 77 ดังนั้น
36. 68
พยายามจัดรูปสิ่งที่โจทย์กาหนดให้ ไปสู่สิ่งที่โจทย์ถาม ดังนี้
สลับหลัก → det เป็นลบของของเดิม
คูณ 2 ที่แถวหรือหลักหนึ่งๆ → det เป็น 2 เท่าเอาหลัก 1 มาคูณ 2 ให้คล้าย
กับเมทริกซ์ที่โจทย์ถาม
ทาแบบนี้det ไม่เปลี่ยนเอาหลัก 3 มาบวกให้หลัก 1
จะได้เมทริกซ์ที่โจทย์ถาม
𝐿(𝑛) = log2 𝑛( √ 𝑎
𝑛
)
= log2 𝑛(𝑎1/𝑛
)
=
1/𝑛
𝑛
log2 𝑎
=
log2 𝑎
𝑛2
5(11)(7)
log2 𝑎
= 77
5 = log2 𝑎
25
= 𝑎
32 = 𝑎
|
1 𝑏 0
𝑎 4 1
5 𝑎 −𝑎
| = −17
|
1 𝑎 5
𝑏 4 𝑎
0 1 −𝑎
| = −17
|
2 𝑎 5
2𝑏 4 𝑎
0 1 −𝑎
| = −34
|
𝑎 2 5
4 2𝑏 𝑎
1 0 −𝑎
| = 34
|
2𝑎 2 5
8 2𝑏 𝑎
2 0 −𝑎
| = 68
|
2𝑎 + 5 2 5
8 + 𝑎 2𝑏 𝑎
2 − 𝑎 0 −𝑎
| = 68
ทรานสโพส จะทาให้หลัก 3
ตรงกับเมทริกซ์ที่โจทย์ถาม
12
+ 22
+ 32
+ … + 𝑛2
=
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
ทรานสโพส → det ไม่เปลี่ยน
เอาหลัก 1 มาคูณ 2 แล้ว
สลับไปหลัก 2 จะทาให้
หลัก 2 ตรงกับเมทริกซ์ที่
โจทย์ถาม
คูณ 2 ที่แถวหรือหลักหนึ่งๆ → det เป็น 2 เท่า

PAT 1 (ต.ค. 58) 39
37. -
ในลาดับเลขคณิต พจน์ที่อยู่ติดกัน จะเพิ่มขึ้น 𝑑 เสมอ → นั่นคือ
𝑑 = 0 แสดงว่าแต่ละพจน์ ไม่เพิ่มขึ้นเลย → ทุกพจน์เท่ากันหมด
โจทย์ให้ 𝑎100 = 200 แสดงว่าพจน์อื่นๆ ก็ต้องเท่ากับ 200 ด้วย → จะได้ 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = … = 200
แต่ถ้าทุกพจน์เท่ากันหมด = 200 จะไม่มีทางที่ 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + … + 𝑎49 = 1275 ได้
ดังนั้น ข้อนี้โจทย์ขัดแย้งกันเอง จึงไม่มีคาตอบ
38. 160
เลข 3 จะใช้วิธีแบ่งกรณีนับ ส่วนเลข 1 กับเลข 2 จะใช้วิธีนับแบบตรงข้าม
ต้องมีเลข 3 อย่างมาก 2 หลัก → จะมีสามกรณีคือ “ไม่มีเลข 3 เลย” “มีเลข 3 หนึ่งหลัก” หรือ “มีเลข 3 สองหลัก”
กรณี ไม่มีเลข 3 เลย
มี 5 หลัก แต่ละหลักอาจเป็นเลข 1 หรือ 2 ได้หลักละ 2 แบบ → จะได้จานวนแบบทั้งหมด = 25
= 32 แบบ
แต่โจทย์ต้องการให้มีเลข 1 อย่างน้อย 1 หลัก และเลข 2 อย่างน้อย 1 หลัก (คือต้องมีทั้งเลข 1 และ เลข 2)
จะเห็นว่าใน 32 แบบนี้จะมีแบบที่ใช้ไม่ได้อยู่ 2 แบบ คือ 1 ทั้งหมด กับ 2 ทั้งหมด (11111 กับ 22222)
ดังนั้น จะเหลือจานวนแบบที่ “มีทั้งเลข 1 และ เลข 2” อยู่ = 32 − 2 = 30 แบบ
กรณี มีเลข 3 หนึ่งหลัก
ขั้นที่ 1: เลือกตาแหน่งให้เลข 3 → มี 5 หลัก จะเลือกได้ 5 แบบ
ขั้นที่ 2: ที่เหลือ 4 หลัก แต่ละหลักอาจเป็นเลข 1 หรือ 2 ได้หลักละ 2 แบบ
จะได้จานวนแบบทั้งหมด = 24
= 16 แบบ
หักแบบที่ใช้ไม่ได้ 2 แบบ (คือ 1 ทั้งหมด กับ 2 ทั้งหมด) เหลือ = 16 − 2 = 14 แบบ
รวมจานวนแบบ = 5 × 14 = 70 แบบ
กรณี มีเลข 3 สองหลัก
ขั้นที่ 1: เลือกตาแหน่งให้เลข 3 ทั้งสองตัว → มี 5 หลัก จะเลือกได้ = (5
2
) =
5 ∙ 4
2 ∙ 1
= 10 แบบ
ขั้นที่ 2: ที่เหลือ 3 หลัก แต่ละหลักอาจเป็นเลข 1 หรือ 2 ได้หลักละ 2 แบบ
จะได้จานวนแบบทั้งหมด = 23
= 8 แบบ
หักแบบที่ใช้ไม่ได้ 2 แบบ (คือ 1 ทั้งหมด กับ 2 ทั้งหมด) เหลือ = 8 − 2 = 6 แบบ
รวมจานวนแบบ = 10 × 6 = 60 แบบ
รวมทุกกรณี จะได้จานวนแบบ = 30 + 70 + 60 = 160 แบบ
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑 …(1)
𝑎4 = 𝑎3 + 𝑑 …(2)
𝑎6 = 𝑎5 + 𝑑 …(3)
⋮
𝑎50 = 𝑎49 + 𝑑 …(25)
𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + … + 𝑎50 = 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + … + 𝑎49 + 25𝑑
บวกทั้ง 25 สมการ
โจทย์ให้สองค่านี้เท่ากัน → ตัดกันได้
เหลือ 0 = 25𝑑 → จะได้ 𝑑 = 0

40 PAT 1 (ต.ค. 58)
39. 3
รูปแบบเส้นตรง คือ 𝑌̂ = 𝑎 + 𝑏𝑋 ซึ่งจะหาค่า 𝑎 และ 𝑏 ได้จาก
จากข้อมูลที่โจทย์ให้ จะได้ระบบสมการคือ
จะได้สมการทานายคือ 𝑌̂ = −9 + 3𝑋
ดังนั้น ถ้าอายุ 4 จะต้องใช้อาหาร = −9 + 3(4) = 3 กก.
40. 117
จาก แกนตามขวางขนานแกน 𝑥 → จะได้เป็นไฮเพอร์โบลาแนวนอน
→ ดังนั้น จุดโฟกัส และจุดศูนย์กลาง จะอยู่ในแนวนอนแนวเดียวกัน
→ ดังนั้น จุดโฟกัส และจุดศูนย์กลาง จะมีพิกัด 𝑦 เท่ากัน
โจทย์ให้ F1(1 + 2√5 , 3) ดังนั้น พิกัดจุดศูนย์กลาง ต้องอยู่ในรูป (ℎ, 3)
และเนื่องจากเส้นกากับไฮเพอร์โบลา จะผ่านจุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลาเสมอ
ดังนั้น (ℎ, 3) ต้องสอดคล้องกับสมการเส้นกากับ
จะได้จุดศูนย์กลาง (1, 3)
และจากพิกัด F1(1 + 2√5, 3) จะเห็นว่า F1 อยู่ถัดไปทางขวาของจุดศูนย์กลาง = 2√5
จะได้ระยะโฟกัส 𝑐 = 2√5
จากสูตร 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
จะได้
อีกสมการของ 𝑎 กับ 𝑏 จะใช้ “ความชัน” ของเส้นกากับมาช่วย
จากรูปจะเห็นว่า เส้นกากับจะมีความชัน 𝑏
𝑎
กับ −
𝑏
𝑎
ซึ่งโจทย์กาหนดให้เส้นกากับเส้นหนึ่งคือ
เทียบกับรูป 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 จะได้ความชัน = 2
เนื่องจาก 2 เป็นบวก จึงสรุปได้ว่า 𝑏
𝑎
= 2 → ย้ายข้างได้ 𝑏 = 2𝑎 → แทนใน (∗) จะได้


n
i 1
𝑦𝑖 = 𝑎𝑛 + 𝑏 

n
i 1
𝑥𝑖 …(1)


n
i 1
𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝑎 

n
i 1
𝑥𝑖 + 𝑏 

n
i 1
𝑥𝑖
2
…(2)
48 = 𝑎(8) + 𝑏(40) …(1)
270 = 𝑎(40) + 𝑏(210) …(2)
(1) × 5 : 240 = 𝑎(40) + 𝑏(200) …(3)
(2) – (3): 30 = 𝑏(10)
3 = 𝑏
→ (1) : 48 = 𝑎(8) + 3(40)
6 = 𝑎 + 3( 5 )
−9 = 𝑎
2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
2ℎ − 3 + 1 = 0
2ℎ = 2
ℎ = 1
𝑎2
+ 𝑏2
= (2√5)
2
𝑎2
+ 𝑏2
= 20 …(∗)
𝑎
𝑏𝑏
ความชัน =
𝑏
𝑎
ความชัน = −
𝑏
𝑎
𝑏
2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
2𝑥 + 1 = 𝑦
𝑎2
+ (2𝑎)2
= 20
𝑎2
+ 4𝑎2
= 20
5𝑎2
= 20
𝑎2
= 4
𝑎 = 2
แทน 𝑎 = 2 กลับไป จะได้ 𝑏 = 2(2)
= 4

Pat one

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (14)

Similar to Pat one

Similar to Pat one (20)

More from Manop Amphonyothin

More from Manop Amphonyothin (20)

Pat one