Presentación de Plano Numérico

1. Nombre: Nicolas Colmenarez
Cedula: 30.657.392
Sección: 0101

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la fórmula de
distancia entre estos dos puntos. La demostración usa el teorema de
Pitágoras. Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la
distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas La distancia entre
dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d(P1,P2 ). La fórmula
de la distancia usa las coordenadas de los puntos.

3. PUNTO MEDIO
Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos
cualquiera o extremos de un segmento.
En el plano cartesiano
Dado un segmento, cuyos extremos tienen por coordenadas:
A = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y B = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)
El punto medio, Pm ,tendrá por coordenadas :
𝑷𝒎 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
,
𝒚𝟏+ 𝒚𝟐
𝟐

4. ECUACIONES EN EL PLANO
* Ecuaciones de la recta
- Ecuación vectorial:
Sea un punto A(a,b) de la recta, cuyo vector directriz es .
Si tomamos un punto genérico de la recta P(x,y) se tiene:
que es la ecuación vectorial de la recta. Siendo l un parámetro, tal que al ir
tomando los distintos valores de R nos va dando los distintos puntos P de
la recta.

5.  Trazado de un arco de
circunferencia que pasa por
tres puntos.
Se trata de hacer pasar un arco de
circunferencia, o bien una
circunferencia completa, por tres
puntos (no alineados) que se tienen
como datos.
A. OPERACIONES:
1. Se unen los tres puntos, dos a dos, por
ejemplo A-B y B-C.
2. Se trazan las mediatrices de los
segmentos AB y BC.
3. El punto O, donde se cortan las dos
mediatrices, es el centro del arco
solicitado. Desde este punto se traza el
arco o la circunferencia que deberá
pasar por los tres puntos.
 Determinar el centro de un arco
de circunferencia.
B. OPERACIONES:
1. Se toman tres puntos A, B y C
cualesquiera a partir del arco
dado.
2. Se unen los tres puntos, dos a
dos, por ejemplo A-B y B-C.
3. Se trazan las mediatrices de los
segmentos AB y BC. El centro
del arco (O) está situado donde
se cortan las mediatrices.
TRAZADO DE ARCOS Y CIRCUNFERENCIAS

6. Una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada
como una ecuación , cuenta con una serie de
elementos o parámetros que son básicos para
su descripción, y son:
Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con
el eje focal (llamado también eje de simetría ).
Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide
simétricamente a la parábola en dos brazos y
pasa por el vértice.
Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no
pertenece a la parábola y que se ubica en el eje
focal al interior de los brazos de la misma y a
una distancia p del vértice.
Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal
que se ubica a una distancia p del vértice y
fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p) : Parámetro que indica la
magnitud de la distancia entre vértice y foco ,
así como entre vértice y directriz (ambas
Cuerda : Segmento de recta que une dos
puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR) : Cuerda focal que es
perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores,
veamos la siguiente gráfica de una
parábola:
En el Plano Cartesiano una parábola puede
tener su vértice en cualquier par de
coordenadas y puede estar orientada hacia
PARÁBOLA

7. HIPÉRBOLA
Una hipérbola es el lugar
geométrico de los
puntos P(x,y) del
plano cartesiano tales
que la diferencia de
sus distancias a dos
puntos fijos llamados
focos, es constante.
Construcción de la Hipérbola.

8. ELIPSES
PLANO CARTESIANO: ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) del plano cartesiano cuya
suma de distancias de los puntos, llamados focos: F1 y F2 es
constante.
1. - Gráfica plano cartesiano
Cuando la elipse tiene forma vertical:
2 . - Cuando la elipse
tiene forma horizontal:

9. Se denomina sección cónica (o
simplemente cónica) a todas las
curvas resultantes de las
diferentes intersecciones entre
un cono y un plano; si dicho
plano no pasa por el vértice, se
obtienen las cónicas
propiamente dichas. Se
clasifican en cuatro tipos: elipse,
parábola, hipérbola y
circunferencia.
La primera definición conocida de
sección cónica surge en la
Antigua Grecia, cerca del año
340 a.C (Menecmo) donde las
definieron como secciones «de
un cono circular recto».1 Los
nombres de hipérbola, parábola
y elipse se deben a Apolonio de
Perge. Actualmente, las
secciones cónicas pueden
definirse de varias maneras;
estas definiciones provienen de
las diversas ramas de la
En función de la relación existente entre el ángulo de
conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje
del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones
cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Y β= 180º : Triangular
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede
comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del
cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas
que se cortan en el vértice.
Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá
REPRESENTACIÓN GRAFICA CANÓNICAS

10. REPRESENTAR GRÁFICAMENTE LAS
ECUACIONES DE LAS CÓNICAS
Las ecuaciones de las cónicas son un caso particular de las ecuaciones
cuadráticas que se da cuando la matriz de coeficientes es simétrica. Así
las curvas cónicas son las curvas cuya ecuación adopta la forma general:
𝑨𝒙𝟐
+ 𝟐𝑩𝒙𝒚 + 𝟐𝑫𝒙 + 𝟐𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Y se puede expresar matricialmente como:
𝒙 𝒚 𝟏
𝑨 𝑨 𝑨
𝑩 𝑩 𝑩
𝑪 𝑪 𝑪
𝒙
𝒚
𝟏
= 𝟎
Para una cónica se verifica que en cualquier cambio de sistema de
referencia, traslación o rotación, permanecen invariantes los siguientes
valores escalares que se denominan respectivamente invariante
proyectivo, invariante afín e invariante métrico.
𝑰𝑷 =
𝑨 𝑩 𝑫
𝑩 𝑪 𝑬
𝑫 𝑬 𝑭
; 𝑰𝑨 =
𝑨 𝑩
𝑩 𝑪
; 𝑰𝑴 = 𝑨 + 𝑪

11. MUCHAS GRACIAS
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