Este campo trata de un conjunto de puntos del plano que equidistan una unidad del origen; la distancia de tales puntos al centro se denomina radio de circunferencia.

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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
PANTELES DE APLICACIÓN GUAMÁN POMA DE AYALA
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Trigonometría
Quinto“A”
RESUMEN CIENTÍFICO
Tema: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Propósito: Que los estudiantes comuniquen su comprensión sobre la circunferencia trigonométrica y
resolver ejercicios relacionados a su entorno.
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
1. DEFINICIÓN: Es un conjunto de puntos del plano que equidistan una unidad del origen; la distancia
de tales puntos al centro se denomina radio de circunferencia.
Se sabe:
𝑑(𝑃ℂ) = 𝑟 ⟹ √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 1
√𝑥2 + 𝑦2 = 1 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ⇝ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶. 𝑇.
2. ARCO EN POSICIÓN NORMAL:
𝐁(𝟎;𝟏)
𝐀(𝟏;𝟎)
𝑨′
(−𝟏;𝟎)
𝑩′
(𝟎;−𝟏)
y
x
C.T.
Coordenadas

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Trigonometría
Quinto“A”
En la figura se observa que los arcos 𝐴𝑃
̂ 𝑦 𝐴𝑄
̂ estan en ´posición normal y además:
𝐴𝑃
̂ ∈ 𝐼𝐼𝐶 ∧ 𝑎 > 0
𝐴𝑄
̂ ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐶∧ 𝑏 < 0
3. RELACIÓN ENTRE ARCOS EN POSICIÓN NORMAL Y LOS NÚMEROS REALES:
4. UBICACIÓN DE ARCOS EN LA C.T:
Ubicación de arcos en la C.T. Ubique los arcos:
3𝜋
7
;
5𝜋
7
;
9𝜋
7
;
11𝜋
7
en la C.T.

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Trigonometría
Quinto“A”
Ubique los arcos:1, 2, 3, 4, 5, 6 en la C.T.
5. ARCOS CUADRANTALES EN LA CIRCUNFERENCIA
6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS EN POSICIÓN NORMAL:
RT(arco) = RT(∢ central)
Aplicación: sen30 = sen(30rad)
𝑛 ∈ ℤ

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Trigonometría
Quinto“A”
CÁLCULO DE LAS RAZONES:
OBSERVACIÓN:
Después de calcular las razones trigonométricas del arco 𝜃 de observó que las coordenadas de punto
P. que en el extremo del arco 𝜃 son:
POR DEFINICIÓN:𝑅𝑇(𝜃) = 𝑅𝑇(𝛼)
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑦
𝑟 = 1
= 𝑦 ⇝ (𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑃)
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑥
𝑟 = 1
= 𝑥 ⇝ (𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑃)
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑦
𝑥

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Trigonometría
Quinto“A”
(𝒙;𝒚) = (𝒄𝒐𝒔𝜃;𝒔𝒆𝒏 ∝)
EN GENERAL:
7. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS:
Son segmentos de recta orientados cuyo medida nos representa en valor númerico de alguna razón
trigonométrica.
7.1.LÍNEAS SENO: El seno de un arco en posición normal se representa como la ordenada de su
extremo.
7.2.LINEAS DE COSENO: Elcoseno de un arco en posición normal se representa como la abscisa
de su extremo.
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒
{
𝑠𝑒𝑛 ∝:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑜(+)
𝑠𝑒𝑛𝛽:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛(−)

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Trigonometría
Quinto“A”
EJERCICIOS APLICATIVOS
1. si 𝜃𝜖 〈0°;
𝜋
6
〉, halle la variación de expression 𝐸 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 3
a) [3;4] b)〈3;4〉 c)〈0;1〉 d)[3;4⟩ e)⟨3;4]
2. En igualdad 𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 1, indique todos los valores que puede asumir 𝑥 para cualquier valor
de 𝜃.
a) ⟨−√2;0] b)〈3;4〉 c)[−√2;√2] d)[0;√5] e)⟨0; 4]
3. Si 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶 y además 𝑐𝑜𝑠 ∝=
𝑘−3
2
calcule la variación de: 2𝑘 − 3
4. Si ∝∈ 𝐼𝐼𝐶 y además 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑘−3
2
calcule la variación de: 3𝑘 + 2
5. Si 𝜃 ∈ [
2𝜋
3
;
7𝜋
6
], halle la variación de 𝐸 = 4𝑠𝑒𝑛2𝜃
6. Si ∝∈ [𝜋;
3𝜋
2
], halle la suma del máximo y mínimo de valor de 𝐸 = 1 +
1
3
𝑠𝑒𝑛 ∝
8. De la figura, determine el área de la región sombreada.
𝑎) − 2𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑏) − 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐) 2𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑) 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒
{
𝑐𝑜𝑠 ∝:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜(+)
𝑐𝑜𝑠𝛽:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜(−)

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Trigonometría
Quinto“A”
𝑒) − 𝑡𝑎𝑛𝜃
ACTIVIDAD PARA LA CASA
1. Halle los valores que toma 2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1 𝑠𝑖 𝜃𝜖 〈0;
𝜋
2
〉
a) 〈0;3〉 b)〈1; 2〉 c)〈0; 1〉 d)〈0; 2〉 e)⟨1;3⟩
2. Si 𝜃𝜖𝐼𝑉𝐶 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
ñ−2
5
¿Cuántos valores enteros puede tomar “ñ”?
a) 3 b) 7 c) 5 d) 6 e) 4
3. Si 𝑠𝑒𝑛 ∝=
3𝑥−2
7
indique el intervalode "𝑥".
a) ⟨−
5
3
;3⟩ b) ⟨−
5
3
;3] c)[−
5
3
; 3⟩ d) ⟨−
5
3
;3⟩ e)[−
5
3
;3]
4. Determinar el área de la región sombreada en términos de 𝜃.
5. Dos atletas que participan en los Juegos Panamericanos Lima 2019 están sobre una pista circular
cuyo radio mide 1hm. Si ambos atletas parten del punto A en sentido horario y después de un tiempo
el atleta más rápido ha recorrido un arco 2𝜃 llegando al punto Q, mientras que el más lento llegó al
punto 𝐵′. Halle la distancia final entre ambos atletas.
a) √2(1 + cos2θ)hm
b) √2(1 − sen2θ)hm
c) √2(1 − cos2θ)hm
d) √2(1 − sen2θ)hm
e) √2(1 + tan2θ)hm

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Trigonometría
Quinto“A”
RESUMEN CIENTÍFICO
Recordando lo aprendido:
El seno de un arco, es la ordenada del extremo del arco y se representa mediante una vertical trazado desde el eje de
abscisas hasta el extremo del arco.
En toda C.T. se cumple:
−1 ≤ senθ ≤ 1
El coseno de un arco, es la abscisa del extremo de arco y se representa mediante una horizontal trazado desde el eje de
ordenadas hasta el extremo del arco.
Cuadrante IC IIC IIIC IVC
seno
Sen2
Sen1
Sen3
3
Sen4
3
2
1
4
X
Y
x2
+ y2
= 1
1
𝐬𝐞𝐧𝛉
ℝ
-1
-1 1
senθ
0
Cos2
2
C.T.
3
Cos3
Cos4
4
1
Cos1
Y
X
1
𝒄𝒐𝒔𝜽
-1
ℝ
Del gráfico podemos deducir.
−1 ≤ cosθ ≤ 1

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Trigonometría
Quinto“A”
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dos atletas que participan en los Juegos Panamericanos Lima 2019 están sobre una pista circular
cuyo radio mide 1hm. Si ambos atletas parten del punto A en sentido horario y después de un tiempo
el atleta más rápido ha recorrido un arco 2𝜃 llegando al punto Q, mientras que el más lento llegó al
punto 𝐵′. Halle la distancia final entre ambos atletas.
a) √2(1 + cos2θ)hm
b) √2(1 − sen2θ)hm
c) √2(1 − cos2θ)hm
𝐝) √𝟐(𝟏 − 𝐬𝐞𝐧𝟐𝛉)𝐡𝐦
e) √2(1 + tan2θ)hm
Solucion:
Sea d la distancia final entre ambos atletas.
Teorema de Pitágoras
𝑑2 = (1 + |𝑠𝑒𝑛2𝜃|)2 + (|𝑐𝑜𝑠2𝜃|)2
𝑑2 = (1 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃)2 + (−𝑐𝑜𝑠2𝜃)2
𝑑2 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛22𝜃 + 𝑐𝑜𝑠22𝜃
𝑑2 = 2(1 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃)
𝑑 = √2(1 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃)ℎ𝑚
2. En el gráfico, halle el área de la region sombreada.
a)
𝑠𝑒𝑛 ∝
2
b)
−𝑐𝑜𝑠 ∝
2
c) − sen ∝∙ cosα
𝐝) 𝐬𝐞𝐧 ∝∙ 𝐜𝐨𝐬𝛂
Cuadrante IC IIC IIIC IVC
coseno

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Trigonometría
Quinto“A”
e)
sen ∝∙ cosα
2
Solución:
S△=
(−2cos∝)(−sen∝)
2
S△= sen ∝⋅ cos ∝
3. Si ∝∈ [𝜋;
3𝜋
2
], halle la suma del máximo y mínimo de valor de 𝐸 = 1 +
1
3
𝑠𝑒𝑛 ∝
a)
2
5
𝐛)
𝟓
𝟑
c)
3
5
d)
2
3
e)
−5
3
Solución:
Dato si:
∝∈ [𝜋;
3𝜋
2
] ⟹ −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 ∝≤ 0
⨁ Construyamos 𝐸 = 1 +
1
3
𝑠𝑒𝑛 ∝
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 ∝≤ 0
−
1
3
≤
1
3
𝑠𝑒𝑛 ∝≤ 0
−
2
3
≤ 1 +
1
3
𝑠𝑒𝑛 ∝≤ 1
−
1
3
≤ 𝐸 ≤ 1 ∴ 𝑚á𝑥 + 𝑚í𝑛 =
2
3
+ 1 =
𝟓
𝟑
EJERCICIOS PROPUESTOS
4. En la figura, ℂ es la circunferencia trigonométrica, determine el perímetro de la región punteada.
a) 2𝑠𝑒𝑛𝜃(1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑢
b)
𝑠𝑒𝑛2𝜃
2
𝑢
c) 2(1 + senθ + cosθ)u
d) senθu ∙ cosθu

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Trigonometría
Quinto“A”
e)
1 + cos2θ
2
u
5. En la figura, ℂ es la circunferencia trigonométrica, halle el área de la región BD0C.
a) −
3
2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑢2
b) 3𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑢2
c)
3
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑢2
d)
3
4
𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑢2
e) −
3
4
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑢2
6. En la C.T: mostrada calcular el área de triángulo ORP.
a)
𝑠𝑒𝑛 ∝
2
[
1 + 𝑐𝑜𝑠 ∝ −1
1 + 𝑐𝑜𝑠 ∝
]
b)
𝑠𝑒𝑛 ∝
4
[
1 + 𝑐𝑜𝑠 ∝ −1
1 + 𝑐𝑜𝑠 ∝
]
c)
𝑠𝑒𝑛 ∝
2
[
1 + 𝑐𝑜𝑠 ∝ +1
1 + 𝑐𝑜𝑠 ∝
]
d)
𝑠𝑒𝑛 ∝
4
[
1 − 𝑐𝑜𝑠 ∝ −1
1 − 𝑐𝑜𝑠 ∝
]
e)
𝑠𝑒𝑛 ∝
2
[
1 + 𝑐𝑜𝑠 ∝ −1
1 − 𝑐𝑜𝑠 ∝
]
7. En la C.T. donde se sabe que BR=3, calcular:
a: La longitud TC.
b. El área del triángulo TRC.

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Trigonometría
Quinto“A”
8. Si: 𝜃𝜖𝐼𝐼𝐼𝐶, hallar todos los valores enteros de “K” para que la siguiente igualdad exista: 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
2𝐾−7
3
a){1} b) {2} c) {2;3} d) {2;3;4} e) {3}
9. Si: 𝜃𝜖𝐼𝑉𝐶, calcular el conjunto de valores de “K” para que la siguiente igualdad existía: 𝐾 =
3𝑠𝑒𝑛𝜃−2
4
a)[−1; 1] b) ⟨−
1
2
;
2
3
⟩ c) ⟨−
5
4
;
1
2
⟩ d) ⟨−
1
2
;
1
2
⟩ e) ⟨−4;
1
2
⟩
10. De la gráfica mostrada, calcular el área de la región sombreada.
a)(−cosθ)𝑢2
b) (0.5senθ)𝑢2
c) (cosθ)𝑢2
d) (0.5cosθ)𝑢2
e) (−0.5cosθ)𝑢2
ACTIVIDAD PARA LA CASA
1. Del gráfico mostrado, determine el área de la región punteada.
a) (−cosθ)𝑢2
b) (0.5senθ)𝑢2
c) (cosθ)𝑢2
d) (0.5cosθ)𝑢2
e) (−0.5cosθ)𝑢2
2. Del gráfico mostrado, halle el área de la región sombreada.
a) − senθ𝑢2
b) − 0.25senθ𝑢2

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Trigonometría
Quinto“A”
c) −
1
4
cosθ𝑢2
d)
1
4
cosθ𝑢2
e) −
1
2
senθ𝑢2
3. Si: 𝜃𝜖𝐼𝐼𝐶 hallar todos los valores enteros de "K” para que la siguiente igualdad exista:𝑐𝑜𝑠𝜃 =
3𝑘+5
7
a) 1 y 2 b) − 2 y 1 c) 2 y 3 d) − 3 y − 2 e) 4 y − 5
4. En la circunferencia trigonométrica mostrada, halle el valor del área de la región sombreada. Si 𝑚𝐴𝑃
̂ =∝,
𝑚∡𝑃𝑇𝐴
̂ = 90°.
a)
𝛼
2
+
𝜋
2
b)
𝛼
2
−
𝜋
4
c)
𝛼
2
+ 𝑠𝑒𝑛𝛼
d)
𝛼
2
+ 𝑠𝑒𝑛𝛼 −
𝜋
4
e)
𝛼
2
+
𝜋
2
+ 𝑠𝑒𝑛𝛼
5. En la circunferencia trigonométrica de la figura mostrada, 𝑚𝐴𝑀
̂ = 𝜃, determine el área de la región
sombreada.
a) 0.5[1 − sen(θ) + cos(θ)]
b) 0.5[1 + sen(θ) + cos(θ)]
c)0.5[1 − sen(θ) − cos(θ)]
d) 0.5[1 + sen(θ) − cos(θ)]

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Trigonometría
Quinto“A”
e) 0.8[1 + sen(θ) + cos(θ)]