Jhgscv

1. RUAS GARIS
BERARAH

2. KELOMPOK 7
Rusnah
20700121073
Nurul Azizah Amrillah
20700121078
Nurul Azmy
20700121084

3. Definisi
Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas
garis yang salah satu ujungnya dinamakan titik pangkal
dan ujung yang lain dinamakan titik akhir..​
Apabila A dan B dua titik, lambang 𝐴𝐵 kita gunakan sebagai
ruas garis berarah dengan pangkal A dan titik akhir B.
Perhatikan 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐵 melukiskan dua hal yang berbeda.
Seperti diketahui bahwa 𝐴𝐵 menggambarkan sinar atau
setengah garis yang berpangkal di A dan melalui B.
2022 Ruas Garis Berarah 3

4. Dua ruas garis 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 disebut kongruen
apabila AB = CD. Jika AB dan CD kongruen
ditulis 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷
Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah
𝐴𝐵dan 𝐶𝐷. Dalam membandingkan dua ruas
garis berarah 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷. tidaklah cukup, jika AB
= CD; kedua ruas garis berarah itu. Jika
demikian, dikatakan bahwa ruas garis berarah
𝐴𝐵 ekuivalen dengan ruas garis berarah 𝐶𝐷
yang ditulis sebagai( 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷)
2022 Ruas Garis Berarah 4
Definisi :
𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷 apabila 𝑆𝑃(A) = D dengan P titik tengah
𝐵𝐶.

5. TEOREMA
RUAS GARIS BERARAH

6. TEOREMA 9.1
Andaikan 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segiempat ABCD sebuah
jajargenjang jika dan jika 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷
Bukti :
Akan ditunjukkan jika 𝐴𝐵dan 𝐶𝐷 adalah ruas garis berarah yang tidak segaris, maka ABCD jajargenjang
⟺ 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷
Kasus 1 :
Akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajargenjang dengan 𝐴𝐵dan 𝐶𝐷 adalah 2 ruas garis berarah
yang tidak segaris, maka 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷
Dipunyai ABCD sebuah jajargenjang.
Diagonal – diagonal 𝐴𝐷 dan 𝐵𝐶 berpotongan di tengah – tengah, misalkan titik P. Dengan
demikian, 𝑆𝑝(A)= D, dengan P adalah titik tengah 𝐴𝐷 maupun 𝐵𝐶. Berdasarkan definisi,
keekivalenan diperoleh 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷.
2022 Ruas Garis Berarah 6

7. TEOREMA 9.1
• Kasus 2:
Akan ditunjukkan jika 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, maka ABCD jajargenjang dengan 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 adalah 2 ruas garis berarah yang
tidak segaris.
Dipunyai 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷
Misalkan titik P adalah titik tengah 𝐵𝐶.
Menurut definisi keekivalenan, maka 𝑆𝑝(A)= D.
Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD.
Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah segiempat ABCD.
𝐴𝐷 dan 𝐵𝐶 adalah diagonal – diagonal segiempat ABCD yang terbagi sama panjang di P (definisi jajargenjang).
Akibatnya segiempat ABCD sebuah jajargenjang.
Jadi, terbukti jika 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 adalah dua garis berarah yang tidak segaris, maka ABCD
jajargenjang. ⟺ 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷
2022 Ruas Garis Berarah 7

8. • Kasus 1 : p Є
𝐴𝐵
Karena, 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷 maka menurut definisi keekivalenan,
𝑆𝑝(A)= D dengan P adalah titik tengah 𝐵𝐶,
sehingga BP = PC.
Pilih titik P pada perpanjangan 𝐴𝐵
Karena 𝑆𝑝(A)= D, maka AP = PD
Diperoleh AP = PD⟺AB + BP = PC + CD
Karena BP = PC, maka AB + PC = PC + CD⟺AB = CD.
Buat garis yang melalui titik A dan D.
Diperoleh 𝐴𝐵 ⊂ 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 ⊂ 𝐶𝐷.
Karena 𝐴𝐵 segaris dengan 𝐶𝐷, maka 𝐴𝐵 segaris dengan
𝐶𝐷.
• Kasus 2 : p ∉ 𝐴𝐵
Karena 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷 maka AB tidak segaris.
Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD
jajargenjang.
Menurut karakteristik jajargenjang bahwa sisi – sisi
yang berhadapan sama panjang dan sejajar, akibatnya
AB = CD
Karena 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷, 𝐴𝐵 ⊂ 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 ⊂ 𝐶𝐷, maka 𝐴𝐵
//𝐶𝐷
2022 Ruas Garis Berarah 8
AKIBAT TEOREMA 9.1

9. TEOREMA 9.2
Diketahuiruas–ruas garisberarahAB,CD,danEF,maka:
1. 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷 (sifatrefleksii);
2. Akandibuktikan jika𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷 maka𝐶𝐷 ≗ 𝐴𝐵 (Simetrik)
3. Jika 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷 dan 𝐶𝐷 ≗ 𝐸𝐹,maka𝐴𝐵 ≗ 𝐸𝐹(sifattransitif)
2022 Ruas Garis Berarah 9

10. 2022 10
1. Akan Dibuktikan 𝐴𝐵 ≗ 𝐴𝐵 ( Sifat Refleksi )
Misalkan P adalah titik tengah 𝐴𝐵, maka Sp (A) = B
Menurut definisi keekuivalenan, diperoleh 𝐴𝐵 ≗ 𝐴𝐵
2. Akandibuktikanjika𝐴𝐵 ≗maka𝐶𝐷 ≗ 𝐴𝐵 (Simetrik)
MenurutTeorema9.1, jika 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷, makasegiempatABCDJajargenjang,diagonal-diagonal𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 𝐴𝐷
membagisamapanjangdiP,makaPadalahtitik𝐴𝐷. Akibatnya , 𝑆𝑃(C) = B dengan P titik tengah
𝐴𝐷, maka 𝐶𝐷 ≗ 𝐴𝐵

11. 3. Jika 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷 dan 𝐶𝐷 ≗ 𝐸𝐹, maka𝐴𝐵 ≗(sifat transitif)
Maka : 𝐴𝐵 ≗ 𝐸𝐹 ( Sifat Transitif )
Diperoleh 𝐴𝐵 ≗ 𝐶𝐷, maka 𝑆𝑝(A) = D dengan P titik tengah 𝐵𝐶
Diperoleh 𝐶𝐷 ≗ 𝐸𝐹, maka 𝑆𝑞(C) = F dengan Q titik tengah 𝐷𝐸
Menurut teorema 9.1 jika , 𝐶𝐷 ≗ 𝐸𝐹 maka segiempat ABCD Jajargenjang b
Sehingga 𝐴𝐵 ⫽ 𝐶𝐷 dan 𝐶𝐷 ⫽ 𝐸𝐹. Akibatnya 𝐴𝐵 ⫽ 𝐸𝐹.
Akibatnya AB = EF dan 𝐴𝐵 ⫽ 𝐸𝐹 .
Maka ABEF jajargenjang.
Menurut Teorema 9.1 jika ABCD Jajar genjang, maka 𝐴𝐵 ≗ 𝐸𝐹
2022 presentation title 11

12. 2022 Ruas Garis Berarah 12
TEOREMA 9.3
o Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah𝐴𝐵,
maka ada titik tunggal Q, sehingga 𝑃𝑄 ≗ 𝐴𝐵
o BUKTI :
o Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga 𝑃𝑄 ≗ 𝐴𝐵
o Andaikan ada titik Q Misalkan R adalah titik tengah 𝐵𝑃
dengan 𝑆𝑅(A) = Q, maka 𝐴𝐵 ≗ 𝑃𝑄
o Menurut teorema 9.2(2), maka 𝑃𝑄≐𝐴𝐵 Akan dibuktikan
Q tunggal.
o Andaikan ada titik T sehingga 𝐴𝐵 ≗ 𝑃𝑇 Karena R titik
tengah 𝐵𝑃, maka 𝑆𝑅(A) = T Setengah putaran A
terhadap R atau 𝑆𝑅(A) tunggal, sehingga 𝑅𝑄 ≗ 𝐴𝑅

13. Akibat 1 ;
Jika 𝑝1(𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2), dan 𝑃3(𝑥3, 𝑦3)
titik – titik yang diketahui , maka titik P (𝑥3 +𝑥2- 𝑥1, 𝑦3+𝑦2 − 𝑦1) adalah titik tunggal
sehingga 𝑃3𝑃 ≗ 𝑃1𝑃2.
Andaikan P bukan titik tunggal, maka 𝑃3𝑃 ≠ 𝑃1𝑃2 artinya 𝑃3𝑃 𝑃1𝑃2 ≠ 0
Diperoleh :
𝑃3𝑃 − 𝑃1𝑃2. = ( P-𝑃3) – ( 𝑃2 − 𝑃1)
= [(𝑥3 +𝑥2- 𝑥1, 𝑦3+𝑦2 − 𝑦1) - (𝑥3, 𝑦3)] – [(𝑥2, 𝑦2)- (𝑥1 , 𝑦1 )]
= [(𝑥3 +𝑥2- 𝑥1-𝑥3, 𝑦3+𝑦2 − 𝑦1- 𝑦3)] – [(𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 )]
= (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 ) - (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 ) = (0,0) = 0

14. Akibat 2 :
Jika 𝑃𝑛 = ( 𝑥𝑛,𝑦𝑛) , n = 1,2,3,4, maka 𝑃1𝑃2 = 𝑃3𝑃4
⟺ 𝑥2 - 𝑥1 = 𝑥4 - 𝑥3, 𝑦2 - 𝑦1 = 𝑦4 - 𝑦3
Akan dibuktikan jika dan hanya Jika 𝑃𝑛 = ( 𝑥𝑛,𝑦𝑛) , n = 1,2,3,4, maka 𝑃1𝑃2 = 𝑃3𝑃4 𝑥2 - 𝑥1 = 𝑥4 - 𝑥3, 𝑦2 - 𝑦1 = 𝑦4 - 𝑦3
P
karena 𝑃1𝑃2 = 𝑃3𝑃4, maka 𝑃1𝑃2 = 𝑃3𝑃4 , Sehingga 𝑃2- 𝑃1 = 𝑃4 - 𝑃3
[(𝑥2,𝑦2) - ( 𝑥1,𝑦1) ] = [(𝑥4𝑦4) - ( 𝑥3,𝑦3) ]
= (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 ) = (𝑥4 − 𝑥3, 𝑦4 − 𝑦3 )
menurut definisi sebuah titik pada aljabar, dua titik A (a,b) = B (c,d) jika dan hanya jika a=b dan c=d
diperoleh 𝑥2 - 𝑥1 = 𝑥4 - 𝑥3 dan 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3
Akan ditunjukkan 𝑥2 - 𝑥1 = 𝑥4 - 𝑥3 dan 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3 maka Jika 𝑃𝑛 = ( 𝑥𝑛,𝑦𝑛) , n = 1,2,3,4, maka 𝑃1𝑃2 = 𝑃3𝑃4
dipunyai 𝑥2 - 𝑥1 = 𝑥4 - 𝑥3, 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3 maka dapat dibuat titik ang sama misalkan R dan s, dengan R= (𝑥2 −
𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 ) dan S =(𝑥4 − 𝑥3, 𝑦4 − 𝑦3
Misalkan R =S (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 ) = (𝑥4 − 𝑥3, 𝑦4 − 𝑦3 )
[(𝑥2,𝑦2) - ( 𝑥1,𝑦1) ] = [(𝑥4𝑦4) - ( 𝑥3,𝑦3)]
𝑃2- 𝑃1 = 𝑃4 - 𝑃3
𝑃1𝑃2= 𝑃3𝑃4= 𝑃1𝑃2 = 𝑃3𝑃4
Jadi jika 𝑥2 - 𝑥1 = 𝑥4 - 𝑥3, 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3 maka jika 𝑃𝑛 = ( 𝑥𝑛,𝑦𝑛) , n = 1,2,3,4, maka 𝑃1𝑃2 = 𝑃3𝑃4

15. Mengalikan Ruas Garis
Berarah Dengan
Sebuah Saklar

16. Definisi:
Andaikan 𝐴𝐵 sebuah ruas garis berarah dan K suatu bilangan
real, maka K 𝐴𝐵 adalah ruas garis berarah 𝐴𝑃 sehingga P €
𝐴𝐵 dan AP = K AB jika k > 0
Apabila k<0 maka k 𝐴𝐵 adalah ruas garis berarah 𝐴𝑃 dengan P
anggota sinar yang berlawanan arah dengan 𝐴𝐵 sedangkan
AP= 𝑘 AB dikatakan bahwa 𝐴𝑃 adalah kelipatan 𝐴𝐵

17. CONTOH
Diketahui titik-titik A, B, C, dan D, tiap tiga titik tidak segaris ditanya:
a. Lukis titik D sehingga 𝐶𝐸 = 𝐴𝐵
b. Lukis titik F sehingga 𝐷𝐸 = 𝐵𝐴
c. 𝑆𝐴 (AB)
Penyelesaian
a. Misalkan titik D adalah titik tengah 𝐸𝐴 Sehingga 𝑆𝑃 (C)=B
2022
Ruas Garis Berarah
17

18. ‘ b. Misalkan titik F merupakan titik tengah 𝐸𝐵
c. 𝑆𝐴 (AB)
2022 Ruas Garis Berarah 18

19. presentation title 19
CONTOH
Diketahui A (2,1) , B (3,-4), C (-1,5) Tentukan:
a. D Sehingga CD = AB
b. E sehingga AE = BC
c. F sehingga AF =
1
2
AC
‘’

20. CONTOH
20XX presentation title 20

21. CONTOH
2022 Ruas Garis Berarah 21

22. THANK YOU 