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指数・対数（人間科学のための基礎数学）
- 2. お品書き • 基礎・基本的な話題 – 極端に大きな/小さな数の表現：指数と指数関数 – 便利な計算法：対数と対数関数 – 逆関数 • 実用/応用/発展的な話題 – 刺激量と感覚量の関係：心理物理学 – 速さと正確性のトレードオフ 2
- 3. 想像してみてください • 同じ種類の飲み物で、残り300 ml のと500 ml の ボトルがあります – 目をつぶってそっと手に持ったとき、どちらがどちらか わかりそうでしょうか？ 3 残り300 ml 残り500 ml
- 4. 想像してみてください • 同じ種類の飲み物で、残り1,800 ml のと2,000 ml の ボトルがあります – 目をつぶってそっと手に持ったとき、どちらがどちらか わかりそうでしょうか？ 4 残り1800 ml 残り2000 ml
- 5. 想像してみてください • 2人の戦闘力値は下記の通りです。いい勝負になりそう でしょうか？（数字だけで考えてください） クウラ機甲戦隊 サウザー 戦闘力170,000 クウラ機甲戦隊 ネイズ 戦闘力163,000 戦闘力差 7,000 （画像削除） （ドラゴンボールネタ）
- 6. 想像してみてください • 2人の戦闘力値は下記の通りです。いい勝負になりそう でしょうか？（数字だけで考えてください） バーダック 戦闘力10,000 ピッコロ 戦闘力3,500（当時） 戦闘力差 6,500 （画像削除） （ドラゴンボールネタ）
- 7. 感覚の不思議 • ジュースの量について – どちらも差は200 mlで同じですが、 1800 mlと2000 mlのときはなぜ自信がなくなるのでしょう？ • 戦闘力について – 差で言えばバーダック vs ピッコロの方が小さいのに、 サウザー vs ネイズの方が良い勝負になりそうなのは なぜなんでしょう？ 7
- 8. この比較なら？ • 300 ml vs 500 ml と 1200 ml vs 2000 ml • バーダック vs ピッコロ と 天津飯 vs 餃子 8 戦闘力10,000 戦闘力3,500 戦闘力 1,830 戦闘力 610 同じぐらいの自信度？ 同じぐらいの実力差？ （画像削除） （画像削除）
- 9. 人間の感覚は「倍率」がベース • なので直感に従って戦闘力値を倍率で上げると、やがてインフレする キャラクター 戦闘力 農夫 5 悟空（初登場） 10 クリリン（第21回天下一武闘会） 70 ジャッキー・チュン 120 悟空（vs 天津飯） 180 悟空（vs ピッコロ大魔王） 260 悟空(vs ラディッツ） 925 ピッコロ（vs ラディッツ） 1480 ナッパ 4000 悟空（vs ベジータ） 8000 ベジータ（vs Z戦士） 18000 ドドリア 22000 ザーボン 23000 キャラクター 戦闘力 ネイル 42000 ベジータ（vs リクーム） 30000 リクーム 52000 ギニュー 120000 悟空（vs ギニュー） 180000 フリーザ（第1形態） 530000 フリーザ（第2形態） 1200000 フリーザ（第3形態） 1500000 ベジータ（vs フリーザ最終形態） 2500000 悟空（vs フリーザ） 3000000 フリーザ（最終形態50％） 60000000 フリーザ（最終形態100％） 120000000 悟空（スーパーサイヤ人） 150000000 出典：http://dragonballbp.web.fc2.com/index.html
- 10. 生物の卵 （数mm～数cm） 生物 （数cm～数十m） 山 （数百～数千m） 惑星 （直径数千～数万km） 太陽系（半径15兆km） 細菌 （数マイクロメートル） （ﾏｲｸﾛ = ﾐﾘの1/1000) ウイルス （数十ナノメートル） （ﾅﾉ = ﾏｲｸﾛの1/1000） 原子 （0.1ナノメートル） 極端な大きさ（小ささ）の数 • 宇宙のスケールの幅、広すぎる – 極端に小さなものもあれば、 極端に大きなものもある – ゼロがいくつあっても足りない – ゼロをつけすぎるとわかりづらい – どうにかして扱いやすくする方法が必要
- 11. 指数 • 数の右肩に数を重ねて累乗（「べき」ともいう）を表現 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎 (例) – 102 = 10 × 10 = 100 – 0.34 = 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3 = 0.00081 – 216 = 2 × 2 × 2 × … （全部で16個かける） = 65536 – 累乗はすごい勢いで大きく／小さくなる（指数的爆発） • コンピュータ等では10の累乗を「E+3」などと表して 大きな数を表示することがある （例：Excelで2100 を計算すると 1.27E+30 と表示 ← 1.27 x 1030 ということ） 11 (全部で 𝑛 個の 𝑎 )
- 12. 補足：SI接頭辞（補助単位） • 単位の前につけてスケール感（倍率）を表す – センチメートルのセンチ（c）、デシリットルのデシ（d）などもこの仲間 12 接頭辞 記号 倍率 漢数字 英語 テラ T 1012 一兆 trillion ギガ G 109 十億 billion メガ M 106 百万 million キロ K 103 千 thousand 100 = 1 一 one ミリ m 10-3 一毛 thousandth マイクロ μ 10-6 一微 millionth ナノ n 10-9 一塵 billionth ピコ p 10-12 一漠 trillionth
- 13. 指数法則 • 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑚, 𝑛を任意の自然数とするとき 1. 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 2. 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 3. 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 4. 𝑎𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛 5. 𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛 …が、それぞれなりたつ （証明略：m, nに適当な数値を入れて掛け算で書いて、 aとbの個数を数えてみよう） 13
- 14. 指数の拡張 • 次のように定義すれば、指数法則のm, nは ｢実数｣ でOK – 指数がゼロ – 指数が負の数 – 指数が分数（有理数） 14 𝑎0 = 1 𝑎0 = 𝑎1−1 = 𝑎1 ÷ 𝑎1 = 1 とでも考えるとよい 𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 × 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛−𝑛 = 𝑎0 = 1 であるべきなので、 𝑎𝑛 × 𝑎−𝑛 = 1 の両辺を𝑎𝑛 で割って 左のように定義するのが自然 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑎𝑚 特に 𝑎 1 𝑛 = 𝑛 𝑎 𝑎 𝑚 𝑛 𝑛 = 𝑎 𝑚 𝑛 ×𝑛 = 𝑎𝑚 であるべきなので、 𝑎 𝑚 𝑛 は 「𝑛 乗したら 𝑎𝑚 になる数」 （つまり𝑎𝑚 の 𝑛 乗根）と定義するのが自然
- 15. 指数の拡張（続き） • 指数が無理数 – もはや「回数」で考えることができないが、 たとえば 2 の近似値を用いて 2 2 の近似値を考えると… • 何らかの値に収束していくのがわかる → この値を 2 2 と定める 15 2 の近似値 （有理数） 分数で表示 2 2 の近似値 1.4 14/10 2.6390158… 1.41 141/100 2.6573716… 1.414 1414/1000 2.6647497… 1.4142 14142/10000 2.6651191… 1.41421 141421/100000 2.6651376… 1.414213 1414213/1000000 2.6651431… 1.4142135 14142135/10000000 2.6651440… 1.41421356 141421356/100000000 2.6651441… ・・・ 2.635 2.640 2.645 2.650 2.655 2.660 2.665 2.670 1 2 3 4 5 6 7 8 2^√2の近似値 √2の近似値の小数点以下の桁数 2 の近似値の精度（小数点以下の桁数） 対応する 2 2 の近似値
- 16. 指数関数 • 「𝑎を底とする指数関数」 – 𝑎を正の定数*として、𝑥 はすべての実数を取る変数とするとき、 関数 𝑦 = 𝑎𝑥 を、𝑎を底とする指数関数と言う。 * 負の𝑎は考えない – 定義域は実数全体、値域は正の実数全体 – グラフは点（0, 1）を通り、 𝑥 軸が漸近線 – 𝑎 > 1のとき、𝑥 が増加すると 𝑦 も増加 – 0 < 𝑎 < 1のとき、𝑥 が増加すると 𝑦 は減少 – 𝑎 > 1 の場合、遅かれ早かれ すごい勢いで増え始めるのが最大の特徴 （指数的爆発） • たとえば1.1でも100乗すれば13000を越える → 101乗になったときは1300以上増える！ – 底が1未満の場合は、あるときまでは 急激に減少するが、そこからは なかなか減らなくなる 16 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 1 2 𝑥 40 35 30 25 20 15 10 5 0 40 35 30 25 20 15 10 5 0 𝑦 𝑦 -10 -5 0 5 𝑥 -5 0 5 10 𝑥
- 17. 補足：負の数を底とする指数関数 • よくある質問 – 虚数を使えば何とかなるのでは？ • 回答（なんとかなりません） – たとえば −1 1 2 は 𝑖 ？ それとも −𝑖 ？（ 𝑖 は虚数単位） – あと複素数の範囲で考えるとすると、 2 1 3 なんかも 3 2 ？ それとも 3 2 × −1+ 3𝑖 2 ？ それとも 3 2 × −1− 3𝑖 2 ？ ってなってしまう（n乗根がn個考えられる） – つまり虚数を考え出すと「1つのxにただ1つのyが対応」という 関数の原則が崩れるので、指数関数では負の数の底は考えない 17
- 18. 例題（電卓で「だいたい」の答えを求めてみよう） • 複利の借金 – 借金に10日で1割の利息が付くとき、借金が元の2倍を 越えるまで何日かかるか（複利＝利息にも利息が付くものとする） （利息は1日単位で増えていくものとする） • パンデミック – ある伝染病の患者数が10日で2倍になるとき、患者数が60億人を 超えるのに何日かかるか (最初の患者は1000人、不治の病とする) • 放射性元素の半減期による年代測定 – 炭素14という放射性元素の個数は、5730年ごとに半減する。 ある遺跡から出土した人骨に含まれる炭素14の割合は、 現在生きている人の骨に含まれる割合の1/25であった。 遺跡のこの人骨は、およそ何年前の人のものと考えられるか？ 18
- 19. 例題（「だいたい」の答え） • 複利の借金 1.1𝑥 > 2 となる 𝑥 を探してみると、 1.17 ≒ 1.95 、 1.18 ≒ 2.14 つまり70日目～80日目のどこかで2倍を超える • パンデミック 1000 × 2𝑥 > 60億 つまり 2𝑥 > 600万となる 𝑥 を探すと、 222 ≒419万、 223 ≒838万 なので、220日～230日目のどこかで60億を超える • 放射性元素の半減期による年代測定 1 2 𝑥 = 1 25 となる 𝑥 を考えると、 1 2 4 = 1 16 , 1 2 5 = 1 32 なので、 5730×4～5、つまり22,920～28,650 年前のあたりと考えられる • もっと正確に知る方法はないだろうか？ → 対数の出番 19
- 20. 対数 • 「𝑎を底とする𝑝の対数」 – 指数関数のグラフから、 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1のとき、正の数𝑝に対して 𝑝 = 𝑎𝑥 となる 𝑥 の値（ 𝑞 とする）を定めることができる。 – この 𝑞 を log𝑎 𝑝 で表し、 「𝑎を底とする𝑝の対数」という。 – 𝑝 をこの対数の「真数」という。 𝑝 は常に正の数である。 – つまり、 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 のとき – また、log𝑎 1 = 0 、 log𝑎 𝑎 = 1 であることはただちにわかる （指数法則から考えてみよう） 20 𝑦 = 2𝑥 40 35 30 25 20 15 10 5 0 𝑦 -10 -5 0 5 𝑥 𝑞 = log𝑎 𝑝 ⇔ 𝑝 = 𝑎𝑞 という定義 （例） 2𝑥 = 19 となる 𝑥 値は不明だが存在 ↓ この 𝑥 を log2 19 と 表すことにしよう という定義 つまり 2log2 19 = 19
- 21. 指数と対数の関係 まとめ 21 𝒂𝒒 = 𝒑 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑 = 𝒒 𝟐𝟑 = 𝟖 ⇔ 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟖 = 𝟑 𝑎 底 底 2 𝑝 （用語無し?） 真数 8 𝑞 指数 対数 3 考え方 「𝑎の𝑞乗は𝑝です」 「𝑎を何乗したら 𝑝になるかというと、 𝑞乗です」 「2の3乗は8です」 「2を何乗したら 8になるかというと、 3乗です」 指数と対数は同じもの。視点によって呼び方が変わってるだけ
- 22. やらしい（？）問題 • 問： 𝑎log𝑎 𝑝 の値を求めよ – ヒント：1つ前のスライドと2つ前のスライド 22
- 23. やらしい（？）問題 • 問： 𝑎log𝑎 𝑝 の値を求めよ • 答え： 𝑝 （理由：そもそもそれが log𝑎 𝑝 の定義なので） （もう少し親切な説明） 𝑞 = log𝑎 𝑝とおくと、対数の定義から𝑎𝑞 = 𝑝 いま𝑞 = log𝑎 𝑝とおいていたので、 𝑎log𝑎 𝑝 = 𝑝 だったということに結局なる 23
- 24. 対数の計算で利用できる性質 • 対数の性質 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑚 > 0, 𝑛 > 0 として) 1. log𝑎 𝑚𝑛 = log𝑎 𝑚 + log𝑎 𝑛 2. log𝑎 𝑚 𝑛 = log𝑎 𝑚 − log𝑎 𝑛 3. log𝑎 𝑚𝑥 = 𝑥 log𝑎 𝑚 • 底の変換公式：𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0, 𝑐 ≠ 1 のとき log𝑎 𝑏 = log𝑐 𝑏 log𝑐 𝑎 log𝑎 𝑏 × log𝑐 𝑎 = log𝑐 𝑏と変形して対数の定義と上記の性質を 利用すれば、等式が成り立つことがわかる （ヒント： log𝑎 𝑏 を性質3. の 𝑥 と考える） 24 ← 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ← 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 ← 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
- 25. 常用対数と自然対数 • 常用対数 – 10を底とする対数 log10 𝑥 を常用対数という – 底の10を省略して log 𝑥 と書くことがある – 数学や理科の教科書には常用対数表が載っていることがある – 累乗の指数が大きいときや大きな数同士の掛け算で、 桁数やおよその数を求めるのに便利 • 自然対数 – 𝑒 = 2.7182 …（無理数） を底とする対数 log𝑒 𝑥 を自然対数という – 底の 𝑒 を省略して log 𝑥 とか ln 𝑥 と書くことがある – 指数関数・対数関数の微分・積分を考えるときなどに大活躍 25
- 26. 常用対数表 • log10 𝑥 の値の一覧表 – 数学や理科の教科書・参考書の巻末に載ってることがある – たとえば log10 1.44 の値は、およそ 0.1584 とわかる（黄マーカー部） – （念のため） つまり 100.1584 ≒ 1.44 ということ http://emath.s40.xrea.com/ydir/Wiki/index.php?%BE%E F%CD%D1%C2%D0%BF%F4%C9%BD ・・・
- 28. 常用対数を用いた大きな数の計算 問： 530は何桁の数か。また、最上位の数も求めよ。 （考え方） log10 530 = 30 × log10 5 常用対数表から log10 5 ≒ 0.6990なので、 log10 530 ≒ 30 × 0.6990 = 20.970 よって対数の定義から 530 ≒ 1020.970 = 100.970 × 1020 さらに常用対数表から log10 9.00 = 0.9542, log10 9.99 = 0.9996 つまり対数の定義から 9.00 < 100.970 < 9.99 したがって 530 ≒ 100.970 × 1020 = 9. … × 1020 ∴ 530 は 21桁の数で、最上位の数は9 （90垓台の数） （※ 10𝑛 は 𝑛 + 1 桁の数であることに注意）
- 29. 例題ふたたび（対数を使い、もっと詳しく求めてみよう） • 複利の借金 1.1𝑥 > 2 となる 𝑥 を探してみると、 1.17 ≒ 1.95 、 1.18 ≒ 2.14 つまり70日目～80日目のどこかで2倍を超える • パンデミック 1000 × 2𝑥 > 60億 つまり2𝑥 > 600万となる 𝑥 を探すと、 222 ≒419万、 223 ≒838万 なので、220日～230日目のどこかで60億を超える • 放射性元素の半減期による年代測定 1 2 𝑥 = 1 25 となる 𝑥 を考えると、 1 2 4 = 1 16 , 1 2 5 = 1 32 なので、 5730×4～5、つまり22,920～28,650 年前のあたりと考えられる 答えはスライドの末尾
- 30. 対数関数 • 「𝑎を底とする対数関数」 – 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1とするとき、関数 𝑦 = log𝑎𝑥 （ 𝑥 > 0）を、 𝑎を底とする対数関数と言う – 定義域は 正の実数全体、値域は実数全体 – グラフは点（1, 0）を通り、 𝑦 軸が漸近線 – 𝑎 > 1のとき、𝑥 が増加すると 𝑦 も増加 – 0 < 𝑎 < 1のとき、𝑥 が増加すると 𝑦 は減少 𝑦 = log2 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 = log1/2 𝑥 𝑦 𝑥 （〇の点・・・座標を定義に照らして確認しよう）
- 31. 補足：逆関数 • 2つの関数が互いに 𝑥 と 𝑦 を入れ替えた形であるとき、 これらは互いに逆関数であるという – 逆関数同士のグラフは、直線 𝑦 = 𝑥 について対称になる （グラフを描いた紙を直線 𝑦 = 𝑥 に沿って折ると軸ともども重なる） （例1） ① 𝑦 = 2𝑥 + 6 と ② 𝑦 = 1 2 𝑥 − 3 （②を変形すると 𝑥 = 2𝑦 + 6） （例2） ③ 𝑦 = 𝑎𝑥 と ④ 𝑦 = log𝑎 𝑥 （④は対数の定義から 𝑥 = 𝑎𝑦 ） （例1） （例2） 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 = 2𝑥 + 6 𝑦 = 1 2 𝑥 − 3 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = log2 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥
- 32. 実用・応用・発展編 32
- 33. 心理物理学 (精神~, 英: psychophysics) • 外的刺激の量と内的感覚との対応関係を測定し、 感覚を定量的に計測しようとする方法論 – 感覚は直接的な測定が困難で、感覚があるかないか、 他の刺激からの感覚より大きいか小さいか、ぐらいしかわからない – そこで、感覚の差や有無を知覚できるギリギリの刺激量を測り、 それによって感覚の変化と刺激量の関係を定式化する – エルンスト・ヴェーバー（1795 - 1878）や グスタフ・フェヒナー（1801 - 1887）らが 上記の方法のパイオニアとして知られる ヴェーバー フェヒナー 写真はwikipediaから
- 34. 実験でわかった刺激量と感覚量の関係 • ヴェーバーの法則 – 刺激の弁別閾は、基準刺激の強度に比例する： 𝛥𝑅 𝑅 = 𝐶 – 例：最初100だった刺激を110まで増やして初めて気づくとき、 最初200だった刺激は220まで増やさないと気づかない • フェヒナーの法則 – 刺激量の強度𝑅が変化するとき、これに対応する感覚量𝐸は 𝐸 = 𝐶 log 𝑅 • 例：最初100だった刺激を200に増やしたとき感じる変化量と、 最初200だった刺激を400に増やしたとき感じる変化量は同じ 34 （Cはある定数） （Cはある定数） の関係となる
- 35. 具体例 • 星の明るさの等級（〇等星） – 1等級差＝2.5倍の光度差（比） – 等級は大昔からつけられていたが、 19世紀に1等星の明るさ（光度）が 6等星の約100倍だったとわかり、 5 100 ≒ 2.5を1等級分の倍率と再定義 • 音の高さ・大きさ – 1オクターブの幅＝周波数が2倍 → 半音の幅は 12 2 ≒ 1.06倍に相当 ※ 周波数 … 1秒あたりの振動回数 （音の正体は空気圧の振動） – 音の大きさ「dB(デシベル)」 健康な人が聞きとれる一番弱い音の 平均的な振幅（音圧）を0 dB、 その10倍を20 dB、100倍を40 dB、 1000倍を60 dB … と定めてある 周波数 2 倍 埼玉県深谷市環境課（2014）資料「騒音の大きさの目安」より 6等星 5等星 4等星 3等星 2等星 1等星 ×2.5 ×2.5 ×2.5 ×2.5 ×2.5 明るさ100倍 5 乗 根 で 再 定 義 120 dB 飛行機のエンジン近く 100 dB 電車が通るときのガード下 80 dB 走行中の電車内 60 dB 走行中の自動車内 40 dB 図書館内 20 dB 木の葉の触れあう音
- 36. 蛇足：ドラゴンボールの戦闘力 • 倍率で設定する限り、インフレを免れることはできない（指数的爆発） キャラクター 戦闘力 農夫 5 悟空（初登場） 10 クリリン（第21回天下一武闘会） 70 ジャッキー・チュン 120 悟空（vs 天津飯） 180 悟空（vs ピッコロ大魔王） 260 悟空(vs ラディッツ） 925 ピッコロ（vs ラディッツ） 1480 ナッパ 4000 悟空（vs ベジータ） 8000 ベジータ（vs Z戦士） 18000 ドドリア 22000 ザーボン 23000 キャラクター 戦闘力 ネイル 42000 ベジータ（vs リクーム） 30000 リクーム 52000 ギニュー 120000 悟空（vs ギニュー） 180000 フリーザ（第1形態） 530000 フリーザ（第2形態） 1200000 フリーザ（第3形態） 1500000 ベジータ（vs フリーザ最終形態） 2500000 悟空（vs フリーザ） 3000000 フリーザ（最終形態50％） 60000000 フリーザ（最終形態100％） 120000000 悟空（スーパーサイヤ人） 150000000 出典：http://dragonballbp.web.fc2.com/index.html
- 38. データの対数変換 • データ（𝑥とする）の値の範囲が広すぎるときは、 log𝑎 𝑥 をとってやると比べやすいことがある （対数変換） – 対数変換により、指数関数的な変化を1次関数的な変化として表せる – フェヒナーの法則の式は、「ヒトは物理量を対数変換してから 認識している」 と言ってるようなものと捉えることができる 38 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 log 10 (戦闘力)
- 39. 補足：対数変換の底は何？ • なんでもいい – 底の変換公式を考えると、底を変えてもすべての値が 何倍かに変化するだけ（比例定数がつくだけ）とわかる • （例）：一度2とした底を10に変換すると… log2 𝑥 = log10 𝑥 log10 2 ≒ log10 𝑥 0.3010 つまり log10 𝑥 ≒ 0.3010 × log2 𝑥 – （筆者の知る限り） 多く使われるのは 10 と 2 と 𝑒 （自然対数の底） • 10だと元の数の桁数やおよその値がわかりやすいのが便利 • 2 は情報学やコンピュータ関係でしばしば（2進数などとの関係から） • 𝑒 で統計モデルの関数を作れば微積分が必要なときに楽 39
- 40. 補足：対数目盛 • グラフの軸の方を対数変換するという手も – メリット： そのままの値で表示できる – デメリット： 端数の目盛りが等間隔でないのでややわかりにくい – 片方の軸だけ対数目盛にする「片対数グラフ」と 両方の軸を対数目盛にする「両対数グラフ」がある • y軸を対数にした片対数グラフでは、指数関数が直線になる • 両対数グラフでは、𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 型のグラフが直線になる 40 𝑦 = 3𝑥2 普通の目盛のグラフ↓ 普通の目盛のグラフ↓ 片対数グラフ↓ 両対数グラフ↓ 𝑦 = 𝑥2 𝑦 = 𝑥2 𝑦 = 1.2𝑥 𝑦 = 1.2𝑥
- 41. 速さと正確性のトレードオフ • 速さと正確性のトレードオフ – 反応や動作は速くしようとするほど不正確になり、 正確にしようとするほど遅くなる （これだけなら当たり前っぽいが…） • フィッツの法則 （上記トレードオフを統計モデルとして定式化） – 左右の的をペンで交互にタップする運動課題で、タップ間隔の 平均時間 (MT) と的間の距離 (2A) 、的の幅 (W) の関係は 𝑀𝑇 = 𝑎 + 𝑏 log2 2𝐴 𝑊 でおよそ表せた（𝑎, 𝑏 は定数） (Fitts, 1954, J. Experiment. Psychol. から著者作成) （←的間の距離） 2A（的間の距離） W （的の幅）
- 42. 補足：なぜ対数関数でモデル化？ • 対数関数は「 x が増えるほど y が増えにくくなる関数」 – 「的が1大きくなる」ことが「簡単さ」に与える影響は、 元の的が大きくなるほど小さくなっていく • 元々 1 cm だったのが 2 cm になれば、だいぶ簡単になる • 元々 100 cm だったのが 101 cm になっても、ほぼ変わらない – 対数関数のふるまいは、上記のような性質と相性が良い • 2を底とする対数関数で表現することで、ヒトの運動制御の理論と 情報学の理論とをつなげることもできた • フィッツの法則はコンピュータ等の操作画面の設計や、 身体運動の「上手さ」の分析などで利用されている 42
- 43. まとめ • 極端に大きな/小さな数の世界 – 書き表すには指数が便利 – イメージ・計算・比較するには対数が便利 – 指数と対数は同じものの表と裏 – 指数関数と対数関数は互いの逆関数 • 指数・対数はヒトの感覚を理解するのに便利 – ヒトは指数関数的な変化を1次関数的な変化として感じる – 「速さと正確性のトレードオフ」を量的に捉えるのにも使える 43
- 44. 役立ちそうな文献の紹介 • 大雑把なイメージをつかみたい人へ – 佐藤敏明「図解雑学 指数・対数」ナツメ社 – 科学雑誌Newton「対数の威力」株式会社ニュートンプレス • 基本的な知識・考え方を学びたい人へ – 高校・高専の教科書・参考書（数学II？） • さらに理解を深めたり解析・実験を試したりしたい人へ – 岡市ほか (2014) 「心理学概論」第3章 第1節 感覚 pp.44-48 ナカニシヤ出版 – 中野靖久. (1995). 心理物理測定法. Vision, 7(1), 17-27. – Schmidt, R. A. (1994) 「運動学習とパフォーマンス」 第5章 第2節 急速運動の正確性を決定する要因 pp. 108-124 大修館書店 44
- 45. 例題の答えは次ページから
- 46. 例題の答え1 • 複利の借金 左辺の常用対数： log10 1.1𝑥 = 𝑥 × log10 1.1 ≒ 0.0414𝑥 右辺の常用対数： log102 = 0.3010 なので、 0.0414𝑥 > 0.3010 となる最小の整数 𝑥 を探せばよい（𝑥 > 7.27 …から、73日目とわかる） （吉本新喜劇の「今返してもろたんは利息分だけや」がリアリティを帯びますね） （借金は計画的に） 46
- 47. 例題の答え2 • パンデミック 左辺の常用対数： log10 2𝑥 = 𝑥 × log10 2 ≒ 0.3010𝑥 右辺の常用対数： log10600万 = log10 6 × 106 = log10 6 + log10 106 = 0.7782 + 6 なので、 0.3010𝑥 > 6.7782 となる 𝑥 を探せばよい（𝑥 > 22.51 …から、225～226日目とわかる） ちなみに…患者が1人のときから数えても、 210 = 1024なので、 100日ほどでこの問題の初期条件（患者数1000人）に追いつく。 また、患者数が60億人になったら次の10日で（上限を無視すれば）120億人。 つまり「10日で2倍」を放っておくと1年もかからずに地球人全員が感染する 47
- 48. 例題の答え3 • 放射性元素の半減期による年代測定 左辺の常用対数： log10 1 2 𝑥 = 𝑥 × log10 1 2 = 𝑥 × log10 1 − log10 2 = 𝑥 × 0 − 0.3010 = −0.3010𝑥 右辺の常用対数： log10 1 25 = log10 1 − log10 25 = 0 − log10 52 = −2 × log10 5 = −1.3980 −0.3010𝑥 = −1.3980 となる 𝑥 を考えればよい（𝑥 = 4.644 … から、5,730をかけて約2万6千年とわかる） 48