過去に某大学某学部の1回生向け授業のために作ったスライドを改変したものです。 文系出身で数学IAしか習っていない学生も少なからずいたため、高校数学の範囲の説明も含んでいます（親切な説明ではないかもしれませんが）。

1. 人間科学のための基礎数学（1）
統計
作者： @masa_hiroo_kano （twitter ID）

2. 目次
• 統計学とは
• 基礎・基本的な話題
– 全体的な傾向をつかむ：度数分布、代表値
– データのばらつきを調べる：分散、標準偏差
• 実用/応用/発展的な話題
– 偏差値とは何だったのか
– 標準偏差とヒストグラム
– 「この差は偶然ではない」をどう示す
2

3. 統計学
• 集団現象を数量的に観察・把握し、統計データを処理・分析
する方法に関する学問
• 自然現象・社会現象の別にかかわりなく、
さらに抽象的な数値の集団をも含めて、
集団からひき出された数量的情報としての統計数字
（数字データ）を処理・分析する統計的方法を研究
"統計学", 日本大百科全書（ニッポニカ）, JapanKnowledge,
https://japanknowledge.com , (参照 2018-09-14)
3

4. データの整理
• 生データ
– 取ったそのままのデータ
– 「𝑖 番目に取れたデータ」を
「 𝑥𝑖 」と書くことがある
– 𝑖 = index 印、目次（の番号）
• 度数分布表
– データを階級に分けて表にまとめる
– 階級を「ビン(bins)」と呼ぶことも
– 𝑓 ＝frequency 度数、頻度
• ヒストグラム
– 度数分布表を柱状グラフで図示
– 各階級の度数を面積で表す
4
例：1分間の心拍数（生データ40人分）
79, 57, 61, 74, 52, 60, 54, 58, 62, 75, 81,
68, 66, 59, 68, 72, 58, 69, 70, 73,63, 66,
75, 61, 73, 67, 65, 77, 70, 69, 64, 60,
73, 71, 67, 68, 78, 65, 77, 62
階級 階級値x 度数f
51～55 53 2
56～60 58 4
61～65 63 6
66～70 68 9
71～75 73 6
76～80 78 4
81～85 83 1
0
2
4
6
8
10
度数
心拍数（bpm）

5. 度数分布表・ヒストグラムの作成
• ① 階級の個数を決める
– データの個数に応じて
– 目安（あくまで目安）
→ スタージェスの公式
– （いまN = 40なのでとりあえず6個前後かな？）
• ② 階級の幅・境界値を決める
– ①の目安や値の範囲、場合によっては見やすさなども考慮しつつ
– 52～81に分布、6個前後の階級
– 切りよく51～85の5刻み・7階級でいってみよう
（で、出来上がったのが前ページの度数分布表とヒストグラム）
5
例：1分間の心拍数（生データ40人分）
79, 57, 61, 74, 52, 60, 54, 58, 62, 75, 81,
68, 66, 59, 68, 72, 58, 69, 70, 73,63, 66,
75, 61, 73, 67, 65, 77, 70, 69, 64, 60,
73, 71, 67, 68, 78, 65, 77, 62
𝑘 = log2 𝑁 + 1 （k: 階級数、N: データ数）

6. 代表値
• 全体の特徴を1つの代表的な値で表すためのもの
– 平均値（Mean、 ҧ
𝑥）
• データの総合計÷全体の個数（算術平均、相加平均）
– 中央値（Median）
• データを大きい順（小さい順）に並べたとき、
ちょうど中央に来る値
• データが偶数個の場合は真ん中2つを足して2で割った値
– 最頻値（Mode）
• データの中で最も多く出現した値
• アンケートの回答番号など、量でないデータを扱うとき
6

7. 中央値を使いたい場合の例
• データによっては平均値が「代表」としてふさわしくないことも
https://www.mhlw.go.jp/toukei/saikin/hw/k-tyosa/k-tyosa09/2-2.html
https://www.soccer-money.net/ より（2021/8/14閲覧）
サッカーJ1リーグ・ヴィッセル神戸
2021年の選手年俸（全28名）
（平均値1億6830万円 中央値1500万円）
← 平均値が「真ん中」より
けっこう高い値になってる
さらにもっと極端な例 →
平成21年国民生活基礎調査
・・・

8. 補足：いろいろな平均値
• 加重平均
– テストの平均点がA組は40点、B組は50点、C組は60点だった。
この3クラス全体としての平均点は何点か？
なお、A組には30人、B組には35人、C組には40人いる。
• 幾何平均（相乗平均）
– ひどいインフレが起こり、物価が9～10月で2倍、10～11月でさらに4倍、
11月～12月でさらに8倍になった。9～12月の間、物価は1ヶ月あたり
平均何倍になった？
• 調和平均
– 120kmの道のりを行きは時速80km, 帰りは時速60kmで走った。
平均の速さは時速何km ?
8

9. 加重平均
• テストの平均点がA組は40点、B組は50点、C組は60点だった。
この3クラス全体としての平均点は何点か？
なお、A組には30人、B組には35人、C組には40人いる。
– （40+50+60)÷3 = 50 とするのは間違い
– クラスの人数（= 「重み」）の違いを加味して平均を考える必要
– 全部で 30+35+40 = 105人いるので
40 ×
30
105
+ 50 ×
35
105
+ 60 ×
40
105
=
40 × 30 + 50 × 35 + 60 × 40
30 + 35 + 40
A組合計点 B組合計点 Ｃ組合計点
3組全員の合計点
…という計算になる
3組全員の合計人数
「重み」

10. 補足の補足：σ
• 和の記号：「シグマ」と読む
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑥𝑖 を 𝑖 = 1のやつ(𝑥1)から𝑖 = 𝑛 (𝑥𝑛)のやつまで
全部足しましょう、という意味（iはindexのi）
算術平均（データの総合計÷全体の個数）は
1
𝑛
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
加重平均ならデータ𝑥𝑖に対応する重みを𝑤𝑖とすると
𝑥1𝑤1 + 𝑥2𝑤2 + 𝑥3𝑤3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑤𝑛
𝑤1 + 𝑤2 + 𝑤3 + ⋯ + 𝑤𝑛
=
σ 𝑥𝑖𝑤𝑖
σ 𝑤𝑖
と書ける
（難しく見えてしまいますが、頑張って慣れましょう）
と書ける

11. 幾何平均（相乗平均）
• ひどいインフレが起こり、物価が9～10月で2倍、10～11月でさ
らに4倍、11月～12月でさらに8倍になった。9～12月の間、
物価は1ヶ月あたり平均何倍になった？
– （2+4+8) ÷ 3 = 4.66… 倍 とするのは間違い
– 9～12月で物価は 2 x 4 x 8 = 64倍になったわけだが、
「平均4.66…倍」が3回だとすると
4.66… × 4.66… × 4．66… = 101.62…倍
（計算が合わない）
– 足し算ではなく「元の物価に3回かけ算 ( x 2 x 4 x 8) して64倍」
なので、
11
3
2 × 4 × 8
…という計算になる（答えは「4倍」）

12. 補足の補足：𝑛
𝑥
• 「エックスのエヌ乗根」と読む
– n乗（n回自分をかける）したらxになる数のこと
• 8の3乗根は2
3
8 = 2
• 216の3乗根は6
3
216 = 6
• 65536の16乗根は2
16
65536 = 2
– 特に2乗したらxになるのが平方根（ 𝑥）
– n個の数値の幾何平均を一般的な式で書くと
12
𝑛
𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 ∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛

13. 調和平均
• 120kmの道のりを行きは時速80km, 帰りは時速60kmで走っ
た。平均の速さは時速何km ?
– (80+60) ÷2 = 70 はやっぱり間違い
– 行き帰りとも時速70kmとして計算すると、合計の時間は
120÷70 × 2 = 3.428…
– 行き帰り別に計算すると 120÷80 + 120÷60 = 3.5 計算が合わない
– 実際に起こったはずの「合計240kmを合計3.5時間で走った」に
即した形で平均の速さを求めてやるのが合理的。つまり
– 定義に比率が関わる量を扱うときなどに必要になることがある
13
120 + 120
120
80
+
120
60
=
240
3.5
= 68.57 …
…という計算になる

14. 補足の補足：調和平均の一般的な式
• n個の数値の調和平均は次の式で表せる：
𝑛
1
𝑥1
+ 1
𝑥2
+ 1
𝑥3
+ ⋯ + 1
𝑥𝑛
– 先ほどの道のりと速さの例の一般化 「𝑎 kmの道のりを𝑛回、
それぞれ時速 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3, … 𝑥𝑛 km で走った」 で考えると、
調和平均 =
合計距離 𝑎𝑛
かかった時間
かかった時間 =
𝑎
𝑥1
+
𝑎
𝑥2
+
𝑎
𝑥3
+ ⋯
𝑎
𝑥𝑛
= 𝑎
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+
1
𝑥3
+ ⋯
1
𝑥𝑛
なので、𝑎が約分されて一番上の式になる
14
で、

15. 散布度
• データの散らばり・広がり具合を表す数値
– 平均値だけではデータの概要はまだまだ不明瞭 たとえば…
– レンジ（範囲）
• 最大値と最小値で表す
– 分散
– 標準偏差
15
平均値は同じぐらいでも
散らばり方がずいぶん違う

16. 分散・標準偏差
• 分散(variance) 𝑠2
𝑠2
=
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 − ҧ
𝑥 2
– ҧ
𝑥 はすべての 𝑥𝑖 の平均値という意味
– 𝑠2でなく𝑉、𝑉(𝑥) （ 𝑥𝑖の分散）などと書くことも
• 標準偏差(standard deviation) 𝑠
𝑠 = 𝑠2
– つまり分散の正の平方根を標準偏差という
– SDとか 𝜎（シグマの小文字）とか書かれることも
– 𝜎と書く場合は分散を𝜎2と書いたりもする
16

17. 分散・標準偏差の数式の意味
ҧ
𝑥
𝑥9
𝑥2
𝑥3
左図で、
各点線の長さの2乗が
𝑥𝑖 − ҧ
𝑥 2になっている
つまり分散とは
「各データが平均から
どれだけ離れてるか（の2乗） 」
の平均
（平均から離れたデータが
多いと大きな値になる）
𝑠2 =
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 − ҧ
𝑥 2
𝑖
𝑥
𝑖
平均値が10ぐらいのデータ 𝑥𝑖 を
下図のように順に並べてみると…
𝑥1 𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
𝑥10

18. 実用・応用・発展編

19. 偏差値とは何だったのか
• 「標準得点」の一種
– 平均と散布度が異なるデータは素点で比べても意味が無い
– 比べられるように標準化（平均と散布度がそろうように
するための計算処理）をほどこした得点を標準得点という
– 模試の偏差値は平均50、標準偏差10になるよう標準化されている
– 𝑖 さんの得点を 𝑥𝑖, 偏差値を 𝑇𝑖 とおくと
19
𝑇𝑖 = 50 +
10 𝑥𝑖 − ҧ
𝑥
𝜎

20. 小ネタ：偏差値は100を越えます
• 約28億900万人で試験を受けたら
他の人が全員0点の中、1人だけ100点取った人
20
（計算して確かめてみよう）
（公開して間違ってたら恥ずかしいやつ）

21. 標準偏差とヒストグラム
• データが「正規分布」にしたがっているとき、
– 平均値±標準偏差1つ分の幅に約68％
– 平均値±標準偏差2つ分の幅に約95%
– 平均値±標準偏差3つ分の幅に約99.7％ のデータが含まれる
（σは標準偏差を表す）
← 68％ →
← ← ← 95％ → → →
← ← ← ← ← 99.7％ → → → → →
※ 正規分布
…左図のような、
平均値に近い値ほど
現れやすく、遠い値ほど
現れにくい釣鐘型の分布

22. 標準偏差とヒストグラム
• 1万人が受けた模試の成績で言うなら、
– 偏差値 40～60 の範囲に 約6800人
– 偏差値 30～70 の範囲に 約9500人
– 偏差値 20～80 の範囲に 約9970人 が含まれる（理論値）
← 6800人 →
← ← ← 9500人 → → →
← ← ← ← ← 9970人 → → → → →
※ もちろん「小ネタ」の
ときのように
大きくゆがんだ分布では
大きくずれる

23. 「偶然ではない」をどう示す
• 例：Aさん vs Bさん ボウリング10ゲーム勝負
– AさんとBさんに実力差はあると言えるか？
• 統計的検定
– 「本当は差がない」とき、観測された差が偶然出現する確率（p値）
に基づいて、意味のある差（統計的有意差）かどうかを判断する
– p値が基準（0.05とすることが多い）より低ければ有意差と判断
– 広く使われているが、誤用や問題点も多いことが指摘されている
• 安易な取扱注意：計算方法や理屈を理解して使いましょう
• 「もうやめようぜ」と言う人もいる
23
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AVG
A 124 121 112 125 108 113 129 124 122 127 120.5
B 113 103 111 119 119 112 120 128 125 131 118.1

24. p値での判断が危険な例
24
• 例：Cさん vs Dさん ボウリング100ゲーム勝負
– 差も散布度も同じでも、データ数が多いとp値は小さくなる
＝ わずかな差でも「有意」と判定されやすくなる
• 計算方法＆検定のロジック的にどうしてもそうなる
• その「有意差」、本当に意味ありますか？
– 「本当は差が無いのにあると判断してしまう」(Type I error)
vs 「本当は差があるのに無いと判断してしまう」 (Type II error)
• データが多すぎるとType I が、少なすぎるとType IIが起こりやすくなる
• 研究のために実験・調査を計画するときは、適切なデータ数を
事前に見積もるよう求められることが近年増えている（検定力分析）
1 2 3 4 5 … 97 98 99 100 AVG
C 124 121 112 125 108 … 129 124 122 127 120.5
D 113 103 111 119 119 … 120 128 125 131 118.1

25. 余談：フィッシャーの3原則
• 実験や調査を計画するとき、気をつけるべき原則
– 反復（replication）
• 同じ条件で2回以上の繰り返し実験を行い、ばらつきを評価する
– 無作為化（randomization）
• 順番などをランダムにし、目的とする要因以外の要因が
結果に与える偏りをできるだけ小さくする
– 局所管理（local control）
• 実験の実施時刻や場所などをブロック化（＝いくつかに分割）し、
ブロック内の環境ができるだけ均一になるようにする
– 以上を詳細に検討し、体系化したのが「実験計画法」
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26. まとめ
• データは整理しないと使えない・わからない
– 生のままでは無理、圧縮しすぎてもダメ
– 分布の範囲、形状、散らばり具合も要注目
– 詳しく勉強するには数学が必須：がんばっていきましょう
• 統計学は魔法ではない
– “Garbage in, garbage out”（入力がゴミなら出力もゴミ）
– 妥当なデータは妥当な実験・調査をしないと得られない
– 計算方法あっての計算結果：解釈にも気をつけよう
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27. 役立ちそうな文献の紹介
• 大雑把なイメージをつかみたい人へ
– 丹慶勝市「図解雑学 統計解析」ナツメ社
• 基本的な知識・考え方を学びたい人へ
– 高橋信「マンガでわかる統計学」オーム社
– 吉田寿夫「本当にわかりやすいすごく大切なことが書いてある
ごく初歩の統計の本」北大路書房
• さらに理解を深めたり解析を試したりしたい人へ
– 山田剛史「Rによるやさしい統計学」オーム社
– 竹内淳「高校数学でわかる統計学」講談社ブルーバックス
– 南風原朝和「心理統計学の基礎」有斐閣アルマ
– 森敏昭・吉田寿夫「心理学のためのデータ解析テクニカルブック」
北大路書房
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