グラフ理論入門 1

1. グラフ理論入門 1
physics0523

2. おしながき
・そもそもグラフ理論って?
・木とは?
・木の重心のおなはし
・重心分解のおはなし
- アルカンの数え上げ
・一筆書きのおなはし

3. そもそも「グラフ理論」って?
実物を見たほうがはやい

4. グラフ理論とは?
グラフ理論とは?
・前ページにあったような、ものとものとの繋がりを表す図を考え
る学問
・単にグラフ理論と言ってもけっこういろいろある
身の回りのグラフの例
・路線図、推移図、フローチャート、構造式(化学)…

5. 基本用語解説
ざっくり大きく分けて「向き無しの無向グラフ」「向き付きの有向
グラフ」の2通り

6. 具体的な使い方
駅1から駅2までの距離が6→無向辺を張ればよい!
AさんがBさんのことが好き→有向辺を張ればよい!

7. 木とは?
連結(=全体が繋がっている)かつ閉路(=ループ)を持たない(無
向)グラフ(Wikipediaより)

8. 木の特徴(Wikipediaより)
n 個の点からなるグラフ T について次は同値である。
T は木である
T に閉路はなく、 n − 1 本の辺を持つ
T は連結で、 n − 1 本の辺を持つ
T は連結で、すべての辺は橋である
T の任意の2点を結ぶ道がちょうど1つある
T に閉路はないが、新しい辺をつけ加えると閉路が必ず1つで
きる

9. 「わ～、頭痛い…」
率直な感想として多分皆さんこうなるので、
やさしい にほんごで せつめい します

10. 木とは?
例えば、6個の頂点を繋ぐために最小限必要な辺は5本
なので、実際に「N頂点をN-1本の辺で繋いだ無向グラフ」=「木」

11. 木の特徴(Wikipediaより)をやさしい日本語に
N 個の点からなるグラフ T について次は同値である。
「T は木である」
→当たり前。そもそも議論の前提。
「T に閉路はなく、 n − 1 本の辺を持つ」
閉路:「N重結合 = 多重辺」 か 「環 = ループ」
→木は「N頂点、N-1辺からなるループのない無向グラフ」

12. 木の特徴(Wikipediaより)をやさしい日本語に
「T は連結で、 n − 1 本の辺を持つ」
→木は「N頂点をN-1本の辺で繋いだ無向グラフ」
「T は連結で、すべての辺は橋である」
→どの1つの辺を消したとしても、
木は2つに分割されてしまう

13. 木の特徴(Wikipediaより)をやさしい日本語に
「T の任意の2点を結ぶ道がちょうど1つある」
→どの2頂点間を移動するにも、
(同じ辺を2度通らなければ)道が1通りに定まる
「T に閉路はないが、新しい辺をつけ加えると
閉路が必ず1つできる」
→もし1つ辺を追加したら、そこにちょうど1つループができる

14. 不飽和度の計算
この木の話を応用すると、不飽和度計算の意味が理解できる
まず、飽和～は木構造をしている(不飽和度0)ことに注意

15. 具体的にどう求めるか?
辺の数: H + 2*O + 3*N + 4*C = x とおく
頂点の数: H + O + N + C = y とおく
(辺の数は両側の原子でカウントされていることに注意)
x = 2(y-1) ならグラフは木なので不飽和度は0
そうでない場合、不飽和度=余る辺の数は (x - 2(y-1)) / 2
(これが整数にならない場合は化合物として不適切)
これを変形すると (2*C + N - H + 2) / 2 (いつもの)が求まる

16. 木の重心のおはなし
木には以下の性質を満たす「重心」がある
・その頂点(と繋がる辺)を削除したとき、バラバラになったグラフ
の頂点数が全て元のグラフの半分以下になる
なお、木には必ず重心が最低1つ、高々2つある
(注意:「高々～ある」は「多くとも～ない」と同じことを表します)
参考、一部画像引用元:
https://qiita.com/drken/items/4b4c3f1824339b090202

17. 具体例

18. 同じグラフで重心がもうひとつ

19. 重心が高々2つであることの証明
頂点数 N の木において、☆を付けた2頂点が重心だったとする
(雲の部分は何らかの木が繋がってると思ってください)
図のA,Bの領域で頂点数が N/2 以下である必要がある
このとき☆の頂点が辺で隣接する必要がある
(∵☆の間に頂点が挟まっていると、
A+Bの頂点数ののべの総和がNを超える
なので、鳩の巣原理より、詰む)

20. 重心が高々2つであることの証明
どう頑張ってもA+Bの頂点数の総和はN以上になってしまう
☆のついた頂点がともに重心となるためには、A,Bの領域に含
まれる頂点は共にN/2でなければならない
さらに、このとき、雲の部分に新たに重心ができる余地はない
これで証明完了
(重心が2つある場合、それを繋ぐ辺で切ると
サイズN/2のパーツができることもわかる)

21. 重心が必ず存在することの証明
図証!これの言語化むずかしい!!頑張って言語化します

22. 以下のようなアルゴリズムを検討する
1. 適当に根をとり、v={根}とする
2. 今見てる頂点の下側に繋がるグラフを調べ、部分木(下側に
繋がる木)のサイズが全てN/2以下なら終了
そうでなければ、一番大きい部分木方向に下って、そこを新たな
vとする
この 2. を繰り返す

23. なぜこれで重心の存在性が示せるか?
図に立ち返って説明します
今p→vと下ってきたとする。すると、「pの時点で止まらなかった」
という情報から、vより上側の頂点数の合計がN/2以下であるこ
とがわかる
さらに、このアルゴリズムは一番下に
たどり着くまでどこかしらで止まる
よって存在証明ができた

24. 重心分解のおはなし
木を重心でグラフを(再帰的に)分解するテクニック
頂点の数をNとすると、再帰の深さは高々log2Nになる
これを使ってアルカンの構造異性体を数え上げよう!!
グラフの問題に言い換えると以下の通り
炭素鎖だけ考えればいいので、
「各頂点から出ている辺が高々4本である木を考える」
参考:https://qiita.com/miwo/items/2632b16ffd30ba63b705

25. N≦4の時くらいまでは、頑張ります

26. アルキル基の場合の数も求めておく

27. ここから重心分解～!!!
N=5のとき: 重心+残った4頂点で(最大)4部分木
但し、重心に繋げられるのは、 N/2 頂点以下の部分木
[2,2,0,0] , [2,1,1,0] , [1,1,1,1]
それぞれのアルキル基は一意に定まっているので、合計3通り
(炭素数≦2なら(部分)木の形は1通りなので)

28. 次も重心分解で
N=6、一般にNが偶数の場合では場合分けが必要
(i)重心が1つの場合
N=5の時とほぼ同じだが、少し注意が必要
「偶数頂点かつ重心が1つ」⇒「重心にくっついている部分木の
頂点は N/2 未満」
N=6の場合、3頂点の部分木はくっつかない
残りの5頂点を振り分ける[2,2,1,0] , [2,1,1,1] の2通り

29. N=6の場合
(ii) 重心が2つの場合
サイズ N/2 のアルキル基を2つ組み合わせればよい
サイズ3のアルキル基を2つ組み合わせるが、注意が必要
「サイズ3のアルキル基」には2通り考えられるが、この2つは重
複組み合わせで数える必要がある
2通りで2つ選ぶ→2H2 = 3C2 = 3 通り
(i)(ii) 合わせて5通り

30. 課題1:N=7の場合

31. 解答1:N=7の場合
重心+残った6頂点で最大4部分木
部分木として繋げるのは3頂点以内の部分木
[3,3,0,0] [3,2,1,0] [3,1,1,1] [2,2,2,0] [2,2,1,1]
このうち、3頂点のアルキル基が絡む場合は厄介
[3,3,0,0]... 3頂点のアルキル基2つが重複組み合わせで3通り
[3,2,1,0] , [3,1,1,1]... 3頂点のアルキル基の繋ぎ方で2通り
結局、全部ひっくるめて9通り

32. 課題2:N=8の場合

33. 解答2:N=8の場合
(i) 重心が1つの場合
偶数頂点かつ重心が1つなので、つなげるアルキル基のサイズ
は3以下になる
[3,3,1,0]... 3頂点が2つ、重複組み合わせで3通り
[3,2,2,0]... 3頂点の繋ぎ方で2通り
[3,2,1,1]... 3頂点の繋ぎ方で2通り
[2,2,2,1]... 1通り

34. 解答2:N=8の場合
(ii) 重心が2つの場合
サイズ N/2 のアルキル基を2つ組み合わせればよい
サイズ4のアルキル基を2つ組み合わせるが、注意が必要
「サイズ4のアルキル基」には4通り考えられるが、この2つは重
複組み合わせで数える必要がある
4通りで2つ選ぶ→4H2 = 5C2 = 10 通り
(i)(ii) 合わせて18通り

35. N≧9の場合…
もう面倒なのでやりませんが、アルキル基の場合の数を数えて
(これはサイズによって再帰的に出来ます、参考で貼ったリンク
も参照)、今までの例のように数えてやるとN=100の場合の
5921072038125809849884993369103538010139
とか言う数も現実的時間で計算可能
https://doratex.github.io/misc-files/isomer/
↑こんな面白げなサイトもありました

36. 一筆書きのおはなし
一筆書きできる必要十分条件:
「奇数本辺が集まっている点(奇点)
が0個または2個である」
これをグラフ理論で証明してみよう!
参考、証明引用元:
https://mathtrain.jp/euler_graph

37. 奇点≠0,2の場合無理なことを証明
ここは簡単
1つ線を引くときに、始点と終点以外の任意の点は、
「その点から2本辺が出ていると考えられる」
始点と終点に限っては、そこに奇点が作れるが、これは
0個(奇点同士が繋がった場合)か2個に限られる
ざっくり図証するとこんな感じ

38. 奇点=2→奇点=0に帰着
「任意の奇点=0であるグラフについて、一筆書きできる」という
結果を仮定して、奇点=2の場合を奇点=0の場合に帰着
前ページの議論より、奇点=0のグラフが一筆書きできるなら、そ
れはループになっているはず
奇点=2の場合は奇点同士を辺で結べば奇点=0になり、この一
筆書きはループ
なので、ループを奇点の位置で切ってやれば一筆書き可能なこ
とが示せる、よって帰着出来た

39. 奇点=0の場合(本質)
ここからがグラフらしい証明になります(と言っても僕の本職はグ
ラフらしい証明を書くことではないので下手でも許してください)
グラフに含まれる辺の数kで(強い仮定の)数学的帰納法します
k=2の場合 : 図より、できました

40. k<nの場合の成立を仮定、k=nを示すパート
まず、ある 奇点=0,辺数=n のグラフGを考える
そのグラフから1つ閉路を削除することを考える
このとき、分解されたグラフg1,g2,...,gxもそれぞれ奇点=0
(∵閉路を取り除くと、全ての頂点
から偶数本辺を取り除くことになる)
このとき、g1,g2,...,gxにおいて
(分解されたグラフの辺数)<n

41. k<nの場合の成立を仮定、k=nを示すパート
帰納法の仮定より、グラフg1,g2,...,gxは何らかのループを持つ
なので、図で言うところの赤いループを回っていく段階で分割さ
れたグラフの一部に差し掛かればそのグラフをぐるっと回ってや
れば一筆書きの経路が構築可能

42. グラフ理論 2に続く …?