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実験計画法入門 Part 3

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実験計画法入門のレクチャースライド,4部構成のうちの第3部です.

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実験計画法入門 Part 3

  1. 1. © Hajime Mizuyama An Introduction to Design of Experiments (DOE) 青山学院大学 経営システム工学科 水山 元 mizuyama@ise.aoyama.ac.jp
  2. 2. © Hajime Mizuyama Part 1 古典的な実験計画法の 基本概念と要因計画 Part 2 直交表と 一部実施要因計画 Part 3 応答曲面法と 最適計画 Part 4 直積実験と ロバスト設計
  3. 3. © Hajime Mizuyama 一元配置実験の復習 データ 平均 A1 666 643 653 654 A2 664 683 684 677 A3 696 687 705 696 A4 683 655 681 673 675総平均:
  4. 4. © Hajime Mizuyama 因子A データ 総平均 総偏差 総偏差 平方 1 666 675 -9 81 1 643 675 -32 1024 1 653 675 -22 484 2 664 675 -11 121 2 683 675 8 64 2 684 675 9 81 3 696 675 21 441 3 687 675 12 144 3 705 675 30 900 4 683 675 8 64 4 655 675 -20 400 4 681 675 6 36 総偏差平方和の計算 3840平方和:
  5. 5. © Hajime Mizuyama 因子A データ A別平均 総平均 A間偏差 残差 A間偏差 平方 残差 平方 1 666 654 675 -21 12 441 144 1 643 654 675 -21 -11 441 121 1 653 654 675 -21 -1 441 1 2 664 677 675 2 -13 4 169 2 683 677 675 2 6 4 36 2 684 677 675 2 7 4 49 3 696 696 675 21 0 441 0 3 687 696 675 21 -9 441 81 3 705 696 675 21 9 441 81 4 683 673 675 -2 10 4 100 4 655 673 675 -2 -18 4 324 4 681 673 675 -2 8 4 64 総偏差平方和の分解 2670平方和: 1170
  6. 6. © Hajime Mizuyama 総偏差平方和の分解の概念図 A1 A2 A3 A4 640660680700720 y 総平均 A別平均 A間偏差 残差 総偏差
  7. 7. © Hajime Mizuyama 一元配置の分散分析 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 A SA fA = I-1 VA = SA /(I-1) FA = VA /Ve 残差 Se fe = I(N-1) Ve = Se /I(N-1) ― 計 ST IN-1 ― ― 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 A 2670 3 890 6.085 0.018 残差 1170 8 146.25 ― ― 計 3840 11 ― ― ―
  8. 8. © Hajime Mizuyama 母平均に関する推定 A1 A2 A3 A4 640660680700720 y 母平均 (𝜇 + 𝑎𝑖)の区間推定 𝑦𝑖 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝑉𝑒 𝑁
  9. 9. © Hajime Mizuyama • 因子の値を連続的に変化させることができる. • 因子の値を変化させるのに伴って,特性の母平均も連続的に, またある程度なめらかに変化することが多い. • 因子の値を,実験で取り上げた水準だけでなく,それら以外の 値に設定した場合についても,特性の母平均を推定できるよう にしたい. • 因子の値と特性の母平均の間の関係を関数としてモデル化する. 量的因子の場合
  10. 10. © Hajime Mizuyama 構造モデル 𝑦𝑖𝑛 = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑒𝑖𝑛 仮定 – 関数 f には,x の1次式または2次式を用いることが多い. – 誤差項は互いに独立かつ等分散である. – 誤差項は期待値ゼロの正規分布に従う. 量的因子の一元配置の構造モデル 連続関数 因子A の値 誤差項 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒 2 ∙ 𝑰)
  11. 11. © Hajime Mizuyama 1次モデルのあてはめ(単回帰分析) 10 20 30 40 640660680700720 y x 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑒 1次モデル (単回帰モデル) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥) + 𝑒 残差 目的変数(従属変数)y の期待値を,説明変数 (独立変数)x の1次式 で推定するモデル
  12. 12. © Hajime Mizuyama 残差平方和 残差平方和を最小にする条件 最小2乗法によるパラメータ推定 𝑆 𝑒 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑖 2 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑏0 + 𝑏1(𝑥𝑖−𝑥) 2 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 𝜕𝑆 𝑒 𝜕𝑏0 = −2 𝑦𝑖𝑛 − 𝑏0 − 𝑏1(𝑥𝑖−𝑥) 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 = 0 𝜕𝑆 𝑒 𝜕𝑏1 = −2 (𝑥𝑖−𝑥) 𝑦𝑖𝑛 − 𝑏0 − 𝑏1(𝑥𝑖−𝑥) 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 = 0
  13. 13. © Hajime Mizuyama 残差平方和 正規方程式 最小2乗法によるパラメータ推定 𝑆 𝑒 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑖 2 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑏0 + 𝑏1(𝑥𝑖−𝑥) 2 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 𝐼𝑁𝑏0 + 𝑁𝑏1 (𝑥𝑖−𝑥) 𝐼 𝑖=1 = 𝑦𝑖𝑛 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 𝑁𝑏0 (𝑥𝑖−𝑥) 𝐼 𝑖=1 + 𝑁𝑏1 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝐼 𝑖=1 = (𝑥𝑖−𝑥)𝑦𝑖𝑛 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 𝑏0 = 𝑦 𝑏1 = (𝑥𝑖 − 𝑥)(𝑦𝑖𝑛 − 𝑦)𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝐼 𝑖=1 = 𝑆 𝑥𝑦 𝑆 𝑥𝑥
  14. 14. © Hajime Mizuyama 残差平方和 回帰係数の推定値 回帰直線 最小2乗法によるパラメータ推定 𝑆 𝑒 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑖 2 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑏0 + 𝑏1(𝑥𝑖−𝑥) 2 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 𝑏0 = 𝑦 = 675 𝑏1 = (𝑥𝑖 − 𝑥)(𝑦𝑖𝑛 − 𝑦)𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝐼 𝑖=1 = 𝑆 𝑥𝑦 𝑆 𝑥𝑥 = 1140 1500 = 0.76 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 − 𝑥 = 𝑦 + 𝑆 𝑥𝑦 𝑆 𝑥𝑥 𝑥 − 𝑥 = 675 + 0.76(𝑥 − 25)
  15. 15. © Hajime Mizuyama 因子A x Δx Δx2 y Δy ΔxΔy 1 10 -15 225 666 -9 135 1 10 -15 225 643 -32 480 1 10 -15 225 653 -22 330 2 20 -5 25 664 -11 55 2 20 -5 25 683 8 -40 2 20 -5 25 684 9 -45 3 30 5 25 696 21 105 3 30 5 25 687 12 60 3 30 5 25 705 30 150 4 40 15 225 683 8 120 4 40 15 225 655 -20 -300 4 40 15 225 681 6 90 回帰係数の計算 1140150025 675
  16. 16. © Hajime Mizuyama 回帰モデルの行列表記 ただし, 最小2乗法によるパラメータ推定(行列表記) 𝒚 = 𝑿 ∙ 𝜷 + 𝒆 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒 2 ∙ 𝑰) 𝒚 = 𝑦11 𝑦12 ⋮ 𝑦𝐼𝑁 𝒆 = 𝑒11 𝑒12 ⋮ 𝑒𝐼𝑁 𝑿 = 1 𝑥1 − 𝑥 1 𝑥1 − 𝑥 ⋮ ⋮ 1 𝑥𝐼 − 𝑥 𝜷 = 𝑏0 𝑏1 1 -15 1 -15 1 -15 1 -5 1 -5 1 -5 1 5 1 5 1 5 1 15 1 15 1 15 666 643 653 664 683 684 696 687 705 683 655 681
  17. 17. © Hajime Mizuyama ただし,ただし, 残差平方和 正規方程式 回帰係数の推定値 最小2乗法によるパラメータ推定(行列表記) 𝑆 𝑒 = 𝒚 − 𝑿𝜷 ′ 𝒚 − 𝑿𝜷 = 𝒚′ 𝒚 − 𝟐𝜷′𝑿′𝒚 + 𝜷′𝑿′𝑿𝜷 𝜕𝑆 𝑒 𝜕𝜷 = −𝟐𝑿′ 𝒚 + 2𝑿′ 𝑿𝜷 = 0 𝜷 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 𝑿′ 𝑿 −1 = 1/𝐼𝑁 0 0 1/𝑆 𝑥𝑥 𝑿′ 𝑿 = 𝐼𝑁 0 0 𝑆 𝑥𝑥 = 12 0 0 1500 = 1/12 0 0 1/1500 𝑿′ 𝒚 = 8100 1140 = 8100/12 1140/1500 = 675 0.76
  18. 18. © Hajime Mizuyama 因子A 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 2 𝑦 − 𝑦 2 1 10 666 663.6 -11.4 2.4 129.96 5.76 1 10 643 663.6 -11.4 -20.6 129.96 424.36 1 10 653 663.6 -11.4 -10.6 129.96 112.36 2 20 664 671.2 -3.8 -7.2 14.44 51.84 2 20 683 671.2 -3.8 11.8 14.44 139.24 2 20 684 671.2 -3.8 12.8 14.44 163.84 3 30 696 678.8 3.8 17.2 14.44 295.84 3 30 687 678.8 3.8 8.2 14.44 67.24 3 30 705 678.8 3.8 26.2 14.44 686.44 4 40 683 686.4 11.4 -3.4 129.96 11.56 4 40 655 686.4 11.4 -31.4 129.96 985.96 4 40 681 686.4 11.4 -5.4 129.96 29.16 総偏差平方和の分解 866.4平方和: 2973.6
  19. 19. © Hajime Mizuyama 回帰直線 総偏差平方和の分解の概念図 A1 A2 A3 A4 640660680700720 y 総平均 回帰直線 までの偏差 残差 総偏差
  20. 20. © Hajime Mizuyama 分散分析表の対比 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 A 2670 3 890 6.085 0.018 残差 1170 8 146.25 ― ― 計 3840 11 ― ― ― 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 1次 866.4 1 866.4 2.914 0.119 残差 2973.6 10 297.4 ― ― 計 3840 11 ― ― ― 1次モデルの分散分析表 一元配置の分散分析表
  21. 21. © Hajime Mizuyama Lack of fit 検定 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 A 2670 3 890 6.085 0.018 1次 866.4 1 866.4 5.924 0.041 LOF 1803.6 2 901.8 6.166 0.024 残差 1170 8 146.25 ― ― 計 3840 11 ― ― ― 1次モデルだけでなく,LOFも有意になった. ⇒ 因子Aの効果は,1次モデルだけでは捉えきれていない.
  22. 22. © Hajime Mizuyama Lack of fit 検定の概念図 A1 A2 A3 A4 640660680700720 y 総平均 A別平均 A間偏差 残差 総偏差 回帰直線 回帰直線 までの偏差 LOF
  23. 23. © Hajime Mizuyama 回帰係数の分布 すなわち, 母平均の信頼区間 回帰係数の分布と母平均の信頼区間 𝐸 𝜷 = 𝐸 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝐸 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝑿𝜷 = 𝜷 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝑉𝑎𝑟 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝑿 𝑿′ 𝑿 −1 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝜎𝑒 2 𝑰𝑿 𝑿′ 𝑿 −1 = 𝜎𝑒 2 𝑿′ 𝑿 −1 𝜷~𝑁 𝜷, 𝜎𝑒 2 𝑿′ 𝑿 −1 𝑏0~𝑁 𝑏0, 𝜎𝑒 2 /12 𝑏1~𝑁 𝑏1, 𝜎𝑒 2 /1500 𝐶𝑜𝑣 𝑏0, 𝑏1 = 0 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥) ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 1 𝐼𝑁 + 𝑥 − 𝑥 2 𝑆 𝑥𝑥 𝑉𝑒 = 𝑁 𝜷, 𝜎𝑒 2 1/𝐼𝑁 0 0 1/𝑆 𝑥𝑥
  24. 24. © Hajime Mizuyama 回帰直線と母平均の信頼区間 10 20 30 40 640660680700720 y x
  25. 25. © Hajime Mizuyama 回帰モデルの行列表記 ただし, 2次モデルの行列表記 𝒚 = 𝑿 ∙ 𝜷 + 𝒆 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒 2 ∙ 𝑰) 𝒚 = 𝑦11 𝑦12 ⋮ 𝑦𝐼𝑁 𝒆 = 𝑒11 𝑒12 ⋮ 𝑒𝐼𝑁 𝑿 = 1 𝑥1 − 𝑥 1 𝑥1 − 𝑥 ⋮ ⋮ 1 𝑥𝐼 − 𝑥 𝜷 = 𝑏0 𝑏1 1次モデル 𝑿 = 1 𝑥1 − 𝑥 𝑥1 − 𝑥 2 1 𝑥1 − 𝑥 𝑥1 − 𝑥 2 ⋮ ⋮ ⋮ 1 𝑥𝐼 − 𝑥 𝑥𝐼 − 𝑥 2 𝜷 = 𝑏0 𝑏1 𝑏2 2次モデル
  26. 26. © Hajime Mizuyama 回帰係数の推定値 2次モデルのあてはめ 𝜷 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 1 -15 225 1 -15 225 1 -15 225 1 -5 25 1 -5 25 1 -5 25 1 5 25 1 5 25 1 5 25 1 15 225 1 15 225 1 15 225 666 643 653 664 683 684 696 687 705 683 655 681 𝒚 = 12 0 1500 0 1500 0 1500 0 307500 = 𝑿′ 𝒚 = 8100 1140 998700 689.375 0.76 -0.115 𝑿′ 𝑿 = 回帰曲線回帰曲線 𝑦 = 689.375 + 0.76 𝑥 − 25 −0.115 𝑥 − 25 2
  27. 27. © Hajime Mizuyama 因子A 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 2 𝑦 − 𝑦 2 1 10 666 652.1 -22.9 13.9 524.41 193.21 1 10 643 652.1 -22.9 -9.1 524.41 82.81 1 10 653 652.1 -22.9 0.9 524.41 0.81 2 20 664 682.7 7.7 -18.7 59.29 349.69 2 20 683 682.7 7.7 0.3 59.29 0.09 2 20 684 682.7 7.7 1.3 59.29 1.69 3 30 696 690.3 15.3 5.7 234.09 32.49 3 30 687 690.3 15.3 -3.3 234.09 10.89 3 30 705 690.3 15.3 14.7 234.09 216.09 4 40 683 674.9 -0.1 8.1 0.01 65.61 4 40 655 674.9 -0.1 -19.9 0.01 396.01 4 40 681 674.9 -0.1 6.1 0.01 37.21 総偏差平方和の分解 2453.4平方和: 1386.6
  28. 28. © Hajime Mizuyama Lack of fit 検定 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 A 2670 3 890 6.085 0.018 2次 2453.4 2 1226.7 8.388 0.011 LOF 216.6 1 216.6 1.481 0.258 残差 1170 8 146.25 ― ― 計 3840 11 ― ― ― 2次モデルの場合は,LOFは有意にはならない. ⇒ 因子Aの効果は,2次モデルでほぼ捉えられている.
  29. 29. © Hajime Mizuyama 分散分析表の対比 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 A 2670 3 890 6.085 0.018 残差 1170 8 146.25 ― ― 計 3840 11 ― ― ― 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 2次 2453.4 2 1226.7 7.962 0.010 残差 1386.6 9 154.1 ― ― 計 3840 11 ― ― ― 2次モデルの分散分析表 一元配置の分散分析表
  30. 30. © Hajime Mizuyama 回帰係数の分布 すなわち, このとき,𝑦 の分布は, したがって,母平均の信頼区間は, 回帰係数の分布と母平均の信頼区間 𝐸 𝜷 = 𝐸 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝐸 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝑿𝜷 = 𝜷 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝑉𝑎𝑟 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝑿 𝑿′ 𝑿 −1 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝜎𝑒 2 𝑰𝑿 𝑿′ 𝑿 −1 = 𝜎𝑒 2 𝑿′ 𝑿 −1 𝜷~𝑁 𝜷, 𝜎𝑒 2 𝑿′ 𝑿 −1 𝑦 = 𝒙′𝜷~𝑁 𝒙′𝜷, 𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙 𝜎𝑒 2 𝒙′𝜷 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙 𝑉𝑒
  31. 31. © Hajime Mizuyama 回帰曲線と母平均の信頼区間 10 20 30 40 640660680700720
  32. 32. © Hajime Mizuyama 応答曲面法 M 個の量的因子を取り上げ,それらの因子の値 x1, x2, ..., xM と,特性 y の間の関係を表す統計モデル(応答曲面): 𝑦 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥 𝑀 + 𝑒 を実験から求める技法,また,そのための実験計画の手法. 応答曲面を表す関数 f としては,主に,1次または2次の多項式 モデルが用いられる. 応答曲面法
  33. 33. © Hajime Mizuyama 1次モデル 2次モデル 仮定 – 因子の値は基準化しておくことが多い. – 誤差項は互いに独立かつ等分散である. – 誤差項は期待値ゼロの正規分布に従う. 応答曲面法の構造モデル 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒 2 ∙ 𝑰) 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑥 𝑀 + 𝑒 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑥 𝑀 + 𝑏11 𝑥1 2 + 𝑏12 𝑥1 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑀𝑀 𝑥 𝑀 2 + 𝑒
  34. 34. © Hajime Mizuyama 計画行列 応答曲面モデルの行列表記 計画行列と応答曲面モデル              MN M M NN x x x x x x x x x      2 1 2 22 21 1 12 11 1 1 1 X                        NNNMN M M NN xx xx xx x x x x x x x x x x x x 21 2212 2111 2 1 2 12 2 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1 1 1 X 1次式モデル 2次式モデル 𝒚 = 𝑿 ∙ 𝜷 + 𝒆 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒 2 ∙ 𝑰)
  35. 35. © Hajime Mizuyama 残差平方和 正規方程式 回帰係数の推定値 回帰係数の分布 母平均の分布 母平均の信頼区間 最小2乗法によるパラメータ推定 𝑆 𝑒 = 𝒚 − 𝑿𝜷 ′ 𝒚 − 𝑿𝜷 = 𝒚′ 𝒚 − 𝟐𝜷′𝑿′𝒚 + 𝜷′𝑿′𝑿𝜷 𝜕𝑆 𝑒 𝜕𝜷 = −𝟐𝑿′ 𝒚 + 2𝑿′ 𝑿𝜷 = 0 𝜷 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 𝜷~𝑁 𝜷, 𝜎𝑒 2 𝑿′ 𝑿 −1 𝑦 = 𝒙′𝜷~𝑁 𝒙′𝜷, 𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙 𝜎𝑒 2 𝒙′𝜷 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙 𝑉𝑒
  36. 36. © Hajime Mizuyama • 中心複合計画 • Box and Behnken 計画 • 最適計画 – D-最適計画 – G-最適計画 応答曲面計画
  37. 37. © Hajime Mizuyama 中心複合計画の概念図 2水準(一部実施)要因計画 軸上点 中心点
  38. 38. © Hajime Mizuyama x1 x2 x3 1 -1 -1 -1 2 1 -1 -1 3 -1 1 -1 4 1 1 -1 5 -1 -1 1 6 1 -1 1 7 -1 1 1 8 1 1 1 9 −𝛼 0 0 10 𝛼 0 0 11 0 −𝛼 0 12 0 𝛼 0 13 0 0 −𝛼 14 0 0 𝛼 15 0 0 0 16 0 0 0 17 0 0 0 18 0 0 0 中心複合計画の例 2水準要因計画 各因子の1次の 主効果と,1次 ×1次の2因子 交互作用を推定 中心点 純粋な誤差分散 の推定 最低でも3回, できれば5回程度 の繰返し 軸上点 各因子の2次の 主効果を推定 𝛼 の値は,設定 の容易さ,中心 点からの距離, 回転可能性など を考慮して決定 𝛼 = 𝑁𝐹𝐷 1/4
  39. 39. © Hajime Mizuyama 1 x1 x2 x3 x1 2 x1x2 x1x3 x2 2 x2x3 x3 2 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −𝛼 0 0 𝛼2 0 0 0 0 0 1 𝛼 0 0 𝛼2 0 0 0 0 0 1 0 −𝛼 0 0 0 0 𝛼2 0 0 1 0 𝛼 0 0 0 0 𝛼2 0 0 1 0 0 −𝛼 0 0 0 0 0 𝛼2 1 0 0 𝛼 0 0 0 0 0 𝛼2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 中心複合計画の計画行列の例 𝑿 =
  40. 40. © Hajime Mizuyama • 中心複合計画 • Box and Behnken 計画 • 最適計画 – D-最適計画 – G-最適計画 応答曲面計画
  41. 41. © Hajime Mizuyama Box and Behnken 計画の概念図 2因子毎の要因計画(他の因子の値は0とする) 中心点
  42. 42. © Hajime Mizuyama x1 x2 x3 1 -1 -1 0 2 -1 1 0 3 1 -1 0 4 1 1 0 5 0 -1 -1 6 0 -1 1 7 0 1 -1 10 0 1 1 11 -1 0 -1 12 1 0 -1 13 -1 0 1 14 1 0 1 15 0 0 0 16 0 0 0 17 0 0 0 18 0 0 0 Box and Behnken 計画の例
  43. 43. © Hajime Mizuyama 1 x1 x2 x3 x1 2 x1x2 x1x3 x2 2 x2x3 x3 2 1 -1 -1 0 1 1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 -1 0 1 0 0 1 1 -1 0 1 -1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 0 -1 1 0 0 0 1 -1 1 1 0 1 -1 0 0 0 1 -1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 -1 0 -1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 -1 1 0 -1 0 0 1 1 -1 0 1 1 0 -1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Box and Behnken 計画の計画行列の例 𝑿 =
  44. 44. © Hajime Mizuyama • 中心複合計画 • Box and Behnken 計画 • 最適計画 – D-最適計画 – G-最適計画 応答曲面計画
  45. 45. © Hajime Mizuyama 最適計画 実験計画(計画行列)の作成を最適化問題として取り扱う. 制約条件 実験点数,実験可能領域 目的関数 D-最適基準 G-最適基準 最適計画の考え方 det(𝑿′ 𝑿) → 最大化 max 𝒙 {𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙} → 最小化 𝜷~𝑁 𝜷, 𝜎𝑒 2 𝑿′ 𝑿 −1 𝑦 = 𝒙′𝜷~𝑁 𝒙′𝜷, 𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙 𝜎𝑒 2

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