vcs

1. Derivate e teoremi sulle
funzioni derivabili
Eolini Matteo 5G

2. Derivata di una funzione
• Equazione della retta tangente al grafico di 𝑦 = 𝑓(𝑥).
• Nel punto di ascissa 𝑥0 𝑦 − 𝑓 𝑥 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
𝑚𝑠𝑒𝑐 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
𝑥0+ℎ−𝑥0
=
𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
ℎ 0
𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ
Rapporto Incrementale
Se il limite esiste ed è finito allora
la funzione si dice derivabile nel
punto di ascissa 𝑥0 e il valore che il
limite assume prende il nome di
derivata di 𝑓 in 𝑥0.

3. Derivate
delle
funzioni
elementari

4. Massimi e minimi
relativi
• Data una funzione definita e continua in [𝑎, 𝑏], si
dice che in 𝑥0 c’è un minimo relativo se e solo se
esiste un intorno di 𝑥0 in cui 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0)
• Data una funzione definita e continua in [𝑎, 𝑏], si
dice che in 𝑥0 c’è un massimo relativo se e solo se
esiste un intorno di 𝑥0 in cui 𝑓 𝑥 < 𝑓(𝑥0)

5. Massimi e minimi assoluti
• Data una funzione definita e continua nel suo dominio D, si dice che in 𝑥0 c’è
un minimo assoluto se e solo se 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) in D
• Data una funzione definita e continua nel suo dominio D, si dice che in 𝑥0 c’è
un massimo assoluto se e solo se 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) in D

6. Teorema
sulla
relazione
tra
derivabilità
e continuità
Se una funzione 𝑓(𝑥) è
derivabile in 𝑥0, allora è
anche continua in 𝑥0.

7. Teorema di Bolzano
Sia 𝑓 𝑥 : 𝑎, 𝑏 ℝ una funzione continua e supponiamo che 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑏 < 0
allora esiste almeno un punto 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 tale che 𝑓 𝑥0 = 0.

8. Se f è derivabile in 𝑥0, punto di massimo o minimo relativo (estremante), interno al
dominio; allora 𝑓’(𝑥0) = 0

9. Teorema di Rolle
Se una funzione 𝑓(𝑥):
• è continua nell’intervallo chiuso e limitato [𝑎, 𝑏]
• è derivabile nei punti interni dell’intervallo 𝑎, 𝑏
• assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)
allora esiste almeno un punto 𝒄 interno all’intervallo
(𝑎, 𝑏) in cui la derivata prima si annulla, cioè
𝒇’(𝒄) = 𝟎

10. Teorema di Rolle
• Il Teorema di Rolle afferma che quando sono
verificate le sue ipotesi, esiste sempre un punto c
in cui la tangente al grafico è parallela alla retta
AB e quindi all’asse x.
• Il teorema garantisce l’esistenza di almeno un
punto in cui la derivata si annulla ma i punti
possono essere anche più di uno.

11. Teorema di
Lagrange
Se la funzione f soddisfa le ipotesi:
• 𝑓 è continua nell’intervallo chiuso
[𝑎, 𝑏]
• f è derivabile nello stesso intervallo,
salvo (eventualmente) negli estremi
𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏
Allora esiste (almeno) un punto c
interno all’intervallo [𝑎, 𝑏] nel quale è
verificata l’uguaglianza:
𝑓′ 𝑐 =
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
Se un arco di curva è dotato di tangente, esisterà un
punto 𝑥0 dove la tangente è una retta parallela alla
secante che congiunge i due estremi della funzione (o
anche arco di curva) dato.

12. Corollari del Teorema di Lagrange
1. Se una funzione f (x) è continua
nell’intervallo [a;b], derivabile
in ]a; b[ e tale che f l(x) è nulla
in ogni punto interno
dell’intervallo, allora f (x) è
costante in tutto [a;b].
2. Due funzioni 𝑓 e 𝑔, continue in
[a,b] e derivabili in (𝑎, 𝑏), hanno
derivate uguali ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) se e
solo se differiscono per una
costante additiva:
𝐹′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ↔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑐

13. Teorema di
Cauchy
Se le funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) sono tali che:
1. 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) sono continue nell’intervallo
[𝑎; 𝑏],
2. 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) sono derivabili in ogni punto
interno a questo intervallo,
3. 𝑔’(𝑥) = 0, per ogni 𝑥 interno ad [𝑎; 𝑏],
allora esiste almeno un punto c interno ad
[𝑎; 𝑏] in cui si ha:
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑔 𝑏 − 𝑔(𝑎)
=
𝑓′(𝑐)
𝑔′(𝑐)

14. Teorema di
Cauchy
…cioè il rapporto fra gli incrementi delle
funzioni 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥) nell’intervallo [𝑎; 𝑏] è
uguale al rapporto fra le rispettive derivate
calcolate in un particolare punto 𝑐 interno
all’intervallo.

15. Teorema di De L’Hopital
Date due funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) definite nell’intorno 𝐼 di un punto 𝑥0, se
• 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) sono continue in 𝑥0 e 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 = 0,
• 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) sono derivabili in 𝐼 eccetto al più 𝑥0,
• 𝑔 𝑥 ≠ 0 in 𝐼 − {𝑥0}
• esiste lim
𝑥 𝑥0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
Allora esiste anche lim
𝑥 𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
e risulta lim
𝑥 𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥 𝑥0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)

16. Dimostrazione:
Essendo 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) infinitesime (infinite) in 𝑥0 e questo significa che:
lim 𝑥 𝑥0 𝑓 (𝑥) = 0 𝑒 lim 𝑥 𝑥0 𝑔(𝑥 ) = 0
E ponendo 𝑓(𝑥0) = 0 e 𝑔(𝑥0) = 0, si estende per continuità 𝑓(𝑥)) e 𝑔(𝑥 in 𝑥0
A questo punto applico Cauchy nell’intervallo [x0, x] che sarebbe come il mio intervallo [𝑎, 𝑏]
𝑓 𝑥 – 𝑓 𝑥0
𝑔 (𝑥)– 𝑔(𝑥0)
=
𝑓 ’ (𝑐 )
𝑔 ’ (𝑐)
Ma siccome f(𝑥0) = 0 e g(𝑥0) = 0 mi rimane:
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑓′(𝑐𝑥)
𝑔′(𝑐𝑥)
Siccome c dipende da x, pongo cx = y e sapendo che y tende a 𝑥0 per il teorema dei carabinieri
ho la tesi:
lim
𝑥 𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥 𝑥0
𝑓′(𝑐𝑥)
𝑔′(𝑐𝑥)
= lim
𝑥 𝑥0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)

17. Teorema di De
L’Hopital