Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
NGUYỄN THỊ HOÀNG GIANG
ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
NGUYỄN THỊ HOÀNG GIANG
ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Văn Ngọc
THÁI NGUYÊN - 2018

Möc löc
Líi c£m ìn 1
Mð ƒu 2
Ch÷ìng 1C¡c kh¡i ni»m v ành lþ cì b£n cıa h…nh håc phflng 4
1.1. Kþ hi»u v h» thøc cì b£n trong tam gi¡c . . . . . . . . . . 4
1.2. ành lþ Thales v ành lþ Pythagoras . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. ành lþ Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. ành lþ Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. ành lþ h m sŁ sin v ành lþ h m sŁ cosin . . . . . . . . . . 7
1.3.1. ành lþ h m sŁ sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. ành lþ h m sŁ cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. ành lþ Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. ành lþ ÷íng trung tuy‚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. ành lþ v• ÷íng ph¥n gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Cæng thøc gâc chia æi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8. Cæng thøc v• di»n t‰ch cıa tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9. T¿ sŁ di»n t‰ch hai tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10. ÷íng thflng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ch÷ìng 2 çng quy cıa c¡c ÷íng thflng 18
2.1. C¡c i”m °c bi»t nŒi ti‚ng trong tam gi¡c . . . . . . . . . . 18
2.1.1. C¡c i”m °c bi»t quen bi‚t . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Mºt sŁ i”m °c bi»t kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. ành lþ Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Mºt sŁ mð rºng cıa ành lþ Ceva trong m°t phflng . . . . . . 21
2.3.1. ành lþ Ceva d⁄ng sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2. Mð rºng ành lþ Ceva trong m°t phflng . . . . . . . . 22
2.4. B i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

i
Ch÷ìng 3C¡c i”m thflng h ng 34
3.1. ành lþ Pascal v ành lþ Simson . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1. ành lþ Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2. ành l‰ Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. ành lþ Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Mð rºng ành lþ Menelaus trong m°t phflng . . . . . . . . . 37
3.3.1. Mð rºng ành lþ Menelaus trong tam gi¡c . . . . . . . 37
3.3.2. Mð rºng ành lþ Menelaus theo di»n t‰ch . . . . . . . . 38
3.3.3. Mð rºng ành lþ Menelaus trong tø gi¡c . . . . . . . . 39
3.4. ành lþ Desargues v ành lþ Pappus . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.1. ành lþ Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.2. ành lþ Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5. Tam gi¡c phŁi c£nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6. B i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7. Mºt sŁ ph÷ìng ph¡p chøng minh quan h» çng quy v thflng
h ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7.1. Ph÷ìng ph¡p vectì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7.2. Ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7.3. Ph÷ìng ph¡p bi‚n h…nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
K‚t lu“n 61
T i li»u tham kh£o 62

1
Líi c£m ìn
Líi ƒu ti¶n em xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c nh§t tîi ng÷íi Thƒy k‰nh
m‚n TS. Nguy„n V«n Ngåc, ¢ t“n t…nh h÷îng d¤n, gióp ï em trong suŁt
qu¡ tr…nh l m v ho n thi»n lu“n v«n.
Em xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƒy, cæ gi¡o khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ⁄i
håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, phÆng o t⁄o Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc,
nhœng ng÷íi ¢ trüc ti‚p gi£ng d⁄y v gióp ï em trong qu¡ tr…nh håc t“p t⁄i
Tr÷íng.
Em xin c£m ìn b⁄n b– v c¡c håc vi¶n trong lîp cao håc to¡n K10C Th¡i
Nguy¶n ¢ luæn quan t¥m, ºng vi¶n, gióp ï em trong suŁt thíi gian håc
t“p v qu¡ tr…nh l m lu“n v«n.
Sü quan t¥m, ºng vi¶n v kh‰ch l» cıa gia …nh công l nguçn ºng
vi¶n lîn ” em ho n th nh khâa lu“n n y. Còng to n th” b⁄n b– v ng÷íi th¥n
¢ âng gâp þ ki‚n, gióp ï, ºng vi¶n em trong qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n
cøu v ho n th nh lu“n v«n n y.
Tuy nhi¶n, do sü hi”u bi‚t cıa b£n th¥n v trong khuæn khŒ cıa lu“n
v«n th⁄c sÿ n¶n b£n lu“n v«n mîi ch¿ tr…nh b y ÷æc mºt phƒn n o â. Do
thíi gian câ h⁄n v n«ng lüc câ phƒn h⁄n ch‚ n¶n ch›c ch›n lu“n v«n
khæng tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât. K‰nh mong nh“n ÷æc þ ki‚n âng
gâp cıa c¡c thƒy cæ v b⁄n b– çng nghi»p ” b£n lu“n v«n ÷æc ho n
ch¿nh hìn.
Em xin ch¥n th nh c£m ìn.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2018
Ng÷íi vi‚t lu“n v«n
Nguy„n Thà Ho ng Giang

2
Mð ƒu
D⁄ng to¡n v• çng quy cıa c¡c ÷íng thflng v thflng h ng cıa c¡c i”m l
nhœng d⁄ng to¡n cì b£n cıa mæn h…nh håc. Nhœng d⁄ng to¡n n y
th÷íng l khâ Łi vîi phƒn lîn c¡c håc sinh, k” c£ nhœng håc sinh kh¡ giäi.
Ki‚n thøc lþ thuy‚t v• ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu nhœng d⁄ng to¡n n y hƒu
nh÷ ch÷a câ, m chı y‚u düa v o kinh nghi»m công nh÷ t÷ duy gi£i to¡n
cıa mØi ng÷íi.
C¡c t i li»u v• çng quy v thflng h ng trong h…nh håc phflng xu§t hi»n
d÷îi nhi•u t i li»u tŒng hæp tł c¡c chuy¶n gia quŁc t‚, nh÷ cıa Kim Y.Li [4],
Heather Macbeth [5], V.Prasolov [6], Po-Shen Loh [7], Wong Yan Loi
[8]. — trong n÷îc công câ nhœng nghi¶n cøu li¶n quan ‚n v§n • to¡n
håc v• çng quy v thflng h ng trong h…nh håc phflng cıa c¡c nh to¡n håc
nh÷ Vi QuŁc Dông [1], Nguy„n V«n Nho [2], Nguy„n «ng Ph§t [3]. Qua
â, chóng ta câ th” th§y sü thó và v quan trång cıa chı • n y trong to¡n
håc Łi vîi gi¡o vi¶n d⁄y phŒ thæng v håc sinh phŒ thæng y¶u th‰ch
h…nh håc. T…m hi”u v håc t“p v• t‰nh çng quy v thflng h ng trong
h…nh håc phflng l cƒn thi‚t cho vi»c n¥ng cao ki‚n thøc cıa gi¡o vi¶n
trong cæng vi»c gi£ng d⁄y v bçi d÷ïng cho håc sinh ð c¡c tr÷íng THPT.
Do â em chån chı • çng quy v thflng h ng trong h…nh håc phflng ” l m •
t i lu“n v«n cao håc.
Lu“n v«n câ bŁ cöc mð ƒu, ba ch÷ìng, k‚t lu“n v t i li»u tham kh£o.
Ch÷ìng 1: C¡c kh¡i ni»m v ành lþ cì b£n cıa h…nh håc phflng. Nºi
dung ch÷ìng n¶u ra mºt sŁ kh¡i ni»m v ành lþ cì b£n cıa h…nh håc
phflng.
Ch÷ìng 2: çng quy cıa c¡c ÷íng thflng. Trong ch÷ìng n y em xin
tr…nh b y c¡c ki‚n thøc v• ÷íng thflng çng quy, °c bi»t l ành lþ Ceva vîi
c¡c mð rºng tr¶n m°t phflng. Ngo i ra cÆn giîi thi»u mºt sŁ i”m °c bi»t
trong tam gi¡c ÷æc t⁄o n¶n bði c¡c ÷íng thflng °c bi»t çng

3
quy v mºt sŁ b i to¡n ti¶u bi”u.
Ch÷ìng 3: Thflng h ng v çng quy. Ch÷ìng n y tr…nh b y c¡c ki‚n thøc
li¶n quan ‚n c¡c i”m thflng h ng v mºt sŁ ành lþ ti¶u bi”u, công nh÷ mºt
sŁ ph÷ìng ph¡p chøng minh quan h» çng quy v thflng h ng.

4
Ch÷ìng 1
C¡c kh¡i ni»m v ành lþ cì b£n cıa
h…nh håc phflng
Trong ch÷ìng n y, ƒu ti¶n em tr…nh b y c¡c k‰ hi»u v h» thøc cì
b£n trong tam gi¡c. Sau â em tr…nh b y mºt sŁ ành lþ cì b£n cıa h…nh
håc phflng. Nºi dung cıa ch÷ìng ÷æc tham kh£o tł c¡c t i li»u [2, 4].
1.1. Kþ hi»u v h» thøc cì b£n trong tam gi¡c
K‰ hi»u ABC l tam gi¡c ABC vîi c¡c ¿nh l A; B; C. ” thu“n ti»n, º lîn
cıa c¡c gâc øng vîi c¡c ¿nh A; B; C công ÷æc k‰ hi»u t÷ìng øng l A; B;
C.
º d i c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c: BC = a; CA = b; AB = c.
a + b + c
Nßa chu vi cıa tam gi¡c: p = .
÷íng cao vîi c¡c c⁄nh: ha; hb; hc.
÷íng trung tuy‚n vîi c¡c c⁄nh: ma; mb; mc.
÷íng ph¥n gi¡c vîi c¡c c⁄nh: la; lb; lc.
B¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p R, b¡n k‰nh ÷íng trÆn nºi ti‚p r.
B¡n k‰nh ÷íng trÆn b ng ti‚p c¡c c⁄nh: Ra; Rb; Rc.
Di»n t‰ch tam gi¡c ABC: S = SABC hay [ABC].
H» thøc v• gâc:
A + B + C = 180o
( ):
H» thøc v• c⁄nh:
jb cj < a < b + c; jc aj < b < c + a; ja bj < c < a + b:

5
Cæng thøc t‰nh di»n t‰ch tam gi¡c. Di»n t‰ch tam gi¡c b‹ng mºt
nßa t‰ch cıa mºt c⁄nh vîi ÷íng cao t÷ìng øng:
1 1 1
[ABC] =
2
ah
a
=
2
bh
b
=
2
ch
c
:
1.2. ành lþ Thales v ành lþ Pythagoras
1.2.1. ành lþ Thales
ành ngh¾a 1.2.1. Hai o⁄n thflng AB v CD gåi l t¿ l» vîi hai o⁄n thflng
A0
B0
v C0
D0
n‚u câ t¿ l» thøc
AB A0
B0
AB CD
= hay = : (1.1)
CD C0D0 A0B0 C0D0
ành lþ 1.2.1. ( ành lþ Thales trong tam gi¡c). N‚u mºt ÷íng c›t hai c⁄nh
cıa mºt tam gi¡c v song song vîi c⁄nh cÆn l⁄i th… nâ ành ra tr¶n hai c⁄nh
cÆn l⁄i nhœng o⁄n thflng t¿ l».
Chøng minh. X†t tam gi¡c ABC v gi£ sß ÷íng thflng xx0
==BC, c›t
H…nh 1.1:
c⁄nh AB v AC t÷ìng øng t⁄i D v E. Ta s‡ chøng minh
AD =AE : (1.2)
DB EC
V… DE song song vîi BC, n¶n di»n t‰ch tam gi¡c DEB b‹ng di»n
t‰ch tam gi¡c DEC. Trong tam gi¡c ABE k· ÷íng cao EF . Khi â
1
AD:EF
[ADE] AD
=
2
= : (1.3)
[BDE] 1
BD:EF
BD
2

6
T÷ìng tü ta câ
[ADE] =AE : (1.4)
CE
[BDE]
Tł (1.3) v (1.4) suy ra h» thøc (1.2).
ành lþ 1.2.2. ( ành lþ Thalet £o) N‚u mºt ÷íng c›t hai c⁄nh cıa mºt tam
gi¡c v ành ra tr¶n hai c⁄nh n y nhœng o⁄n thflng t÷ìng øng t¿ l» th…
÷íng thflng â song song vîi c⁄nh cÆn l⁄i cıa tam gi¡c.
Chøng minh. Gi£ sß ÷íng thflng xx0
c›t c¡c c⁄nh AB; AC cıa tam
AB AC
gi¡c ABC theo thø tü t⁄i D v E, sao cho DB = EC .
Ta ph£i chøng minh DE==BC.
Qua D k· ÷íng thflng song song vîi c⁄nh BC c›t c⁄nh AC t⁄i i”m
E0
. Theo ành lþ thu“n ta câ
AB AE0
)
AE0
AE
= =
DB E0
C E0
C EC
AE0
AE AE0
+ E0
C AE+EC AC AC
, + 1 = + 1 , = , = ;
E0
C EC E0
C EC E0
C EC
hay E0
C = EC0
, tøc l E E0
. Do â DE==BC.
H» qu£ 1.2.1. Nhi•u ÷íng thflng song song ành ra tr¶n hai c¡t tuy‚n
nhœng o⁄n thflng t÷ìng øng t l».
1.2.2. ành lþ Pythagoras
ành ngh¾a 1.2.2. Tam gi¡c vuæng l tam gi¡c câ mºt gâc vuæng. C⁄nh
Łi di»n vîi gâc vuæng ÷æc gåi l c⁄nh huy•n, hai c⁄nh k• gâc vuæng ÷æc
gåi l hai c⁄nh k• hay hai c⁄nh gâc vuæng.
ành lþ 1.2.3. ( ành lþ Pythagoras thu“n) Trong tam gi¡c vuæng,
b…nh ph÷ìng º d i c⁄nh huy•n b‹ng tŒng b…nh ph÷ìng º d i hai c⁄nh
gâc vuæng. N‚u tam gi¡c ABC vuæng t⁄i A th… a2
= b2
+ c2
.
Chøng minh.
Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, gi£ sß r‹ng b c. Düng h…nh vuæng
BCP Q câ º d i c¡c c⁄nh b‹ng a, düng v o b¶n trong h…nh vuæng 4 tam
gi¡c vuæng b‹ng tam gi¡c vuæng ABC.

7
H…nh 1.2:
Ta th§y di»n t‰ch cıa h…nh vuæng c⁄nh a b‹ng tŒng di»n t‰ch cıa 4 tam
gi¡c vuæng b‹ng tam gi¡c ABC vîi di»n t‰ch cıa h…nh vuæng c⁄nh (b c).
V“y ta câ a2
= 4:
1
:bc + (b c)2
= 2bc + b2
2bc + c2
= b2
+ c2
.
2
ành lþ 1.2.4. ( ành lþ Pythagoras £o) N‚u b…nh ph÷ìng º d i mºt c⁄nh
cıa tam gi¡c b‹ng tŒng b…nh ph÷ìng º d i cıa hai c⁄nh kia, th… gâc cıa
tam gi¡c n‹m giœa hai c⁄nh â b‹ng gâc vuæng. N‚u trong tam gi¡c
ABC m a2
= b2
+ c2
th… Ab = 90o
.
K‚t lu“n: Mºt tam gi¡c l vuæng khi v ch¿ khi b…nh ph÷ìng º d i cıa
mºt c⁄nh b‹ng tŒng b…nh ph÷ìng º d i cıa hai c⁄nh kia.
1.3. ành lþ h m sŁ sin v ành lþ h m sŁ cosin
1.3.1. ành lþ h m sŁ sin
ành lþ 1.3.1. Trong tam gi¡c ABC câ c¡c h» thøc
a
=
b
=
c
= 2R: (1.5)
sin A sin B sin C
Chøng minh.
V‡ ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c ABC. V… c¡c gâc A; B; C câ vai trÆ
nh÷ nhau, n¶n chóng ta ch¿ chøng minh (1.5) cho gâc A.
V‡ ÷íng k‰nh BA0
.
+) N‚u A = 90o
, th… sin A = 1, a = 2R, n¶n (1.5) óng.
+) X†t tr÷íng hæp A nhån.
Ta câ A = A0
(gâc nºi ti‚p còng ch›n mºt cung nhä BC) do â:
sin A = sin A0
BA
BC
0 = 2
a
R , sin
a
A = 2R:

8
H…nh 1.3:
+) X†t tr÷íng hæp A tò.
Khi â A + A0
= 180o
, do â
sin A = sin (180o
A0
) = sin A0
=
BC
=
a
,
a
= 2R:
BA0
2R sin A
1.3.2. ành lþ h m sŁ cosin
ành lþ 1.3.2. Trong tam gi¡c ABC câ c¡c h» thøc
a2
= b2
+ c2
2bc cos A; (1.6)
b2
= a2
+ c2
2ac cos B; (1.7)
c2
= a2
+ b2
2ab cos C: (1.8)
Chøng minh.
C¡ch 1 (Dòng cæng cö vectì). Vai trÆ cıa a; b; c nh÷ nhau, ta ch¿ chøng
minh cæng thøc (1.6).
! ! ! ! !
!
” ìn gi£n ta °t: a = BC; b = AC; c = BA:
Ta câ ! ! ! !a 2 ! !
a = b + c
)
= ( b + c )2
! a2
! ! ! !
, = b 2
+ c 2
+ 2bc: cos ( b ; c )
!
2!2
!
! = b + c + 2 b
c
!2 2 2 2 2
, a = b + c + 2bc: cos ( A) = b + c 2bc: cos A:
C¡ch 2 (Dòng cæng cö ⁄i sŁ). ¥y ch‰nh l øng döng cıa ành lþ
Pythagoras.
Tr÷íng hæp c£ hai gâc B; C •u l gâc nhån. p döng ành lþ Pythago-
ras cho hai tam gi¡c vuæng ACH v ABH ta câ AH2
+ CH2
= AC2
v AH2
+ BH2
= AB2
:

9
H…nh 1.4:
Trł t÷ìng øng 2 v‚ cıa 2 flng thøc tr¶n ta ÷æc
CH2
BH2
= AC2
AB2
) (BC BH)2
BH2
= AC2
AB2
) BC2
2BC:BH = AC2
AB2
hay a2
2a:BH = b2
c2
.
Do â
a2
+ c2
b2
BH = : (1.9)
2a
Trong tam gi¡c vuæng ABH câ cos B = BH .
AB
K‚t hæp vîi (1.9) ta suy ra:
cos B =
a2
+ c2
b2
2ac
hay
b2
= a2
+ c2
2ac cos B:
T÷ìng tü ta chøng minh ÷æc
c2
= a2
+ b2
2ab cos C; a2
= b2
+ c2
2bc cos A:
1.4. ành lþ Stewart
ành lþ 1.4.1. Cho ABC tia
Am cıa gâc A, c›t c⁄nh
BM = m; M C = n. Khi â:
a(p2
vîi c¡c º d i BC = a; CA = b; AB = c. K· BC
t⁄i M. Gi£ sß AM = p;
+ mn) = mb2
+ nc2
: (1.10)

10
Chøng minh. p döng ành lþ h m sŁ cosin cho c¡c tam gi¡c AM B v AM
C, ta câ
c
2 2
+ m
2
b
2 2 2
= p 2pm cos (AM B); = p + n 2pn cos (AM C):

Chó þ r‹ng cos (AM B) = cos ( AMB) = cos (AM C); n¶n ta câ
c
2 2 2
b
2 2
+ n
2
= p + m + 2pm cos (AM C); = p 2pn cos (AM C):
Suy ra
nc2
+ mb2
= p2
(n + m) + mn(m + n) = (m + n)(p2
+ mn) = a(p2
+ mn):
) a(p2
+ mn) = mb2
+ nc2
( pcm):
1.5. ành lþ ÷íng trung tuy‚n
ành lþ 1.5.1. Trong mºt tam gi¡c ba ÷íng trung tuy‚n g°p nhau t⁄i mºt
i”m ÷æc gåi l trång t¥m cıa tam gi¡c. Tr¶n mØi ÷íng trung tuy‚n, kho£ng
c¡ch tł trång t¥m ‚n ¿nh b‹ng hai lƒn kho£ng c¡ch trång t¥m ‚n ch¥n
÷íng trung tuy‚n.
ành lþ 1.5.2. ( ành lþ Apollonius - Pappus). Trong tam gi¡c ABC câ
c¡c h» thøc sau ¥y v• ÷íng trung tuy‚n.
b2 + c2
a2 c2
+ a2
b2 a2
+ b2
c2
ma
2
= ; mb
2
= ; mc
2
= : (1.11)
2 4 2 4 2 4
Chøng minh.
C¡ch 1: Theo phƒn chøng minh ành lþ cosin trong tam gi¡c ta câ k‚t
qu£:
a2
+ c2
b2
BH = :
2a
Gi£ sß AB < AC th… BH < BM n¶n
a a2
+ c2
b2
c2
b2
b2
c2
HM=BM BH= = )HM= :
2 2a 2a 2a

11
Tł â
ma
2
= AM2
= AH2
+ HM2
= AB2
BH2
+ HM2
a2
+ c2
b2
2
c2 b2
2
a4 a2
(c2
b2
)
= c2
+ = c2
+ 2
2a 2a 4a2
) ma
2
=
c2 + b2
a2
:
2 4
T÷ìng tü ta câ m2
=
c2
+ a2
b2
m2
a2
+ b2
c2
; = :
b 2 4 c 2 4
C¡ch 2: Trong cæng thøc (1.10) °t p = ma; m = n =
a
, ta câ
2
2 a2
a 2 2
)
2 b2
+ c2
a2
a(ma + ) = (b + c )
m
a = :
4 2 2 4
C¡c cæng thøc cÆn l⁄i ÷æc chøng minh t÷ìng tü.
1.6. ành lþ v• ÷íng ph¥n gi¡c
ành lþ 1.6.1. ÷íng ph¥n gi¡c trong cıa gâc øng vîi mºt ¿nh cıa tam
gi¡c chia c⁄nh Łi di»n vîi ¿nh th nh hai o⁄n t¿ l» vîi hai c⁄nh k•.
Chøng minh. Cho tam gi¡c ABC
AB

gâc BAC. Ta ph£i chøng minh AC
Qua i”m B v‡ ÷íng thflng song
song vîi c⁄nh AC, c›t ÷íng thflng

AD t⁄i i”m E. Ta câ BAE = EAC
v AD l ÷íng ph¥n gi¡c trong cıa
=
DB
DC.

le
(gi£ thi‚t) v BEA=EAC (so
trong).

Suy ra BAE = BEA. Do â tam
gi¡c BAE c¥n, n¶n AB = BE.
p döng h» qu£ cıa ành lþ
H…nh 1.5:
BE DB
Thales ta câ = .
AC DC
AB DB
Nh÷ng BE = AB, do â = .
AC DC

12
Chó þ: ành lþ v¤n óng Łi vîi ÷íng ph¥n gi¡c ngo i cıa tam gi¡c
AB D0
B
AC
=
D0C
.
ành lþ 1.6.2. (Cæng thøc ÷íng ph¥n gi¡c). º d i c¡c ph¥n gi¡c la; lb; lc cıa
gâc A; B; C trong tam gi¡c ABC t÷ìng øng ÷æc t‰nh theo cæng thøc
la =
2bc
: cos
A
; lb =
2ca
: cos
B
; lc =
2ab
: cos
C
: (1.12)
b + c 2 c + a 2 a + b 2
ành lþ 1.6.3. ( ành lþ Steiner - Lehmus). Tam gi¡c câ hai ÷íng ph¥n
gi¡c b‹ng nhau l tam gi¡c c¥n.
1.7. Cæng thøc gâc chia æi
ành lþ 1.7.1. Cæng thøc gâc chia æi:
r
sin (A ) = (p b)(p c);
bc
2
cos ( 2 ) =
r
p(pbc a) ;
A
tan ( 2 ) = s = p a
:
(
p
p(p
)(
a)
c
)
A b p r
Chøng minh.
H…nh 1.6:
V‡ tia ph¥n gi¡c AL cıa tam gi¡c ABC. Ta câ
BL
=
AB
=
c
,
BL
=
c
,BL=
ac
:
CL AC b BL+CL c + b b + c
p döng ành lþ h m sŁ cosin cho ABL, ta câ
AL2
= AB2
+ AL2
2AB:AL: cos B

13
= c2
+
a2c2
2
ac2
c2
+ b2
a2
=
c
(2cb2
+ bc2
ba2
(b + c)2
b + c 2bc (b + c)2
= bc (b + c)2
a2
= 4bc p(p a):
2
(
(b + c)2 2
b + c)2
,AL= qb:c:p(p a) , la = q b:c:p(p a):
(b + c) (b + c)
M°t kh¡c [ABC] = [ABL] + [ACL] = 1AB:AL: sin A +1AC:AL: sin
2 22
1 A A
q
b:c:p(p
= la(b + c) sin = a) sin :
2 2 2
Do âsin 2 = b:c:p(p a)
= r
(p
bc
c
):
A [ABC] b)(p
cæng thøc A :
Chøng minh p cos 2
Ta câ
cos2
A 1 + cos A 1 b2
+ c2
a2
1
[(b + c)2
a2
]
= = (1 + ) =
2 2
2bc 4bc
2
= 1 (b + c + a)(b + c + a 2a) = p(p a)
4bc bc
, cos 2 = r ( bc
a
):
A p p
A
Chøng minh cæng thøc tan ( 2 ).
+ b3
)
A
2
H…nh 1.7:
Gåi O l ÷íng trÆn nºi ti‚p tam gi¡c ABC. Gi£ sß (I) ti‚p xóc vîi BC;
CA; AB lƒn l÷æt t⁄i A1; B1; C1.
°t AB1 = AC1 = x; BC1 = BA1 = y;
CA1 = CB1 = z:
Ta câ 2x + 2y + 2z = (x + y) + (y + z) + (z + x)

14
= (AC1 + BC1) + (BA1 + CA1) + (CB1 + AB1)
= AB + BC + CA = 2p:
, x + y + z = p:
M y + z = BA1 + CA1 = CA = a , x = p (y + z) = p a:
A IC1 r
Trong AC1I vuæng t⁄i C1, ta câ tan 2 = tan IAC1 = AC1 =p a :
= p
= s
M r =
[
p ] (p )( p b)(p c):
p(p a)(p b)(p c)
ABC p a p
s
Do â tan 2 = :
(
p
p(p
)(
a)
c
)
A b p
C¡c cæng thøc cÆn l⁄i ÷æc suy ra tł cæng thøc n y b‹ng c¡ch ¡p döng
c¡c h» thøc cì b£n.
1.8. Cæng thøc v• di»n t‰ch cıa tam gi¡c
1 1 1
[ABC] = aha = bhb = chc; (1.13)
2 2 2
= 1 bc sin A =1 ca sin B =1 ab sin C; (1.14)
2 2 2
= abc ; (1.15)
4R
= 2R2
sin A: sin B: sin C; (1.16)
= pr; (1.17)
= (p a)ra = (p b)rb = (p c)rc; (1.18)
=
q
p(p a)(p b)(p c): (1.19)
Ta i chøng minh mºt sŁ cæng thøc t‰nh di»n t‰ch tam gi¡c. 1
Chøng minh cæng thøc (1.14). Ta¢ bi‚t [ABC] = 2aha.

Nh÷ng ha = AC: sin ACH = b: sin ACH. N‚u gâc C cıa tam gi¡c
o C, trong
ABC nhån th… ACH = C v n‚u gâc C tò th… ACH = 180
câ C. b
sin
ACH
= sin
c£ hai tr÷íng hæp ta •u
b
b

15
H…nh 1.8:
Bði v“y ta câ [ABC] =
1
2ab sin C. Tr÷íng hæp °c bi»t n‚u C = 90o
th… ha = b v sin C = 1 n¶n ta v¤n câ cæng thøc â.
Chøng minh t÷ìng tü ta câ [ABC] =
1
2bc sin A =
1
2ca sin B:
H…nh 1.9:
c
Tł cæng thøc (1.14) thay sin C = 2R ta câ ngay cæng thøc (1.15).
Chøng minh cæng thøc (1.17).
Gi£ sß ÷íng trÆn nºi ti‚p câ t¥m I v ti‚p xóc ba c⁄nh cıa tam gi¡c t⁄i A0
;
B0
; C0
nh÷ h…nh v‡ tr¶n. Di»n t‰ch tam gi¡c ABC b‹ng tŒng di»n
t‰ch ba tam gi¡c OBC; OCA; OAB, c¡c tam gi¡c â câ c¡c ÷íng cao l
OA0
= OB0
= OC0
= r.
Bði v“y [ABC] =
1
2ar +
1
2br +
1
2cr =
1
2(a + b + c)r = pr:
Chøng minh cæng thøc (1.19). Tł h» thøc ¢ bi‚t
sin2
A + cos2
A = 1: (1.20)
Sß döng ành lþ h m sŁ sin v h m sŁ cosin, trong (1.20) thay
sin A =
4S
cos A =
b2
+ c2
a2
v ta câ
2bc
2bc
16S2
= 4b2
c2
(b2
+ c2
a2
)2
= (2bc + b2
+ c2
a2
)(2bc b2
c2
+ a2
)

16
= [(b + c)2
a2
][a2
(b c)2
]
= (b + c + a)(b + c a)(a + b c)(a b + c)
= (b + c + a): (b + c a) : (a + c b) : (a + b c)
4
4 4 4
= p(p a)(p b)(p c):
q
) S = p(p a)(p b)(p c):
1.9. T¿ sŁ di»n t‰ch hai tam gi¡c
BŒ • 1.9.1. (BŒ • v• t¿ sŁ di»n t‰ch hai tam gi¡c). Gi£ sß B0
v C0
t÷ìng øng l c¡c i”m tuý þ tr¶n c⁄nh AB v AC cıa tam gi¡c ABC. Kþ hi»u S = [ABC]; S0 =
[A0B0C0]. Khi â
S0
=
AB0:AC0
:
S AB:AC
Chøng minh. Ta câ
S0 1:AB0
:AC0
: sin A AB0
:AC0
2
= = : (1.21)
S 1
AB:AC
:AB:AC: sin A
2
ành lþ 1.9.1. N‚u hai o⁄n thflng AB P Q M, th… ta câ
[ABP] =P M : (1.22)
[ABQ] QM
1.10. ÷íng thflng Euler
ành lþ 1.10.1. Trong mºt tam gi¡c, trüc t¥m H; trång t¥m G v t¥m cıa
÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p O thflng h ng.
ành ngh¾a 1.10.1. ÷íng thflng i qua ba i”m trüc t¥m trång t¥m v t¥m
cıa ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p ÷æc gåi l ÷íng thflng Euler.
Chøng minh.
Gi£ sß H; G; O t÷ìng øng l trüc t¥m, trång t¥m v t¥m ÷íng trÆn ngo⁄i
ti‚p tam gi¡c ABC: Gåi E; F t÷ìng øng l trung i”m cıa c¡c c⁄nh BC v AC:
Ta câ EF song song AB; OF song song BH (còng vuæng gâc

vîi AC ), OF E = BAH (gâc câ c⁄nh t÷ìng øng song song).

17
Do â tam gi¡c ABH çng d⁄ng vîi tam gi¡c EF O: Ta câ
AH
OE = EF
AB
= 2:
L⁄i câ
AH
OE = EG
AG
= 2:

Ngo i ra HAG = OEG: Do â HAG v EOG: Suy ra

HGA = OEG; HGA + AOG = 180 :
V“y c¡c i”m H; G; O thflng h ng. ành lþ ÷æc chøng minh.

18
Ch÷ìng 2
çng quy cıa c¡c ÷íng thflng
Trong ch÷ìng n y tr…nh b y mºt sŁ ành lþ v• c¡c ÷íng thflng çng quy.
çng thíi n¶u ra nhi•u b i to¡n chån låc trong c¡c • thi håc sinh giäi hay
væ àch cıa c¡c n÷îc, khu vüc v quŁc t‚ v• t‰nh çng quy cıa c¡c ÷íng
thflng trong h…nh håc phflng. Nºi dung cıa Ch÷ìng 2 ÷æc tŒng hæp v
tham kh£o tł c¡c t i li»u [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8].
2.1. C¡c i”m °c bi»t nŒi ti‚ng trong tam gi¡c
Möc n y giîi thi»u mºt sŁ i”m °c bi»t trong tam gi¡c l giao i”m cıa cıa
c¡c ÷íng thflng °c bi»t. V… º phøc t⁄p công nh÷ khuæn khŒ câ h⁄n, s‡
khæng tr…nh b y chøng minh c¡c i”m °c bi»t n y m ch¿ n¶u ra c¡c ành
ngh¾a công nh÷ c¡c m»nh • li¶n quan ‚n c¡c i”m °c bi»t.
2.1.1. C¡c i”m °c bi»t quen bi‚t
1) T¥m ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p. Trong tam gi¡c ABC, c¡c ÷íng trung trüc
c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c çng quy t⁄i i”m O l t¥m cıa ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam
gi¡c ABC.
2) T¥m ÷íng trÆn nºi ti‚p. Trong tam gi¡c ABC, c¡c ÷íng ph¥n gi¡c
c¡c gâc cıa tam gi¡c çng quy t⁄i i”m I l t¥m cıa ÷íng trÆn nºi ti‚p tam gi¡c
ABC.
3) Trång t¥m. Trong tam gi¡c ABC, c¡c ÷íng trung tuy‚n øng vîi
c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c çng quy t⁄i i”m G ÷æc gåi l trång t¥m cıa tam gi¡c
ABC.
4) Trüc t¥m. Trong tam gi¡c ABC, c¡c ÷íng cao øng vîi c¡c ¿nh cıa
tam gi¡c çng quy t⁄i i”m H ÷æc gåi l trüc t¥m cıa tam gi¡c

19
ABC.
2.1.2. Mºt sŁ i”m °c bi»t kh¡c
1) i”m Gergonne. Trong tam gi¡c ABC ba o⁄n thflng nŁi c¡c ¿nh
cıa tam gi¡c vîi ti‚p i”m cıa c⁄nh Łi di»n vîi ÷íng trÆn nºi ti‚p çng quy t⁄i
i”m Gn ÷æc gåi l i”m Gergonne.
2) i”m Nagel. Trong tam gi¡c ABC ba o⁄n thflng nŁi c¡c ¿nh cıa
tam gi¡c vîi ti‚p i”m cıa c⁄nh Łi di»n vîi ÷íng trÆn b ng ti‚p çng quy t⁄i i”m
N ÷æc gåi l i”m Nagel.
3) i”m Toricelli. i”m M trong tam gi¡c ABC câ t‰nh ch§t M A +
M B + M C ⁄t gi¡ trà nhä nh§t ÷æc gåi l i”m Toricelli.
4) i”m Miquel. Cho 4 ÷íng thflng c›t nhau t⁄i 6 i”m t⁄o th nh 4 tam
gi¡c. C¡c ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p 4 tam gi¡c n y câ mºt i”m chung gåi l i”m
Miquel.
5) i”m Napoleon. Gåi A0
; B0
; C0
l t¥m cıa ba tam gi¡c •u düng ra
ph‰a ngo i cıa tam gi¡c ABC b§t ký, sao cho A0
; B0
; C0
t÷ìng øng Łi
di»n vîi c¡c i”m A; B; C. Khi â ba ÷íng thflng AA0
; BB0
; CC0
çng quy t⁄i
mºt i”m, ÷æc gåi l i”m Napoleon thø nh§t. T÷ìng tü n‚u c¡c tam gi¡c •u
÷æc düng v• ph‰a trong cıa tam gi¡c ¢ cho, th… ta câ i”m Napoleon
thø hai.
6) i”m Fermat. Cho tam gi¡c ABC. Düng ra ph‰a ngo i (v o trong)
c¡c tam gi¡c •u BCM; ACN; ABP . Khi â t¥m phŁi c£nh cıa tam gi¡c
ABC v tam gi¡c M N P ÷æc gåi l i”m Fermat thø nh§t (thø hai) hay ng÷íi
ta cÆn gåi l i”m Fermat d÷ìng (¥m).
7) i”m Brocard. Trong mºt tam gi¡c ABC cho tr÷îc câ hai i”m

Brocard M,N ÷æc x¡c ành sao cho: M AB = M BC = M CA v N AC =

NCB = NBA
8) i”m Schiffler. Cho tam gi¡c ABC câ I l t¥m ÷íng trÆn nºi ti‚p tam
gi¡c. Khi â 4 ÷íng thflng Euler cıa tam gi¡c IAB; IAC; IAB v ABC çng
quy t⁄i i”m Schiffler cıa tam gi¡c.
9) i”m Feuerbach. Trong mºt tam gi¡c, ÷íng trÆn Euler ti‚p xóc vîi
÷íng trÆn nºi ti‚p cıa nâ, v ti‚p i”m â ÷æc gåi l i”m Feuerbach cıa tam
gi¡c tr¶n.
10) i”m Kosnita. Cho tam gi¡c ABC; O l t¥m ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam
gi¡c. Gåi O1; O2; O3 l t¥m c¡c ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c

20
BOC; AOC; AOB. Khi â ba ÷íng thflng AO1; BO2 v CO3 çng quy t⁄i i”m
Kosnita cıa tam gi¡c.
11) i”m Parry reflection. Cho tam gi¡c ABC. K· qua A; B; C c¡c ÷íng
thflng a; b; c song song vîi nhau v song song vîi ÷íng thflng Euler cıa
tam gi¡c. Gåi a0
; b0
; c0
lƒn l÷æt l c¡c ÷íng Łi xøng vîi a; b; c qua BC;
CA; AB. Khi â c¡c ÷íng n y çng quy t⁄i i”m Parry reflection cıa tam gi¡c
ABC.
2.2. ành lþ Ceva
ành lþ 2.2.1. ( ành lþ Ceva) Cho tam gi¡c ABC v c¡c i”m A1; B1; C1
lƒn l÷æt thuºc c¡c c⁄nh BC; CA; AB. Khi â AA1; BB1; CC1 çng quy khi v
ch¿ khi
A1B :B1C :C1A = 1: (2.1)
A1C B1A C1B
Chøng minh.
Chi•u thu“n: Cho AA1, BB1, CC1 çng
quy, ta chøng minh (2.1).
Gi£ sß BB1; CC1 c›t ÷íng thflng
qua A song song vîi BC lƒn l÷æt t⁄i I
v K. p döng ành lþ Thales ta câ:
B1C BC C1A AK
= ; = : (2.2)
B1A IA C1B BC
Hìn nœa ta câ H…nh 2.1:
IA
=
AM
=
KA
)
A1B
=
AI
: (2.3)
A1B M A1 A1C A1C AK
A1B B1C C1A IA BC AK
Tł (2.2) v (2.3) ta câ : : = : : = 1:
Chi•u nghàch: Gi£ sß ta câ h» thøc (2.1), ta cƒn chøng minh AA1;
BB1; CC1 çng quy.
Gåi M l giao i”m cıa AA1 v BB1, C0
l giao i”m cıa CP v AB.
Khi â ¡p döng phƒn tr¶n ta câ
: =
A1B :B1C C0A 1: (2.4)
A1C B1A C0
B

21
Tł (2.1) v (2.4) ta câ
C1A
=
C0
A
) C1 C0
(Do C1 v C0
còng
C1B C0
B
thuºc c⁄nh AB). V“y AA1; BB1; CC1 çng quy t⁄i P .
Bº ba ÷íng thflng AA1; BB1; CC1 çng quy nh÷ tr¶n ÷æc gåi l bº ba
÷íng thflng Ceva v c¡c o⁄n thflng AA1; BB1; CC1 gåi l bº ba o⁄n thflng
Ceva. ành lþ Ceva l ành lþ cì b£n nh§t dòng ” chøng minh c¡c ÷íng
thflng çng quy.
2.3. Mºt sŁ mð rºng cıa ành lþ Ceva trong m°t phflng
2.3.1. ành lþ Ceva d⁄ng sin
ành lþ 2.3.1. Gåi E, F, G l ba i”m t÷ìng øng n‹m tr¶n c¡c c⁄nh BC. CA,
AB cıa tam gi¡c ABC. Ba ÷íng thflng AE, BF, CG c›t nhau t⁄i mºt i”m O
khi v ch¿ khi

sin ABF :sin BCG:sin CAE = 1: (2.5)

sin CBF sin ACG sin BAE
Chøng minh.
Chi•u thu“n. Gi£ sß AE, BF , CG çng
quy t⁄i O. Khi â hai tam gi¡c ABE
v ACE câ còng chi•u cao h⁄ tł ¿nh
A.
) BE = [ABE]
BC [ACE]
H…nh 2.2:
AB:AE: sin BAE AB: sin BAE
= = :

AC:AE: sin CAE AC: sin CAE
BE
AB: sin BAE
) = : (2.6)
BC
AC: sin CAE
T÷ìng tü ta câ
CF AG
BC: sin CBF CA: sin ACG
= = = : (2.7)
F A GB
BA: sin ABF CB: sin BCG

22
Nh¥n t÷ìng øng 2 v‚ cıa (2.6) v (2.7) ta ÷æc

sin BAE :sin CBF :sin ACG = BE :CF :AG = 1:
BCFAGB sin CAE sin ABF sin BCG
Chi•u nghàch. Chøng minh t÷ìng tü ành lþ Ceva.
2.3.2. Mð rºng ành lþ Ceva trong m°t phflng
(a). Tr÷íng hæp 1. Ta x†t tr÷íng hæp ba i”m n‹m tr¶n ba c⁄nh cıa
tam gi¡c, trong â câ hai i”m thuºc phƒn k†o d i cıa hai c⁄nh t÷ìng øng
khi â i”m çng quy n‹m ngo i tam gi¡c.
Ph÷ìng ph¡p cì b£n giŁng nh÷ tr÷îc ¥y, nâi
ri¶ng n¶n cºng v o hay l trł di»n t‰ch cıa c¡c
h…nh kh¡c nhau. H…nh håc ti¶u chu'n m¤u
khæng câ con ÷íng ” ch¿ ra và tr‰ cıa
i”m A n‹m tr¶n c⁄nh AZ (xem h…nh).
Ta chån ÷a v o kh¡i ni»m d÷ìng v ¥m º d i. Trong
h…nh, BX câ º d i d÷ìng, v… BX n‹m tr¶n còng mºt
ph‰a vîi C tr¶n BC.
XC câ º d i ¥m, v… XC n‹m ð ph‰a b¶n kia C nh÷ c⁄nh bi¶n cıa tam gi¡c.
T÷ìng tü AZ câ º d i ¥m trong khi â c¡c o⁄n kh¡c câ º d i d÷ìng.
Mð rºng º d i ¥m câ di»n t‰ch ¥m.
C¡c tam gi¡c ABX v ACX l hai tam gi¡c câ còng chi•u cao, do â t¿ l»
giœa c¡c c⁄nh l t¿ l» thu“n v• di»n t‰ch t÷ìng øng. T÷ìng tü ta công câ
P BX v P CX công câ còng chi•u cao. V… v“y ta câ
BX
=
[ABX]
=
[PBX]
=
[ABX] [PBX]
=
[ABP]
:
XC [AXC] [PXC] [AXC] [PXC] [CAP]
T÷ìng tü ta công câ CY = [BCP] v AZ = [CAP] :
Y A [ABP] ZB BCP
Nh¥n 2 v‚ t÷ìng øng cıa ba flng thøc tr¶n ta ÷æc.
BX
XC :
CY
YA:ZB
AZ
=
[
[
ABP
CAP]
]
:
[
[
BCP
ABP]
]
:[
[
BCP
CAP]
] = 1:
H…nh 2.3:

23
(b). Tr÷íng hæp 2. Hai tam gi¡c
ABC v A0
B0
C0
câ c¡c c⁄nh t÷ìng
øng song song (nh÷ h…nh v‡), khi â
AA0
; BB0
; CC0
çng quy.
Mð rºng 1: Sß döng ành lþ Ceva. Mð H…nh 2.4:
rºng cıa BB0
c›t A0
C0
t⁄i Y 0
v c›t AC t⁄i
Y , mð rºng cıa CC0
c›t A0
B0
t⁄i Z0
v c›t
AB t⁄i Z.
Gåi P l giao i”m cıa BB0
v CC0
. K†o d i A0
P c›t B0
C0
t÷ìng
øng ð X0
v X. Khi â ta câ nhi•u tam gi¡c çng d⁄ng v nhi•u t¿ sŁ
çng d⁄ng.
v BC
suy ra
PB0
X0
PBX; PX0
C0
PXC
) B0
X0
= PX0
= X0
C0
) B0
X0
= X0
C0
;
BX PX XCBXXC
B0
C0
Y 0
BCY ; B0
Y 0
A0
BY A
) C0
Y0
= B0
Y0
= Y0
A0
) C0
Y0
= Y0
A0
;
CYBYYACYYA
C0
A0
Z0
CAZ; C0
Z0
B0
CZB
) A0
Z0
= C0
Z0
= Z0
B0
) A0
Z0
= Z0
B0
;
AZCZZBAZZB
B0
X0
BX
= :
X0C0 XC
C0Y 0 CY
= :
Y 0
A0
Y A
A0
Z0
AZ
= :
Z0B0 ZB
Tł gi£ thi‚t BB0
; CC0
; A0
P 0
çng quy t⁄i P , theo ành lþ Ceva ta câ
B0
X0
C0
Y0 A0Z0 BX CY AZ
: : = : : = 1:
X0
C0
Y A Z0
B0
XC Y A ZB
L⁄i theo ành lþ Ceva ÷íng AX công i qua i”m P. i”m A0
; P v X
thflng h ng theo c¡ch düng v chóng ta th§y r‹ng A; P v X thflng h ng.
Do â A0
; A v P thflng h ng v A0
A i qua i”m P .
Mð rºng 2: Khæng sß döng ành lþ Ceva. Mð rºng BB0
v CC0
c›t nhau
t⁄i i”m P . V‡ P A0
v P A. Trong h…nh v‡ n y ta gi£ sß A; A0
; P khæng
thflng h ng v ta ph£i chøng minh chóng thflng h ng.
Chóng ta câ mºt v i tam gi¡c çng d⁄ng.
A0
B0
C0
ABC; PB0
C0
PBC
) A0
C0
= B0
C0
= PC0
) A0
C0
= PC0
:
ACBC PCAC PC

24
H…nh 2.5:
Ta câ hai t¿ l» thøc (A0
C0
: AC v P 0
C0
: P C) v gâc giœa chóng b‹ng
nhau (PC0A0 = PCA).
Do â P C0
A0
P CA. T÷ìng tü ph÷ìng ph¡p çng d÷. Do â
CPA
0
= CPA, C Ptr òng C0Pv P A0 còng tròng P A. V“ y P; A0; A
0
thflng h ng ( pcm).
Mð rºng 3: Mð rºng BB0
v CC0
c›t
nhau ð i”m P , k†o d i P A, gåi giao cıa
P A vîi A0
B0
l X ta ph£i chøng minh X
tròng A0
.
Ta câ mºt v i tam gi¡c çng d⁄ng
A0
B0
C0
ABC; PB0
C0
PBC; PXB0
ABC;
H…nh 2.6:
) A0
B0
= B0
C0
= PB0
= XB0
) A0
B0
= XB0
:
AB BC PB ABAB AB
Do â A0
B0
= XB0
v i”m A0
tròng X v… c£ hai còng n‹m tr¶n mºt
÷íng thflng v kho£ng c¡ch l nh÷ nhau.
2.4. B i to¡n
B i to¡n 2.4.1. Chøng minh r‹ng trong mºt tam gi¡c
(a) Ba ÷íng trung tuy‚n çng quy;
(b) Ba ÷íng ph¥n gi¡c çng quy;
(c) Ba ÷íng cao çng quy;
(d) Ba ÷íng trung trüc çng quy.
Chøng minh.

25
(a) Ba ÷íng trung tuy‚n AM; BN; CP çng quy.
Th“t v“y ta câ M B :N C:P A = 1:1:1 = 1. Theo ành lþ Ceva, AM; BN; CP
MC NA PB
çng quy t⁄i G (G l trång t¥m tam gi¡c).
(b) Ba ÷íng ph¥n gi¡c AD; BE; CF
çng quy. p döng t‰nh ch§t ÷íng ph¥n
gi¡c ta câ DB = AB ; EC = BC v
DC EA
F A CA
AC BA
= .
CB
F B
Do â DB :EC :F A = AB :BC :CA = 1,
DC EA FB AC BA CB
theo ành lþ Ceva ta câ AD; BE; CF çng
quy t⁄i I (I l t¥m ÷íng trÆn nºi ti‚p cıa
H…nh 2.7:
tam gi¡c ABC).
(c) Ba ÷íng cao AH, BI, CK çng quy.
Tr÷íng hæp tam gi¡c ABC nhån.
Ta câ AKC v ABI )
AK
AI = AB
AC
; BCI v ACH CI
BC
Do â CH = AC .
V“y
HB
HC :
IC
IA:KC
KA
= 1, theo ành lþ Ceva th… ba
÷íng thflng AH; BI
v CK çng quy t⁄i mºt i”m ÷æc gåi l trüc t¥m cıa tam gi¡c. Tr÷íng
hæp tam gi¡c ABC tò t⁄i A.
Gåi O l giao i”m cıa BI v CK. Khi â A l trüc t¥m cıa tam gi¡c
OBC n¶n OA?BC, suy ra O 2 AH.
(d) Ba ÷íng trung trüc da; db; dc çng quy. Gåi M; N; P lƒn l÷æt l
trung i”m cıa BC; CA; AB. Khi â da; db; dc l ba ÷íng cao cıa tam
gi¡c M N P n¶n çng quy ( pcm).
ành ngh¾a 2.4.1. Trong mºt tam gi¡c bº ba ÷íng thflng xu§t ph¡t tł ba
¿nh çng quy th… ng÷íi ta gåi l bº ba ÷íng thflng Ceva.
B i to¡n 2.4.2. Cho tam gi¡c ABC v ÷íng trÆn t¥m I nºi ti‚p trong
tam gi¡c ti‚p xóc vîi c¡c c⁄nh BC; AC v AB lƒn l÷æt t⁄i D; E; F . Khi â c¡c
÷íng thflng AD; BE; CF çng quy t⁄i mºt i”m.
Líi gi£i.

26
Ta câ BD = BF; CD = CE; AE = AF . Suy ra
DB
DC :
EC
EA:F
F
B
A
= 1,
theo ành lþ Ceva th… c¡c ÷íng thflng AB; DE v CF çng quy t⁄i mºt i”m J
(J ÷æc gåi l i”m Gergonne cıa tam gi¡c ABC).
B i to¡n 2.4.3. Trong tam gi¡c ABC, M l ch¥n ÷íng vuæng gâc h⁄

tł A xuŁng ÷íng ph¥n gi¡c trong cıa gâc BCA. N; L lƒn l÷æt l ch¥n c¡c
÷íng vuæng gâc h⁄ tł c¡c ¿nh A; C xuŁng ÷íng ph¥n gi¡c trong

cıa gâc ABC. Gåi F l giao i”m cıa c¡c ÷íng thflng M N v AC, E l giao i”m
cıa c¡c ÷íng thflng BF v CL, D l giao i”m cıa c¡c ÷íng thflng BL v AC.
Chøng minh r‹ng DE v M N song song vîi nhau.
Líi gi£i.
H…nh 2.8:
K†o d i AM c›t BC t⁄i G, k†o d i AN c›t BC t⁄i I. Khi â AM = M G; AN =
N I, suy ra M N v BC song song vîi nhau. V… AM = M G n¶n ta câ AF =
F C. K†o d i CL c›t AB t⁄i J. Khi â JL = LC, suy ra LF v AB song song vîi
nhau.
Gåi H l giao i”m cıa LF v BC. Ta câ BH = HC. Trong tam gi¡c BLC,
c¡c o⁄n thflng BE; LH; CD c›t nhau t⁄i F . Sß döng ành lþ Ceva ta nh“n
÷æc
BH
HC :
CE
EL:DB
LD
= 1:
CE DB
V… BH = HC n¶n EL = LD . Tø â suy ra DE v BC song song vîi
nhau. Do â,DE v M N song song vîi nhau.
B i to¡n 2.4.4. Cho ABC l§y E; F; M thø tü tr¶n c⁄nh AC; AB; BC sao
cho EF==BC; M B = M C. Chøng minh r‹ng CF; BE; AM çng quy.

27
Líi gi£i.
C¡ch 1. (Chøng minh çng quy) Gåi K l giao i”m cıa AM v EF . Theo
AF AK CE KM BM
ành lþ Tal†t BF = KM ; AE = AK ; v CM = 1.
Suy ra BF
AF
:
BM
CM :
CE
AE = 1. p döng ành lþ Ceva cho
ABC ta câ CF; BE; AM çng quy.
C¡ch 2: (Chøng minh thflng
h ng.) Tł A k· ÷íng thflng
song song BC c›t BE t⁄i N,
AM BE =I. Ta
câ
AF =AN ; BC = 2;
BF BC M C
M I BM
= : H…nh 2.9:
AI AN
Suy ra AF :BC :M I = AN :2:BM = 1:
BC AN
BF MC AI
p döng ành lþ Menelaus cho ABM th… F; I; C thflng h ng. Tł â suy
ra CF; BE; AM çng quy.
B i to¡n 2.4.5. Cho ÷íng trÆn nºi ti‚p tam gi¡c ABC ti‚p xóc c¡c c⁄nh BC,
CA, AB lƒn l÷æt t⁄i D, E, F. Chøng minh AD, BE, CF çng quy.
Líi gi£i.
C¡ch 1: Chøng minh çng quy.
H…nh 2.10:
Theo t‰nh ch§t hai ti‚p tuy‚n c›t nhau AF = AE; BF = BD;
CE = CD, suy ra
BF
AF
:
BD
CD:
CE
AE = BD
AE
:
BD
CE:
CE
AE = 1:

28
p döng ành lþ Ceva cho ABC suy ra AD; BE; CF çng quy.
C¡ch 2: Chøng minh thflng h ng.
Tł A k· ÷íng thflng song song vîi BC c›t CF t⁄i N. AD CF = I. Ta câ
CE
AE
:DB
CB
:
DI
AI = CD
AF
:
CB
BF:AN
CD
= BF
AF
:AN
CB
: =
AN
CB :AN
CB
= 1:
p döng ành l‰ Menelaus cho ACD th…
AD; BE; CF çng quy.
B i to¡n 2.4.6. Cho tam gi¡c ABC ÷íng cao AH. L§y D, E thø tü tr¶n

AB, AC sao cho AH l ph¥n gi¡c gâc DHE. Chøng minh r‹ng AH, BE,
CD çng quy.
Líi gi£i.
H…nh 2.11:
C¡ch 1: Chøng minh çng quy. Tł A k· ÷íng thflng song song BC
c›t HE; HD t⁄i M v N.
V… HA l ph¥n gi¡c cıa gâc A, HA l
Ta l⁄i câ b ÷íng cao n¶n AM = AN.
AD MA CE CH AD BH CE MA BH CH
= ; = ) : : = : : = 1:
BD BH AE AN BD CH AE BH CH AN
p döng ành lþ Ceva cho ABC suy ra AH; BE; CD çng quy.
Tł A k· ÷íng thflng song song BC c›t HD; HE; BE lƒn l÷æt t⁄i
M; N; K. Gåi AH BE = I. Ta câ
AD =M A = AN v HI = BH
BD BH AI AK
BH
)
AD BH HI AN BC BH AE CE
: : = : : = : = 1:
BD CH AI BH HC AK CE AE

29
p döng ành l‰ Menelaus cho ABH th… D; I; C thflng h ng. V“y
AH; BE; CD çng quy.
B i to¡n 2.4.7. Cho tø gi¡c lçi ABCD, c¡c ÷íng DA c›t CB t⁄i K, AB
c›t DC t⁄i L, AC c›t KL t⁄i G v DB c›t KL t⁄i F. Chøng minh r‹ng
KF = KG:
FL GL
Líi gi£i.
p döng ành lþ Ceva cho tam
gi¡c DKL v i”m B, ta câ
AK
DA
:
KF
FL :CD
LC
= 1: (2.8)
p döng ành lþ Menelaus
cho tam gi¡c DKL v ÷íng thflng
ACG, ta câ
H…nh 2.12:
DA :KG : LC = 1: (2.9)
AK GL CD
Tł (2.8) v (2.9) ta suy ra KF = KG :
F L GL
B i to¡n 2.4.8. Cho tam gi¡c ABC vuæng t⁄i A, ÷íng cao AK. Düng b¶n
ngo i tam gi¡c nhœng h…nh vuæng ABEF v ACGH. Chøng minh r‹ng
AK, BG, CE çng quy.
Líi gi£i.
C¡ch 1: Chøng minh çng quy.
H…nh 2.13:
Gåi D = AB CE; I = AC BG. °t AB = c; AC = b.

30
Câ c2
= BK:BC; b2
BK c2 AD b CI
= CK:BC ) = v = ;
CK b2 BD c AI
AIBCIG), suy ra
AD BK CI b c2
b
: : = : : = 1.
BD CK AI c b2
c
b
= c(do
p döng ành lþ Ceva cho ABC th… AK; BG; CE çng quy.
Tł A k· ÷íng thflng song song vîi BC c›t BG t⁄i M:AK BG = O.
Ta câ AD =b ; KO = BK.
c AM
BD AO
Suy ra
AD BC KO b BC BK b BC BK b CI c2
b b c2
: : = : : = : : = : : = : : = 1:
BD CK AO c CK AM c AM CK c CK b2 c c b2
p döng ành lþ Menelaus cho ABK th… D; O; C thflng h ng. V“y
AK; BG; CE çng quy.
B i to¡n 2.4.9. (Olympic To¡n håc mòa xu¥n Bulgaria, P11.2, 1997) Cho

tø gi¡c lçi ABCD tho£ m¢n DAB = ABC = BCD. Gåi H, O lƒn l÷æt l trüc
t¥m v t¥m ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p ABC. Chøng minh r‹ng H, O, D thflng h
ng.
Líi gi£i.
H…nh 2.14:

°t CAB = ; ABC = ; BCA = . Chó þ r‹ng < ; cƒn x†t c¡c
tr÷íng hæp < 90o
; > 90o
v = 90o
.
* Gi£ sß < 90o
. Lóc â O; H l c¡c i”m n‹m trong ABC
o
:
ACO = CAO = HCB = HAB = 90
< . Ta
v ta câ

31
V… th‚ O l i”m n‹m b¶n trong HAC, tł â
o
HAC = = ACD; HCO == CAD; HAD = HCD = 2 90 :
p döng ành lþ h m sŁ sin cho AHD; CHD; ACD ta ÷æc
CD
sin AHD
=
AD sin HCD
=
HD sin CAD
=
; ; :
HD CD AD
sin HAD sin CHD sin ACD
Nh¥n 2 v‚ t÷ìng øng cıa ba flng thøc tr¶n ta ÷æc

sin AHD: sin HCO: sin CAO = sin CHD: sin HAO: sin ACO:
Tł ành lþ Ceva, suy ra AO; CO; HD çng quy t⁄i mºt i”m, do â H; D; O
thflng h ng.
* Trong tr÷íng hæp = 90o
, ta chøng minh ÷æc H; B tròng nhau, O l
trung i”m AC v tø gi¡c AHCD l h…nh chœ nh“t. Do v“y H; O; D thflng h
ng.
* Sau còng, gi£ sß > 90o
. Trong tr÷íng hæp n y B v O lƒn l÷æt n‹m
trong AHC v ADC. T÷ìng tü nh÷ tr÷íng hæp < 90o
ta công câ c¡c i”m H;
D; O thflng h ng.
B i to¡n 2.4.10. (B i • nghà cho IMO cıa n÷îc Anh, 2000) Gåi O l t¥m
÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p v H l trüc t¥m cıa tam gi¡c nhån ABC. Chøng tä
r‹ng tçn t⁄i c¡c i”m D, E, F t÷ìng øng n‹m tr¶n c¡c c⁄nh BC, CA, AB sao
cho
OD+DH =OE+EH =OF +FH
v c¡c ÷íng thflng AD, BE, CF çng quy.
Líi gi£i.
K†o d i AH c›t ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c t⁄i L v BC t⁄i K.
OL BC = D. NŁi HD, ta bi‚t r‹ng HK = KL n¶n công câ HD = LD.
Nh÷ th‚ OD + DH = OD + DL = OL = R l b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i
ti‚p tam gi¡c ABC.
T÷ìng tü ta câ th” chån c¡c i”m E v F lƒn l÷æt tr¶n CA v AB sao cho
OE+EH =R=OF +FH:
Ta s‡ chøng minh r‹ng AD; BE; CF çng quy.

32
H…nh 2.15:
o A v
K· OB; OC v BL. B¥y gií OBC
CBL
[
= CAL
[
= 90o
C. V… th‚ = 90 b
OBL[
b
= (90o
A) + (90o
C)=B:
Do OB = OL, ta công câ OLB
[b
= B: b b
[ o Tł â, o B.
BOD
Do â BOL = 180 2B. o b = 180 2

180 2C. Theo ành lþ h m sin trong BOD
T÷ìng tü, ta câ COD
v AOB câ
=b
b
b
BD OD CD OD
= v = :

sin BOD sin ODB sin COD sin OCD
Tł â suy ra
BD
=
sin (180o
2B)
=
sin 2B
CD sin (180o
2C) sin 2C
.
T÷ìng tü,
CE sin 2C AF sin 2A
= ; = :
EA F B
sin 2A sin 2B
V“y ta câ
BD CE AF
: : = 1
CD EA FB
.
Theo ành l‰ Ceva c¡c ÷íng thflng AD;
BE; CF çng quy ( pcm).
B i to¡n 2.4.11. (Væ àch H n QuŁc 1992) Trong tam gi¡c ABC. Gåi M l
giao i”m cıa ph¥n gi¡c gâc A vîi c⁄nh BC. D l ch¥n ÷íng vuæng

33
gâc h⁄ tł A xuŁng c⁄nh BC. N‚u E v F t÷ìng øng l c¡c giao i”m cıa ÷íng
trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c AMD vîi hai c⁄nh CA v AB, h¢y chøng minh r‹ng
c¡c ÷íng thflng AD, BE, CF çng quy.
Líi gi£i.
H…nh 2.16:
1
V… ADM = 2 v c¡c i”m A; D; M; E; F còng n‹m tr¶n mºt ÷íng

1
trÆn n¶n BF M = CEM
= 2 .
Do v“y, BF M BDA, CEMCDA )
AB
=
AC
v
M B M C
CD =AC .
CE M C
Nh÷ng AB = AC theo t‰nh ch§t ph¥n gi¡c, do â ta câ BD = CD .
M C CE
M B BF

V… F AM = M AE n¶n AE = AF . Suy ra
BD
DC:
CE
CA:F
AF
B =
BD
BF :
CD
CE = 1
v do â AD; BE; CF çng quy theo ành lþ Ceva.

34
Ch÷ìng 3
C¡c i”m thflng h ng
Trong ch÷ìng n y tr…nh b y mºt sŁ ành lþ v• c¡c i”m thflng h ng. çng
thíi n¶u ra nhi•u b i to¡n chån låc trong c¡c • thi håc sinh giäi hay væ
àch cıa c¡c n÷îc, khu vüc v quŁc t‚ v• c¡c i”m thflng h ng trong h…nh
håc phflng. Nºi dung cıa Ch÷ìng 3 ÷æc tŒng hæp v tham kh£o tł c¡c t i
li»u [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8].
3.1. ành lþ Pascal v ành lþ Simson
3.1.1. ành lþ Pascal
ành lþ 3.1.1. Cho A; B; C; D; E; F l c¡c i”m còng n‹m tr¶n mºt
÷íng trÆn (câ th” khæng x‚p theo thø tü n¶u tr¶n). Gåi P l giao i”m cıa
AB v DE, Q l giao i”m cıa BC v EF , R l giao i”m cıa CD v F A. Khi â c¡c
i”m P; Q; R thflng h ng.
Chøng minh.
H…nh 3.1:
Gåi X l giao i”m cıa EF v AB, Y l giao i”m cıa AB v CD, Z l giao i”m
cıa CD v EF . p döng ành lþ Menelaus cho c¡c ÷íng

35
thflng BC; DE; F A ( Łi vîi tam gi¡c XY Z), ta câ
ZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XA
QX:BY :CZ = 1; PY :DZ:EX = 1; RZ:FX:AY = 1:
XA:XB = XE:XF; Y C:Y D = Y A:Y B; ZE:ZF = ZC:ZD;
ZQ XP YR
÷æc QX : P Y :RZ = 1.
Theo ành lþ Menelaus, ta nh“n ÷æc c¡c i”m P; Q; R thflng h ng.
3.1.2. ành l‰ Simson
ành lþ 3.1.2. Cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p trong ÷íng trÆn t¥m (O), gi£
sß S l mºt i”m n‹m tr¶n (O) sao cho S khæng tròng vîi c¡c ¿nh A; B; C
cıa tam gi¡c. Gi£ sß A0; B0; C0 l h…nh chi‚u cıa S t÷ìng øng tr¶n c¡c c⁄nh
BC; CA; AB. Khi â A0; B0; C0 thflng h ng.
ành ngh¾a 3.1.1. ÷íng thflng chøa A0; B0; C0 ÷æc gåi l ÷íng thflng
Simson cıa S Łi vîi tam gi¡c ABC.
Chøng minh.
H…nh 3.2:
o
Ta câ CB0S = CA0S = 90 , suy ra tø gi¡c A0B0SC l tø gi¡c nºi ti‚p,

do â B0A0C = B0SC.
M°t kh¡c, v… ABSC nºi ti‚p n¶n
C0BS = ACS[= B0CS
) SC0B SB0C(g:g)

36
) [) BSC = CSB0 BSC0 = B0A0C:
Nh÷ng v… A0BC0S l
o
tø gi¡c nºi ti‚p (BA0S = BC0S = 90 ) n¶n

BSC0 = BA0C0 ) B0A0C = BA0C
Suy ra C0; A0; B0 thflng h ng.
3.2. ành lþ Menelaus
ành lþ 3.2.1. Cho tam gi¡c ABC, tr¶n c¡c ÷íng thflng chøa c¡c c⁄nh
BC, CA, AB, ta l§y c¡c i”m P; Q; R t÷ìng øng sao cho mØi i”m khæng
tròng vîi ¿nh tam gi¡c. Khi â, ba i”m P; Q; R thflng h ng khi v ch¿ khi
RB :P C :QA = 1: (3.1)
RA PB QC
Chøng minh.
H…nh 3.3:
Chi•u thu“n: Gi£ sß ba i”m
song song vîi BC, c›t ÷íng
Thales, ta câ
P; Q; R thflng h ng. Qua A, k· ÷íng thflng
thflng (d) t⁄i L. Sß döng h» qu£ cıa ành lþ
LA QA CP:QA
= ,LA= ; (3.2)
P C QC QC
RB P B
,
RB LA
= : = 1: (3.3)
RA LA RA P B

37
Thay AL ð (3.2) v o (3.3) ta ÷æc i•u ph£i chøng minh.
Chi•u nghàch: Gi£ sß (3.1) x£y ra. Gåi Q0
l giao i”m cıa P R v c⁄nh
AC. Khi â theo phƒn thu“n ta câ
: = 1:
RB :Q0
A P C (3.4)
RA Q0
C PB
Q0
A QA
Tł (3.1) v (3.4) ta suy ra = . V“y Q Q0
( pcm).
Q0
C QC
3.3. Mð rºng ành lþ Menelaus trong m°t phflng
3.3.1. Mð rºng ành lþ Menelaus trong tam gi¡c
ành lþ 3.3.1. Cho tam gi¡c ABC. Mºt ÷íng thflng (d) b§t ký c›t c¡c ÷íng
thflng BC, CA, AB lƒn l÷æt t⁄i P, Q, R. Khi â:
BR AQ PC
= 1 ,
BR AQ PC
: : : : = 1: (3.5)
AR QC BP AR QC P B
£o l⁄i, gi£ sß c¡c i”m P; Q; R t÷ìng øng n‹m tr¶n c¡c ÷íng thflng BC;
CA; AB sao cho (3.5) ÷æc tho£ m¢n. Khi â P; Q; R thflng h ng. Chøng
minh.
Chi•u thu“n: T÷ìng tü nh÷ ành lþ Menelaus ¢ bi‚t.
Chi•u nghàch: Gi£ sß (3.5) ÷æc tho£ m¢n. Gåi C1 l giao i”m cıa ÷íng
thflng QP v AB. Ta cƒn chøng minh C1 v R tròng nhau.
Theo phƒn thu“n ta câ
BC AQ PC BR AQ PC BC BR
1
: : = 1 = : : )
1
: = m
AC QC BP AR QC P B AC AR
1 1
.
BX
” chøng minh C1 R, ta ” þ r‹ng ph÷ìng tr…nh = m(m 6= 1)
AX
câ khæng qu¡ mºt nghi»m khi A 6= B. Th“t v“y, chån gŁc to⁄ º l A, tröc
to⁄ º AB vîi chi•u d÷ìng l chi•u tł A ‚n B. Cho to⁄ º cıa
X l x, to⁄ º cıa i”m A l a, lóc â ph÷ìng tr…nh tr¶n trð th nh
x
= m , x =
ma
.
x a m 1
Tł â ta câ i•u ph£i chøng minh.

38
3.3.2. Mð rºng ành lþ Menelaus theo di»n t‰ch
ành lþ 3.3.2. Cho tam gi¡c ABC v 3 i”m M; N; P lƒn l÷æt thuºc
BC; CA; AB. Khi â M; N; P thflng h ng khi v ch¿ khi
[MNP] = BM:CN:AP CM:AN:BP : (3.6)
[ABC] AB:BC:CA
Chøng minh.
Ta câ [ABC] = [M AB] + [M AC]:
) [ABC] = [PMA] + [PBM] + [NMC] + [NAM]:
) [ABC] = [MNP] + [BMP] + [CNM] + [APN]:
H…nh 3.4:
M°t kh¡c [BMP] = BM :BP : sin (BC; CA) = BM:BP :
[ABC] BC:BA: sin (BC; CA) BC:BA
T÷ìng tü ta câ [CNM] =
CN:CM ; [APN] = AP:AN :
[ABC]
Ta suy ra
CA:CB [ABC] AB:AC
[MNP]
= 1
[BMP] [CNM] [APN]
[ABC] [ABC] [ABC]
[ABC]
[MNP]
) = 1
BM:BP CN:CM AP:AN
[ABC] BC:BA CA:CB AB:AC
)
[MNP] BM:CN:AP CM:AN:BP
= :
[ABC] AB:BC:CA

39
3.3.3. Mð rºng ành lþ Menelaus trong tø gi¡c
ành lþ 3.3.3. Cho tø gi¡c ABCD v mºt ÷íng thflng d c›t AB, BC, CD,
DA lƒn l÷æt ð M, N, P, Q. Khi â ta câ
M A :N B :P C :QD = 1: (3.7)
MB NC PD QA
Chøng minh.
Tr¶n ÷íng thflng d l§y hai i”m
I; J sao cho AI==BJ==CD:
Theo Thales ta câ
M A = IA ; N B =JB ; OD = P D :
M B JB N C P C OA IA
Suy ra
MA NB PC QD IA JB PC PD H…nh 3.5:
: : : = : : : = 1:
MB NC PD QA JB PC PD IA
3.4. ành lþ Desargues v ành lþ Pappus
3.4.1. ành lþ Desargues
ành lþ 3.4.1. Cho hai tam gi¡c ABC v tam gi¡c A1B1C1. Gåi M
l giao i”m cıa AB v A1B1, N l giao i”m cıa AC v A1C1, P l
giao i”m cıa BC v B1C1. Khi â M; N; P thflng h ng khi v ch¿ khi
AA1; BB1; CC1 çng quy.
Chøng minh.
Chi•u nghàch: Cho AA1, BB1, CC1
çng quy t⁄i O, ta chøng minh M; N; P
thflng h ng. p döng ành lþ Menelaus
cho tam gi¡c OAC vîi ba i”m N; A1 v
C1, ta câ
NA C1C A1O
: : = 1: (3.8)
NC C1O A1A H…nh 3.6:

40
T÷ìng tü ta câ
P C :B1B :C1O = 1; M B :A1A :B1O = 1: (3.9)
PB B1O C1C MA A1O B1B
Tł (3.8) v (3.9) ta câ N A :P C :M B = 1, do â ¡p döng ành lþ
NC PB MA
Menelaus cho tam gi¡c ABC, ta câ M; N; P thflng h ng.
Chi•u thu“n: Cho M; N; P thflng h ng, ta chøng minh AA1; BB1; CC1
çng quy. X†t hai tam gi¡c M BB1 v N CC1 câ M N; BC; B1C1 çng quy
t⁄i P .
Ta câ O l giao i”m cıa BB1 v CC1. Hìn nœa A l giao cıa M B
v N C, A1 l giao cıa M B1 v N C1. Do â theo chøng minh tr¶n, ta câ
O; A v A1 thflng h ng, hay AA1; BB1 v CC1 çng quy ( pcm).
3.4.2. ành lþ Pappus
ành lþ 3.4.2. Cho ba i”m A; B; C n‹m tr¶n ÷íng thflng a, v ba
i”m A1; B1; C1 n‹m tr¶n ÷íng thflng b. Gåi M; N; P lƒn l÷æt l giao i”m
cıa c¡c c°p ÷íng thflng (AB1; A1B); (AC1; A1C); (BC1; B1C) khi â M;
N; P thflng h ng.
Chøng minh.
p döng ành lþ Pascal cho
löc gi¡c suy bi‚n AB1CA1BC1
nºi ti‚p ÷íng trÆn b“c hai (S) l
c°p ÷íng thflng a v b.
Ta câAB1 A1B =
M; AC1 A1C = N; BC1
B1C = P ) M; N; P thflng
h ng ( pcm).
H…nh 3.7:
3.5. Tam gi¡c phŁi c£nh
ành ngh¾a 3.5.1. Hai tam gi¡c ABC v A1B1C1 ÷æc gåi l phŁi c£nh tł
i”m O n‚u ba ÷íng thflng AA1; BB1; CC1 çng quy t⁄i i”m O. i”m O ÷æc
gåi l ¿nh phŁi c£nh.

41
ành ngh¾a 3.5.2. Hai tam gi¡c ABC v A1B1C1 ÷æc gåi l phŁi c£nh
theo mºt ÷íng thflng n‚u ba i”m L; M; N t÷ìng øng l giao i”m
cıa BC v B1C1, AC v A1C1, AB
÷íng thflng chøa c¡c i”m L; M; N
v A1B1
÷æc gåi l
th… L; M; N thflng h ng.
÷íng phŁi c£nh.
ành lþ 3.5.1. (Desargues) Hai tam gi¡c ABC v A1B1C1 l phŁi c£nh tł
mºt i”m khi v ch¿ khi chóng l phŁi c£nh theo mºt ÷íng thflng.
3.6. B i to¡n
B i to¡n 3.6.1. Cho tø gi¡c ABCD ngo⁄i ti‚p ÷íng trÆn (I), gåi
M;N;P;Q
minh r‹ng
lƒn l÷æt l c¡c ti‚p i”m cıa (I) vîi AB; BC; CD; DA. Chøng
N P; M Q v BD çng quy.
Líi gi£i. Theo gi£ thi‚t ta câ AQ = AM; BM = BN; CN = CP;
H…nh 3.8:
DP = DQ. Gåi O l giao i”m cıa N P v BD.
p döng ành lþ Menelaus cho tam gi¡c BCD ta câ
OB PD NC OB NB
OD:PC:NB = 1 ) OD = PD:
OB QD MA NB QD
Khi â ta câ OD: QA :M B = P D :M B = 1:
p döng ành lþ Menelaus cho tam gi¡c ABD th… O; M; Q thflng h ng.
V“y N P; BD v M Q çng quy ( pcm).
B i to¡n 3.6.2. Chøng minh r‹ng trong mºt tam gi¡c, ch¥n ÷íng ph¥n
gi¡c trong cıa hai gâc v ch¥n ÷íng ph¥n gi¡c ngo i cıa gâc thø ba l thflng
h ng.

42
Líi gi£i. Cho tam gi¡c ABC, gåi BE; CF l hai ÷íng ph¥n gi¡c trong
v AD l ph¥n gi¡c ngo i. (E 2 AC; F 2 AB; D 2 BC).
Tr÷îc h‚t ta th§y 3 i”m D; E; F tho£ m¢n i•u ki»n hai i”m E; F
thuºc hai c⁄nh AC; AB cıa tam gi¡c cÆn i”m D n‹m ngo i o⁄n BC. M°t
kh¡c theo t‰nh ch§t cıa ÷íng
ph¥n gi¡c cıa tam gi¡c, ta câ
DB = AB ; EC =BC ; F A = CA :
DC F B
AC EA BA CB
Suy ra
DB EC FA AB BC CA H…nh 3.9:
: : = : : = 1 ( pcm).
DC EA F B AC BA CB
B i to¡n 3.6.3. Cho tam gi¡c ABC v AD; BE; CF l bº ba ÷íng
thflng Ceva. Gåi P l giao i”m cıa DE v AB, N l giao i”m cıa DF
v AC, M l giao i”m cıa EF v BC. Chøng minh r‹ng M; N; P thflng
h ng.
Líi gi£i.
H…nh 3.10:
X†t hai tam gi¡c ABC v tam gi¡c DEF câ AD; BE; CF çng quy.
p döng ành lþ Desargues ta câ ngay i•u cƒn chøng minh ( pcm).
B i to¡n 3.6.4. Cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p trong ÷íng mºt trÆn. D, E lƒn
l÷æt l c¡c i”m giœa cıa c¡c cung AB, AC. Gåi P l mºt i”m thuºc cung BC,
Q l giao i”m cıa DP v AB, R l giao i”m cıa PE v AC. Chøng minh r‹ng
÷íng thflng QR chøa t¥m I ÷íng trÆn nºi ti‚p cıa tam gi¡c ABC.

43
Líi gi£i.

V… D l i”m giœa cung
AB n¶n ÷íng thflng CD
chia æi gâc ACB.
H…nh 3.11:

T÷ìng tü ÷íng thflng EB chia æi gâc ABC. Do â CD v EB giao nhau
t⁄i I.
p döng ành lþ Pascal cho c¡c i”m C; D; P; E; B; A ta nh“n ÷æc c¡c
i”m I; Q; R thflng h ng.
B i to¡n 3.6.5. (IMO 1991 unused) Cho tam gi¡c ABC v P l mºt i”m n‹m
trong tam gi¡c. Gåi P1; P2 lƒn l÷æt l ch¥n c¡c ÷íng vuæng gâc h⁄
tł P xuŁng c¡c c⁄nh AC, BC. NŁi AP, BP, tł C k· c¡c ÷íng vuæng gâc
xuŁng AP, BP. Gåi Q1; Q2 l ch¥n c¡c ÷íng vuæng gâc n y. Gi£ sß r‹ng
Q2 6= P1; Q1 6= P2. Chøng minh r‹ng c¡c ÷íng thflng P1Q2; Q1P2; AB
çng quy.
Líi gi£i.
o
V… CP1P = CP2P = CQ2P = CQ1P = 90 n¶n c¡c i”m C; Q1; P1; P; P2;
Q2 còng n‹m tr¶n mºt ÷íng trÆn ÷íng k‰nh CP .
Chó þ r‹ng A = CP1 P Q1; B = Q2P P2C.
p döng ành lþ Pascal cho c¡c i”m C; P1; Q2; P; Q1; P2 ta nh“n ÷æc
X = P1Q2 Q1P2 thuºc ÷íng thflng AB:
B i to¡n 3.6.6. (China 2005). Mºt ÷íng trÆn c›t ba c⁄nh BC, CA, AB

cıa tam gi¡c ABC t⁄i c¡c i”m D1; D2; E1; E2; F1; F2. C¡c o⁄n D1E1; D2E2
c›t nhau t⁄i L, c¡c o⁄n E1F1; E2D2 c›t nhau t⁄i M, c¡c o⁄n F1D1; F2E2 c›t
nhau t⁄i N. Chøng minh r‹ng c¡c ÷íng thflng AP, BM, CN çng quy.

44
H…nh 3.12:
Líi gi£i. Gåi P = D1F1 D2E2; Q = E1D1 E2F2; R = F1E1 F2D2. p
döng ành lþ Pascal cho c¡c i”m E2; E1; D1; F1; F2; D2, ta nh“n
÷æc A; L; P thflng h ng.
p döng ành lþ Pascal cho c¡c i”m F2; F1; E1; D1; D2; E2, ta nh“n
÷æc B; M; Q thflng h ng.
p döng ành lþ Pascal cho c¡c i”m D2;
D1; F1; E1; E2; F2, ta nh“n ÷æc C; N; R
thflng h ng.
Gåi X = E2E1 D1F2 = CA D1F2, Y
= F2F1 E1D2 = AB E1D2, Z =
D2D1 F1E2 = BC F1E2.
p döng ành lþ Pascal cho c¡c i”m
D1; F1; E1; E2; D2; F2, ta nh“n ÷æc P; R; X
thflng h ng. H…nh 3.13:
p döng ành lþ Pascal cho c¡c i”m
E1; D1; F1; F2; E2; D2, ta nh“n ÷æc Q; P; Y thflng h ng.
p döng ành lþ Pascal cho c¡c i”m F1; E1; D1; D2; F2; E2, ta nh“n
÷æc R; Q; Z thflng h ng.
X†t hai tam gi¡c ABC; P QR, ta câ:
X =CARP;Y =ABPQ;Z =BCQR:
p döng ành lþ Desargues (chi•u nghàch), ta câ
AP AL; BQ BM; CR CN l c¡c ÷íng thflng çng quy.
B i to¡n 3.6.7. (IMO 1982-5) C¡c ÷íng ch†o AC v CE cıa h…nh löc
AM CN
gi¡c ÷æc chia bði c¡c i”m M, N t÷ìng øng sao cho AC = CE = r:
H¢y x¡c ành r n‚u B, M, N thflng h ng.

45
Líi gi£i.
Gåi P l giao i”m cıa BE v AC. p
döng ành lþ Menelaus cho tam gi¡c CP E
v ÷íng thflng BM N, ta câ
CM :P B : EN = 1:
MP BE NC
L÷u þ r‹ng
CM 1 r 2 2r H…nh 3.14:
=
= :
M P r 1
2r 1
2
1 1 P B 1
P B = AB: cos ABP = 2AB = 4 BE ) BE = 4 :
EN =1 r :
N C r
Thay (3.15); (3.12); (3.13) v o (3.16) ta ÷æc
p
2 2r: 1:1 r = 1: V“y r = 3:
2r r 3
1 4
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
B i to¡n 3.6.8. (Olympic To¡n håc Canada, 2001) Cho tam gi¡c ABC vîi
AB > AC. Gåi P l giao i”m cıa ÷íng trung trüc cıa BC v ÷íng ph¥n gi¡c
trong cıa gâc A. Düng c¡c i”m X tr¶n AB v Y tr¶n AC sao
cho PX vuæng gâc vîi AB v PY vuæng gâc vîi AC. Gåi Z l giao i”m
BZ
cıa XY v BC. X¡c ành gi¡ trà t¿ sŁ ZC .
Líi gi£i.
o
V… P AX = P AY = P XA = P Y A = 90 n¶n P AX = P AY . Suy ra
AX = AY v P X = P Y .
Do P n‹m tr¶n trung trüc cıa BC, ta câ P B = P C.
Nh÷ th‚, P Y C v P XB l hai tam gi¡c vuæng b‹ng nhau, suy ra CY =
BX. V… X; Y; Z thflng h ng, ¡p döng ành lþ Menelaus ta ÷æc
Y
AY
C :ZB
CZ
:
BX
XA = 1.
Nh÷ng AX = AY; CY = BX n¶n t¿ sŁ
BZ
ZC = 1:

46
H…nh 3.15:
B i to¡n 3.6.9. (Olympic To¡n håc 30-4 lƒn thø 6 TP. HCM, Vi»t Nam)
Cho tam gi¡c ABC câ di»n t‰ch S0 = 1. Tr¶n c¡c c⁄nh BC, CA, AB l§y
MB NC PA
c¡c i”m M, N, P sao cho
M C
= k
1
;
N A
= k
2
;
P B
= k
3
(k
1
; k
2
; k
3
< 1).
T‰nh di»n t‰ch tam gi¡c t⁄o bði bao⁄n thflng AM, BN v CP.
Líi gi£i.
Gåi EIF l tam gi¡c t⁄o bði ba o⁄n
thflng AM, BN, CP. Khi â ta câ
S
BCN CN k2
= =
S
0 CA
k
2 + 1
) SBCN =
k2
;
k2 + 1
S
BCF =
BF
:
S
BCN
BN
H…nh 3.16:
p döng ành lþ Menelaus v o
ABN vîi ÷íng P CF , ta câ:
FB CN PA
= 1 )
F B 1 + k2
)
BF 1 + k2
: : = = :
F N CA P B F N
k
2
k
3 BN 1 + k2 + k2k3
Tł â SBCF =
k2
:S0. Chøng minh t÷ìng tü ta công câ
1 + k2 + k2k3
k
3
k
1
S
ACI
=
;
S
ABE
=
:
1 + k3 + k2k3 1 + k1 + k2k3

47
V“y ta câ S = 1 1 + k2 + k2k3 +1 + k3 + k2k3
+
1 +k1 + k2k3 :
k2 k3 k1
B i to¡n 3.6.10. Cho tø gi¡c ABCD ngo⁄i ti‚p ÷íng trÆn (I), gåi
M;N;P;Q
minh r‹ng
lƒn l÷æt l c¡c ti‚p i”m cıa (I) vîi AB; BC; CD; DA. Chøng N P;
M Q v BD çng quy.
Líi gi£i.
H…nh 3.17:
Theo gi£ thi‚t ta câ AQ = AM; BM = BN; CN = CP; DP = DQ. Gåi O l
giao i”m cıa N P v BD. p döng ành lþ Menelaus cho tam gi¡c BCD ta câ
OD
OB
:
P
P
D
C:N
N
B
C
= 1 ) OD
OB
=
N
PD
B
:
OB QD MA NB QD
Khi â ta câ OD: QA :M B = P D :M B = 1:
p döng ành lþ Menelaus cho tam gi¡c ABD th… O; M; Q thflng h ng.
V“y N P; BD v M Q çng quy ( pcm).
3.7. Mºt sŁ ph÷ìng ph¡p chøng minh quan h» çng quy v
thflng h ng
3.7.1. Ph÷ìng ph¡p vectì
B i to¡n 3.7.1. Cho tø gi¡c lçi ABCD ngo⁄i ti‚p ÷íng trÆn (O). Gåi M; N
theo thø tü l trung i”m hai ÷íng ch†o AC; BD: Chøng minh r‹ng M; N; O
thflng h ng.

48
H…nh 3.18:
Líi gi£i.
Gåi S l giao i”m cıa AB; CD; gåi X; Y theo thø tü l ti‚p i”m cıa (O) vîi
AB; CD: Qua O k· ÷íng thflng song song vîi XY , c›t AB; CD
t⁄i I; J:
Khi â O l trung i”m cıa IJ, suy ra:
! 1! !
OM = 2(IA + JC)
v
! 1! !
ON = 2(IB + JD):
Hìn nœa, do BOI = OCJ; OBI = COJ; n¶n:
M IBO vM JOC vM OBC:
Suy ra:
IB
= JO
) IB:JC = IO:JO = IO2
= JO2
IO JC

49
V“y:
IA JC
IA kIB; JC kJD:
IB
=
JD =k )
!
= ! ! =
!
Tł â suy
ra: OM kON. i•u ph£i chøng minh.
! =
!
B i to¡n 3.7.2. Cho tam gi¡c ABC. X†t c¡c i”m M 2 BC; N 2 CA v P 2
AB sao cho tø gi¡c AP M N l mºt h…nh b…nh h nh. C¡c ÷íng thflng BN v
CP c›t nhau t⁄i O. Chøng minh r‹ng ÷íng thflng OM luæn i qua mºt i”m cŁ
ành.
Líi gi£i.
= !b ;! =
!
c .
!
Do
°t AB AC
B;M;C thflng h ng theo thø tü,
n¶n tçn t⁄i n; p > 0 sao p cho
n c p b , vîi n
+ =
!
AM =! +
!
1.
Tłâ, do tø gi¡c AN M P l h…nh
! ! ! !
b…nh h nh, n¶n AP = p b ; AN = n c :
Do B; O; N thflng h ng v C; O; P
thflng h ng n¶n: H…nh 3.19:
! ! ! ! !
AO = x b + ny c = z c + pt b
trong â x + y = 1 = z + t:
Tł â, do hai
vectì ! khæng còng ph÷ìng n¶n:
!
b ; c
x =p(1 n) v y = 1 p :
!
1 np
!
1 np
= ! +
Do â AO p(1 n): b n(1 p) : c ; suy ra:
1 np 1 np
(1
np):OM
= (1
np)(AM AO
) =
np
(1
p) b + np(1
! ! =
!
! !
) np ! ! ! !
1 np:OM ( b + c ) (n c + p b )
!
n) c

50
! ! !
Hay AM = npAD + (1 np)AO trong â D l i”m thäa m¢n:
! ! !
AD = b + c :
Tł â, ÷íng thflng OM luæn i qua D cŁ ành (D l ¿nh thø t÷ cıa h…nh
b…nh h nh ABCD).
B i to¡n 3.7.3. Cho tam gi¡c ABC. X†t
tr¶n tia AC sao cho AB = m:AM v AC â.
Chøng minh r‹ng c¡c ÷íng thflng M N
Líi gi£i.
! !! !
°t AB = b ; AC = c : Khi â, do gi£
i”m M tr¶n tia AB, i”m N
= (m + 1):AN vîi m > 0 n o
luæn i qua mºt i”m cŁ ành.
thi‚t ta câ:
!
AM =
1!
:b v
!
AN = 1 : c
!
m m + 1
Suy ra:
! =
!
! ! !
!
(m + 1)AN mAM AC AB=BC=AD
vîi D l ¿nh thø t÷ cıa h…nh b…nh h nh ABCD.
Tł â suy ra M N luæn i qua i”m D cŁ ành.
B i to¡n 3.7.4. Cho löc gi¡c lçi ABCDEF . Gåi M; M0
; N; N0
; P; P 0
theo thø tü l trung i”m cıa c¡c o⁄n AB; DE; BC; EF; CD; F A: Chøng
minh r‹ng M M0
; N N0
; P P 0
çng quy khi v ch¿ khi SMAEC = SMBF D.
Líi gi£i.
Kþ hi»u [XY Z] l di»n t‰ch ⁄i sŁ cıa tam gi¡c XY Z.
! 0 ! 0 ! 0
)
Vîi måi i”m O ta th§y: 4(OM !OM + ON !ON + OP !OP
=(!! ! ! ! ! !!! !
OA+OB) (OD +OE) (OC +OD) (OF +OA) (OE +OF)
! !
(OB + OC)
+!!!!!! !!!!
=! !
OA OD OA OE+OB OD+OB OE+OC OF +OC OA+
! ! ! !!!! !!! !!
OD OF +OD OA+OE OB+OE OC +OF OB+OF OC

51
! !! !!!! !!!!!
= (OA OE+OE OC+OC OA) (OB OF +OF OD+OD OB)
= 2([OAE] + [OEC] + [OCA]) 2([OBF] + [OFD] + [ODB])
= 2([AEC] [BFD]):
Suy ra:
! ! ! ! ! ! ) = [ ] [ ]
OM0
OP 0
AEC BF D
2(OM + ON ON0
+ OP
(3.14)
N‚u gåi O l giao i”m cıa M M
0
; N N
0
th…:
! ! = 0
!
!
OM OM0
= ON ON0
(3.15)
Tł (3:14) v (3.15) ta suy ra:
! ! 0
OP OP = 0 , [AEC] = [BFD]:
B i to¡n 3.7.5. Cho tam gi¡c ABC, trung tuy‚n AD. Mºt ÷íng thflng
d vuæng gâc vîi AD. X†t M 2 d: Gåi E; F lƒn l÷æt l trung i”m cıa
M C; M B: ÷íng thflng qua E vuæng gâc vîi d c›t AB t⁄i P , ÷íng thflng
qua F vuæng gâc vîi d c›t AC t⁄i Q: Chøng minh r‹ng ÷íng thflng qua
M vuæng gâc vîi P Q luæn i qua mºt i”m cŁ ành, khi M thay Œi tr¶n d.
Líi gi£i.
C¡ch 1.
Gåi Mb; Mc theo thø tü l h…nh chi‚u cıa B; C tr¶n d. Nh“n x†t r‹ng,
khi M Mb th… P B, Q A v khi M Mc th… P A, Q C:
V“y, gåi S l giao i”m cıa ÷íng thflng qua Mb, vuæng gâc vîi AB v
÷íng thflng qua Mc vuæng gâc vîi AC th… S cŁ ành.
V do â, cƒn chøng minh SM ? P Q:
SM :AP SM :AQ suy ra:
Tł!
b
!
=0=!
c
!
! ! ! ! !
! ! ! ! !
SM :AQ SM :AP =0
)
SM:PQ MM :AP + MM :AQ=0
c b b c (3.16)

52
H…nh 3.20:
Gåi H; P 0
; Q0
l h…nh chi‚u cıa H; P; Q tr¶n D. Khi â P 0
; Q0
theo
thø tü l trung i”m cıa M Mb; M Mc (do E; F l trung i”m M B; M C),
!M
0 ! c 0 0
:
H = HM =
!
P Q
! ! 1
Suy ra HQ0
= MbP 0
=
!
2:MbM. Khi â:
! !! ! !!00! !0 M Mb:AP + M Mc:AQ = 2:M Q :HQ M Mb:HP
!
!
0 b ! ! 0
= M b
:HP
Q :M M M M
! !0!0
= MbM :(M Q + HP )
!
b
! ! !!
M:(MQ0 b
+ HP0
)
= M + P0
M + P0
M
!
b
! ! b
M:(P0
Q0
)=0:
= M + HM
! !
Tł â v (3.16), suy ra: SM :P Q = 0 hay SM ? P Q: Suy ra i•u ph£i
chøng minh.
C¡ch 2.
Rª r ng ch¿ cƒn x†t d ? AD t⁄i D l ı. Chån h» tröc tåa º Dxy sao
cho A(0; a); C(2m; 2n); M(2x0; 0):

53
H…nh 3.21:
Do B; C Łi xøng nhau qua gŁc D n¶n B( 2m; 2n): Tł â:
(AB) : (2n + a):x 2m:y + 2ma = 0:
(AC) : (2n a):x 2m:y + 2ma = 0:
Tł â suy ra
P x0 m;
(2n + a)(x m
+ a v Q x0 + m;
n a)(x m
:
0 ) (2 0 + )
+ a
2m 2m
.
Suy ra:
! = ax0
2 ; 2 m
P Q m n :
÷íng thflng i qua M vuæng gâc vîi P Q câ ph÷ìng tr…nh:
2m(x 2x0) + (2n ax0
)y = 0:
m
Khß tham sŁ x0, ta ÷æc ÷íng thflng n y luæn i qua S
mn 4m2
4
;
a a
vîi måi x0. Do â câ i•u ph£i chøng minh.
3.7.2. Ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch
B i to¡n 3.7.6. Cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p ÷íng trÆn (O). K l mºt i”m tr¶n
ph¥n gi¡c la; CK c›t l⁄i (O) t⁄i M. ÷íng trÆn ! i qua A
v ti‚p xóc vîi CM t⁄i K c›t l⁄i AB v (O) t⁄i P; Q. Chøng minh r‹ng:
P; Q; M thflng h ng.

54
H…nh 3.22:
Líi gi£i.
Do tø gi¡c AP KQ nºi ti‚p n¶n
PQK = PAK = BAC :
2
÷íng trÆn ! c›t l⁄i (O) v AC t⁄i E; D. ” þ r‹ng c¡c tam gi¡c
QKE; QDC çng d⁄ng, n¶n M QKD vM QEC: Do â:
MQK = MKQ KMQ = KDQ CMQ
= QCE CMQ = EAC =
BAC
:
2
Suy ra M QK = P KQ. Tł â do M; P n‹m v• còng mºt ph‰a cıa QK
n¶n M; P; Q thflng h ng.
B i to¡n 3.7.7. Cho tø gi¡c ABCD. C¡c ÷íng thflng AB; CD c›t nhau t⁄i E,
c¡c ÷íng thflng BC; DA c›t nhau t⁄i F . Gåi I; J; K theo thø tü l trung i”m
c¡c o⁄n thflng AC; BD; EF . Chøng minh r‹ng I; J; K thflng h ng.
Líi gi£i. Tr÷îc h‚t ta chøng minh bŒ • sau:
BŒ •. Cho tø gi¡c ABCD. C¡c ÷íng thflng AC; BD c›t nhau t⁄i E. Gåi F;
G theo thø tü l trung i”m c¡c ÷íng ch†o AD; BC cıa tø gi¡c. Khi â
[EFG] =
1
4:[ABCD]:
— ¥y hi»u [A1A2 : : : An] ” ch¿ di»n t‰ch ⁄i sŁ cıa a gi¡c ành h÷îng
A1A2 : : : An tøc l :
[A1A2 : : : An] = S1
A1A2:::An n‚u a gi¡c A1A2 : : : An ành h÷îng ¥m
SA A2:::An n‚u a gi¡c A1A2 : : : An ành h÷îng d÷ìng

55
Chøng minh bŒ •.
H…nh 3.23:
NŁi AG; CG: Ta câ
[EFG] = [AEG] [AFG] [AEF] = [ABG] + [EGB] [AFG] [AEF]
=1:([ABD] + [BDE] [ACG] [ACE]) = 1:([ADE] [AGCE])
2
2
=
1
2:([ABCD] [ABCG])
M°t kh¡c:
[ABCG] =
1
2:[ABG] + [BCG]; [ABG] =
1
2:[ABD] v [BCG] =
1
2:[BCD]
Tł â suy ra bŒ • ÷æc chøng minh.
H…nh 3.24:
p döng bŒ •, ta câ:
[EIJ] = [IJF] =
1
[ABCD]:
2
1 1
K· EG; F H ? IJ: Khi â :IJ:EG = :IJ:F H
2 2
Suy ra EG = F H, do â EGF H l h…nh b…nh h nh. Suy ra GH; EF
c›t nhau t⁄i trung i”m mØi ÷íng, tøc l GH i qua K.
Tł â suy ra i•u ph£i chøng minh.

56
B i to¡n 3.7.8. Tø gi¡c lçi ABCD di»n t‰ch S, khæng câ hai c⁄nh n o
song song. L§y i”m P1 2 (CD) sao cho P1; C còng ph‰a Łi vîi AB v
S
SMABP1 = 2 : T÷ìng tü, công câ P2 2 (BC); P3 2 (AB); P4 2 (DA).
Chøng minh r‹ng P1; P2; P3; P4 thflng h ng.
Líi gi£i.
BŒ •.Gåi M; N theo thø tü l trung i”m hai ÷íng ch†o AC; BD cıa tø gi¡c
lçi ABCD. Khi â P 2 (M N) , [P AB]+[P CD] = [P BC]+[P DA]: Chøng
minh bŒ •. Ta câ:
[MNP] =
1
([ANP] + [CNP])
2
=1([ABP] + [ADP] + [CDP] + [CBP])
4
=1([PAB] + [PCD] [PBC] [PDA])
4
H…nh 3.25:
V“y P 2 (M N) , [M N P ] = 0 , [P AB]+[P CD] = [P BC]+[P DA]:
BŒ • ÷æc chøng minh.
Trð l⁄i b i to¡n, câ th” coi tø gi¡c ABCD ành h÷îng ¥m. Khi â:
[P1AB] =
S
; [P1CD] = 0
2
V
S = [ABCD] = [P1AB] + [P1CD] + [P1BC] + [P1DA]:

57
Suy ra:
S
[P1BC] + [P1DA] = 2 = [P1AB] + [P1CD]:
Do â P1 2 (M N): Ho n to n t÷ìng tü, công ÷æc P2; P3; P4 2 (M N).
V“y P1; P2; P3; P4 còng n‹m tr¶n mºt ÷íng thflng.
B i to¡n 3.7.9. Gåi H l trüc t¥m cıa tam gi¡c nhån ABC. Tł A k·
hai ti‚p tuy‚n AP; AQ ‚n ÷íng trÆn ÷íng k‰nh BC (P; Q l c¡c ti‚p i”m).
Chøng minh r‹ng P; Q; H thflng h ng.
Líi gi£i.
H…nh 3.26:
Tł gi£ thi‚t suy ra ngô gi¡c AP DOQ nºi ti‚p ÷íng trÆn ÷íng k‰nh AO
(O l trung i”m BC). Do â AQP = AOP .
M°t kh¡c, x†t ph÷ìng t‰ch cıa A Łi vîi c¡c ÷íng trÆn (O) v (CEHD) ta
câ: AP 2
= AE:AC = AH:AD ) AD
AP
=
AH
AP
Suy ra M AP H vM ADP
Do â:
APH = ADP = AOP ) APH = AOP Suy ra
AP H = AP Q do â P; Q; H thflng h ng.

58
3.7.3. Ph÷ìng ph¡p bi‚n h…nh
B i to¡n 3.7.10. ÷íng trÆn nºi ti‚p (I) cıa tam gi¡c ABC ti‚p xóc
vîi c¡c c⁄nh BC; CA; AB t⁄i D; E; F theo thø tü â. Khi â OI l ÷íng thflng Ì-
le cıa tam gi¡c DEF (O l t¥m ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c ABC).
Líi gi£i.
H…nh 3.27:
Gåi Ia; Ib; Ic theo thø tü l t¥m ÷íng trÆn b ng ti‚p trong gâc A; B; C
cıa tam gi¡c ABC.
D„ d ng chøng minh ÷æc
IbIc==EF; IaIc==F D; IaIb==DE:
Do â, câ ph†p và tü f m f(Ia) = D; f(Ib) = E; f(Ic) = F:
Suy ra f bi‚n ÷íng thflng Ì-le cıa tam gi¡c IaIbIc th nh ÷íng thflng Ì-le
cıa tam gi¡c DEF .
Nh÷ng OI l ÷íng thflng Ì-le cıa tam gi¡c IaIbIc v I n‹m tr¶n ÷íng thflng
Ì-le cıa tam gi¡c DEF .
V“y, OI l ÷íng thflng Ì-le cıa tam gi¡c DEF .
B i to¡n 3.7.11. Cho tam gi¡c ABC vîi trång t¥m G, trüc t¥m H. C¡c ÷íng
thflng qua A; B; C theo thø tü vuæng gâc vîi GA; GB; GC t⁄o th nh tam
gi¡c A1B1C1. Chøng minh r‹ng trång t¥m tam gi¡c A1B1C1 n‹m tr¶n
÷íng thflng GH.

59
H…nh 3.28:
Líi gi£i.
C¡c ÷íng thflng i qua A; B; C theo thø tü vuæng gâc vîi c¡c ÷íng
thflng AG; BG; CG t⁄o th nh tam gi¡c A1B1C1.
Gåi G1 l trång t¥m tam gi¡c A1B1C1, gåi Ha; Hb; Hc theo thø tü l
trüc t¥m c¡c tam gi¡c BCA1; CAB1; ABC1:
Do GA ? AC1; GB ? BC1 n¶n tø gi¡c AC1BG nºi ti‚p ÷íng trÆn ÷íng
k‰nh C1G v do â Hc = Co (G) (vîi Co l trung i”m AB).
Khi â C1Hc v C1G Łi xøng vîi nhau qua ph¥n gi¡c cıa gi¡c cıa gâc
AC1B:
Tł â, ” þ r‹ng G l i”m Lemoine cıa tam gi¡c A0
B0
C0
n¶n C1; Hc; G1
thflng h ng.
T÷ìng tü, A1; G1; Ha thflng h ng v B1; G1; Hb thflng h ng.
Do G : A 7! Ha; B 7! Hb; C 7! Hc n¶n G : H 7! G1; i•u
ph£i chøng minh.
B i to¡n 3.7.12. Trong m°t phflng cho tam gi¡c ABC v mºt ÷íng trÆn C.
Gåi !a; !b; !c l ÷íng trÆn ti‚p xóc trong vîi (C) t⁄i A0
; B0
; C0
v theo thø tü
ti‚p xóc vîi c¡c c°p tia AB v AC, BC v BA, CA v CB. Chøng minh r‹ng c¡c
÷íng thflng AA0
; BB0
; CC0
çng quy.
Líi gi£i.
Gåi Oa l t¥m ÷íng trÆn !a v I l t¥m ÷íng trÆn nºi ti‚p cıa tam

60
H…nh 3.29:
gi¡c. Khi â:
! V A0
;Ra !V A; r
R
(O) (Oa) Ra (I)
Suy ra V S;
r
= V A;
r
o V A0
;
R
: (O) 7! (I):
a
R Ra R
Do â, ÷íng thflng AA0
i qua S l t¥m và tü ngo i cıa (O) v (I).
Ho n to n t÷ìng tü, công ÷æc BB0
; CC0
côngi qua S.
V“y AA0
; BB0
; CC0
çng quy t⁄i S l t¥m và tü ngo i cıa (O) v (I).

61
K‚t lu“n
Lu“n v«n tr…nh b y v›n t›t v• mºt sŁ t‰nh ch§t, ành lþ... câ th” v“n
döng trong qu¡ tr…nh chøng minh b i to¡n çng quy v thflng h ng trong
h…nh håc phflng.
Tuy”n chån v giîi thi»u nhi•u b i to¡n tł cì b£n ‚n n¥ng cao v khâ v• ¡p
döng c¡c ành lþ h…nh håc nŒi ti‚ng câ li¶n quan ‚n t‰nh çng quy cıa
c¡c ÷íng thflng v thflng h ng cıa c¡c i”m. Nhi•u b i to¡n trong lu“n v«n n y
÷æc l§y ra tł c¡c • thi håc sinh giäi hay væ àch cıa c¡c n÷îc, khu vüc v
quŁc t‚ ” gi£i chóng cƒn ph£i bi‚t v“n döng s¡ng t⁄o c¡c ành lþ t÷ìng øng.
Tr¶n cì sð nghi¶n cøu mºt sŁ b i t“p chøng minh h…nh håc li¶n
quan ‚n chı • çng quy v thflng h ng trong h…nh håc phflng em th§y
Vi»c gi£i c¡c b i to¡n li¶n quan ‚n i”m çng quy ta th÷íng ph£i dü o¡n
i”m çng quy cıa c¡c ÷íng thflng, sau â v“n döng c¡c t‰nh ch§t cıa c¡c
h…nh trong b i to¡n cö th” ” chøng minh dü o¡n â.
V• ph÷ìng h÷îng chøng minh th÷íng düa v o mºt sŁ t‰nh ch§t quen
thuºc nh÷: t‰nh çng quy cıa c¡c ÷íng trong tam gi¡c, a gi¡c nºi ti‚p, ành
lþ Ceva, ph†p và tü, ...
Nºi dung ¢ l m ÷æc cıa t¡c gi£ l t…m v dàch t i li»u, tŒng hæp lþ
thuy‚t, ÷a v‰ dö v b i t“p, v‡ h…nh minh håa. Phƒn chøng minh v b i
gi£i trong c¡c t i li»u tham kh£o th÷íng ch¿ l m t›t c¡c b÷îc. T¡c gi£ ¢
tr…nh b y chi ti‚t v c'n th“n c¡c chøng minh v c¡c líi gi£i n y.

62
T i li»u tham kh£o
Ti‚ng Vi»t
[1] Vi QuŁc Dông (1995), Nhœng b i to¡n chån låc v• c¡c ph÷ìng ph¡p
chøng minh h…nh håc phflng, NXB ⁄i håc S÷ ph⁄m Vi»t B›c.
[2] Nguy„n V«n Nho (2011), Nhœng ành l‰ chån låc trong h…nh håc
phflng qua c¡c k… thi Olympic, NXB ⁄i håc S÷ ph⁄m.
[3] Nguy„n «ng Ph§t (2005), Tø gi¡c i•u hÆa v mºt sŁ b i to¡n Olympic
QuŁc gia v QuŁc t‚ li¶n quan, K y‚u Hºi nghà khoa håc c¡c chuy¶n •
to¡n håc trong h» THPT chuy¶n.
Ti‚ng Anh
[4] Kim Y.Li (2005), Famus geometry theorems, Mathematical
Excalibur, Volume 10, Number 3, 1-4.
[5] Heather Macbeth (2009), Collinearity and Concur-rence, New
Zealand Mathematical Olympiad Committee,
www.mathsolympiad.org.nz/wp...
collinearity-and-concurrence.pdf.
[6] V. Prasolov (2001), Problems in plane and solid geomery,
www.pdfdrive.com Problems in plane and solid geometry, v1:
plane geometry.
[7] Po-Shen Loh (2008), Collinearity and Concurrence,
www.math.cmu.edu/ lohp/docs/math/.../collin-concur-soln.pdf.

63
[8] Wong Yan Loi (2009), An Introdution to Geometry,
www.math.nus.edu.sg
/ matwyl/ NotesMA2219: pdf.

Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc

Similar to Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc