Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
I H¯C TH I NGUY N
TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C
o0o
NGUY N M NH ÙC
VẬN DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO VÀO
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
LU NV NTH CS TO NH¯C
Th¡i Nguy¶n - 2017

I H¯C TH I NGUY N
TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C
o0o
NGUY N M NH ÙC
VẬN DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO VÀO
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p
M¢ sŁ: 60.46.01.13
LU NV NTH CS TO NH¯C
NG×˝I H×˛NG D N KHOA H¯C
PGS.TS TRÀNH THANH H I
Th¡i Nguy¶n - 2017

2
Möc löc
Mð ƒu 4
1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 6
1.1 Nguy¶n lþ cºng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 V‰ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Nguy¶n lþ nh¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 V‰ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Nguy¶n lþ bò trł, th¶m bît . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 V‰ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 H m sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 C¡c ành lþ v m»nh • . . . . . . . . . . . . . . 13
2 V“n döng ph÷ìng ph¡p ‚m v o gi£i to¡n 16
2.1 V“n döng ph÷ìng ph¡p truy hçi . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Þ t÷ðng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Mºt sŁ v‰ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 V“n döng ph÷ìng ph¡p song ¡nh . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Þ t÷ðng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Mºt sŁ v‰ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 V“n döng ph÷ìng ph¡p a thøc v sŁ phøc . . . . . . . . 30
2.3.1 Þ t÷ðng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 V‰ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 V“n döng ph÷ìng ph¡p sß döng h m sinh . . . . . . . . 36
2.4.1 Þ t÷ðng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3
2.4.2 V‰ dö ........................37
K‚t lu“n 42
T i li»u tham kh£o 43

4
Mð ƒu
Trong ch÷ìng tr…nh to¡n ð tr÷íng THPT nâi chung, nºi dung d nh
cho håc sinh giäi nâi ri¶ng, c¡c b i to¡n ‚m luæn thu hót ÷æc sü
quan t¥m cıa håc sinh bði t‰nh thüc ti„n a d⁄ng, phong phó cıa nâ
v d⁄ng b i t“p n y công th÷íng câ m°t trong c¡c • thi håc sinh giäi h
ng n«m c¡c c§p.
Tuy nhi¶n vi»c gi£i c¡c b i to¡n d⁄ng n y th÷íng l khâ Łi vîi nhi•u
håc sinh, lþ do ch‰nh l håc sinh ch÷a n›m ÷æc v bi‚t c¡ch v“n döng
c¡c ph†p ‚m v o tłng b i to¡n cö th”.
Công ¢ câ mºt sŁ t¡c gi£ ¢ ÷a ra mºt v i d⁄ng b i t“p li¶n quan
‚n h÷îng nghi¶n cøu cıa lu“n v«n nh÷: V«n Phó QuŁc [7], Nguy„n
V«n Nho [8]. . . Tuy nhi¶n c¡c t i li»u n y ch÷a ph¥n nhâm, ÷a ra mºt
c¡ch t÷íng minh, rª r ng c¡c þ t÷ðng, ph÷ìng ph¡p v“n döng ph†p ‚m
v o gi£i c¡c b i to¡n.
Vîi möc ‰ch t…m hi”u, s÷u tƒm mºt h» thŁng c¡c b i to¡n m líi
gi£i cıa nâ câ v“n döng c¡c ph†p ‚m ” sß döng c¡c b i t“p n y v o vi»c
æn t“p, bçi d÷ïng cho håc sinh kh¡, giäi ð tr÷íng THPT, chóng tæi
chån • t i: V“n döng ph†p ‚m n¥ng cao v o gi£i mºt sŁ b i to¡n thi
håc sinh giäi . Nhi»m vö cö th” cıa lu“n v«n l :
(1). H» thŁng mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n trong ch÷ìng tr…nh to¡n
phŒ thæng ” khði ƒu cho vi»c t…m hi”u c¡c ph†p ‚m n¥ng cao.
(2). Giîi thi»u mºt sŁ ph†p ‚m n¥ng cao v minh håa vi»c v“n döng
chóng v o gi£i mºt sŁ b i t“p, • thi håc sinh giäi.
Trong qu¡ tr…nh thüc hi»n • t i, lu“n v«n ¢ tham kh£o tr‰ch d¤n
mºt sŁ b i t“p trong c¡c t i li»u tham kh£o çng thíi công cŁ g›ng ÷a ra
líi gi£i chi ti‚t hìn cho mºt sŁ v‰ dö m trong c¡c t i li»u tham kh£o
mîi ch¿ ÷a ra h÷îng gi£i ho°c líi gi£i v›n t›t.
V… trong SGK, ch÷ìng tr…nh to¡n THPT khæng d⁄y nhœng ph†p
‚m n y mºt c¡ch t÷íng minh; n¶n ” ph¥n bi»t chóng tæi gåi t⁄m l

5
Ph†p ‚m n¥ng cao .
” ho n ch¿nh lu“n v«n, tæi luæn nh“n ÷æc sü h÷îng d¤n, ch¿
b£o t“n t…nh cıa PGS.TS. Trành Thanh H£i ( ⁄i håc Khoa håc ⁄i håc
Th¡i Nguy¶n), c¡c thƒy cæ khoa To¡n - Tin tr÷íng ⁄i håc Khoa håc ⁄i
håc Th¡i Nguy¶n v c¡c thƒy cæ gi£ng d⁄y lîp cao håc to¡n K9A. Tæi
xin ch¥n th nh b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c ‚n c¡c thƒy cæ v xin gßi líi
tri ¥n nh§t cıa tæi ‚n thƒy cæ.
Tæi xin gßi líi c£m ìn tîi L¢nh ⁄o tr÷íng ⁄i håc Khoa håc ⁄i håc Th¡i
Nguy¶n, Ban chı nhi»m khoa To¡n Tin, PGS.TS. Nguy„n Thà Thu
Thıy còng to n th” c¡c thƒy cæ trong tr÷íng ¢ h÷îng d¤n
v t⁄o måi i•u ki»n cho tæi trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v thüc hi»n
lu“n v«n.

6
Ch÷ìng 1
Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà
Lþ thuy‚t tŒ hæp l mºt phƒn quan trång cıa to¡n håc ríi r⁄c
chuy¶n nghi¶n cøu sü ph¥n bŁ c¡c phƒn tß v o c¡c t“p hæp. Thæng
th÷íng c¡c phƒn tß n y l hœu h⁄n v vi»c ph¥n bŁ chóng ph£i thäa
m¢n nhœng i•u ki»n nh§t ành n o â, tòy theo y¶u cƒu cıa b i to¡n
cƒn nghi¶n cøu. MØi c¡ch ph¥n bŁ nh÷ v“y gåi l mºt c§u h…nh tŒ
hæp. Chı • n y ¢ ÷æc nghi¶n cøu tł th‚ k¿ XVII, khi nhœng v§n • v•
tŒ hæp ÷æc n¶u ra trong nhœng cæng tr…nh nghi¶n cøu c¡c trÆ
chìi may rıi. Li»t k¶, ‚m c¡c Łi t÷æng câ nhœng t‰nh ch§t n o â l
mºt phƒn quan trång cıa lþ thuy‚t tŒ hæp. ‚m c¡c Łi t÷æng ” gi£i
nhi•u b i to¡n kh¡c nhau.
1.1 Nguy¶n lþ cºng
¥y l nguy¶n lþ cì b£n cıa tŒ hæp, ÷æc v“n döng rºng r¢i v o
gi£i quy‚t c¡c b i to¡n ‚m. N‚u A v B l hai t“p hæp khæng giao nhau
th… jA [ Bj = jAj + jBj: C¡c t“p hæp ÷æc x†t ð ¥y l nhœng t“p hæp
câ hœu h⁄n c¡c phƒn tß v kþ hi»u jAj l sŁ c¡c phƒn tß cıa t“p hæp A.
1.1.1 ành ngh¾a
Cho Ai; i = 1; n l c¡c t“p ríi nhau. Khi â
n
A
i =n jAij:
i=1 i=1
[ [
Mºt tr÷íng hæp ri¶ng cıa nguy¶n lþ cºng: N‚u A l mºt t‰nh ch§t cho
tr¶n t“p X
jAj = jXj j Ac
j

7
th…
jAj = jXj j Aj:
1.1.2 V‰ dö
V‰ dö 1.1.1 Mºt o n v“n ºng vi¶n gçm hai mæn b›n sóng v bìi ÷æc
cß i thi §u ð n÷îc ngo i. Nam câ 10 ng÷íi. SŁ v“n ºng vi¶n thi b›n
sóng (k” c£ nam v v nœ) l 14. SŁ nœ v“n ºng vi¶n thi bìi b‹ng sŁ
nam v“n ºng vi¶n thi b›n sóng. Häi o n câ bao nhi¶u ng÷íi? Líi gi£i.
Chia o n th nh 2 lîp: nam v nœ. Lîp nœ l⁄i ÷æc chia 2: thi b›n sóng v
thi bìi. Thay sŁ nœ thi bìi b‹ng sŁ nam thi b›n sóng (2 sŁ n y b‹ng
nhau theo ƒu b i), ta ÷æc sŁ nœ b‹ng tŒng sŁ cƒu thı thi b›n sóng.
Tł â, theo nguy¶n lþ cºng, to n o n câ 10 + 14 = 24 ng÷íi.
V‰ dö 1.1.2 Câ bao nhi¶u x¥u gçm 4 chœ sŁ th“p ph¥n câ óng 3
kþ tü l 9?
Líi gi£i. X¥u câ th” chøa
kþ tü kh¡c 9 ð và tr‰ thø nh§t
ho°c kþ tü kh¡c 9 ð và tr‰ thø hai
ho°c kþ tü kh¡c 9 ð và tr‰ thø ba
ho°c kþ tü kh¡c 9 ð và tr‰ thø t÷
ta câ th” sß döng quy t›c cºng. Łi vîi mØi tr÷íng hæp, câ 9 kh£ n«ng
chån kþ tü kh¡c vîi 9 (b§t k” chœ sŁ kh¡c 9 n o trong 9 chœ sŁ
0;1;:::;8).
V“y ¡p sŁ l : 9 + 9 + 9 + 9 = 36:
1.2 Nguy¶n lþ nh¥n
1.2.1 ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.2.1 T‰ch Descartes cıa hai t“p hæp A; B kþ hi»u bði
A B l t“p hæp t§t c£ c¡c c°p thø tü (a; b) vîi a 2 A; b 2 B:
ành ngh¾a 1.2.2 N‚u A v B l hai t“p hæp hœu h⁄n th… A B công
hœu h⁄n v ta câ
jA Bj = jAj:jBj:
ành ngh¾a v• t‰ch Descartes v nguy¶n lþ nh¥n tr¶n ¥y câ th”
mð rºng cho nhi•u t“p hæp. Nguy¶n lþ nh¥n câ th” ph¡t bi”u mºt
c¡ch kh¡c nh÷ sau:

8
N‚u mºt qu¡ tr…nh câ th” ÷æc thüc hi»n qua hai cæng åan: cæng
åan 1 câ n1 c¡ch thüc hi»n, cæng åan 2 (sau khi thüc hi»n cæng
o⁄n 1) câ n2 c¡ch thüc hi»n. Khi â câ n1:n2 c¡ch thüc hi»n qu¡ tr…nh
â. TŒng qu¡t: cho n t“p hæp Ai; i = 1; n; n 2. Khi â:
n Ai = n
jAij:
i=1 i=1
Y Y
1.2.2 V‰ dö
V‰ dö 1.2.3 Häi câ bao nhi¶u l¡ cí gçm 3 v⁄ch mƒu, mƒu cıa mØi
v⁄ch l§y tł 3 mƒu xanh, ä, tr›ng sao cho:
a) Khæng câ hai v⁄ch li¶n ti‚p n o còng mƒu;
b) Khæng câ hai v⁄ch n o còng mƒu.
Líi gi£i. ¡nh sŁ c¡c v⁄ch cıa l¡ cí bði 1; 2; 3 tł tr¶n xuŁng.
a) Mƒu cıa v⁄ch 1 câ 3 c¡ch chån.
Sau khi mƒu cıa v⁄ch 1 ¢ chån, mƒu cıa v⁄ch 2 câ 2 c¡ch chån
khæng ÷æc chån l⁄i mƒu cıa v⁄ch 1).
Sau khi mƒu cıa v⁄ch 1; 2 ¢ chån, mƒu cıa v⁄ch 3 câ 2 c¡ch chån
(khæng ÷æc chån l⁄i mƒu cıa v⁄ch 2).
Theo nguy¶n lþ nh¥n, sŁ l¡ cí cƒn ‚m l : 3:2:2 = 12.
b) Mƒu cıa v⁄ch 1 câ 3 c¡ch chån.
Sau khi mƒu cıa v⁄ch 1 ¢ chån, mƒu cıa v⁄ch 2 câ 2 c¡ch chån
(khæng ÷æc chån l⁄i mƒu cıa v⁄ch 1).
Sau khi mƒu cıa v⁄ch 1; 2 ¢ chån, mƒu cıa v⁄ch 3 câ 1 c¡ch chån
(khæng ÷æc chån l⁄i mƒu cıa v⁄ch 1 v 2).
Theo nguy¶n lþ nh¥n, sŁ l¡ cí cƒn ‚m l : 3:2:1 = 6.
V‰ dö 1.2.4 Cho n l mºt sŁ nguy¶n d÷ìng. X†t A = P1 1
:P2 2
: : : Pn n
vîi P1; P2; : : : ; Pn l c¡c sŁ nguy¶n tŁ ph¥n bi»t. Häi A câ bao nhi¶u
÷îc sŁ d÷ìng ph¥n bi»t?
Líi gi£i. Kþ hi»u Ai = f1; 2; 3; : : : ; ig; i = 1; n . MØi ÷îc sŁ a cıa A
câ d⁄ng: a = P1 1
:P2 2
: : : Pnn trongâ i 2 Ai, do â sŁ ÷îc sŁ cıa A
l sŁ phƒn tß cıa t‰ch • c¡c A1 A2 An: p döng nguy¶n lþ nh¥n ta câ
sŁ c¡c ÷îc cıa A l :
A = jA1j:jA2j : : : jAnj = ( 1 + 1)( 2 + 1) : : : ( n + 1):

9
1.3 Nguy¶n lþ bò trł, th¶m bît
1.3.1 ành ngh¾a
Cho X l mºt t“p hœu h⁄n v A X: Gåi A = X=A. Khi â ta câ:
jAj = jXj j Aj:
Nh“n x†t 1.3.1 Cho A1; A2 l hai t“p hœu h⁄n, khi â jA1 [ A2j =
jA1j + jA2j j A1 A2j.
Tł â vîi ba t“p hæp hœu h⁄n A1; A2; A3, ta câ:
jA1 [ A2 [ A3j = jA1j + jA2j + jA3j j A1 A2j
j A2 A3j j A3 A1j + jA1 A2 A3j
v b‹ng quy n⁄p, vîi k t“p hœu h⁄n A1; A2; : : : Ak ta câ:
jA1 [ A2 [ : : : [ Akj = N1 N2 + N3 ::: + ( 1)k 1
Nk
trong â Nm (1 m k) l tŒng phƒn tß cıa t§t c£ c¡c giao m t“p l§y tł k
t“p ¢ cho, ngh¾a l
X
Nm = jAi1 Ai2 : : : Aim j:
1 i1<i2< <im k
B¥y gií ta çng nh§t t“p Am (1 m k) vîi t‰nh ch§t Am cho tr¶n t“p
hœu h⁄n U n o â v ‚m xem câ bao nhi¶u phƒn tß cıa U sao
cho khæng thäa m¢n b§t ký mºt t‰nh ch§t Am n o. Gåi N l sŁ cƒn
‚m, N l sŁ phƒn tß cıa U. Ta câ:
[ A2 [ : : : [ Akj = N N1 + N2
k
N = N j A1 + ( 1) Nk
trong â Nm l tŒng c¡c phƒn tß cıa U thäa m¢n m t‰nh ch§t l§y tł k
t‰nh ch§t ¢ cho. Cæng thøc n y ÷æc gåi l nguy¶n lþ bò trł. Nâ
Nm trong tr÷íng hæp c¡c sŁ n y d„ t‰nh to¡n
cho ph†p t‰nh N qua c¡c
hìn.
TŒng qu¡t: cho n t“p hæp Ai; i = 1; n (n 2). Khi â:
n Ai = i1
k
A
im :
i=1 1 i2< ik n m=1
[ X

10
1.3.2 V‰ dö
V‰ dö 1.3.2 Mºt chuy‚n bay câ 67 h nh kh¡ch. Trong â câ 47 ng÷íi
sß döng tŁt ti‚ng Anh, 35 ng÷íi sß döng tŁt ti‚ng øc, 20 ng÷íi sß
döng tŁt ti‚ng Ph¡p. Hìn nœa câ 23 ng÷íi sß döng tŁt hai thø ti‚ng
Anh v øc, 12 ng÷íi sß döng tŁt hai ti‚ng Anh v Ph¡p, 11 ng÷íi sß
döng tŁt hai ti‚ng øc v Ph¡p. V câ 5 ng÷íi sß döng tŁt c£ ba thø
ti‚ng. T…m sŁ h nh kh¡ch khæng sß döng ÷æc b§t k… ngo⁄i ngœ n
o? Líi gi£i. Gåi A; B; C lƒn l÷æt l c¡c h nh kh¡ch sß döng tŁt ngo⁄i
ngœ l ti‚ng Anh, ti‚ng øc, ti‚ng Ph¡p. SŁ c¡c h nh kh¡ch bi‚t ‰t nh§t
mºt ngo⁄i ngœ l :
jA [ B [ Cj = jAj + jBj + jCj j A Bj j B Cj
j C Aj + jA B Cj
=47+35+20 23 12 1+5=61:
V“y sŁ h nh kh¡ch khæng sß döng ÷æc b§t k… ngo⁄i ngœ n o l :
67 61=6.
V‰ dö 1.3.3 X†t t“p hæp X = f1; 2; 3; : : : ; 2009g.
°t A = fx 2 X : x 1 mod (29)g.
a) T‰nh jAj.
b) T…m sŁ t“p con B 2 X sao cho B A 6= ?:
Líi gi£i. a) X†t x 2 X, ta câ: x 1 mod (29) ) x = 1 + 29t. Ta câ:
1 x 2009 ) 0 t 69
V“y jAj = 70:
b) Gåi P (X) l t“p bao gçm t§t c£ c¡c t“p con cıa X; M l t“p c¡c t“p
con B cıa X sao cho B A 6= ?. Khi â: P (X)nM l t“p c¡c t“p con
B cıa X m B A 6= ? hay B = XnA. Suy ra P (X)nM = P (XnA). Do
â,
M = jP (X)j j P (XnA)j = 22009
22009 70
= 22009
21939
:
V‰ dö 1.3.4 Trong mºt • thi chån ºi tuy”n quŁc gia câ ba c¥u: mºt c¥u
v• sŁ håc, mºt c¥u v• ⁄i sŁ v mºt c¥u v• h…nh håc. Trong 40 th‰

11
sinh dü thi câ 25 th‰ sinh l m ÷æc c¥u sŁ håc, 30 th‰ sinh l m ÷æc
c¥u ⁄i sŁ v 15 th‰ sinh l m ÷æc c¥u h…nh håc. Ngo i ra sŁ th‰ sinh
l m ÷æc c£ hai c¥u sŁ håc v ⁄i sŁ l 20, sŁ th‰ sinh l m ÷æc c£ hai
c¥u sŁ håc v h…nh håc l 5, sŁ th‰ sinh l m ÷æc c£ hai c¥u ⁄i sŁ v
h…nh håc l 10. Bi‚t r‹ng khæng câ th‰ sinh khæng l m ÷æc c¥u n
o. Häi câ bao nhi¶u th‰ sinh l m ÷æc c£ ba c¥u?
Líi gi£i. Gåi A; B; C l t“p hæp c¡c th‰ sinh l m ÷æc c¥u sŁ håc, ⁄i sŁ
v h…nh håc. Theo • ta câ:
jAj = 25; jBj = 30; jCj = 15; jABj = 20; jB Cj = 10; jC Aj = 5:
V… khæng câ th‰ sinh khæng l m ÷æc c¥u n o n¶n jA [ B [ Cj =
40:
p döng nguy¶n lþ th¶m bît ta câ:
jA [B [Cj = jAj+ jBj+ jCj j A Bj j B Cj j C Aj+ jA B Cj:
Suy ra
40 = 25 + 30 + 15 20 10 5 + jA B Cj
) jA B Cj = 5:
V“y câ 5 th‰ sinh l m ÷æc c£ 3 c¥u.
V‰ dö 1.3.5 (IMO 1989). Cho n sŁ nguy¶n d÷ìng. Mºt ho¡n và x1;
x2; : : : ; x2n cıa t“p f1; 2; : : : ; 2ng ÷æc gåi l câ t‰nh ch§t T n‚u tçn
t⁄i i 2 f1; 2; : : : ; 2n 1g sao cho jxi xi+1j = n: Chøng minh r‹ng vîi måi
n nguy¶n d÷ìng, sŁ c¡c ho¡n và câ t‰nh ch§t T lîn hìn sŁ c¡c ho¡n
và khæng câ t‰nh ch§t T .
Líi gi£i. Ta câ: jxi xi+1j = n n¶n n‚u xi = k th… xi+1 = k + n. Vîi
mØi sŁ k 2 f1; 2; : : : ; ng, kþ hi»u Ak l t“p c¡c ho¡n và m trong â câ
hai phƒn tß k v k + n øng li¶n ti‚p. Gåi A l t“p c¡c ho¡n và câ t‰nh
ch§t T . Ta câ: A = i
n
=1
A
k
.
j j P n j A j P j T j
Do â: A k k<h Ak Ah . D„ d ng chøng minh ÷æc:
k=1
S
jAkj = 2(2n 1)!; jAk Ahj = 4(2n 2)!:
Tł â:
2)! n:2(2n
1)
4 = 2n2(2n 2)! >
(2
2 )!:
jAj (2n 1) ( 2
n n n

12
V‰ dö 1.3.6 (VMO 2005B). T…m k‚t qu£ håc t“p ð mºt lîp håc,
ng÷íi ta th§y:
- Hìn
2
3 sŁ håc sinh ⁄t i”m giäi ð mæn To¡n công çng thíi ⁄t i”m giäi
ð mæn V“t lþ;
- Hìn
2
3 sŁ håc sinh ⁄t i”m giäi ð mæn V“t lþ công çng thíi ⁄t
i”m giäi ð mæn V«n;
- Hìn
2
3 sŁ håc sinh ⁄t i”m giäi ð mæn V«n công çng thíi ⁄t i”m giäi
ð mæn Làch sß;
- Hìn
2
3 sŁ håc sinh ⁄t i”m giäi ð mæn Làch sß công çng thíi ⁄t
i”m giäi ð mæn To¡n;
Chøng minh r‹ng trong lîp håc nâi tr¶n câ ‰t nh§t mºt håc sinh ⁄t
i”m giäi ð c£ bŁn mæn To¡n, V“t lþ, V«n, Làch sß.
Líi gi£i. Gåi T; L; V; S t÷ìng øng l t“p hæp c¡c håc sinh ⁄t i”m giäi ð
mæn To¡n, V“t lþ, V«n, Làch sß. Kþ hi»u T1 = T L; L1 = LS; V1
=V S:
Theo gi£ thi‚t b i to¡n ta câ:
2 2 2
jT1j > jT j; jL1j > jLj; jV1j > jV j:
3 3 3
Ta s‡ chøng minh: jT L V Sj > 0:
Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta gi£ sß T l t“p câ nhi•u phƒn tß nh§t.
Ta câ
jT1 L1j = jT1j + jL1j j T1 [ L1j: (1.1)
V… T1 [ L1 L n¶n jT1 [ L1j jLj. Do â tł (1.1) ta ÷æc:
2 2 2 1 1
jT1 L1j > jT j + jLj j Lj = jT j jLj jT j (do jT j jLj):
3 3 3 3 3
(1.2)
L⁄i câ
jT1 L1 V1j = jT1 L1j + jV1j j (T1 L1) [ V1j: (1.3)
V… L1 V n¶n T1 L1 V:
Do j(T1 L1) [ V1j jV j:

13
V… v“y tł (1.2) v (1.3) ta ÷æc:
1 2 1 1
jT1 L1 V1j jT j + jV j jV j = (jT j j V j) 0: (1.4)
3 3 3 3
Hi”n nhi¶n:
T LSV =T1L1V1: (1.5)
Tł (1.4) v (1.5) ta câ i•u ph£i chøng minh l jT L V Sj > 0: V“y
trong lîp håc nâi tr¶n câ ‰t nh§t mºt håc sinh ⁄t i”m giäi ð c£ bŁn
mæn To¡n, V“t lþ, V«n, Làch sß.
1.4 H m sinh
Do h m sinh v v§n • li¶n quan ‚n h m sinh l væ còng phong phó,
theo h÷îng nghi¶n cøu cıa • t i, lu“n v«n quan t¥m ‚n h m sinh a
thøc v lôy thła.
1.4.1 ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.4.1 H m sinh (GeneratingFunctions) cıa d¢y sŁ thüc
fang l h m sŁ ÷æc x¡c ành bði
G(x) = a0 + a1x + a2x2
+ + anxn
+ :
ành ngh¾a 1.4.2 Cho d¢y sŁ thüc fang. H m sŁ cho bði cæng thøc
1
xn
X
G(x) = a
n n!
n=0
÷æc gåi l h m sinh d⁄ng mô cıa d¢y fang.
1.4.2 C¡c ành lþ v m»nh •
ành lþ 1.4.3 ành lþ v• khai tri”n Taylor
Cho h m sŁ f(x) câ ⁄o h m ‚n c§p n + 1 trong mºt kho£ng chøa x0 v
x. Khi â ta câ khai tri”n
f(x) = f(x0)+
f0(x0)
(x x0)+
f00
(x0)
(x x0)2
+ :+
f(n+1)
(x0)
(x x0)(n+1)
+Rn(x)
1! 2! (n + 1)!
.

14
Vîi Rn(x) l phƒn d÷ b“c n. °c bi»t khi x0 = 0 ta câ:
f0
(0) f00
(0) 2
+ : +
f(n+1)(0) (n+1)
f(x) = f(0) + x + x (x)
1! 2! (n + 1)!
M»nh • 1.4.4 Cho h m sinh G(x) = (1 + x + x2
+ )n
.
(i) °t a l h» sŁ cıa x trong khai tri”n cıa G(x) th… a = Ck
:
k k k k+n 1
M»nh• 1.4.5 Cho hai h m sinh cıa hai d¢y fang; fbng lƒn l÷æt l :
A(x) = a0 + a1x + a2x2
+ ;
B(x) = b0 + b1x + b2x2
+ :
°t
G(x) = A(x)B(x) + a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2
+
Khi â h» sŁ cıa xk
trong khai tri”n cıa G(x) l
a0bk + a1bk 1 + a2bk 2 ++ ak 2b2 + ak 1b1 + akb0:
M»nh • 1.4.6 Gåi A(x) l h m sinh cho c¡ch chån c¡c phƒn tß tł t“p
hæp A v B(x) l h m sinh cho c¡ch chån c¡c phƒn tß tł t“p hæp B. N‚u
A v B ríi nhau th… h m sinh cho c¡ch chån c¡c phƒn tß tł t“p A [ B l
A(x)B(x).
ành lþ 1.4.7 ành lþ RUF (Root of Unity Filter). Cho sŁ nguy¶n
d÷ìng n, ành ngh¾a " = cos 2 + i sin 2 :
n n
X†t a thøc F (x) = a0 + a1x + a2x2
+ . B“c n. Khi â
a0 + an + a2n + = n
1
F (1) + F (") + F ("2
) + + F ("n 1
) :
2 2
ành lþ 1.4.8 Cho p l sŁ nguy¶n tŁ, °t " = cos p + i sin p :
a0 + a1" + a2"2
+ ap 1"p 1
= 0

15
th…
a0 = a1 = a2 = : : : = ap 1:

16
Ch÷ìng 2
V“n döng ph÷ìng ph¡p ‚m v o gi£i
to¡n
2.1 V“n döng ph÷ìng ph¡p truy hçi
2.1.1 Þ t÷ðng
Łi vîi nhi•u b i to¡n ‚m xu§t hi»n trong c¡c ký thi QuŁc gia, QuŁc
t‚. . . th… vi»c ‚m trüc ti‚p c¡c Łi t÷æng væ còng khâ kh«n. N‚u ta
x¥y düng ÷æc mŁi quan h» truy hçi giœa sŁ l÷æng c¡c Łi t÷æng
cƒn ‚m trong nhâm n Łi t÷æng vîi sŁ l÷æng Łi t÷æng cƒn ‚m trong
c¡c nhâm ‰t hìn n Łi t÷æng th… câ th” ÷a v• ‚m sŁ Łi t÷æng trong
nhâm vîi sŁ Łi t÷æng nhä v vi»c ‚m sŁ trong nhâm Łi t÷æng n y ìn
gi£n hìn.
ành ngh¾a 2.1.1 H» thøc truy hçi (hay cæng thøc truy hçi) Łi vîi
d¢y sŁ fang l cæng thøc bi”u di„n an qua mºt hay nhi•u sŁ h⁄ng i
tr÷îc cıa d¢y. D¢y sŁ ÷æc gåi l líi gi£i hay nghi»m cıa h» thøc truy
hçi n‚u c¡c sŁ h⁄ng cıa nâ thäa m¢n h» thøc truy hçi n y.
2.1.2 Mºt sŁ v‰ dö
V‰ dö 2.1.2 Cho sŁ nguy¶n d÷ìng n v S = f1; 2; : : : ; ng. T…m sŁ
c¡c t“p con (k” c£ t“p rØng) cıa S m khæng chøa hai sŁ nguy¶n
d÷ìng li¶n ti‚p.
Líi gi£i: Gåi xn l sŁ ph£i t…m. D„ th§y x1 = 2; x2 = 3; x3 = 5.
Chflng h⁄n vîi n = 3 câ 5 t“p con thäa l ?; f1g; f2g; f3g; f1; 3g: Gåi Tn
l hå c¡c t“p con câ t‰nh ch§t ¢ n¶u. MØi t“p A 2 Tn+2 gçm hai lo⁄i:
lo⁄i 1 gçm c¡c t“p chøa n + 2; lo⁄i 2 gçm c¡c t“p khæng chøa n + 2.
N‚u A l t“p lo⁄i 1 th… A khæng chøa n + 1. Do â n‚u bä i

17
khäi A phƒn tß n + 2 ta ÷æc mºt t“p con cıa Tn. Ng÷æc l⁄i vîi mØi
t“p con B cıa Tn th… t“p A = B [ fn + 2g l t“p lo⁄i 1 cıa Tn+2. Th‚ th…
sŁ t“p lo⁄i 1 l xn. MØi t“p lo⁄i 2 rª r ng l mºt t“p con cıa Tn+1
v ng÷æc l⁄i. Do â sŁ t“p lo⁄i 2 l xn+1. D¤n ‚n vi»c ta câ mŁi quan h»
sau:
x
n+2
= x
n+1
+ x
n
:
(2.1)
(2.1) ch‰nh l cæng thøc truy hçi, cho chóng ta x¡c ành ÷æc sŁ
l÷æng c¡c phƒn tß theo cæng thøc truy hçi â.
M°t kh¡c, Łi vîi d¢y Fibonacci fFng ta câ:
F
n+2
= F
n+1
+ F
n
:
V…
x1 = F3 = 2; x2 = F4 = 3; x3 = F5 = 5
ta suy ra: xn = Fn+2:
V“y
1 +
p
!
p
!n+2
5 1 5
2
p
2
xn = Fn+2 = :
5
V‰ dö 2.1.3 (Vi»t nam MO 2015). Cho sŁ nguy¶n d÷ìng k. T…m
c¡c sŁ tü nhi¶n n khæng v÷æt qu¡ 10k
thäa m¢n çng thíi:
(i) n chia h‚t cho 3.
(ii) C¡c chœ sŁ cıa n bi”u di„n trong h» th“p ph¥n thuºc t“p f2; 0; 1; 5g.
Líi gi£i: V… 10k
khæng chia h‚t cho 3 n¶n ta ch¿ cƒn x†t c¡c sŁ tł 0 ‚n
99 : : : 9 (k chœ sŁ 9). Do â, c¡c sŁ cƒn t…m câ d⁄ng: a1a2 : : : ak
(ai 2 f2; 0; 1; 5g) ” c¡c sŁ n y chia h‚t cho 3 th… khi v ch¿ khi a1 +
a2 + :::ak chia h‚t cho 3.
i•u n y gæi cho ta þ t÷ðng ph¥n ho⁄ch vîi i = 0; 1; 2 câ:
( n )
X
A(n; i) = (a1; a2; :::an)jaj 2 f2; 0; 1; 5g; aj i(mod3) :
j=1

18
Khi â, °t
an = jA(n; 0)j; bn = jA(n; 1)j; cn = jA(n; 2)j:
Th… sŁ c¡c sŁ cƒn t…m ch‰nh l : an. D„ d ng ki”m tra ÷æc: a1 =
1; b1 = 1; c1 = 2:
X†t phƒn tß (a1; a2; : : : ; an+1) 2 A(n + 1; 0) câ:
an+1 = 0 ! (a1; a2; : : : ; an) 2 A(n; 0)
an+1 2 f2; 5g ! (a1; a2; : : : ; an) 2 A(n; 1)
an+1 = 1 ! (a1; a2; : : : ; an) 2 A(n; 2):
Suy ra:
an+1 = an + 2bn + cn: (2.2)
Ho n to n t÷ìng tü vîi d¢y bn = jA(n; 1)j; cn = jA(n; 2)j: Ta suy ra:
bn+1 = an + bn + 2cn (2.3)
v
cn+1 = 2an + bn + cn: (2.4)
Tł ¥y ta t‰nh ÷æc:
a2 = 5; b2 = 6; c2 = 5; a3 = 22; b3 = 21; c3 = 21:
Cºng c¡c v‚ cıa (2.2); (2.3) v (2.4) ta suy ra:
an+1 + bn+1 + cn+1 = 4(an + bn + cn) ! an + bn + cn = 4n
:
L§y (2.2) trł (2.3); (2.3) trł (2.4); (2.4) trł (2.2) ta thu ÷æc:
a
n+1
b
n+1
= b
n
c
n
; b
n+1
c
n+1
= c
n
a
n
; c
n+1
a
n+1
= a
n
b
n
!
a
n+3
b
n+3
= b
n+2
c
n+2
= c
n+1
a
n+1
= a
n bn:
T÷ìng tü ta công câ:
b
n+3
c
n+3
= b
n
c
n
; c
n+3
a
n+3
= c
n an:

19
Sß döng c¡c gi¡ trà ban ƒu ta suy ra:
k 0( mod 3) ! bk = ck = ak 1
k 1( mod 3) ! ak = bk = ck 1
k 2( mod 3) ! ak = ck = bk 1
tł ¥y k‚t hæp flng thøc ak + bk + ck = 4k
ta câ:
4k 1
+ N‚u k khæng chia h‚t cho 3 th…: ak = :
+ N‚u k chia h‚t cho 3 th…: ak =
4k + 2
:
3
V‰ dö 2.1.4 (BRVT 2010). Cho sŁ nguy¶n d÷ìng n. Câ bao nhi¶u
sŁ tü nhi¶n câ n chœ sŁ, trong mØi sŁ â c¡c chœ sŁ •u lîn hìn 1 v
khæng câ hai chœ sŁ kh¡c nhau còng nhä hìn 7 øng li•n k• nhau.
Líi gi£i: K‰ hi»u Xn l t“p c¡c sŁ tü nhi¶n câ n chœ sŁ thäa m¢n •
b i. An; Bn l c¡c t“p con cıa Xn theo thø tü c¡c sŁ câ t“n còng nhä
hìn 7; c¡c sŁ câ t“n còng lîn hìn 6.
Ta câ
Xn = An [ Bn; An Bn = ? ! jXnj = jAnj + jBnj:
L§y mºt phƒn tß thuºc Xn+1 bä i chœ sŁ t“n còng ta ÷æc mºt phƒn
tß cıa Xn; ng÷æc l⁄i l§y mºt phƒn tß cıa Xn ta câ hai tr÷íng hæp:
+ N‚u t“n còng nhä hìn 7 (thuºc An) th… ch¿ câ 1 c¡ch th¶m v o chœ
sŁ cuŁi ” ÷æc mºt phƒn tß cıa An+1 v câ óng 3 c¡ch th¶m v o chœ
sŁ cuŁi ” ÷æc mºt phƒn tß cıa Bn+1:
+ N‚u t“n còng lîn hìn 6 (thuºc Bn) th… câ 5 c¡ch th¶m v o chœ sŁ
cuŁi ” ÷æc mºt phƒn tß cıa An+1 v óng 3 c¡ch th¶m v o chœ sŁ cuŁi
” ÷æc mºt phƒn tß cıa Bn+1: Tł c¡c l“p lu“n tr¶n ta suy ra:
8
<jAn+1j = jAnj + 5jBnj
:jBn+1j = 3jAnj + 3jBnj

20
! jAn+1j + jBn+1j = 4jAnj + 8jBnj = 4(jAnj + jBnj) + 4jBnj
! jAn+1j + jBn+1j = 4(jAnj + jBnj) + 12(jAn 1j + jBn 1j)
! jXn+1j = 4jXnj + 12jXn 1j: (2.5)
(2.5) ch‰nh l cæng thøc truy hçi, cho chóng ta x¡c ành ÷æc sŁ
l÷æng c¡c phƒn tß theo cæng thøc truy hçi â.
D„ th§y jX1j = 8. Ta t‰nh X2. X†t
n 2 jX2j ! n = a; b : a; b 2 f2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g:
+ N‚u a 2 f2; 3; 4; 5; 6g th… b câ 4 c¡ch chån.
+ N‚u a 2 f7; 8; 9g th… b câ 8 c¡ch chån.
V… th‚ jX2j = 5:4 + 3:8 = 44: Do â ta d„ d ng t…m ÷æc:
jXnj =
1
2 15:6n 1
+ ( 2)n 1
:
Nh“n x†t 2.1.5 C£ hai v‰ dö tr¶n •u dòng d¢y phö ” t…m ra cæng
thøc truy hçi, th‚ nh÷ng V‰ dö 2.1.3 ta khæng t…m ra cæng thøc li¶n
h» giœa ⁄i l÷æng thø n vîi ⁄i l÷æng tr÷îc â, cÆn V‰ dö 2.1.4 th… ta
t…m mŁi li¶n h» giœa ⁄i l÷æng thø n + 2 vîi ⁄i l÷æng thø n + 1 v thø n.
Câ th” th§y r‹ng t÷ t÷ðng cıa b i to¡n ‚m b‹ng hai c¡ch r§t rª r ng v
øng döng cıa nâ kh¡ rºng r¢i.
V‰ dö 2.1.6 (Bulgaria 1995). Cho sŁ nguy¶n n 2: T…m sŁ c¡c
ho¡n và (a1; a2; : : : ; an) cıa n sŁ nguy¶n d÷ìng ƒu ti¶n sao cho tçn t⁄i
duy nh§t mºt ch¿ sŁ 1 i n 1 m ai > ai+1:
Líi gi£i: Gåi Sn l ho¡n và thäa m¢n • b i. X†t hai tr÷íng hæp:
- N‚u an = n th… (a1; a2; : : : ; an 1) l ho¡n và cıa (1; 2; :::; n 1) v thäa

m¢n i•u ki»n tçn t⁄i ch¿ sŁ 1 i n 2 m ai > ai+1: SŁ ho¡n và n y
ch‰nh l Sn 1.

- N‚u an 6= n th… ph£i tçn t⁄i mºt ch¿ sŁ 1 i n 1 m ai = n. Khi â ta cƒn
chån c¡c ch¿ sŁ cho i 1 và tr‰ tr÷îc ai v n i và tr‰
sau ai. ” þ r‹ng vîi mØi c¡ch chån nh÷ th‚ th… c¡c sŁ cıa hai d¢y n y
s‡ ÷æc x‚p theo thø tü gi£m dƒn v… ¢ câ mºt ch¿ sŁ i thäa m¢n ai
= n > ai+1 2 f1; 2; 3; : : : ; n 1g. Ùng vîi mØi c¡ch chån câ óng mºt
d¢y thäa m¢n y¶u cƒu b i to¡n n¶n câ t§t c£ Cn
i 1
1 c¡ch chån.

21
2 n 1 n 1
P
Ci 1
P
1 =
SŁ c¡c ho¡n và trong tr÷íng hæp n y l = Ci
1
n 1 n
2n 1
1. Ta công t‰nh ÷æc S
i=1 i=0
= 1 v hai tr÷íng hæp tr¶n ríi nhau
n¶n câ cæng thøc truy hçi:
8S2=1 n 1 1; n 3
<Sn = Sn 1 + 2
: 8
suy ra
n n 1
X X
i
, Sn = S2 + 2n
3 (n 2) = 2n
n 1:
Si = 2i
(n 2)
i=3 =2
V“y sŁ ho¡n và cƒn t…m l 2n
n 1.
V‰ dö 2.1.7 (Austrian MO 2012). X†t mºt b«ng gi§y ÷æc ¡nh d§u tł
tr¡i sang ph£i theo thø tü t«ng dƒn tł 1 ‚n n. T…m sŁ c¡ch tæ
m u c¡c æ cıa b«ng gi§y thäa m¢n c¡c i•u ki»n sau:
- MØi æ nh÷ v“y ÷æc tæ bði mºt trong ba m u 1; 2 ho°c 3.
- ˘ mang sŁ thø tü chfin th… câ th” ÷æc tæ b‹ng b§t ký m u n o.
- ˘ mang sŁ thø tü l· th… ch¿ ÷æc tæ bði m u l·, ngh¾a l m u 1
ho°c m u 3.
- Hai æ n‹m ð c⁄nh nhau ph£i ÷æc tæ m u kh¡c nhau.
Líi gi£i: Gåi Sn; n 1 lƒn l÷æt l sŁ c¡ch tæ m u d¢y æ gçm n æ v an;
bn; cn l sŁ c¡ch tæ m u d¢y æ gçm n æ m æ thø n lƒn l÷æt mang
mƒu sŁ 1, 2 v 3. Xem x†t c¡c tr÷íng hæp sau:
(i) Tr÷íng hæp 1: n = 2k + 1 vîi k 2 Z; k 0: V… æ l· ch¿ ÷æc tæ m u
l· n¶n ta câ
- N‚u æ thø 2k + 3 ÷æc tæ m u 1 th… æ thø 2k + 2 câ th” ÷æc
tæ m u 1 ho°c mƒu 3.

22
Ti‚p töc x†t æ thø 2k + 2:
- N‚u æ thø 2k + 2 ÷æc tæ b‹ng 1 trong hai m u 1 ho°c 3 th… æ
thø 2k + 1 ch¿ câ th” ÷æc tæ b‹ng m u cÆn l⁄i.
= c
2k+2
+ b
2k+2
+ a
2k+2
+ b
2k+2
= a
2k+1
+ 2(a
2k+1
+ b
2k+1
) + c
2k+1
= 3S
2k+1
:
M°t kh¡c, d„ d ng t‰nh ÷æc S1 = 2 n¶n suy ra vîi n = 2k + 1 th… sŁ
c¡ch tæ m u thäa m¢n • b i l 2:3k
:
(ii) Tr÷íng hæp 2: n = 2k vîi k 2 Z+
:
L“p lu“n t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hæp tr¶n ta thu ÷æc sŁ c¡ch tæ m u
thäa m¢n • b i cho tr÷íng hæp n y l 4:3k 1
:
V‰ dö 2.1.8 (Baltic 1995). Cho t“p X = f1; 2; 3; : : : ; 1995g: Häi câ
bao nhi¶u c¡ch chia t“p X th nh 3 t“p con kh¡c rØng sao cho trong
mØi t“p khæng câ hai phƒn tß n o li¶n ti‚p.
Líi gi£i: Gåi S(n) l sŁ c¡ch chia t“p f1; 2; 3; : : : ; ng th nh 3 t“p thäa
m¢n y¶u cƒu b i to¡n. Tł S(n) t⁄o ra t“p S(n + 1) b‹ng c¡ch th¶m phƒn
tß n + 1 v o S(n) thäa m¢n y¶u cƒu b i to¡n. Ta câ
S(n + 1) = 2S(n) + 1; 8n 3:
Tł â ta câ:
S(n) = 2n 3
S(3) + (1 + 2 + 22
+ + 2n 4
) = 2n 2
1:
V“y sŁ c¡ch chia cƒn t…m l S(1995) = 21993
1:
V‰ dö 2.1.9 (IMO 1996). Cho b£ng æ vuæng n n vîi n > 1: Häi câ
bao nhi¶u c¡ch ¡nh d§u c¡c æ vuæng trong b£ng sao cho trong mØi
h…nh vuæng 2 2 câ óng 2 æ vuæng ÷æc ¡nh d§u. (Hai c¡ch ¡nh d§u
÷æc coi l kh¡c nhau n‚u câ mºt æ vuæng n o â m trong c¡ch

23
n y th… ÷æc ¡nh d§u cÆn trong c¡ch kia th… khæng).
Líi gi£i: Gåi Sn l sŁ c¡ch ¡nh d§u trong b£ng n n. X†t t“p T gçm c¡c
æ vuæng n‹m trong cºt cuŁi còng (t‰nh tł ph£i sang) v h ng cuŁi
còng (t‰nh tł tr¶n xuŁng), ta gåi An l c¡c c¡ch ¡nh d§u m câ hai æ
vuæng k• nhau trong T còng ÷æc ¡nh d§u ho°c còng khæng ÷æc
¡nh d§u v Bn l c¡c c¡ch ¡nh d§u m c¡c æ vuæng trong T ÷æc ¡nh
d§u xen k‡.
Rª r ng mØi c¡ch ¡nh d§u thuºc Bn s‡ øng vîi mºt c¡ch ¡nh d§u
thuºc Bn 1, cÆn mØi c¡ch ¡nh d§u thuºc An s‡ øng vîi mØi c¡ch ¡nh
d§u thuºc An 1 v mºt c¡ch thuºc Bn 1.
( i•u n y ÷æc suy ra khi x†t b£ng æ vuæng (n 1) (n 1) tł b£ng n n
sau khi bä T ).
Tł â ta câ:
jBnj = jBn 1j; jAnj = jAn 1j + jBn 1j; n > 2:
M jSnj = jAnj + jBnj; 8n > 1 n¶n Sn = 2Sn 1 Sn 2; 8n > 3: D„ th§y S2
= 6; S3 = 14:
Chøng minh b‹ng quy n⁄p ta ÷æc:
Sn = 8n 10; 8n 2:
2.2 V“n döng ph÷ìng ph¡p song ¡nh
2.2.1 Þ t÷ðng
Ph÷ìng ph¡p song ¡nh düa v o mºt þ t÷ðng r§t ìn gi£n: N‚u tçn t⁄i
mºt song ¡nh f : A ! B th… jAj = jBj. Do â, muŁn chøng minh hai t“p
hæp câ còng sŁ phƒn tß, ch¿ cƒn x¥y düng mºt song ¡nh giœa
chóng. Hìn nœa, ta câ th” ‚m ÷æc sŁ phƒn tß cıa mºt t“p hæp A
b‹ng c¡ch x¥y düng song ¡nh tł A v o mºt t“p hæp B m t“p hæp B
thäa m¢n 1 trong 2 i•u ki»n
1) N‚u sŁ phƒn tß cıa B ¢ bi‚t;
2) Ho°c vi»c ‚m sŁ phƒn tß cıa B l ìn gi£n hìn.

24
Khi â thay cho vi»c ‚m trüc ti‚p sŁ phƒn tß cıa A ta i ‚m sŁ phƒn tß
cıa B rçi suy ra A.
T‰nh ch§t: Cho A; B l hai t“p hæp hœu h⁄n v ¡nh x⁄ f : A ! B:
Khi â:
1) N‚u f l ìn ¡nh th… jAj jBj;
2) N‚u f l to n ¡nh th… jAj jBj;
3) N‚u f l song ¡nh th… jAj = jBj:
2.2.2 Mºt sŁ v‰ dö
V‰ dö 2.2.1 Häi trung b…nh cºng c¡c sŁ N gçm 2002 chœ sŁ thäa m¢n
N
..
.999 v c¡c chœ sŁ cıa N thuºc f1; 2; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8g:
Líi gi£i: Gåi M l t“p hæp c¡c sŁ N thäa m¢n i•u ki»n • b i. X¥y düng
¡nh x⁄ f nh÷ sau:
N‚u N = th…. f(N) = b1b2 : : : b2002 vîi bi = 9 ai:
a
1
a
2
: : : a
2002
.
Do N + f(N) = 99 : : : 9.99 n¶n f : M ! M l song ¡nh.
| {z }
2002
Tł â
X X
2 N =(N + f(N)) = jMj:99 : : : 9: | {z }
N2M N2M 2002
Suy ra trung b…nh cºng c¡c sŁ N l
102002 1 :
2
V‰ dö 2.2.2 Cho X = fa1; a2; : : : ; ang: vîi n l sŁ tü nhi¶n d÷ìng, k
l sŁ tü nhi¶n thäa m¢n k n: °t
S = f(ai1 ; ai2 ; : : : ; aik ) j ai1 ; ai2 ; : : : ; aik 2 X; 1 i1 i2 ik
ng :
T‰nh sŁ phƒn tß cıa t“p S.
Líi gi£i: Ta câ (ai1 ; ai2 ; : : : ; aik ) ! (i1; i2; : : : ; ik) l mºt song ¡nh tł
t“p S v o t“p S1 gçm c¡c bº (i1; i2; : : : ; ik) vîi 1 i1 i2 ik n n¶n jSj =
jS1j.
Khâ kh«n g°p ph£i khi ‚m c¡c bº cıa t“p S1 l c¡c sŁ i1; i2; : : : ; ik câ
th” b‹ng nhau. Do â ta t…m c¡ch ph¡ bä c¡c d§u = ð trong b§t flng
thøc 1 i1 i2 ik n. Tøc l , ta ÷a v• ‚m c¡c bº (j1; j2; : : : ; jk) vîi 1 j1 < j2
< < jk n.
” thüc hi»n ÷æc i•u â ta tành ti‚n c¡c ch¿ sŁ i1; i2; : : : ; ik mØi ch¿

25
sŁ t«ng th¶m mºt ìn và so vîi ch¿ sŁ tr÷îc nâ. D¤n tîi ta i x†t t÷ìng
øng sau: X†t t÷ìng øng
(i1; i2; : : : ; ik) 2 S1 ! (i1; i2 + 1; : : : ; ik + k 1):
Rª r ng, ¥y l mºt song ¡nh tł t“p S1 v o t“p S2 l t“p gçm c¡c bº (j1; j2; :
: : ; jk) sao cho
j1; j2; : : : ; jk 2 f1; 2; : : : ; n + k 1g
v j1 < j2 < : : : < jk.
Suy ra
jS1j = jS2j = Cn
k
+k 1:
H» qu£ 2.2.3 SŁ nghi»m nguy¶n khæng ¥m cıa ph÷ìng tr…nh: x1 +
x2 + + xk = n l Cn
k
+k 1:
H» qu£ 2.2.4 SŁ nghi»m nguy¶n d÷ìng cıa ph÷ìng tr…nh: x1 + x2 +
+ xk = n l Cn
k
1
1
:
V‰ dö 2.2.5 Trong mºt gi£i bâng ¡ câ 10 tr“n §u v ÷æc di„n ra trong
vÆng 30 ng y. Häi ban tŒ chøc câ bao nhi¶u c¡ch s›p x‚p c¡c tr“n
bâng ¡ sao cho hai tr“n §u k‚ nhau ph£i c¡ch nhau ‰t nh§t mºt ng y.
Líi gi£i:
C¡ch 1: Gi£ sß tr“n §u thø i ÷æc x‚p v o ng y thø xi. Khi â mØi c¡ch
x‚p c¡c tr“n §u t÷ìng øng vîi mºt bº 10 sŁ (x1; x2; : : : ; x10) thäa m¢n
c¡c i•u ki»n sau
1 x1 < x2 < x3 < < x10 30:
xi+1 xi 2 vîi måi i = 1; 29:
N‚u c¡c bº (x1; x2; : : : ; x10) ch¿ thäa m¢n i•u ki»n thø nh§t th…
vi»c ‚m trð l¶n ìn gi£n. Khâ kh«n ð ¥y l i•u ki»n thø 2. i•u ki»n
n y b›t buºc c¡c sŁ x1; x2; : : : ; x10 khæng câ hai sŁ n o l hai sŁ tü
nhi¶n li¶n ti‚p, do â ta t…m c¡ch chuy”n v• hai sŁ k• nhau câ th” l
hai sŁ tü nhi¶n li¶n ti‚p ” ‚m.
Ta câ x2 x1 2 , x2 x1 > 1 , x2 1 > x1 n¶n hai sŁ x2 1 v

26
x1 câ th” l hai sŁ tü nhi¶n li¶n ti‚p. D¤n ‚n, ta s‡ chuy”n bº
(x1; x2; : : : ; x10)
v• bº
(x1; x2 1; x3 2; : : : ; x10 9):
Gåi A l t“p c¡c bº (x1; x2; : : : ; x10) thäa m¢n c¡c i•u ki»n tr¶n
B = f(y1; y2; : : : ; y10) j 1 y1 < y2 < < y10 21g:
X†t ¡nh x⁄ f : A ! B ÷æc x¡c ành nh÷ sau
f(x1; x2; : : : ; x10) = (x1; x2 1; x3 2; : : : ; x10 9):
Ta chøng minh ÷æc f l mºt song ¡nh. Do â
jAj = jBj = C21
10
= 352716:
C¡ch 2: Gi£ sß giœa ng y thø nh§t ‚n ng y tr“n §u thø nh§t câ x1 ng
y, giœa tr“n §u thø nh§t v tr“n §u thø hai câ x2 ng y,: : :, giœa tr“n
§u thø 10 ‚n ng y thø 30 câ x11 ng y.
Khi â mØi c¡ch x‚p 10 tr“n §u t÷ìng øng vîi mºt bº (x1; x2; : : : ; x11)
thäa m¢n c¡c i•u ki»n sau
x1; x11 0; x2; x3; : : : ; x10 1
x1 + x2 + : : : + x11 = 30 10 = 20:
°t y1 = x1; y11 = x11; yi = xi 1; 8i = 2; 10:
Khi â mØi bº (x1; x2; : : : ; x11) t÷ìng øng vîi mºt bº (y1; y2; : : : ; y11)
thäa m¢n y1; y2; : : : ; y11 0 v
y1 + y2 + + y11 = 11: (2.6)
SŁ c¡c bº (y1; y2; : : : ; y11) ch‰nh l sŁ nghi»m khæng ¥m cıa ph÷ìng
tr…nh (2.6) v b‹ng C11+11
11
1 = C21
11
.
V“y câ C21
11
= 352716 c¡ch x‚p 10 tr“n §u thäa m¢n c¡c y¶u cƒu b i
to¡n.

27
Nh“n x†t 2.2.6 — mºt sŁ b i to¡n ta câ th” ch¿ ra c¡c song ¡nh f :
A ! B kh¡c nhau, tuy nhi¶n k‚t qu£ cıa vi»c ‚m sŁ phƒn tß cıa t“p
B l ho n to n tròng khîp.
V‰ dö 2.2.7 Cho a gi¡c •u 2013 ¿nh. Ng÷íi ta tæ 100 ¿nh cıa a
gi¡c bði m u ä. Häi câ bao nhi¶u c¡ch tæ sao cho giœa hai ¿nh
÷æc tæ m u k• nhau câ ‰t nh§t 3 ¿nh khæng ÷æc tæ m u.
Líi gi£i: Gåi c¡c ¿nh cıa a gi¡c l A1; A2; : : : ; A2013. Gi£ sß tæ m u
c¡c ¿nh Ai1 ; Ai2 ; : : : ; Ai100 : Khi â mØi c¡ch tæ mƒu thäa m¢n y¶u
cƒu
b i to¡n øng vîi bº (i1; i2; : : : ; i100) thäa m¢n c¡c i•u ki»n sau
1 i1 < i2 < i3 < : : : < i100 2013
ik+1 ik 4 vîi 8k = 1; 2012 v 2013 + i1
i
2013
4:
Ta th§y
i
k+1
i
k
4
,
i
k+1 ik > 3 , ik+1 3 > ik;
do â ta s‡ thay th‚ c¡c ik bði ik 3(k 1):
Gåi S l t“p c¡c bº (i1; i2; : : : ; i100) thäa m¢n c¡c i•u ki»n nâi tr¶n,
S1 l t“p c¡c bº (a1; a2; : : : ; a100) thäa m¢n
1 a1 < a2 < : : : < a100 1716
a100 a1 1712:
Khi â ¡nh x⁄ f : S ! S1 ÷æc x¡c ành
f(i1; i2; : : : ; i100) = (a1; a2; : : : ; a100) vîi ak = ik 3(k 1); k = 1;
100:
D„ d ng ki”m chøng ÷æc f l mºt song ¡nh. Ta x†t c¡c tr÷íng hæp sau
+) a1 2 f1; 2; 3g, °t bi = ai a1: Khi â ¡nh x⁄ g i tł t“p S1 v o t“p
S2 l t“p c¡c bº (b1; b2; : : : ; b100) thäa m¢n 1 b1 < b2 < : : : < b100
1712 l mºt song ¡nh.
Ta câ jS j = C100
: V“y
3 1713

jSj = jS2j + jS3j = 3:C1712
99
+ C1713
100
:

28
V‰ dö 2.2.8 Câ bao nhi¶u ch¿nh hæp ch“p k (a1; a2; : : : ; ak) cıa
n sŁ tü nhi¶n ƒu ti¶n thäa m¢n ‰t nh§t mºt trong hai i•u ki»n sau
i) Tçn t⁄i i; j 2 f1; 2; : : : ; kg thäa m¢n ai > aj v i < j:
ii) Tçn t⁄i i 2 f1; 2; : : : ; kg sao cho ai 1 l sŁ l·.
Líi gi£i: Gåi S l t“p c¡c ch¿nh hæp ch“p k cıa n sŁ tü nhi¶n ƒu
ti¶n. Ta câ
n!
jSj = An
k
= :
(n k)!
Gåi A l t“p hæp c¡c ch¿nh hæp thäa m¢n y¶u cƒu b i to¡n B = fa =
(a1; a2; : : : ; ak) 2 Sg v c¡c ai thäa m¢n çng thíi hai i•u ki»n sau
(a) ai+1 > ai vîi måi i = 1; k 1:
(b) ai i luæn l sŁ chfin vîi måi i = 1; k:
Ta câ jAj = jSj j Bj. Ta i t‰nh jBj =?.
Vîi mØi bº (a1; a2; : : : ; ak) f1; 2; 3; : : : ; ng th… tçn t⁄i duy nh§t mºt
ch¿nh hæp ch“p k(a1; a2; : : : ; ak) thäa m¢n i•u ki»n (a). Do â ta ch¿
cƒn i ph¥n t‰ch i•u ki»n (b). v… ai i l sŁ chfin khi v ch¿ khi ai +i l sŁ
chfin. Hìn nœa gi¡ trà cıa ai i ta khâ ki”m so¡t cÆn c¡c gi¡ trà cıa ai + i
ch¿ phö thuºc v o t“p f1; 2; 3; : : : ; k + ng n¶n ta x†t ¡nh x⁄ f tł t“p B v o
t“p C ÷æc x¡c ành bði f(a1; a2; : : : ; ak) = (b1; b2; : : : ; bk)
vîi bi = ai + i v C l t“p gçm c¡c bº (b1; b2; : : : ; bk) thäa m¢n bi l
2 f1; 2; 3; : : : ; n + kg. Ta chøng minh ÷æc f l
sŁ chfin 8i = 1; k v bi
song ¡nh.
k k k
V… v“y jBj = jCj = C[
n+ k
]:V“y jAj = Cn C[
n+ k
]
:
2 2
V‰ dö 2.2.9 (VMO 2002). Cho t“p S gçm t§t c£ c¡c sŁ nguy¶n
trong o⁄n [1; 2002]. Gåi T l t“p hæp t§t c£ c¡c t“p con khæng rØng
cıa S. Vîi mØi X thuºc T , kþ hi»u m(X) l trung b…nh cºng c¡c phƒn
tß cıa X. T‰nh m = P T( ) :
m X
j j
Líi gi£i: X†t ¡nh x⁄ f : T ! T nh÷ sau:
f(X) = f2003 x j x 2 Xg; 8X 2 T:

tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
29
V… f l song ¡nh n¶n m(X) = m(f(X)). Do â
P
2m = ( m(X) + m(f(X))):
jT j
M m(X) + m(f(X)) = 2003 n¶n m =
2003
2:
Chó þ 2.2.10 B i to¡n tr¶n câ th” mð rºng b‹ng thay sŁ 2002 ð ƒu b i
th nh 2018.
V‰ dö 2.2.11 (China 1994). Chøng minh r‹ng:
n
n k
Xk n [ ] 2 +
2
2 :
C
n k = C2n+1; 8n 2 Z
=0
Líi gi£i: Ta chån ra n sŁ tł 2n + 1 sŁ nh÷ sau. Tr÷îc h‚t tł 2n + 1 sŁ
ta chia ra n c°p v sŁ x. Sau â, b÷îc 1: ta chån ra k c°p rçi tł mØi
c°p chån ra mºt sŁ, b÷îc 2: chån n k c°p trong n k c°p cÆn l⁄i.
2
x n
l· v s‡ khæng ÷æc
chån n‚u
Ngo i ra sŁ s‡ ÷æc chån n‚u
k
[
n k ]
c¡ch
n k chfin. Rª r ng b÷îc 1 câ 2k
Ck
c¡ch chån v b÷îc 2 câ C 2
n n k
chån. Lóc n y ta chån ÷æc tŒng cºng n sŁ, trong â k ch⁄y tł 0 ‚n n.
Chó þ 2.2.12 N‚u ¡nh x⁄ f : A ! B l ìn ¡nh th… jAj jBj. ” minh håa cho
t‰nh ch§t â ta i x†t v‰ dö sau ¥y.
V‰ dö 2.2.13 Cho A l t“p hœu h⁄n c¡c sŁ thüc d÷ìng. Ta ành
ngh¾a B v C l c¡c t“p sau

tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
B = x; y 2 A ; C = fxy j x; y 2 Ag:
y
x1 x2 xk xi
Líi gi£i: Gi£ sß B = ; ;:::; vîi c¡c ph¥n sŁ ph¥n bi»t.
y
1
y
2
y
k
y
i
f z;
xi
= (zxi; zyi): yi

X†t a = z; yi
i
z; yj
30
; b = m f(a) = f(b), ta câ:
x x
j
8xiz = xiz0
xi =xj
)
8xi = xj
)
z = z0
)
a = b:
yiz = yiz0 y
j yi = yj
< )
yi <
: :
V“y C l ìn ¡nh, suy ra
jA Bj jC Cj ) jAj:jBj jCj2
:
V‰ dö 2.2.14 (Bakan 1997) Cho m; n l c¡c sŁ nguy¶n d÷ìng
m; n > 1: X†t t“p X gçm n phƒn tß v A1; A2; : : : ; Am l m t“p con
cıa X thäa m¢n: vîi måi x; y 2 X; x 6= y tçn t⁄i t“p Ak; 1 k m sao cho
x 2 Ak; y 2= Ak ho°c x 2= Ak; y 2 Ak. Chøng minh n 2m
: Líi gi£i: Ta
câ 2m
l sŁ phƒn tß cıa t‰ch •-c¡c Y = f0; 1gm
: X¥y düng ¡nh x⁄ f : X
! Y ÷æc x¡c ành nh÷ sau: vîi mØi x 2 X ta cho t÷ìng øng y = (x1; x2;
: : : ; xm) sao cho n‚u x 2 Ak th… xk = 1 v x 2= Ak th… xk = 0.
D„ d ng th§y ÷æc f l ìn ¡nh n¶n jXj jY j hay n 2m
:
2.3 V“n döng ph÷ìng ph¡p a thøc v sŁ phøc
2.3.1 Þ t÷ðng
Þ t÷ðng cıa ph÷ìng ph¡p n y l ÷a vi»c ‚m sŁ t“p X câ t‰nh ch§t T
n o â v• t‰nh tŒng S cıa c¡c h» sŁ ak øng vîi c¡c lôy thła b“c k câ
còng t‰nh ch§t T 0
n o â cıa a thøc P (x). Sau â sß döng cæng cö
” t‰nh S.
M°t kh¡c n‚u l c«n nguy¶n thıy b“c n cıa ìn và th… ta câ
i) 1 + + 2
+ + n 1
= 0:
ii) 1 + k
+ + k(n 1)
= 0 vîi (k; n) = 1:
¥y ch‰nh l t‰nh ch§t quan trång cıa c«n nguy¶n thıy câ th” sß
döng trong gi£i b i to¡n ‚m.
2.3.2 V‰ dö
V‰ dö 2.3.1 (Chån ºi tuy”n PTNK 2009) T…m sŁ t§t c£ c¡c sŁ câ n
chœ sŁ l“p tł c¡c chœ sŁ 3; 4; 5; 6 v chia h‚t cho 3.
Líi gi£i: Gåi cn l sŁ c¡c sŁ câ n chœ sŁ l“p tł c¡c chœ sŁ 3; 4; 5; 6 v

31
chia h‚t cho 3. Gåi l mºt nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh 2
+ + 1 = 0. Khi â
3
= 1 v 2k
+ k
+ 1 nh“n gi¡ trà b‹ng 0 n‚u k khæng chia h‚t cho 3 v
b‹ng 3 n‚u k chia h‚t cho 3. X†t a thøc
P (x) = (x3
+ x4
+ x5
+ x6
)n
:
D„ th§y cn ch‰nh l b‹ng tŒng c¡c h» sŁ cıa c¡c sŁ mô chia h‚t cho
cn = k
2n
=0 a3k: P
k
6n
=0 akx
k
th…
3 trong khai tri”n cıa P (x) nâi c¡ch kh¡c n‚u P (x) =
P 6n 2n
X Xk
P(1)+P( )+P( 2
)= ak(1 + + 2
) = 3 a3k:
k=0 =0
CuŁi còng do
P (1) = 4n
; P ( ) = P ( 2
) = 1
n¶n ta câ
2n
4n
+ 2
Xk
cn = a3k = 3 :
=0
V‰ dö 2.3.2 Câ bao nhi¶u sŁ nguy¶n d÷ìng câ 5 chœ sŁ m tŒng
c¡c chœ sŁ cıa nâ l mºt sŁ chfin.
Líi gi£i: Gåi S l sŁ c¡c sŁ câ 5 chœ sŁ thäa m¢n y¶u cƒu b i to¡n.
X†t a thøc:
P (x) = (x + x2
+ + x9
)(1 + x + x2
+ + x9
)4
:
Khai tri”n P (x) ta ÷æc:
45
Xk
P (x) = akxk
:
=1
Khi â
22
1
Xk
S = a2k = 2 [P (1) + P ( 1)] = 45000:
=1
V‰ dö 2.3.3 T…m sŁ t“p con A cıa t“p X = f1; 2; : : : ; 2010g sao
cho tŒng c¡c phƒn tß cıa A chia h‚t cho 5.

32
Líi gi£i: X†t a thøc
P (x) = (1 + x)(1 + x2
) : : : (1 + x2010
):
Khai tri”n a thøc n y ta ÷æc:
X
P (x) = xS(C)
trong â S(C) l tŒng c¡c phƒn tß cıa c:
C X
Do â sŁ t“p con A cıa X câ tŒng c¡c phƒn tß chia h‚t cho 5 l tŒng
c¡c h» sŁ cıa c¡c lôy thła d⁄ng x5k
vîi k 2 Z:
°t
" = cos
2
5 + i sin
2
5 (" l mºt c«n b“c 5 cıa ìn và):
Ta th§y vîi måi k 6
..
.5 th…
1 ("5
)k
1 + "k
+ ("2
)k
+ ("3
)k
+ ("4
)k
= = 0:
1 "k
V n‚u k
..
.5 th…
1 + "k
+ ("2
)k
+ ("3
)k
+ ("4
)k
= 5:
Gåi S sŁ t“p con cıa A th…
S =
1
5 P(1) + P(") + P("2
) + P("3
) + P("4
) :
V… a thøc Q(x) = x5
1 câ c¡c nghi»m l 1; "; "2
; "3
; "4
n¶n
Q(x) = (x 1)(x ")(x "2
)(x "3
)(x "4
):
Suy ra:
(1 + ")(1 + "2
)(1 + "3
)(1 + "4
)(1 + "5
) = P( 1)=2:
V“y
22010 + 4:2402 22010 + 2404
S = = :
5 5
V‰ dö 2.3.4 (Vi»t nam MO 2015). Cho sŁ nguy¶n d÷ìng k. T…m

33
c¡c sŁ tü nhi¶n n khæng v÷æt qu¡ 10k
thäa m¢nçng thíi:
i) n chia h‚t cho 3.
ii) C¡c chœ sŁ cıa n bi”u di„n trong h» th“p ph¥n thuºc t“p f0; 2; 1; 5g:
Líi gi£i: V… 10k
khæng chia h‚t cho 3 n¶n ta ch¿ cƒn x†t c¡c sŁ tł
0 ‚n 99 : : : 9 (k chœ sŁ 9). BŒ sung c¡c chœ sŁ 0 v o tr÷îc n‚u th§y
cƒn thi‚t, c¡c sŁ cƒn t…m câ d⁄ng: a1a2 : : : ak (ai 2 f0; 2; 1; 5g) ” c¡c
sŁ n y chia h‚t cho 3 th… khi v ch¿ khi a1 + a2 + ak chia h‚t cho 3,
ta ÷a b i to¡n v• vi»c ‚m sŁ c¡c bº (a1; a2; : : : ; ak) 2 Ak
sao cho a1
+ a2 + ak chia h‚t cho 3.
Ti‚p theo ta x†t a thøc
P (x) = (x2
(a1;a2
X
k 2
x
(a
1
+a
2
+:::+a
k
)
:
+ x + 1 + x5
)k
=
;:::;a ) Ak
TŒng c¡c h» sŁ cıa P (x) b‹ng sŁ c¡c bº (a1; a2; : : : ; ak) 2 Ak
v
b‹ng 4k
. Hìn nœa sŁ c¡c bº
(a1; a2; : : : ; ak) 2 Ak
sao cho a1 + a2 + ak b‹ng tŒng c¡c h» sŁ cıa c¡c sŁ mô chia h‚t cho
3 trong P (x).
°t
P (x) = a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
+ a4x4
+ :
Ta cƒn t‰nh
S = a0 + a3 + a6 +
Gåi " l mºt nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh x2
+ x + 1 = 0 th… ta câ "3
=
1. Tł â d„ d ng suy ra 1 + "k
+ "2k
nh“n gi¡ trà b‹ng 0 vîi måi k
khæng chia h‚t cho 3 v b‹ng 3 n‚u k chia h‚t cho 3 ( )
Ta câ
P (1) = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + ;
P (") = a0 + a1" + a2"2
+ a3"3
+ a4"4
+ ;
P ("2
) = a0 + a1"2
+ a2"4
+ a3"6
+ a4"8
+

34
p döng l“p lu“n (*) ta suy ra
P (1) + P (") + P ("2
) = 3a0 + 3a3 + 3a6 +
Suy ra
S = P(1) + P (") + P ("2
) = 4k
+ "2k
+ "4k
:
3 3
CuŁi còng l⁄i ¡p döng l“p lu“n (*), ta suy ra S =
4k
1
n‚u k khæng
3
4k
+ 2
chia h‚t cho 3 v S = n‚u k chia h‚t cho 3.
3
Nh“n x†t 2.3.5 B i to¡n tr¶n ch‰nh l V‰ dö 2.1.3 ¢ ÷æc gi£i thæng
qua vi»c v“n döng ph÷ìng ph¡p truy hçi ð tr¶n, nh÷ng l⁄i ÷æc tr…nh
b y l⁄i thæng qua vi»c v“n döng kÿ thu“t ‚m vîi a thøc v sŁ phøc.
V‰ dö 2.3.6 Cho X = f0; 1; 2; : : : ; 25g: T…m sŁ c¡c t“p con 7
phƒn tß câ tŒng c¡c phƒn tß chia h‚t cho 19.
Líi gi£i: Vîi mØi t“p con A X gåi S(A) l tŒng c¡c phƒn tß cıa A.
Ta quy ÷îc S(?) = 0. Vîi mØi i = 0; 1; : : : ; 18, °t
P (i) = fA Xj jAj = 7 v S(A) i(mod19)g:
Ta cƒn t‰nh P (0). Gåi l c«n nguy¶n thıy b“c 19 cıa 1. Khi â
1 + a + a2
+ + a18
= 0
v
x19
1 = (x 1)(x a) (x a
18
):
X†t a thøc
Q(x) = (x 1)(x a)(x a2
) (x a
25
):
Ta t‰nh h» sŁ cıa x19
trong Q(x) b‹ng hai c¡ch. Mºt m°t n‚u khai tri”n
Q(x) ra th… ” ÷æc x19
, ta cƒn l§y x tł 19 d§u ngo°c, cÆn 7 d§u ngo°c
kh¡c s‡ l§y c¡c sŁ câ d⁄ng ak
vîi k 2 f0; 1; : : : ; 25g. Nh÷ th‚ ta s‡ câ
tŒng c¡c sŁ câ d⁄ng aS(A)
ch¿ phö thuºc v o sŁ d÷ khi chia S(A) cho
19 ( â l lþ do t⁄i sao ta l§y c«n b“c 19 cıa ìn và) n¶n tł ¥y d„

35
d ng suy ra tŒng nâi tr¶n b‹ng:
jP (0)j + P (1):a + + P (18):a18
:
M°t kh¡c
P (x) = (x19 1)(x 1)(x a) : : : (x a6):
Suy ra h» sŁ cıa x19 b‹ng 1:a:a2 : : : a6 = a2:
Tł ¥y suy ra
jP (0)j + jP (1)j:a + [jP (2)j 1] :a2
+ jP (18)j:a18
= 0:
i•u n y óng vîi måi a l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh:
1 + x + x2
+ + x18
= 0:
Suy ra a thøc
jP (0)j + jP (1)jx + [jP (2)j 1] x2
+ jP (18)jx18
t l» vîi a thøc
1 + x + x2
+ + x18
v v… th‚:
jP (0)j = jP (1)jx = jP (2)j 1 = = jP (18)j:
C7 1
Nh÷ v“y t§t c£ c¡c jP (i)j; i 6= 2, b‹ng nhau v b‹ng
19
. Ri¶ng
19
jP (2)j lîn hìn óng 1 ìn và! V“y ¡p sŁ l
C19
7
1
:
19
V‰ dö 2.3.7 (IMO 1995). Cho p l mºt sŁ nguy¶n tŁ l·. T…m sŁ c¡c
t“p con A cıa t“p hæp f1; 2; : : : ; 2pg bi‚t r‹ng:
i) A chøa óng p phƒn tß;
ii) TŒng c¡c phƒn tß cıa A chia h‚t cho p.
Líi gi£i: X†t a thøc P (x) = xp 1
+ xp 2
+ + x + 1: a thøc n y
câ p 1 nghi»m phøc ph¥n bi»t. Gåi l mºt nghi»m b§t ký cıa
P (x). Chó þ r‹ng ; 2
; : : : ; p 1
l p 1 nghi»m ph¥n bi»t cıa P (x)

36
v p
= 1: Do â theo ành lþ vieta:
xp 1
= (x 1)(x )(x 2
) (x p 1
):
X†t a thøc
Q(x) = (x )(x 2
) (x 2p
)
v gåi:
H = fA f1; 2; : : : ; 2pgj jAj = pg:
Gi£ sß Q(x) =
P2p
aix
i
: Khi â:
i=0
X X
ap = S(A)
; S(A) = x:
A2H x2A
V… n‚u S(A) i(modp) th… S(A)
= i
n¶n ap =
p 1
ni
i
; trong
i=0
â
n
i l sŁ c¡c
A
2
H
sao cho ( )
i
( mod
p
). P
S A M°t kh¡c, Q(x) =
(xp
1)2
; suy ra a = 2: Th nh thß p 1 n
i
= 2 (*)
X†t a thøc p
P
i=0 i
p 1
Xi
R(x) = nixi
+ n0 2:
=1
Tł flng thøc (*) suy ra l mºt nghi»m cıa R(x). V… degP
= degR
v l mºt nghi»m b§t ký cıa P (x) n¶n P (x) v R(x) ch¿ sai kh¡c
nhau h‹ng sŁ nh¥n.
Tł â np 1 = np 2 = : : : n1 = n0 2: Suy ra
np 1 + np 2 + : : : n1 + n0 2 C2
p
p 2
n0 2 = = :
p p
V“y ¡p sŁ cıa b i to¡n l
Cp
2
n0 = 2 + 2p
:
p
2.4 V“n döng ph÷ìng ph¡p sß döng h m sinh
2.4.1 Þ t÷ðng
H m sinh câ th” ÷æc ¡p döng trong vi»c gi£i c¡c b i to¡n ‚m. C¡c b
i to¡n chån c¡c phƒn tß tł mºt t“p hæp thæng th÷íng s‡ d¤n ‚n c¡c h
m sinh. Khi h m sinh ÷æc ¡p döng theo c¡ch n y, h» sŁ

37
cıa xn
ch‰nh l sŁ c¡ch chån n phƒn tß, tøc l vîi an l h» sŁ cıa xn
vîi måi
n lîn hìn ho°c b‹ng 2 th… h m sinh cıa sŁ c¡ch chån s‡ l F (x) =
P
anxn
.
n 0
2.4.2 V‰ dö
Ta s‡ b›t ƒu b‹ng mºt v‰ dö ìn gi£n, ” mæ t£ þ t÷ðng cıa ph÷ìng
ph¡p.
V‰ dö 2.4.1 Câ bao nhi¶u c¡ch chån n phƒn tß ph¥n bi»t tł t“p hæp
câ k phƒn tß.
Nh“n x†t 2.4.2 B i to¡n n y d„ d ng gi£i b‹ng cæng thøc tŒ hæp.
Nh÷ng lƒn n y chóng ta s‡ sß döng h m sinh. ” x¡c ành h m sinh
th… mºt trong nhœng c¡ch ìn gi£n l : Xu§t ph¡t tł mºt v i tr÷íng hæp
cö th” trüc quan, kh¡i qu¡t hâa, v quy n⁄p d¤n ‚n h m sinh.
Cö th” nh÷ sau: ƒu ti¶n ta h¢y x†t t“p hæp câ mºt phƒn tß fa1g: Ta
câ:
1 c¡ch chån 0 phƒn tß
0 c¡ch chån 2 phƒn tß trð l¶n
) H m sinh cho sŁ c¡ch chån n phƒn tß tł t“p fa1g l 1 +x: T÷ìng tü
nh÷ v“y, h m sinh cho sŁ c¡ch chån n phƒn tß tł t“p faig (1 i k)
công l 1 + x (khæng phö thuºc v o sü kh¡c bi»t giœa c¡c ai).
B¥y gií ta s‡ chøng minh: h m sinh cho sŁ c¡ch chån c¡c phƒn tß tł
hæp cıa hai t“p hæp b‹ng t‰ch c¡c h m sinh cho sŁ c¡ch chån c¡c
phƒn tß cıa mØi t“p tr¶n. Ti‚p töc x†t t“p 2 phƒn tß fa1; a2g ta câ:
0 c¡ch chån 3 phƒn tß trð l¶n
) H m sinh cho sŁ c¡ch chån n phƒn tß tł t“p fa1; a2g l
1 + 2x + x2
= (1 + x)2
= (1 + x)(1 + x):
Ti‚p töc ¡p döng quy t›c n y ta s‡ ÷æc h m sinh cho sŁ c¡ch chån
c¡c phƒn tß tł t“p k phƒn tß:
(1 + x)(1 + x) : : : (1 + x) = (1 + x)k
:

38
Ta câ
hCk
0
; Ck
1
; Ck
2
; : : : ; Ck
k
; 0; 0 : : :i , Ck
0
+ k; Ck
1
+ Ck
2
+ + Ck
k
=
(1 + x)k
:
Nh÷ v“y h» sŁ cıa xn
trong (1 + x)k
l Ck
n
v b‹ng sŁ c¡ch chån n
phƒn tß ph¥n bi»t tł t“p hæp câ k phƒn tß.
V‰ dö 2.4.3 Câ bao nhi¶u c¡ch s›p mºt giä n tr¡i c¥y thäa m¢n i•u
ki»n sau:
i) SŁ t¡o ph£i chfin;
ii) SŁ chuŁi ph£i chia h‚t cho 5;
iii) Ch¿ câ th” câ nhi•u nh§t 4 qu£ cam;
iv) Ch¿ câ th” câ nhi•u nh§t 1 qu£ o.
B i to¡n câ nhœng i•u ki»n r ng buºc r§t phøc t⁄p, v ta câ c£m gi¡c
vi»c gi£i b i to¡n r§t khâ. Nh÷ng h m sinh l⁄i cho ta mºt c¡ch gi£i
quy‚t nhanh gån.
Líi gi£i: Tr÷îc ti¶n ta i t…m h m sinh cho c¡ch chån tłng lo⁄i qu£:
Chån t¡o:
1 c¡ch chån 0 qu£ t¡o
Nh÷ th‚ ta câ h m sinh
A(x) = 1 + x2
+ x4
+ =
1
1 x2
(tŒng c¡c sŁ h⁄ng cıa c§p sŁ nh¥n lòi væ h⁄n).
T÷ìng tü ta t…m ÷æc h m sinh cho c¡ch chån qu£ chuŁi l :
A(x) = 1 + x5
+ x10
+ =
1
:
1 x5
H m sinh cho c¡ch chån cam v o hìi kh¡c mºt chót. Ta câ
1 c¡ch chån 0 qu£ cam

39
) H m sinh l
A(x) = 1 + x + x2
+ x3
+ x4 1 x5
= :
1 x
T÷ìng tü ta t…m ÷æc h m sinh cho c¡ch chån o l
1 x2
D(x) = 1 + x = :
1 x
) p döng Quy t›c xo›n. H m sinh cho c¡ch chån tł 4 lo⁄i qu£ l :
A(x)B(x)C(x)D(x) =
1 1 1 x5
1 x2
1 x2
1 x5
1 x 1 x
=
1
(1 x)2
= 1 + 2x + 3x2
+ 4x3
:
Nh÷ v“y c¡ch s›p giä tr¡i c¥y gçm n tr¡i ìn gi£n l n + 1 c¡ch.
V‰ dö 2.4.4 T‰nh sŁ nghi»m nguy¶n khæng ¥m cıa ph÷ìng tr…nh:
x1 + x2 + + xd = n:
Líi gi£i: V… x1; x2 : : : ; xd nguy¶n khæng ¥m n¶n suy ra xi (1i d)
nh“n c¡c gi¡ trà 0; 1; 2; 3 : : : Ta t…m h m sinh cho c¡ch sŁ chån mØi
xi (1 i d). Câ
1 c¡ch chån gi¡ trà 0
) H m sinh cho c¡ch chån mØi xi l
1 + x + x2
+ x3
= 1
1
x:
p döng quy t›c xo›n ) H m sinh cho c¡ch chån bº sŁ (x1; x2 : : : ; xd)
1
l
(1 x)d
:
Gåi un l sŁ nghi»m nguy¶n khæng ¥m cıa ph÷ìng tr…nh: x1 + x2 +

40
:::: + xd = n.
Khi â h m sinh cıa d¢y vîi c¡c sŁ h⁄ng d⁄ng un ch‰nh l h m sinh cho
sŁ c¡ch chån bº sŁ (x1; x2 : : : ; xd):
Tøc l 1
X X
unxk
= = Ck
xk
:
(1 x)d
k+d 1
k 0 k 0
V“y un = Cn
n
+d 1:
V‰ dö 2.4.5 B⁄n Nam câ c¡c çng xu C1; C2; : : : ; Cn: Vîi mØi k; Ck
÷æc óc sao cho khi tung l¶n, x¡c su§t ” nâ s§p l
1
. Tung t§t
2k + 1
c£ n çng xu, t‰nh x¡c su§t ” sŁ çng s§p l l· (bi”u di„n ð d⁄ng thu
gån).
Líi gi£i: X¡c su§t ” sŁ çng s§p l l· l tŒng h» sŁ b“c l· cıa a
thøc:
2k
2
+ 1 + 2k + 1 :
n
P (x) = k=1
Y
k x
TŒng h» sŁ n y b‹ng
P (1) P( 1) = n :
2 2n + 1
V‰ dö 2.4.6 Vîi mØi t“p hæp A, ành ngh¾a s(A) l tŒng c¡c phƒn
tß cıa A (n‚u A = ? th… s(A) = 0). °t S = f1; 2; : : : ; 1999g: Vîi 0 r 6,
ành ngh¾a
Tr = fT jT S; s(T ) r(mod7)g:
Vîi mØi r, t‰nh sŁ phƒn tß cıa Tr.
Líi gi£i: X†t h m sinh
1999
Yi
G(x) = (xi
+ 1):
=1
°t " = cos
2
+ i sin
2
; ta câ
7 7
G(") = 2285
(1 + ")(1 + "2
)(1 + "3
)(1 + "4
) = 2285
(1 + "3
):

41
M°t kh¡c, ta vi‚t
6
X
G(") = jTrj"r
:
r=0
Nh÷ v“y,
T0 2285
=T1=T2=T3 2285
= T4 = T5 = T6:
M
T0+T1+T2+T3+T4+T5+T6 =21999
:
Suy ra:
T1=T2=T3 =T4=T5=T6= 21999 2286
; T0 = T3 = 21999 + 5:2285
:
7
7
V‰ dö 2.4.7 Cho p l mºt sŁ nguy¶n tŁ l· v n l mºt sŁ nguy¶n d÷ìng
khæng chia h‚t cho p. T…m t§t c£ c¡c bº (x1; x2 : : : ; xp 1) 2
f0; 1; : : : ; n 1gp 1 sao cho Pp 1 ixi:
i=1
Líi gi£i: X†t h m sinh
p 1
F (x) = (1 + xi
+ x2i
+ x(n 1)i
):
=1
Yi
Ta câ F (1) = np 1
. °t
" = cos 2 + i sin 2 :
n
n
Khi â vîi måi 1 j p 1 : F (ej
) =
Q
p 1
1
"nij
i=1 .
1 "ij
Theo ành lþ RUF ta câ bº sŁ cƒn t‰nh l :
1p 1
F (ej
) = np 1
+ p 1 :
Xj
p p
=0

42
K‚t lu“n
Vîi möc ‰ch t…m hi”u, s÷u tƒm mºt h» thŁng c¡c b i to¡n minh
håa cho vi»c v“n döng c¡c ph†p ‚m, lu“n v«n V“n döng ph†p ‚m
n¥ng cao v o gi£i mºt sŁ b i to¡n thi håc sinh giäi ¢ ho n th nh c¡c
nhi»m vö sau:
(1).H» thŁng mºt v i t‰nh ch§t cì b£n trong ch÷ìng tr…nh to¡n
phŒ thæng ” khði ƒu cho vi»c t…m hi”u c¡c ph†p ‚m n¥ng cao.
(2).Giîi thi»u mºt v i ph†p ‚m v minh håa vi»c v“n döng chóng v o
gi£i mºt sŁ b i t“p, • thi håc sinh giäi.
(3). ÷a ra líi gi£i chi ti‚t hìn cho mºt sŁ v‰ dö m trong c¡c t i li»u
tham kh£o mîi ch¿ ÷a ra h÷îng gi£i ho°c líi gi£i v›n t›t. Trong mºt v i
v‰ dö, lu“n v«n công ¢ cŁ g›ng ÷a th¶m c¡c líi gi£i theo h÷îng kh¡c
vîi c¡ch gi£i trong t i li»u tham kh£o. çng thíi lu“n v«n công m⁄nh d⁄n
mð rºng mºt v i b i to¡n.
H÷îng nghi¶n cøu ti‚p theo cıa lu“n v«n l s÷u tƒm, h» thŁng hâa,
v ÷a ra líi gi£i t÷íng minh cho vi»c v“n döng c¡c ph÷ìng ph¡p, ph†p
‚m kh¡c nh÷: Nguy¶n lþ DIRICHLET; nguy¶n lþ cüc h⁄n; ph÷ìng
ph¡p » quy; ph÷ìng ph¡p quÿ ⁄o. . .
Do v§n • ÷æc • c“p trong lu“n v«n l t÷ìng Łi rºng v phøc t⁄p, hìn
nœa do thíi gian v kh£ n«ng cÆn h⁄n ch‚ n¶n m°c dò ¢ câ nhi•u cŁ
g›ng nh÷ng lu“n v«n khâ tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât. T¡c gi£ lu“n
v«n mong nh“n ÷æc nhœng þ ki‚n âng gâp quþ b¡u cıa Thƒy, Cæ
gi¡o v nhœng ng÷íi quan t¥m ” lu“n v«n ÷æc ho n thi»n hìn.

43
T i li»u tham kh£o
[1] Nguy„n …nh Th nh Cæng, Nguy„n V«n H÷ðng, Nguy„n Duy
H÷ng, Trƒn Tr‰ Ki¶n, Nguy„n V«n Sìn, L¶ Nh§t, Trƒn B£o
Chung (2016), Chuy¶n • bçi d÷ïng HSG qua c¡c ký thi Olympic,
NXB HQG H Nºi.
[2] Nguy„n Ngåc Giang (2016), Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i thi væ àch
to¡n, NXB HQG.
[3] H Duy H÷ng, Nguy„n Sìn H , Nguy„n Ngåc Giang, L¶ Minh
C÷íng (2016), Tuy”n chån • thi HSG THPT mæn To¡n, NXB
HQG.
[4] Nguy„n V«n M“u (2016), Hanoi open mathematics competition
problems and solutions (2006-2015), NXB HQG.
[5] Nguy„n V«n Nho (2013), Tuy”n t“p Olympic to¡n håc c¡c n÷îc
æng u, NXB HQG.
[6] Nguy„n V«n Nho, L¶ Ho ng PhÆ (2013), Tuy”n t“p Olympic
to¡n håc c¡c n÷îc Ch¥u Th¡i B…nh D÷ìng, NXB HQG.
[7] V«n Phó QuŁc (2014), Bçi d÷ïng HSG mæn To¡n, NXB HQG.
[8] Ngæ ›c T¥n (2004), Lþ thuy‚t tŒ hæp v ç thà, NXB HQG.
[9] Trành Kh›c Tu¥n (2015), Tuy”n chån • thi HSG THPT mæn
To¡n, NXB HQG H Nºi.
[10] Tuy”n t“p • thi Olympic 30/4 lƒn thø XXI 2015, NXB HQG H Nºi.
[11] C¡c b i to¡n chån låc 45 n«m t⁄p ch‰ To¡n håc v TuŒi tr·
(2009), NXB Gi¡o döc.

Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc

Similar to Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc